तरीकों क्रेमेतथा गाऊसीसबसे लोकप्रिय समाधानों में से एक टूटना. इसके अलावा, कुछ मामलों में विशिष्ट तरीकों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। सत्र करीब है, और अब समय है उन्हें दोहराने या शुरू से मास्टर करने का। आज हम क्रैमर विधि द्वारा समाधान से निपटते हैं। आखिरकार, क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना एक बहुत ही उपयोगी कौशल है।

रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली रूप के समीकरणों की एक प्रणाली है:

मान सेट एक्स जिस पर निकाय के समीकरण सर्वसमिका में बदल जाते हैं, निकाय का हल कहलाता है। एक तथा बी वास्तविक गुणांक हैं। दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों वाली एक सरल प्रणाली को मानसिक रूप से या एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करके हल किया जा सकता है। लेकिन SLAE में दो से अधिक चर (x) हो सकते हैं, और सरल स्कूल जोड़तोड़ यहां अपरिहार्य हैं। क्या करें? उदाहरण के लिए, SLAE को Cramer's method द्वारा हल करें!

तो सिस्टम होने दो एन के साथ समीकरण एन अनजान।

ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है

यहां ए प्रणाली का मुख्य मैट्रिक्स है, एक्स तथा बी , क्रमशः, अज्ञात चर और मुक्त सदस्यों के कॉलम मैट्रिक्स।

क्रैमर विधि द्वारा SLAE समाधान

यदि मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है (मैट्रिक्स नॉनसिंगुलर है), तो सिस्टम को क्रैमर विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

क्रैमर विधि के अनुसार, सूत्र द्वारा समाधान ज्ञात किया जाता है:

यहां डेल्टा मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक है, और डेल्टा x n-th - n-वें कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक से प्राप्त निर्धारक।

यह क्रैमर की विधि का संपूर्ण बिंदु है। उपरोक्त सूत्रों द्वारा प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करना एक्स वांछित प्रणाली में, हम अपने समाधान की शुद्धता (या इसके विपरीत) के बारे में आश्वस्त हैं। सार को जल्दी से समझने में आपकी मदद करने के लिए, हम नीचे क्रैमर विधि द्वारा SLAE के विस्तृत समाधान का एक उदाहरण देते हैं:

भले ही आप पहली बार सफल न हों, निराश न हों! थोड़े से अभ्यास के साथ, आप नट्स की तरह धीमी गति से पॉप करना शुरू कर देंगे। इसके अलावा, अब एक नोटबुक पर ताकना, बोझिल गणनाओं को हल करना और रॉड पर लिखना बिल्कुल जरूरी नहीं है। SLAE को Cramer विधि द्वारा ऑनलाइन हल करना आसान है, केवल गुणांकों को तैयार रूप में प्रतिस्थापित करके। आप क्रैमर विधि को हल करने के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर की कोशिश कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, इस साइट पर।

और अगर सिस्टम जिद्दी निकला और हार नहीं मानी, तो आप हमेशा मदद के लिए हमारे लेखकों की ओर रुख कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, करने के लिए। यदि सिस्टम में कम से कम 100 अज्ञात हैं, तो हम निश्चित रूप से इसे सही ढंग से और समय पर हल करेंगे!

पहले भाग में, हमने कुछ सैद्धांतिक सामग्री, प्रतिस्थापन विधि, साथ ही सिस्टम समीकरणों के शब्द-दर-अवधि जोड़ की विधि पर विचार किया। इस पृष्ठ के माध्यम से साइट पर आने वाले सभी लोगों के लिए, मेरा सुझाव है कि आप पहले भाग को पढ़ें। शायद, कुछ आगंतुकों को सामग्री बहुत सरल लगेगी, लेकिन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दौरान, मैंने सामान्य रूप से गणितीय समस्याओं के समाधान के संबंध में कई महत्वपूर्ण टिप्पणियां और निष्कर्ष निकाले हैं।

और अब हम क्रैमर के नियम का विश्लेषण करेंगे, साथ ही व्युत्क्रम मैट्रिक्स (मैट्रिक्स विधि) का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान का भी विश्लेषण करेंगे। सभी सामग्री सरल, विस्तार से और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत की गई हैं, लगभग सभी पाठक उपरोक्त विधियों का उपयोग करके सिस्टम को हल करना सीख सकेंगे।

हम पहले दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर विस्तार से विचार करते हैं। किस लिए? "आखिरकार, सबसे सरल प्रणाली को स्कूल पद्धति द्वारा, टर्म-बाय-टर्म जोड़ द्वारा हल किया जा सकता है!

तथ्य यह है कि भले ही कभी-कभी, लेकिन ऐसा कार्य होता है - क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए। दूसरे, एक सरल उदाहरण आपको यह समझने में मदद करेगा कि अधिक जटिल मामले के लिए क्रैमर के नियम का उपयोग कैसे करें - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

इसके अलावा, दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ हैं, जिन्हें क्रैमर के नियम के अनुसार ठीक से हल करना उचित है!

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

पहले चरण में, हम सारणिक की गणना करते हैं, इसे कहते हैं प्रणाली का मुख्य निर्धारक.

