एक निश्चित बिंदु C के निर्देशांक की गणना, जो किसी दिए गए खंड AB को एक निश्चित अनुपात में विभाजित करती है, सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है:

= (хА + ) / (1 + λ), уС = (уА + уВ) / (1 + ),

जहां (xA; yA) और (xB; yB) दिए गए खंड AB के सिरों के निर्देशांक हैं; संख्या λ \u003d AC / CB वह अनुपात है जिसमें खंड AB को बिंदु C से विभाजित किया जाता है, जिसमें निर्देशांक (xC; yC) होते हैं।

यदि खंड AB को बिंदु C से आधे में विभाजित किया जाता है, तो संख्या \u003d 1 और xC और yC के सूत्र रूप लेंगे:

एक्ससी = (एक्सए + एक्सबी)/2, वाईसी = (वाईए + वाईबी)/2।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि कार्यों में खंडों की लंबाई का अनुपात है, और इसलिए इस अनुपात में शामिल संख्या माप की दी गई इकाई में स्वयं खंडों की लंबाई नहीं है। उदाहरण के लिए, एसी = 12 सेमी, सीबी = 16 सेमी: λ = एसी/सीबी = 12 सेमी / 16 सेमी = 3/4।

1. एक निश्चित खंड के मध्य के निर्देशांक को उसके सिरों के दिए गए निर्देशांक के अनुसार खोजें

उदाहरण 1

बिंदु A (-2; 3) और B (6; -9) खंड AB के सिरे हैं। बिंदु C ज्ञात कीजिए, जो खंड AB का मध्यबिंदु है।

समाधान।

समस्या की स्थिति में, यह निर्दिष्ट किया जाता है कि xA = -2; एक्सबी = 6; वाईए = 3 और वाईबी = -9। C(xC; yC) ज्ञात करना आवश्यक है।

सूत्र xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

xC \u003d (-2 + 6) / 2 \u003d 2, yC \u003d (3 + (-9)) / 2 \u003d -3।

इस प्रकार, बिंदु C, जो कि खंड AB का मध्यबिंदु है, के निर्देशांक (-2; 3) हैं। (चित्र एक)।
2. एक निश्चित खंड के अंत के निर्देशांक की गणना, इसके मध्य और दूसरे छोर के निर्देशांक जानने के लिए

उदाहरण 2

खंड AB का एक सिरा बिंदु A है, जिसमें निर्देशांक (-3; -5) हैं, और इसका मध्य बिंदु बिंदु C (3; -2) है। खंड के दूसरे छोर के निर्देशांक की गणना करें - बिंदु बी।

समाधान।

समस्या की स्थिति के अनुसार, यह स्पष्ट हो जाता है कि xA = -3; वाईए = -5; एक्ससी = 3 और वाईसी = -2।

इन मानों को सूत्र xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

3 = (-3 + xB)/2 और

2 \u003d (-5 + यूवी) / 2।

xB के लिए पहला समीकरण और yB के लिए दूसरा समीकरण हल करने के बाद, हम पाते हैं: xB = 9 और yB = 1, यह पता चलता है कि वांछित बिंदु B निर्देशांक द्वारा दिया जाएगा (9; 1) (रेखा चित्र नम्बर 2)।

3. किसी त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांकों की गणना उसकी भुजाओं के मध्यबिंदुओं के दिए गए निर्देशांकों के अनुसार की जाती है

उदाहरण 3

त्रिभुज ABC की भुजाओं के मध्य बिंदु बिंदु D(1; 3), E(-1; -2) और F(4; -1) हैं। दिए गए त्रिभुज के शीर्षों A, B और C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

मान लीजिए बिंदु D भुजा AB का मध्यबिंदु है, बिंदु E BC का मध्यबिंदु है, और बिंदु F भुजा AC का मध्यबिंदु है (चित्र 3). अंक ए, बी और सी खोजें।

हम त्रिभुज के शीर्षों को A (xA; yA), B (xB; yB) और C (xC; yC) के रूप में निरूपित करते हैं और सूत्र xC \u003d (xA) के अनुसार बिंदुओं D, E और F के निर्देशांक जानते हैं। + xB) / 2, yC \u003d (yA + uV)/2 हमें मिलता है:

(1 = (एक्सए + एक्सबी)/2,
(-1 \u003d (एक्सबी + एक्ससी) / 2,
(4 \u003d (एक्सए + एक्ससी) / 2,

(3 \u003d (यूए + यूबी) / 2,
(-2 \u003d (यूवी + यूएस) / 2,
(-1 \u003d (वाईए + वाईसी) / 2.

