ज्यामिति की समस्याओं में सफलता न केवल सिद्धांत के ज्ञान पर निर्भर करती है, बल्कि गुणवत्तापूर्ण ड्राइंग पर भी निर्भर करती है।
सपाट चित्रों के साथ, सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है। लेकिन स्टीरियोमेट्री में, स्थिति अधिक जटिल है। आखिरकार, चित्रित करना आवश्यक है तीन आयामीशरीर पर समतलड्राइंग, और इस तरह से कि आप स्वयं और आपके ड्राइंग को देखने वाले दोनों को एक ही त्रि-आयामी शरीर दिखाई देगा।

यह कैसे करना है?
बेशक, एक विमान पर त्रि-आयामी शरीर की कोई भी छवि सशर्त होगी। हालांकि, नियमों का एक निश्चित सेट है। ब्लूप्रिंट बनाने का एक आम तौर पर स्वीकृत तरीका है - समानांतर प्रक्षेपण.

चलो एक ठोस शरीर लेते हैं।
चलो चुनते हैं प्रक्षेपण विमान.
वॉल्यूमेट्रिक बॉडी के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से हम सीधी रेखाएं खींचते हैं, एक दूसरे के समानांतर और प्रक्षेपण विमान को किसी कोण पर काटते हैं। इनमें से प्रत्येक रेखा किसी बिंदु पर प्रक्षेपण तल को काटती है। एक साथ, ये बिंदु बनते हैं प्रक्षेपणप्लेन पर वॉल्यूमेट्रिक बॉडी, यानी इसकी सपाट छवि।

वॉल्यूमेट्रिक निकायों के अनुमानों का निर्माण कैसे करें?
कल्पना कीजिए कि आपके पास त्रि-आयामी शरीर का एक फ्रेम है - एक प्रिज्म, एक पिरामिड या एक सिलेंडर। प्रकाश की समानांतर किरण के साथ इसे रोशन करते हुए, हमें एक छवि मिलती है - दीवार पर या स्क्रीन पर एक छाया। ध्यान दें कि अलग-अलग कोणों से अलग-अलग छवियां प्राप्त की जाती हैं, लेकिन कुछ पैटर्न अभी भी मौजूद हैं:

खंड का प्रक्षेपण खंड होगा।

बेशक, यदि खंड प्रक्षेपण विमान के लंबवत है, तो इसे एक बिंदु पर प्रदर्शित किया जाएगा।

सामान्य स्थिति में, एक वृत्त का प्रक्षेपण एक दीर्घवृत्त होगा।

एक आयत का प्रक्षेपण एक समांतर चतुर्भुज है।

यहाँ बताया गया है कि एक समतल पर घन का प्रक्षेपण कैसा दिखता है:

यहाँ आगे और पीछे के फलक प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर हैं

आप इसे अलग तरीके से कर सकते हैं:

हम जो भी कोण चुनते हैं, ड्राइंग में समानांतर खंडों के अनुमान भी समानांतर खंड होंगे. यह समानांतर प्रक्षेपण के सिद्धांतों में से एक है।

हम पिरामिड का अनुमान लगाते हैं,

सिलेंडर:

एक बार फिर, हम समानांतर प्रक्षेपण के मूल सिद्धांत को दोहराते हैं। हम प्रोजेक्शन प्लेन का चयन करते हैं और वॉल्यूमेट्रिक बॉडी के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से एक दूसरे के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचते हैं। ये रेखाएँ प्रक्षेपण तल को किसी न किसी कोण पर काटती हैं। यदि यह कोण 90° है, तो यह है आयताकार प्रक्षेपण. आयताकार प्रक्षेपण की सहायता से इंजीनियरिंग में त्रि-आयामी भागों के चित्र बनाए जाते हैं। ऐसे में हम बात कर रहे हैं टॉप व्यू, फ्रंट व्यू और साइड व्यू की।

अध्याय IV। अंतरिक्ष में रेखाएं और विमान। बहुकोणीय आकृति

55. बहुभुज का प्रक्षेपण क्षेत्र।

याद रखें कि एक रेखा और एक तल के बीच का कोण किसी दी गई रेखा और उसके समतल पर प्रक्षेपण के बीच का कोण होता है (चित्र 164)।

प्रमेय। विमान पर बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्र बहुभुज के विमान और प्रक्षेपण विमान द्वारा गठित कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए अनुमानित बहुभुज के क्षेत्र के बराबर है।

प्रत्येक बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, जिसके क्षेत्रफलों का योग बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसलिए, एक त्रिभुज के लिए प्रमेय को सिद्ध करना पर्याप्त है।

होने देना /\ ABC को एक समतल पर प्रक्षेपित किया जाता है आर. दो मामलों पर विचार करें:
ए) पार्टियों में से एक /\ ABC समतल के समानांतर है आर;
बी) पार्टियों में से कोई नहीं /\ एबीसी समानांतर नहीं है आर.

