आंकड़ों के क्षेत्र से हमारे पास कॉन्फिडेंस इंटरवल आया। ये है विशिष्ट श्रेणी, जो अज्ञात पैरामीटर का अनुमान लगाने का कार्य करता है एक उच्च डिग्रीविश्वसनीयता। इसे समझाने का सबसे आसान तरीका एक उदाहरण है।

मान लीजिए कि आपको कुछ यादृच्छिक चर की जांच करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, क्लाइंट अनुरोध के लिए सर्वर की प्रतिक्रिया की गति। हर बार जब कोई उपयोगकर्ता किसी विशेष साइट के पते में टाइप करता है, तो सर्वर एक अलग दर से प्रतिक्रिया करता है। इस प्रकार, जांच की गई प्रतिक्रिया समय में एक यादृच्छिक चरित्र होता है। तो यहाँ है विश्वास अंतरालआपको इस पैरामीटर की सीमाओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है, और फिर यह दावा करना संभव होगा कि 95% की संभावना के साथ सर्वर हमारे द्वारा गणना की गई सीमा में होगा।

या आपको यह पता लगाना होगा कि कितने लोग इसके बारे में जानते हैं ट्रेडमार्कफर्म। जब विश्वास अंतराल की गणना की जाती है, तो यह संभव होगा, उदाहरण के लिए, यह कहना कि 95% संभावना के साथ उपभोक्ताओं की हिस्सेदारी 27% से 34% के बीच है।

इस शब्द से निकटता से संबंधित है आत्मविश्वास का स्तर. यह इस संभावना का प्रतिनिधित्व करता है कि वांछित पैरामीटर विश्वास अंतराल में शामिल है। यह मान निर्धारित करता है कि हमारी वांछित सीमा कितनी बड़ी होगी। कैसे अधिक मूल्ययह स्वीकार करता है, विश्वास अंतराल जितना संकीर्ण होता जाता है, और इसके विपरीत। आमतौर पर यह 90%, 95% या 99% पर सेट होता है। 95% का मान सबसे लोकप्रिय है।

यह सूचक प्रेक्षणों के विचरण से भी प्रभावित होता है और इसकी परिभाषा इस धारणा पर आधारित है कि अध्ययन के तहत विशेषता का पालन होता है। इस कथन को गॉस के नियम के रूप में भी जाना जाता है। उनके अनुसार, निरंतर की सभी संभावनाओं का ऐसा वितरण अनियमित चर, जिसे संभाव्यता घनत्व द्वारा वर्णित किया जा सकता है। अगर के बारे में धारणा सामान्य वितरणगलत निकला, तो अनुमान गलत हो सकता है।

सबसे पहले, आइए जानें कि यहां के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना कैसे करें, दो मामले संभव हैं। फैलाव (यादृच्छिक चर के प्रसार की डिग्री) ज्ञात हो भी सकता है और नहीं भी। यदि यह ज्ञात है, तो हमारे विश्वास अंतराल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

एक्सएसआर - टी * σ / (वर्ग (एन))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где

α - चिह्न,

टी लाप्लास वितरण तालिका से एक पैरामीटर है,

परिक्षेपण का वर्गमूल है।

यदि विचरण अज्ञात है, तो इसकी गणना की जा सकती है यदि हम वांछित विशेषता के सभी मूल्यों को जानते हैं। इसके लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:

2 = х2ср - (хр)2, जहां

х2ср - अध्ययन के तहत विशेषता के वर्गों का औसत मूल्य,

(xsr)2 इस विशेषता का वर्ग है।

इस मामले में जिस सूत्र द्वारा विश्वास अंतराल की गणना की जाती है वह थोड़ा बदल जाता है:

एक्सएसआर - टी * एस / (वर्ग (एन))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где

xsr - नमूना माध्य,

α - चिह्न,

t एक पैरामीटर है जो छात्र की वितरण तालिका t \u003d t (ɣ; n-1) का उपयोग करके पाया जाता है,

sqrt(n) कुल नमूना आकार का वर्गमूल है,

s विचरण का वर्गमूल है।

इस उदाहरण पर विचार करें। मान लें कि, 7 मापों के परिणामों के आधार पर, अध्ययन के तहत विशेषता 30 और नमूना भिन्नता 36 के बराबर निर्धारित की गई थी। 99% की संभावना के साथ, एक आत्मविश्वास अंतराल खोजना आवश्यक है जिसमें सही मूल्य शामिल है मापा पैरामीटर।

सबसे पहले, आइए निर्धारित करें कि t किसके बराबर है: t \u003d t (0.99; 7-1) \u003d 3.71। उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एक्सएसआर - टी * एस / (वर्ग (एन))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))

30 - 3.71*36 / (वर्ग(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))

21.587 <= α <= 38.413

विचरण के लिए विश्वास अंतराल की गणना ज्ञात माध्य के मामले में की जाती है और जब गणितीय अपेक्षा पर कोई डेटा नहीं होता है, और केवल विचरण के निष्पक्ष बिंदु अनुमान का मूल्य ज्ञात होता है। हम यहां इसकी गणना के लिए सूत्र नहीं देंगे, क्योंकि वे काफी जटिल हैं और यदि वांछित है, तो वे हमेशा नेट पर पाए जा सकते हैं।

हम केवल यह नोट करते हैं कि एक्सेल प्रोग्राम या नेटवर्क सेवा का उपयोग करके आत्मविश्वास अंतराल निर्धारित करना सुविधाजनक है, जिसे ऐसा कहा जाता है।

सांख्यिकीय समस्याओं को हल करने के तरीकों में से एक विश्वास अंतराल की गणना है। नमूना आकार छोटा होने पर इसका उपयोग बिंदु अनुमान के पसंदीदा विकल्प के रूप में किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विश्वास अंतराल की गणना करने की प्रक्रिया बल्कि जटिल है। लेकिन एक्सेल प्रोग्राम के टूल्स आपको इसे कुछ हद तक सरल बनाने की अनुमति देते हैं। आइए जानें कि यह व्यवहार में कैसे किया जाता है।

इस पद्धति का उपयोग विभिन्न सांख्यिकीय मात्राओं के अंतराल अनुमान में किया जाता है। इस गणना का मुख्य कार्य बिंदु अनुमान की अनिश्चितताओं से छुटकारा पाना है।

एक्सेल में, इस पद्धति का उपयोग करके गणना करने के लिए दो मुख्य विकल्प हैं: जब विचरण ज्ञात हो, और जब यह अज्ञात हो। पहले मामले में, फ़ंक्शन का उपयोग गणना के लिए किया जाता है विश्वास मानदंड, और दूसरे में ट्रस्ट.विद्यार्थी.

