जैसा कोएक पूर्णांक है, तो के = 1. फिर एक्स =मूल समीकरण का हल है।

दूसरी संग्रह प्रणाली पर विचार करें

यदि एक एन = 0, तब . पर एन = -1; -2;…कोई समाधान नहीं होगा।

यदि एक एन = 1, प्रणाली का समाधान है और, परिणामस्वरूप, मूल समीकरण का।

यदि एक एन = 2, तब

कोई निर्णय नहीं होगा।

नंबर 10 (757) 1992 से प्रकाशित mat.1september.ru मुद्दे का विषय ज्ञान परीक्षण हमारी परियोजना प्रतियोगिताएं ध्यान - एक मजबूत परीक्षा के लिए यूराल कप पाठ का रचनात्मक विश्लेषण "समानांतर रेखाओं के एक छात्र का स्वयंसिद्ध" सी। 16 सी. 20 ग. 44 7 6 5 4 3 पत्रिका का संस्करण 2 एन ई आर। डब्ल्यू डब्ल्यू हो डब्ल्यू। वेबसाइट www.1september.ru पर 1 मीटर सितंबर 1 सितंबर। 2014 गणित सदस्यता या रूसी पोस्ट कैटलॉग के अनुसार: 79073 (पेपर संस्करण); 12717 (सीडी-संस्करण) ग्रेड 10-11 चयन प्रशिक्षण एस. मुगलिमोवा, स्थिति। बेली यार, टूमेन क्षेत्र गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में त्रिकोणमिति मूल त्रिकोणमिति का एक विशेष स्थान रखता है और पारंपरिक रूप से इसे शिक्षक द्वारा प्रस्तुत करने और छात्रों द्वारा आत्मसात करने दोनों के लिए कठिन माना जाता है। यह उन वर्गों में से एक है, जिसके अध्ययन को अक्सर "गणित के लिए गणित" के रूप में माना जाता है, सामग्री के अध्ययन के रूप में जिसका कोई व्यावहारिक मूल्य नहीं है। इस बीच, गणित के कई अनुप्रयोगों में त्रिकोणमितीय उपकरण का उपयोग किया जाता है, और गणित पढ़ाने में अंतर- और अंतःविषय कनेक्शन के कार्यान्वयन के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों का संचालन आवश्यक है। ध्यान दें कि त्रिकोणमितीय सामग्री विभिन्न मेटा-विषय कौशल के निर्माण के लिए उपजाऊ जमीन बनाती है। उदाहरण के लिए, एक त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों का चयन करना और एक त्रिकोणमितीय असमानता के समाधान सीखना किसी को ऐसे समाधान खोजने से संबंधित कौशल बनाने की अनुमति देता है जो दी गई स्थितियों के संयोजन की विधि को संतुष्ट करते हैं। जड़ों के चयन को पढ़ाने की विधि नीचे सूचीबद्ध तथ्यों पर आधारित है। ज्ञान: - एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर बिंदुओं का स्थान; - त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेत; - कोणों के सबसे सामान्य मूल्यों के अनुरूप बिंदुओं का स्थान, और कोणों को कम करने के सूत्रों द्वारा उनके साथ जुड़े; - त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके गुणों के ग्राफ। समझ: - कि एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक बिंदु तीन संकेतकों की विशेषता है: 1) बिंदु P (1; 0) के रोटेशन के कोण; 2) भुज, जो इस कोण की कोज्या से मेल खाती है; और 3) कोटि, जो इस कोण की ज्या से मेल खाती है; - त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ के रिकॉर्ड के पॉलीसेमी और पूर्णांक पैरामीटर के मूल्य पर रूट के विशिष्ट मूल्य की निर्भरता; - त्रिज्या के घूर्णन कोण के मान की पूर्ण परिक्रमणों की संख्या या फलन की अवधि पर निर्भरता। करने की क्षमता: - त्रिज्या के घूर्णन के सकारात्मक और नकारात्मक कोणों के अनुरूप त्रिकोणमितीय सर्कल पर अंक चिह्नित करें; - त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को त्रिकोणमितीय सर्कल पर एक बिंदु के स्थान के साथ सहसंबंधित करें; गणित अक्टूबर 2014 - बिंदु 3 के घूर्णन कोणों के मान लिखिए। 