समरूपता और समानता।समरूपता - एक परिवर्तन जिसमें प्रत्येक बिंदुएम (विमान या स्थान) को एक बिंदु सौंपा गया है M", OM . पर लेटा हुआ है (चित्र 5.16), और अनुपातओम": ओम = के अलावा अन्य सभी बिंदुओं के लिए समानओ स्थिर केंद्रहे समरूपता केंद्र कहा जाता है। रवैयाओम": ओम सकारात्मक माना जाता है यदिएम" और एम के एक तरफ लेट जाओहे, नकारात्मक - विपरीत पक्षों पर। संख्याएक्स समरूपता गुणांक कहा जाता है। परएक्स< 0 समरूपता व्युत्क्रम कहलाती है। परλ = - 1 समरूपता एक बिंदु के बारे में एक समरूपता परिवर्तन बन जाती हैओ समरूपता के साथ, एक सीधी रेखा एक सीधी रेखा में गुजरती है, रेखाओं और विमानों की समानता संरक्षित होती है, कोण (रैखिक और डायहेड्रल) संरक्षित होते हैं, प्रत्येक आकृति इसमें गुजरती हैसमान (चित्र 5.17)।

इसका उलटा भी सच है। एक समरूपता को एक परिबद्ध परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाएं एक बिंदु से गुजरती हैं - समरूपता का केंद्र। छवियों (प्रोजेक्शन लैंप, सिनेमा) को बड़ा करने के लिए होमोथेटी का उपयोग किया जाता है।

केंद्रीय और दर्पण समरूपता।समरूपता (व्यापक अर्थों में) एक ज्यामितीय आकृति की एक संपत्ति है, जो इसके रूप की एक निश्चित शुद्धता, आंदोलनों और प्रतिबिंबों की कार्रवाई के तहत इसकी अपरिवर्तनीयता की विशेषता है। आकृति Ф में समरूपता (सममित) है यदि गैर-समान ऑर्थोगोनल परिवर्तन हैं जो इस आंकड़े को अपने आप में लेते हैं। सभी ओर्थोगोनल परिवर्तनों का सेट जो आकृति को स्वयं के साथ जोड़ता है वह इस आकृति का समूह है। तो, एक बिंदु के साथ एक सपाट आकृति (आकृति 5.18)एम, ट्रांसफॉर्मिंग-

ज़िया अपने आप में एक आईने के साथ परावर्तन, सीधी-अक्ष के बारे में सममितएबी. यहाँ समरूपता समूह में दो तत्व होते हैं - बिंदुएम इसमें बदला गयाएम"।

यदि समतल पर आकृति ऐसी है कि किसी बिंदु के बारे में घूमती हैहे 360°/n के कोण के माध्यम से, जहां n > 2 एक पूर्णांक है, इसे स्वयं में रूपांतरित करें, तो बिंदु के संबंध में आकृति Ф में n-वें क्रम सममिति हैहे - समरूपता का केंद्र। ऐसी आकृतियों का एक उदाहरण नियमित बहुभुज हैं, उदाहरण के लिए, तारे के आकार का (चित्र 5.19), जिसके केंद्र के बारे में आठवें क्रम की समरूपता है। यहाँ सममिति समूह तथाकथित n-वें क्रम का चक्रीय समूह है। वृत्त में अनंत क्रम की सममिति होती है (क्योंकि यह किसी भी कोण से मुड़कर स्वयं के साथ संयुक्त होता है)।

सबसे सरल प्रकार की स्थानिक समरूपता केंद्रीय समरूपता (उलटा) है। इस मामले में, बिंदु के संबंध मेंहे आकृति Ф तीन परस्पर लंबवत तलों, अर्थात् बिंदु से क्रमिक परावर्तन के बाद स्वयं के साथ संयुक्त हो जाती हैहे - सममित बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड का मध्य F। तो, घन के लिए (चित्र। 5.20) बिंदुहे समरूपता का केंद्र है। अंकएम और एम" क्यूब

अध्याय तीन

पॉलीहेड्रल्स

V. स्थानिक आंकड़ों की समरूपता की अवधारणा

99. केंद्रीय समरूपता।अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु O के संबंध में दो आकृतियों को सममित कहा जाता है यदि एक आकृति का प्रत्येक बिंदु A दूसरी आकृति में एक बिंदु A से मेल खाता है, जो बिंदु O के दूसरी ओर सीधी रेखा OA पर स्थित है, के बराबर दूरी पर है बिंदु O से बिंदु A की दूरी (चित्र 114) बिंदु O कहलाता है समरूपता का केंद्रआंकड़े।

हम अंतरिक्ष में ऐसी सममित आकृतियों का एक उदाहरण पहले ही देख चुके हैं (§ 53), जब, एक बहुफलकीय कोण के किनारों और फलकों के शीर्ष से आगे बढ़ते हुए, हमने दिए गए कोण के सममित बहुफलकीय कोण प्राप्त किया। संगत खंड और कोण जो दो सममित आकृतियों का हिस्सा हैं, एक दूसरे के बराबर हैं। फिर भी, समग्र रूप से आंकड़े समान नहीं कहे जा सकते हैं: उन्हें इस तथ्य के कारण एक दूसरे के साथ नहीं जोड़ा जा सकता है कि एक आकृति में भागों की व्यवस्था का क्रम दूसरे की तुलना में भिन्न होता है, जैसा कि हमने सममित पॉलीहेड्रल कोणों के उदाहरण में देखा था। .

कुछ मामलों में, सममित आंकड़ों को जोड़ा जा सकता है, लेकिन साथ ही उनके असंगत भागों का मेल होगा। उदाहरण के लिए, आइए बिंदु O पर एक शीर्ष के साथ एक समकोण त्रिभुजाकार कोण (चित्र 115) लें और OX, OY, OZ को किनारे करें।

आइए इसके लिए एक सममित कोण OX"Y"Z" का निर्माण करें। कोण OXYZ को OX"Y"Z" के साथ जोड़ा जा सकता है ताकि किनारे OX OY के साथ मेल खाता हो, और किनारा OY OX के साथ"। यदि हम संगत किनारों OX को OX" और OY को OY" के साथ जोड़ते हैं, तो किनारों OZ और OZ" को विपरीत दिशाओं में निर्देशित किया जाएगा।

