हाँ, हाँ: अंकगणितीय प्रगति आपके लिए कोई खिलौना नहीं है :)

ठीक है, दोस्तों, अगर आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आंतरिक कैप सबूत मुझे बताता है कि आप अभी भी नहीं जानते कि अंकगणितीय प्रगति क्या है, लेकिन आप वास्तव में (नहीं, इस तरह: SOOOOO!) जानना चाहते हैं। इसलिए, मैं आपको लंबे परिचय के साथ पीड़ा नहीं दूंगा और तुरंत व्यापार में उतर जाऊंगा।

शुरू करने के लिए, कुछ उदाहरण। संख्याओं के कई सेटों पर विचार करें:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

इन सभी सेटों में क्या समानता है? पहली नज़र में, कुछ भी नहीं। लेकिन वास्तव में कुछ है। अर्थात्: प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से समान संख्या से भिन्न होता है.

अपने लिए जज। पहला सेट केवल क्रमागत संख्या है, प्रत्येक पिछले एक से अधिक है। दूसरे मामले में, आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर पहले से ही पांच के बराबर है, लेकिन यह अंतर अभी भी स्थिर है। तीसरे मामले में, सामान्य रूप से जड़ें होती हैं। हालांकि, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, जबकि $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, यानी। इस मामले में प्रत्येक अगला तत्व केवल $\sqrt(2)$ से बढ़ता है (और डरो मत कि यह संख्या तर्कहीन है)।

तो: ऐसे सभी अनुक्रमों को केवल अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। आइए एक सख्त परिभाषा दें:

परिभाषा। संख्याओं का वह क्रम जिसमें प्रत्येक अगली पिछली संख्या से बिल्कुल समान मात्रा में भिन्न हो, अंकगणितीय प्रगति कहलाती है। जिस राशि से संख्याएँ भिन्न होती हैं उसे प्रगति अंतर कहा जाता है और इसे अक्सर $d$ अक्षर से दर्शाया जाता है।

नोटेशन: $\left(((a)_(n)) \right)$ ही प्रगति है, $d$ इसका अंतर है।

और बस कुछ महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ। सबसे पहले, प्रगति को ही माना जाता है व्यवस्थितसंख्याओं का क्रम: उन्हें उस क्रम में सख्ती से पढ़ने की अनुमति है जिसमें वे लिखे गए हैं - और कुछ नहीं। आप नंबरों को पुनर्व्यवस्थित या स्वैप नहीं कर सकते।

दूसरे, अनुक्रम स्वयं या तो परिमित या अनंत हो सकता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय (1; 2; 3) स्पष्ट रूप से एक परिमित अंकगणितीय प्रगति है। लेकिन अगर आप कुछ ऐसा लिखते हैं (1; 2; 3; 4; ...) - यह पहले से ही एक अनंत प्रगति है। चार के बाद का दीर्घवृत्त, जैसा कि यह था, संकेत देता है कि काफी संख्याएँ आगे बढ़ती हैं। उदाहरण के लिए, असीम रूप से कई। :)

मैं यह भी नोट करना चाहूंगा कि प्रगति बढ़ रही है और घट रही है। हम पहले ही बढ़ते हुए देख चुके हैं - वही सेट (1; 2; 3; 4; ...)। घटती प्रगति के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ठीक है, ठीक है: अंतिम उदाहरण अत्यधिक जटिल लग सकता है। लेकिन बाकी, मुझे लगता है, आप समझते हैं। इसलिए, हम नई परिभाषाएँ पेश करते हैं:

परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति को कहा जाता है:

1. बढ़ रहा है अगर प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से बड़ा है;
2. घट रहा है, यदि, इसके विपरीत, प्रत्येक बाद वाला तत्व पिछले एक से कम है।

इसके अलावा, तथाकथित "स्थिर" अनुक्रम हैं - उनमें एक ही दोहराई जाने वाली संख्या होती है। उदाहरण के लिए, (3; 3; 3; ...)

केवल एक ही प्रश्न शेष है: बढ़ती हुई प्रगति को घटती हुई प्रगति से कैसे अलग किया जाए? सौभाग्य से, यहाँ सब कुछ केवल $d$ संख्या के संकेत पर निर्भर करता है, अर्थात। प्रगति अंतर:

1. यदि $d \gt 0$, तो प्रगति बढ़ रही है;
2. यदि $d \lt 0$, तो प्रगति स्पष्ट रूप से घट रही है;
3. अंत में, मामला $d=0$ है - इस मामले में पूरी प्रगति समान संख्याओं के एक स्थिर अनुक्रम में कम हो जाती है: (1; 1; 1; 1; ...), आदि।

आइए उपरोक्त तीन घटती प्रगति के लिए अंतर $d$ की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, यह किन्हीं दो आसन्न तत्वों (उदाहरण के लिए, पहला और दूसरा) को लेने के लिए पर्याप्त है और दाईं ओर की संख्या, बाईं ओर की संख्या से घटाएं। यह इस तरह दिखेगा:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीनों मामलों में अंतर वास्तव में नकारात्मक निकला। और अब जब हमने कमोबेश परिभाषाओं का पता लगा लिया है, तो यह पता लगाने का समय आ गया है कि प्रगति का वर्णन कैसे किया जाता है और उनके पास क्या गुण हैं।

प्रगति के सदस्य और आवर्तक सूत्र

चूंकि हमारे अनुक्रमों के तत्वों को आपस में बदला नहीं जा सकता है, उन्हें क्रमांकित किया जा सकता है:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\( ((ए)_(1)),\ ((ए)_(2)),((ए)_(3 )),... \सही\)\]

इस सेट के अलग-अलग तत्वों को प्रगति के सदस्य कहा जाता है। उन्हें एक संख्या की सहायता से इस प्रकार इंगित किया जाता है: पहला सदस्य, दूसरा सदस्य, इत्यादि।

इसके अलावा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, प्रगति के पड़ोसी सदस्य सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

संक्षेप में, प्रगति के $n$वें पद को खोजने के लिए, आपको $n-1$वें पद और अंतर $d$ को जानना होगा। इस तरह के एक सूत्र को आवर्तक कहा जाता है, क्योंकि इसकी मदद से आप किसी भी संख्या को पा सकते हैं, केवल पिछले एक (और वास्तव में, सभी पिछले वाले) को जानकर। यह बहुत असुविधाजनक है, इसलिए एक अधिक कठिन सूत्र है जो किसी भी गणना को पहले पद और अंतर तक कम कर देता है:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

आप शायद पहले भी इस सूत्र के बारे में जान चुके हैं। वे इसे सभी प्रकार की संदर्भ पुस्तकों और रेशेबनिकों में देना पसंद करते हैं। और गणित पर किसी भी समझदार पाठ्यपुस्तक में, यह पहली में से एक है।

हालाँकि, मेरा सुझाव है कि आप थोड़ा अभ्यास करें।

टास्क नंबर 1. अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पदों को लिखें $\left(((a)_(n)) \right)$ अगर $((a)_(1))=8,d=-5$।

समाधान। तो, हम पहले पद $((a)_(1))=8$ और प्रगति अंतर $d=-5$ जानते हैं। आइए अभी दिए गए सूत्र का उपयोग करें और $n=1$, $n=2$ और $n=3$ को प्रतिस्थापित करें:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

उत्तर: (8; 3; -2)

बस इतना ही! ध्यान दें कि हमारी प्रगति घट रही है।

बेशक, $n=1$ को प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता था - हम पहले शब्द को पहले से ही जानते हैं। हालाँकि, इकाई को प्रतिस्थापित करके, हमने सुनिश्चित किया कि पहले कार्यकाल के लिए भी हमारा सूत्र काम करता है। अन्य मामलों में, सब कुछ केले के अंकगणित में आ गया।

टास्क नंबर 2. एक समांतर श्रेणी के प्रथम तीन पद लिखिए यदि इसका सातवाँ पद −40 है और इसका सत्रहवाँ पद −50 है।

समाधान। हम समस्या की स्थिति को सामान्य शब्दों में लिखते हैं:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और ((ए)_(7))=((ए)_(1))+6डी \\ और ((ए)_(17))=((ए) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और ((ए)_(1))+6d=-40 \\ और ((ए)_(1))+16d=-50 \\ \end(संरेखित करें) \सही।\]

मैंने सिस्टम का संकेत दिया है क्योंकि इन आवश्यकताओं को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। और अब हम ध्यान दें कि यदि हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाते हैं (हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि हमारे पास एक प्रणाली है), तो हमें यह मिलता है:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ और 10d=-10; \\&d=-1. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

ठीक उसी तरह, हमने प्रगति अंतर पाया! यह सिस्टम के किसी भी समीकरण में मिली संख्या को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है। उदाहरण के लिए, पहले में:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ए)_(1))=-40+6=-34. \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

अब, पहले पद और अंतर को जानने के बाद, दूसरे और तीसरे पदों को खोजना बाकी है:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

तैयार! समस्या हल हो गई।

उत्तर: (-34; -35; -36)

प्रगति की एक जिज्ञासु संपत्ति पर ध्यान दें जो हमने खोजा था: यदि हम $n$th और $m$th शब्द लेते हैं और उन्हें एक दूसरे से घटाते हैं, तो हमें प्रगति का अंतर $n-m$ संख्या से गुणा किया जाता है:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

एक सरल लेकिन बहुत उपयोगी संपत्ति जिसे आपको निश्चित रूप से जानना चाहिए - इसकी मदद से, आप कई प्रगति समस्याओं के समाधान में काफी तेजी ला सकते हैं। यहाँ इसका एक प्रमुख उदाहरण है:

टास्क नंबर 3. समांतर श्रेणी का पाँचवाँ पद 8.4 है, और इसका दसवाँ पद 14.4 है। इस प्रगति का पंद्रहवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूंकि $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, और हमें $((a)_(15))$ खोजने की जरूरत है, हम निम्नलिखित नोट करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(15))-((ए)_(10))=5डी; \\ और ((ए)_(10))-((ए)_(5))=5डी। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

लेकिन शर्त से $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, इसलिए $5d=6$, जहां से हमारे पास है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(15))-14,4=6; \\ और ((ए)_(15))=6+14.4=20.4। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

उत्तर: 20.4

बस इतना ही! हमें समीकरणों की कोई प्रणाली बनाने और पहले पद और अंतर की गणना करने की आवश्यकता नहीं थी - सब कुछ सिर्फ एक-दो पंक्तियों में तय किया गया था।

अब आइए एक अन्य प्रकार की समस्या पर विचार करें - प्रगति के नकारात्मक और सकारात्मक सदस्यों की खोज। यह कोई रहस्य नहीं है कि यदि प्रगति बढ़ती है, जबकि इसका पहला कार्यकाल नकारात्मक है, तो देर-सबेर इसमें सकारात्मक शब्द दिखाई देंगे। और इसके विपरीत: घटती प्रगति की शर्तें जल्द या बाद में नकारात्मक हो जाएंगी।

उसी समय, इस क्षण को "माथे पर" खोजना हमेशा संभव नहीं होता है, क्रमिक रूप से तत्वों के माध्यम से छांटना। अक्सर, कार्यों को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि फ़ार्मुलों को जाने बिना, गणना में कई शीट लग जाती हैं - हम तब तक सो जाते हैं जब तक हमें उत्तर नहीं मिल जाता। इसलिए, हम इन समस्याओं को तेजी से हल करने का प्रयास करेंगे।

टास्क नंबर 4. समांतर श्रेणी में कितने ऋणात्मक पद हैं -38.5; -35.8; ...?