3. त्रिकोणमितीय सर्कल पर फ़ंक्शन के दिए गए मानों के अनुरूप सममित बिंदुओं के अनुरूप, पी (1; 0) के अनुरूप जितना संभव हो उतना अंक चिह्नित करें; 1 (जैसे | पाप x | =)। - फ़ंक्शन के ग्राफ के बिंदुओं के अनुसार त्रिकोण- 2 मीट्रिक फ़ंक्शन के तर्कों के मान लिखें- 3.4। फ़ंक्शन की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए, साथ ही सम और विषम के फ़ंक्शन के मानों पर निर्दिष्ट प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए, फ़ंक्शन के अनुरूप अंतराल को चिह्नित करें; 3 1 (उदाहरण के लिए, - ≤ cos x )। - कार्यों के रेखांकन पर संबंधित बिंदुओं को खोजने के लिए चर के मूल्यों द्वारा; 3.5. फ़ंक्शन और सीमा के दिए गए मानों के लिए - तर्क के मूल्यों पर त्रिकोणमिति की जड़ों की एक श्रृंखला को संयोजित करने के लिए, संबंधित समीकरणों पर ध्यान दें। संबंधित बिंदुओं और तर्क के मूल्यों को लिखें। इस प्रकार, त्रिकोण का अध्ययन करने की प्रक्रिया में (उदाहरण के लिए, ग्राफ पर इंगित करने और मीट्रिक सामग्री बनाने के लिए, उन बिंदुओं के लिए उपयुक्त प्रविष्टियां करना आवश्यक है जो निम्नलिखित अभ्यासों को पूरा करें 5π शर्तों को संतुष्ट करना tg x = 3 और −3π< x <). 1. При изучении начал тригонометрии (в пря- 2 моугольном треугольнике) заполнить (и запом- Перечисленные выше действия полезны при нить!) таблицу значений тригонометрических решении задачи С1 ЕГЭ по математике. В этой функций для углов 30°, 45°, 60° и 90°. задаче, помимо решения тригонометрического 2. При введении понятия тригонометрической уравнения, требуется произвести отбор корней, окружности: и для успешного выполнения этого задания на 2.1. Отметить точки, соответствующие по- экзамене, помимо перечисленных знаний и уме- воротам радиуса на 30°, 45°, 60°, затем на 0, ний, ученик должен владеть следующими навы- π 3π π π π π π π 5π 3π ками: , π, 2π, − , − , − , 2 2 6 4 3 6 4 3 6 4 – решать простейшие тригонометрические 2π 7π 5π 4π уравнения и неравенства; , . 3 6 4 3 – применять тригонометрические тождества; 2.2. Записать значения углов для указанных – использовать различные методы решения выше точек с учетом периодичности движения уравнений; по окружности. – решать двойные линейные неравенства; 2.3. Записать значения углов для указанных – оценивать значение иррационального числа. выше точек с учетом периодичности движения Перечислим способы отбора корней в подоб- по окружности при заданных значениях параме- ных заданиях. тра (например, при n = 2, n = –1, n = –5). 2.4. Найти с помощью тригонометрической Способ перевода в градусную меру окружности значения синуса, косинуса, танген- 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- са и котангенса для указанных выше углов. 2 2.5. Отметить на окружности точки, соответ-  3π 5π  ряющие условию x ∈  − ;  . ствующие требуемым значениям тригонометри-  2 2  ческих функций. Решение. Корни уравнения имеют вид 2.6. Записать числовые промежутки, удовлет- π x = (−1)n + πn, где n ∈ Z. воряющие заданным ограничениям значения 6 3 2 Это значит, что функции (например, − ≤ sin α ≤). 2 2 x = 30° + 360°жn или x = 150° + 360°жn. 2.7. Подобрать формулу для записи углов, со-  3π 5π  ответствующих нескольким точкам на тригоно- Условие x ∈  − ; можно записать в виде метрической окружности (например, объединить  2 2  π 3π x ∈ [–270°; 450°]. Указанному промежутку при- записи x = ± + 2πn, n ∈ Z, и x = ± + 2πk, k ∈ Z). 4 4 надлежат следующие значения: 3. При изучении тригонометрических функ- ций, их свойств и графиков: 30°, 150°, –210°, 390°. 