यदि सममित आकृतियाँ मिलकर एक ज्यामितीय निकाय बनाती हैं, तो वे कहते हैं कि इस ज्यामितीय निकाय में सममिति का केंद्र है। इस प्रकार, यदि किसी दिए गए शरीर में समरूपता का केंद्र है, तो इस शरीर से संबंधित कोई भी बिंदु एक सममित बिंदु से मेल खाता है जो इस शरीर से संबंधित है। उदाहरण के लिए, हमने जिन ज्यामितीय निकायों पर विचार किया है, उनमें से समरूपता के केंद्र में: 1) एक समानांतर चतुर्भुज, 2) एक प्रिज्म है, जिसमें आधार पर सम संख्या में भुजाओं वाला एक नियमित बहुभुज है।

एक नियमित टेट्राहेड्रोन में समरूपता का कोई केंद्र नहीं होता है।

100. समतल के संबंध में सममिति।दो स्थानिक आकृतियों को समतल P के सन्दर्भ में सममिति कहा जाता है यदि एक आकृति में प्रत्येक बिंदु A दूसरे बिंदु A " से मेल खाता है, और खंड AA" समतल P के लंबवत है और इस तल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पर आधे में विभाजित है .

प्रमेय। दो सममित आकृतियों में कोई भी दो संगत खंड एक दूसरे के बराबर होते हैं।

मान लीजिए कि दो आकृतियाँ दी गई हैं जो समतल P के संबंध में सममित हैं। आइए हम पहली आकृति के दो बिंदुओं A और B का चयन करें, मान लीजिए कि A "और B" उनके संगत दूसरी आकृति के बिंदु हैं (चित्र 116, चित्र में आंकड़े नहीं दिखाए गए हैं)।

आगे सी को एक ही विमान के साथ "प्लेन पी, डी - सेगमेंट बीबी के चौराहे के बिंदु" के साथ खंड एए के चौराहे का बिंदु होने दें। बिंदु C और D को एक सीधी रेखा खंड से जोड़ने पर, हमें दो चतुर्भुज ABDC और A "B" DC मिलते हैं। चूंकि एसी \u003d ए "सी, बीडी \u003d बी" डी और
/ एसीडी = / एसीडी, / बीडीसी = / "DC में, समकोण के रूप में, तब ये चतुर्भुज समान होते हैं (जो सुपरपोजिशन द्वारा आसानी से सत्यापित हो जाते हैं)। इसलिए, AB \u003d AB" यह इस प्रमेय से सीधे अनुसरण करता है कि संबंधित विमान और दो अंकों के डायहेड्रल कोण के संबंध में सममित हैं फिर भी, इन दोनों आकृतियों को एक दूसरे के साथ जोड़ना असंभव है ताकि उनके संगत भाग संयुक्त हों, क्योंकि एक आकृति के भागों का क्रम दूसरी आकृति के भागों के क्रम के विपरीत है (यह नीचे सिद्ध होगा, 102 एक समतल के संबंध में सममित दो आकृतियाँ हैं: कोई भी वस्तु और समतल दर्पण में उसका प्रतिबिंब; कोई भी आकृति जो दर्पण के समतल के सापेक्ष अपने दर्पण प्रतिबिंब के साथ सममित है।

यदि किसी ज्यामितीय निकाय को किसी समतल के सापेक्ष सममित दो भागों में विभाजित किया जा सकता है, तो इस तल को इस पिंड का सममित तल कहा जाता है।

सममिति के समतल वाले ज्यामितीय निकाय प्रकृति और दैनिक जीवन में अत्यंत सामान्य हैं। मानव और पशु शरीर में समरूपता का एक तल होता है जो इसे दाएं और बाएं भागों में विभाजित करता है।

इस उदाहरण में, यह विशेष रूप से स्पष्ट है कि सममित आकृतियों को संयोजित नहीं किया जा सकता है। तो, दाएं और बाएं हाथ के हाथ सममित हैं, लेकिन उन्हें जोड़ा नहीं जा सकता है, जिसे कम से कम इस तथ्य से देखा जा सकता है कि एक ही दस्ताने दाएं और बाएं दोनों हाथों में फिट नहीं हो सकते। बड़ी संख्या में घरेलू सामानों में समरूपता का एक तल होता है: एक कुर्सी, एक खाने की मेज, एक किताबों की अलमारी, एक सोफा, आदि। कुछ, जैसे कि खाने की मेज, में एक नहीं, बल्कि दो समरूपता के विमान होते हैं (चित्र। 117) .

आमतौर पर, जब किसी वस्तु पर समरूपता का विमान होता है, तो हम उसके संबंध में ऐसी स्थिति लेने का प्रयास करते हैं कि हमारे शरीर की समरूपता का तल, या कम से कम हमारा सिर, वस्तु के समरूपता के विमान से मेल खाता हो। इस मामले में। वस्तु का सममित आकार विशेष रूप से ध्यान देने योग्य हो जाता है।

101. अक्ष के बारे में समरूपता।दूसरे क्रम की समरूपता की धुरी। एल-अक्ष के बारे में दो आंकड़े सममित कहलाते हैं (अक्ष एक सीधी रेखा है) यदि पहली आकृति का प्रत्येक बिंदु ए "दूसरी आकृति के बिंदु ए से मेल खाता है, ताकि खंड एए" एल-अक्ष के लंबवत हो , इसके साथ प्रतिच्छेद करता है और प्रतिच्छेदन बिंदु पर आधे में विभाजित होता है। एल-अक्ष को ही द्वितीय-क्रम सममिति अक्ष कहा जाता है।

इस परिभाषा से, यह सीधे तौर पर इस प्रकार है कि यदि एक अक्ष के बारे में सममित दो ज्यामितीय निकायों को इस अक्ष के लंबवत समतल द्वारा प्रतिच्छेदित किया जाता है, तो खंड में दो समतल आंकड़े प्राप्त होंगे, जो समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु के संबंध में सममित होंगे। निकायों की समरूपता की धुरी।

यहाँ से, आगे यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि अक्ष के बारे में सममित दो निकायों को एक दूसरे के साथ जोड़ा जा सकता है, उनमें से एक को समरूपता की धुरी के चारों ओर 180 ° घुमाया जा सकता है। वास्तव में, समरूपता की धुरी के लंबवत सभी संभावित विमानों की कल्पना करें।