विचार करना पहला मामला: चलो [एबी] || आर.

(एबी) विमान के माध्यम से ड्रा करें आर 1 || आरऔर प्रोजेक्ट ऑर्थोगोनली /\ एबीसी ऑन आर 1 और आगे आर(चित्र। 165); हम पाते हैं /\ एबीसी 1 और /\ ए "बी" एस"।
प्रक्षेपण संपत्ति से, हमारे पास है /\ एबीसी 1 /\ ए "बी" सी ", और इसलिए

एस /\ एबीसी1=एस /\ ए "बी" सी "

आइए _|_ और खंड D 1 C 1 ड्रा करें। तब _|_ , a = समतल के बीच का कोण है /\ एबीसी और विमान आरएक । इसीलिए

एस /\ ABC1 = 1/2 | एबी | | सी 1 डी 1 | = 1/2 | एबी | | सीडी 1 | कॉस = एस /\ एबीसी कॉस

और इसलिए S /\ ए "बी" सी "= एस /\ एबीसी कॉस .

आइए विचार पर चलते हैं दूसरा मामला. एक विमान ड्रा करें आर 1 || आरउस चोटी के ऊपर /\ एबीसी, जिस दूरी से विमान तक आरसबसे छोटा (इसे शीर्ष A होने दें)।
हम डिजाइन करेंगे /\ एक विमान पर एबीसी आर 1 और आर(चित्र। 166); इसके अनुमानों को क्रमशः होने दें /\ एबी 1 सी 1 और /\ ए "बी" एस"।

चलो (सूर्य) पी 1 = डी. तब

एस /\ ए "बी" सी "= एस /\ AB1 C1 = S /\ एडीसी1-एस /\ एडीबी1 = (एस /\ एडीसी-एस /\ ADB) cos = S /\ एबीसी कॉस

एक कार्य।एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधार की भुजा से होकर एक तल को उसके आधार तल से = 30° के कोण पर खींचा जाता है। परिणामी खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि प्रिज्म के आधार की भुजा एक= 6 सेमी.

आइए इस प्रिज्म के खंड को चित्रित करें (चित्र 167)। चूंकि प्रिज्म नियमित है, इसके पार्श्व किनारे आधार के तल के लंबवत हैं। माध्यम, /\ एबीसी एक प्रक्षेपण है /\ एडीसी, सो

बहुभुज ओर्थोगोनल प्रक्षेपण प्रमेय का विस्तृत प्रमाण

अगर - एक फ्लैट का प्रक्षेपण एन -एक समतल पर जाएं, तो, बहुभुजों के तलों के बीच का कोण कहां है और। दूसरे शब्दों में, एक समतल बहुभुज का प्रक्षेपण क्षेत्र प्रक्षेपित बहुभुज के क्षेत्रफल के गुणनफल और प्रक्षेपण तल और प्रक्षेपित बहुभुज के तल के बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है।

सबूत। मैं मंच। आइए पहले त्रिभुज के लिए प्रमाण करते हैं। आइए 5 मामलों पर विचार करें।

1 मामला। प्रोजेक्शन प्लेन में लेटना .

आज्ञा देना विमान पर अंक के अनुमान, क्रमशः. हमारे मामले में। आइए मान लें कि। चलो - ऊंचाई, फिर तीन लंबवत के प्रमेय द्वारा, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि - ऊंचाई (- झुकाव का प्रक्षेपण, - इसका आधार और सीधी रेखा झुकाव के आधार से गुजरती है, इसके अलावा)।

विचार करना। यह आयताकार है। कोसाइन की परिभाषा के अनुसार:

दूसरी ओर, चूंकि और, तब, परिभाषा के अनुसार, विमानों के अर्ध-तलों द्वारा और सीमा रेखा के साथ बनने वाले डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है, और इसलिए, इसका माप भी बीच के कोण का माप है त्रिभुज और त्रिभुज के प्रक्षेपण विमान, अर्थात्।

क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि सूत्र तब भी सत्य रहता है जब . इस मामले में

दूसरा मामला। केवल प्रोजेक्शन प्लेन में स्थित है और प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर है .