3.1. Отметить на графике функции точки, со- Выразим величины этих углов в радианах: ответствующие указанным выше значениям ар- π 5π 7π 13π , − , . гументов. 6 6 6 6 3.2. При заданном значении функции (напри- Это не самый изящный способ решения по- мер, ctg x = 1) отметить как можно больше точек добных заданий, но он полезен на первых порах на графике функции и записать соответствую- освоения действия и в работе со слабыми учени- щие значения аргумента. ками. 31 математика октябрь 2014 Способ движения по окружности Способ оценки 3 Решить уравнение Найти корни уравнения tg x = , удовлетво- tg x − 1 3 = 0.  π  − cos x ряющие условию x ∈  − ; 2π  .  2  Решение. Данное уравнение равносильно си- 3 Решение. Корни уравнения tg x = имеют стеме  tg x = 1, π 3  вид x = + πn, n ∈ Z. Потребуем выполнения 6  cos x < 0.  π  условия x ∈  − ; 2π  , для этого решим двойное Отметим на тригонометрической окружности  2  корни уравнения tg x = 1, соответствующие зна- неравенство: π π π 2 5 чениям углов поворота x = + πn, n ∈ Z (рис. 1). − ≤ + πn ≤ 2π, − ≤ n ≤ 1 . 4 2 6 3 6 Выделим также дуги окружности, лежащие во II π 7π Отсюда n = 0 или n = 1. Значит x = или x = . и III координатных четвертях, так как в этих чет- 6 6 вертях выполнено условие cos x < 0. Графический способ 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- 2  3π 5π  ряющие условию x ∈  − ;  .  2 2  Решение. Построим график функции y = sin x (рис. 2). Корни данного уравнения являются абс- циссами точек пересечения графика с прямой практикум 1 y= . Отметим такие точки, выделив фрагмент 2  3π 5π  графика на промежутке  − ;  .  2 2  Рис. 1 Из рисунка видно, что решениями системы, а значит, и решениями данного уравнения явля- / π ются значения x = + π(2n + 1), n ∈ Z. м е то д о б ъ е д и н е н и е 4 Рис. 2 Способ перебора Здесь cos x π π 5π π 13π Решить уравнение = 0. x0 = , x1 = π − = , x2 = + 2π = , 16 − x 2 6 6 6 6 6 Решение. Данное уравнение равносильно си- 5π 7π стеме x3 = − 2π = − . 6 6  cos x = 0,  16 − x >0. 2 इस प्रकार, दिए गए अंतराल पर, समीकरण π के चार मूल हैं: समीकरण cos x = 0 से हम प्राप्त करते हैं: x = + n, n Z. 2 π 5π 13π 7π , - । असमिका 16 - x2 > 0 के हल 6 6 6 6 अंतराल (-4; 4) से संबंधित हैं। अंत में, हम कुछ बिंदुओं पर प्रकाश डालते हैं। आइए गणना करें: तर्क 3, 14 के दिए गए मानों को संतुष्ट करने वाले समाधान खोजने से जुड़ा कौशल, यदि n = 0, तो x = + 0 = (−4; 4); 2 2 2 कई लागू समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण है, और इस कौशल को बनाना आवश्यक है यदि n = 1, तो x = + π = (−4; 4); 2 2 2 मो सब कुछ त्रिकोणमितीय रूप से अध्ययन करने की प्रक्रिया में, यदि n 1, तो हम 4 से अधिक x मान प्राप्त करते हैं; सामग्री। 3, 14 समस्याओं को हल करना सीखने की प्रक्रिया में, जिसमें यदि n = -1, तो x = −π= - - (−4; 4); 2 2 2 त्रिकोणमितीय 3π 3 ⋅ 3, 14 समीकरण की जड़ों का चयन करना आवश्यक है, छात्रों के साथ चर्चा करें यदि n = -2, तो x = - 2π = - ≈- ∉(−4; 4); 2 2 2 इस क्रिया को करने के अलग-अलग तरीके हैं, और यदि n -2, तो हमें -4 से कम x मान मिलते हैं। ऐसे मामलों का पता लगाने के लिए भी जब एक या दूसरी विधि सबसे सुविधाजनक हो सकती है या, इस समीकरण के दो मूल हैं: और -। 2 2 टर्नओवर, अनुपयोगी। गणित अक्टूबर 2014 32