दोनों पिंडों को प्रतिच्छेद करने वाले प्रत्येक ऐसे तल में आकृतियाँ होती हैं जो पिंडों की सममिति के अक्ष के साथ समतल के मिलन बिंदु के संबंध में सममित होती हैं। यदि हम कटिंग प्लेन को अपने आप स्लाइड करते हैं, इसे शरीर की समरूपता की धुरी के चारों ओर 180 ° घुमाते हैं, तो पहला आंकड़ा दूसरे के साथ मेल खाता है।

यह किसी भी काटने वाले विमान के लिए सच है। शरीर के सभी वर्गों का 180° का घूर्णन समरूपता की धुरी के चारों ओर पूरे शरीर के 180° के घूर्णन के बराबर है। यहीं से हमारे दावे की वैधता का पता चलता है।

यदि, एक निश्चित सीधी रेखा के चारों ओर एक स्थानिक आकृति के 180 ° घूमने के बाद, यह स्वयं के साथ मेल खाता है, तो वे कहते हैं कि आकृति में यह सीधी रेखा इसकी दूसरी-क्रम समरूपता अक्ष के रूप में है।

"दूसरे क्रम की समरूपता की धुरी" नाम को इस तथ्य से समझाया गया है कि इस अक्ष के चारों ओर एक पूर्ण रोटेशन के दौरान, शरीर दो बार एक स्थिति लेगा जो रोटेशन के दौरान मूल एक (मूल एक की गिनती) के साथ मेल खाता है। दूसरे क्रम के समरूपता के अक्ष के साथ ज्यामितीय निकायों के उदाहरण हैं:
1) एक नियमित पिरामिड जिसमें समान संख्या में पार्श्व फलक होते हैं; इसकी समरूपता की धुरी इसकी ऊंचाई है;
2) आयताकार समानांतर चतुर्भुज; इसमें सममिति के तीन अक्ष हैं: इसके विपरीत फलकों के केंद्रों को जोड़ने वाली सीधी रेखाएं;
3) एक नियमित प्रिज्म जिसमें सम संख्या में पार्श्व फलक होते हैं। इसकी समरूपता की धुरी प्रत्येक सीधी रेखा है जो इसके विपरीत चेहरों (पार्श्व चेहरों और प्रिज्म के दो आधार) के किसी भी जोड़े के केंद्रों को जोड़ती है। यदि प्रिज्म के पार्श्व फलकों की संख्या 2 . है क, तो सममिति के ऐसे अक्षों की संख्या होगी क+ 1. इसके अलावा, इसके विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली प्रत्येक सीधी रेखा ऐसे प्रिज्म के लिए समरूपता की धुरी के रूप में कार्य करती है। एक प्रिज्म में समरूपता की ऐसी कुल्हाड़ियाँ होती हैं।

तो सही 2 क-फलकीय प्रिज्म में 2 . होता है क+1 अक्ष, समरूपता।

102. अंतरिक्ष में विभिन्न प्रकार की सममिति के बीच निर्भरता।अंतरिक्ष में विभिन्न प्रकार की समरूपता के बीच - अक्षीय, तलीय और केंद्रीय - एक संबंध है, जिसे निम्नलिखित प्रमेय द्वारा व्यक्त किया गया है।

प्रमेय। यदि आकृति F, समतल P के संबंध में F "के साथ सममित है और साथ ही चित्र F के साथ सममित है" विमान P में स्थित बिंदु O के संबंध में, तो F "और F" आंकड़े सममित हैं बिंदु O से गुजरने वाली धुरी के संबंध में और समतल R के लंबवत।

आइए आकृति F का कोई बिंदु A लें (चित्र 118)। यह बिंदु A "आकृति F" और बिंदु A "आकृति F" से मेल खाता है (आंकड़े स्वयं F, F और F" चित्र में नहीं दिखाए गए हैं)।

मान लीजिए कि B, समतल P के साथ खंड AA "का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आइए बिंदुओं A, A" और O से होकर एक तल बनाते हैं। यह तल समतल P के लंबवत होगा, क्योंकि यह रेखा AA से होकर गुजरता है। यह तल। समतल AA" O में हम OB पर सीधी रेखा OH खींचते हैं। यह रेखा OH भी तल P के लंबवत होगी। इसके अलावा, C को रेखाओं A"A" और OH का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें।

त्रिभुज AA "A" में "खंड BO AA" और AA के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है, इसलिए, BO || A"A", लेकिन BO_|_OH, जिसका अर्थ है A"A"_|_OH। इसके अलावा, चूंकि O मध्य भाग AA है", और CO || AA", फिर A"C \u003d A"C। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि बिंदु A" और A" अक्ष OH के बारे में सममित हैं। आकृति के अन्य सभी बिंदुओं के लिए भी यही सच है। इसलिए, हमारी प्रमेय सिद्ध होती है। यह इस प्रमेय से सीधे अनुसरण करता है, कि एक विमान के संबंध में सममित दो आंकड़ों को जोड़ा नहीं जा सकता है ताकि उनके संबंधित भागों को गठबंधन किया जा सके। वास्तव में, आकृति F" को F के साथ जोड़ा जाता है, जो OH अक्ष के चारों ओर 180 ° घूमता है। लेकिन अंक F" और F को बिंदु के संबंध में सममित के रूप में नहीं जोड़ा जा सकता है, इसलिए, F और F" अंक को भी नहीं जोड़ा जा सकता है।

103. उच्च कोटि की सममिति के अक्ष।सममिति की धुरी वाली एक आकृति 180° के कोण से सममिति के अक्ष के चारों ओर घुमाए जाने के बाद स्वयं के साथ संरेखित होती है। लेकिन ऐसे मामले भी होते हैं जब किसी अक्ष को 180° से कम कोण पर घुमाने के बाद आकृति प्रारंभिक स्थिति से मेल खाती है। इस प्रकार, यदि शरीर इस धुरी के चारों ओर एक पूर्ण क्रांति करता है, तो घूर्णन की प्रक्रिया में इसे अपनी मूल स्थिति के साथ कई बार जोड़ा जाएगा। रोटेशन की ऐसी धुरी को उच्च-क्रम समरूपता अक्ष कहा जाता है, और शरीर की स्थिति की संख्या जो मूल के साथ मेल खाती है, समरूपता अक्ष का क्रम कहलाती है। यह अक्ष दूसरे क्रम की सममिति अक्ष के साथ मेल नहीं खा सकता है। तो, एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में दूसरे क्रम का समरूपता अक्ष नहीं होता है, लेकिन इसकी ऊंचाई इसके लिए तीसरे क्रम के समरूपता अक्ष के रूप में कार्य करती है। दरअसल, इस पिरामिड को ऊंचाई के चारों ओर 120° के कोण पर घुमाने के बाद यह खुद से जुड़ जाता है (चित्र 119)।