गॉस विधि।

अगर , तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, और जड़ों को खोजने के लिए, हमें दो और निर्धारकों की गणना करनी चाहिए:
तथा

व्यवहार में, उपरोक्त क्वालिफायर को लैटिन अक्षर द्वारा भी निरूपित किया जा सकता है।

समीकरण की जड़ें सूत्रों द्वारा पाई जाती हैं:
,

उदाहरण 7

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान: हम देखते हैं कि समीकरण के गुणांक काफी बड़े हैं, दाईं ओर अल्पविराम के साथ दशमलव अंश हैं। गणित में व्यावहारिक कार्यों में अल्पविराम एक दुर्लभ अतिथि है; मैंने इस प्रणाली को एक अर्थमितीय समस्या से लिया है।

ऐसी प्रणाली को कैसे हल करें? आप एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करने का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में, आपको निश्चित रूप से भयानक फैंसी अंश मिलेंगे जो काम करने के लिए बेहद असुविधाजनक हैं, और समाधान का डिज़ाइन केवल भयानक लगेगा। आप दूसरे समीकरण को 6 से गुणा कर सकते हैं और पद से पद घटा सकते हैं, लेकिन वही भिन्न यहां दिखाई देंगे।

क्या करें? ऐसे मामलों में, क्रैमर के सूत्र बचाव में आते हैं।

;

;

उत्तर: ,

दोनों जड़ों में अनंत पूंछ हैं और लगभग पाए जाते हैं, जो अर्थमिति समस्याओं के लिए काफी स्वीकार्य (और यहां तक ​​​​कि सामान्य) है।

यहां टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि कार्य तैयार किए गए सूत्रों के अनुसार हल किया जाता है, हालांकि, एक चेतावनी है। इस पद्धति का उपयोग करते समय, अनिवार्यअसाइनमेंट का अंश निम्नलिखित अंश है: "इसलिए सिस्टम का एक अनूठा समाधान है". अन्यथा, समीक्षक आपको Cramer के प्रमेय का अनादर करने के लिए दंडित कर सकता है।

यह जांचना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा, जो कैलकुलेटर पर ले जाने के लिए सुविधाजनक है: हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर अनुमानित मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं। नतीजतन, एक छोटी सी त्रुटि के साथ, संख्याएं जो दाईं ओर हैं, प्राप्त की जानी चाहिए।

उदाहरण 8

अपने उत्तर को साधारण अनुचित भिन्नों में व्यक्त कीजिए। एक चेक बनाओ।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में बढ़िया डिजाइन और उत्तर का उदाहरण)।

हम तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर विचार करते हैं:

हम प्रणाली के मुख्य निर्धारक पाते हैं:

यदि , तो सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत है (कोई समाधान नहीं है)। इस मामले में, क्रैमर का नियम मदद नहीं करेगा, आपको गॉस विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है।

यदि , तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, और जड़ों को खोजने के लिए, हमें तीन और निर्धारकों की गणना करनी चाहिए:
, ,

और अंत में, उत्तर की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, "तीन बटा तीन" मामला मौलिक रूप से "दो से दो" मामले से अलग नहीं है, मुख्य निर्धारक के स्तंभों के साथ मुक्त शर्तों का स्तंभ क्रमिक रूप से बाएं से दाएं "चलता है"।

उदाहरण 9

Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

समाधान: आइए Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

उत्तर: .

दरअसल, यहां फिर से टिप्पणी करने के लिए कुछ खास नहीं है, इस तथ्य को देखते हुए कि निर्णय तैयार किए गए सूत्रों के अनुसार किया जाता है। लेकिन कुछ नोट हैं।

ऐसा होता है कि गणना के परिणामस्वरूप, "खराब" अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त होते हैं, उदाहरण के लिए: .
मैं निम्नलिखित "उपचार" एल्गोरिदम की अनुशंसा करता हूं। यदि हाथ में कोई कंप्यूटर नहीं है, तो हम यह करते हैं:

1) गणना में गलती हो सकती है। जैसे ही आप "खराब" शॉट का सामना करते हैं, आपको तुरंत जांचना चाहिए कि क्या क्या शर्त सही ढंग से लिखी गई है. यदि स्थिति त्रुटियों के बिना फिर से लिखी जाती है, तो आपको दूसरी पंक्ति (स्तंभ) में विस्तार का उपयोग करके निर्धारकों को पुनर्गणना करने की आवश्यकता होती है।

2) यदि चेक के परिणामस्वरूप कोई त्रुटि नहीं पाई गई, तो सबसे अधिक संभावना है कि असाइनमेंट की स्थिति में एक टाइपो बनाया गया था। इस मामले में, शांति और सावधानी से कार्य को अंत तक हल करें, और फिर जांचना सुनिश्चित करेंऔर निर्णय के बाद इसे एक साफ प्रति पर तैयार करें। बेशक, भिन्नात्मक उत्तर की जाँच करना एक अप्रिय कार्य है, लेकिन यह शिक्षक के लिए एक निहत्था तर्क होगा, जो वास्तव में किसी भी बुरी चीज़ के लिए माइनस डालना पसंद करता है। भिन्नों से कैसे निपटें, इसका विस्तृत विवरण उदाहरण 8 के उत्तर में दिया गया है।

यदि आपके पास एक कंप्यूटर है, तो इसे जांचने के लिए एक स्वचालित प्रोग्राम का उपयोग करें, जिसे पाठ की शुरुआत में ही मुफ्त में डाउनलोड किया जा सकता है। वैसे, प्रोग्राम का तुरंत उपयोग करना सबसे फायदेमंद है (समाधान शुरू करने से पहले भी), आप तुरंत उस मध्यवर्ती चरण को देखेंगे जिस पर आपने गलती की थी! वही कैलकुलेटर स्वचालित रूप से मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम के समाधान की गणना करता है।

दूसरी टिप्पणी। समय-समय पर समीकरणों में ऐसी प्रणालियाँ होती हैं जिनमें कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

यहाँ पहले समीकरण में कोई चर नहीं है, दूसरे में कोई चर नहीं है। ऐसे मामलों में, मुख्य निर्धारक को सही ढंग से और सावधानीपूर्वक लिखना बहुत महत्वपूर्ण है:
- लुप्त चरों के स्थान पर शून्य लगा दिया जाता है।
वैसे, निर्धारकों को शून्य के साथ पंक्ति (स्तंभ) में खोलना तर्कसंगत है जिसमें शून्य स्थित है, क्योंकि काफी कम गणनाएं हैं।