विधि 1: कॉन्फिडेंस नॉर्म फंक्शन

ऑपरेटर विश्वास मानदंड, जो कार्यों के सांख्यिकीय समूह को संदर्भित करता है, पहली बार एक्सेल 2010 में दिखाई दिया। इस कार्यक्रम के पुराने संस्करण इसके समकक्ष का उपयोग करते हैं विश्वास. इस ऑपरेटर का कार्य जनसंख्या माध्य के सामान्य वितरण के साथ एक विश्वास अंतराल की गणना करना है।

इसका सिंटैक्स इस प्रकार है:

विश्वास मानदंड (अल्फा, मानक_देव, आकार)

"अल्फा"एक तर्क है जो महत्व के स्तर को दर्शाता है जिसका उपयोग आत्मविश्वास के स्तर की गणना के लिए किया जाता है। आत्मविश्वास का स्तर निम्न अभिव्यक्ति के बराबर है:

(1- "अल्फा")*100

"मानक विचलन"एक तर्क है, जिसका सार नाम से स्पष्ट है। यह प्रस्तावित नमूने का मानक विचलन है।

"आकार"एक तर्क है जो नमूने के आकार को निर्धारित करता है।

इस ऑपरेटर के लिए सभी तर्क आवश्यक हैं।

समारोह विश्वासपिछले वाले के समान ही तर्क और संभावनाएं हैं। इसका सिंटैक्स है:

ट्रस्ट (अल्फा, मानक_देव, आकार)

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंतर केवल ऑपरेटर के नाम पर हैं। संगतता कारणों से इस सुविधा को Excel 2010 और नए संस्करणों में एक विशेष श्रेणी में रखा गया है। "संगतता". एक्सेल 2007 और इससे पहले के संस्करणों में, यह सांख्यिकीय ऑपरेटरों के मुख्य समूह में मौजूद है।

विश्वास अंतराल की सीमा निम्नलिखित फॉर्म के सूत्र का उपयोग करके निर्धारित की जाती है:

एक्स+(-)विश्वास मानदंड

कहाँ एक्सनमूना माध्य है, जो चयनित श्रेणी के मध्य में स्थित है।

अब आइए देखें कि एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके विश्वास अंतराल की गणना कैसे करें। 12 परीक्षण किए गए, जिसके परिणामस्वरूप विभिन्न परिणाम सामने आए, जो तालिका में सूचीबद्ध हैं। यह हमारी समग्रता है। मानक विचलन 8 है। हमें 97% विश्वास स्तर पर विश्वास अंतराल की गणना करने की आवश्यकता है।

1. उस सेल का चयन करें जहां डेटा प्रोसेसिंग का परिणाम प्रदर्शित किया जाएगा। बटन पर क्लिक करना "फ़ंक्शन डालें".



2. दिखाई पड़ना फंक्शन विजार्ड. श्रेणी पर जाएँ "सांख्यिकीय"और नाम हाइलाइट करें "CONFIDENCE.NORM". इसके बाद बटन पर क्लिक करें ठीक है.



3. तर्क विंडो खुलती है। इसके क्षेत्र स्वाभाविक रूप से तर्कों के नामों से मेल खाते हैं।
   कर्सर को पहले फील्ड पर सेट करें - "अल्फा". यहां हमें महत्व के स्तर को निर्दिष्ट करना चाहिए। जैसा कि हमें याद है, हमारे भरोसे का स्तर 97% है। उसी समय, हमने कहा कि इसकी गणना इस तरह से की जाती है:

   (1-विश्वास स्तर)/100

   अर्थात्, मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

   सरल गणनाओं से, हम पाते हैं कि तर्क "अल्फा"बराबरी 0,03 . इस मान को फ़ील्ड में दर्ज करें।

   जैसा कि आप जानते हैं, मानक विचलन बराबर होता है 8 . इसलिए मैदान में "मानक विचलन"बस उस नंबर को लिख लें।

   खेत मेँ "आकार"आपको किए गए परीक्षणों के तत्वों की संख्या दर्ज करने की आवश्यकता है। जैसा कि हम याद करते हैं, वे 12 . लेकिन सूत्र को स्वचालित करने के लिए और हर बार एक नया परीक्षण किए जाने पर इसे संपादित नहीं करने के लिए, आइए इस मान को एक साधारण संख्या पर नहीं, बल्कि ऑपरेटर का उपयोग करके सेट करें जाँच करना. इसलिए, हम कर्सर को फ़ील्ड में सेट करते हैं "आकार", और फिर त्रिभुज पर क्लिक करें, जो सूत्र पट्टी के बाईं ओर स्थित है।

   हाल ही में उपयोग किए गए कार्यों की एक सूची दिखाई देती है। यदि ऑपरेटर जाँच करनाआपके द्वारा हाल ही में उपयोग किया गया, यह इस सूची में होना चाहिए। ऐसे में आपको बस इसके नाम पर क्लिक करना है। नहीं तो नहीं मिले तो बात पर जाइए "अधिक सुविधाएं...".



4. हमें पहले से ही परिचित प्रतीत होता है फंक्शन विजार्ड. समूह में वापस जाना "सांख्यिकीय". हम वहां नाम का चयन करते हैं "जाँच करना". बटन पर क्लिक करें ठीक है.



5. उपरोक्त ऑपरेटर के लिए तर्क विंडो प्रकट होती है। यह फ़ंक्शन निर्दिष्ट श्रेणी में उन कक्षों की संख्या की गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जिनमें संख्यात्मक मान होते हैं। इसका सिंटैक्स निम्नलिखित है:

   COUNT(मान1, मान2,…)

   तर्क समूह "मूल्य"उस श्रेणी का संदर्भ है जिसमें आप संख्यात्मक डेटा से भरे हुए कक्षों की संख्या की गणना करना चाहते हैं। कुल मिलाकर, ऐसे 255 तर्क हो सकते हैं, लेकिन हमारे मामले में हमें केवल एक की आवश्यकता है।

   कर्सर को फ़ील्ड में सेट करें "मान 1"और, बाईं माउस बटन को दबाए रखते हुए, उस शीट पर श्रेणी का चयन करें जिसमें हमारी जनसंख्या शामिल है। फिर उसका पता फील्ड में प्रदर्शित होगा। बटन पर क्लिक करें ठीक है.



6. उसके बाद, एप्लिकेशन गणना करेगा और परिणाम को उस सेल में प्रदर्शित करेगा जहां वह स्वयं है। हमारे विशेष मामले में, सूत्र इस तरह निकला:

   विश्वास मानदंड(0.03,8,काउंट(बी2:बी13))

   गणना का समग्र परिणाम था 5,011609 .



7. लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है। जैसा कि हमें याद है, विश्वास अंतराल की सीमा की गणना गणना परिणाम के औसत नमूना मूल्य से जोड़कर और घटाकर की जाती है विश्वास मानदंड. इस तरह, कॉन्फिडेंस इंटरवल के दाएं और बाएं सीमाओं की गणना क्रमशः की जाती है। नमूना माध्य की गणना स्वयं ऑपरेटर का उपयोग करके की जा सकती है औसत.

   यह ऑपरेटर संख्याओं की चयनित श्रेणी के अंकगणितीय माध्य की गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इसमें निम्नलिखित बल्कि सरल वाक्यविन्यास है:

   औसत (नंबर 1, नंबर 2,…)

   बहस "संख्या"या तो एक अंकीय मान हो सकता है या कोशिकाओं का संदर्भ हो सकता है या यहां तक ​​​​कि संपूर्ण श्रेणियां भी हो सकती हैं जिनमें वे शामिल हैं।

   तो, उस सेल का चयन करें जिसमें औसत मूल्य की गणना प्रदर्शित की जाएगी, और बटन पर क्लिक करें "फ़ंक्शन डालें".



8. खुलती फंक्शन विजार्ड. श्रेणी पर वापस जाएं "सांख्यिकीय"और सूची से एक नाम चुनें "औसत". हमेशा की तरह, बटन पर क्लिक करें ठीक है.



9. तर्क विंडो लॉन्च की गई है। कर्सर को फ़ील्ड में सेट करें "नंबर 1"और बाईं माउस बटन दबाकर, मानों की संपूर्ण श्रेणी का चयन करें। फ़ील्ड में निर्देशांक प्रदर्शित होने के बाद, बटन पर क्लिक करें ठीक है.