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पाठ प्रकार: अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति, सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का पाठ।

पाठ का उद्देश्य:

• शैक्षिक:पर एक त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों के चयन करने की क्षमता को समेकित करें नंबर सर्कल; त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए छात्रों को तर्कसंगत तकनीकों और विधियों में महारत हासिल करने के लिए प्रोत्साहित करें;
• विकसित होना:तार्किक सोच विकसित करना, मुख्य बात को उजागर करने की क्षमता, सामान्यीकरण करना, सही तार्किक निष्कर्ष निकालना ;
• शैक्षिक:लक्ष्य प्राप्त करने में दृढ़ता, समस्या की स्थिति में न खोने की क्षमता जैसे चरित्र के गुणों की शिक्षा।

उपकरण:मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, कंप्यूटर।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

पाठ के लिए तत्परता की जाँच करना, अभिवादन करना।

द्वितीय. लक्ष्य की स्थापना।

फ्रांसीसी लेखक अनातोले फ्रांस ने एक बार कहा था: "... ज्ञान को पचाने के लिए, आपको इसे भूख से अवशोषित करना होगा।" तो आइए आज इस बुद्धिमान सलाह का पालन करें और बड़ी इच्छा के साथ ज्ञान को आत्मसात करें, क्योंकि यह निकट भविष्य में परीक्षा में आपके लिए उपयोगी होगा।

आज के पाठ में हम एक संख्या वृत्त का उपयोग करके त्रिकोणमितीय समीकरणों में मूलों के चयन के कौशल का अभ्यास करना जारी रखेंगे। एक अंतराल पर जड़ों का चयन करते समय सर्कल का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, जिसकी लंबाई 2π से अधिक नहीं होती है, और उस स्थिति में जब व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के मान सारणीबद्ध नहीं होते हैं। कार्य करते समय, हम न केवल अध्ययन किए गए तरीकों और विधियों को लागू करेंगे, बल्कि गैर-मानक दृष्टिकोण भी लागू करेंगे।

III. बुनियादी ज्ञान का अद्यतनीकरण।

1. समीकरण हल करें: (स्लाइड 3-5)

ए) कॉक्स = 0
बी) कॉसएक्स = 1
ग) cosx = - 1
डी) sinx = 1
ई) sinx = 0
च) sinx = - 1
छ) टीजीएक्स = 1
ज) टीजीएक्स = 0

2. रिक्त स्थानों की पूर्ति करें: (स्लाइड 6)

sin2x =
cos2x =
1/cos 2x - 1=
पाप (π/2 - x) =
पाप (एक्स - π/2) =
cos(3π/2 – 2x) =

3. निम्नलिखित खण्डों को संख्या वृत्त पर दिखाइए (स्लाइड 7) [- 7π/2; -2π], [-π; /2], [π; 3π], , [-2π; -π/2], [-3π/2; -π/2], [-3π; -2π], [-4π; -5π/2]।

4. विएटा प्रमेय और उसके उपफलों का प्रयोग करते हुए, समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए: (स्लाइड 8)

टी 2 -2 टी -3 = 0; 2t2-3t-3=0; टी 2 +4टी-5=0; 2t2+t-1=0; 3t2 +7t=4=0; 2t2 -3t+1=0

चतुर्थ। व्यायाम कर रहा या कर रही हूं।

(स्लाइड 9)

त्रिकोणमितीय व्यंजकों को रूपांतरित करने की विभिन्न विधियाँ हमें उनमें से सबसे तर्कसंगत को चुनने के लिए प्रेरित करती हैं।

1. समीकरणों को हल करें: (एक छात्र बोर्ड पर फैसला करता है। शेष तर्कसंगत समाधान पद्धति के चुनाव में भाग लेते हैं और इसे एक नोटबुक में लिख लेते हैं। शिक्षक छात्रों के तर्क की शुद्धता की निगरानी करता है।)

1) 2sin 3x-2sinx+cos 2x=0. खंड से संबंधित जड़ों को निर्दिष्ट करें [-7π/2; - 2π]।

फेसला।

[-7π/2; -2π]

आइए नंबर प्राप्त करें:- 7π/2; -19π/6;-5π/2.