उदाहरण 10

Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में नमूना और उत्तर समाप्त करना)।

4 अज्ञात के साथ 4 समीकरणों की प्रणाली के मामले में, क्रैमर के सूत्र समान सिद्धांतों के अनुसार लिखे गए हैं। आप निर्धारक गुण पाठ में एक जीवंत उदाहरण देख सकते हैं। निर्धारक के क्रम को कम करना - पांच चौथे क्रम के निर्धारक काफी हल करने योग्य हैं। हालांकि यह टास्क पहले से ही एक भाग्यशाली छात्र के सीने पर प्रोफेसर के जूते की याद दिलाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम का समाधान

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि अनिवार्य रूप से एक विशेष मामला है मैट्रिक्स समीकरण(निर्दिष्ट पाठ का उदाहरण संख्या 3 देखें)।

इस खंड का अध्ययन करने के लिए, आपको निर्धारकों का विस्तार करने, व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने और मैट्रिक्स गुणन करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। स्पष्टीकरण की प्रगति के रूप में प्रासंगिक लिंक दिए जाएंगे।

उदाहरण 11

मैट्रिक्स विधि के साथ सिस्टम को हल करें

समाधान: हम सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं:
, कहाँ पे

कृपया समीकरणों और आव्यूहों की प्रणाली को देखें। हम किस सिद्धांत से तत्वों को मैट्रिक्स में लिखते हैं, मुझे लगता है कि हर कोई समझता है। एकमात्र टिप्पणी: यदि समीकरणों में कुछ चर गायब थे, तो शून्य को मैट्रिक्स में संबंधित स्थानों पर रखना होगा।

हम सूत्र द्वारा उलटा मैट्रिक्स पाते हैं:
, जहां मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है।

सबसे पहले, आइए निर्धारक से निपटें:

यहाँ सारणिक का विस्तार पहली पंक्ति द्वारा किया जाता है।

ध्यान! यदि , तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है, और मैट्रिक्स विधि द्वारा सिस्टम को हल करना असंभव है। इस मामले में, सिस्टम अज्ञात (गॉस विधि) के उन्मूलन द्वारा हल किया जाता है।

अब आपको 9 नाबालिगों की गणना करने और उन्हें नाबालिगों के मैट्रिक्स में लिखने की आवश्यकता है

संदर्भ:रैखिक बीजगणित में दोहरे अंशों का अर्थ जानना उपयोगी है। पहला अंक वह रेखा संख्या है जिसमें तत्व स्थित है। दूसरा अंक उस कॉलम की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है:

यानी, एक डबल सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि तत्व पहली पंक्ति, तीसरे कॉलम में है, जबकि, उदाहरण के लिए, तत्व तीसरी पंक्ति, दूसरे कॉलम में है

समीकरणों की संख्या के साथ मैट्रिक्स के मुख्य निर्धारक के साथ अज्ञात की संख्या के समान, जो शून्य के बराबर नहीं है, सिस्टम के गुणांक (ऐसे समीकरणों के लिए एक समाधान है और यह केवल एक है)।

क्रैमर का प्रमेय।

जब एक वर्ग प्रणाली के मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य होता है, तो सिस्टम संगत होता है और इसका एक समाधान होता है और इसे पाया जा सकता है क्रैमर के सूत्र:

जहां - सिस्टम मैट्रिक्स निर्धारक,

Δ मैं- प्रणाली के मैट्रिक्स का निर्धारक, जिसमें के बजाय मैंवां स्तंभ दाहिने भागों का स्तंभ है।

जब सिस्टम का निर्धारक शून्य होता है, तो सिस्टम सुसंगत या असंगत हो सकता है।

इस पद्धति का उपयोग आमतौर पर वॉल्यूम गणना के साथ छोटी प्रणालियों के लिए किया जाता है और यदि अज्ञात में से 1 को निर्धारित करना आवश्यक हो। विधि की जटिलता यह है कि कई निर्धारकों की गणना करना आवश्यक है।

क्रैमर विधि का विवरण।

समीकरणों की एक प्रणाली है:

क्रैमर की विधि द्वारा 3 समीकरणों की एक प्रणाली को हल किया जा सकता है, जिसकी चर्चा ऊपर 2 समीकरणों की प्रणाली के लिए की गई थी।

हम अज्ञात के गुणांक से निर्धारक की रचना करते हैं:

यह करेगा सिस्टम क्वालीफायर. कब डी≠0, इसलिए प्रणाली सुसंगत है। अब हम 3 अतिरिक्त निर्धारकों की रचना करेंगे:

,,

हम सिस्टम को हल करते हैं क्रैमर के सूत्र:

क्रैमर विधि द्वारा समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण।

उदाहरण 1.

दी गई प्रणाली:

आइए इसे क्रैमर विधि से हल करते हैं।

सबसे पहले आपको सिस्टम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है:

इसलिये 0, इसलिए, क्रैमर के प्रमेय से, सिस्टम संगत है और इसका एक समाधान है। हम अतिरिक्त निर्धारकों की गणना करते हैं। निर्धारक 1 निर्धारक से प्राप्त किया जाता है, इसके पहले कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। हम पाते हैं:

उसी तरह, हम सिस्टम के मैट्रिक्स के निर्धारक से निर्धारक Δ 2 प्राप्त करते हैं, दूसरे कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम से बदलते हैं:

क्रैमर की विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में निर्धारकों के उपयोग पर आधारित है। यह समाधान प्रक्रिया को बहुत तेज करता है।

क्रैमर की विधि का उपयोग कई रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक समीकरण में अज्ञात होते हैं। यदि निकाय का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान में Cramer की विधि का उपयोग किया जा सकता है, यदि यह शून्य के बराबर है, तो यह नहीं हो सकता है। इसके अलावा, क्रैमर की विधि का उपयोग एक अद्वितीय समाधान वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा. निर्धारक, अज्ञात के गुणांकों से बना होता है, जिसे प्रणाली का निर्धारक कहा जाता है और इसे (डेल्टा) द्वारा निरूपित किया जाता है।

निर्धारकों

संबंधित अज्ञात पर गुणांकों को मुक्त पदों से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

;

.