समाधान। तो, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, जिससे हम तुरंत अंतर पाते हैं:

ध्यान दें कि अंतर सकारात्मक है, इसलिए प्रगति बढ़ रही है। पहला पद ऋणात्मक है, इसलिए वास्तव में किसी बिंदु पर हम सकारात्मक संख्याओं पर ठोकर खाएंगे। एकमात्र सवाल यह है कि ऐसा कब होगा।

आइए पता लगाने की कोशिश करें: कब तक (यानी, किस प्राकृतिक संख्या $n$ तक) शर्तों की नकारात्मकता संरक्षित है:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\बाएं(n-1 \दाएं)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10\दाएं। \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ और 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अंतिम पंक्ति को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। तो हम जानते हैं कि $n \lt 15\frac(7)(27)$। दूसरी ओर, संख्या के केवल पूर्णांक मान हमें सूट करेंगे (इसके अलावा: $n\in \mathbb(N)$), इसलिए सबसे बड़ी स्वीकार्य संख्या ठीक $n=15$ है, और किसी भी स्थिति में 16.

टास्क नंबर 5. अंकगणितीय प्रगति में $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$। इस प्रगति के पहले धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

यह ठीक वैसी ही समस्या होगी जैसी पिछली समस्या थी, लेकिन हम $((a)_(1))$ नहीं जानते हैं। लेकिन पड़ोसी शब्द ज्ञात हैं: $((a)_(5))$ और $((a)_(6))$, इसलिए हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

इसके अलावा, आइए मानक सूत्र का उपयोग करके पांचवें पद को पहले और अंतर के रूप में व्यक्त करने का प्रयास करें:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ और ((ए)_(5))=((ए)_(1))+4डी; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ और ((ए)_(1))=-150-12=-162। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अब हम पिछली समस्या के अनुरूप आगे बढ़ते हैं। हमें पता चलता है कि हमारे अनुक्रम में किस बिंदु पर सकारात्मक संख्याएँ दिखाई देंगी:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ और -162+3n-3 \gt 0; \\ और 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\दायां तीर ((n)_(\min ))=56. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इस असमानता का न्यूनतम पूर्णांक हल संख्या 56 है।

कृपया ध्यान दें कि पिछले कार्य में सब कुछ सख्त असमानता में कम हो गया था, इसलिए विकल्प $n=55$ हमें शोभा नहीं देगा।

अब जब हमने सीख लिया है कि सरल समस्याओं को कैसे हल किया जाए, तो आइए अधिक जटिल समस्याओं पर चलते हैं। लेकिन पहले, आइए अंकगणितीय प्रगति की एक और बहुत उपयोगी संपत्ति सीखते हैं, जो हमें भविष्य में बहुत समय और असमान कोशिकाओं को बचाएगा। :)

अंकगणित माध्य और समान इंडेंट

बढ़ती अंकगणितीय प्रगति $\left(((a)_(n)) \right)$ की लगातार कई शर्तों पर विचार करें। आइए उन्हें एक संख्या रेखा पर चिह्नित करने का प्रयास करें:

संख्या रेखा पर अंकगणितीय प्रगति सदस्य

मैंने विशेष रूप से मनमाने सदस्यों को नोट किया $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, और कोई $((a)_(1)) नहीं, \ ((ए)_(2)),\ ((ए)_(3))$ आदि। क्योंकि नियम, जो अब मैं आपको बताऊंगा, किसी भी "सेगमेंट" के लिए समान कार्य करता है।

और नियम बहुत सरल है। आइए पुनरावर्ती सूत्र को याद करें और इसे सभी चिह्नित सदस्यों के लिए लिखें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन-3))+डी; \\ और ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन-2))+डी; \\ और ((ए)_(एन))=((ए)_(एन-1))+डी; \\ और ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ और ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन+1))+डी; \\ \अंत (संरेखित करें)\]

हालाँकि, इन समानताओं को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन))-डी; \\ और ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन))-2डी; \\ और ((ए)_(एन-3))=((ए)_(एन)) -3 डी; \\ और ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ और ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2डी; \\ और ((ए)_(एन+3))=((ए)_(एन))+3डी; \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अच्छा, तो क्या? लेकिन तथ्य यह है कि शब्द $((a)_(n-1))$ और $((a)_(n+1))$ $((a)_(n)) $ से समान दूरी पर स्थित हैं . और यह दूरी $d$ के बराबर है। $((a)_(n-2))$ और $((a)_(n+2))$ शब्दों के बारे में भी यही कहा जा सकता है - उन्हें $((a)_(n) से भी हटा दिया जाता है। )$ समान दूरी से $2d$ के बराबर। आप अनिश्चित काल तक जारी रख सकते हैं, लेकिन चित्र अर्थ को अच्छी तरह से दिखाता है

प्रगति के सदस्य केंद्र से समान दूरी पर स्थित हैं

हमारे लिए इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि यदि आप पड़ोसी संख्याएं ज्ञात हैं तो आप $((a)_(n))$ पा सकते हैं:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

हमने एक शानदार बयान निकाला है: अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य पड़ोसी सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है! इसके अलावा, हम अपने $((a)_(n))$ से बाईं ओर और दाईं ओर एक कदम से नहीं, बल्कि $k$ चरणों से विचलित हो सकते हैं - और फिर भी सूत्र सही होगा:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

वे। अगर हम $((a)_(100))$ और $((a)_(200))$ जानते हैं तो हम आसानी से कुछ $((a)_(150))$ पा सकते हैं, क्योंकि $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$। पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह तथ्य हमें कुछ भी उपयोगी नहीं देता है। हालांकि, व्यवहार में, अंकगणित माध्य के उपयोग के लिए कई कार्यों को विशेष रूप से "तेज" किया जाता है। नज़र रखना:

टास्क नंबर 6. $x$ के सभी मान ज्ञात कीजिए कि संख्या $-6((x)^(2))$, $x+1$ और $14+4((x)^(2))$ लगातार सदस्य हैं एक अंकगणितीय प्रगति (निर्दिष्ट क्रम में)।

समाधान। चूंकि ये संख्याएं एक प्रगति के सदस्य हैं, उनके लिए अंकगणितीय माध्य स्थिति संतुष्ट है: केंद्रीय तत्व $x+1$ को पड़ोसी तत्वों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ और x+1=7-((x)^(2)); \\ और ((x)^(2))+x-6=0. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

परिणाम एक क्लासिक द्विघात समीकरण है। इसकी जड़ें: $x=2$ और $x=-3$ उत्तर हैं।

उत्तर: -3; 2.

टास्क नंबर 7. $$ का मान इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि संख्याएँ $-1;4-3;(()^(2))+1$ एक अंकगणितीय प्रगति (उस क्रम में) बनाती हैं।

समाधान। फिर से, हम मध्य पद को पड़ोसी पदों के अंकगणितीय माध्य के रूप में व्यक्त करते हैं:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ और 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\दाएं।; \\ और 8x-6=((x)^(2))+x; \\ और ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

एक और द्विघात समीकरण। और फिर से दो जड़ें: $x=6$ और $x=1$।

उत्तर 1; 6.

यदि किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया में आपको कुछ क्रूर संख्याएँ मिलती हैं, या आप पाए गए उत्तरों की शुद्धता के बारे में पूरी तरह से सुनिश्चित नहीं हैं, तो एक अद्भुत तरकीब है जो आपको जाँचने की अनुमति देती है: क्या हमने समस्या को सही ढंग से हल किया?

मान लें कि समस्या 6 में हमें उत्तर -3 और 2 मिले हैं। हम कैसे जांच सकते हैं कि ये उत्तर सही हैं? आइए बस उन्हें मूल स्थिति में प्लग करें और देखें कि क्या होता है। मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास तीन नंबर हैं ($-6(()^(2))$, $+1$ और $14+4(()^(2))$), जो एक अंकगणितीय प्रगति का निर्माण करना चाहिए। स्थानापन्न $x=-3$:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=-3\दायां तीर \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ और 14+4((x)^(2))=50. \end(संरेखित)\]

हमें संख्या -54 मिली; -2; 50 जो 52 से भिन्न है, निस्संदेह एक अंकगणितीय प्रगति है। $x=2$ के लिए भी यही बात होती है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=2\दायां तीर \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ और 14+4((x)^(2))=30. \end(संरेखित)\]

फिर से एक प्रगति, लेकिन 27 के अंतर के साथ। इस प्रकार, समस्या सही ढंग से हल हो गई है। जो चाहते हैं वे अपने आप दूसरे कार्य की जांच कर सकते हैं, लेकिन मैं तुरंत कहूंगा: वहां भी सब कुछ सही है।

सामान्य तौर पर, पिछली समस्याओं को हल करते समय, हमें एक और दिलचस्प तथ्य मिला, जिसे याद रखने की भी आवश्यकता है:

यदि तीन संख्याएँ ऐसी हैं कि दूसरी पहली और अंतिम का औसत है, तो ये संख्याएँ एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं।

भविष्य में, इस कथन को समझने से हम समस्या की स्थिति के आधार पर आवश्यक प्रगति का शाब्दिक रूप से "निर्माण" कर सकेंगे। लेकिन इससे पहले कि हम इस तरह के "निर्माण" में शामिल हों, हमें एक और तथ्य पर ध्यान देना चाहिए, जो सीधे पहले से ही माना जा चुका है।

तत्वों का समूहन और योग

चलिए फिर से संख्या रेखा पर चलते हैं। हम वहाँ प्रगति के कई सदस्यों को नोट करते हैं, जिनके बीच, शायद। कई अन्य सदस्यों के लायक:

संख्या रेखा पर 6 तत्व अंकित हैं

आइए $((a)_(n))$ और $d$ के संदर्भ में "बाएं पूंछ" को व्यक्त करने का प्रयास करें, और "दाएं पूंछ" को $((a)_(k))$ और $ के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास करें घ $। यह बहुत सरल है:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ और ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2डी; \\ और ((ए)_(के-1))=((ए)_(के))-डी; \\ और ((ए)_(के-2))=((ए)_(के))-2डी। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अब ध्यान दें कि निम्नलिखित योग बराबर हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन))+((ए)_(के))=एस; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= एस; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= एस। \end(संरेखित)\]