जब पिरामिड ऊंचाई के चारों ओर घूमता है, तो यह तीन पदों पर कब्जा कर सकता है, मूल के साथ मेल खाता है, साथ ही मूल की गिनती भी करता है। यह देखना आसान है कि कोई भी सम-क्रम समरूपता अक्ष एक ही समय में द्वितीय-क्रम समरूपता अक्ष है।

उच्च कोटि की सममिति के अक्षों के उदाहरण:

1) सही एन-कोयला पिरामिड में समरूपता की धुरी होती है एन-वें क्रम। यह अक्ष पिरामिड की ऊंचाई है।

2) सही एन-कोयला प्रिज्म में समरूपता की धुरी होती है एन-वें क्रम। यह अक्ष प्रिज्म के आधारों के केंद्रों को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा है।

104. घन की समरूपता।किसी भी समानांतर चतुर्भुज के लिए, घन के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु इसकी समरूपता का केंद्र है।

क्यूब में समरूपता के नौ विमान हैं: छह विकर्ण विमान और तीन विमान इसके समानांतर किनारों में से प्रत्येक के मध्य बिंदुओं से गुजरते हैं।

क्यूब में दूसरे क्रम की समरूपता के नौ अक्ष हैं: इसके विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली छह सीधी रेखाएं, और विपरीत चेहरों के केंद्रों को जोड़ने वाली तीन सीधी रेखाएं (चित्र। 120)।

ये अंतिम पंक्तियाँ चौथे क्रम की सममिति की कुल्हाड़ियाँ हैं। इसके अलावा, घन में तीसरे क्रम के समरूपता के चार अक्ष हैं, जो इसके विकर्ण हैं। वास्तव में, घन AG (चित्र 120) का विकर्ण स्पष्ट रूप से AB, AD और AE के किनारों पर समान रूप से झुका हुआ है, और ये किनारे समान रूप से एक दूसरे के लिए झुके हुए हैं। यदि हम बिंदु B, D और E को जोड़ते हैं, तो हमें एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड ADBE मिलता है, जिसके लिए घन AG का विकर्ण ऊँचाई के रूप में कार्य करता है। जब यह पिरामिड ऊंचाई के चारों ओर घूमते हुए स्वयं के साथ संरेखित होता है, तो संपूर्ण घन अपनी मूल स्थिति के साथ संरेखित हो जाएगा। यह देखना आसान है कि घन में सममिति का कोई अन्य अक्ष नहीं है। आइए देखें कि एक घन कितने अलग-अलग तरीकों से अपने आप में फिट हो सकता है। समरूपता की साधारण धुरी के चारों ओर घूमने से घन की एक स्थिति मिलती है, जो मूल से भिन्न होती है, जिसमें घन पूरी तरह से स्वयं के साथ संरेखित होता है।

तीसरे क्रम के अक्ष के बारे में घूर्णन दो ऐसी स्थिति देता है, और चौथे क्रम अक्ष के बारे में घूर्णन तीन ऐसी स्थिति देता है। चूँकि घन में दूसरे क्रम के छह अक्ष हैं (ये समरूपता के सामान्य अक्ष हैं), तीसरे क्रम के चार अक्ष और चौथे क्रम के तीन अक्ष हैं, घन के 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 स्थान हैं, मूल से अलग, जिस पर यह आपके साथ संयुक्त है।

सीधे तौर पर यह सत्यापित करना आसान है कि ये सभी स्थितियाँ एक दूसरे से भिन्न हैं, साथ ही घन की प्रारंभिक स्थिति से भी। मूल स्थिति के साथ, वे क्यूब को अपने साथ मिलाने के 24 तरीके बनाते हैं।

समरूपता की परिभाषा;

• समरूपता की परिभाषा;

• केंद्रीय समरूपता;

• अक्षीय समरूपता;

• विमान के बारे में समरूपता;

• घूर्णी समरूपता;

• दर्पण समरूपता;

• समानता की समरूपता;

• पौधों की समरूपता;

• पशु समरूपता;

• वास्तुकला में समरूपता;

• क्या मनुष्य एक सममित प्राणी है?

• शब्दों और संख्याओं की समरूपता;

समरूपता

• समरूपता- आनुपातिकता, किसी बिंदु, रेखा या तल के विपरीत पक्षों पर किसी चीज़ के भागों की व्यवस्था में समानता।

• (ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश)

• तो, एक ज्यामितीय वस्तु को सममित माना जाता है यदि आप इसके साथ कुछ कर सकते हैं, जिसके बाद वह बनी रहेगी अपरिवर्तित।

हे हे हेबुलाया आकृति की समरूपता का केंद्र.

• बिंदु के संबंध में आकृति को सममित कहा जाता है हे, यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए बिंदु के संबंध में इसके सममित बिंदु हेभी इस आंकड़े के अंतर्गत आता है। दूरसंचार विभाग हेबुलाया आकृति की समरूपता का केंद्र.

वृत्त और समांतर चतुर्भुज सर्कल सेंटर ) अनुसूची पुराना फंक्शन

केंद्रीय समरूपता वाली आकृतियों के उदाहरण हैं वृत्त और समांतर चतुर्भुज. वृत्त की सममिति का केंद्र है सर्कल सेंटर, और समांतर चतुर्भुज की सममिति का केंद्र है इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु. किसी भी रेखा में केंद्रीय समरूपता भी होती है ( रेखा का कोई भी बिंदु उसकी सममिति का केंद्र होता है) अनुसूची पुराना फंक्शनउत्पत्ति के बारे में सममित।

• एक ऐसी आकृति का उदाहरण है जिसमें सममिति का केंद्र नहीं है मनमाना त्रिभुज.

एक एक एकबुलाया आकृति की समरूपता की धुरी.

• आकृति को एक सीधी रेखा के संबंध में सममित कहा जाता है। एक, यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए रेखा के संबंध में बिंदु सममित है एकभी इस आंकड़े के अंतर्गत आता है। सीधा एकबुलाया आकृति की समरूपता की धुरी.

एक खुले कोने में समरूपता की एक धुरी कोण द्विभाजक समरूपता की एक धुरी समरूपता के तीन अक्ष समरूपता के दो अक्षों पर, और वर्ग समरूपता के चार अक्ष y-अक्ष के सापेक्ष.