10. इसके बाद औसतगणना के परिणाम को शीट तत्व में आउटपुट करता है।



11. हम कॉन्फिडेंस इंटरवल की सही सीमा की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, एक अलग सेल का चयन करें, साइन इन करें «=» और शीट तत्वों की सामग्री जोड़ें जिसमें कार्यों की गणना के परिणाम स्थित हैं औसतऔर विश्वास मानदंड. गणना करने के लिए, बटन दबाएं दर्ज. हमारे मामले में, हमें निम्नलिखित सूत्र मिला:

    गणना परिणाम: 6,953276



12. उसी तरह, हम विश्वास अंतराल की बाईं सीमा की गणना करते हैं, केवल इस बार गणना के परिणाम से औसतऑपरेटर की गणना के परिणाम घटाएं विश्वास मानदंड. यह निम्न प्रकार के हमारे उदाहरण के लिए सूत्र निकलता है:

    गणना परिणाम: -3,06994



13. हमने विश्वास अंतराल की गणना के लिए सभी चरणों का विस्तार से वर्णन करने का प्रयास किया, इसलिए हमने प्रत्येक सूत्र का विस्तार से वर्णन किया। लेकिन आप सभी क्रियाओं को एक सूत्र में जोड़ सकते हैं। कॉन्फिडेंस इंटरवल की राइट बाउंड की गणना निम्नानुसार लिखी जा सकती है:

    औसत(बी2:बी13)+विश्वास(0.03,8,काउंट(बी2:बी13))



14. बाईं सीमा की एक समान गणना इस तरह दिखेगी:

    औसत(बी2:बी13)-CONFIDENCE.NORM(0.03,8,काउंट(बी2:बी13))

विधि 2: TRUST.STUDENT फ़ंक्शन

इसके अलावा, एक्सेल में एक और फ़ंक्शन है जो कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना से संबंधित है - ट्रस्ट.विद्यार्थी. यह केवल एक्सेल 2010 के बाद से दिखाई दिया है। यह ऑपरेटर छात्र के वितरण का उपयोग करके जनसंख्या विश्वास अंतराल की गणना करता है। उस स्थिति में इसका उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है जब विचरण और, तदनुसार, मानक विचलन अज्ञात हैं। ऑपरेटर सिंटैक्स है:

ट्रस्ट। छात्र (अल्फा, मानक_देव, आकार)

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में ऑपरेटरों के नाम अपरिवर्तित रहे।

आइए देखें कि उसी आबादी के उदाहरण का उपयोग करके अज्ञात मानक विचलन के साथ विश्वास अंतराल की सीमाओं की गणना कैसे करें जिसे हमने पिछली पद्धति में माना था। पिछली बार की तरह आत्मविश्वास का स्तर हम 97 फीसदी लेंगे।

1. उस सेल का चयन करें जिसमें गणना की जाएगी। बटन पर क्लिक करें "फ़ंक्शन डालें".



2. खुले में फंक्शन विजार्डश्रेणी में जाएं "सांख्यिकीय". एक नाम चुनो "ट्रस्ट.स्टूडेंट". बटन पर क्लिक करें ठीक है.



3. निर्दिष्ट ऑपरेटर के लिए तर्क विंडो लॉन्च की गई है।

   खेत मेँ "अल्फा", यह देखते हुए कि आत्मविश्वास का स्तर 97% है, हम संख्या लिखते हैं 0,03 . दूसरी बार हम इस पैरामीटर की गणना के सिद्धांतों पर ध्यान नहीं देंगे।

   उसके बाद, कर्सर को फ़ील्ड में सेट करें "मानक विचलन". इस बार, यह सूचक हमारे लिए अज्ञात है और इसकी गणना करने की आवश्यकता है। यह एक विशेष फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जाता है - एसटीडीईवी.बी. इस ऑपरेटर की विंडो को कॉल करने के लिए, फॉर्मूला बार के बाईं ओर त्रिकोण पर क्लिक करें। यदि हमें खुलने वाली सूची में वांछित नाम नहीं मिलता है, तो आइटम पर जाएं "अधिक सुविधाएं...".



4. चल रहा है फंक्शन विजार्ड. श्रेणी में जाना "सांख्यिकीय"और नाम अंकित करें "एसटीडीईवी.बी". फिर बटन पर क्लिक करें ठीक है.



5. तर्क विंडो खुलती है। ऑपरेटर कार्य एसटीडीईवी.बीनमूनाकरण में मानक विचलन की परिभाषा है। इसका सिंटैक्स इस तरह दिखता है:

   एसटीडीईवी.वी(नंबर1,नंबर2,…)

   यह अनुमान लगाना आसान है कि तर्क "संख्या"चयन तत्व का पता है। यदि चयन एक ही सरणी में रखा गया है, तो केवल एक तर्क का उपयोग करके, आप इस श्रेणी के लिए एक लिंक दे सकते हैं।

   कर्सर को फ़ील्ड में सेट करें "नंबर 1"और, हमेशा की तरह, बाएँ माउस बटन को दबाए रखते हुए, सेट का चयन करें। निर्देशांक क्षेत्र में होने के बाद, बटन दबाने में जल्दबाजी न करें ठीक हैक्योंकि परिणाम गलत होगा। सबसे पहले हमें ऑपरेटर तर्क विंडो पर लौटने की जरूरत है ट्रस्ट.विद्यार्थीअंतिम तर्क करने के लिए। ऐसा करने के लिए, फॉर्मूला बार में उपयुक्त नाम पर क्लिक करें।



6. पहले से ही परिचित फ़ंक्शन की तर्क विंडो फिर से खुलती है। कर्सर को फ़ील्ड में सेट करें "आकार". फिर से, ऑपरेटरों की पसंद पर जाने के लिए पहले से परिचित त्रिकोण पर क्लिक करें। जैसा कि आप समझते हैं, हमें एक नाम चाहिए "जाँच करना". चूंकि हमने पिछली पद्धति में गणना में इस फ़ंक्शन का उपयोग किया था, यह इस सूची में मौजूद है, इसलिए बस इस पर क्लिक करें। यदि आपको यह नहीं मिलता है, तो पहले विधि में वर्णित एल्गोरिथम का पालन करें।



7. तर्क विंडो में प्रवेश करना जाँच करना, कर्सर को फ़ील्ड में रखें "नंबर 1"और माउस बटन को दबाए रखते हुए, संग्रह का चयन करें। फिर बटन पर क्लिक करें ठीक है.



8. उसके बाद, कार्यक्रम विश्वास अंतराल के मूल्य की गणना और प्रदर्शित करता है।



9. सीमाओं को निर्धारित करने के लिए, हमें फिर से नमूना माध्य की गणना करने की आवश्यकता होगी। लेकिन, यह देखते हुए कि सूत्र का उपयोग करके गणना एल्गोरिथ्म औसतपिछली पद्धति की तरह ही, और परिणाम भी नहीं बदला है, हम इस पर दूसरी बार विस्तार से ध्यान नहीं देंगे।



10. गणना के परिणामों को जोड़ना औसतऔर ट्रस्ट.विद्यार्थी, हम विश्वास अंतराल की सही सीमा प्राप्त करते हैं।



11. ऑपरेटर के गणना परिणामों से घटाना औसतगणना परिणाम ट्रस्ट.विद्यार्थी, हमारे पास कॉन्फिडेंस इंटरवल की लेफ्ट बाउंड है।



12. यदि गणना एक सूत्र में लिखी गई है, तो हमारे मामले में सही सीमा की गणना इस तरह दिखेगी:

    औसत(बी2:बी13)+छात्र विश्वास(0.03,एसटीडीवी(बी2:बी13),काउंट(बी2:बी13))



13. तदनुसार, बाईं सीमा की गणना करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:

    औसत(बी2:बी13)-छात्र विश्वास(0.03,एसटीडीवी(बी2:बी13),काउंट(बी2:बी13))