सीधे शब्दों में कहें, अगर हम प्रगति के दो तत्वों को एक शुरुआत के रूप में मानते हैं, जो कुल मिलाकर कुछ संख्या $S$ के बराबर हैं, और फिर हम इन तत्वों से विपरीत दिशाओं में कदम रखना शुरू करते हैं (एक दूसरे की ओर या इसके विपरीत दूर जाने के लिए), फिर जिन तत्वों पर हम ठोकर खाएंगे उनका योग भी बराबर होगा$ एस $। इसे ग्राफिक रूप से सबसे अच्छा दर्शाया जा सकता है:

वही इंडेंट बराबर रकम देते हैं

इस तथ्य को समझना हमें उन समस्याओं की तुलना में मौलिक रूप से उच्च स्तर की जटिलता की समस्याओं को हल करने की अनुमति देगा जिन्हें हमने ऊपर माना था। उदाहरण के लिए, ये:

टास्क नंबर 8. एक समान्तर श्रेणी का अंतर ज्ञात कीजिए जिसमें पहला पद 66 है, और दूसरे और बारहवें पदों का गुणनफल सबसे छोटा संभव है।

समाधान। आइए वह सब कुछ लिखें जो हम जानते हैं:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min । \end(संरेखित)\]

इसलिए, हम प्रगति $d$ के अंतर को नहीं जानते हैं। वास्तव में, संपूर्ण समाधान अंतर के आसपास बनाया जाएगा, क्योंकि उत्पाद $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)। \end(संरेखित)\]

टैंक में उन लोगों के लिए: मैंने दूसरे ब्रैकेट से सामान्य कारक 11 लिया है। इस प्रकार, वांछित उत्पाद चर $d$ के संबंध में एक द्विघात फलन है। इसलिए, फ़ंक्शन पर विचार करें $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - इसका ग्राफ शाखाओं के साथ एक परवलय होगा, क्योंकि यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

\[\प्रारंभ (संरेखण) और f\बाएं(डी \दाएं)=11\बाएं(((डी)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ और =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, उच्चतम पद के साथ गुणांक 11 है - यह एक सकारात्मक संख्या है, इसलिए हम वास्तव में शाखाओं के साथ एक परवलय के साथ काम कर रहे हैं:

द्विघात फलन का आलेख - परवलय

कृपया ध्यान दें: यह परवलय अपने शीर्ष पर भुज $((d)_(0))$ के साथ अपना न्यूनतम मान लेता है। बेशक, हम मानक योजना के अनुसार इस एब्सिस्सा की गणना कर सकते हैं (एक सूत्र है $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), लेकिन यह बहुत अधिक उचित होगा ध्यान दें कि वांछित शीर्ष परवलय के अक्ष समरूपता पर स्थित है, इसलिए बिंदु $((d)_(0))$ समीकरण की जड़ों से समान दूरी पर है $f\left(d \right)=0$:

\[\शुरू(संरेखित करें) और f\बाएं(डी\दाएं)=0; \\ और 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इसलिए मुझे कोष्ठक खोलने की कोई जल्दी नहीं थी: मूल रूप में, जड़ें बहुत, बहुत आसान थीं। इसलिए, भुज −66 और −6 की संख्याओं के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

\[((डी)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

हमें खोजा गया नंबर क्या देता है? इसके साथ, आवश्यक उत्पाद सबसे छोटा मूल्य लेता है (वैसे, हमने $((y)_(\min ))$ की गणना नहीं की - यह हमारे लिए आवश्यक नहीं है)। इसी समय, यह संख्या प्रारंभिक प्रगति का अंतर है, अर्थात। हमें जवाब मिल गया। :)

उत्तर:-36

टास्क नंबर 9. संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac(1)(6)$ के बीच तीन संख्याएं डालें ताकि दी गई संख्याओं के साथ मिलकर वे एक अंकगणितीय प्रगति करें।

समाधान। वास्तव में, हमें पहली और आखिरी संख्या के साथ पहले से ज्ञात पांच संख्याओं का अनुक्रम बनाने की आवश्यकता है। लापता संख्याओं को चर $x$, $y$ और $z$ द्वारा निरूपित करें:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\(-\frac(1)(2));x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

ध्यान दें कि संख्या $y$ हमारे अनुक्रम का "मध्य" है - यह संख्याओं $x$ और $z$ से समान दूरी पर है, और संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac से समान दूरी पर है। (1)(6)$। और अगर इस समय हम $x$ और $z$ संख्याओं से $y$ प्राप्त नहीं कर सकते हैं, तो प्रगति के अंत के साथ स्थिति अलग है। अंकगणित माध्य याद रखें:

अब, $y$ जानने के बाद, हम शेष संख्याएँ ज्ञात करेंगे। ध्यान दें कि $x$ $-\frac(1)(2)$ और $y=-\frac(1)(3)$ के बीच स्थित है। इसीलिए

इसी तरह तर्क करने पर, हम शेष संख्या पाते हैं:

तैयार! हमें तीनों नंबर मिले। आइए उन्हें उत्तर में उस क्रम में लिखें जिसमें उन्हें मूल संख्याओं के बीच डाला जाना चाहिए।

उत्तर: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

टास्क नंबर 10. संख्या 2 और 42 के बीच, कई संख्याएँ डालें, जो दी गई संख्याओं के साथ, एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं, यदि यह ज्ञात है कि सम्मिलित संख्याओं में से पहली, दूसरी और अंतिम संख्या का योग 56 है।

समाधान। एक और भी कठिन कार्य, जो, हालांकि, पिछले वाले की तरह ही हल किया जाता है - अंकगणितीय माध्य के माध्यम से। समस्या यह है कि हमें ठीक-ठीक पता नहीं है कि कितनी संख्याएँ सम्मिलित करनी हैं। इसलिए, निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि डालने के बाद बिल्कुल $n$ संख्याएं होंगी, और उनमें से पहला 2 है, और अंतिम 42 है। इस मामले में, वांछित अंकगणितीय प्रगति को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\( 2;((ए)_(2));((ए)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

ध्यान दें, हालांकि, संख्या $((a)_(2))$ और $((a)_(n-1))$ एक दूसरे की ओर एक कदम से किनारों पर खड़े संख्या 2 और 42 से प्राप्त की जाती हैं , यानी। अनुक्रम के केंद्र में। और इसका मतलब है कि

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

लेकिन फिर उपरोक्त अभिव्यक्ति को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(2))+((ए)_(3))+((ए)_(एन-1))=56; \\ और \बाएं(((ए)_(2))+((ए)_(एन-1)) \दाएं)+((ए)_(3))=56; \\ और 44+((ए)_(3))=56; \\ और ((ए)_(3))=56-44=12। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

$((a)_(3))$ और $((a)_(1))$ जानने के बाद, हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(3))-((ए)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ और 2d=10\दायां तीर d=5. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

यह केवल शेष सदस्यों को खोजने के लिए बनी हुई है:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(1))=2; \\ और ((ए)_(2))=2+5=7; \\ और ((ए)_(3))=12; \\ और ((ए)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ और ((ए)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ और ((ए)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ और ((ए)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ और ((ए)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ और ((ए)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इस प्रकार, पहले से ही 9 वें चरण में हम अनुक्रम के बाएं छोर पर आएंगे - संख्या 42। कुल मिलाकर, केवल 7 संख्याओं को सम्मिलित करना था: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

उत्तर: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

प्रगति के साथ पाठ कार्य

अंत में, मैं कुछ अपेक्षाकृत सरल समस्याओं पर विचार करना चाहूंगा। ठीक है, साधारण लोगों के रूप में: अधिकांश छात्रों के लिए जो स्कूल में गणित पढ़ते हैं और जो ऊपर लिखा है उसे नहीं पढ़ा है, ये कार्य एक इशारे की तरह लग सकते हैं। फिर भी, यह ठीक ऐसे कार्य हैं जो गणित में OGE और USE में आते हैं, इसलिए मेरा सुझाव है कि आप उनसे स्वयं को परिचित करें।

टास्क नंबर 11. टीम ने जनवरी में 62 भागों का उत्पादन किया, और प्रत्येक बाद के महीने में उन्होंने पिछले एक की तुलना में 14 अधिक भागों का उत्पादन किया। नवंबर में ब्रिगेड ने कितने पुर्जे तैयार किए?

समाधान। जाहिर है, महीने के हिसाब से चित्रित भागों की संख्या एक बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति होगी। और:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ और ((ए)_(एन))=62+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 14. \\ \end(align)\]

नवंबर साल का 11वां महीना है, इसलिए हमें $((a)_(11))$ खोजने की जरूरत है:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

इसलिए नवंबर में 202 पार्ट्स का निर्माण किया जाएगा।

टास्क नंबर 12. बुकबाइंडिंग वर्कशॉप ने जनवरी में 216 पुस्तकों को बाध्य किया, और हर महीने इसने पिछले महीने की तुलना में 4 अधिक पुस्तकों को बाध्य किया। वर्कशॉप ने दिसंबर में कितनी किताबें बांधीं?

समाधान। सब एक जैसे:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ और ((ए)_(एन))=216+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 4. \\ \end(align)$

दिसंबर साल का आखिरी, 12वां महीना है, इसलिए हम $((a)_(12))$ की तलाश कर रहे हैं:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ये है जवाब- 260 किताबें दिसंबर में बंधी होंगी।

ठीक है, अगर आपने इसे अब तक पढ़ा है, तो मैं आपको बधाई देने के लिए जल्दबाजी करता हूं: आपने अंकगणितीय प्रगति में "युवा लड़ाकू पाठ्यक्रम" को सफलतापूर्वक पूरा कर लिया है। हम सुरक्षित रूप से अगले पाठ पर आगे बढ़ सकते हैं, जहां हम प्रगति योग सूत्र का अध्ययन करेंगे, साथ ही इसके महत्वपूर्ण और बहुत उपयोगी परिणामों का भी अध्ययन करेंगे।

पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखना।

पाठ मकसद:

• अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके हल किए गए कार्यों के बारे में छात्रों के विचारों का विस्तार और गहनता; अंकगणितीय प्रगति के पहले n सदस्यों के योग के लिए सूत्र प्राप्त करते समय छात्रों की खोज गतिविधि का संगठन;
• नए ज्ञान को स्वतंत्र रूप से प्राप्त करने के लिए कौशल का विकास, कार्य को प्राप्त करने के लिए पहले से अर्जित ज्ञान का उपयोग करना;
• प्राप्त तथ्यों को सामान्य बनाने की इच्छा और आवश्यकता का विकास, स्वतंत्रता का विकास।

कार्य:

• "अंकगणित प्रगति" विषय पर मौजूदा ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण;
• अंकगणितीय प्रगति के पहले n सदस्यों के योग की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें;
• विभिन्न समस्याओं को हल करने में प्राप्त सूत्रों को लागू करना सिखाएं;
• संख्यात्मक व्यंजक का मान ज्ञात करने की प्रक्रिया की ओर विद्यार्थियों का ध्यान आकर्षित करें।

उपकरण:

• समूहों और जोड़ियों में काम के लिए कार्यों के साथ कार्ड;
• मूल्यांकन पत्र;
• प्रस्तुतीकरण"अंकगणितीय प्रगति"।

I. बुनियादी ज्ञान की प्राप्ति।

1. जोड़े में स्वतंत्र कार्य।

पहला विकल्प:

एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करें। एक पुनरावर्ती सूत्र लिखिए जो अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करता है। समांतर श्रेणी का एक उदाहरण दीजिए और इसका अंतर बताइए।

दूसरा विकल्प:

समांतर श्रेणी के nवें पद का सूत्र लिखिए। समांतर श्रेणी का 100वाँ पद ज्ञात कीजिए ( एक}: 2, 5, 8 …
इस समय बोर्ड के पीछे दो छात्र एक ही प्रश्न के उत्तर तैयार कर रहे हैं।
छात्र बोर्ड के साथ तुलना करके पार्टनर के काम का मूल्यांकन करते हैं। (उत्तरों के साथ पत्रक सौंपे जाते हैं)।

2. खेल पल।

अभ्यास 1।

शिक्षक।मैंने कुछ अंकगणितीय प्रगति की कल्पना की। मुझसे केवल दो प्रश्न पूछें ताकि उत्तर के बाद आप जल्दी से इस प्रगति के 7वें सदस्य का नाम बता सकें। (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

छात्रों से प्रश्न।

1. प्रगति का छठा पद क्या है और क्या अंतर है?
2. प्रगति का आठवां पद क्या है और क्या अंतर है?

