नीचे दिया गया लेख प्रारंभिक डेटा के रूप में इसके चरम बिंदुओं के निर्देशांक की उपस्थिति में खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के मुद्दों को कवर करेगा। लेकिन, इस मुद्दे के अध्ययन के लिए आगे बढ़ने से पहले, हम कई परिभाषाओं का परिचय देते हैं।

परिभाषा 1

रेखा खंड- दो मनमाना बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा, जिसे खंड के सिरे कहा जाता है। एक उदाहरण के रूप में, ये बिंदु A और B हैं और, क्रमशः, खंड A B हैं।

यदि खंड A B को बिंदु A और B से दोनों दिशाओं में जारी रखा जाए, तो हमें एक सीधी रेखा A B प्राप्त होगी। तब खंड ए बी अंक ए और बी से बंधी प्राप्त सीधी रेखा का एक हिस्सा है। खंड ए बी अंक ए और बी को जोड़ता है, जो इसके छोर हैं, साथ ही बीच में स्थित बिंदुओं का सेट भी है। यदि, उदाहरण के लिए, हम बिंदु A और B के बीच स्थित कोई मनमाना बिंदु K लेते हैं, तो हम कह सकते हैं कि बिंदु K खंड A B पर स्थित है।

परिभाषा 2

लंबाई में कटौतीकिसी दिए गए पैमाने (इकाई लंबाई का खंड) पर खंड के सिरों के बीच की दूरी है। हम खंड A B की लंबाई को इस प्रकार निरूपित करते हैं: A B।

परिभाषा 3

मध्यएक रेखाखंड पर एक बिंदु जो इसके सिरों से समान दूरी पर होता है। यदि खंड A B के मध्य को बिंदु C से निरूपित किया जाता है, तो समानता सत्य होगी: A C \u003d C B

प्रारंभिक डेटा: समन्वय रेखा O x और उस पर बेमेल बिंदु: A और B । ये अंक वास्तविक संख्याओं के अनुरूप हैं एक्स ए और एक्सबी । बिंदु C खंड A B का मध्यबिंदु है: आपको निर्देशांक निर्धारित करने की आवश्यकता है एक्स सी।

चूंकि बिंदु C खंड A B का मध्यबिंदु है, इसलिए समानता सत्य होगी: | ए सी | = | सी बी | . बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांक के बीच अंतर के मापांक द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात।

| ए सी | = | सी बी | ⇔ एक्स सी - एक्स ए = एक्स बी - एक्स सी

तब दो समानताएँ संभव हैं: x C - x A = x B - x C और x C - x A = - (x B - x C)

पहली समानता से, हम बिंदु C: x C \u003d x A + x B 2 (खंड के सिरों के निर्देशांक का आधा योग) के समन्वय के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं।

दूसरी समानता से हमें मिलता है: x A = x B, जो असंभव है, क्योंकि मूल डेटा में - बेमेल अंक। इस तरह, खंड ए बी के अंत ए (एक्स ए) और . के मध्य बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए सूत्रबी (एक्सबी):

परिणामी सूत्र एक विमान या अंतरिक्ष में खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने का आधार होगा।

प्रारंभिक डेटा: समतल O x y पर आयताकार समन्वय प्रणाली, दिए गए निर्देशांक A x A, y A और B x B, y B के साथ दो मनमानी गैर-संयोग बिंदु। बिंदु C खंड A B का मध्यबिंदु है। बिंदु C के लिए निर्देशांक x C और y C निर्धारित करना आवश्यक है।

आइए विश्लेषण के लिए उस स्थिति को लें जब बिंदु A और B संपाती नहीं होते हैं और एक ही निर्देशांक रेखा या किसी एक अक्ष के लंबवत रेखा पर नहीं होते हैं। ए एक्स, ए वाई; B x , B y और C x , C y - निर्देशांक अक्षों पर बिंदुओं A , B और C का अनुमान (सीधी रेखाएं O x और O y)।

