"यादृच्छिक चर" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण।
एक कार्य 1 . लॉटरी में 100 टिकट जारी किए गए हैं। 50 USD की एक जीत खेली गई। और $10 प्रत्येक की दस जीत। मूल्य X के वितरण के नियम का पता लगाएं - एक संभावित लाभ की लागत।
समाधान। X के संभावित मान: x 1 = 0; एक्स 2 = 10 और x 3 = 50. चूँकि 89 “खाली” टिकट हैं, तो p 1 = 0.89, जीतने की संभावना 10 घन मीटर है। (10 टिकट) - पी 2 = 0.10 और 50 c.u की जीत के लिए। -पी 3 = 0.01. इस तरह:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
नियंत्रित करने में आसान:।
एक कार्य 2. इस बात की प्रायिकता कि खरीदार ने उत्पाद के विज्ञापन से खुद को पहले ही परिचित कर लिया है, 0.6 (p = 0.6) है। विज्ञापन का चयनात्मक गुणवत्ता नियंत्रण मतदान खरीदारों द्वारा पहले विज्ञापन का अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति द्वारा किया जाता है। साक्षात्कार किए गए खरीदारों की संख्या के वितरण की एक श्रृंखला बनाएं।
समाधान। समस्या की स्थिति के अनुसार p = 0.6। से: क्यू = 1 -पी = 0.4। इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:और एक वितरण श्रृंखला का निर्माण करें:
|
अनुकरणीय |
0,24 |
एक कार्य 3. एक कंप्यूटर में तीन स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तत्व होते हैं: एक सिस्टम यूनिट, एक मॉनिटर और एक कीबोर्ड। वोल्टेज में एक तेज वृद्धि के साथ, प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना 0.1 है। बर्नौली वितरण के आधार पर, नेटवर्क में बिजली उछाल के दौरान विफल तत्वों की संख्या के लिए वितरण कानून तैयार करें।
समाधान। विचार करना बर्नौली वितरण(या द्विपद): प्रायिकता कि inएन परीक्षण, घटना ए बिल्कुल दिखाई देगाक एक बार: 
, या:
|
क्यू एन |
पी एन |
पर आइए कार्य पर वापस जाएं।
X के संभावित मान (विफलताओं की संख्या):
x 0 =0 - कोई भी तत्व विफल नहीं हुआ;
एक्स 1 = 1 - एक तत्व की विफलता;
x 2 =2 - दो तत्वों की विफलता;
x 3 =3 - सभी तत्वों की विफलता।
चूँकि, शर्त के अनुसार, p = 0.1, तो q = 1 - p = 0.9। बर्नौली सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
, ,
, .
नियंत्रण: ।
इसलिए, वांछित वितरण कानून:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
टास्क 4. 5000 राउंड का उत्पादन किया। एक कारतूस के खराब होने की प्रायिकता 
. इसकी क्या प्रायिकता है कि पूरे बैच में ठीक 3 दोषपूर्ण कार्ट्रिज होंगे?
समाधान। उपयुक्त पॉसों वितरण: इस वितरण का उपयोग इस संभावना को निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि, बहुत बड़ा दिया गया है
परीक्षणों की संख्या (बड़े पैमाने पर परीक्षण), जिनमें से प्रत्येक में घटना ए की संभावना बहुत कम है, घटना ए k बार घटित होगी: 
, कहाँ पे ।
यहाँ n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. हम पाते हैं , फिर वांछित संभावना: 
.
टास्क 5. पहली हिट से पहले फायरिंग करते समय p . मारने की संभावना के साथ एक शॉट के लिए = 0.6, आपको तीसरे शॉट पर हिट होने की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी।
समाधान। आइए हम ज्यामितीय वितरण लागू करें: स्वतंत्र परीक्षण किए जाने दें, जिनमें से प्रत्येक में घटना ए की घटना पी (और गैर-घटना q = 1 - पी) की संभावना है। घटना A के घटित होते ही परीक्षण समाप्त हो जाते हैं।
ऐसी स्थितियों में, kth परीक्षण पर घटना A के घटित होने की प्रायिकता सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: . यहां पी = 0.6; क्यू \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; के \u003d 3. इसलिए, .
टास्क 6. मान लीजिए एक यादृच्छिक चर X के वितरण का नियम दिया गया है:
गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं।
समाधान। .
ध्यान दें कि गणितीय अपेक्षा का संभाव्य अर्थ यादृच्छिक चर का औसत मान है।
टास्क 7. निम्नलिखित वितरण नियम के साथ एक यादृच्छिक चर X का प्रसरण ज्ञात कीजिए:
समाधान। यहां .
X . के वर्ग के वितरण का नियम 2 :
|
एक्स 2 |
|||
आवश्यक विचरण: .
फैलाव एक यादृच्छिक चर के विचलन (बिखरने) की डिग्री को उसकी गणितीय अपेक्षा से दर्शाता है।
टास्क 8. मान लीजिए कि यादृच्छिक चर वितरण द्वारा दिया गया है:
|
10मी |
|||
इसकी संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं।
हल: एम, एम 2 ,
एम 2 , एम।
एक यादृच्छिक चर X के बारे में, कोई भी कह सकता है - इसकी गणितीय अपेक्षा 6.4 m है जिसमें 13.04 m . का विचरण है 2 , या - इसकी गणितीय अपेक्षा m के विचलन के साथ 6.4 m है। दूसरा सूत्रीकरण स्पष्ट रूप से स्पष्ट है।
एक कार्य 9.
यादृच्छिक मूल्यएक्स वितरण समारोह द्वारा दिया गया: 
.
इस संभावना का पता लगाएं कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, मान X अंतराल में निहित मान पर ले जाएगा 
.
समाधान। किसी दिए गए अंतराल से X के मान लेने की प्रायिकता इस अंतराल में समाकलन फलन की वृद्धि के बराबर है, अर्थात। . हमारे मामले में और इसलिए
.
एक कार्य 10. असतत यादृच्छिक चरएक्स वितरण कानून द्वारा दिया गया:
वितरण समारोह खोजेंएफ (एक्स ) और इसका ग्राफ बनाएं।
समाधान। वितरण समारोह के बाद से
के लिये 
, फिर
पर ;
पर ;
पर ;
पर ;
प्रासंगिक चार्ट:
टास्क 11.सतत यादृच्छिक चरएक्स अंतर वितरण समारोह द्वारा दिया गया: 
.