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्सेल प्रोग्राम के उपकरण आत्मविश्वास अंतराल और इसकी सीमाओं की गणना को काफी सुविधाजनक बनाना संभव बनाते हैं। इन उद्देश्यों के लिए, अलग-अलग ऑपरेटरों का उपयोग उन नमूनों के लिए किया जाता है जिनका विचरण ज्ञात और अज्ञात है।

और अन्य। वे सभी अपने सैद्धांतिक समकक्षों के अनुमान हैं, जो एक नमूना नहीं, बल्कि सामान्य आबादी होने पर प्राप्त किया जा सकता है। लेकिन अफसोस, आम जनता बहुत महंगी है और अक्सर अनुपलब्ध रहती है।

अंतराल अनुमान की अवधारणा

किसी भी नमूना अनुमान में कुछ बिखराव होता है, क्योंकि एक विशेष नमूने में मूल्यों के आधार पर एक यादृच्छिक चर है। इसलिए, अधिक विश्वसनीय सांख्यिकीय अनुमानों के लिए, किसी को न केवल बिंदु अनुमान, बल्कि अंतराल भी जानना चाहिए, जिसकी उच्च संभावना है γ (गामा) अनुमानित संकेतक को कवर करता है θ (थीटा)।

औपचारिक रूप से, ये दो ऐसे मान (आँकड़े) हैं टी 1 (एक्स)और टी 2 (एक्स), क्या टी1< T 2 , जिसके लिए संभाव्यता के एक निश्चित स्तर पर γ शर्त पूरी होती है:

संक्षेप में, यह संभावना है γ या अधिक सही मान बिंदुओं के बीच है टी 1 (एक्स)और टी 2 (एक्स), जिन्हें निचली और ऊपरी सीमा कहा जाता है विश्वास अंतराल.

आत्मविश्वास अंतराल के निर्माण की शर्तों में से एक इसकी अधिकतम संकीर्णता है, अर्थात। यह यथासंभव छोटा होना चाहिए। इच्छा बिलकुल स्वाभाविक है, क्योंकि। शोधकर्ता वांछित पैरामीटर की खोज को अधिक सटीक रूप से स्थानीयकृत करने का प्रयास करता है।

यह इस प्रकार है कि विश्वास अंतराल को वितरण की अधिकतम संभावनाओं को कवर करना चाहिए। और स्कोर ही केंद्र में हो।

यानी ऊपर की ओर विचलन (अनुमान से सही संकेतक की) की संभावना नीचे की ओर विचलन की संभावना के बराबर है। यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि विषम वितरण के लिए, दाईं ओर का अंतराल बाईं ओर के अंतराल के बराबर नहीं है।

ऊपर दिया गया आंकड़ा स्पष्ट रूप से दिखाता है कि आत्मविश्वास का स्तर जितना अधिक होगा, अंतराल उतना ही व्यापक होगा - एक सीधा संबंध।

यह अज्ञात मापदंडों के अंतराल आकलन के सिद्धांत का एक छोटा सा परिचय था। आइए गणितीय अपेक्षा के लिए आत्मविश्वास की सीमा खोजने के लिए आगे बढ़ें।

गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल

यदि मूल डेटा को वितरित किया जाता है, तो औसत सामान्य मान होगा। यह इस नियम से चलता है कि सामान्य मूल्यों के रैखिक संयोजन का भी सामान्य वितरण होता है। इसलिए, संभावनाओं की गणना करने के लिए, हम सामान्य वितरण कानून के गणितीय तंत्र का उपयोग कर सकते हैं।

हालांकि, इसके लिए दो मापदंडों के ज्ञान की आवश्यकता होगी - अपेक्षित मूल्य और विचरण, जो आमतौर पर ज्ञात नहीं होते हैं। बेशक, आप मापदंडों (अंकगणित माध्य और) के बजाय अनुमानों का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन तब माध्य का वितरण बिल्कुल सामान्य नहीं होगा, यह थोड़ा चपटा हो जाएगा। आयरलैंड के नागरिक विलियम गॉसेट ने इस तथ्य को बखूबी नोट किया जब उन्होंने बायोमेट्रिका के मार्च 1908 के अंक में अपनी खोज प्रकाशित की। गोपनीयता के उद्देश्य से, गॉसेट ने छात्र के साथ हस्ताक्षर किए। इस प्रकार विद्यार्थी का t-वितरण प्रकट हुआ।

हालांकि, खगोलीय प्रेक्षणों में त्रुटियों के विश्लेषण में के. गॉस द्वारा उपयोग किए गए डेटा का सामान्य वितरण, स्थलीय जीवन में अत्यंत दुर्लभ है और इसे स्थापित करना काफी कठिन है (उच्च सटीकता के लिए, लगभग 2 हजार टिप्पणियों की आवश्यकता होती है)। इसलिए, सामान्यता की धारणा को छोड़ना और उन तरीकों का उपयोग करना सबसे अच्छा है जो मूल डेटा के वितरण पर निर्भर नहीं करते हैं।

प्रश्न उठता है: यदि किसी अज्ञात वितरण के डेटा से गणना की जाती है तो अंकगणितीय माध्य का वितरण क्या होता है? उत्तर सुप्रसिद्ध प्रायिकता सिद्धांत द्वारा दिया गया है केंद्रीय सीमा प्रमेय(सीपीटी)। गणित में, इसके कई संस्करण हैं (वर्षों में सूत्रों को परिष्कृत किया गया है), लेकिन उनमें से सभी मोटे तौर पर इस कथन पर आते हैं कि बड़ी संख्या में स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग सामान्य वितरण कानून का पालन करता है।

अंकगणित माध्य की गणना करते समय, यादृच्छिक चर के योग का उपयोग किया जाता है। इससे यह पता चलता है कि अंकगणितीय माध्य का एक सामान्य वितरण होता है, जिसमें अपेक्षित मूल्य मूल डेटा का अपेक्षित मूल्य होता है, और विचरण होता है।

स्मार्ट लोग सीएलटी को साबित करना जानते हैं, लेकिन हम इसे एक्सेल में किए गए एक प्रयोग की मदद से सत्यापित करेंगे। आइए 50 समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर (एक्सेल फ़ंक्शन RANDOMBETWEEN का उपयोग करके) का एक नमूना अनुकरण करें। फिर हम ऐसे 1000 नमूने बनाएंगे और प्रत्येक के लिए अंकगणितीय माध्य की गणना करेंगे। आइए उनके वितरण को देखें।

यह देखा जा सकता है कि औसत का वितरण सामान्य कानून के करीब है। यदि नमूनों की मात्रा और उनकी संख्या को और भी बड़ा कर दिया जाए, तो समानता और भी बेहतर हो जाएगी।

अब जब हमने अपने लिए सीएलटी की वैधता देख ली है, तो हम अंकगणितीय माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना कर सकते हैं, जो किसी दिए गए संभाव्यता के साथ सही माध्य या गणितीय अपेक्षा को कवर करता है।

ऊपरी और निचली सीमाओं को स्थापित करने के लिए, सामान्य वितरण के मापदंडों को जानना आवश्यक है। एक नियम के रूप में, वे नहीं हैं, इसलिए अनुमानों का उपयोग किया जाता है: अंकगणित औसतऔर नमूना विचरण. फिर से, यह विधि केवल बड़े नमूनों के लिए एक अच्छा सन्निकटन देती है। जब नमूने छोटे होते हैं, तो अक्सर छात्र के वितरण का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है। विश्वास मत करो! माध्य के लिए विद्यार्थी का वितरण तभी होता है जब मूल डेटा का सामान्य वितरण होता है, यानी लगभग कभी नहीं। इसलिए, आवश्यक डेटा की मात्रा के लिए न्यूनतम बार तुरंत सेट करना और विषम रूप से सही तरीकों का उपयोग करना बेहतर है। वे कहते हैं कि 30 अवलोकन पर्याप्त हैं। 50 लो - तुम गलत नहीं हो सकते।