क्रैमर का प्रमेय. यदि सिस्टम का निर्धारक गैर-शून्य है, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक एकल समाधान होता है, और अज्ञात निर्धारकों के अनुपात के बराबर होता है। हर में सिस्टम का निर्धारक होता है, और अंश में सिस्टम के निर्धारक से प्राप्त निर्धारक होता है, जो गुणांक को अज्ञात के साथ मुक्त शर्तों से बदल देता है। यह प्रमेय किसी भी क्रम के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए है।

उदाहरण 1रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

के अनुसार क्रैमर का प्रमेयअपने पास:

तो, प्रणाली का समाधान (2):

ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर की समाधान विधि।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में तीन मामले

जैसा से प्रतीत होता है क्रैमर के प्रमेय, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, तीन मामले हो सकते हैं:

पहला मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है

(प्रणाली सुसंगत और निश्चित है)

दूसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं

(प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है)

** ,

वे। अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद समानुपाती होते हैं।

तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है

(सिस्टम असंगत)

तो सिस्टम एमके साथ रैखिक समीकरण एनचर कहा जाता है असंगतअगर इसका कोई समाधान नहीं है, और संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है। समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली जिसका केवल एक ही हल होता है, कहलाता है निश्चित, और एक से अधिक ढुलमुल.

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

चलो सिस्टम

.

क्रैमर के प्रमेय पर आधारित

………….
,

कहाँ पे
-

सिस्टम पहचानकर्ता। शेष निर्धारक कॉलम को संबंधित चर (अज्ञात) के गुणांक के साथ मुक्त सदस्यों के साथ बदलकर प्राप्त किए जाते हैं:

उदाहरण 2

.

अतः व्यवस्था निश्चित है। इसका हल खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, (1; 0; -1) प्रणाली का एकमात्र समाधान है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

यदि एक या अधिक समीकरणों में रैखिक समीकरणों के निकाय में कोई चर नहीं हैं, तो सारणिक में उनके संगत तत्व शून्य के बराबर होते हैं! यह अगला उदाहरण है।

उदाहरण 3क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

.

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

समीकरणों के निकाय और निकाय के सारणिक को ध्यान से देखें और उस प्रश्न का उत्तर दोहराएँ जिसमें सारणिक के एक या अधिक अवयव शून्य के बराबर हों। अतः सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए निकाय निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, सिस्टम का समाधान (2; -1; 1) है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

पृष्ठ के सबसे ऊपर

हम एक साथ Cramer पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, और अज्ञात के लिए निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, तो सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। आइए निम्नलिखित उदाहरण के साथ स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 6क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है, इसलिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली या तो असंगत और निश्चित है, या असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। स्पष्ट करने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

अज्ञात के निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए, सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की समस्याओं में, ऐसे भी होते हैं जहां, चर को निरूपित करने वाले अक्षरों के अलावा, अन्य अक्षर भी होते हैं। ये अक्षर कुछ संख्या के लिए खड़े होते हैं, अक्सर एक वास्तविक संख्या। व्यवहार में, ऐसे समीकरण और समीकरण प्रणाली किसी भी घटना और वस्तुओं के सामान्य गुणों को खोजने के लिए समस्याओं का कारण बनती हैं। यही है, आपने कुछ नई सामग्री या उपकरण का आविष्कार किया है, और इसके गुणों का वर्णन करने के लिए, जो आकार या प्रतियों की संख्या की परवाह किए बिना सामान्य हैं, आपको रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है, जहां चर के लिए कुछ गुणांक के बजाय अक्षर हैं। आपको उदाहरणों के लिए दूर देखने की जरूरत नहीं है।

अगला उदाहरण इसी तरह की समस्या के लिए है, केवल समीकरणों, चरों और अक्षरों की संख्या कुछ वास्तविक संख्या में वृद्धि दर्शाती है।

उदाहरण 8क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों के निकाय में उतने ही समीकरण हैं जितने कि स्वतंत्र चरों की संख्या, अर्थात्। रूप है

रैखिक समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को द्विघात कहा जाता है। प्रणाली के स्वतंत्र चर (1.5) के गुणांकों से बना सारणिक प्रणाली का मुख्य निर्धारक कहलाता है। हम इसे ग्रीक अक्षर D से निरूपित करेंगे। इस प्रकार,

. (1.6)

यदि मुख्य निर्धारक में एक मनमाना ( जेवें) कॉलम, इसे सिस्टम के मुक्त सदस्यों (1.5) के कॉलम से बदलें, फिर हम और अधिक प्राप्त कर सकते हैं एनसहायक निर्धारक:

(जे = 1, 2, …, एन). (1.7)

क्रैमर का नियमरैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली को हल करना इस प्रकार है। यदि सिस्टम का प्रमुख निर्धारक डी (1.5) गैर-शून्य है, तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान भी होता है, जिसे सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है:

(1.8)

उदाहरण 1.5. Cramer's method का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें

.

आइए प्रणाली के मुख्य निर्धारक की गणना करें:

D¹0 के बाद से, सिस्टम का एक अनूठा समाधान है जिसे सूत्रों (1.8) का उपयोग करके पाया जा सकता है:

इस तरह,

मैट्रिक्स क्रियाएं

1. एक आव्यूह को एक संख्या से गुणा करना।एक मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने की क्रिया को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

2. किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको उसके सभी तत्वों को इस संख्या से गुणा करना होगा। वह है

. (1.9)

उदाहरण 1.6। .

