जब हम किसी विशेष समस्या को हल करने के बारे में सोचते हैं, तो इस बात पर ध्यान देना आवश्यक है कि उसमें कितनी मात्राओं का उपयोग किया जाता है। पूर्ण या भिन्नात्मक? सकारात्मक या नकारात्मक? आखिरकार, एक तुच्छ विवरण न केवल किसी विशेष समस्या को हल करने में त्रुटि को खत्म करने में मदद करता है, बल्कि स्वयं समाधान खोजने में भी मदद करता है। आइए इसे एक उदाहरण के साथ देखें।

बता दें कि मिशा (अगर साइट विजिटर मिखाइल है तो मैं पहले से माफी मांगता हूं) के पास पांच रूबल और कहें, आठ रूबल के सिक्के हैं। कुल उनतीस रूबल हैं। मीशा के पास कितने पाँच रूबल के सिक्के हैं और कितने आठ रूबल के सिक्के हैं।

ऐसा लगता है कि यहां पर्याप्त डेटा नहीं है, यदि, उदाहरण के लिए, x 5-रूबल के सिक्कों की संख्या को दर्शाता है, और y - 8-रूबल के सिक्के, तो समस्या की स्थिति ही हमें एक एकल समीकरण लिखने की अनुमति देती है:

ये और अन्य समीकरण और उनके सिस्टम, जिनमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या से अधिक होती है, अनिश्चित कहलाती है।

यह इस शर्त से देखा जा सकता है कि सिक्कों की संख्या को गैर-पूर्णांक या ऋणात्मक संख्याओं से नहीं मापा जा सकता है। अतः, यदि x एक ऋणेतर पूर्णांक है, तो:

गैर-ऋणात्मक और पूर्णांक होना चाहिए। इसका अर्थ है कि व्यंजक 39 - 5x बिना किसी शेषफल के 8 से विभाज्य होना चाहिए। चयन की सहायता से, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि x = 3 के साथ यह संभव है। इसलिए, y = 3।

जब हम बड़ी संख्या में काम करते हैं तो विकल्पों की गणना सुविधाजनक नहीं होती है। बिखरने की विधि या वंश की विधि का उपयोग करना बहुत बेहतर है, जिसका आविष्कार प्राचीन भारतीय गणितज्ञों ने किया था। वंश विधि के बारे में नीचे चर्चा की जाएगी।

(अवंता+ विश्वकोश "गणित" से ली गई सामग्री)

आइए हम फॉर्म के अनिश्चित समीकरण पर विचार करना जारी रखें:

जहाँ a, b, c पूर्णांक गुणांक ज्ञात हैं।

आइए इसे एक परिचित उदाहरण के साथ देखें:

हम अज्ञात को सबसे छोटे गुणांक के साथ चुनते हैं और इसे दूसरे अज्ञात के रूप में व्यक्त करते हैं:

अब पूरे भाग का चयन करें:

यदि मान (4 - 3y)/5 एक पूर्णांक हो जाता है, तो पूर्ण संख्या एक पूर्णांक होगी। यह तभी संभव है जब संख्या (4 - 3y) बिना किसी शेषफल के 5 से विभाज्य हो। एक अतिरिक्त पूर्णांक चर z का परिचय देते हुए, हम अंतिम शर्त को रूप में लिखते हैं

हम मूल समीकरण के समान प्रकार के समीकरण पर पहुंचे हैं, लेकिन छोटे गुणांकों के साथ। अब आपको इसे चर y और z के संबंध में हल करने की आवश्यकता है।

हम उसी सिद्धांत पर कार्य करना जारी रखते हैं:

y को एक पूर्णांक बनाने के लिए, यह आवश्यक है कि संख्या 1 - 2z शेष के बिना 3 से विभाज्य हो: 1 - 2z = 3u (एक अतिरिक्त चर u को फिर से पेश किया गया है, जो केवल पूर्णांक मान लेता है) . यहाँ से, पहले से तैयार योजना के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

चलिए जारी रखते हैं... संख्या z एक पूर्णांक होगी यदि संख्या 1 - u बिना शेष के 2 से विभाज्य है: 1 - u = 2v, जहाँ v एक मनमाना पूर्णांक है। अत: u = 1 - 2v। कोई और शॉट नहीं हैं, वंश समाप्त हो गया है।

यह अब सुरक्षित रूप से "उठने के लिए" बनी हुई है। आइए हम पहले z, फिर y और अंत में x को चर v के रूप में व्यक्त करें:

सूत्र x = 3 + 8v, y = 3 - 5v पूर्णांकों में मूल समीकरण के सामान्य हल का प्रतिनिधित्व करते हैं। और अगर हम केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों में रुचि रखते हैं, तो सभी पूर्णांक समाधानों में से हमें उन पूर्णांकों को चुनना होगा जिनके लिए

इस समीकरण को हल करने का अर्थ है:

1) अज्ञात और मापदंडों के स्वीकार्य मूल्यों का सेट निर्धारित करें;

2) पैरामीटर मानों की प्रत्येक स्वीकार्य प्रणाली के लिए, समीकरणों के समाधान के संबंधित सेट खोजें।

एक अज्ञात के साथ पहली डिग्री के सबसे सरल समीकरण का रूप ax-b=0 है।

जब समीकरण का एक अद्वितीय हल हो, जो होगा: धनात्मक, यदि या; शून्य अगर; नकारात्मक अगर या।

यदि a = 0 है, तो b = 0 के लिए अनंत समाधान हैं, और b0 के लिए कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण 1. a के प्रत्येक मान के लिए, समीकरण को हल करें; खोजें जिसके लिए और मूल शून्य से अधिक हैं।

यह समीकरण एक रैखिक समीकरण नहीं है (अर्थात यह एक भिन्न है), लेकिन x-1 और x0 के लिए यह इसे घटाकर: या a-1-x=0 कर देता है।

हम पहले से ही x (x-1 और x0) के स्वीकार्य मानों की पहचान कर चुके हैं, अब हम पैरामीटर के स्वीकार्य मानों को प्रकट करेंगे:

a-1-x=0 a=x+1

इससे यह देखा जा सकता है कि x0 a1 पर और x-1 a0 पर।

इस प्रकार, a1 और a0 x=a-1 के लिए और यह रूट a>1 के लिए शून्य से बड़ा है।

उत्तर: एक पर<0 х=а-1; при решений нет, а при a>1 जड़ें सकारात्मक हैं।

उदाहरण 2. समीकरण (1) को हल करें।

k और x के मान्य मान वे मान होंगे जिनके लिए।

आइए समीकरण को उसके सरलतम रूप में लाएं:

(9 - के)x =3k-12 (2)

आइए k खोजें जिसके लिए मूल समीकरण का कोई मतलब नहीं है:

(2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

यदि हम स्थानापन्न करते हैं, तो हमें वही मिलता है।

इस प्रकार, समीकरण (1) पर कोई संख्यात्मक अर्थ नहीं है, अर्थात, (1) के लिए पैरामीटर k के अमान्य मान हैं। पर, हम केवल समीकरण (2) को हल कर सकते हैं।