एक खुले कोने में समरूपता की एक धुरी- वह रेखा जिस पर यह स्थित है कोण द्विभाजक. एक समद्विबाहु त्रिभुज में भी होता है समरूपता की एक धुरी, और एक समबाहु त्रिभुज समरूपता के तीन अक्ष. एक आयत और एक समचतुर्भुज जो वर्ग नहीं है, में है समरूपता के दो अक्षों पर, और वर्ग समरूपता के चार अक्ष. एक वृत्त की अनंत संख्या होती है। प्लॉट किए जाने पर सम फलन का ग्राफ सममित होता है y-अक्ष के सापेक्ष.

• ऐसे आंकड़े हैं जिनमें समरूपता की कोई धुरी नहीं है। इन आंकड़ों में शामिल हैं समानांतर चतुर्भुज, एक आयत के अलावा, विषमबाहु त्रिकोण.

अंक लेकिनतथा ए 1 एक एक एए1तथा सीधा एकगिनता स्वयं के लिए सममित

अंक लेकिनतथा ए 1समतल के संबंध में सममित कहलाते हैं एक(समरूपता का तल), यदि तल एक खंड के बीच से होकर गुजरता है एए1तथा सीधाइस खंड को। विमान का प्रत्येक बिंदु एकगिनता स्वयं के लिए सममित. दो आकृतियों को एक समतल (या दर्पण-सममिति के संबंध में) के संबंध में सममित कहा जाता है यदि उनमें जोड़ीदार सममित बिंदु होते हैं। इसका मतलब है कि एक आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए, एक (अपेक्षाकृत) सममित बिंदु दूसरी आकृति में स्थित है।

शरीर (या आकृति) में है घूर्णी समरूपता, यदि कोण पर मुड़ते समय 360º/n, जहां n एक पूर्णांक है पूरी तरह से संगत

• शरीर (या आकृति) में है घूर्णी समरूपता, यदि कोण पर मुड़ते समय 360º/n, जहां n एक पूर्णांक है, कुछ सीधी रेखा AB (समरूपता की धुरी) के बारे में यह पूरी तरह से संगतअपनी मूल स्थिति के साथ।

• रेडियल समरूपता- समरूपता का एक रूप जो तब संरक्षित होता है जब कोई वस्तु किसी निश्चित बिंदु या रेखा के चारों ओर घूमती है। अक्सर यह बिंदु वस्तु के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ मेल खाता है, यानी वह बिंदु जिस पर काटती हैसमरूपता के अक्षों की अनंत संख्या। ऐसी वस्तुएं हो सकती हैं वृत्त, गेंद, बेलन या शंकु.

मिरर समरूपताकिसी को जोड़ता है

मिरर समरूपताकिसी को जोड़ता है एक समतल दर्पण में वस्तु और उसका प्रतिबिंब. एक आकृति (या पिंड) को दूसरे के प्रति सममित दर्पण कहा जाता है यदि वे एक साथ एक दर्पण सममित आकृति (या शरीर) बनाते हैं। सममित रूप से प्रतिबिंबित आंकड़े, उनकी सभी समानताओं के लिए, एक दूसरे से काफी भिन्न होते हैं। दो दर्पण-सममित समतल आकृतियों को हमेशा एक-दूसरे पर आरोपित किया जा सकता है। हालाँकि, इसके लिए उनमें से एक (या दोनों) को उनके सामान्य तल से हटाना आवश्यक है।

समानता समरूपता घोंसले बनाने वाली गुड़ियाएँ.

• समानता समरूपतापिछली समरूपता के अजीबोगरीब एनालॉग हैं, केवल इस अंतर के साथ कि वे जुड़े हुए हैं आकृति के समान भागों और उनके बीच की दूरियों में एक साथ कमी या वृद्धि. ऐसी समरूपता का सबसे सरल उदाहरण है घोंसले बनाने वाली गुड़ियाएँ.

• कभी-कभी आकृतियों में विभिन्न प्रकार की सममिति हो सकती है। उदाहरण के लिए, कुछ अक्षरों में घूर्णी और दर्पण समरूपता होती है: तथा, एच, एम, हे, लेकिन.

• कई अन्य प्रकार की समरूपताएं हैं जो प्रकृति में अमूर्त हैं। उदाहरण के लिए:

• क्रमपरिवर्तन समरूपता, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि यदि समान कणों को आपस में बदल दिया जाता है, तो कोई परिवर्तन नहीं होता है;

• गेज समरूपताजुड़े हुए ज़ूम के साथ. निर्जीव प्रकृति में, समरूपता मुख्य रूप से ऐसी प्राकृतिक घटना में उत्पन्न होती है जैसे क्रिस्टलजो लगभग सभी ठोस पदार्थ बनाते हैं। यह वह है जो उनके गुणों का निर्धारण करती है। क्रिस्टल की सुंदरता और पूर्णता का सबसे स्पष्ट उदाहरण प्रसिद्ध है हिमपात का एक खंड.

हम हर जगह समरूपता पाते हैं: प्रकृति, प्रौद्योगिकी, कला, विज्ञान में।समरूपता की अवधारणा मानव रचनात्मकता के पूरे सदियों पुराने इतिहास से चलती है। समरूपता सिद्धांत एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं भौतिकी और गणित, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान, इंजीनियरिंग और वास्तुकला, चित्रकला और मूर्तिकला, कविता और संगीत में।प्रकृति के नियम भी समरूपता के सिद्धांतों का पालन करते हैं।

समरूपता की धुरी.

• कई फूलों में एक दिलचस्प गुण होता है: उन्हें घुमाया जा सकता है ताकि प्रत्येक पंखुड़ी अपने पड़ोसी की स्थिति ले ले, जबकि फूल खुद के साथ संयुक्त हो। यह फूल है समरूपता की धुरी.