हम समीकरणों को एक पूर्णांक रूप में लाते हैं:

(एक्सए + एक्सबी = 2,
(एक्सबी + एक्ससी = -2,
(एक्सए + एक्ससी = 8,

(यूए + यूबी = 6,
(यूवी + वाईसी = -4,
(यूए + वाईसी = -2।

सिस्टम को हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
एक्सए = 6; एक्सबी = -4; एक्ससी = 2.
वाईए = 4; यूवी = 2; वाईसी = -6।

बिंदु A (6; 4), B (-4; 2) और C (2; -6) त्रिभुज के आवश्यक शीर्ष हैं।

4. इस खंड के सिरों के दिए गए निर्देशांक के अनुसार, एक निश्चित अनुपात में खंड को विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक की गणना

उदाहरण 4

खंड AB को बिंदु C द्वारा 3:5 के अनुपात में विभाजित किया गया है (बिंदु A से बिंदु B तक की गिनती)। खंड AB के सिरे बिंदु A(2; 3) और B(10; 11) हैं। बिंदु सी खोजें।

समाधान।

समस्या की स्थिति कहती है कि xA = 2; एक्सबी = 10; वाईए = 3; यूवी = 11; = एसी/सीबी = 3/5। सी (एक्ससी; वाईसी) खोजें (चित्र 4)।

सूत्रों के अनुसार xC = (xA + xB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) हम प्राप्त करते हैं:

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 और yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. इस प्रकार, हमारे पास C( 5; 6)।

चलो देखते है:एसी = 3√2, सीबी = 5√2, λ = एसी/सीबी = 3√2/5√2 = 3/5।

टिप्पणी। समस्या की स्थिति बताती है कि खंड का विभाजन बिंदु A से बिंदु B तक दिए गए अनुपात में किया जाता है। यदि यह निर्दिष्ट नहीं किया गया था, तो समस्या के दो समाधान होंगे। दूसरा समाधान: खंड को बिंदु B से बिंदु A तक विभाजित करना।

उदाहरण 5

कुछ खंड AB को 2: 3: 5 (बिंदु A से बिंदु B तक गिनते हुए) के अनुपात में विभाजित किया गया है, इसके सिरे निर्देशांक A (-11; 1) और B (9; 11) वाले बिंदु हैं। दिए गए खंड के विभाजन बिंदु खोजें।

समाधान।

आइए हम खंड के विभाजन बिंदुओं को ए से बी तक सी और डी के माध्यम से निरूपित करें। समस्या की स्थिति में, यह दिया गया है कि
एक्सए = -11; एक्सबी = 9; वाईए = 1; वाईबी = 11. सी (एक्ससी; वाईसी) और डी (एक्सडी; वाईडी) खोजें यदि एसी: सीडी: डीबी = 2: 3: 5।

बिंदु C खंड AB को λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4 के संबंध में विभाजित करता है।

सूत्रों के अनुसार xC = (xA + xB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) हम प्राप्त करते हैं:

एक्ससी = (-11 + 9) / (1 + 1/4) = -7 और वाईसी = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.

इस प्रकार, सी (-7; 3)।

बिंदु D खंड AB का मध्यबिंदु है। सूत्रों का प्रयोग करना xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2, हम पाते हैं:

xD \u003d (-11 + 9) / 2 \u003d -1, yD \u003d (1 + 11) / 2 \u003d 6. इसलिए, D के निर्देशांक (-1; 6) हैं।

5. खंड को विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक की गणना, यदि इस खंड के सिरों के निर्देशांक और इस खंड को विभाजित करने वाले भागों की संख्या दी गई है

उदाहरण 6

खंड के सिरे बिंदु A(-8; -5) और B(10; 4) हैं। बिंदु C और D ज्ञात कीजिए जो इस खंड को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