1. यदि, तो समीकरण (2) और इसके साथ समीकरण (1) का एक अद्वितीय हल होगा, जो होगा:

ए) सकारात्मक अगर, 4 . पर

बी) शून्य अगर;

सी) नकारात्मक अगर और के> 9, खाते में लेना

हमें मिला।

2. यदि, तो समीकरण (2) का कोई हल नहीं है।

उत्तर: ए) के लिए और, और x>0 के लिए; x = 0 k = 4 के लिए; एक्स<0 при;

b) पर, समीकरण का कोई हल नहीं है।

मापांक के साथ रैखिक समीकरणों को हल करना

आरंभ करने के लिए, यह याद रखने योग्य है कि किसी संख्या का मापांक क्या है। तो, किसी संख्या का निरपेक्ष मान या मापांक संख्या x ही है, यदि x धनात्मक है, तो संख्या (-x), यदि x ऋणात्मक है, या शून्य है, यदि x = 0 है। मापांक मान केवल धनात्मक हो सकता है।

मापांक के चिह्न वाले पैरामीट्रिक समीकरणों के समाधान को समझने के लिए, समाधान को दृष्टिगत रूप से प्रदर्शित करना सबसे अच्छा है, अर्थात। उदाहरण दो:

उदाहरण 1. समीकरण को हल करें |x-2|=b।

चूंकि, मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार, |x-2|, फिर b . के लिए<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.

अगर b>0, तो समीकरण के समाधान संख्याएं x=2+b और x=2-b हैं।

उत्तर: b . के लिए<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 x=2+b और x=2-b।

उदाहरण 2. समीकरण को हल करें |x-a|=|x-4|। दो स्थितियों के लिए अंतराल विधि द्वारा इस समीकरण को हल करना सबसे सुविधाजनक है:

1. पहला अंतराल:

दूसरा अंतराल:

वे। यदि एक<4, то.

तीसरा अंतराल:

ए = 4, यानी अगर ए = 4, तो।

2. पहला अंतराल:

दूसरा अंतराल:

ए> 4, यानी। अगर 4<а, то

तीसरा अंतराल:

उत्तर: a \u003d 4 x-किसी के साथ;, a . के साथ<4 .

उदाहरण 3. पैरामीटर a के प्रत्येक मान के लिए, समीकरण |x+3|- a| . को संतुष्ट करने वाले x के सभी मान ज्ञात कीजिए एक्स - 1| = 4।

3 अंतरालों पर विचार करें: 1), 2), 3) और प्रत्येक अंतराल पर मूल समीकरण को हल करें।

a=1 के लिए, समीकरण का कोई हल नहीं है, लेकिन a1 के लिए, समीकरण का एक मूल है। अब हमें यह पता लगाना है कि कौन सा x अंतराल x . पर पड़ता है< - 3, т.е. , . Следовательно, исходное уравнение на x< - 3 имеет один корень при, а на остальных а корней не имеет.

जब a = -1, समीकरण का हल कोई x होता है; लेकिन हम बीच में फैसला करते हैं। यदि a1, तो समीकरण का एक मूल x=1 है।

ए = 1 के लिए, समाधान कोई भी संख्या है, लेकिन हम तय करते हैं। यदि a1, तो x=1.

उत्तर: पर; a= - 1 पर और a1 x=1 पर; a=1 के लिए और a1 x=1 के लिए।

एक पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना

आरंभ करने के लिए, मैं आपको याद दिला दूं कि द्विघात समीकरण उस रूप का एक समीकरण है, जहां a, b और c संख्याएं हैं, इसके अलावा, a0।

पैरामीट्रिक द्विघात समीकरणों की शर्तें भिन्न हो सकती हैं, लेकिन उन सभी के समाधान के लिए एक साधारण द्विघात समीकरण के गुणों को लागू करना आवश्यक है:

a) यदि D>0, a>0, तो समीकरण के दो वास्तविक भिन्न मूल हैं, जिनके चिह्न c>0 के लिए समान हैं और गुणांक b के चिह्न में विपरीत हैं, और c के लिए<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.

b) यदि D=0, a>0, तो समीकरण के दो वास्तविक और समान मूल हैं, जिसका चिह्न गुणांक b के चिह्न के विपरीत है।

ग) यदि डी<0, а>0 है, तो समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

इसी तरह, a . के लिए जड़ों के गुणों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:

1. यदि आप गुणांक a और c की अदला-बदली करते हैं, तो परिणामी द्विघात समीकरण के मूल इस समीकरण के मूल के व्युत्क्रम होंगे।

2. यदि आप गुणांक b का चिह्न बदलते हैं, तो परिणामी द्विघात समीकरण के मूल इस समीकरण के मूल के विपरीत होंगे।

3. यदि गुणांक a और c के अलग-अलग चिह्न हैं, तो समीकरण के वास्तविक मूल हैं।

उदाहरण 1। पैरामीटर के सभी मान खोजें जिसके लिए द्विघात समीकरण: a) की दो अलग-अलग जड़ें हैं; बी) कोई जड़ नहीं है; c) दो बराबर जड़ें हैं।

यह समीकरण शर्त से द्विघात है, इसलिए a-1। इस समीकरण के विभेदक पर विचार करें:

a>-1 के लिए, समीकरण के दो भिन्न मूल हैं, क्योंकि डी> 0, ए के लिए<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.

उदाहरण 2। प्रश्न हल करें

a=0 के लिए, समीकरण रैखिक 2x+1=0 है, जिसका एक अद्वितीय समाधान x=-0.5 है। और a0 पर, समीकरण द्विघात है और इसका विभेदक D=4-4a है।

एक>1 डी . के लिए<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня =-1.

एक के लिए<1, но а0, D>0 और इस समीकरण के दो भिन्न मूल हैं

उत्तर: और a . के लिए<1, но а0; х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1.

उदाहरण3. समीकरण की जड़ें ऐसी हैं कि। लगता है।

विएटा के प्रमेय के अनुसार और। आइए पहली समानता के दोनों भागों को वर्गाकार करें: . यह देखते हुए कि, a, हमें प्राप्त होता है: या, । चेक से पता चलता है कि सभी मान शर्त को पूरा करते हैं।

शक्ति सूत्रसमीकरणों और असमानताओं को हल करने में जटिल अभिव्यक्तियों को कम करने और सरल बनाने की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है।

संख्या सीहै एन-एक संख्या की शक्ति एकजब:

डिग्री के साथ संचालन।

1. एक ही आधार से डिग्रियों को गुणा करने पर, उनके संकेतक जुड़ते हैं:

पूर्वाह्नए एन = ए एम + एन।

2. एक ही आधार के साथ डिग्री के विभाजन में, उनके संकेतक घटाए जाते हैं:

3. 2 या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है:

(एबीसी…) एन = ए एन बी एन सी एन …

4. भिन्न की घात, भाज्य और भाजक की अंशों के अनुपात के बराबर होती है:

(ए/बी) एन = ए एन / बी एन।

5. किसी घात को घात में बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है:

(एम) एन = एक एम एन।

ऊपर दिया गया प्रत्येक सूत्र बाएं से दाएं और इसके विपरीत दिशाओं में सही है।

उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

जड़ों के साथ संचालन।

1. कई कारकों के उत्पाद की जड़ इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर होती है:

2. अनुपात का मूल लाभांश और मूल के भाजक के अनुपात के बराबर होता है:

3. जब किसी जड़ को किसी घात में ऊपर उठाया जाता है, तो यह मूल संख्या को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त होता है:

4. यदि हम जड़ की मात्रा को में बढ़ाते हैं एनएक बार और एक ही समय में बढ़ाएँ एन th पावर एक रूट नंबर है, तो रूट का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि हम जड़ की डिग्री को में घटा दें एनएक ही समय में जड़ एनमूलांक से th डिग्री, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री।एक गैर-सकारात्मक (पूर्णांक) घातांक वाली संख्या की डिग्री को गैर-सकारात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर एक घातांक के साथ समान संख्या की डिग्री से विभाजित के रूप में परिभाषित किया जाता है:

सूत्र पूर्वाह्न:ए एन = ए एम - एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम> एन, लेकिन यह भी एम< एन.

उदाहरण के लिए. एक4:ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.

सूत्र के लिए पूर्वाह्न:ए एन = ए एम - एननिष्पक्ष हो गया एम = एन, आपको शून्य डिग्री की उपस्थिति की आवश्यकता है।

शून्य घातांक के साथ डिग्री।शून्य घातांक वाली किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात एक के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री।वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिए एकएक स्तर तक मी/एन, आपको जड़ निकालने की जरूरत है एनकी डिग्री एमइस संख्या की शक्ति एक.

137. कार्य। अनुभव से यह पता चला है कि 148 किलो वजन वाले चांदी और तांबे का एक पिंड पानी में 14 2/3 किलो खो देता है। निर्धारित करें कि उसमें कितना चांदी और कितना तांबा है, यदि यह ज्ञात है कि 21 किलो चांदी पानी में 2 किलो खो देती है, और 9 किलो तांबा 1 किलो खो देता है।

मान लें कि इस पिंड में चांदी है एक्स किलो, और तांबा पर किलोग्राम। तब एक समीकरण होगा: एक्स + वाई =148 . एक और समीकरण बनाने के लिए, आइए ध्यान रखें कि अगर 21 किलो चांदी पानी में 2 किलो वजन कम करती है, तो इसका मतलब है कि 1 किलो चांदी पानी में 2/21 किलो खो देती है। फिर एक्स किलो पानी में खो जाना चाहिए 2 / 21 एक्स किलो वजन। इसी तरह, यदि 9 किलो तांबा पानी में 1 किलो खो देता है, तो इसका मतलब है कि 1 किलो तांबा 1/9 किलो खो देता है; फलस्वरूप, पर तांबे का किलो 1 / 9 . खो देता है पर किलोग्राम। तो दूसरा समीकरण होगा: 2 / 21 एक्स + 1 / 9 पर = 14 2 / 3 इस प्रकार हमने 2 अज्ञात के साथ दो समीकरण प्राप्त किए:

एक्स + वाई =148 तथा 2 / 21 एक्स + 1 / 9 पर = 14 2 / 3 = 44 / 3

दूसरे समीकरण को भिन्नों से मुक्त करके सरल बनाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम सभी भिन्नों को एक हर में घटाते हैं:

6 / 63 एक्स + 7 / 63 पर = 924 / 63

अब समीकरण के दोनों पक्षों को 63 से गुणा करें; हमें एक समान समीकरण मिलता है:

एक्स + वाई = 924

अब हमारे पास दो समीकरण हैं:

एक्स + वाई =148 तथा 6x + 7y = 924

हम इन दोनों समीकरणों को कई तरीकों से हल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, इस प्रकार है: पहले समीकरण से हम निर्धारित करते हैं एक्स निर्भर करना पर (दूसरे शब्दों में, परिभाषित करें एक्स के एक समारोह के रूप में पर ):

एक्स = 148 - वाई।

चूँकि दूसरे समीकरण में अक्षर एक्स तथा पर पहले समीकरण के समान संख्या का मतलब है, तो हम दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं एक्स अंतर 148 - पर .

6 (148 - y) + 7y = 924

आइए इस समीकरण को एक अज्ञात के साथ हल करें:

888 - 6y + 7y \u003d 924; वाई \u003d 924 - 888 \u003d 36.

फिर एक्स \u003d 148 - 36 \u003d 112।

इस प्रकार, इस पिंड में शामिल हैं 112 किलो चांदी और 36 तांबे का किलो।

138. दो अज्ञात के साथ पहली डिग्री के समीकरण का सामान्य रूप। 2 अज्ञात के साथ समीकरण का यह उदाहरण लें:

2 (2x + 3y - 5) = 5/8 (x + 3) + 3/4 (y - 4)।

इस समीकरण को सरल बनाने के लिए, हम इसमें परिवर्तनों की वही श्रृंखला बनाएंगे, जो पहले 1 अज्ञात वाले समीकरण के लिए इंगित की गई थी, अर्थात्।

1) कोष्ठक का विस्तार करें: 4x + 6y - 10 = 5/8 x + 15/8 + 3/4 y - 3

2) सभी पदों को गुणा करके हर से छुटकारा पाएं 8 :

32x + 48y - 80 = 5x + 15 + 6y - 24

3) हम अज्ञात शब्दों को समीकरण के एक भाग में और ज्ञात शब्दों को दूसरे में स्थानांतरित करते हैं:

32x + 48y -5x - 6y = 15 - 24 + 80

4) आइए समान शब्दों में कमी करें:

27x + 42y = 71।

इस प्रकार, इन परिवर्तनों के बाद, यह समीकरण एक ऐसे रूप का हो जाता है जिसमें समीकरण के बाईं ओर केवल दो शब्द होते हैं: एक अज्ञात के साथ एक्स (पहली डिग्री में) और दूसरा अज्ञात के साथ पर (पहली डिग्री तक), समीकरण के दाहिने हिस्से में केवल एक शब्द होता है जिसमें अज्ञात नहीं होता है। गुणांक एक्स तथा पर या तो दोनों सकारात्मक हो सकते हैं (जैसा कि हमने उदाहरण में लिया है), या दोनों नकारात्मक (इस मामले को, हालांकि, समीकरण के सभी पदों को -1 से गुणा करके पिछले एक तक घटाया जा सकता है), या एक सकारात्मक है और दूसरा नकारात्मक है; दाईं ओर का पद या तो एक धनात्मक संख्या हो सकता है (जैसा कि वर्तमान उदाहरण में है), या ऋणात्मक और शून्य भी हो सकता है। गुणांक को निरूपित करना एक्स तथा पर पत्र एक तथा बी और एक शब्द जिसमें अज्ञात शामिल नहीं है, अक्षर के साथ साथ , हम आम तौर पर पहली डिग्री के 2 अज्ञात के साथ समीकरण का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:

कुल्हाड़ी + बाय = सी।

इस प्रकार के समीकरण को 2 अज्ञात के साथ पहली डिग्री के समीकरण का सामान्य रूप कहा जाता है।

139. 2 अज्ञात के साथ एक समीकरण की अनिश्चितता। 2 अज्ञात वाले एक समीकरण में अनंत संख्या में जड़ें होती हैं। वास्तव में, यदि किसी अज्ञात के लिए हम एक मनमाना संख्या निर्दिष्ट करते हैं और इस संख्या को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें केवल एक अन्य अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त होगा; इस समीकरण से कोई इस दूसरे को अज्ञात पा सकता है। तो, अगर समीकरण में 3x-2y=-6 हम इसे स्वीकार करेंगे वाई = 2 , तो समीकरण होगा 3x - 4 = -6 जहां से हम पाते हैं: 3x = - 2 तथा एक्स = - 2 / 3 . तो अगर वाई = 2 , फिर एक्स = - 2 / 3 .