टी 1.2विश्वास अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाएँ हैं

- नमूना अंकगणित माध्य

एस0- नमूना मानक विचलन (निष्पक्ष)

एन - नमूने का आकार

γ - आत्मविश्वास का स्तर (आमतौर पर 0.9, 0.95 या 0.99) के बराबर

सी γ =Φ -1 ((1+γ)/2)मानक सामान्य वितरण फ़ंक्शन का पारस्परिक है। सरल शब्दों में, यह अंकगणित माध्य से निचली या ऊपरी सीमा तक मानक त्रुटियों की संख्या है (संकेतित तीन संभावनाएं 1.64, 1.96 और 2.58 के मानों के अनुरूप हैं)।

सूत्र का सार यह है कि अंकगणित माध्य लिया जाता है और फिर उसमें से एक निश्चित राशि अलग कर दी जाती है ( . के साथ) मानक त्रुटियां ( एस 0 /√n) सब कुछ ज्ञात है, इसे लो और गिनें।

पीसी के बड़े पैमाने पर उपयोग से पहले, सामान्य वितरण फ़ंक्शन और इसके व्युत्क्रम के मूल्यों को प्राप्त करने के लिए, उन्होंने . वे अभी भी उपयोग किए जाते हैं, लेकिन तैयार एक्सेल फ़ार्मुलों की ओर मुड़ना अधिक कुशल है। उपरोक्त सूत्र ( , और ) के सभी तत्वों की गणना एक्सेल में आसानी से की जा सकती है। लेकिन कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना के लिए एक रेडीमेड फॉर्मूला भी है - विश्वास मानदंड. इसका सिंटैक्स निम्न है।

विश्वास मानदंड (अल्फा, मानक_देव, आकार)

अल्फा- महत्व स्तर या आत्मविश्वास का स्तर, जो उपरोक्त संकेतन में 1-γ के बराबर है, अर्थात। संभावना है कि गणितीयउम्मीद विश्वास अंतराल के बाहर होगी। 0.95 के आत्मविश्वास स्तर के साथ, अल्फा 0.05 है, और इसी तरह।

मानक_ऑफनमूना डेटा का मानक विचलन है। आपको मानक त्रुटि की गणना करने की आवश्यकता नहीं है, एक्सेल n की जड़ से विभाजित होगा।

आकार- नमूना आकार (एन)।

CONFIDENCE.NORM फ़ंक्शन का परिणाम विश्वास अंतराल की गणना के लिए सूत्र से दूसरा शब्द है, अर्थात। आधा अंतराल। तदनुसार, निचले और ऊपरी बिंदु औसत ± प्राप्त मूल्य हैं।

इस प्रकार, अंकगणित माध्य के लिए विश्वास अंतराल की गणना के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिथ्म बनाना संभव है, जो प्रारंभिक डेटा के वितरण पर निर्भर नहीं करता है। सार्वभौमिकता की कीमत इसकी स्पर्शोन्मुख प्रकृति है, अर्थात। अपेक्षाकृत बड़े नमूनों का उपयोग करने की आवश्यकता। हालांकि, आधुनिक तकनीक के युग में, सही मात्रा में डेटा एकत्र करना आमतौर पर मुश्किल नहीं होता है।

एक विश्वास अंतराल का उपयोग करके सांख्यिकीय परिकल्पना का परीक्षण करना

(मॉड्यूल 111)

सांख्यिकी में हल की जाने वाली मुख्य समस्याओं में से एक है। संक्षेप में इसका सार यही है। उदाहरण के लिए, एक धारणा बनाई जाती है कि सामान्य जनसंख्या की अपेक्षा कुछ मूल्य के बराबर होती है। फिर नमूना साधनों के वितरण का निर्माण किया जाता है, जिसे एक निश्चित अपेक्षा के साथ देखा जा सकता है। इसके बाद, हम देखते हैं कि इस सशर्त वितरण में वास्तविक औसत कहाँ स्थित है। यदि यह स्वीकार्य सीमा से अधिक हो जाता है, तो इस तरह के औसत की उपस्थिति बहुत ही असंभव है, और प्रयोग की एक पुनरावृत्ति के साथ यह लगभग असंभव है, जो कि परिकल्पना के विपरीत है, जिसे सफलतापूर्वक खारिज कर दिया गया है। यदि औसत महत्वपूर्ण स्तर से आगे नहीं जाता है, तो परिकल्पना को खारिज नहीं किया जाता है (लेकिन यह भी साबित नहीं होता है!)

तो, विश्वास अंतराल की सहायता से, हमारे मामले में अपेक्षा के लिए, आप कुछ परिकल्पनाओं का परीक्षण भी कर सकते हैं। यह करना बहुत आसान है। मान लीजिए कि किसी नमूने के लिए अंकगणितीय माध्य 100 है। परिकल्पना का परीक्षण किया जा रहा है कि अपेक्षित मान, मान लीजिए, 90 है। अर्थात, यदि हम प्रश्न को मूल रूप से रखते हैं, तो ऐसा लगता है: क्या यह हो सकता है कि वास्तविक मूल्य के साथ औसत 90 के बराबर, देखा गया औसत 100 था?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, मानक विचलन और नमूना आकार पर अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता होगी। मान लें कि मानक विचलन 30 है, और अवलोकनों की संख्या 64 है (मूल को आसानी से निकालने के लिए)। तब माध्य की मानक त्रुटि 30/8 या 3.75 है। 95% विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए, आपको माध्य के दोनों ओर दो मानक त्रुटियों को अलग रखना होगा (अधिक सटीक रूप से, 1.96)। विश्वास अंतराल लगभग 100 ± 7.5, या 92.5 से 107.5 तक होगा।

आगे तर्क इस प्रकार है। यदि परीक्षण किया गया मान विश्वास अंतराल के भीतर आता है, तो यह परिकल्पना का खंडन नहीं करता है, क्योंकि यादृच्छिक उतार-चढ़ाव की सीमा के भीतर फिट बैठता है (95% की संभावना के साथ)। यदि परीक्षण बिंदु विश्वास अंतराल के बाहर है, तो ऐसी घटना की संभावना बहुत कम है, किसी भी मामले में स्वीकार्य स्तर से नीचे। अतः परिकल्पना को प्रेक्षित आँकड़ों के विपरीत बताते हुए अस्वीकृत किया जाता है। हमारे मामले में, उम्मीद की परिकल्पना विश्वास अंतराल के बाहर है (90 का परीक्षण मूल्य 100 ± 7.5 के अंतराल में शामिल नहीं है), इसलिए इसे अस्वीकार कर दिया जाना चाहिए। उपरोक्त आदिम प्रश्न का उत्तर देते हुए, किसी को कहना चाहिए: नहीं, यह किसी भी स्थिति में नहीं हो सकता है, ऐसा बहुत कम होता है। अक्सर, यह परिकल्पना (पी-स्तर) की गलत अस्वीकृति की एक विशिष्ट संभावना को इंगित करता है, न कि किसी दिए गए स्तर के अनुसार, जिसके अनुसार आत्मविश्वास अंतराल बनाया गया था, लेकिन उस पर एक और समय।

जैसा कि आप देख सकते हैं, माध्य (या गणितीय अपेक्षा) के लिए एक विश्वास अंतराल बनाना मुश्किल नहीं है। मुख्य बात सार को पकड़ना है, और फिर चीजें चली जाएंगी। व्यवहार में, अधिकांश 95% विश्वास अंतराल का उपयोग करते हैं, जो कि माध्य के दोनों ओर लगभग दो मानक त्रुटियां हैं।

अभी के लिए इतना ही। शुभकामनाएं!