समाधान।

समस्या की स्थिति से ज्ञात होता है कि xA = -8; एक्सबी = 10; वाईए = -5; yB = 4 और n = 3. C(xC; yC) और D(xD; yD) ज्ञात कीजिए। (चित्र 5)।

आइए बिंदु C ज्ञात करें। यह खंड AB को = 1/2 के सापेक्ष विभाजित करता है। हम बिंदु A से बिंदु B में विभाजित करते हैं। सूत्रों के अनुसार xC = (xA + xB) / (1 + λ), yC = (yA + yB) / (1 + λ) हमारे पास है:

xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 और yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2। तो सी (-2; -2)।

खंड सीबी का विभाजन 1: 1 के अनुपात में किया जाता है, इसलिए हम सूत्रों का उपयोग करते हैं

एक्सडी = (एक्सए + एक्सबी)/2, वाईडी = (वाईए + वाईबी)/2:

xD \u003d (-2 + 10) / 2 \u003d 4, yD \u003d (-2 + 4) / 2 \u003d 1. इस प्रकार, D (4; 1)।

डिवीजन अंक सी(-2; -2) और डी(4; 1)।

नोट: बिंदु D को 2 के संबंध में खंड AB को विभाजित करके पाया जा सकता है। इस मामले में, सूत्र xD = (xA + xB) / (1 + λ), yD = (yA + yB) को लागू करना आवश्यक होगा। ) / (1 + )।

उदाहरण 7

बिंदु A(5; -6) और B(-5; 9) खंड के सिरे हैं। उन बिंदुओं को खोजें जो दिए गए खंड को पांच बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

समाधान।

माना A से B तक के क्रमागत विभाजन बिंदु C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE), और F(xF; yF) हैं। समस्या की स्थितियाँ कहती हैं कि xA = 5; एक्सबी = -5; वाईए = -6; वाईबी = 9 और एन = 5।

सूत्रों का उपयोग करना xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + yB) / (1 + λ) बिंदु C। यह खंड AB को λ = 1/4 के संबंध में विभाजित करता है:

xC = (5 + 1/4 (-5)) / (1 + 1/4) = 3 और yC = (-6 + 1/4 9) / (1 + 1/4) = -3, हम पाते हैं कि बिंदु C में निर्देशांक (3; -3) हैं।

खंड AB को बिंदु D द्वारा 2:3 (अर्थात = 2/3) के अनुपात में विभाजित किया जाता है, इसलिए:

एक्सडी = (5 + 2/3 (-5)) / (1 + 2/3) = 1 और वाईडी = (-6 + 2/3 9) / (1 + 2/3) = 0, इसलिए डी (दस )

आइए बिंदु E ज्ञात करें। यह खंड AB को = 2/3 के संबंध में विभाजित करता है:

XE = (5 + 3/2 (-5)) / (1 + 3/2) = -1 और yE = (-6 + 3/2 9) / (1 + 3/2) = 3. इस प्रकार, ई (-1; 3)।

बिंदु F, = 4/1 के संबंध में खंड AB को विभाजित करता है, इसलिए:

एक्सएफ = (5 + 4 (-5)) / (1 + 4) = -3 और वाईएफ = (-6 + 4 9) / (1 + 4) = 6, एफ (-3; 6)।

डिवीजन अंक С(-2; -2); डी (4; 1); ई (-1; 3) और एफ (-3; 6)।

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मान लीजिए एक निर्देशित रेखाखंड AB दिया गया है; डॉट कहो

इस रेखा का M खंड AB को X के अनुपात में विभाजित करता है, जहाँ एक मनमाना वास्तविक संख्या है, यदि

जब बिंदु M बिंदु A और B के बीच स्थित हो (अर्थात, खंड के अंदर

AB), तो सदिश AM और MB को एक ही दिशा में निर्देशित किया जाता है (चित्र 2) और अनुपात (1) धनात्मक है।

जब बिंदु M खंड के बाहर स्थित है

AB, तब सदिश AM और MB विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं (चित्र 3) और अनुपात (1) ऋणात्मक है।