मैट्रिक्स जोड़।

यह ऑपरेशन केवल उसी क्रम के मैट्रिसेस के लिए पेश किया गया है।

दो मैट्रिक्स जोड़ने के लिए, दूसरे मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों को एक मैट्रिक्स के तत्वों में जोड़ना आवश्यक है:

(1.10)
मैट्रिक्स जोड़ के संचालन में सहयोगीता और कम्यूटेटिविटी के गुण होते हैं।

उदाहरण 1.7. .

मैट्रिक्स गुणा।

यदि मैट्रिक्स कॉलम की संख्या लेकिनमैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या से मेल खाता है पर, तो ऐसे आव्यूहों के लिए गुणन की संक्रिया शुरू की जाती है:

2

इस प्रकार, मैट्रिक्स को गुणा करते समय लेकिनआयाम एम´ एनमैट्रिक्स के लिए परआयाम एन´ कहमें एक मैट्रिक्स मिलता है सेआयाम एम´ क. इस मामले में, मैट्रिक्स के तत्व सेनिम्नलिखित सूत्रों के अनुसार गणना की जाती है:

समस्या 1.8.यदि संभव हो तो आव्यूहों का गुणनफल ज्ञात कीजिए अबतथा बी ० ए:

समाधान। 1) एक काम खोजने के लिए अब, आपको मैट्रिक्स पंक्तियों की आवश्यकता है एमैट्रिक्स कॉलम से गुणा करें बी:

2) कलाकृति बी ० एमौजूद नहीं है, क्योंकि मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या बीमैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या से मेल नहीं खाता ए.

उलटा मैट्रिक्स। मैट्रिक्स तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना

आव्यूह ए- 1 को वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम कहते हैं लेकिनअगर समानता रखती है:

जहां के माध्यम से मैंमैट्रिक्स के समान क्रम के पहचान मैट्रिक्स को दर्शाता है लेकिन:

.

एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसका निर्धारक गैर-शून्य हो। उलटा मैट्रिक्स सूत्र द्वारा पाया जाता है:

, (1.13)

कहाँ पे एक इजी- तत्वों के लिए बीजीय जोड़ ऐजोमैट्रिक्स लेकिन(ध्यान दें कि मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजगणितीय जोड़ लेकिनव्युत्क्रम मैट्रिक्स में संबंधित कॉलम के रूप में व्यवस्थित होते हैं)।

उदाहरण 1.9.उलटा मैट्रिक्स खोजें ए- 1 से मैट्रिक्स

.

हम सूत्र (1.13) द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं, जो मामले के लिए है एन= 3 जैसा दिखता है:

.

आइए जानें डिटेल ए = | ए| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. चूँकि मूल आव्यूह का सारणिक शून्य से भिन्न है, अतः व्युत्क्रम आव्यूह विद्यमान है।

1) बीजीय योग ज्ञात कीजिए एक इजी:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की सुविधा के लिए, हमने मूल मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजीय जोड़ को संबंधित कॉलम में रखा है।

प्राप्त बीजीय योगों से, हम एक नया मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे सारणिक det . से विभाजित करते हैं ए. इस प्रकार, हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स प्राप्त करेंगे:

एक गैर-शून्य प्रमुख निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणालियों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके हल किया जा सकता है। इसके लिए सिस्टम (1.5) को मैट्रिक्स रूप में लिखा जाता है:

कहाँ पे

समानता के दोनों पक्षों (1.14) को बाईं ओर से गुणा करने पर ए- 1, हमें सिस्टम का समाधान मिलता है:

, कहाँ पे

इस प्रकार, एक वर्ग प्रणाली का समाधान खोजने के लिए, आपको सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के प्रतिलोम मैट्रिक्स को खोजने की आवश्यकता है और इसे मुक्त शर्तों के कॉलम मैट्रिक्स द्वारा दाईं ओर गुणा करें।

समस्या 1.10.रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करना।

समाधान।हम सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं: ,

कहाँ पे सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स है, अज्ञात का कॉलम है, और फ्री टर्म्स का कॉलम है। प्रणाली के मुख्य निर्धारक के बाद से , फिर सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स लेकिनएक उलटा मैट्रिक्स है लेकिन-एक । उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए लेकिन-1, मैट्रिक्स के सभी तत्वों के लिए बीजीय पूरक की गणना करें लेकिन:

प्राप्त संख्याओं से हम एक मैट्रिक्स बनाते हैं (इसके अलावा, मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजगणितीय जोड़ लेकिनउपयुक्त कॉलम में लिखें) और इसे सारणिक डी से विभाजित करें। इस प्रकार, हमने उलटा मैट्रिक्स पाया है:

सिस्टम का समाधान सूत्र (1.15) द्वारा पाया जाता है:

इस तरह,

साधारण जॉर्डन अपवादों द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों का एक मनमाना (जरूरी नहीं कि वर्गाकार) निकाय दिया गया हो:

(1.16)

सिस्टम का समाधान खोजना आवश्यक है, अर्थात। चरों का ऐसा समुच्चय जो निकाय की सभी समानताओं (1.16) को संतुष्ट करता हो। सामान्य स्थिति में, सिस्टम (1.16) में न केवल एक समाधान हो सकता है, बल्कि अनंत संख्या में समाधान भी हो सकते हैं। इसका कोई समाधान भी नहीं हो सकता है।