टकराने की प्रायिकता ज्ञात कीजिएएक्स टू इंटरवल
समाधान। ध्यान दें कि यह घातीय वितरण कानून का एक विशेष मामला है।
आइए सूत्र का उपयोग करें: 
.
एक कार्य 12. वितरण कानून द्वारा दिए गए असतत यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं:
|
–5 |
|||||||||
|
एक्स 2 :
|
लाप्लास फ़ंक्शन है।परिभाषा।फैलाव (बिखरने)असतत यादृच्छिक चर को इसकी गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है:
उदाहरण. ऊपर के उदाहरण के लिए, हम पाते हैं
एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है:
चुकता विचलन के संभावित मान:
; 
;
फैलाव है:
हालाँकि, व्यवहार में, प्रसरण की गणना करने की यह विधि असुविधाजनक है, क्योंकि एक यादृच्छिक चर के बड़ी संख्या में मूल्यों के लिए बोझिल गणना की ओर जाता है। इसलिए, एक और विधि का उपयोग किया जाता है।
प्रसरण गणना
प्रमेय। विचरण यादृच्छिक चर X के वर्ग की गणितीय अपेक्षा और उसकी गणितीय अपेक्षा के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर है:
सबूत।इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि गणितीय अपेक्षा और गणितीय अपेक्षा का वर्ग स्थिर मान हैं, हम लिख सकते हैं:
आइए इस सूत्र को ऊपर के उदाहरण पर लागू करें:
| एक्स | ||||||
| x2 | ||||||
| पी | 0,0778 | 0,2592 | 0,3456 | 0,2304 | 0,0768 | 0,0102 |
फैलाव गुण
1) एक स्थिर मान का परिक्षेपण शून्य होता है:
2) अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से चुकता करके निकाला जा सकता है:
.
3) दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है:
4) दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है:
इस समानता की वैधता संपत्ति 2 से निम्नानुसार है।
प्रमेय। स्वतंत्र परीक्षणों में घटना ए की घटनाओं की संख्या का विचरण, जिनमें से प्रत्येक में घटना की घटना की संभावना स्थिर है, घटना की संभावना और घटना की संभावना से परीक्षणों की संख्या के उत्पाद के बराबर है। प्रत्येक परीक्षण में नहीं हो रहा:
उदाहरण।संयंत्र प्रथम श्रेणी के उत्पादों का 96% और द्वितीय श्रेणी के उत्पादों का 4% उत्पादन करता है। 1000 आइटम यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। होने देना एक्स- इस नमूने में प्रथम श्रेणी के उत्पादों की संख्या। एक यादृच्छिक चर का वितरण नियम, गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
इस प्रकार, वितरण कानून को द्विपद माना जा सकता है।
उदाहरण।एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए एक्स- घटना की घटनाओं की संख्या लेकिनदो स्वतंत्र परीक्षणों में, यदि प्रत्येक परीक्षण में इस घटना के घटित होने की प्रायिकताएँ समान हों और यह ज्ञात हो कि
इसलिये यादृच्छिक मूल्य एक्सद्विपद नियम के अनुसार वितरित, तब
उदाहरण।घटना के घटित होने की समान संभावना के साथ स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं लेकिनहर परीक्षा में। किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए लेकिनयदि तीन स्वतंत्र परीक्षणों में घटना के घटित होने की संख्या का प्रसरण 0.63 है।
द्विपद नियम के फैलाव सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
;
उदाहरण।चार स्वतंत्र रूप से काम करने वाले उपकरणों से युक्त एक उपकरण का परीक्षण किया जा रहा है। प्रत्येक उपकरण के विफल होने की प्रायिकताएँ क्रमशः समान होती हैं ; ; . असफल उपकरणों की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता का पता लगाएं।
असफल उपकरणों की संख्या को यादृच्छिक चर के रूप में लेते हुए, हम देखते हैं कि यह यादृच्छिक चर 0, 1, 2, 3, या 4 मान ले सकता है।
इस यादृच्छिक चर के लिए एक वितरण कानून तैयार करने के लिए, संबंधित संभावनाओं को निर्धारित करना आवश्यक है। चलो स्वीकार करते हैं।
1) एक भी उपकरण विफल नहीं हुआ:
2) उपकरणों में से एक विफल रहा।
अनियमित चरएक मात्रा को कहा जाता है, एक ही परिस्थितियों में किए गए परीक्षणों के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक कारकों के आधार पर अलग-अलग, आम तौर पर बोलने वाले, मूल्यों को ध्यान में नहीं रखा जाता है। यादृच्छिक चर के उदाहरण: एक पासे पर गिराए गए अंकों की संख्या, एक बैच में दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या, लक्ष्य से प्रक्षेप्य के प्रभाव के बिंदु का विचलन, उपकरण का अपटाइम, आदि। असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के बीच भेद . अलगएक यादृच्छिक चर कहलाता है, जिसके संभावित मान एक गणनीय समुच्चय, परिमित या अनंत (अर्थात ऐसा समुच्चय, जिसके तत्वों को क्रमांकित किया जा सकता है) बनाते हैं।
निरंतरएक यादृच्छिक चर कहलाता है, जिसके संभावित मान संख्यात्मक अक्ष के कुछ परिमित या अनंत अंतराल को लगातार भरते हैं। एक सतत यादृच्छिक चर के मानों की संख्या हमेशा अनंत होती है।
यादृच्छिक चर लैटिन वर्णमाला के अंत के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाए जाएंगे: एक्स, यू,। ; एक यादृच्छिक चर के मान - छोटे अक्षरों में: एक्स, वाई. . इस तरह, एक्सएक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के पूरे सेट को दर्शाता है, और एक्स -कुछ विशिष्ट अर्थ।
वितरण कानूनएक असतत यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच किसी भी रूप में दिया गया पत्राचार है।
यादृच्छिक चर के संभावित मान दें एक्सहैं । परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर इनमें से एक मान लेगा, अर्थात। जोड़ीवार असंगत घटनाओं के एक पूरे समूह से एक घटना घटित होगी।
आइए इन घटनाओं की संभावनाओं को भी जानें:
यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक्सइसे एक तालिका के रूप में लिखा जा सकता है जिसे कहा जाता है वितरण के निकटअसतत यादृच्छिक चर:
यादृच्छिक चर। असतत यादृच्छिक चर।
अपेक्षित मूल्य
दूसरा खंड सिद्धांत संभावनासमर्पित यादृच्छिक चर , जो अदृश्य रूप से विषय पर हर लेख में हमारे साथ शाब्दिक रूप से होता है। और यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट करने का समय आ गया है कि यह क्या है:
यादृच्छिक रूप से बुलाया मूल्य, जो परीक्षा के परिणामस्वरूप ले जाएगा एक और केवल एकएक संख्यात्मक मान जो यादृच्छिक कारकों पर निर्भर करता है और पहले से अनुमानित नहीं है।
यादृच्छिक चर आमतौर पर होते हैं नामितके माध्यम से * , और सबस्क्रिप्ट के साथ संबंधित छोटे अक्षरों में उनके मान, उदाहरण के लिए, .
