क्वांटम यांत्रिकी ने रीमैन परिकल्पना के संभावित प्रमाण का सुझाव दिया। रीमैन परिकल्पना

गणितीय भौतिकविदों ने 150 साल पुराने प्रमेय पर प्रगति की घोषणा की है जिसके लिए क्ले मैथमैटिकल इंस्टीट्यूट एक मिलियन डॉलर का इनाम दे रहा है। वैज्ञानिकों ने एक ऑपरेटर प्रस्तुत किया जो हिल्बर्ट-पोलिया अनुमान को संतुष्ट करता है, जिसमें कहा गया है कि एक अंतर ऑपरेटर मौजूद है जिसका eigenvalues Riemann zeta फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य से बिल्कुल मेल खाता है। यह लेख फिजिकल रिव्यू लेटर्स जर्नल में प्रकाशित हुआ था।

रीमैन हाइपोथिसिस मिलेनियम प्रॉब्लम्स में से एक है जिसके लिए अमेरिकन क्ले इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमैटिक्स एक मिलियन डॉलर का पुरस्कार देता है। पोंकारे परिकल्पना (पोंकारे-पेरेलमैन प्रमेय), जिसे हमारे हमवतन ने साबित किया, इस सूची में शामिल किया गया था। 1859 में तैयार की गई रीमैन परिकल्पना में कहा गया है कि रिमेंन ज़ेटा फ़ंक्शन के सभी गैर-तुच्छ शून्य (अर्थात, जटिल-मूल्यवान तर्क के मान जो फ़ंक्शन को गायब कर देते हैं) लाइन ½ + it पर स्थित हैं, अर्थात, इनका वास्तविक भाग ½ के बराबर होता है। जीटा फ़ंक्शन स्वयं गणित की कई शाखाओं में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, संख्या सिद्धांत में, यह किसी दिए गए से कम अभाज्य संख्याओं से संबंधित है।

फ़ंक्शन सिद्धांत भविष्यवाणी करता है कि जेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्यों का सेट भौतिक विज्ञान में अक्सर उपयोग किए जाने वाले विभेदक ऑपरेटरों के वर्ग से कुछ अन्य फ़ंक्शन के eigenvalues (मैट्रिक्स समीकरणों के लिए "समाधान") के सेट के समान होना चाहिए। इस तरह के गुणों के साथ एक विशिष्ट ऑपरेटर के अस्तित्व के विचार को हिल्बर्ट-पोलिया अनुमान कहा जाता है, हालांकि उनमें से किसी ने भी इस विषय पर पत्र प्रकाशित नहीं किया है। "चूंकि इस विषय पर 'लेखकों' द्वारा कोई प्रकाशन नहीं है, इसलिए परिकल्पना का निर्माण व्याख्या के आधार पर बदलता है," लेख के लेखकों में से एक, लंदन में ब्रुनेल विश्वविद्यालय से दोर्जे ब्रॉडी बताते हैं। - हालांकि, दो बिंदुओं को पूरा किया जाना चाहिए: ए) किसी को एक ऑपरेटर ढूंढना होगा जिसका ईजेनवैल्यू जेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य से मेल खाता है, और बी) यह निर्धारित करता है कि ईजेनवैल्यू वास्तविक संख्याएं हैं। हमारे काम का मुख्य लक्ष्य बिंदु a) था। भाग ख को सिद्ध करने के लिए और कार्य करने की आवश्यकता है)।

इस क्षेत्र में एक और महत्वपूर्ण अनुमान बेरी और कीटिंग का विचार है कि यदि वांछित ऑपरेटर मौजूद है, तो यह सैद्धांतिक रूप से कुछ गुणों के साथ कुछ क्वांटम सिस्टम के अनुरूप होगा। "हमने बेरी-कीटिंग हैमिल्टनियन के लिए परिमाणीकरण की स्थिति निर्धारित की, इस प्रकार उनके नाम का अनुमान साबित हुआ," ब्रॉडी कहते हैं। - यह निराशाजनक हो सकता है, लेकिन परिणामी हैमिल्टनियन किसी भी भौतिक प्रणाली से स्पष्ट रूप से मेल नहीं खाता है; कम से कम हमें ऐसा मैच नहीं मिला।"

सबसे बड़ी कठिनाई स्वदेशी मूल्यों की वैधता का प्रमाण है। लेखक इस बारे में आशावादी हैं, लेख में पीटी-समरूपता पर आधारित एक सहायक तर्क है। कण भौतिकी के इस विचार का अर्थ है कि यदि सभी चार-आयामी अंतरिक्ष-समय दिशाओं को उलट दिया जाता है, तो सिस्टम समान दिखाई देगा। प्रकृति आम तौर पर पीटी-सममित नहीं होती है, हालांकि, परिणामी ऑपरेटर के पास यह संपत्ति होती है। जैसा कि लेख में दिखाया गया है, यदि हम ऑपरेटर के काल्पनिक भाग के लिए इस समरूपता के उल्लंघन को साबित करते हैं, तो सभी eigenvalues वास्तविक होंगे, इस प्रकार रीमैन परिकल्पना के प्रमाण को पूरा करेंगे।