रचना द्वारा, रेखाएँ A A x , B B x , C C x समानांतर हैं; रेखाएं भी एक दूसरे के समानांतर हैं। इसके साथ में, थेल्स प्रमेय के अनुसार, समानता A C \u003d C B से, समानताएँ अनुसरण करती हैं: A x C x \u003d C x B x और A y C y \u003d C y B y, और वे, बदले में, इंगित करें कि बिंदु C x - खंड A x B x का मध्य, और C y खंड A y B y का मध्य है। और फिर, पहले प्राप्त सूत्र के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2 और वाई सी = वाई ए + वाई बी 2

समान सूत्रों का उपयोग उस स्थिति में किया जा सकता है जब बिंदु A और B एक ही समन्वय रेखा या किसी एक अक्ष के लंबवत रेखा पर स्थित हों। हम इस मामले का विस्तृत विश्लेषण नहीं करेंगे, हम इसे केवल ग्राफिक रूप से मानेंगे:

उपरोक्त सभी को सारांशित करते हुए, अंत के निर्देशांक के साथ विमान पर खंड ए बी के मध्य के निर्देशांकए (एक्स ए, वाई ए) तथाबी (एक्स बी, वाई बी) के रूप में परिभाषित किया गया है:

(एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2)

प्रारंभिक डेटा: निर्देशांक प्रणाली О x y z और दिए गए निर्देशांक A (x A , y A , z A) और B (x B , y B , z B) के साथ दो मनमाना बिंदु। बिंदु C के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है, जो खंड A B के मध्य में है।

ए एक्स, ए वाई, ए जेड; B x , B y , B z और C x , C y , C z - निर्देशांक प्रणाली के अक्षों पर दिए गए सभी बिंदुओं का प्रक्षेपण।

थेल्स प्रमेय के अनुसार, समानताएँ सत्य हैं: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

इसलिए, बिंदु C x , C y , C z क्रमशः खंड A x B x , A y B y , A z B z के मध्यबिंदु हैं। फिर, अंतरिक्ष में खंड के मध्य के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2, वाई सी = वाई ए + वाई बी 2, जेड सी = जेड ए + जेड बी 2

परिणामी सूत्र उन मामलों में भी लागू होते हैं जहां बिंदु ए और बी समन्वय रेखाओं में से एक पर स्थित होते हैं; कुल्हाड़ियों में से एक के लंबवत सीधी रेखा पर; एक समन्वय विमान में या एक समन्वय विमान में से एक के लंबवत विमान में।

एक खंड के मध्य के निर्देशांक को उसके सिरों के त्रिज्या वैक्टर के निर्देशांक के माध्यम से निर्धारित करना

सदिशों की बीजगणितीय व्याख्या के अनुसार खंड के मध्य के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र भी प्राप्त किया जा सकता है।

प्रारंभिक डेटा: आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली O x y, दिए गए निर्देशांक A (x A, y A) और B (x B, x B) के साथ अंक। बिंदु C खंड A B का मध्यबिंदु है।

वैक्टर पर क्रियाओं की ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समानता सत्य होगी: O C → = 1 2 · O A → + O B →। इस मामले में बिंदु C, वैक्टर O A → और O B → के आधार पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, अर्थात। विकर्णों के बीच का बिंदु। बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक बिंदु के निर्देशांक के बराबर हैं, तो समानताएं सत्य हैं: ओ ए → = (एक्स ए, वाई ए), ओ बी → = (एक्स बी , वाई बी)। आइए निर्देशांक में वैक्टर पर कुछ ऑपरेशन करें और प्राप्त करें:

ओ सी → = 1 2 ओ ए → + ओ बी → = एक्स ए + एक्स बी 2 , वाई ए + वाई बी 2

इसलिए, बिंदु C के निर्देशांक हैं:

एक्स ए + एक्स बी 2 , वाई ए + वाई बी 2

सादृश्य द्वारा, अंतरिक्ष में एक खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए एक सूत्र परिभाषित किया गया है:

सी (एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2, जेड ए + जेड बी 2)