* कभी-कभी ग्रीक अक्षरों के साथ-साथ प्रयोग किया जाता है
हमारे सामने एक उदाहरण आया संभाव्यता सिद्धांत में पहला पाठ, जहां हमने वास्तव में निम्नलिखित यादृच्छिक चर पर विचार किया:
- पासा फेंकने के बाद जितने अंक गिरेंगे।
इस परीक्षा का परिणाम होगा सिर्फ एकवह रेखा, जिसकी भविष्यवाणी नहीं की जा सकती (चाल पर विचार नहीं किया जाता है); इस मामले में, यादृच्छिक चर निम्न में से एक मान ले सकता है:
- 10 नवजात शिशुओं में लड़कों की संख्या।
यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यह संख्या पहले से ज्ञात नहीं है, और अगले दस बच्चों का जन्म हो सकता है:
या लड़के - एक और केवल एकसूचीबद्ध विकल्पों में से।
और, आकार में रखने के लिए, थोड़ी शारीरिक शिक्षा:
- लंबी कूद दूरी (कुछ इकाइयों में).
खेल के उस्ताद भी इसकी भविष्यवाणी नहीं कर पा रहे हैं
हालाँकि, आपकी परिकल्पनाएँ क्या हैं?
जैसे ही वास्तविक संख्याओं का समुच्चयअनंत है, तो यादृच्छिक चर ले सकता है असीम रूप से कईकुछ अंतराल से मान। और यह पिछले उदाहरणों से इसका मूलभूत अंतर है।
इस तरह, यादृच्छिक चर को 2 बड़े समूहों में विभाजित करने की सलाह दी जाती है:
1) असतत (आंतरायिक)यादृच्छिक चर - अलग से लिए गए, पृथक मान लेता है। इन मूल्यों की संख्या निश्चित रूप सेया अनंत लेकिन गणनीय.
... समझ से बाहर की शर्तें तैयार की गईं? तत्काल दोहराएं बीजगणित की मूल बातें!
2) सतत यादृच्छिक चर - लेता है सबकुछ परिमित या अनंत सीमा से संख्यात्मक मान।
टिप्पणी : संक्षिप्त रूप DSV और NSV शैक्षिक साहित्य में लोकप्रिय हैं
पहले, आइए एक असतत यादृच्छिक चर का विश्लेषण करें, फिर - निरंतर.
असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
- ये है अनुपालनइस मात्रा के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच। सबसे अधिक बार, कानून एक तालिका में लिखा जाता है:
यह शब्द काफी सामान्य है पंक्ति
वितरण, लेकिन कुछ स्थितियों में यह अस्पष्ट लगता है, और इसलिए मैं "कानून" का पालन करूंगा।
और अब बहुत महत्वपूर्ण बिंदु: यादृच्छिक चर के बाद से आवश्यक रूप सेस्वीकार करेंगे मूल्यों में से एक, फिर संबंधित घटनाएँ बनती हैं पूरा समूहऔर उनके घटित होने की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है:
या, यदि मुड़ा हुआ लिखा हो:
इसलिए, उदाहरण के लिए, एक पासे पर अंकों की संभावनाओं के वितरण के नियम का निम्न रूप है:
आप इस धारणा के तहत हो सकते हैं कि एक असतत यादृच्छिक चर केवल "अच्छे" पूर्णांक मान ले सकता है। आइए भ्रम को दूर करें - वे कुछ भी हो सकते हैं:
कुछ गेम में निम्नलिखित अदायगी वितरण कानून है:
...शायद आप ऐसे कार्यों के बारे में लंबे समय से सपना देख रहे हैं 🙂 मैं आपको एक रहस्य बताऊंगा - मुझे भी। खासकर काम खत्म करने के बाद क्षेत्र सिद्धांत.
समाधान: चूंकि एक यादृच्छिक चर तीन में से केवल एक मान ले सकता है, संबंधित घटनाएँ बनती हैं पूरा समूह, जिसका अर्थ है कि उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है:
हम "पक्षपातपूर्ण" को उजागर करते हैं:
- इस प्रकार, पारंपरिक इकाइयों के जीतने की संभावना 0.4 है।
नियंत्रण: सुनिश्चित करने के लिए आपको क्या चाहिए।
उत्तर:
यह असामान्य नहीं है जब वितरण कानून को स्वतंत्र रूप से संकलित करने की आवश्यकता होती है। इस प्रयोग के लिए संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा, घटना की संभावनाओं के लिए गुणा/जोड़ प्रमेयऔर अन्य चिप्स तरवेरा:
बॉक्स में 50 लॉटरी टिकट हैं, जिनमें से 12 जीत रहे हैं, और उनमें से 2 प्रत्येक 1000 रूबल जीतते हैं, और बाकी - 100 रूबल प्रत्येक। एक यादृच्छिक चर के वितरण का एक नियम तैयार करें - जीत का आकार, यदि एक टिकट बॉक्स से यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है।
समाधान: जैसा कि आपने देखा, यह एक यादृच्छिक चर के मूल्यों को रखने के लिए प्रथागत है आरोही क्रम. इसलिए, हम सबसे छोटी जीत से शुरू करते हैं, और अर्थात् रूबल।
कुल मिलाकर 50 - 12 = 38 ऐसे टिकट हैं, और के अनुसार शास्त्रीय परिभाषा:
यह प्रायिकता है कि बेतरतीब ढंग से निकाला गया टिकट नहीं जीतेगा।
बाकी मामले साधारण हैं। रूबल जीतने की संभावना है:
और के लिए :
जाँच: - और यह ऐसे कार्यों का विशेष रूप से सुखद क्षण है!