इस तरह की समस्याओं को हल करते समय, स्कूल के पाठ्यक्रम से अज्ञात को खत्म करने की प्रसिद्ध विधि का उपयोग किया जाता है, जिसे जॉर्डन के साधारण उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है। इस पद्धति का सार इस तथ्य में निहित है कि प्रणाली के समीकरणों में से एक (1.16) में से एक चर को अन्य चर के रूप में व्यक्त किया जाता है। फिर इस चर को सिस्टम के अन्य समीकरणों में बदल दिया जाता है। परिणाम एक ऐसी प्रणाली है जिसमें मूल प्रणाली की तुलना में एक समीकरण और एक कम चर होता है। जिस समीकरण से चर व्यक्त किया गया था उसे याद किया जाता है।

यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि सिस्टम में एक अंतिम समीकरण न रह जाए। उदाहरण के लिए, अज्ञात को खत्म करने की प्रक्रिया में, कुछ समीकरण सही पहचान में बदल सकते हैं। इस तरह के समीकरणों को सिस्टम से बाहर रखा गया है, क्योंकि वे चर के किसी भी मान के लिए मान्य हैं और इसलिए, सिस्टम के समाधान को प्रभावित नहीं करते हैं। यदि, अज्ञात को समाप्त करने की प्रक्रिया में, कम से कम एक समीकरण एक समानता बन जाता है जो चर के किसी भी मान (उदाहरण के लिए, ) के लिए संतुष्ट नहीं हो सकता है, तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।

यदि असंगत समीकरणों को हल करने के क्रम में उत्पन्न नहीं होता है, तो इसमें शेष चरों में से एक अंतिम समीकरण से पाया जाता है। यदि अंतिम समीकरण में केवल एक चर रहता है, तो इसे एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। यदि अन्य चर अंतिम समीकरण में रहते हैं, तो उन्हें पैरामीटर माना जाता है, और उनके माध्यम से व्यक्त चर इन मापदंडों का एक कार्य होगा। फिर तथाकथित "रिवर्स मूव" किया जाता है। पाए गए चर को अंतिम याद किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और दूसरा चर पाया जाता है। फिर दो पाए गए चरों को अंतिम याद किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और तीसरा चर पाया जाता है, और इसी तरह, पहले याद किए गए समीकरण तक।

नतीजतन, हमें सिस्टम का समाधान मिलता है। यह समाधान केवल एक ही होगा यदि पाया गया चर संख्याएं हैं। यदि पहले पाया गया चर, और फिर अन्य सभी मापदंडों पर निर्भर करते हैं, तो सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान होंगे (पैरामीटर का प्रत्येक सेट एक नए समाधान से मेल खाता है)। वे सूत्र जो पैरामीटरों के एक विशेष सेट के आधार पर सिस्टम का समाधान खोजने की अनुमति देते हैं, सिस्टम का सामान्य समाधान कहलाते हैं।

उदाहरण 1.11.

एक्स

पहला समीकरण याद करने के बाद और दूसरे और तीसरे समीकरण में समान पदों को लाते हुए, हम सिस्टम पर पहुंचते हैं:

अभिव्यक्त करना आपदूसरे समीकरण से और इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

दूसरा समीकरण याद रखें, और पहले से हम पाते हैं जेड:

रिवर्स मूव करते हुए, हम क्रमिक रूप से पाते हैं आपतथा जेड. ऐसा करने के लिए, हम पहले अंतिम याद किए गए समीकरण में स्थानापन्न करते हैं, जिससे हम पाते हैं आप:

.

फिर हम प्रतिस्थापित करते हैं और पहले याद किए गए समीकरण में जहाँ से हम पाते हैं एक्स:

समस्या 1.12.अज्ञात को समाप्त करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

. (1.17)

समाधान।आइए हम पहले समीकरण से चर को व्यक्त करें एक्सऔर इसे दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

.

पहला समीकरण याद रखें

इस प्रणाली में, पहले और दूसरे समीकरण एक दूसरे का खंडन करते हैं। दरअसल, व्यक्त करना आप , हमें वह 14 = 17 मिलता है। यह समानता संतुष्ट नहीं है, चर के किसी भी मूल्य के लिए एक्स, आप, तथा जेड. नतीजतन, सिस्टम (1.17) असंगत है, अर्थात, कोई समाधान नहीं है।

पाठकों को स्वतंत्र रूप से सत्यापित करने के लिए आमंत्रित किया जाता है कि मूल प्रणाली (1.17) का मुख्य निर्धारक शून्य के बराबर है।

एक सिस्टम पर विचार करें जो सिस्टम (1.17) से केवल एक फ्री टर्म से अलग है।

समस्या 1.13.अज्ञात को समाप्त करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

. (1.18)

समाधान।पहले की तरह, हम पहले समीकरण से चर को व्यक्त करते हैं एक्सऔर इसे दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

.

पहला समीकरण याद रखें और हम दूसरे और तीसरे समीकरणों में समान पदों को प्रस्तुत करते हैं। हम सिस्टम पर आते हैं:

व्यक्त आपपहले समीकरण से और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना , हमें पहचान 14 = 14 मिलती है, जो सिस्टम के समाधान को प्रभावित नहीं करती है, और इसलिए, इसे सिस्टम से बाहर रखा जा सकता है।

अंतिम याद की गई समानता में, चर जेडएक पैरामीटर के रूप में माना जाएगा। हमें यकीन है । फिर

स्थानापन्न आपतथा जेडपहली याद की गई समानता में और खोजें एक्स:

.