एक खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के लिए समस्याओं को हल करने के उदाहरण

ऊपर प्राप्त सूत्रों के उपयोग से जुड़े कार्यों में, दोनों ऐसे हैं जिनमें प्रश्न सीधे खंड के मध्य के निर्देशांक की गणना करने के लिए है, और वे जो इस प्रश्न पर दी गई शर्तों को लाने में शामिल हैं: शब्द "माध्यिका" अक्सर उपयोग किया जाता है, लक्ष्य खंड के सिरों से एक के निर्देशांक, साथ ही समरूपता पर समस्याओं का पता लगाना है, जिसका समाधान सामान्य रूप से भी इस विषय का अध्ययन करने के बाद कठिनाइयों का कारण नहीं होना चाहिए। आइए विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

प्रारंभिक आंकड़े:समतल पर - दिए गए निर्देशांक A (- 7, 3) और B (2, 4) वाले बिंदु। खंड ए बी के मध्य बिंदु के निर्देशांक खोजना आवश्यक है।

समाधान

आइए हम खंड A B के मध्य को बिंदु C से निरूपित करें। इसके निर्देशांक खंड के सिरों के निर्देशांक के आधे योग के रूप में निर्धारित किए जाएंगे, अर्थात। अंक ए और बी।

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 वाई सी = वाई ए + वाई बी 2 = 3 + 4 2 = 7 2

उत्तर: खंड A B - 5 2 , 7 2 के मध्य के निर्देशांक।

उदाहरण 2

प्रारंभिक आंकड़े:त्रिभुज A B C के निर्देशांक ज्ञात हैं: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) । माध्यिका A M की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

1. समस्या की स्थिति के अनुसार, A M माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि M खंड B C का मध्यबिंदु है। सबसे पहले, हम खंड बी सी के मध्य के निर्देशांक पाते हैं, अर्थात। एम अंक:

एक्स एम = एक्स बी + एक्स सी 2 = 3 + 9 2 = 6 वाई एम = वाई बी + वाई सी 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. चूंकि अब हम माध्यिका (अंक A और M) के दोनों सिरों के निर्देशांक जानते हैं, हम बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं और माध्यिका A M की लंबाई की गणना कर सकते हैं:

ए एम = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

उत्तर: 58

उदाहरण 3

प्रारंभिक आंकड़े:एक समानांतर चतुर्भुज ए बी सी डी ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 त्रि-आयामी अंतरिक्ष के आयताकार समन्वय प्रणाली में दिया गया है। बिंदु C 1 (1 , 1 , 0) के निर्देशांक दिए गए हैं, और बिंदु M परिभाषित किया गया है, जो विकर्ण B D 1 का मध्य बिंदु है और इसमें निर्देशांक M (4, 2, - 4) हैं। बिंदु ए के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

एक समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो सभी विकर्णों का मध्य बिंदु है। इस कथन के आधार पर, हम यह ध्यान रख सकते हैं कि समस्या की स्थितियों से ज्ञात बिंदु M खंड 1 का मध्य है। अंतरिक्ष में खंड के मध्य के निर्देशांक खोजने के सूत्र के आधार पर, हम बिंदु A के निर्देशांक पाते हैं: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 z A = 2 z M - z सी 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

उत्तर:बिंदु A (7, 3, - 8) के निर्देशांक।

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बहुत बार समस्या C2 में उन बिंदुओं के साथ काम करना आवश्यक होता है जो खंड को आधे में विभाजित करते हैं। ऐसे बिंदुओं के निर्देशांक की गणना आसानी से की जाती है यदि खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हों।

तो, खंड को इसके सिरों द्वारा दिया जाए - अंक A \u003d (x a; y a; z a) और B \u003d (x b; y b; z b)। फिर खंड के मध्य के निर्देशांक - हम इसे बिंदु एच द्वारा निरूपित करते हैं - सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, किसी खंड के मध्य के निर्देशांक उसके सिरों के निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य होते हैं।