आइए देखें कि जब बिंदु M पूरी रेखा से होकर गुजरता है तो संबंध (1) कैसे बदलता है। जब बिंदु M, बिंदु A से मेल खाता है, तो संबंध (1) शून्य के बराबर होता है; यदि बिंदु M, खंड AB से होकर A से B की दिशा में चलता है, तो अनुपात (1) लगातार बढ़ता जाता है, बिंदु M के पास पहुंचने पर मनमाने ढंग से बड़ा होता जाता है। जब , तब भिन्न (1) अपना अर्थ खो देता है, क्योंकि इसका हर शून्य सदिश में बदल जाता है। एक ही दिशा में एक सीधी रेखा के साथ बिंदु के आगे बढ़ने के साथ (चित्र 3 में, ए से बी के दाईं ओर), अनुपात (1) नकारात्मक हो जाता है, और यदि डब्ल्यू बी के काफी करीब है, तो यह अनुपात मनमाने ढंग से है बड़ा निरपेक्ष मूल्य।

तब से, (§ 4 के प्रस्ताव 8 के आधार पर) हमारे पास है

जब बिंदु M, हर समय एक ही दिशा में (हमारी आकृति 3 में, और बाएं से दाएं), लेकिन सीधे अनंत तक जाता है, तो भिन्न - शून्य हो जाता है (चूंकि इसका अंश स्थिर रहता है, और हर अनिश्चित काल तक बढ़ता है), इसलिए, अनुपात , - -1 की ओर जाता है।

अब M को दो अर्ध-रेखाओं के "बाएं" पर जाने दें जिसमें बिंदु A रेखा को विभाजित करता है (अर्थात उस अर्ध-रेखा में जिसमें खंड AB नहीं है)। यदि, इस मामले में, बिंदु M, बिंदु A से काफी दूर है, तो, फिर से, मनमाने ढंग से छोटा, और इसलिए, सूत्र का अनुपात मनमाने ढंग से -1 से थोड़ा भिन्न होता है। जब बिंदु M बाईं ओर से बिंदु A के पास पहुंचता है (चित्र 3, b), अनुपात (I), शेष ऋणात्मक, निरपेक्ष मान में लगातार घटता जाता है और अंत में बिंदु M के बिंदु A पर लौटने पर शून्य के बराबर हो जाता है।

ध्यान दें कि रेखा पर बिंदु M की किसी भी स्थिति के लिए अनुपात -1 के बराबर नहीं है। वास्तव में, अनुपात केवल तभी ऋणात्मक होता है जब बिंदु M खंड AB के बाहर स्थित होता है। लेकिन इस मामले में खंड AM और MB कभी बराबर नहीं होते हैं, अर्थात।

अब लाइन पर एक समन्वय प्रणाली स्थापित होने दें और O इस प्रणाली का मूल है। हम बिंदु A से बिंदु B - से होकर और चर बिंदु M से होकर जाने वाले बिंदु A के निर्देशांक को निरूपित करते हैं. फिर और

मान लीजिए कि बिंदु M 1, M 2, M 3 एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। ऐसा कहा जाता है कि बिंदु एम खंड एम 1 एम 2 को λ(λ≠-1) के संबंध में विभाजित करता है यदि ।
मान लीजिए कि बिंदु M 1 और M 2 के निर्देशांक किसी समन्वय प्रणाली के सापेक्ष ज्ञात हैं: M 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), तो निर्देशांक के निर्देशांक बिंदु M(x, y, z ) एक ही समन्वय प्रणाली के सापेक्ष सूत्रों द्वारा पाया जाता है:
यदि बिंदु M खंड M 1 M 2 के मध्य में है, तो , यानी =1 और सूत्र (*) रूप लेंगे:

(**)

हल करने के लिए निम्नलिखित कैलकुलेटर का उपयोग करें:

1. अंक दो निर्देशांकों द्वारा दिए गए हैं: A(x 1,y 1), B(x 2 ,y 2)।
2. अंक तीन निर्देशांक द्वारा दिए गए हैं: ए (एक्स 1, वाई 1, जेड 1), बी (एक्स 2, वाई 2, जेड 2)।

उदाहरण 1। त्रिभुज इसके शीर्षों A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3) के निर्देशांकों द्वारा दिया गया है। निर्देशांक खोजें D(x, y, z) - इसकी माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु।

समाधान. BC के मध्यबिंदु M(x 0 , y 0 , z 0) से निरूपित करें, फिर सूत्रों (**) द्वारा और एम (7/2, ½, 4)। बिंदु D माध्यिका AM को λ=2 के सापेक्ष विभाजित करता है। सूत्रों (*) को लागू करने पर, हम पाते हैं
.