इस प्रकार, सिस्टम (1.18) में समाधानों का एक अनंत सेट होता है, और किसी भी समाधान को सूत्र (1.19) द्वारा पैरामीटर का एक मनमाना मान चुनकर पाया जा सकता है टी:

(1.19)
इस प्रकार, सिस्टम के समाधान, उदाहरण के लिए, चर के निम्नलिखित सेट हैं (1; 2; 0), (2; 26; 14), आदि। सूत्र (1.19) सिस्टम के सामान्य (कोई भी) समाधान को व्यक्त करते हैं (1.18 )

उस स्थिति में जब मूल प्रणाली (1.16) में पर्याप्त संख्या में समीकरण और अज्ञात होते हैं, जॉर्डन के साधारण उन्मूलन की संकेतित विधि बोझिल लगती है। हालाँकि, ऐसा नहीं है। यह एक सामान्य रूप में एक कदम पर सिस्टम के गुणांकों की पुनर्गणना के लिए एल्गोरिदम प्राप्त करने और विशेष जॉर्डन टेबल के रूप में समस्या के समाधान को औपचारिक रूप देने के लिए पर्याप्त है।

मान लीजिए कि रैखिक रूपों (समीकरणों) की एक प्रणाली दी गई है:

, (1.20)
कहाँ पे एक्सजे- स्वतंत्र (वांछित) चर, ऐजो- निरंतर गुणांक
(मैं = 1, 2,…, एम; जे = 1, 2,…, एन) सिस्टम के सही हिस्से यी (मैं = 1, 2,…, एम) चर (आश्रित) और स्थिरांक दोनों हो सकते हैं। अज्ञात को समाप्त करके इस प्रणाली का समाधान खोजना आवश्यक है।

आइए हम निम्नलिखित ऑपरेशन पर विचार करें, जिसे इसके बाद "सामान्य जॉर्डन अपवादों का एक चरण" कहा जाएगा। मनमानी से ( आर th) समानता, हम एक मनमाना चर व्यक्त करते हैं ( एक्स एस) और अन्य सभी समानताओं में स्थानापन्न करें। बेशक, यह तभी संभव है जब एक rs 0. गुणांक एक rsसमाधान (कभी-कभी मार्गदर्शक या मुख्य) तत्व कहलाता है।

हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलेगी:

. (1.21)

से एसप्रणाली की समानता (1.21), हम बाद में चर पाएंगे एक्स एस(अन्य चर पाए जाने के बाद)। एसवें लाइन को याद किया जाता है और बाद में सिस्टम से बाहर कर दिया जाता है। शेष प्रणाली में मूल प्रणाली की तुलना में एक समीकरण और एक कम स्वतंत्र चर होगा।

आइए हम मूल प्रणाली (1.20) के गुणांकों के संदर्भ में परिणामी प्रणाली (1.21) के गुणांकों की गणना करें। चलो साथ - साथ शुरू करते हैं आरवां समीकरण, जो चर को व्यक्त करने के बाद एक्स एसशेष चर के माध्यम से इस तरह दिखेगा:

इस प्रकार, नए गुणांक आरवें समीकरण की गणना निम्नलिखित सूत्रों द्वारा की जाती है:

(1.23)
आइए अब हम नए गुणांकों की गणना करें बी आईजेओ(मैं¹ आर) एक मनमाना समीकरण। ऐसा करने के लिए, हम (1.22) में व्यक्त चर को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स एसमें मैंप्रणाली का वां समीकरण (1.20):

समान पदों को लाने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

(1.24)
समानता (1.24) से हम सूत्र प्राप्त करते हैं जिसके द्वारा सिस्टम के शेष गुणांक (1.21) की गणना की जाती है ( . के अपवाद के साथ) आरवें समीकरण):

(1.25)
साधारण जॉर्डन के उन्मूलन की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का परिवर्तन तालिकाओं (मैट्रिस) के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। इन तालिकाओं को "जॉर्डन टेबल" कहा जाता है।

इस प्रकार, समस्या (1.20) निम्नलिखित जॉर्डन तालिका से जुड़ी है:

तालिका 1.1

	एक्स 1	एक्स 2	…	एक्सजे	…	एक्स एस	…	एक्स एन
आप 1 =	एक 11	एक 12		एक 1जे		एक 1एस		एक 1एन
…………………………………………………………………..
यी=	एक मैं 1	एक मैं 2		ऐजो		एक is		एक in
…………………………………………………………………..
y r=	एक र 1	एक र 2		एक राज		एक rs		एक आरएनई
………………………………………………………………….
Y n=	पूर्वाह्न 1	पूर्वाह्न 2		एक एमजे		एक एमएसओ		अम्नी

जॉर्डन तालिका 1.1 में बायां हेड कॉलम है, जिसमें सिस्टम के दाएं हिस्से (1.20) लिखे गए हैं, और शीर्ष हेड लाइन, जिसमें स्वतंत्र चर लिखे गए हैं।

तालिका के शेष तत्व प्रणाली के गुणांक (1.20) का मुख्य मैट्रिक्स बनाते हैं। यदि हम मैट्रिक्स को गुणा करते हैं लेकिनमैट्रिक्स में ऊपरी हेडर पंक्ति के तत्व शामिल हैं, फिर हमें मैट्रिक्स मिलता है जिसमें बाएं हेडर कॉलम के तत्व होते हैं। अर्थात्, संक्षेप में, जॉर्डन तालिका रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली लिखने का एक मैट्रिक्स रूप है:। इस मामले में, निम्न जॉर्डन तालिका सिस्टम (1.21) से मेल खाती है:

तालिका 1.2

	एक्स 1	एक्स 2	…	एक्सजे	…	y r	…	एक्स एन
आप 1 =	बी 11	बी 12		बी 1 जे		बी 1 एस		बी 1 एन
…………………………………………………………………..
वाई मैं =	बी मैं 1	बी मैं 2		बी आईजेओ		बी is		बी इन
…………………………………………………………………..
एक्स एस =	बीआर 1	बीआर 2		बी आरजे		बीआरएस		बी आरएन
………………………………………………………………….
वाई एन =	बी एम 1	बी एम 2		बीएमजे		बी एमएसओ		बीएमडब्ल्यू