· एक कार्य . इकाई घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 को समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि x, y और z कुल्हाड़ियों को क्रमशः AB, AD और AA 1 किनारों के साथ निर्देशित किया जाए, और मूल बिंदु A के साथ मेल खाता है। बिंदु K है किनारे का मध्य बिंदु ए 1 बी एक। इस बिंदु के निर्देशांक खोजें।

समाधान. चूंकि बिंदु K खंड A 1 B 1 का मध्य है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। आइए सिरों के निर्देशांक लिखें: ए 1 = (0; 0; 1) और बी 1 = (1; 0; 1)। आइए अब बिंदु K के निर्देशांक ज्ञात करें:

उत्तर: के = (0.5; 0; 1)

· एक कार्य . इकाई घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 को समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि x, y और z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 किनारों के साथ निर्देशित हों, और मूल बिंदु A के साथ मेल खाता हो। निर्देशांक खोजें बिंदु L पर जहां वे वर्ग A 1 B 1 C 1 D 1 के विकर्णों को काटते हैं।

समाधान. योजनामिति के क्रम से यह ज्ञात होता है कि एक वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसके सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है। विशेष रूप से, ए 1 एल = सी 1 एल, यानी। बिंदु L खंड A 1 C 1 का मध्यबिंदु है। लेकिन ए 1 = (0; 0; 1), सी 1 = (1; 1; 1), तो हमारे पास है:

उत्तर: एल = (0.5; 0.5; 1)

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे सरल समस्याएं।
निर्देशांक में वैक्टर के साथ क्रिया

जिन कार्यों पर विचार किया जाएगा, यह सीखना अत्यधिक वांछनीय है कि उन्हें पूरी तरह से स्वचालित रूप से कैसे हल किया जाए, और सूत्र याद, इसे जानबूझ कर याद भी न रखें, वे इसे स्वयं याद रखेंगे =) यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की अन्य समस्याएं सबसे सरल प्राथमिक उदाहरणों पर आधारित हैं, और मोहरे खाने में अतिरिक्त समय बिताना कष्टप्रद होगा। आपको अपनी शर्ट के ऊपर के बटनों को बन्धन करने की आवश्यकता नहीं है, बहुत सी बातें आपको स्कूल से परिचित हैं।

सामग्री की प्रस्तुति एक समानांतर पाठ्यक्रम का पालन करेगी - विमान और अंतरिक्ष दोनों के लिए। जिस वजह से सारे फॉर्मूले... आप खुद देख लीजिए.

श्रमसाध्य कार्य के बाद, मैंने अचानक देखा कि वेब पेजों का आकार काफी बड़ा है, और अगर यह इसी तरह चलता रहा, तो आप चुपचाप जंगली हो सकते हैं =) इसलिए, मैं आपके ध्यान में एक बहुत ही सामान्य ज्यामितीय समस्या पर एक छोटा सा निबंध लाता हूं - इस संबंध में खंड के विभाजन पर, और, एक विशेष मामले के रूप में, एक खंड को आधे में विभाजित करने के बारे में.

एक कारण या किसी अन्य के लिए, यह कार्य अन्य पाठों में फिट नहीं हुआ, लेकिन अब इस पर विस्तार से और धीरे-धीरे विचार करने का एक शानदार अवसर है। अच्छी खबर यह है कि हम वैक्टर से थोड़ा विराम लेंगे और बिंदुओं और रेखा खंडों पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

इस संबंध में खंड विभाजन सूत्र

इस संबंध में खंड विभाजन की अवधारणा

अक्सर आपको जो वादा किया गया था, उसके लिए आपको इंतजार नहीं करना पड़ता है, हम तुरंत कुछ बिंदुओं पर विचार करेंगे और जाहिर तौर पर अविश्वसनीय, एक खंड:

विचाराधीन समस्या समतल के खंडों और अंतरिक्ष के खंडों दोनों के लिए मान्य है। यही है, प्रदर्शन खंड को किसी भी तरह से विमान या अंतरिक्ष में रखा जा सकता है। स्पष्टीकरण में आसानी के लिए, मैंने इसे क्षैतिज रूप से खींचा।