इस लेख से आप सीखेंगे:

क्या विश्वास अंतराल?

क्या बात है 3 सिग्मा नियम?

इस ज्ञान को कैसे व्यवहार में लाया जा सकता है?

आजकल, उत्पादों, बिक्री निर्देशों, कर्मचारियों, गतिविधियों आदि के एक बड़े वर्गीकरण से जुड़ी सूचनाओं की अधिकता के कारण, मुख्य चुनना मुश्किल है, जो, सबसे पहले, ध्यान देने योग्य है और प्रबंधन के लिए प्रयास करने योग्य है। परिभाषा विश्वास अंतरालऔर वास्तविक मूल्यों की अपनी सीमाओं से परे जाने का विश्लेषण - एक ऐसी तकनीक जो स्थितियों की पहचान करने में आपकी सहायता करें, प्रवृत्तियों को प्रभावित करना।आप सकारात्मक कारकों को विकसित करने और नकारात्मक कारकों के प्रभाव को कम करने में सक्षम होंगे। इस तकनीक का इस्तेमाल दुनिया की कई नामी कंपनियों में किया जाता है।

तथाकथित हैं अलर्ट", कौन सा प्रबंधकों को सूचित करेंयह बताते हुए कि एक निश्चित दिशा में अगला मान परे चला गया विश्वास अंतराल. इसका क्या मतलब है? यह एक संकेत है कि कुछ गैर-मानक घटना हुई है, जो इस दिशा में मौजूदा प्रवृत्ति को बदल सकती है। यह संकेत हैउस के लिए इसका समाधान करेंस्थिति में और समझें कि इससे क्या प्रभावित हुआ।

उदाहरण के लिए, कई स्थितियों पर विचार करें। हमने 2011 के लिए 100 कमोडिटी वस्तुओं के लिए पूर्वानुमान सीमाओं के साथ बिक्री पूर्वानुमान की गणना महीनों और मार्च में वास्तविक बिक्री के लिए की है:

1. "सूरजमुखी के तेल" के लिए वे पूर्वानुमान की ऊपरी सीमा को पार कर गए और विश्वास अंतराल में नहीं आए।
2. "सूखी खमीर" के लिए पूर्वानुमान की निचली सीमा से आगे निकल गया।
3. "दलिया दलिया" पर ऊपरी सीमा के माध्यम से तोड़ दिया।

बाकी सामानों के लिए, वास्तविक बिक्री निर्दिष्ट पूर्वानुमान सीमा के भीतर थी। वे। उनकी बिक्री उम्मीदों के अनुरूप रही। इसलिए, हमने 3 उत्पादों की पहचान की जो सीमाओं से परे गए, और यह पता लगाना शुरू किया कि सीमाओं से परे जाने पर क्या प्रभाव पड़ा:

1. सनफ्लावर ऑयल के साथ, हमने एक नए ट्रेडिंग नेटवर्क में प्रवेश किया, जिससे हमें अतिरिक्त बिक्री की मात्रा मिली, जिससे ऊपरी सीमा से आगे निकल गया। इस उत्पाद के लिए, इस श्रृंखला की बिक्री के पूर्वानुमान को ध्यान में रखते हुए, वर्ष के अंत तक पूर्वानुमान की पुनर्गणना करना उचित है।
2. ड्राई यीस्ट के लिए कार कस्टम पर अटक गई और 5 दिनों के भीतर ही कमी हो गई, जिससे बिक्री में गिरावट और निचली सीमा से आगे जाने पर असर पड़ा। यह पता लगाना सार्थक हो सकता है कि क्या कारण है और इस स्थिति को दोहराने की कोशिश न करें।
3. ओटमील के लिए, एक बिक्री प्रचार शुरू किया गया था, जिसके परिणामस्वरूप बिक्री में उल्लेखनीय वृद्धि हुई और पूर्वानुमान की अधिकता हुई।

हमने 3 कारकों की पहचान की जो पूर्वानुमान के ओवरशूट को प्रभावित करते थे। जीवन में उनमें से कई और हो सकते हैं। पूर्वानुमान और योजना की सटीकता में सुधार करने के लिए, कारक जो इस तथ्य की ओर ले जाते हैं कि वास्तविक बिक्री पूर्वानुमान से परे जा सकती है, यह उनके लिए अलग से पूर्वानुमान और योजनाओं को उजागर करने और बनाने के लायक है। और फिर मुख्य बिक्री पूर्वानुमान पर उनके प्रभाव को ध्यान में रखें। आप इन कारकों के प्रभाव का नियमित रूप से मूल्यांकन भी कर सकते हैं और स्थिति को बेहतर के लिए बदल सकते हैं नकारात्मक के प्रभाव को कम करके और सकारात्मक कारकों के प्रभाव को बढ़ाकर.

विश्वास अंतराल के साथ, हम यह कर सकते हैं:

1. गंतव्यों को हाइलाइट करें, जो ध्यान देने योग्य हैं, क्योंकि इन क्षेत्रों में ऐसी घटनाएं हुई हैं जो प्रभावित कर सकती हैं ट्रेंड में बदलाव.
2. कारक निर्धारित करेंजो वास्तव में फर्क करते हैं।
3. मंजूर करना भारित निर्णय(उदाहरण के लिए, खरीद के बारे में, योजना बनाते समय, आदि)।

अब आइए देखें कि एक कॉन्फिडेंस इंटरवल क्या है और एक उदाहरण का उपयोग करके एक्सेल में इसकी गणना कैसे करें।

कॉन्फिडेंस इंटरवल क्या है?

विश्वास अंतराल पूर्वानुमान सीमाएं (ऊपरी और निचला) है, जिसके भीतर दी गई प्रायिकता (सिग्मा) के साथवास्तविक मान प्राप्त करें।

वे। हम पूर्वानुमान की गणना करते हैं - यह हमारा मुख्य बेंचमार्क है, लेकिन हम समझते हैं कि वास्तविक मूल्य हमारे पूर्वानुमान के बराबर 100% होने की संभावना नहीं है। और सवाल उठता है किस हद तकवास्तविक मूल्य प्राप्त कर सकते हैं, अगर मौजूदा रुझान जारी रहा? और यह सवाल हमें जवाब देने में मदद करेगा आत्मविश्वास अंतराल गणना, अर्थात। - पूर्वानुमान की ऊपरी और निचली सीमा।

दी गई प्रायिकता सिग्मा क्या है?

गणना करते समयविश्वास अंतराल हम कर सकते हैं संभावना सेट करें हिट्सवास्तविक मूल्य दी गई पूर्वानुमान सीमाओं के भीतर. यह कैसे करना है? ऐसा करने के लिए, हम सिग्मा का मान निर्धारित करते हैं और, यदि सिग्मा इसके बराबर है:

3 सिग्मा- फिर, कॉन्फिडेंस इंटरवल में अगले वास्तविक मान को हिट करने की संभावना 99.7%, या 300 से 1 होगी, या सीमाओं से परे जाने की 0.3% संभावना है।

2 सिग्मा- फिर, सीमाओं के भीतर अगले मान से टकराने की संभावना 95.5% है, अर्थात। ऑड्स लगभग 20 से 1 हैं, या सीमा से बाहर जाने की 4.5% संभावना है।

1 सिग्मा- तो, ​​प्रायिकता 68.3% है, अर्थात। संभावना लगभग 2 से 1 है, या 31.7% संभावना है कि अगला मान कॉन्फिडेंस इंटरवल से बाहर हो जाएगा।

हमने तैयार किया 3 सिग्मा नियम,जो कहता है कि हिट संभावनाएक और यादृच्छिक मूल्य विश्वास अंतराल मेंदिए गए मान के साथ थ्री सिग्मा 99.7% है.