अब असाइन करें पर कुछ अन्य संख्या, उदाहरण के लिए, वाई = 1 . तब हमें मिलता है 3x-2=-6 , 3x = - 4 , एक्स = -1 1 / 3 . तो अगर वाई = 1 , फिर। एक्स = -1 1 / 3 . इस प्रकार, हम जितने चाहें समाधान के कई जोड़े पा सकते हैं, और इसलिए समीकरण अनिश्चित होगा।

इसे ग्राफिक रूप से भी दिखाया जा सकता है। समीकरण से:

3x-2y=-6 (1)

परिभाषित करना पर के एक समारोह के रूप में एक्स :

एक अज्ञात को दूसरे अज्ञात के कार्य के रूप में निर्धारित करने के लिए किसी दिए गए समीकरण से जल्दी और सटीक रूप से उपयोग करना आवश्यक है। तो, हमारे समीकरण से निर्धारित करने के लिए पर के एक समारोह के रूप में एक्स , मानसिक रूप से शब्द को स्थानांतरित करना आवश्यक है - 2 वर्ष दाईं ओर, और सदस्य - 6 बाईं ओर, फिर समीकरण के भागों को पुनर्व्यवस्थित करें और उन्हें विभाजित करें 2 ; इन परिवर्तनों का परिणाम सीधे लिखा जाना चाहिए।

यह फ़ंक्शन पहली डिग्री का द्विपद है, और इस तरह के द्विपद को एक सीधी रेखा के रूप में समन्वय अक्षों में दर्शाया गया है, जिसे हम दो बिंदुओं (खंड 3 118) से बना सकते हैं, उदाहरण के लिए। इस तरह:

इस रेखा के प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक समीकरण (2) को संतुष्ट करते हैं और इसलिए, समीकरण (1) को भी संतुष्ट करते हैं; और चूँकि रेखा पर अनंत संख्या में बिंदु हैं, समीकरण (1) के हलों की संख्या अनंत है।

140. समीकरणों की प्रणाली।यह कहने की प्रथा है कि कई समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं यदि इन सभी समीकरणों में प्रत्येक अक्षर एक्स, वाई, . . यानी सभी समीकरणों के लिए समान संख्या।

यदि, उदाहरण के लिए, दो समीकरण:

माना जाता है बशर्ते कि पत्र एक्स दोनों समीकरणों में समान संख्या का अर्थ है, इसलिए अक्षर पर , तो ऐसे समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं। ऐसा तब होता है जब समीकरण एक ही समस्या की स्थितियों से बने होते हैं।

हम 2 अज्ञात के साथ पहली डिग्री के 2 समीकरणों की प्रणाली को हल करने के तीन तरीकों का संकेत देते हैं।

141. प्रतिस्थापन की विधि।हम पहले भी इस विधि का प्रयोग कर चुके हैं, जब हमने चांदी और तांबे के एक पिंड () की समस्या को हल किया था। आइए अब एक और अधिक जटिल उदाहरण लें:

8x - 5y = - 16; 10x + 3y = 17

(दोनों समीकरणों को सामान्य रूप में घटा दिया गया है)।

एक समीकरण से, उदाहरण के लिए, पहले से, हम एक अज्ञात का निर्धारण करते हैं, उदाहरण के लिए, एक्स , किसी अन्य अज्ञात के कार्य के रूप में:

चूंकि दूसरे समीकरण को पहले के समान मूल्यों को पूरा करना चाहिए, हम इसके बजाय इसमें स्थानापन्न कर सकते हैं एक्स पाया गया अभिव्यक्ति, जिससे हम एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त करते हैं पर :

आइए इस समीकरण को हल करें:

हम एक समीकरण से निर्धारित कर सकते हैं पर के एक समारोह के रूप में एक्स और परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें पर दूसरे समीकरण में; तब हमें अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त होगा एक्स .

यह विधि विशेष रूप से सुविधाजनक होती है जब किसी अज्ञात के लिए गुणांक 1 होता है;तो इस अज्ञात को किसी अन्य अज्ञात के कार्य के रूप में परिभाषित करना सबसे अच्छा है (किसी कारक से विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है), और इसी तरह।

दूसरे समीकरण से हम पाते हैं:

वाई \u003d 22-4x।

तब पहला समीकरण देता है:

3x - 2 (22 - 4x) = 11; 3x -44 + 8x = 11; 11x = 44+ 11 = 55।

एक्स \u003d 55 / 11 \u003d 5; वाई = 22 - 4 5 = 2।

नियम। प्रतिस्थापन विधि द्वारा 2 अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, किसी अज्ञात के एक फ़ंक्शन के रूप में कुछ समीकरण से एक अज्ञात को निर्धारित करना और परिणामी अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है; यह एक अज्ञात के साथ एक समीकरण में परिणत होता है। इसे हल करने के बाद, वे इसे अज्ञात पाते हैं। पहले अज्ञात के लिए पहले प्राप्त अभिव्यक्ति में मिली संख्या को प्रतिस्थापित करके, यह अन्य अज्ञात भी पाया जाता है।

142. जोड़ने या घटाने की विधि।आइए पहले मान लें कि समीकरणों की दी गई प्रणाली में (पहले सामान्य रूप में कम), कुछ अज्ञात के लिए गुणांक, उदाहरण के लिए, के लिए पर , एक ही हो जाएगा। इस मामले में, दो मामले सामने आ सकते हैं:

1) ऐसे गुणांकों के सामने के चिन्ह भिन्न होते हैं और

2) संकेत समान हैं। आइए इन दो मामलों पर समानांतर में विचार करें। आइए, उदाहरण के लिए, दो प्रणालियाँ दी जाएँ:

यदि हम पहली प्रणाली के समीकरणों को पद दर पद जोड़ते हैं और दूसरी प्रणाली के समीकरणों को पद से घटाते हैं, तो अज्ञात y समाप्त हो जाएगा:

कहाँ पे: एक्स = 5 एक्स = 3

के बजाय इनमें से किसी एक समीकरण में प्रतिस्थापित करना एक्स इसके लिए जो संख्या मिली, हम पाते हैं पर :