उदाहरण # 2। खंड AB को =1/4 के संबंध में बिंदु C(4,1) से विभाजित किया जाता है, बिंदु A से गिना जाता है। ए के निर्देशांक खोजें यदि बी (8,5)।
समाधान. सूत्र (*) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
, जहां से हम x=3 , y=0 पाते हैं।

उदाहरण #3। खंड AB को बिंदुओं C(3, -1) और D(1,4) द्वारा तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है। खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
समाधान. A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2) को निरूपित करें। बिंदु C खंड AD का मध्यबिंदु है, इसलिए, सूत्रों (**) का उपयोग करके हम पाते हैं: जहां से x 1 = 5, y 1 = -6। इसी तरह, बिंदु बी के निर्देशांक पाए जाते हैं: x 2 \u003d -1, y 2 \u003d 9।

जब किसी खंड को एक निश्चित अनुपात में विभाजित करने की शर्तें होती हैं, तो उस बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने में सक्षम होना आवश्यक है जो विभाजक के रूप में कार्य करता है। हम समतल पर समस्या को सेट करके इन निर्देशांकों को खोजने के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं।

प्रारंभिक डेटा: एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y और उस पर स्थित दो गैर-संयोग बिंदु दिए गए निर्देशांक A (x A, y A) और B (x B, y B) दिए गए हैं। और (कुछ सकारात्मक वास्तविक संख्या) के संबंध में खंड ए बी को विभाजित करते हुए एक बिंदु सी भी दिया जाता है। बिंदु C: x C और y C के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

कार्य के समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, हम दी गई शर्त के अर्थ को थोड़ा प्रकट करेंगे: "बिंदु सी, खंड ए बी को के संबंध में विभाजित करना"। सबसे पहले, यह व्यंजक इंगित करता है कि बिंदु C खंड A B (अर्थात बिंदु A और B के बीच) पर स्थित है। दूसरे, यह स्पष्ट है कि दी गई शर्त के अनुसार, खंडों A C और C B की लंबाई का अनुपात के बराबर है। वे। समानता सही है:

इस मामले में, बिंदु A खंड की शुरुआत है, बिंदु B खंड का अंत है। यदि यह दिया जाता है कि बिंदु C खंड B A को दिए गए अनुपात में विभाजित करता है, तो समानता सत्य होगी:।

खैर, यह पूरी तरह से स्पष्ट तथ्य है कि यदि = 1 है, तो बिंदु C खंड A B का मध्यबिंदु है।

आइए वैक्टर की मदद से समस्या को हल करें। आइए किसी आयताकार समन्वय प्रणाली में खंड ए बी पर बिंदु ए, बी और बिंदु सी को मनमाने ढंग से प्रदर्शित करें। आइए इन बिंदुओं के त्रिज्या वैक्टर, साथ ही वैक्टर ए सी → और सी बी → का निर्माण करें। समस्या की स्थितियों के अनुसार, बिंदु C खंड A B को के संबंध में विभाजित करता है।

बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक बिंदु के निर्देशांक के बराबर हैं, तो समानताएं सत्य हैं: ओ ए → = (एक्स ए, वाई ए) और ओ बी → = (एक्स बी, वाई बी)।

आइए वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करें: वे बिंदु C के निर्देशांक के बराबर होंगे, जिन्हें समस्या की स्थिति के अनुसार खोजने की आवश्यकता होती है।

वेक्टर जोड़ के संचालन का उपयोग करते हुए, हम समानताएं लिखते हैं: ओ सी → = ओ ए → + ए सी → ओ बी → = ओ सी → + सी बी → ⇔ सी बी → = ओ बी → - ओ सी →

समस्या की स्थिति के अनुसार, बिंदु C खंड A B को के संबंध में विभाजित करता है, अर्थात। समानता A C = λ · C B सत्य है।

सदिश A C → तथा C B → एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं और सहदिशिक होते हैं। λ > 0 समस्या की स्थिति से, फिर, एक सदिश को किसी संख्या से गुणा करने की संक्रिया के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं: A C → = · C B → ।