उत्तर: आवश्यक अदायगी वितरण कानून:
एक स्वतंत्र निर्णय के लिए निम्नलिखित कार्य:
निशानेबाज के निशाने पर लगने की प्रायिकता है। यादृच्छिक चर के लिए वितरण नियम बनाएं - 2 शॉट्स के बाद हिट की संख्या।
... मुझे पता था कि तुमने उसे याद किया 🙂 हमें याद है गुणन और जोड़ प्रमेय. पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।
वितरण कानून पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर का वर्णन करता है, लेकिन व्यवहार में यह केवल कुछ को जानने के लिए उपयोगी (और कभी-कभी अधिक उपयोगी) है। संख्यात्मक विशेषताएं .
असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
सरल शब्दों में, यह औसत अपेक्षित मूल्यबार-बार परीक्षण के साथ। एक यादृच्छिक चर को क्रमशः संभावनाओं के साथ मान लेने दें। तब इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा बराबर होती है उत्पादों का योगसंबंधित संभावनाओं द्वारा इसके सभी मान:
या मुड़े हुए रूप में:
आइए गणना करें, उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा - एक पासे पर गिराए गए अंकों की संख्या:
प्राप्त परिणाम का संभाव्य अर्थ क्या है? यदि आप पर्याप्त बार पासे को घुमाते हैं, तो अर्थगिराए गए अंक 3.5 के करीब होंगे - और आप जितने अधिक परीक्षण करेंगे, उतने ही करीब होंगे। दरअसल, मैंने इस प्रभाव के बारे में पहले ही पाठ में विस्तार से बात की थी सांख्यिकीय संभावना.
आइए अब अपने काल्पनिक खेल को याद करें:
सवाल उठता है: क्या इस खेल को खेलना भी लाभदायक है? ... किसके पास कोई इंप्रेशन है? तो आप "ऑफहैंड" नहीं कह सकते! लेकिन इस प्रश्न का उत्तर गणितीय अपेक्षा की गणना करके आसानी से दिया जा सकता है, संक्षेप में - भारित औसतजीतने की संभावना:
इस प्रकार, इस खेल की गणितीय अपेक्षा हारी.
छापों पर भरोसा न करें - संख्याओं पर भरोसा करें!
हां, यहां आप लगातार 10 या 20-30 बार जीत सकते हैं, लेकिन लंबे समय में हम अनिवार्य रूप से बर्बाद हो जाएंगे। और मैं आपको इस तरह के खेल खेलने की सलाह नहीं दूंगा 🙂 ठीक है, शायद केवल मजे के लिए.
उपरोक्त सभी से, यह इस प्रकार है कि गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक मान नहीं है।
स्वतंत्र अनुसंधान के लिए रचनात्मक कार्य:
मिस्टर एक्स निम्नलिखित प्रणाली के अनुसार यूरोपीय रूले खेलता है: वह लगातार लाल रंग पर 100 रूबल का दांव लगाता है। एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम की रचना करें - इसका भुगतान। जीत की गणितीय अपेक्षा की गणना करें और इसे कोपेक तक गोल करें। कैसे औसतक्या खिलाड़ी हर सौ दांव पर हारता है?
संदर्भ : यूरोपीय रूले में 18 लाल, 18 काला और 1 हरा क्षेत्र ("शून्य") है। "लाल" के गिरने की स्थिति में, खिलाड़ी को डबल बेट का भुगतान किया जाता है, अन्यथा यह कैसीनो की आय में चला जाता है
कई अन्य रूलेट प्रणालियाँ हैं जिनके लिए आप अपनी स्वयं की संभाव्यता तालिकाएँ बना सकते हैं। लेकिन यह मामला है जब हमें किसी वितरण कानून और तालिकाओं की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि यह निश्चित रूप से स्थापित है कि खिलाड़ी की गणितीय अपेक्षा बिल्कुल वही होगी। केवल सिस्टम से सिस्टम में परिवर्तन होता है फैलाव, जिसके बारे में हम पाठ के भाग 2 में सीखेंगे।
लेकिन इससे पहले, कैलकुलेटर की चाबियों पर अपनी उंगलियों को फैलाना उपयोगी होगा:
यादृच्छिक चर अपने स्वयं के संभाव्यता वितरण कानून द्वारा दिया जाता है:
पता करें कि क्या यह ज्ञात है। एक चेक चलाएँ।
फिर हम अध्ययन की ओर मुड़ते हैं एक असतत यादृच्छिक चर का फैलाव, और यदि संभव हो तो, तुरंत!!- ताकि विषय का सूत्र न खोएं।
समाधान और उत्तर:
उदाहरण 3 समाधान: शर्त से - लक्ष्य से टकराने की प्रायिकता। फिर:
चूक की संभावना है।
आइए बनाते हैं - दो शॉट्स पर हिट के वितरण का नियम:
- एक भी हिट नहीं। द्वारा स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन का प्रमेय:
- एक हिट। द्वारा असंगत और स्वतंत्र घटनाओं के गुणन की संभावनाओं को जोड़ने के प्रमेय:
- दो हिट। स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:
जाँच करें: 0.09 + 0.42 + 0.49 = 1
उत्तर :
टिप्पणी : पदनामों का उपयोग करना संभव था - यह महत्वपूर्ण नहीं है।
उदाहरण 4 समाधान: खिलाड़ी 37 में से 18 मामलों में 100 रूबल जीतता है, और इसलिए उसकी जीत के वितरण के कानून का निम्न रूप है:
आइए गणितीय अपेक्षा की गणना करें:
इस प्रकार, प्रत्येक सौ दांव के लिए, खिलाड़ी औसतन 2.7 रूबल खो देता है।
उदाहरण 5 समाधान: गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार:
आइए भागों की अदला-बदली करें और सरलीकरण करें:
इस प्रकार:
चलो देखते है:
जिसका सत्यापन किया जाना था।
उत्तर :
(मुख्य पृष्ठ पर जाएं)
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असतत यादृच्छिक चर
अनियमित चरएक चर कहा जाता है, जो प्रत्येक परीक्षण के परिणामस्वरूप यादृच्छिक कारणों के आधार पर एक पूर्व अज्ञात मान लेता है। यादृच्छिक चर को बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ उनके प्रकार के अनुसार, यादृच्छिक चर हो सकते हैं अलगतथा निरंतर.