यदि कोई और प्रश्न नहीं हैं, तो शिक्षक उन्हें उत्तेजित कर सकता है - d (अंतर) पर "प्रतिबंध", अर्थात यह पूछने की अनुमति नहीं है कि अंतर क्या है। आप प्रश्न पूछ सकते हैं: प्रगति का 6वाँ पद क्या है और प्रगति का 8वाँ पद क्या है?

कार्य 2.

बोर्ड पर 20 नंबर लिखे हैं: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

शिक्षक अपनी पीठ के साथ ब्लैकबोर्ड पर खड़ा है। छात्र नंबर की संख्या कहते हैं, और शिक्षक तुरंत नंबर पर ही कॉल करता है। समझाएं कि मैं इसे कैसे कर सकता हूं?

शिक्षक को nवें पद का सूत्र याद है ए एन \u003d 3n - 2और, n के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, संबंधित मान पाता है एक ।

द्वितीय. शैक्षिक कार्य का विवरण।

मैं मिस्र के पपीरी में पाई जाने वाली दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की एक पुरानी समस्या को हल करने का प्रस्ताव करता हूं।

एक कार्य:"आपको यह कहा जाए: जौ के 10 उपायों को 10 लोगों के बीच विभाजित करें, प्रत्येक व्यक्ति और उसके पड़ोसी के बीच का अंतर माप का 1/8 है।"

• यह समस्या अंकगणितीय प्रगति के विषय से कैसे संबंधित है? (प्रत्येक अगले व्यक्ति को माप का 1/8 अधिक मिलता है, इसलिए अंतर d=1/8, 10 लोग, इसलिए n=10 है।)
• आपको क्या लगता है संख्या 10 का क्या अर्थ है? (प्रगति के सभी सदस्यों का योग।)
• समस्या की स्थिति के अनुसार जौ को विभाजित करना आसान और सरल बनाने के लिए आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? (प्रगति का पहला कार्यकाल।)

पाठ उद्देश्य- उनकी संख्या, पहले पद और अंतर पर प्रगति की शर्तों के योग की निर्भरता प्राप्त करना और यह जांचना कि क्या प्राचीन काल में समस्या को सही ढंग से हल किया गया था।

सूत्र प्राप्त करने से पहले, आइए देखें कि प्राचीन मिस्रवासियों ने इस समस्या का समाधान कैसे किया।

और उन्होंने इसे इस तरह हल किया:

1) 10 उपाय: 10 = 1 उपाय - औसत हिस्सा;
2) 1 माप = 2 माप - दुगना औसतशेयर करना।
दोगुनी औसतशेयर पांचवें और छठे व्यक्ति के शेयरों का योग है।
3) 2 उपाय - 1/8 उपाय = 1 7/8 उपाय - पांचवें व्यक्ति के हिस्से का दोगुना।
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - पाँचवे हिस्से का हिस्सा; और इसी तरह, आप प्रत्येक पिछले और बाद के व्यक्ति का हिस्सा पा सकते हैं।

हमें अनुक्रम मिलता है:

III. कार्य का समाधान।

1. समूहों में काम करें

पहला समूह: 20 क्रमागत प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए : एस 20 \u003d (20 + 1) 10 \u003d 210।

सामान्य रूप में

द्वितीय समूह: 1 से 100 तक की प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए (लीजेंड ऑफ लिटिल गॉस)।

एस 100 \u003d (1 + 100) 50 \u003d 5050

निष्कर्ष:

तृतीय समूह: 1 से 21 तक की प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

हल: 1+21=2+20=3+19=4+18…

निष्कर्ष:

चतुर्थ समूह: 1 से 101 तक की प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

निष्कर्ष:

मानी गई समस्याओं को हल करने की इस पद्धति को "गॉस विधि" कहा जाता है।

2. प्रत्येक समूह बोर्ड पर समस्या का समाधान प्रस्तुत करता है।

3. एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति के लिए प्रस्तावित समाधानों का सामान्यीकरण:

ए 1, ए 2, ए 3,…, ए एन-2, ए एन-1, ए एन।
एस एन \u003d ए 1 + ए 2 + ए 3 + ए 4 + ... + ए एन -3 + ए एन -2 + ए एन -1 + ए एन।

हम इस राशि को इसी तरह तर्क देकर पाते हैं:

4. क्या हमने इस कार्य को हल कर लिया है?(हाँ।)

चतुर्थ। समस्याओं को हल करने में प्राप्त सूत्रों की प्राथमिक समझ और अनुप्रयोग।

1. सूत्र द्वारा किसी पुरानी समस्या के समाधान की जाँच करना।

2. विभिन्न समस्याओं को हल करने में सूत्र का अनुप्रयोग।

3. समस्याओं को हल करने में सूत्र को लागू करने की क्षमता के निर्माण के लिए व्यायाम।

ए) नंबर 613

दिया गया :( और n) -अंकगणितीय प्रगति;

(ए एन): 1, 2, 3, ..., 1500

पाना: एस 1500

समाधान: , और 1 = 1, और 1500 = 1500,

बी) दिया गया: ( और n) -अंकगणितीय प्रगति;
(और एन): 1, 2, 3, ...
एस एन = 210

पाना: एन
समाधान:

V. आपसी सत्यापन के साथ स्वतंत्र कार्य।

डेनिस एक कूरियर के रूप में काम करने गया था। पहले महीने में, उनका वेतन 200 रूबल था, बाद के प्रत्येक महीने में 30 रूबल की वृद्धि हुई। उसने एक साल में कितना कमाया?

दिया गया :( और n) -अंकगणितीय प्रगति;
ए 1 = 200, डी = 30, एन = 12
पाना: एस 12
समाधान:

उत्तर: डेनिस को वर्ष के लिए 4380 रूबल मिले।

VI. होमवर्क निर्देश।

1. पृष्ठ 4.3 - सूत्र की व्युत्पत्ति सीखें।
2. №№ 585, 623 .
3. एक समस्या की रचना करें जिसे अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के सूत्र का उपयोग करके हल किया जाएगा।

सातवीं। पाठ को सारांशित करना।

1. स्कोर शीट

2. वाक्य जारी रखें

• आज कक्षा में मैंने सीखा...
• सीखे हुए फॉर्मूले...
• मुझे लगता है कि …

3. क्या आप 1 से 500 तक की संख्याओं का योग ज्ञात कर सकते हैं? इस समस्या को हल करने के लिए आप किस विधि का प्रयोग करेंगे?

ग्रंथ सूची।

1. बीजगणित, 9वीं कक्षा। शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। ईडी। जी.वी. डोरोफीवा।मॉस्को: ज्ञानोदय, 2009।

माध्यमिक विद्यालय (ग्रेड 9) में बीजगणित का अध्ययन करते समय, महत्वपूर्ण विषयों में से एक संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन है, जिसमें प्रगति शामिल है - ज्यामितीय और अंकगणित। इस लेख में, हम एक अंकगणितीय प्रगति और समाधान के साथ उदाहरणों पर विचार करेंगे।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है?

इसे समझने के लिए विचाराधीन प्रगति की परिभाषा देना आवश्यक है, साथ ही मूल सूत्र देना भी आवश्यक है जो आगे चलकर समस्याओं को हल करने में काम आएगा।

एक अंकगणित या बीजगणितीय प्रगति क्रमित परिमेय संख्याओं का एक ऐसा समूह है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक से कुछ स्थिर राशि से भिन्न होता है। इस मान को अंतर कहा जाता है। अर्थात्, संख्याओं की क्रमबद्ध श्रृंखला और अंतर के किसी भी सदस्य को जानकर, आप संपूर्ण अंकगणितीय प्रगति को पुनर्स्थापित कर सकते हैं।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। संख्याओं का अगला क्रम एक अंकगणितीय प्रगति होगी: 4, 8, 12, 16, ..., क्योंकि इस मामले में अंतर 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) है। लेकिन संख्या 3, 5, 8, 12, 17 के सेट को अब विचाराधीन प्रगति के प्रकार के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि इसके लिए अंतर एक स्थिर मान नहीं है (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 17-12)।

महत्वपूर्ण सूत्र

अब हम मूल सूत्र देते हैं जो अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक होंगे। मान लीजिए कि n अनुक्रम के nवें सदस्य को निरूपित करता है, जहाँ n एक पूर्णांक है। अंतर को लैटिन अक्षर d द्वारा दर्शाया गया है। तब निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ सत्य हैं:

1. nवें पद का मान निर्धारित करने के लिए, सूत्र उपयुक्त है: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए: S n = (a n + a 1)*n/2.