आइए इसमें प्रतिस्थापित करके व्यंजक को रूपांतरित करें: C B → = O B → - O C → ।

ए सी → = λ · (ओ बी → - ओ सी →) ।

समानता O C → = O A → + A C → को O C → = O A → + λ · (O B → - O C →) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

वैक्टर पर संचालन के गुणों का उपयोग करते हुए, अंतिम समानता का तात्पर्य है: O C → = 1 1 + λ · (O A → + · O B →) ।

अब हमारे लिए वेक्टर O C → = 1 1 + λ · O A → + · O B → के निर्देशांक की सीधे गणना करना बाकी है।

आइए वैक्टर ओ ए → और ओ बी → पर आवश्यक संचालन करें।

ओ ए → = (एक्स ए, वाई ए) और ओ बी → = (एक्स बी, वाई बी), फिर ओ ए → + λ ओ बी → = (एक्स ए + λ एक्स बी, वाई ए + λ वाई बी)।

इस प्रकार, O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + · x B 1 + , y A + · y B 1 + ) ।

संक्षेप में: बिंदु C के निर्देशांक खंड A B को दिए गए अनुपात में विभाजित करते हैं सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं: x C \u003d x A + x B 1 + λ और y C \u003d y A + y B 1 + .

अंतरिक्ष में दिए गए अनुपात में एक खंड को विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करना

प्रारंभिक डेटा: आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z , दिए गए निर्देशांक A (x A , y A , z A) और B (x B , y B , z B) के साथ अंक।

बिंदु C खंड A B को के सापेक्ष विभाजित करता है। बिंदु C के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

विमान पर ऊपर के मामले में उसी तर्क योजना का उपयोग करते हुए, हम समानता पर पहुंचते हैं:

ओ सी → = 1 1 + (ओ ए → + λ ओ बी →)

सदिश और बिंदु A और B के त्रिज्या सदिश हैं, जिसका अर्थ है:

ओ ए → = (एक्स ए, वाई ए, जेड ए) और ओ बी → = (एक्स बी, वाई बी, जेड बी), इसलिए

ओ सी → = 1 1 + λ (ओ ए → + λ ओ बी →) = (एक्स ए + λ एक्स बी 1 + , वाई ए + वाई बी 1 + λ, जेड ए + जेड बी 1 + λ)

इस प्रकार, बिंदु C, खंड A B को दिए गए अनुपात λ में अंतरिक्ष में विभाजित करता है, निर्देशांक हैं: (x A + x B 1 + , y A + y B 1 + , z A + z B 1+λ )

आइए विशिष्ट उदाहरणों पर सिद्धांत पर विचार करें।

उदाहरण 1

प्रारंभिक आंकड़े: बिंदु C खंड A B को पाँच से तीन के अनुपात में विभाजित करता है। बिंदु A और B के निर्देशांक A (11 , 1 , 0) , B (- 9 , 2 , - 4) द्वारा दिए गए हैं।

समाधान

समस्या की स्थिति से λ = 5 3 । आइए उपरोक्त सूत्रों को लागू करें और प्राप्त करें:

एक्स ए + λ एक्स बी 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2

वाई ए + λ वाई बी 1 + λ = 1 + 5 3 2 1 + 5 3 = 13 8

जेड ए + जेड बी 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2

उत्तर: सी (- 3 2, 13 8, - 5 2)

उदाहरण 2

प्रारंभिक आंकड़े: त्रिभुज ए बी सी के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

इसके शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A (2 , 3 , 1) , B (4 , 1 , - 2) , C (- 5 , - 4 , 8)

समाधान

यह ज्ञात है कि किसी भी त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र उसकी माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है (मान लीजिए यह बिंदु M है)। प्रत्येक माध्यिका को ऊपर से गिनते हुए 2 से 1 के अनुपात में बिंदु M से विभाजित किया जाता है। इसी के आधार पर हमें पूछे गए प्रश्न का उत्तर मिलता है।

मान लें कि A D त्रिभुज A B C की माध्यिका है। बिंदु M, माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है, निर्देशांक M (x M, y M, z M) है और त्रिभुज के गुरुत्व का केंद्र है। M, माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में, खंड A D को 2 से 1 के अनुपात में विभाजित करता है, अर्थात। = 2।