आइए अब हम एक प्रणाली लेते हैं जिसमें गुणांक भिन्न होते हैं, उदाहरण के लिए। इस तरह:

फिर हम किसी अज्ञात के लिए गुणांकों को प्रारंभिक रूप से बराबर कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, के लिए एक्स . ऐसा करने के लिए, हम गुणांक 7 और 5 (यह 35 होगा) का एक बहु (सबसे अच्छा, सबसे छोटा) पाते हैं और प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को उपयुक्त अतिरिक्त कारक से गुणा करते हैं (जैसा कि अंशों को एक सामान्य में कम करते समय किया जाता है) हर):

उसके बाद, यह केवल रूपांतरित समीकरणों को जोड़ने या घटाने के लिए रहता है। हमारे उदाहरण में, गुणांकों के सामने के चिन्ह एक्स विभिन्न; इसलिए समीकरणों को जोड़ने की जरूरत है:

अब पहला समीकरण देता है:

7x + 6 2 1/2 = 29; 7x + 15 = 29; 7x = 14; एक्स = 2.

नियम। जोड़ या घटाव द्वारा 2 अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, आपको पहले किसी एक अज्ञात के लिए दोनों समीकरणों में गुणांक को बराबर करना होगा, और फिर दोनों समीकरणों को जोड़ना होगा यदि इन गुणांक के सामने के संकेत अलग हैं, या समीकरणों को घटाएं यदि संकेत समान हैं।

143. ग्राफिक समाधान।सिस्टम दिया जाए:

8x - 5y \u003d - 16; 10x + 3y = 17.

प्रत्येक समीकरण से, हम निर्धारित करते हैं पर के एक समारोह के रूप में एक्स :

इन कार्यों के रेखांकन सीधी रेखाएँ होने चाहिए। आइए उनमें से प्रत्येक को दो बिंदुओं से एक आरेखण पर बनाएं, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित द्वारा:

समीकरण से...... वाई = 1 3 / 5 एक्स + 3 1 / 5 :

समीकरण से...... वाई \u003d 5 2 / 3 - 3 1 / 3 एक्स:

चित्र से पता चलता है कि दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं जिसका भुज के बराबर है 1 / 2 , और निर्देशांक 4 . ये मान एक्स तथा पर , दोनों समीकरणों को संतुष्ट करना, और इस प्रणाली के समाधान होंगे।

टिप्पणियां । 1) यदि ऐसा होता है कि इन समीकरणों को व्यक्त करने वाली रेखाएं समानांतर हो जाती हैं और इसलिए, उनके प्रतिच्छेदन का कोई बिंदु नहीं होगा, तो इसका मतलब यह होगा कि समीकरणों की कोई जड़ें नहीं हैं।

2) कभी-कभी ऐसा हो सकता है कि 2 पंक्तियाँ एक में विलीन हो जाएँ; तो इस रेखा के किसी भी बिंदु के निर्देशांक दिए गए समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, और इसलिए, प्रणाली अनिश्चित है।

3) इस पुस्तक के दूसरे भाग के अंत में, पहली डिग्री के 2 अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए सामान्य सूत्र दिए गए हैं (§ 396 et seq।)।

अध्याय दो।

तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की प्रणाली।

144. तीन अज्ञात के साथ पहली डिग्री के समीकरण का सामान्य रूप।अगर 3 अज्ञात के साथ पहली डिग्री के समीकरण में एक्स, वाई तथा जेड वही परिवर्तन किए जो हमने पहले 1 और 2 अज्ञात के साथ समीकरण के लिए इंगित किए थे, फिर हम समीकरण को ऐसे रूप में लाएंगे (सामान्य कहा जाता है), जिसमें समीकरण के बाईं ओर केवल तीन शब्द हैं: एक के साथ एक्स , दूसरा साथ पर और तीसरे के साथ जेड , और दाईं ओर एक पद होगा जिसमें अज्ञात शामिल नहीं है।

उदाहरण के लिए, यह समीकरण है:

5x - 3y - 4z = -12।

इसका सामान्य स्वरूप इस प्रकार है:

कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड = डी,

कहाँ पे ए, बी, सी तथा डी कुछ सापेक्ष संख्याएँ।

145. तीन अज्ञात के साथ दो और एक समीकरण की अनिश्चितता।मान लीजिए कि हमें 3 अज्ञात के साथ 2 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

5x-3y + z = 2; 2x + y-z = 6.

एक अज्ञात असाइन करें, उदा. जेड , कुछ मनमानी संख्या, 1 डालें और इस संख्या को जगह दें जेड :

इस प्रकार हमने 2 अज्ञात के साथ 2 समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की। इसे किसी तरह से हल करते हुए, हम पाते हैं: एक्स = 2, वाई = 3 ; इसलिए, 3 अज्ञात के साथ यह प्रणाली संतुष्ट है एक्स = 2 , वाई = 3 तथा जेड = 1 . आइए अब अज्ञात z को कुछ अन्य मान दें, उदाहरण के लिए। जेड = 0 , और इस मान को इन समीकरणों में प्रतिस्थापित करें:

5x-3y = 2; 2x + y = 6.

हम फिर से 2 अज्ञात के साथ 2 समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं।

इसे किसी तरह से हल करते हुए, हम पाते हैं:

एक्स = 20 / 11 = 1 9 / 11 आप = 2 4 / 11

इसका मतलब है कि यह प्रणाली संतुष्ट है जब एक्स = 1 9 / 11 आप = 2 4 / 11 तथा जेड = 0 . के लिए नियुक्ति जेड कुछ अन्य (तीसरे) मूल्य, हमें फिर से 2 अज्ञात के साथ 2 समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है, जिसमें से हमें नए मान मिलते हैं एक्स तथा पर . तब से जेड हम जितनी चाहें उतनी अलग-अलग संख्याएँ निर्दिष्ट कर सकते हैं, फिर के लिए एक्स तथा पर हम किसी भी संख्या में मान प्राप्त कर सकते हैं (ले गए मानों के अनुरूप जेड ) इसलिए, 3 अज्ञात के साथ 2 समीकरण अनंत संख्या में समाधान स्वीकार करते हैं; दूसरे शब्दों में, ऐसी प्रणाली अनिश्चित है।

3 अज्ञात के साथ केवल 1 समीकरण होने पर और भी अधिक अनिश्चितता होगी। तब कुछ 2 अज्ञातों के लिए मनमानी संख्याएँ निर्दिष्ट करना संभव होगा; तीसरा अज्ञात इस समीकरण से पाया जाता है यदि हम इसमें दो अज्ञात के लिए मनमाने ढंग से लिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।

146. 3 अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की प्रणाली।तीन अज्ञात के लिए निश्चित संख्यात्मक मान खोजने में सक्षम होने के लिए एक्स, वाई तथा जेड , यह आवश्यक है कि 3 समीकरणों का एक निकाय दिया जाए। ऐसी प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि के साथ-साथ समीकरणों को जोड़ने या घटाने की विधि द्वारा हल किया जा सकता है। हम इन विधियों के अनुप्रयोग को निम्नलिखित उदाहरण में दिखाएंगे (प्रत्येक समीकरण को पहले सामान्य रूप में घटाया गया है):