असतत यादृच्छिक चर- यह एक ऐसा यादृच्छिक चर है, जिसके मान गणनीय से अधिक नहीं हो सकते हैं, अर्थात परिमित या गणनीय। गणनीयता का अर्थ है कि एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की गणना की जा सकती है।
उदाहरण 1 . आइए असतत यादृच्छिक चर के उदाहरण दें:
ए) $n$ शॉट्स के साथ लक्ष्य पर हिट की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।
बी) एक सिक्का उछालते समय गिरने वाले हथियारों के कोटों की संख्या, यहां संभावित मान $0,\ 1,\ \dots ,\ n$ हैं।
ग) जहाज पर आने वाले जहाजों की संख्या (मानों का एक गणनीय सेट)।
डी) एक्सचेंज में आने वाली कॉलों की संख्या (मूल्यों का एक गणनीय सेट)।
1. एक असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का नियम।
एक असतत यादृच्छिक चर $X$ मान ले सकता है $x_1,\dots ,\ x_n$ संभावनाओं के साथ $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$। इन मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच के पत्राचार को कहा जाता है असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम. एक नियम के रूप में, यह पत्राचार एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है, जिसकी पहली पंक्ति में $x_1,\dots ,\ x_n$ के मान इंगित किए जाते हैं, और दूसरी पंक्ति में इन मानों के अनुरूप संभावनाएं $ होती हैं। p_1,\डॉट्स,\ p_n$.
$\शुरू
\hline
X_i और x_1 और x_2 और \डॉट्स और x_n \\
\hline
p_i और p_1 और p_2 और \डॉट्स और p_n \\
\hline
\end$
उदाहरण 2 . यादृच्छिक चर $X$ को पासे को घुमाने पर लुढ़के अंकों की संख्या होने दें। ऐसा यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित मान $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ ले सकता है। इन सभी मानों की प्रायिकता $1/6$ के बराबर है। फिर यादृच्छिक चर $X$ के लिए संभाव्यता वितरण कानून:
$\शुरू
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$
टिप्पणी. चूँकि घटनाएँ $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ असतत यादृच्छिक चर $X$ के वितरण कानून में घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, संभावनाओं का योग एक के बराबर होना चाहिए, अर्थात $\sum
2. असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा।
यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाइसका "केंद्रीय" मान निर्दिष्ट करता है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की गणना मूल्यों के उत्पादों के योग के रूप में की जाती है $x_1,\dots ,\ x_n$ और संभावनाएं $p_1,\dots ,\ p_n$ इन मानों के अनुरूप, अर्थात: $M\बाएं(X\दाएं)=\योग ^n_
उम्मीद गुण$एम\बाएं(एक्स\दाएं)$:
- $M\left(X\right)$ यादृच्छिक चर $X$ के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों के बीच है।
- एक स्थिरांक की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है, अर्थात्। $ एम \ बाएं (सी \ दाएं) = सी $।
- निरंतर कारक को उम्मीद के संकेत से बाहर निकाला जा सकता है: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$।
- यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: $M\बाएं(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$।
- स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$।
उदाहरण 3 . आइए यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं, उदाहरण के लिए $2$।
हम देख सकते हैं कि $M\left(X\right)$, यादृच्छिक चर $X$ के सबसे छोटे ($1$) और सबसे बड़े ($6$) मानों के बीच है।
उदाहरण 4 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3X+5$ की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।
उपरोक्त गुणों का उपयोग करके, हमें मिलता है $M\बाएं(3X+5\दाएं)=M\बाएं(3X\दाएं)+M\बाएं(5\दाएं)=3M\बाएं(X\दाएं)+5=3\ सीडीओटी 2 +5=11$।
उदाहरण 5 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा $M\left(X\right)=4$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $2X-9$ की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं।
उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हमें $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ मिलता है सीडीओटी 4 -9=-1$।
3. एक असतत यादृच्छिक चर का फैलाव।
समान गणितीय अपेक्षाओं वाले यादृच्छिक चर के संभावित मान उनके औसत मूल्यों के आसपास अलग-अलग तरीके से बिखर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो छात्र समूहों में, संभाव्यता सिद्धांत में परीक्षा के लिए औसत अंक 4 थे, लेकिन एक समूह में सभी अच्छे छात्र निकले, और दूसरे समूह में केवल सी छात्र और उत्कृष्ट छात्र थे। इसलिए, एक यादृच्छिक चर की एक ऐसी संख्यात्मक विशेषता की आवश्यकता होती है, जो एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के प्रसार को उसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास दिखाए। यह विशेषता फैलाव है।
असतत यादृच्छिक चर का फैलाव$X$ है:
अंग्रेजी साहित्य में, नोटेशन $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ प्रयोग किया जाता है। बहुत बार विचरण $D\left(X\right)$ की गणना सूत्र $D\left(X\right)=\sum^n_ द्वारा की जाती है
फैलाव गुण$D\बाएं(X\दाएं)$:
- फैलाव हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर होता है, अर्थात। $D\बाएं(X\दाएं)\ge 0$.
- एक स्थिरांक से परिक्षेपण शून्य के बराबर होता है, अर्थात्। $डी\बाएं(सी\दाएं)=0$.
- अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से निकाला जा सकता है, बशर्ते कि वह वर्ग हो, अर्थात्। $ डी \ बाएं (सीएक्स \ दाएं) = सी ^ 2 डी \ बाएं (एक्स \ दाएं) $।
- स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात्। $ डी \ बाएं (एक्स + वाई \ दाएं) = डी \ बाएं (एक्स \ दाएं) + डी \ बाएं (वाई \ दाएं) $।
- स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात। $ डी \ बाएं (एक्स-वाई \ दाएं) = डी \ बाएं (एक्स \ दाएं) + डी \ बाएं (वाई \ दाएं) $।
उदाहरण 6 . आइए हम यादृच्छिक चर $X$ के विचरण की गणना उदाहरण $2$ से करें।
उदाहरण 7 . यह ज्ञात है कि यादृच्छिक चर $X$ का विचरण $D\left(X\right)=2$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $4X+1$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ बाएँ(X\दाएं)=16\cdot 2=32$.
उदाहरण 8 . यह ज्ञात है कि $X$ का विचरण $D\left(X\right)=3$ के बराबर है। यादृच्छिक चर $3-2X$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ बाएँ(X\दाएँ)=4\cdot 3=12$।
4. एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्य।
वितरण श्रृंखला के रूप में एक असतत यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने की विधि केवल एक ही नहीं है, और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह सार्वभौमिक नहीं है, क्योंकि वितरण श्रृंखला का उपयोग करके एक सतत यादृच्छिक चर निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है। एक यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका है - वितरण फ़ंक्शन।
वितरण समारोहयादृच्छिक चर $X$ एक फ़ंक्शन $F\left(x\right)$ है, जो इस संभावना को निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर $X$ कुछ निश्चित मान $x$ से कम मान लेता है, अर्थात $F\left(x\ दाएं)$)=पी\बाएं(एक्स 6$, फिर $एफ\बाएं(एक्स\दाएं)=पी\बाएं(एक्स=1\दाएं)+पी\बाएं(एक्स=2\दाएं)+पी\बाएं( एक्स=3 \दाएं)+पी\बाएं(एक्स=4\दाएं)+पी\बाएं(एक्स=5\दाएं)+पी\बाएं(एक्स=6\दाएं)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$।
वितरण समारोह का ग्राफ $F\बाएं(x\दाएं)$:
वितरण के बुनियादी कानून
1. द्विपद वितरण कानून।
द्विपद बंटन नियम n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A m बार घटित होने की प्रायिकता का वर्णन करता है, बशर्ते कि प्रत्येक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर हो।
उदाहरण के लिए, एक हार्डवेयर स्टोर का बिक्री विभाग औसतन 10 कॉलों में टीवी खरीदने का एक ऑर्डर प्राप्त करता है। एम टीवी की खरीद के लिए संभाव्यता वितरण कानून लिखें। प्रायिकता बंटन के बहुभुज की रचना कीजिए।
तालिका में, एम टीवी सेट की खरीद के लिए कंपनी द्वारा प्राप्त आदेशों की संख्या है। C n m, n द्वारा m TV के संयोजनों की संख्या है, p घटना A के घटित होने की प्रायिकता है, अर्थात्। एक टीवी का आदेश देना, q संभावना है कि घटना A घटित नहीं होगी, अर्थात। एक टीवी का आदेश नहीं दे रहा है, पी एम, एन, एम टीवी को एन से बाहर करने की संभावना है। चित्रा 1 संभाव्यता वितरण के बहुभुज को दर्शाता है।
2. ज्यामितीय वितरण।
एक यादृच्छिक चर के ज्यामितीय वितरण के निम्नलिखित रूप हैं:
P m, परीक्षण संख्या m में घटना A के घटित होने की प्रायिकता है।
p एक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता है।
क्यू = 1 - पी
उदाहरण। एक घरेलू उपकरण मरम्मत कंपनी को वाशिंग मशीन के लिए 10 प्रतिस्थापन इकाइयों का एक बैच मिला। ऐसे मामले हैं जब एक बैच में 1 दोषपूर्ण ब्लॉक होता है। एक दोषपूर्ण ब्लॉक मिलने तक एक जांच की जाती है। चेक किए गए ब्लॉकों की संख्या के लिए वितरण कानून तैयार करना आवश्यक है। एक ब्लॉक के खराब होने की प्रायिकता 0.1 है। प्रायिकता बंटन के बहुभुज की रचना कीजिए।
तालिका से यह देखा जा सकता है कि संख्या m में वृद्धि के साथ, एक दोषपूर्ण ब्लॉक का पता लगाने की संभावना कम हो जाती है। अंतिम पंक्ति (m=10) दो संभावनाओं को जोड़ती है: 1 - कि दसवां ब्लॉक दोषपूर्ण निकला - 0.038742049 , 2 - कि सभी चेक किए गए ब्लॉक सेवा योग्य निकले - 0.34867844। चूंकि एक ब्लॉक के विफल होने की संभावना अपेक्षाकृत कम है (p=0.1), अंतिम घटना Pm (10 परीक्षण किए गए ब्लॉक) की संभावना अपेक्षाकृत अधिक है। रेखा चित्र नम्बर 2।
3. हाइपरजोमेट्रिक वितरण।
एक यादृच्छिक चर के हाइपरज्यामितीय वितरण का निम्न रूप है:
उदाहरण के लिए, 49 में से 7 अनुमानित संख्याओं के वितरण का एक नियम तैयार करें। इस उदाहरण में, कुल संख्याएँ N=49, n=7 संख्याएँ हटा दी गईं, M - कुल संख्याएँ जिनके पास दी गई संपत्ति है, अर्थात्। सही ढंग से अनुमानित संख्याएँ, m निकाली गई संख्याओं में से सही ढंग से अनुमानित संख्याओं की संख्या है।
तालिका से पता चलता है कि एक संख्या m=1 अनुमान लगाने की संभावना m=0 की तुलना में अधिक है। हालांकि, फिर संभावना तेजी से घटने लगती है। इस प्रकार, 4 संख्याओं का अनुमान लगाने की संभावना पहले से ही 0.005 से कम है, और 5 नगण्य है।
4. पॉइसन वितरण कानून।
एक यादृच्छिक चर X में एक पॉइसन वितरण होता है यदि इसके वितरण कानून का रूप है:
एनपी = कॉन्स्ट
n अनंत की ओर जाने वाले परीक्षणों की संख्या है
p शून्य की ओर प्रवृत्त होने वाली घटना की प्रायिकता है
m घटना A के घटित होने की संख्या है
उदाहरण के लिए, औसतन एक टीवी कंपनी प्रतिदिन लगभग 100 कॉल प्राप्त करती है। एक ब्रांड A TV को ऑर्डर करने की प्रायिकता 0.08 है; बी - 0.06 और सी - 0.04। ब्रांड ए, बी और सी के टीवी सेट खरीदने के लिए ऑर्डर के वितरण का कानून तैयार करें। संभाव्यता वितरण के बहुभुज का निर्माण करें।
इस शर्त से हमारे पास है: m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 =4 (?10)
(तालिका पूर्ण नहीं है)