आइए बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात करें। चूँकि A D माध्यिका है, तो बिंदु D खंड B C का मध्यबिंदु है। फिर, खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एक्स डी = एक्स बी + एक्स सी 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 वाई डी = वाई बी + वाई सी 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 जेड डी = जेड बी + जेड सी 2 = - 2 + 8 2 = 3

बिंदु M के निर्देशांक की गणना करें:

एक्स एम = एक्स ए + λ एक्स डी 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3

वाई एम = वाई ए + λ वाई डी 1 + λ = 3 + 2 (- 3 2) 1 + 2 = 0

जेड एम = जेड ए + λ जेड डी 1 + λ = 1 + 2 3 1 + 2 = 7 3

उत्तर: (1 3, 0, 7 3)

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यदि बिंदु M (x; y) दो दिए गए बिंदुओं M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2), और अनुपात λ \u003d M 1 M / MM से गुजरने वाली एक सीधी रेखा पर स्थित है। 2 दिया गया है, जहां बिंदु M खंड M 1 M 2 को विभाजित करता है, तो बिंदु M . के निर्देशांक

सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है

x = (x 1 + x 2)/(1 + ), y = (y 1 + y 2)/(1 + )

यदि बिंदु एम खंड एम 1 एम 2 का मध्य बिंदु है, तो इसके निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं

x \u003d (x 1 + x 2) / 2, y \u003d (y 1 + y 2) / 2

86. एक सजातीय छड़ के सिरे A(3; -5) और 6(-1; 1) दिए हुए हैं। इसके गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

87. एक समांगी छड़ का गुरुत्व केंद्र बिंदु M (1; 4) पर है, इसका एक सिरा बिंदु P (-2; 2) पर है। इस छड़ के दूसरे सिरे के बिंदु Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

88. त्रिभुज के शीर्ष A(1; -3), 6(3; -5) और C(-5; 7) दिए गए हैं। इसकी भुजाओं के मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।

89. दो बिंदु A(3; - 1) और B(2; 1) दिए गए हैं। परिभाषित करना:

1) बिंदु M के निर्देशांक, बिंदु B के संबंध में बिंदु A के सममित;

2) बिंदु N के निर्देशांक, बिंदु A के संबंध में बिंदु B के सममित।

90. बिंदु M (2; -1), N (-1; 4) और P (-2; 2) त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं। इसके शीर्ष ज्ञात कीजिए।

91. समांतर चतुर्भुज A(3; -5), B(5; -3), C(-1; 3) के तीन शीर्ष दिए गए हैं। B के विपरीत चौथा शीर्ष D ज्ञात कीजिए।

92. एक समांतर चतुर्भुज A(-3; 5), B(1; 7) के दो आसन्न शीर्षों और इसके विकर्णों M(1; 1) के प्रतिच्छेदन बिंदु दिए गए हैं। दो अन्य शीर्षों को परिभाषित कीजिए।

93. समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष A(2; 3), 6(4; -1) और C(0; 5) दिए गए हैं। इसका चौथा शीर्ष D ज्ञात कीजिए।

94. एक त्रिभुज A(1; 4), B(3; -9), (-5; 2) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष B से खींची गई इसकी माध्यिका की लंबाई ज्ञात कीजिए।

95. बिंदु A (1;-3) और B(4; 3) से घिरा खंड तीन बराबर भागों में विभाजित है। विभाजन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें।

96. एक त्रिभुज A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष B पर इसके आंतरिक कोण के द्विभाजक की भुजा AC के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

97. त्रिभुज के शीर्ष A(3; -5), B(-3; 3) और C(-1; -2) दिए गए हैं। शीर्ष A पर इसके आंतरिक कोण के समद्विभाजक की लंबाई निर्धारित करें।

98. एक त्रिभुज A(-1; -1), B(3; 5), C(-4; 1) के शीर्षों को देखते हुए। शीर्ष A पर इसके बाहरी कोण के समद्विभाजक की भुजा BC के विस्तार के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