उत्तर: ए)π /2+ पीएन, π /6+2 पीएन, 5 π /6+2 पीएन, एनЄ जेड; बी) - 7π/2, -19π/6, -5π/2.

2) sin 2 x-2sinx∙cosx-3cos 2 x=0. खंड से संबंधित जड़ों को निर्दिष्ट करें [-π; /2].

फेसला।

ए) समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करेंक्योंकि 2 एक्स= 0। हम पाते हैं:

b) संख्या वृत्त का प्रयोग करते हुए, खंड से संबंधित मूलों का चयन करें[-π; /2]

आइए नंबर प्राप्त करें:- π+ आर्कटिक3 ; -π/4;आर्कटिक3.

उत्तर: ए) - π /4+ पीएन, आर्कटिक3+ पीएन, एनЄ जेड; बी) - π+ आर्कटिक3 , -π / 4,आर्कटिक3.

3) 2sin 2x-3cosx-3=0. खंड से संबंधित जड़ों को निर्दिष्ट करें [π; 3π]।

फेसला।

b) संख्या वृत्त का प्रयोग करते हुए, खंड से संबंधित मूलों का चयन करें[π; 3π]

हमें नंबर मिलते हैं: ; 4π/3; 8π/3;3π.

उत्तर: ए) π +2 पीएन, ± 2π /3+2 पीएन, एनЄ जेड; बी), 4π/3, 8π/3,3π.

4) 1/cos2x +4tgx - 6=0 । खंड से संबंधित जड़ों को इंगित करें [ 2π;7π/2]।

फेसला।

b) संख्या वृत्त का प्रयोग करते हुए, खंड से संबंधित मूलों का चयन करें[; 7π/2]

हमें संख्याएँ मिलती हैं: 9π/4; 3π-आर्कटिक5;1 3π/4.

उत्तर: ए)π /4+ पीएन, - आर्कटिक5+ पीएन, एनЄ जेड; बी)9π/4, 3π-आर्कटिक5, 1 3π/4.

5) 1/cos 2 x + 1/sin(x - /2) = 2. खंड से संबंधित जड़ों को इंगित करें [-2π; -π/2]।

फेसला।

b) संख्या वृत्त का प्रयोग करते हुए, खंड से संबंधित मूलों का चयन करें[-2π; -π/2]

हमें संख्याएँ मिलती हैं: -5π/3;-π .

उत्तर: ए)π +2 पीएन, ± π /3+2 पीएन, एनЄ जेड; बी)-5π/3;-π .

2. जोड़े में काम करें: (दो छात्र साइड बोर्ड पर काम करते हैं, बाकी नोटबुक में। फिर असाइनमेंट की जाँच की जाती है और उनका विश्लेषण किया जाता है।)

समीकरणों को हल करें:

फेसला.

मान लीजियेटीजीएक्स1 औरटीजीएक्स>0, आइए एक संख्या वृत्त का उपयोग करके जड़ों का चयन करें।हम पाते हैं:

एक्स = आर्ककोस√2/3+2 पीएन, एनЄ जेड.

जवाब:आर्ककोस√2/3+2 पीएन, एनЄ जेड.

6cos2x-14 cos 2 x - 7sin2x = 0. खंड [-3π/2; - /2]।

फेसला।

ए) 6(क्योंकि 2 एक्स- पाप 2 एक्स)-14 क्योंकि 2 एक्स-14 cosxsinx=0; 6 क्योंकि 2 एक्स-6 पाप 2 एक्स-14 क्योंकि 2 एक्स-14 cosxsinx=0;

3 पाप 2 एक्स+7 cosxsinx+4 क्योंकि 2 एक्स=0 समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करेंक्योंकि 2 एक्स = 0। हम पाते हैं:

b) संख्या वृत्त का प्रयोग करते हुए, खंड से संबंधित मूलों का चयन करें[-3π/2; -π/2]

नंबर प्राप्त करें: -5π /4;- π - आर्कटिक4/3.