महान रूसी गणितज्ञ चेबीशेव ने एक प्रमेय साबित किया कि तीन सिग्मा के दिए गए मूल्य के साथ पूर्वानुमान की सीमाओं से परे जाने का 10% मौका है। वे। 3 सिग्मा विश्वास अंतराल में गिरने की संभावना कम से कम 90% होगी, जबकि पूर्वानुमान और इसकी सीमाओं की "आंख से" गणना करने का प्रयास बहुत अधिक महत्वपूर्ण त्रुटियों से भरा है।

एक्सेल में आत्मविश्वास अंतराल की स्वतंत्र रूप से गणना कैसे करें?

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके एक्सेल (यानी पूर्वानुमान की ऊपरी और निचली सीमा) में विश्वास अंतराल की गणना पर विचार करें। हमारे पास एक समय श्रृंखला है - 5 वर्षों के लिए महीनों तक बिक्री। संलग्न फाइल देखें।

पूर्वानुमान की सीमाओं की गणना करने के लिए, हम गणना करते हैं:

1. बिक्री पूर्वानुमान().
2. सिग्मा - मानक विचलनवास्तविक मूल्यों से पूर्वानुमान मॉडल।
3. तीन सिग्मा।
4. विश्वास अंतराल।

1. बिक्री पूर्वानुमान।

=(आरसी[-14] (समय श्रृंखला में डेटा)-आरसी [-1] (मॉडल मूल्य))^2(वर्ग)

3. प्रत्येक महीने के लिए चरण 8 से विचलन मान योग((Xi-Ximod)^2), अर्थात। आइए प्रत्येक वर्ष के लिए जनवरी, फरवरी... का योग करें।

ऐसा करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें =SUMIF()

SUMIF(चक्र के अंदर की अवधियों की संख्या के साथ सरणी (1 से 12 तक के महीनों के लिए); चक्र में अवधि की संख्या के संदर्भ में; प्रारंभिक डेटा और के मूल्यों के बीच अंतर के वर्गों के साथ एक सरणी का संदर्भ अवधि)

4. चक्र में प्रत्येक अवधि के लिए 1 से 12 तक मानक विचलन की गणना करें (चरण 10 .) संलग्न फाइल में).

ऐसा करने के लिए, चरण 9 में गणना किए गए मान से, हम रूट निकालते हैं और इस चक्र में अवधियों की संख्या से विभाजित करते हैं माइनस 1 = ROOT((Sum(Xi-Ximod)^2/(n-1))

आइए एक्सेल में सूत्रों का उपयोग करें =रूट(R8 .) (संदर्भ (Sum(Xi-Ximod)^2)/(COUNTIF($O$8:$O$67 (चक्र संख्याओं के साथ एक सरणी का संदर्भ); O8 (एक विशिष्ट चक्र संख्या का संदर्भ, जिसे हम सरणी में मानते हैं))-1))

एक्सेल सूत्र का उपयोग करना = COUNTIFहम संख्या n . गिनते हैं

पूर्वानुमान मॉडल से वास्तविक डेटा के मानक विचलन की गणना करके, हमने प्रत्येक माह के लिए सिग्मा मान प्राप्त किया - चरण 10 संलग्न फाइल में ।

3. 3 सिग्मा की गणना करें।

चरण 11 में, हम सिग्मा की संख्या निर्धारित करते हैं - हमारे उदाहरण में, "3" (चरण 11 .) संलग्न फाइल में):

इसके अलावा व्यावहारिक सिग्मा मूल्य:

1.64 सिग्मा - सीमा से अधिक जाने की 10% संभावना (10 में 1 मौका);

1.96 सिग्मा - सीमा से बाहर जाने का 5% मौका (20 में 1 मौका);

2.6 सिग्मा - सीमा से बाहर जाने का 1% मौका (100 में से 1 मौका)।

5) हम तीन सिग्मा की गणना करते हैं, इसके लिए हम प्रत्येक माह के लिए "सिग्मा" मानों को "3" से गुणा करते हैं।

3. विश्वास अंतराल निर्धारित करें।

1. ऊपरी पूर्वानुमान सीमा- वृद्धि और मौसमी + (प्लस) 3 सिग्मा को ध्यान में रखते हुए बिक्री पूर्वानुमान;
2. कम पूर्वानुमान बाध्य- विकास और मौसमी को ध्यान में रखते हुए बिक्री पूर्वानुमान - (माइनस) 3 सिग्मा;

लंबी अवधि के लिए विश्वास अंतराल की गणना की सुविधा के लिए (संलग्न फ़ाइल देखें), हम एक्सेल सूत्र का उपयोग करते हैं =Y8+VLOOKUP(W8;$U$8:$V$19;2;0), कहाँ पे

Y8- बिक्री पूर्वानुमान;

W8- उस महीने की संख्या जिसके लिए हम 3 सिग्मा का मान लेंगे;

वे। ऊपरी पूर्वानुमान सीमा= "बिक्री पूर्वानुमान" + "3 सिग्मा" (उदाहरण में, VLOOKUP(महीने की संख्या; 3 सिग्मा मानों वाली तालिका; कॉलम जिसमें से हम संबंधित पंक्ति में महीने की संख्या के बराबर सिग्मा मान निकालते हैं; 0))।

कम पूर्वानुमान बाध्य= "बिक्री पूर्वानुमान" घटा "3 सिग्मा"।

इसलिए, हमने एक्सेल में कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना की है।

अब हमारे पास एक पूर्वानुमान और सीमाओं के साथ एक सीमा है जिसके भीतर वास्तविक मान दिए गए प्रायिकता सिग्मा के साथ गिरेंगे।

इस लेख में, हमने देखा कि सिग्मा और थ्री सिग्मा नियम क्या हैं, आत्मविश्वास अंतराल कैसे निर्धारित करें, और व्यवहार में आप इस तकनीक का क्या उपयोग कर सकते हैं।

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अक्सर मूल्यांकक को उस खंड के अचल संपत्ति बाजार का विश्लेषण करना पड़ता है जिसमें मूल्यांकन वस्तु स्थित होती है। यदि बाजार विकसित होता है, तो प्रस्तुत वस्तुओं के पूरे सेट का विश्लेषण करना मुश्किल हो सकता है, इसलिए विश्लेषण के लिए वस्तुओं के नमूने का उपयोग किया जाता है। यह नमूना हमेशा सजातीय नहीं होता है, कभी-कभी इसे चरम सीमाओं से मुक्त करने की आवश्यकता होती है - बहुत अधिक या बहुत कम बाजार की पेशकश। इस उद्देश्य के लिए, इसे लागू किया जाता है विश्वास अंतराल. इस अध्ययन का उद्देश्य विश्वास अंतराल की गणना के लिए दो विधियों का तुलनात्मक विश्लेषण करना और estimatica.pro सिस्टम में विभिन्न नमूनों के साथ काम करते समय सर्वोत्तम गणना विकल्प चुनना है।

विश्वास अंतराल - नमूने के आधार पर गणना की जाती है, विशेषता के मूल्यों का अंतराल, जिसमें एक ज्ञात संभावना के साथ सामान्य जनसंख्या का अनुमानित पैरामीटर होता है।