यदि n अनंत तक जाने के लिए काफी बड़ा है, और p का मान शून्य हो जाता है, जिससे गुणनफल np एक स्थिर संख्या में चला जाता है, तो यह नियम द्विपद बंटन नियम का एक सन्निकटन है। ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि प्रायिकता p जितनी अधिक होगी, वक्र m अक्ष के उतना ही निकट होगा, अर्थात। अधिक कोमल। (चित्र.4)
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि द्विपद, ज्यामितीय, हाइपरजोमेट्रिक और पॉइसन वितरण कानून एक असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण को व्यक्त करते हैं।
5. समान वितरण कानून।
यदि प्रायिकता घनत्व? (x) एक निश्चित अंतराल पर एक स्थिर मान है, तो वितरण नियम को एक समान कहा जाता है। चित्रा 5 संभाव्यता वितरण समारोह के ग्राफ और समान वितरण कानून की संभावना घनत्व दिखाता है।
6. सामान्य वितरण कानून (गॉस कानून)।
निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण के नियमों में, सामान्य वितरण कानून सबसे आम है। एक यादृच्छिक चर को सामान्य वितरण कानून के अनुसार वितरित किया जाता है यदि इसकी संभाव्यता घनत्व का रूप है:
कहाँ पे
a एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है
? - मानक विचलन
एक सामान्य वितरण कानून के साथ एक यादृच्छिक चर के संभाव्यता घनत्व का ग्राफ सीधी रेखा x=a के संबंध में सममित है, अर्थात x गणितीय अपेक्षा के बराबर है। इस प्रकार, यदि x=a, तो वक्र का अधिकतम बराबर है:
जब गणितीय अपेक्षा का मान बदलता है, तो वक्र ऑक्स अक्ष के साथ शिफ्ट हो जाएगा। ग्राफ (चित्र 6) दर्शाता है कि x=3 पर वक्र का अधिकतम मान होता है, क्योंकि गणितीय अपेक्षा 3 है। यदि गणितीय अपेक्षा भिन्न मान लेती है, उदाहरण के लिए, a=6, तो वक्र का अधिकतम x=6 होगा। मानक विचलन की बात करें तो, जैसा कि आप ग्राफ से देख सकते हैं, मानक विचलन जितना बड़ा होगा, यादृच्छिक चर के संभाव्यता घनत्व का अधिकतम मान उतना ही छोटा होगा।
एक फ़ंक्शन जो अंतराल (-?, x) पर एक यादृच्छिक चर के वितरण को व्यक्त करता है, और एक सामान्य वितरण कानून होने पर, निम्न सूत्र के अनुसार लैपलेस फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त किया जाता है:
वे। एक यादृच्छिक चर X की प्रायिकता में दो भाग होते हैं: प्रायिकता जहां x शून्य से अनंत तक मान लेता है, 0.5 के बराबर, और दूसरा भाग a से x तक होता है। (चित्र 7)
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पाठ: असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम
असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियमसंभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार है। इसे सारणीबद्ध, रेखांकन और विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।
इस पाठ में एक यादृच्छिक चर क्या है, इस पर चर्चा की गई है।
सेटिंग के सारणीबद्ध तरीके के साथ, तालिका की पहली पंक्ति में संभावित मान होते हैं, और दूसरी उनकी संभावनाएं, अर्थात्
इस मात्रा को वितरण श्रृंखला कहा जाता है। असतत यादृच्छिक चर.
X=x1, X=x2, X=xn एक पूरा समूह बनाते हैं, क्योंकि एक परीक्षण में यादृच्छिक चर एक और केवल एक संभावित मान लेगा। इसलिए, उनकी प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है, अर्थात् p1 + p2 + pn = 1 या
यदि X के मानों का समुच्चय अनंत है, तो 
उदाहरण 1. नकद लॉटरी में 100 टिकट जारी किए जाते हैं। 1000 रूबल की एक जीत और 100 रूबल में से 10 खेली जाती हैं। एक यादृच्छिक चर X के वितरण के नियम का पता लगाएं - एक लॉटरी टिकट के मालिक के लिए संभावित जीत की लागत।
वांछित वितरण कानून का रूप है:
नियंत्रण; 0.01+0.1+0.89=1.
वितरण कानून स्थापित करने की एक ग्राफिकल विधि के साथ, समन्वय विमान (Xi: Pi) पर बिंदु बनाए जाते हैं, और फिर वे सीधी रेखा खंडों से जुड़े होते हैं। परिणामी टूटी हुई रेखा कहलाती है वितरण बहुभुज।उदाहरण 1 के लिए, वितरण बहुभुज चित्र 1 में दिखाया गया है।
वितरण कानून स्थापित करने की विश्लेषणात्मक विधि में, एक सूत्र इंगित किया जाता है जो एक यादृच्छिक चर की संभावनाओं को उसके संभावित मूल्यों से जोड़ता है।
असतत वितरण के उदाहरण
द्विपद वितरण
मान लीजिए n परीक्षण किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक घटना A एक स्थिर प्रायिकता p के साथ घटित होती है, इसलिए, एक स्थिर प्रायिकता के साथ घटित नहीं होती है क्यू = 1- पी. एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स-इन n परीक्षणों में घटना A की घटनाओं की संख्या। X के संभावित मान हैं x1 = 0 , x2 = 1,…, xn+1 = n । इनकी संभावना संभव
असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को विंडोज एक्सपी वर्ड 2003 एक्सेल 2003 कहा जाता है असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम असतत यादृच्छिक चर के वितरण का कानून कोई भी संबंध है जो एक यादृच्छिक के संभावित मूल्यों के बीच संबंध स्थापित करता है। परिवर्तनशील और […]
जैसा कि ज्ञात है, अनियमित चर एक चर कहा जाता है जो मामले के आधार पर कुछ मूल्यों को ले सकता है। यादृच्छिक चर लैटिन वर्णमाला (एक्स, वाई, जेड) के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं, और उनके मूल्यों को संबंधित लोअरकेस अक्षरों (एक्स, वाई, जेड) द्वारा दर्शाया जाता है। यादृच्छिक चर को असंतत (असतत) और निरंतर में विभाजित किया गया है।
असतत यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर है जो कुछ गैर-शून्य संभावनाओं वाले मानों का केवल एक परिमित या अनंत (गणनीय) सेट लेता है।
असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक फ़ंक्शन है जो एक यादृच्छिक चर के मूल्यों को उनकी संबंधित संभावनाओं से जोड़ता है। वितरण कानून को निम्नलिखित तरीकों में से एक में निर्दिष्ट किया जा सकता है।
1 . वितरण कानून तालिका द्वारा दिया जा सकता है:
जहाँ >0, k = 0, 1, 2,… .