• पेंच समरूपताअधिकांश पौधों के तनों पर पत्तियों की व्यवस्था में देखा गया। तने के साथ एक पेंच द्वारा स्थित होने के कारण, पत्तियाँ सभी दिशाओं में फैली हुई प्रतीत होती हैं और प्रकाश से एक दूसरे को अस्पष्ट नहीं करती हैं, जो पौधे के जीवन के लिए आवश्यक है।

• द्विपक्षीय सममितिउदाहरण के लिए, पौधों के अंगों में भी कई कैक्टि के तने होते हैं। अक्सर वनस्पति विज्ञान में पाया जाता है त्रिज्यातसममित रूप से निर्मित फूल।

विभाजन रेखा।

• जानवरों में समरूपता को आकार, आकार और आकार में पत्राचार के साथ-साथ विपरीत पक्षों पर स्थित शरीर के अंगों के सापेक्ष स्थान के रूप में समझा जाता है। विभाजन रेखा।

• समरूपता के मुख्य प्रकार हैं रेडियल(विकिरण) - यह इचिनोडर्म, कोइलेंटरेट्स, जेलिफ़िश, आदि के पास है; या द्विपक्षीय(दो तरफा) - हम कह सकते हैं कि हर जानवर (चाहे वह कीट, मछली या पक्षी हो) में होता है दो हिस्सों से- दायें और बाएँ।

• गोलाकार समरूपतारेडियोलेरियन और सूरजमुखी में होता है। केंद्र के माध्यम से खींचा गया कोई भी विमान जानवर को बराबर हिस्सों में विभाजित करता है।

• एक संरचना की समरूपता उसके कार्यों के संगठन से जुड़ी होती है। समरूपता के विमान का प्रक्षेपण - भवन की धुरी - आमतौर पर मुख्य प्रवेश द्वार का स्थान और मुख्य यातायात प्रवाह की शुरुआत निर्धारित करता है।

• एक सममित प्रणाली में हर विवरण मौजूद है उनकी अनिवार्य जोड़ी के एक डोपेलगेंजर के रूप मेंअक्ष के दूसरी ओर स्थित है, और इसके कारण इसे केवल संपूर्ण का हिस्सा माना जा सकता है।

• वास्तुकला में सबसे आम दर्पण समरूपता. प्राचीन मिस्र की इमारतें और प्राचीन ग्रीस के मंदिर, एम्फीथिएटर, स्नानागार, बेसिलिका और रोमनों के विजयी मेहराब, पुनर्जागरण के महल और चर्च, साथ ही साथ आधुनिक वास्तुकला की कई इमारतें इसके अधीन हैं।

लहजे

• संरचनाओं पर समरूपता को बेहतर ढंग से प्रतिबिंबित करने के लिए रखा गया है लहजे- विशेष रूप से महत्वपूर्ण तत्व (गुंबद, मीनार, तंबू, मुख्य प्रवेश द्वार और सीढ़ियाँ, बालकनियाँ और खाड़ी की खिड़कियां)।

• वास्तुकला की सजावट को डिजाइन करने के लिए, एक आभूषण का उपयोग किया जाता है - इसके तत्वों की सममित संरचना के आधार पर एक लयबद्ध दोहराव वाला पैटर्न और रेखा, रंग या राहत द्वारा व्यक्त किया जाता है। ऐतिहासिक रूप से, दो स्रोतों के आधार पर कई प्रकार के आभूषण विकसित हुए हैं - प्राकृतिक रूप और ज्यामितीय आंकड़े।

• लेकिन एक वास्तुकार सबसे पहले और सबसे महत्वपूर्ण कलाकार होता है। और इसलिए, यहां तक ​​​​कि सबसे "क्लासिक" शैलियों का भी अक्सर उपयोग किया जाता है अप्रतिसाभ्यता- शुद्ध समरूपता से एक सूक्ष्म विचलन, या विषमता- जानबूझकर विषम निर्माण।

• किसी को भी संदेह नहीं होगा कि बाहरी रूप से एक व्यक्ति सममित रूप से निर्मित होता है: बायां हाथ हमेशा दाएं से मेल खाता है और दोनों हाथ बिल्कुल समान होते हैं। लेकिन हमारे हाथ, कान, आंख और शरीर के अन्य हिस्सों के बीच समानता वही है किसी वस्तु और दर्पण में उसके प्रतिबिंब के बीच।

सहीउसके आधा खुरदरी विशेषताएंपुरुष लिंग की विशेषता। बायां आधा

पुरुषों और महिलाओं में चेहरे के मापदंडों के कई मापों से पता चला है कि सहीउसके आधाबाईं ओर की तुलना में, अधिक स्पष्ट अनुप्रस्थ आयाम हैं, जो चेहरे को और अधिक देता है खुरदरी विशेषताएंपुरुष लिंग की विशेषता। बायां आधाचेहरे में अधिक स्पष्ट अनुदैर्ध्य आयाम होते हैं, जो इसे देता है चिकनी रेखाएं और स्त्रीत्व. यह तथ्य महिलाओं के चेहरे के बाईं ओर कलाकारों के लिए और दाईं ओर पुरुषों की प्रमुख इच्छा की व्याख्या करता है।

विलोमपद

• विलोमपद(जीआर। पालिंड्रोमोस से - वापस चल रहा है) - यह कुछ ऐसी वस्तु है जिसमें घटकों की समरूपता शुरुआत से अंत तक और अंत से शुरुआत तक निर्दिष्ट होती है। उदाहरण के लिए, एक वाक्यांश या पाठ।

• पैलिंड्रोम का सीधा पाठ, जिसे किसी दी गई लिपि में पढ़ने की सामान्य दिशा के अनुसार पढ़ा जाता है (आमतौर पर बाएं से दाएं) कहलाता है आगे, उल्टा - एक खोल वॉकरया उल्टा(दांये से बांये तक)। कुछ संख्याओं में सममिति भी होती है।

तो, ज्यामिति के संबंध में: समरूपता के तीन मुख्य प्रकार हैं।

पहले तो, केंद्रीय समरूपता (या एक बिंदु के बारे में समरूपता) - यह समतल (या स्थान) का एक परिवर्तन है, जिसमें एकमात्र बिंदु (बिंदु O - समरूपता का केंद्र) बना रहता है, जबकि शेष बिंदु अपनी स्थिति बदलते हैं: बिंदु A के बजाय, हमें बिंदु A1 मिलता है ऐसा है कि बिंदु O खंड AA1 का मध्य है। एक आकृति Ф1 का निर्माण करने के लिए, बिंदु O के संबंध में आकृति के सममित, बिंदु O (समरूपता के केंद्र) से गुजरने वाली आकृति के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से एक किरण खींचना आवश्यक है, और इस किरण को सेट करने के लिए बिंदु O के सन्दर्भ में चुने गए बिंदु के सममित बिंदु के अलावा। इस तरह से बनाए गए बिंदुओं का सेट एक आकृति F1 देगा।