हम इस सेगमेंट के साथ क्या करने जा रहे हैं? इस बार देखा। कोई बजट देख रहा है, कोई जीवनसाथी देख रहा है, कोई जलाऊ लकड़ी देख रहा है, और हम एक खंड को दो भागों में देखना शुरू कर देंगे। खंड को किसी बिंदु का उपयोग करके दो भागों में विभाजित किया गया है, जो निश्चित रूप से सीधे उस पर स्थित है:

इस उदाहरण में, बिंदु खंड को इस तरह विभाजित करता है कि खंड खंड से दो गुना छोटा है। फिर भी हम कह सकते हैं कि बिंदु ऊपर से गिनती करते हुए खंड को संबंध ("एक से दो") में विभाजित करता है।

शुष्क गणितीय भाषा में, इस तथ्य को इस प्रकार लिखा जाता है: या अधिक बार परिचित अनुपात के रूप में:। खंडों का अनुपात आमतौर पर ग्रीक अक्षर "लैम्ब्डा" द्वारा दर्शाया जाता है, इस मामले में: .

एक अलग क्रम में अनुपात बनाना आसान है: - इस रिकॉर्ड का मतलब है कि खंड खंड से दोगुना लंबा है, लेकिन समस्याओं को हल करने के लिए इसका कोई मौलिक महत्व नहीं है। ऐसा हो सकता है, और ऐसा भी हो सकता है।

बेशक, खंड को किसी अन्य संबंध में विभाजित करना आसान है, और अवधारणा के सुदृढीकरण के रूप में, दूसरा उदाहरण:

यहाँ अनुपात मान्य है: . यदि हम अनुपात को इसके विपरीत बनाते हैं, तो हमें प्राप्त होता है: .

यह जानने के बाद कि इस संबंध में खंड को विभाजित करने का क्या अर्थ है, आइए व्यावहारिक समस्याओं पर विचार करें।

यदि समतल के दो बिंदु ज्ञात हैं, तो उस बिंदु के निर्देशांक जो खंड को उसके संबंध में विभाजित करते हैं, सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं:

ये सूत्र कहाँ से आए? विश्लेषणात्मक ज्यामिति के दौरान, इन सूत्रों को वैक्टर का उपयोग करके सख्ती से प्राप्त किया जाता है (हम उनके बिना कहां होंगे? =))। इसके अलावा, वे न केवल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए मान्य हैं, बल्कि एक मनमानी एफ़िन समन्वय प्रणाली के लिए भी मान्य हैं (पाठ देखें) वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधार) ऐसा सार्वभौम कार्य है।

उदाहरण 1

उस बिंदु के निर्देशांक खोजें जो खंड को , के संबंध में विभाजित करता है, यदि बिंदु ज्ञात हैं

समाधान: इस समस्या में। इस संबंध में खंड को विभाजित करने के सूत्रों के अनुसार, हम बिंदु पाते हैं:

उत्तर:

गणना तकनीक पर ध्यान दें: पहले आपको अलग-अलग अंश और अलग-अलग भाजक की गणना करने की आवश्यकता है। परिणाम अक्सर (लेकिन हमेशा किसी भी तरह से नहीं) एक तीन या चार मंजिला अंश होता है। उसके बाद, हम बहु-मंजिला अंश से छुटकारा पाते हैं और अंतिम सरलीकरण करते हैं।

कार्य को ड्राइंग की आवश्यकता नहीं है, लेकिन इसे ड्राफ्ट पर पूरा करना हमेशा उपयोगी होता है:

दरअसल, संबंध संतुष्ट है, यानी खंड खंड से तीन गुना छोटा है। यदि अनुपात स्पष्ट नहीं है, तो खंडों को हमेशा एक साधारण शासक के साथ मूर्खतापूर्ण तरीके से मापा जा सकता है।