में)का उपयोग करके वितरण फलन F(x) , जो प्रत्येक मान x के लिए प्रायिकता निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X, x से कम मान लेता है, अर्थात। एफ(एक्स) = पी(एक्स< x).
फलन के गुण F(x)
3 . वितरण कानून को ग्राफिक रूप से सेट किया जा सकता है - वितरण बहुभुज (बहुभुज) (समस्या 3 देखें)।
ध्यान दें कि कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, वितरण कानून को जानना आवश्यक नहीं है। कुछ मामलों में, एक या अधिक संख्याओं को जानना पर्याप्त होता है जो वितरण कानून की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को दर्शाते हैं। यह एक संख्या हो सकती है जिसका एक यादृच्छिक चर के "औसत मूल्य" का अर्थ है, या एक संख्या जो अपने औसत मूल्य से यादृच्छिक चर के विचलन का औसत आकार दिखाती है। इस प्रकार की संख्याओं को यादृच्छिक चर के संख्यात्मक अभिलक्षण कहते हैं।
असतत यादृच्छिक चर की मूल संख्यात्मक विशेषताएं :
- गणितीय अपेक्षा
असतत यादृच्छिक चर का (माध्य मान) एम(एक्स)=Σ एक्स आई पी आई.
द्विपद बंटन के लिए M(X)=np, पॉइसन बंटन के लिए M(X)=λ - फैलाव
असतत यादृच्छिक चर डी (एक्स) = एम 2या डी (एक्स) = एम (एक्स 2) - 2. अंतर X-M(X) को एक यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन कहा जाता है।
द्विपद बंटन के लिए D(X)=npq, पॉइसन बंटन के लिए D(X)=λ - मानक विचलन (मानक विचलन) (एक्स)=√डी(एक्स).
"असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण
कार्य 1।
1000 लॉटरी टिकट जारी किए गए हैं: उनमें से 5 500 रूबल, 10 - 100 रूबल, 20 - 50 रूबल, 50 - 10 रूबल जीतते हैं। यादृच्छिक चर X - प्रति टिकट जीत के प्रायिकता वितरण के नियम का निर्धारण करें।
समाधान। समस्या की स्थिति के अनुसार, यादृच्छिक चर X के निम्नलिखित मान संभव हैं: 0, 10, 50, 100 और 500।
बिना जीते टिकटों की संख्या 1000 - (5+10+20+50) = 915 है, फिर P(X=0) = 915/1000 = 0.915।
इसी तरह, हम अन्य सभी संभावनाएं पाते हैं: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005। हम परिणामी कानून को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करते हैं:
X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
कार्य 3.
डिवाइस में तीन स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तत्व होते हैं। एक प्रयोग में प्रत्येक तत्व के विफल होने की प्रायिकता 0.1 है। एक प्रयोग में असफल तत्वों की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं, एक वितरण बहुभुज बनाएं। वितरण फलन F(x) ज्ञात कीजिए और इसे आलेखित कीजिए। एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
समाधान। 1. असतत यादृच्छिक चर X=(एक प्रयोग में विफल तत्वों की संख्या) के निम्नलिखित संभावित मान हैं: x 1 =0 (डिवाइस का कोई भी तत्व विफल नहीं हुआ), x 2 =1 (एक तत्व विफल), x 3 =2 ( दो तत्व विफल ) और x 4 \u003d 3 (तीन तत्व विफल)।
तत्वों की विफलताएं एक दूसरे से स्वतंत्र होती हैं, प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावनाएं एक दूसरे के बराबर होती हैं, इसलिए यह लागू होता है बर्नौली का सूत्र
. यह देखते हुए कि, शर्त के अनुसार, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, हम मानों की प्रायिकता निर्धारित करते हैं:
पी 3 (0) \u003d सी 3 0 पी 0 क्यू 3-0 \u003d क्यू 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
पी 3 (1) \u003d सी 3 1 पी 1 क्यू 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
पी 3 (2) \u003d सी 3 2 पी 2 क्यू 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
पी 3 (3) \u003d सी 3 3 पी 3 क्यू 3-3 \u003d पी 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
जाँच करें: p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
इस प्रकार, वांछित द्विपद वितरण नियम X का रूप है:
एब्सिस्सा अक्ष पर, हम संभावित मानों को प्लॉट करते हैं x i, और कोऑर्डिनेट अक्ष पर, संबंधित संभावनाएं р i । आइए अंक एम 1 (0; 0.729), एम 2 (1; 0.243), एम 3 (2; 0.027), एम 4 (3; 0.001) बनाएं। इन बिंदुओं को रेखाखंडों से जोड़ने पर हमें वांछित बंटन बहुभुज प्राप्त होता है।
3. वितरण फलन ज्ञात कीजिए F(x) = P(X
x 0 के लिए हमारे पास F(x) = P(X .) है<0) = 0;0 . के लिए< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 के लिए< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 के लिए< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 के लिए यह F(x) = 1 होगा, क्योंकि घटना निश्चित है।
 |
फलन का ग्राफ F(x)
4.
द्विपद बंटन X के लिए:
- गणितीय अपेक्षा М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- फैलाव डी (एक्स) = एनपीक्यू = 3 * 0.1 * 0.9 = 0.27;
- मानक विचलन (X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52।