विश्वास अंतराल की गणना का अर्थ नमूना डेटा के आधार पर इस तरह के अंतराल का निर्माण करना है ताकि किसी निश्चित संभावना के साथ यह कहा जा सके कि अनुमानित पैरामीटर का मान इस अंतराल में है। दूसरे शब्दों में, एक निश्चित संभावना के साथ विश्वास अंतराल में अनुमानित मात्रा का अज्ञात मूल्य होता है। अंतराल जितना व्यापक होगा, अशुद्धि उतनी ही अधिक होगी।

कॉन्फिडेंस इंटरवल को निर्धारित करने के लिए अलग-अलग तरीके हैं। इस लेख में, हम 2 तरीकों पर विचार करेंगे:

• माध्यिका और मानक विचलन के माध्यम से;
• टी-सांख्यिकी (छात्र के गुणांक) के महत्वपूर्ण मूल्य के माध्यम से।

सीआई की गणना के लिए विभिन्न तरीकों के तुलनात्मक विश्लेषण के चरण:

1. एक डेटा नमूना बनाएं;

2. हम इसे सांख्यिकीय विधियों से संसाधित करते हैं: हम माध्य मान, माध्यिका, प्रसरण आदि की गणना करते हैं;

3. हम विश्वास अंतराल की गणना दो तरीकों से करते हैं;

4. साफ किए गए नमूनों और प्राप्त विश्वास अंतराल का विश्लेषण करें।

चरण 1. डेटा नमूनाकरण

नमूना estimatica.pro प्रणाली का उपयोग करके बनाया गया था। नमूने में "ख्रुश्चेव" योजना के प्रकार के साथ तीसरे मूल्य क्षेत्र में 1-कमरे वाले अपार्टमेंट की बिक्री के लिए 91 ऑफ़र शामिल थे।

तालिका 1. प्रारंभिक नमूना

	1 sq.m. की कीमत, c.u.

चित्र .1। प्रारंभिक नमूना

चरण 2. प्रारंभिक नमूने का प्रसंस्करण

सांख्यिकीय विधियों द्वारा नमूना प्रसंस्करण के लिए निम्नलिखित मूल्यों की गणना की आवश्यकता होती है:

1. अंकगणित माध्य

2. माध्यिका - एक संख्या जो नमूने की विशेषता बताती है: नमूना तत्वों का ठीक आधा माध्यिका से बड़ा होता है, दूसरा आधा माध्यिका से कम होता है

(एक विषम संख्या के मानों वाले नमूने के लिए)

3. रेंज - नमूने में अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर

4. भिन्नता - डेटा में भिन्नता का अधिक सटीक अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है

5. नमूने के लिए मानक विचलन (बाद में आरएमएस के रूप में संदर्भित) अंकगणितीय माध्य के आसपास समायोजन मूल्यों के फैलाव का सबसे सामान्य संकेतक है।

6. भिन्नता का गुणांक - समायोजन मूल्यों के फैलाव की डिग्री को दर्शाता है

7. दोलन गुणांक - औसत के आसपास के नमूने में कीमतों के चरम मूल्यों के सापेक्ष उतार-चढ़ाव को दर्शाता है

तालिका 2. मूल नमूने के सांख्यिकीय संकेतक

भिन्नता का गुणांक, जो डेटा की एकरूपता की विशेषता है, 12.29% है, लेकिन दोलन का गुणांक बहुत बड़ा है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि मूल नमूना सजातीय नहीं है, तो आइए विश्वास अंतराल की गणना के लिए आगे बढ़ते हैं।

चरण 3. विश्वास अंतराल की गणना

विधि 1. माध्यिका और मानक विचलन के माध्यम से गणना।

विश्वास अंतराल निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है: न्यूनतम मान - मानक विचलन माध्यिका से घटाया जाता है; अधिकतम मान - मानक विचलन को माध्यिका में जोड़ा जाता है।

इस प्रकार, कॉन्फिडेंस इंटरवल (47179 सीयू; 60689 सीयू)

चावल। 2. विश्वास अंतराल के भीतर मान 1.

विधि 2. टी-सांख्यिकी के महत्वपूर्ण मूल्य (छात्र गुणांक) के माध्यम से एक आत्मविश्वास अंतराल का निर्माण

एस.वी. ग्रिबोव्स्की ने "संपत्ति के मूल्य का आकलन करने के लिए गणितीय तरीके" पुस्तक में छात्र के गुणांक के माध्यम से आत्मविश्वास अंतराल की गणना के लिए एक विधि का वर्णन किया है। इस पद्धति द्वारा गणना करते समय, अनुमानक को स्वयं महत्व स्तर निर्धारित करना चाहिए, जो उस संभावना को निर्धारित करता है जिसके साथ विश्वास अंतराल बनाया जाएगा। 0.1 के महत्व के स्तर आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं; 0.05 और 0.01। वे 0.9 की विश्वास संभावनाओं के अनुरूप हैं; 0.95 और 0.99। इस पद्धति के साथ, गणितीय अपेक्षा और विचरण के वास्तविक मूल्यों को व्यावहारिक रूप से अज्ञात माना जाता है (जो व्यावहारिक मूल्यांकन समस्याओं को हल करते समय लगभग हमेशा सत्य होता है)।

कॉन्फिडेंस इंटरवल फॉर्मूला:

एन - नमूना आकार;

महत्व स्तर के साथ टी-सांख्यिकी (छात्र का वितरण) का महत्वपूर्ण मूल्य, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n-1, जो विशेष सांख्यिकीय तालिकाओं या एमएस एक्सेल (→ "सांख्यिकीय" → STUDRASPOBR) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है;

- महत्व स्तर, हम ∝=0.01 लेते हैं।

चावल। 2. विश्वास अंतराल के भीतर मान 2.

चरण 4. विश्वास अंतराल की गणना करने के विभिन्न तरीकों का विश्लेषण

विश्वास अंतराल की गणना के दो तरीकों - माध्यिका और छात्र के गुणांक के माध्यम से - अंतराल के विभिन्न मूल्यों को जन्म दिया। तदनुसार, दो अलग-अलग शुद्ध नमूने प्राप्त किए गए थे।

तालिका 3. तीन नमूनों के लिए सांख्यिकीय संकेतक।

सूचक	प्रारंभिक नमूना	1 विकल्प	विकल्प 2
अर्थ
फैलाव
कोफ. विविधताओं
कोफ. दोलनों
सेवानिवृत्त वस्तुओं की संख्या, पीसी।

प्रदर्शन की गई गणनाओं के आधार पर, हम कह सकते हैं कि विभिन्न तरीकों से प्राप्त विश्वास अंतराल के मान प्रतिच्छेद करते हैं, इसलिए आप मूल्यांकक के विवेक पर गणना के किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं।

हालांकि, हम मानते हैं कि एस्टिमेटिका.प्रो सिस्टम में काम करते समय, बाजार के विकास की डिग्री के आधार पर, विश्वास अंतराल की गणना के लिए एक विधि चुनना उचित है:

• यदि बाजार विकसित नहीं है, तो माध्यिका और मानक विचलन के माध्यम से गणना की विधि लागू करें, क्योंकि इस मामले में सेवानिवृत्त वस्तुओं की संख्या कम है;
• यदि बाजार विकसित है, तो टी-सांख्यिकी (छात्र गुणांक) के महत्वपूर्ण मूल्य के माध्यम से गणना लागू करें, क्योंकि एक बड़ा प्रारंभिक नमूना बनाना संभव है।

लेख तैयार करने में उपयोग किया गया था:

1. ग्रिबोव्स्की एस.वी., सिवेट्स एस.ए., लेविकिना आई.ए. संपत्ति के मूल्य का आकलन करने के लिए गणितीय तरीके। मॉस्को, 2014

2. estimatica.pro सिस्टम से डेटा