बड़ी रुचि के आंकड़े हैं जिनमें समरूपता का केंद्र है: बिंदु O के बारे में समरूपता के साथ, आकृति F का कोई भी बिंदु फिर से आकृति F के किसी बिंदु में बदल जाता है। ज्यामिति में ऐसे कई आंकड़े हैं। उदाहरण के लिए: एक खंड (खंड का मध्य समरूपता का केंद्र है), एक सीधी रेखा (इसका कोई भी बिंदु इसकी समरूपता का केंद्र है), एक वृत्त (वृत्त का केंद्र समरूपता का केंद्र है), a आयत (इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु सममिति का केंद्र है)। चेतन और निर्जीव प्रकृति (छात्र संचार) में कई केंद्रीय सममित वस्तुएं हैं। अक्सर लोग स्वयं ऐसी वस्तुएं बनाते हैं जिनमें समरूपता का केंद्र होता हैआरआई (सुई से उदाहरण, मैकेनिकल इंजीनियरिंग से उदाहरण, वास्तुकला से उदाहरण और कई अन्य उदाहरण)।

दूसरी बात, अक्षीय समरूपता (या एक रेखा के बारे में समरूपता) - यह समतल (या स्थान) का रूपांतरण है, जिसमें केवल रेखा p के बिंदु यथा स्थान पर रहते हैं (यह रेखा समरूपता की धुरी है), जबकि शेष बिंदु अपनी स्थिति बदलते हैं: बिंदु B के बजाय , हमें ऐसा बिंदु B1 मिलता है कि रेखा p खंड BB1 का लंबवत समद्विभाजक है। रेखा p के सन्दर्भ में आकृति के सममित 1 का निर्माण करने के लिए, आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए रेखा p के संबंध में एक सममित बिंदु का निर्माण करना आवश्यक है। इन सभी निर्मित बिन्दुओं का समुच्चय वांछित आकृति Ф1 देता है। कई ज्यामितीय आकार हैं जिनमें समरूपता की धुरी होती है।

एक आयत में दो होते हैं, एक वर्ग में चार होते हैं, एक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरने वाली कोई भी सीधी रेखा होती है। यदि आप वर्णमाला के अक्षरों को करीब से देखते हैं, तो उनमें से आप उन लोगों को पा सकते हैं जिनमें क्षैतिज या लंबवत होते हैं, और कभी-कभी समरूपता के दोनों अक्ष होते हैं। समरूपता की कुल्हाड़ियों वाली वस्तुएं चेतन और निर्जीव प्रकृति (छात्र रिपोर्ट) में काफी सामान्य हैं। अपनी गतिविधि में, एक व्यक्ति कई वस्तुओं (उदाहरण के लिए, आभूषण) बनाता है जिसमें समरूपता के कई अक्ष होते हैं।

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तीसरा, तलीय (दर्पण) समरूपता (या समतल के बारे में समरूपता) - यह अंतरिक्ष का एक परिवर्तन है, जिसमें केवल एक विमान के बिंदु अपना स्थान बनाए रखते हैं (α-समरूपता का विमान), अंतरिक्ष के शेष बिंदु अपनी स्थिति बदलते हैं: बिंदु C के बजाय, ऐसा बिंदु C1 प्राप्त होता है कि विमान α खंड CC1 के मध्य से होकर गुजरता है, जो इसके लंबवत है।

एक आकृति Ф1 का निर्माण करने के लिए, विमान α के संबंध में आकृति के सममित, आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए α के संबंध में सममित बिंदुओं का निर्माण करना आवश्यक है, वे अपने सेट में आकृति Ф1 बनाते हैं।

अक्सर, हमारे आस-पास की चीजों और वस्तुओं की दुनिया में, हम त्रि-आयामी निकायों का सामना करते हैं। और इनमें से कुछ निकायों में समरूपता के विमान हैं, कभी-कभी कई भी। और व्यक्ति स्वयं अपनी गतिविधि (निर्माण, सुईवर्क, मॉडलिंग, ...) में समरूपता के विमानों के साथ वस्तुओं का निर्माण करता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि तीन सूचीबद्ध प्रकार की समरूपता के साथ, (वास्तुकला में) हैंपोर्टेबल और कुंडा, जो ज्यामिति में कई आंदोलनों की रचनाएं हैं।

समरूपता सद्भाव और व्यवस्था से जुड़ी है। और व्यर्थ नहीं। क्योंकि समरूपता क्या है, इसका उत्तर प्राचीन ग्रीक से शाब्दिक अनुवाद के रूप में है। और यह पता चला है कि इसका मतलब आनुपातिकता और अपरिवर्तनीयता है। और स्थान की सख्त परिभाषा से अधिक व्यवस्थित क्या हो सकता है? और किसी चीज़ से अधिक सामंजस्यपूर्ण क्या कहा जा सकता है जो सख्ती से आकार से मेल खाता हो?

विभिन्न विज्ञानों में समरूपता का क्या अर्थ है?

जीव विज्ञान।इसमें समरूपता का एक महत्वपूर्ण घटक यह है कि जानवरों और पौधों ने नियमित रूप से भागों को व्यवस्थित किया है। इसके अलावा, इस विज्ञान में कोई सख्त समरूपता नहीं है। हमेशा कुछ विषमता होती है। यह स्वीकार करता है कि संपूर्ण के हिस्से पूर्ण सटीकता के साथ मेल नहीं खाते हैं।

रसायन शास्त्र।किसी पदार्थ के अणुओं की व्यवस्था में एक निश्चित नियमितता होती है। यह उनकी समरूपता है जो क्रिस्टलोग्राफी और रसायन विज्ञान की अन्य शाखाओं में सामग्री के कई गुणों की व्याख्या करती है।

भौतिक विज्ञान।निकायों की प्रणाली और उसमें होने वाले परिवर्तनों को समीकरणों का उपयोग करके वर्णित किया गया है। उनमें सममित घटक होते हैं, जो पूरे समाधान को सरल करता है। यह संरक्षित मात्रा की खोज करके किया जाता है।

गणित।इसमें समरूपता क्या है, इसकी मुख्य व्याख्या दी गई है। इसके अलावा, इसे ज्यामिति में अधिक महत्व दिया जाता है। यहां, समरूपता आंकड़ों और निकायों में प्रदर्शित करने की क्षमता है। एक संकीर्ण अर्थ में, यह सिर्फ एक दर्पण छवि के लिए नीचे आता है।

विभिन्न शब्दकोश समरूपता को कैसे परिभाषित करते हैं?