आज्ञा देना विमान पर अंक के अनुमान, क्रमशः. हमारे मामले में।

आइए बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं। हमारे मामले में, सीधी रेखा प्रोजेक्शन प्लेन को काटती है, जिसका अर्थ है कि लेम्मा द्वारा, स्ट्रेट लाइन प्रोजेक्शन प्लेन को भी काटती है। इसे एक बिंदु पर होने दें क्योंकि, तब बिंदु एक ही विमान में स्थित होते हैं, और चूंकि यह प्रक्षेपण विमान के समानांतर होता है, यह सीधी रेखा के समानांतरता के संकेत से और उस विमान का अनुसरण करता है। इसलिए, एक समांतर चतुर्भुज है। विचार करें और। वे तीन भुजाओं पर समान हैं (- उभयनिष्ठ, समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं की तरह)। ध्यान दें कि चतुर्भुज एक आयत है और बराबर है (पैर और कर्ण के साथ), इसलिए, यह तीन तरफ बराबर है। इसीलिए।

1 मामले के लिए लागू है:, यानी।

तीसरा मामला। केवल प्रोजेक्शन प्लेन में स्थित है और प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर नहीं है .

बिंदु को प्रक्षेपण विमान के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें। बता दें कि आई. 1 अवसर पर: मैं। इस प्रकार हम पाते हैं कि

4 मामला। प्रोजेक्शन प्लेन में कोने नहीं होते हैं . लंबवत पर विचार करें। इन लंबों में से सबसे छोटा लें। इसे लंबवत होने दें। यह पता चल सकता है कि या तो केवल, या केवल। फिर भी हम इसे लेते हैं।

आइए हम एक खंड पर एक बिंदु से एक बिंदु को अलग रखें, ताकि और एक बिंदु से एक खंड पर, एक बिंदु, ताकि। ऐसा निर्माण संभव है, क्योंकि - लंबों में सबसे छोटा। ध्यान दें कि यह एक प्रक्षेपण है और निर्माण द्वारा। आइए हम इसे साबित करें और बराबर हैं।

आइए एक चतुर्भुज पर विचार करें। शर्त से - एक विमान के लंबवत, इसलिए, प्रमेय के अनुसार, इसलिए। चूँकि रचना द्वारा, तो एक समांतर चतुर्भुज (समानांतर और समान विपरीत भुजाओं पर) के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि - एक समांतर चतुर्भुज। माध्यम, । इसी प्रकार सिद्ध होता है कि, . इसलिए, और तीन तरफ बराबर हैं। इसीलिए। ध्यान दें कि और, समानांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्षों के रूप में, इसलिए, विमानों के समानांतरवाद के आधार पर, . चूँकि ये समतल समानांतर हैं, इसलिए ये प्रक्षेपण तल के साथ समान कोण बनाते हैं।

पिछले मामलों के लिए आवेदन करें:

5 मामला। प्रक्षेपण विमान पक्षों को काटता है . आइए सीधी रेखाओं को देखें। वे प्रक्षेपण तल के लंबवत हैं, इसलिए प्रमेय के अनुसार वे समानांतर हैं। बिंदुओं पर मूल के साथ सह-निर्देशित किरणों पर, हम क्रमशः समान खंडों को अलग करते हैं, ताकि शीर्ष प्रक्षेपण विमान के बाहर स्थित हों। ध्यान दें कि यह एक प्रक्षेपण है और निर्माण द्वारा। आइए दिखाते हैं कि यह बराबर है।

तब से और, निर्माण से, तब। इसलिए, एक समांतर चतुर्भुज के आधार पर (दो समान और समानांतर भुजाओं पर), - एक समांतर चतुर्भुज। यह इसी तरह सिद्ध किया जा सकता है कि और समांतर चतुर्भुज हैं। लेकिन फिर, और (विपरीत पक्षों के रूप में), इसलिए, तीन पक्षों में बराबर है। माध्यम, ।

इसके अलावा, और इसलिए, विमानों की समानता के आधार पर। चूँकि ये समतल समानांतर हैं, इसलिए ये प्रक्षेपण तल के साथ समान कोण बनाते हैं।

लागू मामले के लिए 4:.

द्वितीय मंच। आइए शीर्ष से खींचे गए विकर्णों का उपयोग करके समतल बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करें: फिर, त्रिभुजों के लिए पिछले मामलों के अनुसार: .

क्यू.ई.डी.