कक्षा 9 में एक समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के किसी भी उदाहरण को समझने के लिए, इन दो सूत्रों को याद रखना पर्याप्त है, क्योंकि प्रश्न के प्रकार की कोई भी समस्या उनके उपयोग पर निर्मित होती है। इसके अलावा, यह न भूलें कि प्रगति अंतर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: d = a n - a n-1 ।

उदाहरण # 1: एक अज्ञात सदस्य ढूँढना

हम एक अंकगणितीय प्रगति और उन सूत्रों का एक सरल उदाहरण देते हैं जिनका उपयोग हल करने के लिए किया जाना चाहिए।

मान लीजिए कि अनुक्रम 10, 8, 6, 4, ... दिया गया है, इसमें पाँच पद ज्ञात करना आवश्यक है।

यह पहले से ही समस्या की शर्तों का अनुसरण करता है कि पहले 4 शब्द ज्ञात हैं। पांचवें को दो तरह से परिभाषित किया जा सकता है:

1. आइए पहले अंतर की गणना करें। हमारे पास है: डी = 8 - 10 = -2। इसी तरह, कोई भी दो अन्य पदों को एक दूसरे के बगल में खड़ा कर सकता है। उदाहरण के लिए, डी = 4 - 6 = -2। चूँकि यह ज्ञात है कि d \u003d a n - a n-1, फिर d \u003d a 5 - a 4, जहाँ से हमें मिलता है: a 5 \u003d a 4 + d। हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: a 5 = 4 + (-2) = 2।
2. दूसरी विधि के लिए भी प्रश्न में प्रगति के अंतर के ज्ञान की आवश्यकता होती है, इसलिए आपको पहले इसे निर्धारित करने की आवश्यकता है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है (डी = -2)। यह जानते हुए कि पहला पद a 1 = 10, हम अनुक्रम की n संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। हमारे पास है: ए एन \u003d (एन - 1) * डी + ए 1 \u003d (एन - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * एन। n = 5 को अंतिम व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a 5 = 12-2 * 5 = 2।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों समाधान एक ही परिणाम की ओर ले जाते हैं। ध्यान दें कि इस उदाहरण में प्रगति का अंतर d ऋणात्मक है। ऐसे अनुक्रमों को घटते हुए कहा जाता है क्योंकि प्रत्येक क्रमिक पद पिछले एक से कम होता है।

उदाहरण # 2: प्रगति अंतर

आइए अब कार्य को थोड़ा जटिल करें, उदाहरण दें कि कैसे

यह ज्ञात है कि कुछ में पहला पद 6 के बराबर है, और 7 वां पद 18 के बराबर है। अंतर को खोजना और इस क्रम को 7 वें पद पर पुनर्स्थापित करना आवश्यक है।

आइए अज्ञात शब्द निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: a n = (n - 1) * d + a 1 । हम स्थिति से ज्ञात डेटा को इसमें स्थानापन्न करते हैं, अर्थात संख्या 1 और 7, हमारे पास है: 18 \u003d 6 + 6 * d। इस व्यंजक से, आप आसानी से अंतर की गणना कर सकते हैं: d = (18 - 6) / 6 = 2। इस प्रकार, समस्या के पहले भाग का उत्तर दिया गया था।

7वें सदस्य के अनुक्रम को पुनर्स्थापित करने के लिए, आपको बीजगणितीय प्रगति की परिभाषा का उपयोग करना चाहिए, अर्थात्, 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, और इसी तरह। नतीजतन, हम पूरे अनुक्रम को पुनर्स्थापित करते हैं: एक 1 = 6, एक 2 = 6 + 2=8, एक 3 = 8 + 2 = 10, एक 4 = 10 + 2 = 12, एक 5 = 12 + 2 = 14 , एक 6 = 14 + 2 = 16 और 7 = 18।

उदाहरण #3: प्रगति करना

आइए समस्या की स्थिति को और भी जटिल करें। अब आपको इस प्रश्न का उत्तर देना है कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात की जाए। निम्नलिखित उदाहरण दिया जा सकता है: दो संख्याएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए, 4 और 5। बीजगणितीय प्रगति करना आवश्यक है ताकि इनके बीच तीन और शब्द रखे जा सकें।

इस समस्या को हल करने से पहले, यह समझना आवश्यक है कि भविष्य की प्रगति में दी गई संख्याएं किस स्थान पर होंगी। चूँकि उनके बीच तीन और शब्द होंगे, तो 1 \u003d -4 और 5 \u003d 5। इसे स्थापित करने के बाद, हम उस कार्य के लिए आगे बढ़ते हैं जो पिछले एक के समान है। फिर से, nवें पद के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है: a 5 \u003d a 1 + 4 * d। प्रेषक: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25। यहाँ अंतर एक पूर्णांक मान नहीं है, बल्कि यह एक परिमेय संख्या है, इसलिए बीजगणितीय प्रगति के सूत्र समान रहते हैं।

अब हम पाए गए अंतर को 1 में जोड़ते हैं और प्रगति के लापता सदस्यों को पुनर्स्थापित करते हैं। हमें मिलता है: ए 1 = - 4, ए 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, ए 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, ए 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, जो समस्या की स्थिति से मेल खाता है।

उदाहरण #4: प्रगति का पहला सदस्य

हम हल के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण देना जारी रखते हैं। पिछली सभी समस्याओं में, बीजीय प्रगति की पहली संख्या ज्ञात थी। अब एक अलग प्रकार की समस्या पर विचार करें: दो संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ एक 15 = 50 और एक 43 = 37 है। यह पता लगाना आवश्यक है कि यह क्रम किस संख्या से शुरू होता है।

अब तक जो सूत्र प्रयोग किए गए हैं वे 1 और d का ज्ञान ग्रहण करते हैं। समस्या की स्थिति में इन नंबरों के बारे में कुछ पता नहीं है। फिर भी, आइए प्रत्येक पद के लिए व्यंजक लिखें जिसके बारे में हमें जानकारी है: a 15 = a 1 + 14 * d और a 43 = a 1 + 42 * d। हमें दो समीकरण मिले जिनमें 2 अज्ञात मात्राएँ (a 1 और d) हैं। इसका मतलब है कि समस्या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम हो गई है।

निर्दिष्ट प्रणाली को हल करना सबसे आसान है यदि आप प्रत्येक समीकरण में 1 व्यक्त करते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्तियों की तुलना करते हैं। पहला समीकरण: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; दूसरा समीकरण: ए 1 \u003d ए 43 - 42 * डी \u003d 37 - 42 * डी। इन भावों की बराबरी करते हुए, हमें मिलता है: 50 - 14 * डी \u003d 37 - 42 * डी, जहाँ से अंतर d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (केवल 3 दशमलव स्थान दिए गए हैं)।

d को जानने के बाद, आप 1 के लिए ऊपर दिए गए 2 भावों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहला: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496।

यदि परिणाम के बारे में संदेह है, तो आप इसकी जांच कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति के 43 वें सदस्य को निर्धारित करें, जो कि स्थिति में निर्दिष्ट है। हमें मिलता है: एक 43 \u003d ए 1 + 42 * डी \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008। एक छोटी सी त्रुटि इस तथ्य के कारण है कि गणनाओं में पूर्णांकन से हज़ारवें भाग का उपयोग किया गया था।

उदाहरण #5: योग

आइए अब एक अंकगणितीय प्रगति के योग के समाधान के साथ कुछ उदाहरण देखें।

मान लीजिए कि निम्नलिखित रूप की संख्यात्मक प्रगति दी गई है: 1, 2, 3, 4, ...,। इन संख्याओं में से 100 के योग की गणना कैसे करें?

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के लिए धन्यवाद, इस समस्या को हल किया जा सकता है, अर्थात्, क्रमिक रूप से सभी नंबरों को जोड़ दें, जो कि जैसे ही कोई व्यक्ति एंटर कुंजी दबाता है, कंप्यूटर करेगा। हालाँकि, समस्या को मानसिक रूप से हल किया जा सकता है यदि आप ध्यान दें कि संख्याओं की प्रस्तुत श्रृंखला एक बीजगणितीय प्रगति है, और इसका अंतर 1 है। योग के सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस समस्या को "गॉसियन" कहा जाता है, क्योंकि 18 वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रसिद्ध जर्मन, अभी भी केवल 10 वर्ष की आयु में, कुछ ही सेकंड में इसे अपने दिमाग में हल करने में सक्षम था। लड़के को बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र नहीं पता था, लेकिन उसने देखा कि यदि आप अनुक्रम के किनारों पर स्थित संख्याओं के जोड़े जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक ही परिणाम मिलता है, अर्थात 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., और चूंकि ये योग ठीक 50 (100 / 2) होंगे, तो सही उत्तर प्राप्त करने के लिए, 50 को 101 से गुणा करना पर्याप्त है।

उदाहरण #6: n से m . तक के पदों का योग

अंकगणितीय प्रगति के योग का एक अन्य विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित है: संख्याओं की एक श्रृंखला दी गई है: 3, 7, 11, 15, ..., आपको यह पता लगाना होगा कि 8 से 14 तक के पदों का योग क्या होगा।

समस्या का समाधान दो तरह से होता है। उनमें से पहले में 8 से 14 तक अज्ञात शब्दों को खोजना और फिर उन्हें क्रमिक रूप से जोड़ना शामिल है। चूंकि कुछ शब्द हैं, इसलिए यह विधि पर्याप्त श्रमसाध्य नहीं है। फिर भी, इस समस्या को दूसरी विधि द्वारा हल करने का प्रस्ताव है, जो अधिक सार्वभौमिक है।

विचार m और n के बीच बीजीय प्रगति के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त करना है, जहां n> m पूर्णांक हैं। दोनों स्थितियों के लिए, हम योग के लिए दो व्यंजक लिखते हैं:

1. एस एम \u003d एम * (ए एम + ए 1) / 2।
2. एस एन \u003d एन * (ए एन + ए 1) / 2।

चूंकि n > m, यह स्पष्ट है कि 2 योग में पहली राशि शामिल है। अंतिम निष्कर्ष का अर्थ है कि यदि हम इन योगों के बीच के अंतर को लेते हैं, और इसमें शब्द m जोड़ते हैं (अंतर लेने की स्थिति में, इसे योग S n से घटाया जाता है), तो हमें समस्या का आवश्यक उत्तर मिलता है। हमारे पास है: एस एमएन \u003d एस एन - एस एम + ए एम \u003d एन * (ए 1 + ए एन) / 2 - एम * (ए 1 + ए एम) / 2 + ए एम \u003d ए 1 * (एन - एम) / 2 + ए एन * एन / 2 + ए एम * (1- एम / 2)। इस व्यंजक में n और m के लिए सूत्रों को स्थानापन्न करना आवश्यक है। तब हम प्राप्त करते हैं: एस एमएन = ए 1 * (एन - एम) / 2 + एन * (ए 1 + (एन -1) * डी) / 2 + (ए 1 + (एम -1) * डी) * (1 - एम / 2) = ए 1 * (एन - एम + 1) + डी * एन * (एन -1) / 2 + डी * (3 * एम - एम 2 - 2) / 2।

परिणामी सूत्र कुछ बोझिल है, हालांकि, योग S mn केवल n, m, a 1 और d पर निर्भर करता है। हमारे मामले में, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S mn = 301।

जैसा कि उपरोक्त समाधानों से देखा जा सकता है, सभी समस्याएँ nवें पद के व्यंजक के ज्ञान और प्रथम पदों के समुच्चय के योग के सूत्र पर आधारित हैं। इससे पहले कि आप इनमें से किसी भी समस्या को हल करना शुरू करें, यह अनुशंसा की जाती है कि आप शर्त को ध्यान से पढ़ें, स्पष्ट रूप से समझें कि आप क्या खोजना चाहते हैं, और उसके बाद ही समाधान के साथ आगे बढ़ें।

एक और युक्ति सरलता के लिए प्रयास करना है, अर्थात, यदि आप जटिल गणितीय गणनाओं का उपयोग किए बिना प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, तो आपको बस यही करने की आवश्यकता है, क्योंकि इस मामले में गलती करने की संभावना कम है। उदाहरण के लिए, समाधान संख्या 6 के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण में, कोई सूत्र S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, पर रुक सकता है। और सामान्य कार्य को अलग-अलग उप-कार्यों में विभाजित करें (इस मामले में, पहले n और m शब्द खोजें)।

यदि परिणाम के बारे में संदेह है, तो इसकी जांच करने की सिफारिश की जाती है, जैसा कि दिए गए कुछ उदाहरणों में किया गया था। एक अंकगणितीय प्रगति कैसे खोजें, पता चला। एक बार जब आप इसे समझ लेते हैं, तो यह इतना कठिन नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम \(2\); \(5\); \(आठ\); \(ग्यारह\); \(14\)… एक अंकगणितीय प्रगति है, क्योंकि प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से तीन से भिन्न होता है (पिछले एक से तीन जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है):

इस प्रगति में, अंतर \(d\) धनात्मक (\(3\) के बराबर) है, और इसलिए प्रत्येक अगला पद पिछले एक से बड़ा है। ऐसी प्रगति कहलाती है की बढ़ती.