उत्तर: ए)- π /4+ पीएन, - आर्कटिक4/3+ पीएन, एनЄ जेड; बी)-5π/4, -π - आर्कटिक4/3.

3. स्वतंत्र काम . (काम पूरा करने के बाद, छात्र नोटबुक्स का आदान-प्रदान करते हैं और अपने सहपाठी के काम की जांच करते हैं, गलतियों को सुधारते हैं (यदि कोई हो) लाल स्याही वाले पेन से।)

समीकरणों को हल करें:

1) 2cos 2 x+(2-√2)sinx+√2-2=0. खंड से संबंधित जड़ों को निर्दिष्ट करें [-3π; -2π]।

फेसला।

ए) 2(1- पाप 2 एक्स)+2 sinx-√2 sinx+√2-2=0; 2-2 पाप 2 एक्स+2 sinx-√2 sinx+√2-2=0; -2 sinx(sinx-1)-√2(sinx-1)=0;

b) संख्या वृत्त का प्रयोग करते हुए, खंड से संबंधित मूलों का चयन करें[-3π; -2π]।

नंबर प्राप्त करें: -11π /4;-9 π /4.

उत्तर: ए) π /2+2 पीएन, - π /4+2 पीएन, -3 π /4+2 पीएन, एनЄ जेड; बी)-11π/4, -9π /4 .

2) cos(3π/2-2x)=√2sinx। खंड से संबंधित जड़ों को निर्दिष्ट करें

फेसला।

b) संख्या वृत्त का प्रयोग करते हुए, खंड से संबंधित मूलों का चयन करें.

नंबर प्राप्त करें: 13π /4;3 π ;4 π .

उत्तर: ए)पीएन, ± 3π /4+2 पीएन, एनЄ जेड; बी) 13 π /4,3 π , 4 π .

3)1/तन 2x - 3/sinx+3=0. खंड से संबंधित जड़ों को निर्दिष्ट करें [-4π; -5π/2]

फेसला।

b) संख्या वृत्त का प्रयोग करते हुए, खंड से संबंधित मूलों का चयन करें[-4π;-5π/2]।

आइए नंबर प्राप्त करें:-19 π /6;-7 π /2;-23 π /6.

उत्तर: ए)π /2+2 पीएन, π /6+2 पीएन, 5 π /6+2 पीएन, एनЄ जेड; बी)-19 π /6,-7 π /2,-23 π /6.

V. पाठ को सारांशित करना।

त्रिकोणमितीय समीकरणों में जड़ें लेने की आवश्यकता है अच्छा ज्ञानसूत्र, उन्हें व्यवहार में लागू करने की क्षमता के लिए ध्यान और सरलता की आवश्यकता होती है।

VI. प्रतिबिंब का चरण।

(स्लाइड 10)

प्रतिबिंब के चरण में, छात्रों को एक काव्य रूप में एक सिंकवाइन की रचना करने के लिए आमंत्रित किया जाता है

अध्ययन की जा रही सामग्री के प्रति अपना दृष्टिकोण व्यक्त करें।

उदाहरण के लिए:

घेरा।
संख्यात्मक, त्रिकोणमितीय।
हम पढ़ेंगे, समझेंगे, रुचि लेंगे।
परीक्षा में उपस्थित।
वास्तविकता।

सातवीं। गृहकार्यइ.

1. समीकरणों को हल करें:

2. व्यावहारिक कार्य।

दो त्रिकोणमितीय समीकरण लिखिए जिनमें से प्रत्येक में दोहरे तर्क सूत्र हों।

आठवीं। साहित्य।

USE-2013: गणित: सबसे पूर्ण संस्करण मानक विकल्पनौकरियां / ऑटो-स्टेट। आई.वी. यशचेंको, आई.आर. वायसोस्की; ईडी। ए.एल. सेमेनोवा, आई.वी. यशचेंको - एम .: एएसटी: एस्ट्रेल, 2013।