147. प्रतिस्थापन की विधि।कुछ समीकरणों से, उदाहरण के लिए, पहले से, हम एक अज्ञात निर्धारित करते हैं, उदाहरण के लिए, एक्स, अन्य दो अज्ञात के कार्य के रूप में:

चूँकि सभी समीकरणों में एक्स का अर्थ समान संख्या है, तो हम पाए गए व्यंजक को स्थान पर प्रतिस्थापित कर सकते हैं एक्स शेष समीकरणों के लिए:

इस प्रकार हम 2 अज्ञात के साथ 2 समीकरणों की एक प्रणाली पर पहुंचते हैं पर तथा जेड . इस प्रणाली को पहले बताए गए किसी भी तरीके से हल करने के बाद, हम संख्यात्मक मान पाएंगे पर तथा जी . हमारे उदाहरण में, ये मान होंगे: वाई = 3, जेड = 2 ; इन संख्याओं को उस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर जिसके लिए हमने व्युत्पन्न किया है एक्स , आइए इसे अज्ञात खोजें:

इस प्रकार, प्रस्तावित प्रणाली का एक समाधान है एक्स = 1, वाई = 3, जेड = 2 (जिसे सत्यापन द्वारा सत्यापित किया जा सकता है)।

148. जोड़ या घटाव की विधि।दिए गए 3 समीकरणों में से, हम उदाहरण के लिए कुछ दो लेते हैं। 1 और 2, और, एक अज्ञात से पहले उनमें गुणांक की बराबरी करना, उदाहरण के लिए, पहले जेड , हम उनसे इस अज्ञात को जोड़ या घटाव की विधि से बाहर करते हैं; इससे हमें 2 अज्ञात के साथ एक समीकरण मिलता है एक्स तथा पर . फिर, उदाहरण के लिए, 3 डेटा से कुछ अन्य दो समीकरण लेते हैं। पहला और तीसरा (या दूसरा और तीसरा), और उसी तरह हम उनसे उसी अज्ञात को बाहर कर देते हैं, यानी। जेड ; इससे हमें एक और समीकरण मिलता है एक्स तथा पर :

हम परिणामी दो समीकरणों को हल करते हैं: एक्स = 1, वाई = 3 . हम इन संख्याओं को दिए गए तीन समीकरणों में से एक में सम्मिलित करते हैं, उदाहरण के लिए, पहले में:

3 1 - 2 3 + 5z = 7; 5z = 7 -3 + 6 = 10; जेड = 2।

टिप्पणी। उसी दो तरीकों से, हम 4 अज्ञात के साथ 4 समीकरणों की एक प्रणाली को 3 अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की प्रणाली में कम कर सकते हैं (और यह प्रणाली - 2 अज्ञात के साथ 2 समीकरणों की प्रणाली के लिए)। सामान्य प्रणाली एम के साथ समीकरण एम अज्ञात हम सिस्टम में ला सकते हैं एम - 1 के साथ समीकरण एम - 1 अज्ञात (और सिस्टम के लिए यह सिस्टम एम - 2 के साथ समीकरण एम - 2 अज्ञात, आदि)।

अध्याय तीन।

समीकरणों की प्रणालियों के कुछ विशेष मामले।

149. वह स्थिति जब दिए गए प्रत्येक समीकरण में सभी अज्ञात शामिल नहीं होते हैं; उदाहरण:

इस मामले में, सिस्टम सामान्य से अधिक तेजी से हल हो जाता है, क्योंकि कुछ समीकरणों में कुछ अज्ञात को पहले ही समाप्त कर दिया गया है। जितनी जल्दी हो सके एक अज्ञात के साथ एक समीकरण तक पहुंचने के लिए केवल यह पता लगाना आवश्यक है कि कौन से अज्ञात और किन समीकरणों को बाहर रखा जाना चाहिए। हमारे उदाहरण में, को छोड़कर जेड पहले और तीसरे समीकरण से और वी 2 और 1 से, हमें 2 समीकरण मिलते हैं एक्स तथा पर :

इन समीकरणों को हल करते हुए, हम पाते हैं: एक्स = 0, वाई = 1/3।

अब हम इन नंबरों को दूसरे और तीसरे समीकरण में डालेंगे; तब हमें मिलता है:

वी = 3/2 ; जेड = 16 / 9 = 1 7 / 9

150. वह स्थिति जब अज्ञात भिन्न के रूप में प्रवेश करते हैं: 1/x

एक्स" = 2, वाई" = 1/2, जेड" = 5;

1/x=2, 1/y=1/2, 1/z=5

एक्स = 1/2, वाई = 2, जेड = 1/5;

151. वह स्थिति जब इन सभी समीकरणों को जोड़ना उपयोगी हो।

मान लीजिए कि हमारे पास है, उदाहरण के लिए, सिस्टम:

तीनों समीकरणों को जोड़ने पर, हम पाते हैं:

पिछले समीकरण से प्रत्येक डेटा को घटाकर, हम प्राप्त करते हैं:

___________________

घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

क्या घातीय समीकरण? यह एक समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उनके साथ व्यंजक में हैं संकेतककुछ डिग्री। और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

तुम यहां हो घातीय समीकरणों के उदाहरण:

3 x 2 x = 8 x + 3

टिप्पणी! डिग्री के आधार में (नीचे) - केवल संख्या. पर संकेतकडिग्री (ऊपर) - एक्स के साथ अभिव्यक्ति की एक विस्तृत विविधता। यदि, अचानक, संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में एक x दिखाई देता है, उदाहरण के लिए:

यह एक मिश्रित प्रकार का समीकरण होगा। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं हैं। हम अभी उन पर विचार नहीं करेंगे। यहां हम निपटेंगे घातीय समीकरणों का समाधानअपने शुद्धतम रूप में।

वास्तव में, यहां तक ​​​​कि शुद्ध घातीय समीकरण भी हमेशा स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं। लेकिन कुछ प्रकार के घातीय समीकरण हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और होना चाहिए। ये वे प्रकार हैं जिन्हें हम देख रहे हैं।

सरलतम घातीय समीकरणों का हल।

आइए कुछ बहुत ही बुनियादी से शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:

बिना किसी सिद्धांत के भी सरल चयन से यह स्पष्ट हो जाता है कि x=2. और कुछ नहीं, है ना!? कोई अन्य x मान रोल नहीं। और अब आइए इस मुश्किल घातांक समीकरण के समाधान को देखें:

हमने क्या किया है? हमने, वास्तव में, बस उन्हीं बॉटम्स (ट्रिपल) को बाहर फेंक दिया। पूरी तरह से बाहर फेंक दिया। और, क्या अच्छा है, निशान मारो!