बराबर हल करने का दूसरा तरीका: इसमें उलटी गिनती एक बिंदु से शुरू होती है और संबंध निष्पक्ष होता है: (मानव शब्दों में, खंड खंड से तीन गुना लंबा है)। इस संबंध में एक खंड को विभाजित करने के सूत्रों के अनुसार:

उत्तर:

ध्यान दें कि सूत्र में बिंदु के निर्देशांक को पहले स्थान पर ले जाना आवश्यक है, क्योंकि थोड़ा थ्रिलर इसके साथ शुरू हुआ था।

यह भी देखा जा सकता है कि सरल गणनाओं के कारण दूसरी विधि अधिक तर्कसंगत है। लेकिन फिर भी, इस समस्या को अक्सर "पारंपरिक" क्रम में हल किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई खंड शर्त द्वारा दिया गया है, तो यह माना जाता है कि आप एक अनुपात बना लेंगे, यदि एक खंड दिया गया है, तो "चुपचाप" का अर्थ अनुपात है।

और मैंने दूसरी विधि का हवाला इस कारण दिया कि अक्सर वे जानबूझकर समस्या की स्थिति को भ्रमित करने का प्रयास करते हैं। इसलिए, सबसे पहले, स्थिति का सही विश्लेषण करने के लिए, और दूसरी बात, सत्यापन उद्देश्यों के लिए, ड्राफ्ट ड्राइंग को अंजाम देना बहुत महत्वपूर्ण है। इतने सरल कार्य में गलती करना शर्म की बात है।

उदाहरण 2

दिए गए अंक . पाना:

ए) खंड को विभाजित करने वाला एक बिंदु;
बी) के संबंध में खंड को विभाजित करने वाला एक बिंदु।

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

कभी-कभी ऐसी समस्याएं होती हैं जहां खंड का कोई एक सिरा अज्ञात होता है:

उदाहरण 3

बिंदु खंड के अंतर्गत आता है। यह ज्ञात है कि खंड खंड से दोगुना लंबा है। एक बिंदु खोजें यदि .

समाधान: यह इस शर्त से अनुसरण करता है कि बिंदु खंड को ऊपर से गिनने के संबंध में विभाजित करता है, अर्थात अनुपात मान्य है:। इस संबंध में एक खंड को विभाजित करने के सूत्रों के अनुसार:

अब हम बिंदु के निर्देशांक नहीं जानते हैं: लेकिन यह कोई विशेष समस्या नहीं है, क्योंकि उन्हें उपरोक्त सूत्रों से आसानी से व्यक्त किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, यह कुछ भी व्यक्त करने के लायक नहीं है, विशिष्ट संख्याओं को प्रतिस्थापित करना और गणनाओं से सावधानीपूर्वक निपटना बहुत आसान है:

उत्तर:

जाँच करने के लिए, आप खंड के सिरों को ले सकते हैं और सूत्रों का प्रत्यक्ष क्रम में उपयोग करके, सुनिश्चित कर सकते हैं कि अनुपात वास्तव में एक बिंदु है। और, ज़ाहिर है, ड्राइंग अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा। और अंत में आपको एक चेकर नोटबुक, एक साधारण पेंसिल और एक शासक के लाभों के बारे में समझाने के लिए, मैं एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक मुश्किल काम का प्रस्ताव करता हूं:

उदाहरण 4

डॉट। खंड खंड से डेढ़ गुना छोटा है। एक बिंदु खोजें यदि बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हैं .

पाठ के अंत में समाधान। वैसे, यह केवल एक ही नहीं है, यदि आप नमूने से अलग तरीके से जाते हैं, तो यह कोई गलती नहीं होगी, मुख्य बात यह है कि उत्तर मेल खाते हैं।

स्थानिक खंडों के लिए, सब कुछ बिल्कुल समान होगा, केवल एक और समन्वय जोड़ा जाएगा।

यदि अंतरिक्ष में दो बिंदु ज्ञात हैं, तो उस बिंदु के निर्देशांक जो खंड को विभाजित करते हैं, सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं:
.