99. त्रिभुज A (3; -5), B (1; - 3), C (2; -2) के शीर्षों को देखते हुए। शीर्ष B पर इसके बाह्य कोण के समद्विभाजक की लंबाई ज्ञात कीजिए।

100. दिए गए तीन बिंदु A(1; -1), B(3; 3) और C(4; 5) एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं। अनुपात निर्धारित करें जिसमें उनमें से प्रत्येक अन्य दो से घिरे खंड को विभाजित करता है।

101. खंड के सिरों ए और बी के निर्देशांक निर्धारित करें, जो कि पी (2; 2) और क्यू (1; 5) द्वारा तीन बराबर भागों में विभाजित है।

102. सीधी रेखा बिंदु M 1 (-12; -13) और M 2 (- 2; -5) से होकर गुजरती है। इस रेखा पर एक बिंदु खोजें जिसका भुज 3 है।

103. सीधी रेखा बिंदुओं M(2; -3) और N(-6; 5) से होकर गुजरती है। इस रेखा पर एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जिसकी कोटि -5 है।

104. सीधी रेखा बिंदुओं A(7; -3) और B(23;. -6) से होकर गुजरती है। इस रेखा का x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

105. रेखा बिंदुओं A(5; 2) और B(-4; -7) से होकर गुजरती है। इस रेखा का y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

106. चतुर्भुज A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) और D(5; 8) के शीर्ष दिए गए हैं। ज्ञात कीजिए कि इसका विकर्ण AC, विकर्ण BD को किस अनुपात में विभाजित करता है।

107. शीर्ष A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) और D(6; 10) दिए गए हैं। इसके विकर्णों AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

108. एक समरूप त्रिभुजाकार प्लेट A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) और C (x 3; y 3) के शीर्षों को देखते हुए। इसके गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें,

निर्देश। गुरुत्वाकर्षण का केंद्र माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर होता है।

109. त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु M भुज अक्ष पर स्थित है, इसके दो शीर्ष बिंदु A (2; -3) और B (-5; 1) हैं, तीसरा शीर्ष C y- पर स्थित है। एक्सिस। बिंदु M और C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

110. एक समरूप त्रिभुजाकार प्लेट A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) और C (x 3; y 3) के शीर्षों को देखते हुए। यदि आप इसकी भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो एक नई समरूप त्रिभुजाकार प्लेट बनती है। सिद्ध कीजिए कि दोनों प्लेटों के गुरुत्व केंद्र समान हैं।

निर्देश। कार्य 108 के परिणाम का उपयोग करें।

111. एक सजातीय प्लेट में एक वर्ग का आकार होता है जिसकी भुजा 12 के बराबर होती है, जिसमें एक वर्गाकार कट बनाया जाता है, कटी हुई रेखाएँ वर्ग के केंद्र, कुल्हाड़ियों से होकर गुजरती हैं

निर्देशांक प्लेट के किनारों के साथ निर्देशित होते हैं (चित्र 4)। इस प्लेट का गुरुत्व केंद्र ज्ञात कीजिए।

112. एक समरूप प्लेट में एक आयत का आकार होता है जिसकी भुजाएँ a और b के बराबर होती हैं, जिसमें एक आयताकार कट बनाया जाता है; कट की सीधी रेखाएं केंद्र से होकर गुजरती हैं, समन्वय अक्षों को प्लेट के किनारों के साथ निर्देशित किया जाता है (चित्र 5)। इस प्लेट का गुरुत्व केंद्र ज्ञात कीजिए।

113. एक सजातीय प्लेट में एक वर्ग का आकार होता है जिसकी भुजा 2a के बराबर होती है, जिससे एक त्रिभुज काटा जाता है; कट लाइन दो आसन्न पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है, समन्वय अक्ष प्लेट के किनारों के साथ निर्देशित होते हैं (चित्र 6)। प्लेट के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का निर्धारण करें।

114. निम्नलिखित बिंदुओं पर A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) और C (x 3; y 3) द्रव्यमान m, n और p संकेंद्रित हैं। तीन द्रव्यमान वाले इस निकाय के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

115. बिंदु A (4; 2), B (7; -2) और C (1; 6) समरूप तार से बने त्रिभुज के शीर्ष हैं। इस त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र ज्ञात कीजिए।