अनुमेय तत्व एक rs हम बोल्ड में हाइलाइट करेंगे। याद रखें कि जॉर्डन अपवादों के एक चरण को लागू करने के लिए, समाधान करने वाला तत्व गैर-शून्य होना चाहिए। एक अनुमेय तत्व वाली तालिका पंक्ति को अनुमेय पंक्ति कहा जाता है। सक्षम तत्व वाले कॉलम को सक्षम कॉलम कहा जाता है। किसी दी गई तालिका से अगली तालिका में जाने पर, एक चर ( एक्स एस) तालिका की शीर्ष शीर्ष पंक्ति से बाएं शीर्ष लेख स्तंभ में ले जाया जाता है और, इसके विपरीत, सिस्टम के मुक्त सदस्यों में से एक ( y r) तालिका के बाएँ शीर्षलेख स्तंभ से शीर्ष शीर्ष पंक्ति में ले जाया जाता है।

आइए हम जॉर्डन तालिका (1.1) से तालिका (1.2) तक जाने में गुणांकों की पुनर्गणना के लिए एल्गोरिदम का वर्णन करें, जो सूत्रों (1.23) और (1.25) से अनुसरण करता है।

1. सक्षम करने वाले तत्व को व्युत्क्रम संख्या से बदल दिया जाता है:

2. अनुमेय रेखा के शेष तत्वों को अनुमेय तत्व से विभाजित किया जाता है और संकेत को विपरीत में बदल दिया जाता है:

3. सक्षम करने वाले कॉलम के शेष तत्वों को सक्षम करने वाले तत्व में विभाजित किया गया है:

4. वे तत्व जो हल करने वाली पंक्ति और समाधान स्तंभ में शामिल नहीं हैं, उन्हें सूत्रों के अनुसार पुनर्गणना की जाती है:

अंतिम सूत्र को याद रखना आसान है यदि आप ध्यान दें कि वे तत्व जो भिन्न बनाते हैं , चौराहे पर हैं मैं-ओह, और आर-वें पंक्तियाँ और जेवें और एस-वें स्तंभ (समाधान करने वाली पंक्ति, समाधान करने वाले स्तंभ और उस चौराहे पर पंक्ति और स्तंभ जिसमें पुनर्गणना किया जाने वाला तत्व स्थित है)। अधिक सटीक रूप से, सूत्र को याद करते समय आप निम्न चार्ट का उपयोग कर सकते हैं:

-21 -26 -13 -37

जॉर्डन के अपवादों के पहले चरण को निष्पादित करते हुए, कॉलम में स्थित तालिका 1.3 का कोई भी तत्व एक्स 1 ,…, एक्स 5 (सभी निर्दिष्ट तत्व शून्य के बराबर नहीं हैं)। आपको केवल अंतिम कॉलम में सक्षम करने वाले तत्व का चयन नहीं करना चाहिए, क्योंकि स्वतंत्र चर खोजने की जरूरत है एक्स 1 ,…, एक्स 5. हम चुनते हैं, उदाहरण के लिए, गुणांक 1 एक चर के साथ एक्सतालिका 1.3 की तीसरी पंक्ति में 3 (सक्षम करने वाला तत्व बोल्ड में दिखाया गया है)। तालिका 1.4 में जाने पर, चर एक्सशीर्ष शीर्षलेख पंक्ति से 3 को बाएँ शीर्षलेख स्तंभ (तीसरी पंक्ति) के स्थिर 0 से बदल दिया जाता है। उसी समय, चर एक्स 3 को शेष चरों के रूप में व्यक्त किया जाता है।

डोरी एक्स 3 (तालिका 1.4) को पहले याद किए जाने पर, तालिका 1.4 से बाहर रखा जा सकता है। तालिका 1.4 में ऊपरी शीर्षलेख पंक्ति में शून्य वाले तीसरे स्तंभ को भी शामिल नहीं किया गया है। मुद्दा यह है कि इस कॉलम के गुणांक की परवाह किए बिना बी मैं 3 प्रत्येक समीकरण के इसके संगत सभी पद 0 बी मैं 3 सिस्टम शून्य के बराबर होंगे। इसलिए, इन गुणांकों की गणना नहीं की जा सकती है। एक चर को हटाना एक्स 3 और समीकरणों में से एक को याद करते हुए, हम तालिका 1.4 के अनुरूप एक प्रणाली पर पहुंचते हैं (रेखा को काटकर एक्स 3))। तालिका 1.4 में हल करने वाले तत्व के रूप में चयन बी 14 = -5, तालिका 1.5 पर जाएँ। तालिका 1.5 में, हम पहली पंक्ति को याद करते हैं और चौथे कॉलम (शीर्ष पर शून्य के साथ) के साथ इसे तालिका से बाहर कर देते हैं।

तालिका 1.5 तालिका 1.6

अंतिम तालिका 1.7 से हम पाते हैं: एक्स 1 = - 3 + 2एक्स 5 .

याद की गई पंक्तियों में पहले से पाए गए चर को क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित करते हुए, हम शेष चर पाते हैं:

इस प्रकार, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं। चर एक्स 5 , आप मनमाना मान निर्दिष्ट कर सकते हैं। यह चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य करता है एक्स 5 = टी। हमने सिस्टम की अनुकूलता साबित की और इसका सामान्य समाधान पाया:

एक्स 1 = - 3 + 2टी

एक्स 2 = - 1 - 3टी

एक्स 3 = - 2 + 4टी . (1.27)
एक्स 4 = 4 + 5टी

एक्स 5 = टी

पैरामीटर देना टीअलग-अलग मान, हमें मूल प्रणाली के अनंत समाधान मिलते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, सिस्टम का समाधान चर का निम्नलिखित सेट है (- 3; - 1; - 2; 4; 0)।