हालाँकि, \(d\) एक ऋणात्मक संख्या भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति में \(16\); \(दस\); \(चार\); \(-2\); \(-8\)… प्रगति अंतर \(d\) शून्य से छह के बराबर है।

और इस मामले में, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से छोटा होगा। इन प्रगतियों को कहा जाता है घटते.

अंकगणित प्रगति संकेतन

प्रगति को एक छोटे लैटिन अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

वे संख्याएँ जो एक प्रगति का निर्माण करती हैं, कहलाती हैं I सदस्यों(या तत्व)।

उन्हें अंकगणितीय प्रगति के समान अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है, लेकिन क्रम में तत्व संख्या के बराबर संख्यात्मक सूचकांक के साथ।

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) में तत्व होते हैं \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) इत्यादि।

दूसरे शब्दों में, प्रगति के लिए \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

अंकगणितीय प्रगति पर समस्याओं को हल करना

सिद्धांत रूप में, उपरोक्त जानकारी पहले से ही एक अंकगणितीय प्रगति पर लगभग किसी भी समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त है (ओजीई में प्रस्तावित सहित)।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(b_1=7; d=4\) द्वारा दी गई है। \(b_5\) खोजें।
समाधान:

उत्तर: \(b_5=23\)

उदाहरण (ओजीई)। एक समांतर श्रेणी के पहले तीन पद दिए गए हैं: \(62; 49; 36…\) इस प्रगति के पहले ऋणात्मक पद का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान:

	हमें अनुक्रम के पहले तत्व दिए गए हैं और जानते हैं कि यह एक अंकगणितीय प्रगति है। अर्थात्, प्रत्येक तत्व पड़ोसी से समान संख्या में भिन्न होता है। अगले तत्व से पिछले वाले को घटाकर पता लगाएं: \(d=49-62=-13\)।
	अब हम अपनी प्रगति को वांछित (पहले नकारात्मक) तत्व में पुनर्स्थापित कर सकते हैं।
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं।

उत्तर: \(-3\)

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति के कई क्रमिक तत्व दिए गए हैं: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) अक्षर द्वारा निरूपित तत्व का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान:

	\(x\) को खोजने के लिए, हमें यह जानना होगा कि अगला तत्व पिछले एक से कितना भिन्न है, दूसरे शब्दों में, प्रगति अंतर। आइए इसे दो ज्ञात पड़ोसी तत्वों से खोजें: \(d=12.5-10=2.5\)।
	और अब हम बिना किसी समस्या के वह पाते हैं जो हम खोज रहे हैं: \(x=5+2.5=7.5\)।
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं।

उत्तर: \(7,5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति निम्नलिखित शर्तों द्वारा दी गई है: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) इस प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

	हमें प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात करना होगा। लेकिन हम उनका अर्थ नहीं जानते हैं, हमें केवल पहला तत्व दिया गया है। इसलिए, हम पहले हमें दिए गए मानों का उपयोग करके बदले में मूल्यों की गणना करते हैं: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) और हमें आवश्यक छह तत्वों की गणना करने के बाद, हम उनका योग पाते हैं।
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	मांगी गई राशि मिल गई है।

उत्तर: \(S_6=9\)।

उदाहरण (ओजीई)। समांतर श्रेणी में \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\)। इस प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \(डी=7\)।

महत्वपूर्ण अंकगणितीय प्रगति सूत्र

जैसा कि आप देख सकते हैं, कई अंकगणितीय प्रगति समस्याओं को केवल मुख्य बात को समझकर हल किया जा सकता है - कि एक अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है, और इस श्रृंखला में प्रत्येक अगला तत्व समान संख्या को पिछले एक में जोड़कर प्राप्त किया जाता है (अंतर प्रगति के)।

हालांकि, कभी-कभी ऐसी स्थितियां होती हैं जब "माथे पर" हल करना बहुत असुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि पहले उदाहरण में, हमें पाँचवाँ तत्व \(b_5\) नहीं, बल्कि तीन सौ छियासी \(b_(386)\) खोजने की आवश्यकता है। यह क्या है, हम \ (385 \) बार चार जोड़ने के लिए? या कल्पना कीजिए कि अंतिम उदाहरण में, आपको पहले सत्तर-तीन तत्वों का योग ज्ञात करना होगा। काउंटिंग उलझी हुई है...

इसलिए, ऐसे मामलों में, वे "माथे पर" हल नहीं करते हैं, लेकिन अंकगणितीय प्रगति के लिए प्राप्त विशेष सूत्रों का उपयोग करते हैं। और मुख्य हैं प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र और पहले पदों के योग \(n\) के लिए सूत्र।

\(n\)वें सदस्य के लिए सूत्र: \(a_n=a_1+(n-1)d\), जहां \(a_1\) प्रगति का पहला सदस्य है;
\(n\) - आवश्यक तत्व की संख्या;
\(a_n\) संख्या \(n\) के साथ प्रगति का सदस्य है।

यह सूत्र हमें केवल पहले और प्रगति अंतर को जानकर, कम से कम तीन सौवां, यहां तक ​​​​कि दसवां तत्व भी जल्दी से खोजने की अनुमति देता है।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है: \(b_1=-159\); \(डी=8,2\)। \(b_(246)\) खोजें।
समाधान:

उत्तर: \(b_(246)=1850\)।

पहले n पदों के योग का सूत्र है: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), जहां

\(a_n\) अंतिम योग शब्द है;

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(a_n=3.4n-0.6\) द्वारा दी गई है। इस प्रगति के पहले \(25\) पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		पहले पच्चीस तत्वों के योग की गणना करने के लिए, हमें पहले और पच्चीसवें पद का मान जानना होगा। हमारी प्रगति इसकी संख्या के आधार पर nवें पद के सूत्र द्वारा दी गई है (विवरण देखें)। आइए \(n\) को एक के साथ बदलकर पहले तत्व की गणना करें।
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		अब \(n\) के स्थान पर पच्चीस को प्रतिस्थापित करके पच्चीसवाँ पद ज्ञात करते हैं।
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		खैर, अब हम बिना किसी समस्या के आवश्यक राशि की गणना करते हैं।
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		जवाब तैयार है।

उत्तर: \(एस_(25)=1090\)।

पहली शर्तों के योग \(n\) के लिए, आप एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: आपको बस \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ की आवश्यकता है। (\cdot 25\ ) के बजाय \(a_n\) इसके लिए सूत्र को प्रतिस्थापित करें \(a_n=a_1+(n-1)d\)। हम पाते हैं:

पहले n पदों के योग का सूत्र है: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), जहां

\(S_n\) - पहले तत्वों का आवश्यक योग \(n\);
\(a_1\) पहला पद है जिसका योग किया जाना है;
\(डी\) - प्रगति अंतर;
\(n\) - योग में तत्वों की संख्या।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति के पहले \(33\)-पूर्व पदों का योग ज्ञात कीजिए: \(17\); \(15,5\); \(चौदह\)…
समाधान:

उत्तर: \(एस_(33)=-231\)।

अधिक जटिल अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं

अब आपके पास लगभग किसी भी अंकगणितीय प्रगति समस्या को हल करने के लिए आवश्यक सभी जानकारी है। आइए उन समस्याओं पर विचार करके विषय समाप्त करें जिनमें आपको न केवल सूत्र लागू करने की आवश्यकता है, बल्कि थोड़ा सोचना भी है (गणित में, यह उपयोगी हो सकता है ☺)

उदाहरण (ओजीई)। प्रगति के सभी ऋणात्मक पदों का योग ज्ञात कीजिए: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
समाधान:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		कार्य पिछले एक के समान ही है। हम उसी तरह हल करना शुरू करते हैं: पहले हम \(d\) पाते हैं।
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		अब हम योग के सूत्र में \(d\) को प्रतिस्थापित करेंगे ... और यहां एक छोटी सी बारीकियां सामने आती हैं - हम नहीं जानते \(n\)। दूसरे शब्दों में, हम नहीं जानते कि कितने शब्दों को जोड़ने की आवश्यकता होगी। कैसे पता करें? हमें सोचना चाहिए। जब हम पहले सकारात्मक तत्व पर पहुंचेंगे तो हम तत्वों को जोड़ना बंद कर देंगे। यही है, आपको इस तत्व की संख्या का पता लगाना होगा। कैसे? आइए अंकगणितीय प्रगति के किसी भी तत्व की गणना के लिए सूत्र लिखें: \(a_n=a_1+(n-1)d\) हमारे मामले के लिए।
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		शून्य से बड़ा होने के लिए हमें \(a_n\) की आवश्यकता है। आइए जानें कि यह किस लिए \(n\) होगा।
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		हम असमानता के दोनों पक्षों को \(0,3\) से विभाजित करते हैं।
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		हम माइनस वन ट्रांसफर करते हैं, संकेत बदलना नहीं भूलते
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		कम्प्यूटिंग...
\(n>65,333…\)		...और यह पता चला है कि पहले सकारात्मक तत्व की संख्या \(66\) होगी। तदनुसार, अंतिम ऋणात्मक में \(n=65\) है। बस मामले में, आइए इसे देखें।
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		इस प्रकार, हमें पहले \(65\) तत्वों को जोड़ने की जरूरत है।
\(एस_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		जवाब तैयार है।

उत्तर: \(एस_(65)=-630.5\)।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\)। \(26\)वें से \(42\) तक के योग का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	इस समस्या में, आपको तत्वों का योग भी खोजना होगा, लेकिन पहले से नहीं, बल्कि \(26\)वें से शुरू करना होगा। हमारे पास इसका कोई फॉर्मूला नहीं है। कैसे तय करें? आसान - \(26\)th से \(42\)th तक का योग प्राप्त करने के लिए, आपको पहले \(1\)th से \(42\)th तक का योग निकालना होगा, और फिर उसमें से योग को घटाना होगा पहले से \ (25 \) वें (चित्र देखें)।
	हमारी प्रगति \(a_1=-33\), और अंतर \(d=4\) के लिए (आखिरकार, हम अगले तत्व को खोजने के लिए पिछले तत्व में चार जोड़ते हैं)। यह जानने के बाद, हम पहले \(42\)-उह तत्वों का योग पाते हैं।
\(एस_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	अब पहले \(25\)-वें तत्वों का योग।
\(एस_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	और अंत में, हम उत्तर की गणना करते हैं।
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

उत्तर: \(एस=1683\)।

अंकगणितीय प्रगति के लिए, कई और सूत्र हैं जिन पर हमने उनकी कम व्यावहारिक उपयोगिता के कारण इस लेख में विचार नहीं किया है। हालाँकि, आप उन्हें आसानी से पा सकते हैं।

सूत्र का सार क्या है?

यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोई उनके नंबर से" एन" .

बेशक, आपको पहला टर्म जानने की जरूरत है एक 1और प्रगति अंतर डी, ठीक है, इन मापदंडों के बिना, आप एक विशिष्ट प्रगति नहीं लिख सकते।

इस सूत्र को याद रखना (या धोखा देना) पर्याप्त नहीं है। इसके सार को आत्मसात करना और सूत्र को विभिन्न कार्यों में लागू करना आवश्यक है। हाँ, और सही समय पर मत भूलना, हाँ...) कैसे भूलना नहीं- मुझे नहीं पता। परंतु कैसे याद रखेंयदि आवश्यक हो तो मैं आपको एक संकेत दूंगा। उन लोगों के लिए जो अंत तक पाठ में महारत हासिल करते हैं।)

तो, आइए अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र से निपटें।

सामान्य रूप से एक सूत्र क्या है - हम कल्पना करते हैं।) एक अंकगणितीय प्रगति क्या है, एक सदस्य संख्या, एक प्रगति अंतर - पिछले पाठ में स्पष्ट रूप से कहा गया है। अगर आपने नहीं पढ़ा है तो देख लीजिए। वहां सब कुछ सरल है। यह पता लगाना बाकी है क्या वां सदस्य।

सामान्य तौर पर प्रगति को संख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5, .....

एक 1- अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को दर्शाता है, एक 3- तीसरा सदस्य एक 4- चौथा, और इसी तरह। यदि हम पांचवें कार्यकाल में रुचि रखते हैं, तो मान लें कि हम साथ काम कर रहे हैं एक 5, अगर एक सौ बीसवां - से एक 120.

सामान्य रूप से कैसे परिभाषित करें कोईअंकगणितीय प्रगति का सदस्य, s कोईसंख्या? बहुत आसान! ऐशे ही:

एक

यह वही है अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य।अक्षर n के तहत सदस्यों की सभी संख्याएँ एक साथ छिपी हुई हैं: 1, 2, 3, 4, और इसी तरह।

और ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? जरा सोचिए, उन्होंने एक नंबर की जगह एक लेटर लिख दिया...

यह अंकन हमें अंकगणितीय प्रगति के साथ काम करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण देता है। नोटेशन का उपयोग करना एक, हम जल्दी से पा सकते हैं कोईसदस्य कोईअंकगणितीय प्रगति। और कार्यों का एक गुच्छा प्रगति में हल करने के लिए। आप आगे देखेंगे।

अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य के सूत्र में:

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

एक 1- अंकगणितीय प्रगति का पहला सदस्य;

एन- सदस्य संख्या।

सूत्र किसी भी प्रगति के प्रमुख मापदंडों को जोड़ता है: एक ; एक 1 ; डीतथा एन. इन मापदंडों के इर्द-गिर्द, सभी पहेलियाँ प्रगति में घूमती हैं।

एक विशिष्ट प्रगति लिखने के लिए nवें पद के सूत्र का भी उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या में यह कहा जा सकता है कि प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

ए एन = 5 + (एन -1) 2.

ऐसी समस्या भ्रमित भी कर सकती है ... कोई श्रृंखला नहीं है, कोई अंतर नहीं है ... लेकिन, सूत्र के साथ स्थिति की तुलना करना, यह पता लगाना आसान है कि इस प्रगति में ए 1 \u003d 5, और डी \u003d 2.

और यह और भी गुस्सा हो सकता है!) अगर हम एक ही शर्त लेते हैं: ए एन = 5 + (एन -1) 2,हाँ, कोष्ठक खोलिए और समान संख्याएँ दीजिए? हमें एक नया सूत्र मिलता है:

एक = 3 + 2n।

यह केवल सामान्य नहीं, बल्कि एक विशिष्ट प्रगति के लिए। यहीं पर घाटा है। कुछ लोग सोचते हैं कि पहला पद तीन है। हालांकि वास्तव में पहला सदस्य पांच है ... थोड़ा कम हम ऐसे संशोधित फॉर्मूले के साथ काम करेंगे।

प्रगति के कार्यों में एक और संकेतन है - एक एन+1. यह है, आपने अनुमान लगाया है, प्रगति का "एन प्लस पहला" शब्द। इसका अर्थ सरल और हानिरहित है।) यह प्रगति का सदस्य है, जिसकी संख्या संख्या n से एक से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि किसी समस्या में हम लेते हैं एकपाँचवाँ कार्यकाल, फिर एक एन+1छठे सदस्य होंगे। आदि।

अक्सर पदनाम एक एन+1पुनरावर्ती सूत्रों में होता है। इस भयानक शब्द से डरो मत!) यह एक अंकगणितीय प्रगति के शब्द को व्यक्त करने का एक तरीका है पिछले एक के माध्यम से।मान लीजिए कि हमें आवर्तक सूत्र का उपयोग करके इस रूप में एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

एक एन+1 = एक एन +3

ए 2 = ए 1 + 3 = 5+3 = 8

ए 3 = ए 2 + 3 = 8+3 = 11

चौथा - तीसरे के माध्यम से, पांचवें - चौथे के माध्यम से, और इसी तरह। और तुरंत कैसे गिनें, बीसवाँ पद कहें, एक 20? लेकिन कोई रास्ता नहीं!) जबकि 19वां पद ज्ञात नहीं है, 20वीं की गणना नहीं की जा सकती है। यह पुनरावर्ती सूत्र और nवें पद के सूत्र के बीच मूलभूत अंतर है। रिकर्सिव केवल के माध्यम से काम करता है पिछलापद, और nवें पद का सूत्र - के माध्यम से सबसे पहलाऔर अनुमति देता है तुरंतकिसी भी सदस्य को उसके नंबर से खोजें। संख्याओं की पूरी श्रृंखला को क्रम में नहीं गिनना।

एक अंकगणितीय प्रगति में, एक पुनरावर्ती सूत्र को आसानी से एक नियमित सूत्र में बदला जा सकता है। लगातार पदों की एक जोड़ी की गणना करें, अंतर की गणना करें डी,खोजें, यदि आवश्यक हो, तो पहला पद एक 1, सूत्र को सामान्य रूप में लिखें, और उसके साथ कार्य करें। GIA में, ऐसे कार्य अक्सर पाए जाते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र का अनुप्रयोग।

सबसे पहले, आइए सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को देखें। पिछले पाठ के अंत में एक समस्या थी:

एक अंकगणितीय प्रगति (ए एन) को देखते हुए। यदि a 1 =3 और d=1/6 हो तो 121 ज्ञात कीजिए।

इस समस्या को बिना किसी सूत्र के हल किया जा सकता है, केवल अंकगणितीय प्रगति के अर्थ के आधार पर। जोड़ें, हाँ जोड़ें ... एक या दो घंटे।)

और सूत्र के अनुसार घोल में एक मिनट से भी कम समय लगेगा। आप इसे समय दे सकते हैं।) हम तय करते हैं।

शर्तें सूत्र का उपयोग करने के लिए सभी डेटा प्रदान करती हैं: ए 1 \u003d 3, डी \u003d 1/6।यह देखना बाकी है क्या एन।कोई बात नहीं! हमें खोजने की जरूरत है एक 121. यहाँ हम लिखते हैं:

ध्यान दीजिए! एक सूचकांक के बजाय एनएक विशिष्ट संख्या दिखाई दी: 121. जो काफी तार्किक है।) हम अंकगणितीय प्रगति के सदस्य में रुचि रखते हैं नंबर एक सौ इक्कीस।यह हमारा होगा एन।यही अर्थ है एन= 121 हम आगे सूत्र में, कोष्ठकों में प्रतिस्थापित करेंगे। सूत्र में सभी संख्याओं को रखें और गणना करें:

ए 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

यही सब है इसके लिए। जितनी जल्दी कोई पांच सौ दसवां सदस्य, और एक हजार और तीसरा, कोई भी ढूंढ सकता है। हम इसके बजाय डालते हैं एनपत्र के सूचकांक में वांछित संख्या " एक"और कोष्ठक में, और हम विचार करते हैं।

मैं आपको सार याद दिलाता हूं: यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोईएक अंकगणितीय प्रगति की अवधि उनके नंबर से" एन" .

आइए समस्या को बेहतर तरीके से हल करें। मान लें कि हमें निम्नलिखित समस्या है:

समांतर श्रेणी (a n) का पहला पद ज्ञात कीजिए यदि a 17 =-2; डी = -0.5।

यदि आपको कोई कठिनाई है, तो मैं पहला कदम सुझाऊंगा। एक समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र लिखिए!हाँ हाँ। हाथ से लिखें, ठीक अपनी नोटबुक में:

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

और अब, सूत्र के अक्षरों को देखते हुए, हम समझते हैं कि हमारे पास क्या डेटा है और क्या गायब है? उपलब्ध घ = -0.5,सत्रहवाँ सदस्य है ... सब कुछ? अगर आपको लगता है कि बस इतना ही है, तो आप समस्या का समाधान नहीं कर सकते, हाँ...

हमारा भी एक नंबर है एन! हालत में एक 17 = -2छुपे हुए दो विकल्प।यह सत्रहवें सदस्य (-2) और इसकी संख्या (17) दोनों का मान है। वे। एन = 17।यह "छोटी बात" अक्सर सिर के पीछे से निकल जाती है, और इसके बिना, ("छोटी बात" के बिना, सिर नहीं!) समस्या हल नहीं हो सकती है। हालांकि ... और बिना सिर के भी।)

अब हम मूर्खतापूर्ण तरीके से अपने डेटा को सूत्र में बदल सकते हैं:

ए 17 \u003d ए 1 + (17-1) (-0.5)

ओह हां, एक 17हम जानते हैं कि यह -2 है। ठीक है, चलो इसे डालते हैं:

-2 \u003d ए 1 + (17-1) (-0.5)

वह, संक्षेप में, सब कुछ है। यह सूत्र से अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को व्यक्त करने और गणना करने के लिए बनी हुई है। आपको उत्तर मिलता है: ए 1 = 6.