रीमैन परिकल्पना सात सहस्राब्दी समस्याओं में से एक है, इसके प्रमाण के लिए क्ले मैथमैटिक्स इंस्टीट्यूट, कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स $ 1 मिलियन का पुरस्कार देगा। एक प्रसिद्ध गणितीय पत्रिका में प्रकाशित समाधान विचार के लिए स्वीकार किए जाते हैं, और प्रकाशन के 2 साल बाद (गणितीय समुदाय द्वारा व्यापक विचार के लिए) (http://www.claymath.org/millennium/) से पहले नहीं।
मेरे अपने विचार और दृष्टिकोण थे, हमेशा की तरह, ज्ञात लोगों से बहुत अलग। मैं रीमैन परिकल्पना के बारे में कलात्मक रूप से लिखना चाहता था। मेरी गणना और सामग्री एकत्र करने की प्रक्रिया में, मैंने जॉन डर्बीशायर द्वारा एक सुंदर लिखित पुस्तक की खोज की: जॉन डर्बीशायर। प्रधान जुनून: बर्नहार्ड रीमैन और गणित में सबसे बड़ी अनसुलझी समस्या। एस्ट्रेल पब्लिशिंग हाउस, 2010
इस पुस्तक को पढ़ने के बाद मुझे केवल यह लिंक देना था।
"अगस्त 1859 में, बर्नहार्ड रीमैन बर्लिन एकेडमी ऑफ साइंसेज के संबंधित सदस्य बन गए; बत्तीस वर्षीय गणितज्ञ के लिए यह एक बड़े सम्मान की बात थी। परंपरा के अनुसार, रीमैन ने इस अवसर पर अकादमी को शोध के विषय पर एक पेपर प्रस्तुत किया जिसमें वे उस समय व्यस्त थे। इसे "किसी दिए गए मान से अधिक नहीं अभाज्य संख्याओं की संख्या पर" कहा जाता था। इसमें रीमैन ने साधारण अंकगणित के दायरे से एक साधारण प्रश्न की खोज की। इस प्रश्न को समझने के लिए, आइए पहले पता करें कि ऐसी कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं जो 20 से अधिक नहीं हैं। उनमें से आठ हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19। और कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं जो एक हजार से अधिक नहीं? दस लाख? अरब? क्या कोई सामान्य कानून या सामान्य सूत्र है जो हमें सीधे पुनर्गणना से बचाएगा?
रीमैन ने अपने समय के सबसे उन्नत गणितीय उपकरण का उपयोग करके इस समस्या का समाधान किया, उपकरण जो आज भी केवल उन्नत कॉलेज पाठ्यक्रमों में पढ़ाए जाते हैं; इसके अलावा, अपनी जरूरतों के लिए, उन्होंने एक गणितीय वस्तु का आविष्कार किया जो एक ही समय में शक्ति और लालित्य को जोड़ती है। अपने लेख के पहले तीसरे भाग के अंत में, वह इस वस्तु के बारे में कुछ अनुमान लगाता है, और फिर टिप्पणी करता है:
"बेशक, इस तथ्य का एक कठोर प्रमाण होना वांछनीय होगा, लेकिन कई छोटे फलहीन प्रयासों के बाद, मैंने इस तरह के सबूत की खोज को स्थगित कर दिया, क्योंकि यह मेरे शोध के तत्काल उद्देश्यों के लिए आवश्यक नहीं है।"
यह सामयिक अटकलें दशकों तक काफी हद तक किसी का ध्यान नहीं गया। लेकिन फिर, जिन कारणों से मैंने इस पुस्तक में वर्णन किया है, उन्होंने धीरे-धीरे गणितज्ञों की कल्पना पर कब्जा कर लिया, जब तक कि यह एक जुनून, एक अनूठा जुनून की स्थिति तक नहीं पहुंच गया।
रीमैन हाइपोथिसिस, जैसा कि इस अनुमान को कहा जाने लगा, 20 वीं शताब्दी के दौरान एक जुनून बना रहा और आज भी ऐसा ही बना हुआ है, जो अब तक इसे साबित करने या अस्वीकार करने के हर एक प्रयास को दर्शाता है। रीमैन हाइपोथिसिस के साथ यह जुनून पहले से कहीं ज्यादा मजबूत हो गया है पिछले साल काअन्य महान समस्याएं जो लंबे समय तक खुली रहीं, उन्हें सफलतापूर्वक हल किया गया: फोर कलर थ्योरम (1852 में तैयार, 1976 में हल), फ़र्मेट्स लास्ट थ्योरम (तैयार, जाहिरा तौर पर, 1637 में, 1994 में साबित हुआ), साथ ही साथ कई अन्य , पेशेवर गणितज्ञों की दुनिया के बाहर कम जाना जाता है। रीमैन परिकल्पना ने पूरे 20वीं शताब्दी में गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित किया। अपने समय के सबसे प्रमुख गणितीय दिमागों में से एक डेविड हिल्बर्ट ने गणितज्ञों की दूसरी अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस को संबोधित करते हुए कहा: "हाल ही में, हैडमर्ड, डे ला वेली द्वारा अभाज्य संख्याओं के वितरण के सिद्धांत में महत्वपूर्ण प्रगति की गई है। पॉसिन, वॉन मैंगोल्ड्ट और अन्य। लेकिन रीमैन के अध्ययन "एक दिए गए मान से अधिक नहीं होने वाले अभाज्य संख्या" में उत्पन्न समस्या के पूर्ण समाधान के लिए, सबसे पहले यह आवश्यक है कि रीमैन के अत्यंत महत्वपूर्ण अभिकथन की वैधता को सिद्ध किया जाए।<...>».
आगे हिल्बर्ट रीमैन परिकल्पना का सूत्रीकरण देता है। और यहाँ वही है जो प्रिंसटन में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी के निदेशक और हार्वर्ड विश्वविद्यालय में गणित के पूर्व प्रोफेसर फिलिप ए ग्रिफिथ्स ने सौ साल बाद कहा था। अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी के जर्नल के जनवरी 2000 के अंक में "21 वीं सदी के शोधकर्ताओं के लिए चुनौती" शीर्षक वाले अपने लेख में, वे लिखते हैं:
"20वीं शताब्दी की विशाल उपलब्धियों के बावजूद, दर्जनों बकाया समस्याएं अभी भी उनके समाधान की प्रतीक्षा कर रही हैं। शायद हम में से अधिकांश इस बात से सहमत होंगे कि निम्नलिखित तीन समस्याएं सबसे चुनौतीपूर्ण और दिलचस्प हैं।
इनमें से पहला है रीमैन हाइपोथीसिस, जो 150 वर्षों से गणितज्ञों को चिढ़ा रहा है।<...>».
20वीं शताब्दी के अंतिम वर्षों में संयुक्त राज्य अमेरिका में एक दिलचस्प विकास गणित के धनी उत्साही लोगों द्वारा वित्त पोषित निजी गणितीय अनुसंधान संस्थानों का उदय था। क्ले मैथमैटिकल इंस्टीट्यूट (बोस्टन फाइनेंसर लैंडन टी। क्ले द्वारा 1998 में स्थापित) और अमेरिकन मैथमैटिकल इंस्टीट्यूट (कैलिफोर्निया के उद्यमी जॉन फ्राई द्वारा 1994 में स्थापित) दोनों ने अपने शोध को रीमैन हाइपोथीसिस पर केंद्रित किया है। क्ले इंस्टीट्यूट ने इसे साबित करने या खंडन करने के लिए एक मिलियन डॉलर का पुरस्कार निर्धारित किया। अमेरिकन मैथमैटिकल इंस्टीट्यूट ने तीन पूर्ण-स्तरीय सम्मेलनों (1996, 1998 और 2000 में) में परिकल्पना को संबोधित किया, जिसने दुनिया भर के शोधकर्ताओं को एक साथ लाया। क्या ये नए दृष्टिकोण और पहल अंततः रीमैन परिकल्पना को हरा देंगे, यह देखा जाना बाकी है।
चार रंग प्रमेय या फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विपरीत, रीमैन परिकल्पना को इस तरह से तैयार करना आसान नहीं है जो इसे गैर-गणितज्ञ के लिए समझ में आता है, क्योंकि यह गणितीय सिद्धांत को समझने में मुश्किल का सार है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:
रीमैन परिकल्पना।
जीटा फ़ंक्शन के सभी गैर-तुच्छ शून्य
एक सेकंड के बराबर एक वास्तविक हिस्सा है।
जब आप रीमैन परिकल्पना के आसपास के कार्यों के संपर्क में आते हैं, तो एक रहस्यमय विचार न केवल विचारों और सोच के विकास के बारे में आता है, न केवल गणित के विकास के नियमों के बारे में, न केवल खुलासा करने की योजना की संरचना के बारे में। ब्रह्मांड के बारे में, लेकिन मौलिक ज्ञान, पूर्ण सत्य, लोगो के बारे में एक के कार्यक्रम के रूप में।
गणितीय अमूर्तता दुनिया पर राज करती है, प्राथमिक कणों के व्यवहार को नियंत्रित करती है, उच्च ऊर्जा, गणितीय संचालक कुछ भी उत्पन्न और नष्ट करते हैं। सामग्री के प्रभुत्व की कई शताब्दियों के बाद, सामग्री की पूजा, विश्व आत्मा की शक्ति फिर से गणितीय अमूर्तता के रूप में प्रकट होने लगी, पाइथागोरसवाद, प्लेटोनिज़्म आधुनिक विज्ञान के पद्धतिगत दिशानिर्देश बन गए।
मुझे बचपन से ही महान गणितज्ञों के कार्यों में त्रुटियाँ मिली हैं। ईर्ष्या या शरारत से बाहर नहीं, लेकिन बस सोच रहा था कि क्या मैं पाइथागोरस, डायोफैंटस, यूक्लिड, फ़र्मेट, मेर्सन, डेसकार्टेस, गॉस, यूलर, लीजेंड्रे, रीमैन, डिरिचलेट, डेडेकिंड, क्लेन, पोंकारे को पार कर सकता हूं। और अजीब तरह से पर्याप्त, उसने किया। नई समस्याएँ तैयार कीं, नए प्रमेय सिद्ध किए। लेकिन यह पता चला कि गणितीय दुनिया व्यवस्थित है, सटीकता और सबूत की आवश्यकताओं के बावजूद, किसी तरह नौकरशाही से। यह पता चला कि आपके साक्ष्य पर विश्वास नहीं किया जा सकता है। तर्क और निष्पक्षता के विपरीत। और वे प्रेस, रेडियो और टेलीविजन की कहानियों पर विश्वास करते हैं। उसी समय, मीडिया वास्तविक स्थिति को इतना विकृत कर देता है कि आप यह जानकर हैरान रह जाते हैं कि आपके वाक्यांशों को कैसे बदल दिया गया है। इसलिए मैंने इंटरव्यू से बचना शुरू कर दिया।
मैं परिकल्पना और रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के साथ-साथ परिकल्पना को साबित या अस्वीकृत करने के प्रयासों में कई त्रुटियों की उपस्थिति को नोट करना चाहता हूं। रीमैन ने जीटा फलन के शून्यों की खोज को अधिक महत्व नहीं दिया। लेकिन "प्रमुख" अनुयायियों के कोरस ने विश्वास से परे परिकल्पना के महत्व को बढ़ा दिया है। मैं प्राथमिक गणना भी दिखाता हूं कि परिकल्पना गलत है, कि अन्य समाधान भी हैं। सबसे पहले, जीटा फ़ंक्शन में समरूपता नहीं है जिसके बारे में बात की जा रही है - एक पूरी तरह से अलग फ़ंक्शन में समाधानों की समरूपता होती है। दूसरे, यदि आप आलसी नहीं हैं और जटिल चर वाले कार्यों के लिए समीकरणों की जड़ों की गणना करना जानते हैं, तो आप देख सकते हैं कि स्थिति वास्तव में कुछ अलग है। सुनिश्चित करना चाहते हैं? संलग्न चित्र में दिए गए सूत्रों को ध्यानपूर्वक पढ़ें। अधिक विस्तृत उदाहरण और गणना "द रीमैन की परिकल्पना प्रतिनियुक्ति फॉर्मूला" नोट में पाई जा सकती है। आप अपने सामान्यीकरण (विशेषकर स्वयं फ़ंक्शन) और संबंधित गणना जोड़ सकते हैं। "और छाती अभी खुली!"
मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