उदाहरण 5

अंक दिए गए हैं। खंड से संबंधित एक बिंदु के निर्देशांक खोजें यदि यह ज्ञात है कि .

समाधान: संबंध शर्त से निम्नानुसार है: . यह उदाहरण एक वास्तविक परीक्षण से लिया गया था, और इसके लेखक ने खुद को थोड़ा शरारत करने की अनुमति दी (अचानक कोई ठोकर खाता है) - इस तरह की स्थिति में अनुपात लिखना अधिक तर्कसंगत होगा: .

खंड के मध्य के निर्देशांक के सूत्रों के अनुसार:

उत्तर:

सत्यापन उद्देश्यों के लिए त्रि-आयामी आरेखण करना अधिक कठिन होता है। हालांकि, आप कम से कम स्थिति को समझने के लिए हमेशा एक योजनाबद्ध आरेखण बना सकते हैं - किन खंडों को सहसंबद्ध करने की आवश्यकता है।

उत्तर में भिन्नों के लिए, आश्चर्यचकित न हों, यह सामान्य है। मैंने इसे कई बार कहा, लेकिन मैं दोहराता हूं: उच्च गणित में सामान्य नियमित और अनुचित अंशों को चलाने की प्रथा है। फॉर्म में उत्तर दें करेगा, लेकिन अनुचित भिन्नों वाला संस्करण अधिक मानक है।

स्वतंत्र समाधान के लिए वार्म-अप कार्य:

उदाहरण 6

अंक दिए गए हैं। बिंदु के निर्देशांक खोजें यदि यह ज्ञात है कि यह खंड को के संबंध में विभाजित करता है।

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर। यदि अनुपात में उन्मुख करना मुश्किल है, तो एक योजनाबद्ध चित्र बनाएं।

स्वतंत्र और नियंत्रण कार्यों में, विचार किए गए उदाहरण अपने दम पर और बड़े कार्यों के अभिन्न अंग के रूप में पाए जाते हैं। इस अर्थ में, त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने की समस्या विशिष्ट है।

मुझे ऐसे कार्य का विश्लेषण करने का कोई मतलब नहीं दिखता है, जहां खंड का एक सिरा अज्ञात है, क्योंकि सब कुछ एक सपाट मामले की तरह दिखेगा, सिवाय इसके कि कुछ और गणनाएं हैं। स्कूल के वर्षों को बेहतर याद रखें:

खंड के मध्य के निर्देशांक के लिए सूत्र

यहां तक ​​​​कि बिना तैयारी के पाठक भी याद रख सकते हैं कि किसी खंड को आधा कैसे काटना है। एक खंड को दो बराबर भागों में विभाजित करने का कार्य इस संबंध में एक खंड को विभाजित करने का एक विशेष मामला है। दो-हाथ वाला आरी सबसे लोकतांत्रिक तरीके से काम करता है, और डेस्क पर प्रत्येक पड़ोसी को एक ही छड़ी मिलती है:

इस पवित्र समय में, महत्वपूर्ण अनुपात को सलाम करते हुए, ढोल पीटते हैं। और सामान्य सूत्र कुछ परिचित और सरल में चमत्कारिक रूप से परिवर्तित:

एक सुविधाजनक क्षण यह तथ्य है कि खंड के सिरों के निर्देशांक दर्द रहित रूप से पुनर्व्यवस्थित किए जा सकते हैं:

सामान्य सूत्रों में, ऐसी शानदार संख्या, जैसा कि आप समझते हैं, काम नहीं करता है। हां, और यहां इसकी कोई विशेष आवश्यकता नहीं है, इसलिए, एक सुखद ट्रिफ़ल।

स्थानिक मामले के लिए, एक स्पष्ट सादृश्य मान्य है। यदि खंड के सिरे दिए गए हैं, तो इसके मध्य के निर्देशांक सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं:

उदाहरण 7

समांतर चतुर्भुज इसके शीर्षों के निर्देशांकों द्वारा दिया जाता है। इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान: जो चाहें ड्राइंग को पूरा कर सकते हैं। मैं विशेष रूप से उन लोगों को भित्तिचित्रों की सलाह देता हूं जो स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम को पूरी तरह से भूल गए हैं।