वास्तव में, यदि घातीय समीकरण में बाईं ओर और दाईं ओर हैं वहीकिसी भी डिग्री में संख्या, इन नंबरों को हटाया जा सकता है और बराबर घातांक। गणित अनुमति देता है। यह एक बहुत ही सरल समीकरण को हल करने के लिए बनी हुई है। यह अच्छा है, है ना?)

हालाँकि, आइए विडंबना याद रखें: आप आधारों को तभी हटा सकते हैं जब बाएँ और दाएँ आधार संख्याएँ शानदार अलगाव में हों!बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। आइए समीकरणों में कहें:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , या

आप डबल्स नहीं हटा सकते!

खैर, हमने सबसे महत्वपूर्ण चीज में महारत हासिल कर ली है। दुष्ट घातांकीय अभिव्यक्तियों से सरल समीकरणों की ओर कैसे बढ़ें।

"यहाँ वे समय हैं!" - तुम कहो। "नियंत्रण और परीक्षा पर ऐसा आदिम कौन देगा !?"

सहमत होने के लिए मजबूर। कोई नहीं होगा। लेकिन अब आप जानते हैं कि भ्रमित करने वाले उदाहरणों को हल करते समय कहाँ जाना है। इसे ध्यान में लाना आवश्यक है, जब समान आधार संख्या बाईं ओर - दाईं ओर हो। तब सब कुछ आसान हो जाएगा। दरअसल, यह गणित की क्लासिक्स है। हम मूल उदाहरण लेते हैं और इसे वांछित में बदलते हैं हममन। गणित के नियमों के अनुसार, बिल्कुल।

उन उदाहरणों पर विचार करें जिन्हें सरलतम में लाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। चलो उन्हें बुलाते हैं सरल घातीय समीकरण।

सरल घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

घातीय समीकरणों को हल करते समय, मुख्य नियम हैं शक्तियों के साथ क्रिया।इन क्रियाओं के ज्ञान के बिना, कुछ भी काम नहीं करेगा।

डिग्री के साथ कार्यों के लिए, व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता को जोड़ना होगा। क्या हमें समान आधार संख्याओं की आवश्यकता है? इसलिए हम उन्हें उदाहरण में स्पष्ट या एन्क्रिप्टेड रूप में ढूंढ रहे हैं।

आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे किया जाता है?

आइए हमें एक उदाहरण दें:

2 2x - 8 x+1 = 0

पहली नज़र मैदान।वे... वे अलग हैं! दो और आठ। लेकिन निराश होना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है कि

दो और आठ डिग्री में रिश्तेदार हैं।) यह लिखना काफी संभव है:

8 x+1 = (2 3) x+1

यदि हम शक्तियों के साथ क्रियाओं के सूत्र को याद करते हैं:

(ए एन) एम = ए एनएम,

यह आम तौर पर बहुत अच्छा काम करता है:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

मूल उदाहरण इस तरह दिखता है:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

हम हस्तांतरण 2 3 (एक्स+1)दाईं ओर (गणित की प्राथमिक क्रियाओं को किसी ने रद्द नहीं किया!), हमें मिलता है:

2 2x \u003d 2 3 (एक्स + 1)

व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। आधार हटाना:

हम इस राक्षस को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं

यह सही जवाब है।

इस उदाहरण में, दो की शक्तियों को जानने से हमें मदद मिली। हम पहचान कीआठ में, एन्क्रिप्टेड ड्यूस। यह तकनीक (विभिन्न संख्याओं के तहत सामान्य आधारों को एन्कोड करना) घातीय समीकरणों में एक बहुत ही लोकप्रिय चाल है! हाँ, लघुगणक में भी। संख्या में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने में सक्षम होना चाहिए। यह घातीय समीकरणों को हल करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

तथ्य यह है कि किसी भी संख्या को किसी भी शक्ति तक बढ़ाना कोई समस्या नहीं है। गुणा करें, यहां तक ​​कि कागज के एक टुकड़े पर भी, और बस इतना ही। उदाहरण के लिए, हर कोई 3 से पांचवीं शक्ति बढ़ा सकता है। यदि आप गुणन तालिका जानते हैं तो 243 निकलेगा।) लेकिन घातीय समीकरणों में, एक शक्ति को बढ़ाने के लिए नहीं, बल्कि इसके विपरीत बहुत अधिक आवश्यक है ... कितने नंबर से किस हद तकसंख्या 243 के पीछे छिपा है, या कहें, 343... यहाँ कोई कैलकुलेटर आपकी मदद नहीं करेगा।

आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानना होगा, हाँ ... क्या हम अभ्यास करेंगे?

निर्धारित करें कि कौन सी शक्तियाँ और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

उत्तर (एक गड़बड़ में, बिल्कुल!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

अगर आप गौर से देखेंगे तो आपको एक अजीबोगरीब तथ्य नजर आएगा। सवालों से ज्यादा जवाब हैं! खैर, ऐसा होता है... उदाहरण के लिए, 2 6 , 4 3 , 8 2 सभी 64 हैं।

आइए मान लें कि आपने संख्याओं से परिचित होने की जानकारी पर ध्यान दिया है।) मैं आपको यह भी याद दिला दूं कि घातीय समीकरणों को हल करने के लिए, हम आवेदन करते हैं पूरागणितीय ज्ञान का भंडार। जिनमें निम्न-मध्यम वर्ग शामिल हैं। आप सीधे हाई स्कूल नहीं गए, है ना?

उदाहरण के लिए, घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने से अक्सर मदद मिलती है (ग्रेड 7 को नमस्ते!)। आइए एक उदाहरण देखें:

3 2x+4 -11 9 x = 210

और फिर, पहली नज़र - मैदान पर! डिग्री के आधार अलग हैं ... तीन और नौ। और हम चाहते हैं कि वे वही हों। खैर, इस मामले में, इच्छा काफी संभव है!) क्योंकि:

9 x = (3 2) x = 3 2x

डिग्री के साथ कार्यों के लिए समान नियमों के अनुसार:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

यह बहुत अच्छा है, आप लिख सकते हैं:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। तो, आगे क्या है!? थ्री को बाहर नहीं फेंका जा सकता ... मृत अंत?

बिल्कुल भी नहीं। सबसे सार्वभौमिक और शक्तिशाली निर्णय नियम को याद रखना सबगणित के कार्य:

यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो वह करें जो आप कर सकते हैं!

तुम देखो, सब कुछ बनता है)।

इस घातीय समीकरण में क्या है कर सकते हैंकरना? हाँ, बाईं ओर सीधे कोष्ठक के लिए पूछता है! 3 2x का उभयनिष्ठ गुणनखण्ड इस ओर स्पष्ट संकेत करता है। आइए कोशिश करें, और फिर हम देखेंगे:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

उदाहरण बेहतर और बेहतर होता जा रहा है!

हमें याद है कि क्षारकों को समाप्त करने के लिए हमें बिना किसी गुणांक के एक शुद्ध घात की आवश्यकता होती है। 70 की संख्या हमें परेशान करती है। तो हम समीकरण के दोनों पक्षों को 70 से विभाजित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

ओप-पा! सब ठीक हो गया!