ऐसी तकनीक - एक सूत्र लिखना और केवल ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करना - सरल कार्यों में बहुत मदद करता है। ठीक है, आपको निश्चित रूप से एक सूत्र से एक चर व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन क्या करना है!? इस कौशल के बिना गणित की पढ़ाई बिल्कुल भी नहीं हो सकती...

एक और लोकप्रिय समस्या:

समांतर श्रेणी (a n) का अंतर ज्ञात कीजिए यदि a 1 =2; एक 15 = 12।

हम क्या कर रहे हैं? आपको आश्चर्य होगा, हम सूत्र लिखते हैं!)

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

विचार करें कि हम क्या जानते हैं: ए 1 = 2; एक 15 =12; और (विशेष हाइलाइट!) एन = 15। सूत्र में स्थानापन्न करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें:

12=2 + (15-1)डी

चलो अंकगणित करते हैं।)

12=2 + 14डी

डी=10/14 = 5/7

यह सही जवाब है।

तो, कार्य एक एन, एक 1तथा डीनिर्णय लिया। यह सीखना बाकी है कि संख्या कैसे प्राप्त करें:

संख्या 99 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 =12; घ = 3. इस सदस्य की संख्या ज्ञात कीजिए।

हम ज्ञात मात्राओं को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

ए एन = 12 + (एन -1) 3

पहली नज़र में, यहाँ दो अज्ञात मात्राएँ हैं: एक एन और एन।परंतु एकसंख्या के साथ प्रगति का कुछ सदस्य है एन... और प्रगति के इस सदस्य को हम जानते हैं! यह 99 है। हमें उसका नंबर नहीं पता। एन,इसलिए इस नंबर को भी खोजने की जरूरत है। प्रगति पद 99 को सूत्र में बदलें:

99 = 12 + (एन -1) 3

हम सूत्र से व्यक्त करते हैं एन, हमें लगता है कि। हमें उत्तर मिलता है: एन = 30।

और अब एक ही विषय पर एक समस्या, लेकिन अधिक रचनात्मक):

निर्धारित करें कि क्या संख्या 117 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य होगा:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

आइए फिर से सूत्र लिखें। क्या, कोई पैरामीटर नहीं हैं? हम्म... हमें आँखों की आवश्यकता क्यों है?) क्या हम प्रगति के पहले सदस्य को देखते हैं? हम देखते हैं। यह -3.6 है। आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं: ए 1 \u003d -3.6।अंतर डीश्रृंखला से निर्धारित किया जा सकता है? यह आसान है यदि आप जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति का अंतर क्या है:

डी = -2.4 - (-3.6) = 1.2

हां, हमने सबसे आसान काम किया। यह अज्ञात नंबर से निपटने के लिए बनी हुई है एनऔर एक समझ से बाहर की संख्या 117। पिछली समस्या में, कम से कम यह ज्ञात था कि यह प्रगति का शब्द था जो दिया गया था। लेकिन यहाँ हम यह भी नहीं जानते कि ... कैसे हो!? खैर, कैसे बनें, कैसे बनें... अपनी रचनात्मक क्षमताओं को चालू करें!)

हम मान लीजिएआखिरकार, 117 हमारी प्रगति का सदस्य है। एक अनजान नंबर के साथ एन. और, पिछली समस्या की तरह, आइए इस संख्या को खोजने का प्रयास करें। वे। हम सूत्र लिखते हैं (हाँ-हाँ!)) और अपनी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं:

117 = -3.6 + (एन-1) 1.2

फिर से हम सूत्र से व्यक्त करते हैंएन, हम गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

उफ़! नंबर निकला भिन्नात्मक!डेढ़ सौ। और प्रगति में भिन्नात्मक संख्याएं नहीं हो सकता।हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं? हाँ! संख्या 117 नहीं हैहमारी प्रगति के सदस्य। यह 101वें और 102वें सदस्यों के बीच कहीं है। यदि संख्या प्राकृतिक निकली, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक है, तो संख्या मिली संख्या के साथ प्रगति का सदस्य होगा। और हमारे मामले में, समस्या का उत्तर होगा: ना।

जीआईए के वास्तविक संस्करण पर आधारित कार्य:

अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

ए एन \u003d -4 + 6.8n

प्रगति के पहले और दसवें पद ज्ञात कीजिए।

यहां प्रगति को असामान्य तरीके से सेट किया गया है। किसी प्रकार का सूत्र ... होता है।) हालाँकि, यह सूत्र (जैसा कि मैंने ऊपर लिखा था) - अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य का सूत्र भी!वह भी अनुमति देती है प्रगति के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या से ज्ञात कीजिए।

हम पहले सदस्य की तलाश कर रहे हैं। वह जो सोचता है। कि पहला पद शून्य से चार है, मोटे तौर पर गलत है!) क्योंकि समस्या में सूत्र संशोधित है। इसमें अंकगणितीय प्रगति का पहला पद छुपे हुए।कुछ नहीं, हम इसे अभी खोज लेंगे।)

पिछले कार्यों की तरह, हम स्थानापन्न करते हैं एन = 1इस सूत्र में:

ए 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

यहां! पहला पद 2.8 है, -4 नहीं!

इसी तरह, हम दसवें पद की तलाश कर रहे हैं:

ए 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

यही सब है इसके लिए।

और अब, उन लोगों के लिए जिन्होंने इन पंक्तियों को पढ़ा है, वादा किया गया बोनस।)

मान लीजिए, जीआईए या एकीकृत राज्य परीक्षा की कठिन लड़ाई की स्थिति में, आप अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के उपयोगी सूत्र को भूल गए हैं। कुछ दिमाग में आता है, लेकिन किसी तरह अनिश्चित रूप से ... चाहे एनवहाँ, या एन+1, या एन-1...हो कैसे!?

शांत! यह सूत्र निकालना आसान है। बहुत सख्त नहीं है, लेकिन आत्मविश्वास और सही निर्णय के लिए निश्चित रूप से पर्याप्त है!) निष्कर्ष के लिए, अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को याद रखना और कुछ मिनटों का समय है। आपको बस एक तस्वीर खींचने की जरूरत है। विस्तृत जानकारी के लिए।

हम एक संख्यात्मक अक्ष खींचते हैं और उस पर पहले वाले को चिह्नित करते हैं। दूसरा, तीसरा, आदि सदस्य। और अंतर नोट करें डीसदस्यों के बीच। ऐशे ही:

हम चित्र को देखते हैं और सोचते हैं: दूसरा पद किसके बराबर है? दूसरा एक डी:

एक 2 =ए 1 + 1 डी

तीसरा कार्यकाल क्या है? तीसराटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है दो डी.

एक 3 =ए 1 + 2 डी

क्या आपको यह समझ आया? मैं कुछ शब्दों को बिना कुछ लिए बोल्ड में नहीं डालता। ठीक है, एक और कदम।)

चौथा पद क्या है? चौथीटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है तीन डी.

एक 4 =ए 1 + 3 डी

यह महसूस करने का समय है कि अंतराल की संख्या, अर्थात। डी, हमेशा आप जिस सदस्य की तलाश कर रहे हैं, उसकी संख्या से एक कम एन. यानी संख्या तक n, अंतराल की संख्याहोगा एन-1.तो, सूत्र होगा (कोई विकल्प नहीं!):

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

सामान्य तौर पर, दृश्य चित्र गणित में कई समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होते हैं। चित्रों की उपेक्षा न करें। लेकिन अगर चित्र बनाना मुश्किल है, तो ... केवल एक सूत्र!) इसके अलावा, nवें पद का सूत्र आपको गणित के पूरे शक्तिशाली शस्त्रागार को समाधान से जोड़ने की अनुमति देता है - समीकरण, असमानता, सिस्टम, आदि। आप समीकरण में तस्वीर नहीं लगा सकते...

स्वतंत्र निर्णय के लिए कार्य।

वार्म-अप के लिए:

1. समांतर श्रेणी में (a n) a 2 =3; ए 5 \u003d 5.1. एक 3 खोजें।

संकेत: चित्र के अनुसार, समस्या 20 सेकंड में हल हो जाती है ... सूत्र के अनुसार, यह अधिक कठिन हो जाता है। लेकिन सूत्र में महारत हासिल करने के लिए, यह अधिक उपयोगी है।) धारा 555 में, इस समस्या को चित्र और सूत्र दोनों द्वारा हल किया गया है। अंतर महसूस करें!)

और यह अब वार्म-अप नहीं है।)

2. अंकगणितीय प्रगति में (ए एन) ए 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. एक 3 खोजें।

क्या, चित्र बनाने में अनिच्छा?) फिर भी! यह सूत्र में बेहतर है, हाँ...

3. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:ए 1 \u003d -5.5; एक एन+1 = एक एन +0.5। इस प्रगति का एक सौ पच्चीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

इस कार्य में, प्रगति को आवर्तक तरीके से दिया जाता है। लेकिन एक सौ पच्चीसवें कार्यकाल तक की गिनती... हर कोई ऐसा कारनामा नहीं कर सकता।) लेकिन नौवें पद का सूत्र हर किसी की शक्ति के भीतर है!

4. एक समान्तर श्रेणी (a n) को देखते हुए:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

प्रगति के सबसे छोटे धनात्मक पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

5. कार्य 4 की शर्त के अनुसार, प्रगति के सबसे छोटे धनात्मक और सबसे बड़े ऋणात्मक सदस्यों का योग ज्ञात कीजिए।

6. बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति के पांचवें और बारहवें पदों का गुणनफल -2.5 है, और तीसरे और ग्यारहवें पदों का योग शून्य है। एक 14 खोजें।

सबसे आसान काम नहीं, हाँ ...) यहाँ "उंगलियों पर" विधि काम नहीं करेगी। आपको सूत्र लिखना है और समीकरणों को हल करना है।

उत्तर (अव्यवस्था में):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

हो गई? यह अच्छा है!)

सब कुछ नहीं चलता? हो जाता है। वैसे, अंतिम कार्य में एक सूक्ष्म बिंदु है। समस्या को पढ़ते समय सावधानी की आवश्यकता होगी। और तर्क।

इन सभी समस्याओं के समाधान पर धारा 555 में विस्तार से चर्चा की गई है। और चौथे के लिए काल्पनिक तत्व, और छठे के लिए सूक्ष्म क्षण, और nवें पद के सूत्र के लिए किसी भी समस्या को हल करने के लिए सामान्य दृष्टिकोण - सब कुछ चित्रित किया गया है। मेरा सुझाव है।

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