इनमें से हम जो भी देखें, "आनुपातिकता" शब्द हर जगह मिलेगा। डाहल में एकरूपता और एकरूपता जैसी व्याख्या भी देखी जा सकती है। दूसरे शब्दों में, सममित का अर्थ वही है। यह भी कहता है कि यह उबाऊ है, जो अधिक दिलचस्प लगता है वह वह नहीं है जिसमें वह नहीं है।

यह पूछे जाने पर कि समरूपता क्या है, ओज़ेगोव का शब्दकोश पहले से ही एक बिंदु, रेखा या विमान के सापेक्ष भागों की स्थिति में समानता की बात करता है।

उषाकोव के शब्दकोश में आनुपातिकता का भी उल्लेख है, साथ ही साथ पूरे के दो हिस्सों का एक दूसरे से पूर्ण पत्राचार भी है।

लोग विषमता के बारे में कब बात करते हैं?

उपसर्ग "ए" मुख्य संज्ञा के अर्थ को नकारता है। इसलिए, विषमता का अर्थ है कि तत्वों की व्यवस्था एक निश्चित पैटर्न के लिए उधार नहीं देती है। इसमें कोई अपरिवर्तनीयता नहीं है।

इस शब्द का प्रयोग उन स्थितियों में किया जाता है जहां आइटम के दो हिस्सों का पूरी तरह से मिलान नहीं होता है। अधिकांश समय वे एक जैसे नहीं दिखते।

वन्य जीवन में, विषमता एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। और यह उपयोगी और हानिकारक दोनों हो सकता है। उदाहरण के लिए, हृदय को छाती के बाएं आधे भाग में रखा जाता है। इससे बायां फेफड़ा काफी छोटा हो जाता है। लेकिन यह जरूरी है।

केंद्रीय और अक्षीय समरूपता के बारे में

गणित में, इसके प्रकार हैं:

• केंद्रीय, यानी एक बिंदु के संबंध में किया जाता है;
• अक्षीय, जो एक सीधी रेखा के पास देखा जाता है;
• स्पेक्युलर, यह प्रतिबिंबों पर आधारित है;
• स्थानांतरण समरूपता।

सममिति की धुरी और केंद्र क्या है? यह एक बिंदु या रेखा है, जिसके सापेक्ष शरीर का कोई भी बिंदु दूसरा पा सकता है। इसके अलावा, जैसे कि मूल से परिणामी तक की दूरी अक्ष या समरूपता के केंद्र से आधी हो जाती है। इन बिंदुओं की गति के दौरान, वे समान प्रक्षेपवक्र का वर्णन करते हैं।

एक उदाहरण के साथ यह समझना आसान है कि अक्ष के बारे में समरूपता क्या है। नोटबुक पेपर को आधा में मोड़ना चाहिए। गुना रेखा समरूपता की धुरी होगी। यदि हम उस पर एक लंब रेखा खींचते हैं, तो उस पर सभी बिंदुओं पर अक्ष के दूसरी ओर समान दूरी पर स्थित बिंदु होंगे।

ऐसी स्थितियों में जहां आपको सममिति के केंद्र को खोजने की आवश्यकता होती है, आपको निम्न कार्य करने की आवश्यकता होती है। यदि दो आंकड़े हैं, तो उनके लिए समान बिंदु खोजें और उन्हें एक खंड से जोड़ दें। फिर आधे में बांट लें। जब आकृति एक हो तो उसके गुणों का ज्ञान सहायक हो सकता है। अक्सर यह केंद्र विकर्णों या ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु से मेल खाता है।

कौन सी आकृतियाँ सममित हैं?

ज्यामितीय आकृतियों में अक्षीय या केंद्रीय समरूपता हो सकती है। लेकिन यह कोई पूर्वापेक्षा नहीं है, ऐसी कई वस्तुएं हैं जिनमें यह बिल्कुल नहीं है। उदाहरण के लिए, एक समांतर चतुर्भुज में एक केंद्रीय होता है लेकिन कोई अक्षीय नहीं होता है। और गैर-समद्विबाहु समलम्बाकार और त्रिभुजों में बिल्कुल भी सममिति नहीं होती है।

यदि केंद्रीय समरूपता पर विचार किया जाए, तो इसमें काफी संख्या में आंकड़े मौजूद हैं। यह एक खंड और एक वृत्त, एक समांतर चतुर्भुज और सभी नियमित बहुभुज हैं जिनमें कई भुजाएँ हैं जो दो से विभाज्य हैं।

एक खंड (एक वृत्त भी) का समरूपता का केंद्र इसका केंद्र है, जबकि एक समांतर चतुर्भुज के लिए यह विकर्णों के प्रतिच्छेदन के साथ मेल खाता है। जबकि नियमित बहुभुजों के लिए, यह बिंदु आकृति के केंद्र के साथ भी मेल खाता है।

यदि एक आकृति में एक सीधी रेखा खींची जा सकती है, जिसके साथ इसे मोड़ा जा सकता है, और दो हिस्सों का मेल होता है, तो वह (सीधी रेखा) सममिति की धुरी होगी। दिलचस्प बात यह है कि विभिन्न आकृतियों में सममिति के कितने अक्ष होते हैं।

उदाहरण के लिए, एक न्यून या अधिक कोण का केवल एक अक्ष होता है, जो उसका समद्विभाजक होता है।

यदि आपको एक समद्विबाहु त्रिभुज में अक्ष ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो आपको उसके आधार की ऊँचाई खींचनी होगी। रेखा सममिति की धुरी होगी। और सिर्फ एक। और एक समबाहु में उनमें से तीन एक साथ होंगे। इसके अलावा, त्रिभुज में ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु के संबंध में केंद्रीय समरूपता भी होती है।

एक वृत्त में अनंत संख्या में सममिति की कुल्हाड़ियाँ हो सकती हैं। इसके केंद्र से गुजरने वाली कोई भी सीधी रेखा इस भूमिका को निभा सकती है।

एक आयत और एक समचतुर्भुज में सममिति के दो अक्ष होते हैं। पहले में, वे पक्षों के मध्य बिंदुओं से गुजरते हैं, और दूसरे में, वे विकर्णों के साथ मेल खाते हैं।

वर्ग पिछले दो आंकड़ों को जोड़ता है और एक बार में समरूपता के 4 अक्ष होते हैं। वे समचतुर्भुज और आयत के समान होते हैं।