मैं हाल ही में सिद्ध हेनरी पोंकारे अनुमान के बारे में अधिक विस्तार से बात करना चाहता था, लेकिन फिर मैंने "समस्या का विस्तार" करने और संक्षिप्त रूप में "सब कुछ के बारे में" बताने का फैसला किया। इसलिए, 2000 में बोस्टन में क्ले इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमैटिक्स ने "सात सहस्राब्दी समस्याओं" की पहचान की और उनमें से प्रत्येक को हल करने के लिए एक मिलियन डॉलर का पुरस्कार दिया। वे यहाँ हैं:

1. पोंकारे का अनुमान
2. रीमैन परिकल्पना
3. नेवियर-स्टोक्स समीकरण
4. कुक की परिकल्पना
5. हॉज परिकल्पना
6. यांग-मिलिस सिद्धांत
7. बिर्च-स्विनर्टन-डायर परिकल्पना

हम अगली बार पॉइनकेयर अनुमान के बारे में बात करेंगे, अब हम अन्य समस्याओं के बारे में सामान्य शब्दों में बात करेंगे

रीमैन परिकल्पना (1859)

हर कोई जानता है कि अभाज्य संख्याएँ क्या हैं - वे संख्याएँ हैं जो 1 और स्वयं से विभाज्य हैं। वे। 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 आदि। लेकिन दिलचस्प बात यह है कि उनके प्लेसमेंट में किसी भी नियमितता की पहचान करना अब तक असंभव साबित हुआ है।
इसलिए, यह माना जाता है कि एक पूर्णांक x के पड़ोस में, क्रमिक अभाज्य संख्याओं के बीच की औसत दूरी x के लघुगणक के समानुपाती होती है। फिर भी, तथाकथित युग्मित प्राइम लंबे समय से ज्ञात हैं (जुड़वां अभाज्य संख्याएँ, जिनके बीच का अंतर 2 के बराबर है, उदाहरण के लिए 11 और 13, 29 और 31, 59 और 61। कभी-कभी वे पूरे समूह बनाते हैं, उदाहरण के लिए 101, 103 , 107, 109 और 113। यदि इस तरह के संचय बहुत बड़ी अभाज्य संख्याओं के क्षेत्र में भी पाए जाते हैं, तो वर्तमान में उपयोग की जाने वाली क्रिप्टोग्राफ़िक कुंजियों की ताकत अचानक एक बहुत बड़ा प्रश्न बन सकती है।
रीमैन ने अपने स्वयं के संस्करण का प्रस्ताव रखा, जो बड़ी अभाज्य संख्याओं की पहचान करने के लिए सुविधाजनक था। उनके अनुसार, अभाज्य संख्याओं के वितरण की प्रकृति वर्तमान में जो मान ली गई है, उससे काफी भिन्न हो सकती है। रीमैन ने पाया कि x से अनधिक अभाज्य संख्याओं की संख्या P(x) को रीमैन ज़ेटा फलन Z(s) के गैर-तुच्छ शून्यों के वितरण के रूप में व्यक्त किया जाता है। रीमैन ने अनुमान व्यक्त किया, जो अब तक सिद्ध या खंडन नहीं किया गया है, कि जीटा फ़ंक्शन के सभी गैर-तुच्छ शून्य सीधी रेखा R(z) = (1/2) पर स्थित हैं। (क्षमा करें, लेकिन मुझे नहीं पता कि ग्रीक अक्षरों को दिखाने के लिए एन्कोडिंग को कैसे बदला जाए)।
सामान्य तौर पर, रीमैन परिकल्पना (यदि संभव हो तो) को साबित करके और उपयुक्त एल्गोरिदम चुनकर, कई पासवर्ड और गुप्त कोड तोड़ना संभव होगा।

नेवियर-स्टोक्स समीकरण। (1830)

तरल पदार्थ और वायु प्रवाह के थर्मल संवहन का वर्णन करने वाला नॉनलाइनियर डिफर। यह मौसम विज्ञान के प्रमुख समीकरणों में से एक है।

पी - दबाव
एफ - बाहरी बल
आर (आरओ) - घनत्व
एन (एनयू) - चिपचिपापन
v जटिल गति है

संभवतः, इसका सटीक विश्लेषणात्मक समाधान विशुद्ध रूप से गणितीय दृष्टिकोण से दिलचस्प है, लेकिन समाधान के अनुमानित तरीके लंबे समय से मौजूद हैं। हमेशा की तरह ऐसे मामलों में, नॉनलाइनियर डिफ़र को कई रैखिक में विभाजित किया जाता है, एक और बात यह है कि रैखिक डिफ़र्स की प्रणाली का समाधान प्रारंभिक स्थितियों के लिए असामान्य रूप से संवेदनशील निकला। यह तब स्पष्ट हो गया जब कंप्यूटर की शुरुआत के साथ बड़ी मात्रा में डेटा को संसाधित करना संभव हो गया। इसलिए 1963 में, मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के एक अमेरिकी मौसम विज्ञानी एडवर्ड लोरेंज ने खुद से सवाल पूछा: कंप्यूटर के तेजी से सुधार से मौसम विज्ञानियों के सपने को साकार क्यों नहीं किया गया - एक विश्वसनीय मध्यम अवधि (2-3 सप्ताह) आगे) मौसम पूर्वानुमान? एडवर्ड लोरेंज ने सबसे सरल मॉडल का प्रस्ताव रखा, जिसमें तीन साधारण अंतर समीकरण शामिल थे, वायु संवहन का वर्णन करते हुए, इसकी गणना कंप्यूटर पर की और एक अद्भुत परिणाम प्राप्त किया। यह परिणाम - गतिशील अराजकता - नियतात्मक प्रणालियों में एक सीमित पूर्वानुमान क्षितिज के साथ एक जटिल गैर-आवधिक आंदोलन है (अर्थात, जहां भविष्य विशिष्ट रूप से अतीत द्वारा निर्धारित किया जाता है)। इस प्रकार, एक अजीब आकर्षण की खोज की गई थी। इस और अन्य समान प्रणालियों के व्यवहार की अप्रत्याशितता का कारण यह नहीं है कि दी गई प्रारंभिक स्थितियों के तहत समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता के बारे में गणितीय प्रमेय सत्य नहीं है, बल्कि इन प्रारंभिक स्थितियों के समाधान की असाधारण संवेदनशीलता में ठीक है। इसी तरह की प्रारंभिक स्थितियां अंततः सिस्टम की पूरी तरह से अलग अंतिम स्थिति की ओर ले जाती हैं। इसके अलावा, अंतर अक्सर समय के साथ तेजी से बढ़ता है, यानी बहुत जल्दी।

कुक की परिकल्पना (1971)

आप कितनी जल्दी किसी विशेष उत्तर की जांच कर सकते हैं - यह तर्क और कंप्यूटर गणना की अनसुलझी समस्या है! यह स्टीफन कुक द्वारा निम्नानुसार तैयार किया गया था: "क्या समस्या के समाधान की शुद्धता का सत्यापन समाधान की प्राप्ति से अधिक लंबा हो सकता है, सत्यापन एल्गोरिदम की परवाह किए बिना?"। इस समस्या को हल करने से डेटा के प्रसारण और भंडारण में उपयोग की जाने वाली क्रिप्टोग्राफी के मूल सिद्धांतों में क्रांति आ सकती है और तथाकथित एल्गोरिथम के विकास को आगे बढ़ाया जा सकता है। "क्वांटम कंप्यूटर", जो फिर से कोड की गणना से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम को तेज करने में मदद करेगा (उदाहरण के लिए, पासवर्ड की समान क्रैकिंग)।
मान लीजिए कि 10000 चर का एक फ़ंक्शन दिया गया है: f (x 1 ... x 10000), सादगी के लिए, हम मानते हैं कि चर 0 या 1 मान ले सकते हैं, फ़ंक्शन का परिणाम भी 0 या 1 है। एक एल्गोरिथम है जो काफी कम समय में दिए गए तर्कों के किसी भी सेट के लिए इस फ़ंक्शन की गणना करता है (मान लें कि t=0.1 सेकंड के लिए)।
यह पता लगाना आवश्यक है कि क्या तर्कों का एक सेट है जिस पर फ़ंक्शन का मान 1 के बराबर है। साथ ही, तर्कों का सेट जिस पर फ़ंक्शन 1 के बराबर है, हमें रूचि नहीं देता है। हमें केवल यह जानने की जरूरत है कि यह मौजूद है या नहीं। हम क्या कर सकते हैं? सबसे सरल बात यह है कि विभिन्न सेटों पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करते हुए, सभी संयोजनों में 1 से 10000 तक पूरे अनुक्रम को मूर्खतापूर्ण तरीके से लेना और क्रमबद्ध करना है। सबसे प्रतिकूल स्थिति में, हम इस पर 2 tN या 2 1000 सेकंड खर्च करेंगे, जो कि ब्रह्मांड की आयु से कई गुना अधिक है।
लेकिन अगर हम फलन f की प्रकृति को जानते हैं, तो
उन तर्कों के सेट को छोड़ कर गणना को कम करना संभव है जिन पर फ़ंक्शन 0 के रूप में जाना जाता है। कई वास्तविक समस्याओं के लिए, यह उन्हें स्वीकार्य समय में हल करने की अनुमति देगा। इसी समय, समस्याएं (तथाकथित एनपी-पूर्ण समस्याएं) हैं, जिनके लिए गणना को कम करने के बाद भी, कुल समाधान समय अस्वीकार्य रहता है।

अब भौतिक पक्ष के लिए। ज्ञातव्य है कि क्वांटम
कुछ संभावना के साथ राज्य 0 या 1 में हो सकता है। और दिलचस्प बात यह है कि आप यह पता लगा सकते हैं कि यह किस राज्य में है:

ए: 0 संभावना के साथ 1
बी: 1 प्रायिकता के साथ 1
C: 0 प्रायिकता p के साथ, 1 प्रायिकता 1-p . के साथ

क्वांटम कंप्यूटर पर कंप्यूटिंग का सार राज्य सी में 1000 क्वांटा लेना और उन्हें फ़ंक्शन एफ के इनपुट पर लागू करना है। यदि राज्य ए में एक क्वांटम आउटपुट पर प्राप्त होता है, तो इसका मतलब है कि सभी संभावित सेटों पर एफ = 0। ठीक है, अगर आउटपुट पर राज्य में क्वांटम प्राप्त होता है
बी या सी, इसका मतलब है कि एक सेट है जिस पर f=1.
स्पष्टतः। कि "क्वांटम कंप्यूटर" डेटा की गणना से जुड़े कार्यों में काफी तेजी लाएगा, लेकिन डेटा लिखने या पढ़ने में तेजी लाने के मामले में अप्रभावी होगा।

यांग-मिल्स सिद्धांत

यह, शायद, उन सात मुद्दों में से एकमात्र है जो वास्तव में मौलिक महत्व के हैं। इसका समाधान "एकीकृत क्षेत्र सिद्धांत" के निर्माण को महत्वपूर्ण रूप से आगे बढ़ाएगा, अर्थात। चार ज्ञात प्रकार के अंतःक्रियाओं के बीच एक नियतात्मक संबंध प्रकट करना

1. गुरुत्वाकर्षण
2. विद्युतचुंबकीय
3. मजबूत
4. कमजोर

1954 में, यांग जेनिंग (पीली जड़ जाति के प्रतिनिधि) और रॉबर्ट मिल्स ने एक सिद्धांत प्रस्तावित किया जिसके अनुसार विद्युत चुम्बकीय और कमजोर बलों को जोड़ा गया था (ग्लाशो, वेनबर्ग, सलाम - नोब। पुरस्कार 1979)। इसके अलावा, यह अभी भी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के आधार के रूप में कार्य करता है। लेकिन यहां गणितीय तंत्र विफल होना शुरू हो गया है। तथ्य यह है कि न्यूटनियन भौतिकी में "क्वांटम कण" "बड़े निकायों" से काफी अलग व्यवहार करते हैं। और यद्यपि सामान्य बिंदु हैं, उदाहरण के लिए, एक आवेशित कण एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र बनाता है, और एक गैर-शून्य द्रव्यमान वाला एक कण एक गुरुत्वाकर्षण बनाता है; या, उदाहरण के लिए, एक कण उन क्षेत्रों की समग्रता के बराबर है जो वह बनाता है, क्योंकि अन्य कणों के साथ कोई भी बातचीत इन क्षेत्रों के माध्यम से की जाती है; भौतिकी की दृष्टि से कण द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों पर विचार करना कण को ही मानने के समान है।
लेकिन यह "पहले सन्निकटन में" बोलने के लिए ऐसा ही है।
क्वांटम दृष्टिकोण में, एक ही कण को दो अलग-अलग तरीकों से वर्णित किया जा सकता है: एक निश्चित द्रव्यमान वाले कण के रूप में और एक निश्चित लंबाई के साथ एक लहर के रूप में। एक एकल कण-तरंग का वर्णन अंतरिक्ष में उसकी स्थिति से नहीं, बल्कि एक तरंग फलन (आमतौर पर Y के रूप में निरूपित) द्वारा किया जाता है, और इसका स्थान प्रकृति में संभाव्य है - एक निश्चित समय पर एक निश्चित बिंदु x पर एक कण खोजने की संभावना t वाई = पी (एक्स, टी) ^ 2 है। यह कुछ भी असामान्य नहीं लगेगा, लेकिन माइक्रोपार्टिकल्स के स्तर पर, निम्नलिखित "अप्रिय" प्रभाव उत्पन्न होता है - यदि कई क्षेत्र एक ही बार में एक कण पर कार्य करते हैं, तो उनका संयुक्त प्रभाव अब उनमें से प्रत्येक की कार्रवाई में व्यक्तिगत रूप से, शास्त्रीय रूप से विघटित नहीं हो सकता है। सुपरपोजिशन का सिद्धांत काम नहीं करता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि इस सिद्धांत में न केवल पदार्थ के कण एक-दूसरे की ओर आकर्षित होते हैं, बल्कि स्वयं क्षेत्र रेखाएं भी। इस वजह से, समीकरण गैर-रैखिक हो जाते हैं और रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए गणितीय तकनीकों का पूरा शस्त्रागार उन पर लागू नहीं किया जा सकता है। समाधान खोजना और यहां तक कि उनके अस्तित्व को साबित करना भी एक अतुलनीय रूप से अधिक कठिन कार्य हो जाता है।
यही कारण है कि इसे "माथे पर" हल करना शायद असंभव है, किसी भी मामले में, सिद्धांतकारों ने एक अलग रास्ता चुना है। इस प्रकार, यांग और मिल्स के निष्कर्षों पर भरोसा करते हुए, मरे गेल-मान ने मजबूत बातचीत (नोब। पुरस्कार) के सिद्धांत का निर्माण किया।
सिद्धांत का मुख्य "चाल" एक भिन्नात्मक विद्युत आवेश - क्वार्क वाले कणों की शुरूआत है।

लेकिन गणितीय रूप से विद्युत चुम्बकीय, मजबूत और कमजोर अंतःक्रियाओं को एक दूसरे से "संलग्न" करने के लिए, तीन शर्तों को पूरा करना होगा:

1. अंग्रेजी में मास स्पेक्ट्रम में "गैप" की उपस्थिति - मास गैप
2. क्वार्क कारावास: क्वार्क हैड्रॉन के अंदर बंद होते हैं और मूल रूप से मुक्त रूप में प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं
3. समरूपता तोड़ना

प्रयोगों से पता चला है कि ये शर्तें वास्तविक जीवन में पूरी होती हैं, लेकिन कोई कठोर गणितीय प्रमाण नहीं है। वे। वास्तव में, वाई-एम सिद्धांत को तीन संकेतित गुणों के साथ 4-आयामी अंतरिक्ष में अनुकूलित करना आवश्यक है। मेरे लिए, यह कार्य एक मिलियन से अधिक खींचता है। और यद्यपि एक भी सभ्य भौतिक विज्ञानी क्वार्क के अस्तित्व पर संदेह नहीं करता है, वे प्रयोगात्मक रूप से नहीं पाए गए हैं। यह माना जाता है कि 10 -30 के पैमाने पर विद्युत चुम्बकीय, मजबूत और कमजोर अंतःक्रियाओं के बीच कोई अंतर खो जाता है (तथाकथित "महान एकीकरण"), एक और बात यह है कि इस तरह के प्रयोगों के लिए आवश्यक ऊर्जा (10 16 GeV से अधिक) ) त्वरक पर प्राप्त नहीं किया जा सकता है। लेकिन चिंता न करें - महान एकीकरण की परीक्षा अगले कुछ वर्षों की बात है, जब तक कि निश्चित रूप से, कोई भी अनावश्यक समस्या मानवता पर न पड़े। भौतिकविदों ने पहले ही प्रोटॉन की अस्थिरता (जेएम सिद्धांत का एक परिणाम) से जुड़े एक परीक्षण प्रयोग को विकसित कर लिया है। लेकिन यह विषय हमारे संदेश के दायरे से बाहर है।

खैर, आइए याद रखें कि यह सब कुछ नहीं है। आखिरी गढ़ बना हुआ है-गुरुत्वाकर्षण। हम वास्तव में इसके बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं, सिवाय इसके कि "सब कुछ आकर्षित होता है" और "स्पेस-टाइम मुड़ा हुआ है"। यह स्पष्ट है कि दुनिया की सभी ताकतें एक महाशक्ति में सिमट गई हैं या, जैसा कि वे कहते हैं, "सुपरयूनिफिकेशन"। लेकिन सुपरयूनिफिकेशन सिद्धांत क्या है? एलिक आइंस्टीन का मानना था कि यह सिद्धांत सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत की तरह ज्यामितीय है। यह अच्छी तरह से हो सकता है। वे। सबसे प्राथमिक स्तर पर भौतिकी सिर्फ ज्यामिति है।

बिर्च और स्विनर्टन-डायर परिकल्पना

फ़र्मेट की बड़ी प्रमेय याद रखें, माना जाता है कि 1994 में कुछ अंग्रेजी द्वारा सिद्ध किया गया था? 350 साल लगे! तो अब समस्या जारी है - आपको पूर्णांकों में सभी समाधानों का वर्णन करने की आवश्यकता है
x, y, z बीजगणितीय समीकरण, यानी कई चर में समीकरण
पूर्णांक गुणांक के साथ। बीजीय समीकरण का एक उदाहरण समीकरण है
एक्स 2 + वाई 2 \u003d जेड 2। यूक्लिड ने दिया पूरा विवरण
इस समीकरण के समाधान, लेकिन अधिक जटिल समीकरणों के लिए, समाधान प्राप्त करना
अत्यंत कठिन हो जाता है (उदाहरण के लिए, पूर्णांकों की अनुपस्थिति को सिद्ध करना
समीकरण x n + y n = z n) के हल।
बिर्च और स्विनर्टन-डायर ने सुझाव दिया कि समाधान की संख्या का निर्धारण बिंदु 1 पर समीकरण से जुड़े जीटा फ़ंक्शन ζ(s) के मान से होता है: यदि बिंदु 1 पर zeta फ़ंक्शन (s) का मान 0 है, तो समाधान की अनंत संख्या है, और इसके विपरीत, यदि 0 के बराबर नहीं है, तो ऐसे समाधानों की केवल एक सीमित संख्या है। यहाँ समस्या, वैसे, रीमैन परिकल्पना के साथ कुछ समान है, केवल वहाँ जीटा फ़ंक्शन (s) के गैर-तुच्छ शून्यों के वितरण का अध्ययन किया गया था

हॉज परिकल्पना
शायद सबसे सारगर्भित विषय।
जैसा कि ज्ञात है, जटिल ज्यामितीय वस्तुओं के गुणों का वर्णन करने के लिए, उनके गुणों का अनुमान लगाया जाता है। खैर, उदाहरण के लिए, एक गेंद (हालांकि यह काफी सरल है) को छोटे वर्गों वाली सतह के रूप में दर्शाया जा सकता है। लेकिन अगर अधिक जटिल सतहें हैं, तो सवाल उठता है कि बढ़ते आयाम के साधारण निकायों को एक साथ चिपकाकर हम किसी वस्तु के आकार को किस हद तक अनुमानित कर सकते हैं? यह विधि गणित में आने वाली विभिन्न वस्तुओं का वर्णन करने में कारगर साबित हुई, लेकिन कुछ मामलों में ऐसे भागों को जोड़ना आवश्यक था जिनकी कोई ज्यामितीय व्याख्या नहीं थी।
मैंने इस विषय पर गेलफैंड-मैनिन की सारगर्भित पुस्तक को देखा, यह चिकनी गैर-कॉम्पैक्ट संरचनाओं के लिए हॉज सिद्धांत का वर्णन करता है, लेकिन ईमानदार होने के लिए, मुझे बहुत कम समझ में आया, मैं वास्तव में सामान्य रूप से विश्लेषणात्मक ज्यामिति को नहीं समझता। वहां, मुद्दा यह है कि कुछ चक्रों में इंटीग्रल की गणना अवशेषों के माध्यम से की जा सकती है, और आधुनिक कंप्यूटर इस पर अच्छे हैं।
हॉज अनुमान ही यह है कि कुछ प्रकार के रिक्त स्थान के लिए जिन्हें प्रक्षेपी बीजगणितीय किस्में कहा जाता है, तथाकथित। हॉज चक्र वस्तुओं के संयोजन होते हैं जिनकी ज्यामितीय व्याख्या होती है - बीजीय चक्र।

15-लाइन समाधान प्रसिद्ध ब्रिटिश वैज्ञानिक सर माइकल फ्रांसिस अतियाह द्वारा प्रस्तुत किया गया था ( माइकल फ्रांसिस अतियाहो), प्रतिष्ठित गणितीय पुरस्कारों के विजेता। वह मुख्य रूप से गणितीय भौतिकी के क्षेत्र में काम करता है। विज्ञानरिपोर्ट है कि अतिया ने एक सम्मेलन में अपनी खोज के बारे में बात की हीडलबर्ग पुरस्कार विजेता फोरमसोमवार को हीडलबर्ग विश्वविद्यालय में।

जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, रीमैन परिकल्पना तैयार की गई थी, 1859 में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा। गणितज्ञ ने जीटा फ़ंक्शन की अवधारणा पेश की - एक जटिल चर के लिए एक फ़ंक्शन - और इसका उपयोग अभाज्य संख्याओं के वितरण का वर्णन करने के लिए किया। अभाज्य संख्याओं के साथ मूल समस्या यह थी कि वे बिना किसी स्पष्ट पैटर्न के प्राकृतिक संख्याओं की एक श्रृंखला में बस वितरित किए जाते हैं। रीमैन ने x से अनधिक अभाज्य संख्याओं के लिए अपना वितरण फलन प्रस्तावित किया, लेकिन वह यह नहीं बता सका कि निर्भरता क्यों उत्पन्न होती है। इस समस्या के समाधान के लिए वैज्ञानिक लगभग 150 वर्षों से संघर्ष कर रहे हैं।

रीमैन परिकल्पना को "" (मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं) की सूची में शामिल किया गया है, जिनमें से प्रत्येक के समाधान के लिए एक मिलियन डॉलर का इनाम देय है। इन समस्याओं में से केवल एक को हल किया गया है - पॉइनकेयर अनुमान। इसका समाधान एक रूसी गणितज्ञ ने 2002 में अपने पत्रों की एक श्रृंखला में प्रस्तावित किया था। 2010 में, वैज्ञानिक को पुरस्कार से सम्मानित किया गया था, लेकिन उन्होंने इसे अस्वीकार कर दिया।

माइकल अतियाह ने रीमैन के पैटर्न की व्याख्या करने का दावा किया है। अपने प्रमाण में, गणितज्ञ मौलिक भौतिक स्थिरांक पर निर्भर करता है - ठीक संरचना स्थिरांक, जो आवेशित कणों के बीच विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं की शक्ति और प्रकृति का वर्णन करता है। अपेक्षाकृत अस्पष्ट टॉड फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए इस स्थिरांक का वर्णन करते हुए, अतिया ने विरोधाभास द्वारा रीमैन परिकल्पना का समाधान पाया।

वैज्ञानिक समुदाय प्रस्तावित प्रमाण को स्वीकार करने की जल्दी में नहीं है। उदाहरण के लिए, नॉर्वेजियन यूनिवर्सिटी ऑफ़ साइंस एंड टेक्नोलॉजी के एक अर्थशास्त्री जोर्गन विसडल ( जोर्गेन वीसडाल), जिन्होंने पहले रीमैन परिकल्पना का अध्ययन किया था, ने कहा कि अतियाह का समाधान "बहुत अस्पष्ट और अनिश्चित" था। निष्कर्ष पर आने के लिए वैज्ञानिक को लिखित साक्ष्य का अधिक ध्यान से अध्ययन करने की आवश्यकता है। अतिया के साथियों ने किया संपर्क विज्ञान, ने यह भी नोट किया कि वे प्रस्तुत समाधान को सफल नहीं मानते, क्योंकि यह अस्थिर संघों पर आधारित है। यूसी रिवरसाइड गणितीय भौतिक विज्ञानी जॉन बेज ( जॉन बेज़ो) और यहां तक कि कहा कि अतियाह का प्रमाण "बिना किसी तर्क या वास्तविक औचित्य के एक प्रभावशाली दावे को दूसरे पर थोप देता है।"

माइकल अतियाह खुद मानते हैं कि उनका काम न केवल रीमैन परिकल्पना को साबित करने की नींव रखता है, बल्कि गणित में अन्य अनसुलझे समस्याओं को भी साबित करता है। आलोचना के बारे में, वे कहते हैं, "लोग शिकायत करेंगे और बड़बड़ाएंगे, लेकिन ऐसा इसलिए है क्योंकि वे इस विचार से सहमत नहीं हैं कि बूढ़ा एक पूरी नई विधि के साथ आ सकता है।"

दिलचस्प बात यह है कि अतीत में, वैज्ञानिक पहले भी इसी तरह के हाई-प्रोफाइल बयान दे चुके हैं और आलोचना का सामना कर चुके हैं। 2017 में, अतिया ने लंदन संस्करण को बताया कई बारकि उन्होंने 255-पृष्ठ फीट-थॉम्पसन या ऑड ऑर्डर प्रमेय को घटाकर 1963 में 12 पृष्ठों तक कर दिया। गणितज्ञ ने अपना प्रमाण 15 विशेषज्ञों को भेजा, लेकिन उन्होंने काम को कभी भी सकारात्मक अंक नहीं दिए, और परिणामस्वरूप यह किसी भी वैज्ञानिक पत्रिका में प्रकाशित नहीं हुआ। एक साल पहले, अतिया ने डिफरेंशियल ज्योमेट्री में एक प्रसिद्ध समस्या के समाधान की घोषणा की थी। वैज्ञानिक ने ArXiv.org पर इस समाधान के साथ लेख का एक प्रीप्रिंट प्रकाशित किया। जल्द ही, सहकर्मियों ने काम में कई अशुद्धियों की ओर इशारा किया, और लेख का पूर्ण-पाठ संस्करण कभी प्रकाशित नहीं हुआ।

ये त्रुटियां अब बड़े पैमाने पर रीमैन परिकल्पना को साबित करने के बारे में वैज्ञानिक समुदाय के संदेह का समर्थन करती हैं। अतिये को क्ले इंस्टीट्यूट के मूल्यांकन के लिए इंतजार करना पड़ता है, जो "सहस्राब्दी समस्याओं" को हल करने के लिए पुरस्कार देता है। अभी के लिए, आप Google ड्राइव के लिंक पर गणितज्ञ का प्रमाण पढ़ सकते हैं, जिसे उन्होंने स्वयं सार्वजनिक डोमेन में पोस्ट किया था।

15-लाइन समाधान प्रसिद्ध ब्रिटिश वैज्ञानिक सर माइकल फ्रांसिस अतियाह द्वारा प्रस्तुत किया गया था ( माइकल फ्रांसिस अतियाहो), प्रतिष्ठित गणितीय पुरस्कारों के विजेता। वह मुख्य रूप से गणितीय भौतिकी के क्षेत्र में काम करता है। विज्ञानरिपोर्ट है कि अतिया ने सम्मेलन में अपनी खोज के बारे में बताया हीडलबर्ग पुरस्कार विजेता फोरमसोमवार को हीडलबर्ग विश्वविद्यालय में।

रीमैन परिकल्पना सात मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं में से एक है, जिनमें से प्रत्येक की कीमत एक मिलियन डॉलर है। इन समस्याओं में से केवल एक को हल किया गया है - पॉइनकेयर अनुमान। इसका समाधान रूसी गणितज्ञ ग्रिगोरी पेरेलमैन ने 2002 में अपने कार्यों की एक श्रृंखला में प्रस्तावित किया था। 2010 में, वैज्ञानिक को पुरस्कार से सम्मानित किया गया था, लेकिन उन्होंने इसे अस्वीकार कर दिया।

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