यह अंतिम उत्तर है।

हालांकि, ऐसा होता है कि उसी आधार पर टैक्सी चलाना प्राप्त होता है, लेकिन उनका परिसमापन नहीं होता है। यह दूसरे प्रकार के घातीय समीकरणों में होता है। आइए इस प्रकार को प्राप्त करें।

घातांकीय समीकरणों को हल करने में चर का परिवर्तन। उदाहरण।

आइए समीकरण को हल करें:

4 एक्स - 3 2 एक्स +2 = 0

पहला - हमेशा की तरह। आइए आधार पर चलते हैं। ड्यूस को।

4 x = (2 2) x = 2 2x

हमें समीकरण मिलता है:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

और यहाँ हम लटकेंगे। पिछली तरकीबें काम नहीं करेंगी, चाहे आप इसे कैसे भी मोड़ लें। हमें एक और शक्तिशाली और बहुमुखी तरीके के शस्त्रागार से बाहर निकलना होगा। इसे कहते हैं परिवर्तनीय प्रतिस्थापन।

विधि का सार आश्चर्यजनक रूप से सरल है। एक जटिल आइकन (हमारे मामले में, 2 x) के बजाय, हम दूसरा लिखते हैं, सरल एक (उदाहरण के लिए, टी)। ऐसा प्रतीत होता है कि अर्थहीन प्रतिस्थापन आश्चर्यजनक परिणाम देता है!) सब कुछ बस स्पष्ट और समझने योग्य हो जाता है!

तो चलो

फिर 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

हम अपने समीकरण में सभी शक्तियों को x द्वारा t से प्रतिस्थापित करते हैं:

ठीक है, यह हो गया?) अभी तक द्विघात समीकरणों को नहीं भूले हैं? हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

यहाँ, मुख्य बात रुकना नहीं है, जैसा कि होता है ... यह अभी तक उत्तर नहीं है, हमें x की आवश्यकता है, t की नहीं। हम Xs पर लौटते हैं, अर्थात। एक प्रतिस्थापन कर रहा है। टी 1 के लिए पहला:

वह है,

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:

उम... बायां 2 x, दायां 1... एक अड़चन? हाँ, बिलकुल नहीं! यह याद रखने के लिए पर्याप्त है (डिग्री वाले कार्यों से, हाँ ...) कि एकता है कोईशून्य से संख्या। कोई। आपको जो चाहिए, हम डाल देंगे। हमें दो चाहिए। माध्यम:

अब बस इतना ही। 2 जड़ें मिलीं:

यही उत्तर है।

पर घातीय समीकरणों को हल करनाअंत में, कभी-कभी कुछ अजीब अभिव्यक्ति प्राप्त होती है। टाइप:

सात से, एक साधारण डिग्री के माध्यम से एक ड्यूस काम नहीं करता है। वे रिश्तेदार नहीं हैं ... मैं यहाँ कैसे हो सकता हूँ? कोई भ्रमित हो सकता है ... लेकिन जो व्यक्ति इस साइट पर "लॉगरिदम क्या है?" विषय पढ़ता है। , केवल कम से कम मुस्कुराएं और एक दृढ़ हाथ से बिल्कुल सही उत्तर लिखें:

परीक्षा में कार्य "बी" में ऐसा कोई उत्तर नहीं हो सकता है। एक विशिष्ट संख्या की आवश्यकता है। लेकिन कार्यों में "सी" - आसानी से।

यह पाठ सबसे सामान्य घातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण प्रदान करता है। आइए मुख्य पर प्रकाश डालें।

व्यावहारिक सुझाव:

1. सबसे पहले, हम देखते हैं मैदानडिग्री। चलो देखते हैं कि क्या वे नहीं किया जा सकता वही।आइए इसे सक्रिय रूप से उपयोग करके करने का प्रयास करें शक्तियों के साथ क्रिया।यह मत भूलो कि एक्स के बिना संख्याएं भी शक्तियों में बदल सकती हैं!

2. हम बाएँ और दाएँ होने पर घातांकीय समीकरण को रूप में लाने का प्रयास करते हैं वहीकिसी भी डिग्री के लिए संख्या। हम उपयोग करते हैं शक्तियों के साथ कार्रवाईतथा गुणनखंडनसंख्याओं में क्या गिना जा सकता है - हम गिनते हैं।

3. यदि दूसरी सलाह काम नहीं करती है, तो हम परिवर्तनशील प्रतिस्थापन को लागू करने का प्रयास करते हैं। परिणाम एक समीकरण हो सकता है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। सबसे अधिक बार - वर्ग। या भिन्नात्मक, जो एक वर्ग में भी कम हो जाता है।

4. घातांकीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको कुछ संख्याओं की डिग्री "दृष्टि से" जानने की आवश्यकता है।

हमेशा की तरह, पाठ के अंत में आपको थोड़ा हल करने के लिए आमंत्रित किया जाता है।) अपने दम पर। सरल से जटिल तक।

घातीय समीकरणों को हल करें:

अधिक मुश्किल:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 एक्स - 2 0.5 एक्स + 1 - 8 = 0

जड़ों का उत्पाद खोजें:

2 3-एक्स + 2 एक्स = 9

हो गई?

खैर, फिर सबसे जटिल उदाहरण (यह हल हो गया है, हालांकि, दिमाग में ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

अधिक दिलचस्प क्या है? तो यहाँ आपके लिए एक बुरा उदाहरण है। बढ़ी हुई कठिनाई पर काफी खींचना। मैं संकेत दूंगा कि इस उदाहरण में, सभी गणितीय कार्यों को हल करने के लिए सरलता और सबसे सार्वभौमिक नियम बचाता है।)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

एक उदाहरण सरल है, विश्राम के लिए):

9 2 x - 4 3 x = 0

और डेज़र्ट के लिए। समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

हाँ हाँ! यह एक मिश्रित प्रकार का समीकरण है! जिस पर हमने इस पाठ में विचार नहीं किया। और उन पर क्या विचार करें, उन्हें हल करने की आवश्यकता है!) यह पाठ समीकरण को हल करने के लिए काफी है। खैर, सरलता की जरूरत है ... और हां, सातवीं कक्षा आपकी मदद करेगी (यह एक संकेत है!)

उत्तर (अव्यवस्था में, अर्धविराम से अलग):

एक; 2; 3; चार; कोई समाधान नहीं हैं; 2; -2; -5; चार; 0.

क्या सब कुछ सफल है? उत्कृष्ट।

एक समस्या है? कोई बात नहीं! विशेष धारा 555 में, इन सभी घातांकीय समीकरणों को विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ हल किया गया है। क्या, क्यों और क्यों। और, ज़ाहिर है, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों के साथ काम करने पर अतिरिक्त मूल्यवान जानकारी है। इनके साथ ही नहीं।)

विचार करने के लिए एक आखिरी मजेदार सवाल। इस पाठ में, हमने घातांकीय समीकरणों के साथ काम किया। मैंने यहाँ ODZ के बारे में एक शब्द भी क्यों नहीं कहा?समीकरणों में, यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात है, वैसे ...

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।