एक प्रसिद्ध संपत्ति के अनुसार, समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है, इसलिए समस्या को दो तरीकों से हल किया जा सकता है।

विधि एक: विपरीत शीर्षों पर विचार करें . एक खंड को आधे में विभाजित करने के सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम विकर्ण का मध्य बिंदु पाते हैं:

किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक कैसे ज्ञात करें
सबसे पहले, आइए जानें कि खंड का मध्य क्या है।
एक खंड के मध्य बिंदु को एक ऐसा बिंदु माना जाता है जो इस खंड से संबंधित होता है और इसके सिरों से समान दूरी पर होता है।

इस खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात होने पर ऐसे बिंदु के निर्देशांक खोजना आसान होता है। इस मामले में, खंड के मध्य के निर्देशांक खंड के सिरों के संगत निर्देशांकों के योग के आधे के बराबर होंगे।
एक खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक अक्सर माध्यिका, मध्य रेखा आदि पर समस्याओं को हल करके पाए जाते हैं।
दो मामलों के लिए खंड के मध्य के निर्देशांक की गणना पर विचार करें: जब खंड विमान पर दिया जाता है और अंतरिक्ष में दिया जाता है।
मान लें कि समतल पर स्थित खंड को निर्देशांक और के साथ दो बिंदुओं द्वारा दिया गया है। फिर PH खंड के मध्य के निर्देशांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

बता दें कि इस खंड को निर्देशांक और के साथ दो बिंदुओं द्वारा अंतरिक्ष में दिया गया है। फिर PH खंड के मध्य के निर्देशांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण।
बिंदु K के निर्देशांक ज्ञात कीजिए - MO के मध्य में, यदि M (-1; 6) और O (8; 5)।

समाधान।
चूंकि बिंदुओं के दो निर्देशांक हैं, इसका मतलब है कि खंड विमान पर दिया गया है। हम संबंधित सूत्रों का उपयोग करते हैं:

नतीजतन, एमओ के मध्य में के (3.5; 5.5) निर्देशांक होंगे।

उत्तर।के (3.5; 5.5)।

कोई काम नहीं करता। उनकी गणना करने के लिए, एक सरल अभिव्यक्ति है जिसे याद रखना आसान है। उदाहरण के लिए, यदि किसी खंड के सिरों के निर्देशांक क्रमशः (x1; y1) और (x2; y2) हैं, तो इसके मध्य के निर्देशांकों की गणना इन निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य के रूप में की जाती है, अर्थात्:

यही पूरी कठिनाई है।
जैसा कि आपने पूछा था, एक विशिष्ट उदाहरण पर किसी एक खंड के केंद्र के निर्देशांक की गणना पर विचार करें।

एक कार्य।
एक निश्चित बिंदु M के निर्देशांक ज्ञात कीजिए यदि यह खंड KR का मध्यबिंदु (केंद्र) है, जिसके सिरों में क्रमशः निम्नलिखित निर्देशांक हैं: (-3; 7) और (13; 21), क्रमशः।

समाधान।
हम उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हैं:

उत्तर. एम (5; 14)।

इस सूत्र का उपयोग करके, आप न केवल एक खंड के मध्य के निर्देशांक, बल्कि उसके सिरों को भी पा सकते हैं। एक उदाहरण पर विचार करें।

एक कार्य।
दो बिंदुओं (7; 19) और (8; 27) के निर्देशांक दिए गए हैं। खंड के सिरों में से किसी एक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए यदि पिछले दो बिंदु इसके अंत और मध्य हैं।

समाधान।
आइए खंड के सिरों को K और P के रूप में और इसके मध्य को S के रूप में निरूपित करें। आइए नए नामों को ध्यान में रखते हुए सूत्र को फिर से लिखें:

ज्ञात निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें और व्यक्तिगत निर्देशांकों की गणना करें: