कोष्ठक का उपयोग उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें क्रियाओं को संख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियों के साथ-साथ चर के साथ अभिव्यक्तियों में किया जाता है। कोष्ठक वाले व्यंजक से कोष्ठक के बिना समान रूप से समान व्यंजक में जाना सुविधाजनक होता है। इस तकनीक को कोष्ठक खोलना कहा जाता है।

कोष्ठक का विस्तार करने का अर्थ है इन कोष्ठकों की अभिव्यक्ति से छुटकारा पाना।

एक और बिंदु विशेष ध्यान देने योग्य है, जो कोष्ठक खोलते समय समाधान लिखने की ख़ासियत से संबंधित है। हम कोष्ठक के साथ प्रारंभिक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं और कोष्ठक को खोलने के बाद प्राप्त परिणाम को समानता के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, कोष्ठक खोलने के बाद, व्यंजक के बजाय
3−(5−7) हमें व्यंजक 3−5+7 मिलता है। हम इन दोनों व्यंजकों को समानता 3−(5−7)=3−5+7 के रूप में लिख सकते हैं।

और एक और महत्वपूर्ण बिंदु। गणित में, प्रविष्टियों को कम करने के लिए, यह प्रथागत है कि यदि किसी व्यंजक में या कोष्ठक में यह पहला है तो धन चिह्न न लिखें। उदाहरण के लिए, यदि हम दो सकारात्मक संख्याएँ जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए, सात और तीन, तो हम +7 + 3 नहीं, बल्कि केवल 7 + 3 लिखते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सात भी एक सकारात्मक संख्या है। इसी तरह, उदाहरण के लिए, यदि आप देखते हैं, अभिव्यक्ति (5 + x) - पता है कि ब्रैकेट के सामने एक प्लस है, जो लिखा नहीं है, और इसके सामने प्लस + ​​(+5 + x) है। पांच।

जोड़ने के लिए ब्रैकेट विस्तार नियम

कोष्ठक खोलते समय, यदि कोष्ठक से पहले एक प्लस है, तो इस प्लस को कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है।

उदाहरण। व्यंजक 2 + (7 + 3) में कोष्ठकों को खोलिए, कोष्ठकों में प्लस से पहले, तो कोष्ठक में संख्याओं के सामने के वर्ण नहीं बदलते हैं।

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

घटाते समय कोष्ठक के विस्तार का नियम

यदि कोष्ठक से पहले कोई ऋण है, तो यह ऋण कोष्ठक के साथ छोड़ दिया जाता है, लेकिन जो पद कोष्ठक में थे, उनके चिह्न को विपरीत में बदल देते हैं। कोष्ठक में पहले पद से पहले एक चिन्ह की अनुपस्थिति का अर्थ है + चिन्ह।

उदाहरण। व्यंजक 2 - (7 + 3) में कोष्ठक खोलें

कोष्ठक से पहले एक ऋण है, इसलिए आपको कोष्ठक से संख्याओं से पहले संकेतों को बदलने की आवश्यकता है। अंक 7 से पहले कोष्ठक में कोई चिन्ह नहीं है, जिसका अर्थ है कि सात धनात्मक है, यह माना जाता है कि + चिन्ह इसके सामने है।

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

कोष्ठक खोलते समय, हम उदाहरण से ऋण को हटाते हैं, जो कोष्ठक से पहले था, और कोष्ठक स्वयं 2 - (+ 7 + 3), और कोष्ठक में मौजूद संकेतों को विपरीत वाले में बदलते हैं।

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

गुणा करते समय कोष्ठक का विस्तार करना

यदि कोष्ठक के सामने गुणन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या को कोष्ठक के सामने के गुणनखंड से गुणा किया जाता है। उसी समय, माइनस को माइनस से गुणा करने पर प्लस मिलता है, और माइनस को प्लस से गुणा करने पर, जैसे प्लस को माइनस से गुणा करना माइनस देता है।

इस प्रकार, गुणन के वितरण गुण के अनुसार उत्पादों में कोष्ठकों का विस्तार किया जाता है।

उदाहरण। 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है।

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

वास्तव में, सभी नियमों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है, यह केवल एक को याद रखने के लिए पर्याप्त है: c(a−b)=ca−cb। क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम (a−b)=a−b प्राप्त होता है। और यदि हम घटा एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम -(a−b)=−a+b प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

विभाजित करते समय कोष्ठक का विस्तार करें

यदि कोष्ठक के बाद एक विभाजन चिह्न है, तो कोष्ठक के अंदर प्रत्येक संख्या कोष्ठक के बाद भाजक द्वारा विभाज्य है, और इसके विपरीत।

उदाहरण। (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

नेस्टेड कोष्ठक का विस्तार कैसे करें

यदि व्यंजक में नेस्टेड कोष्ठक हैं, तो वे बाहरी या आंतरिक से प्रारंभ करते हुए क्रम में विस्तारित होते हैं।

उसी समय, किसी एक कोष्ठक को खोलते समय, यह महत्वपूर्ण है कि अन्य कोष्ठकों को स्पर्श न करें, बस उन्हें वैसे ही फिर से लिखें जैसे वे हैं।

उदाहरण। 12 - (ए + (6 - बी) - 3) = 12 - ए - (6 - बी) + 3 = 12 - ए - 6 + बी + 3 = 9 - ए + बी

यदि आप बॉडी टेक्स्ट से संबंधित जानकारी शामिल करना चाहते हैं, लेकिन वह जानकारी वाक्य या पैराग्राफ के बॉडी में फिट नहीं होती है, तो आपको उस जानकारी को कोष्ठक में रखना होगा। इसे कोष्ठकों में रखने से इसका महत्व कम हो जाता है ताकि यह पाठ के मुख्य बिंदु से विचलित न हो।

• उदाहरण: जे.आर.आर. टॉल्किन (द लॉर्ड ऑफ द रिंग्स के लेखक) और सी.एस. लुईस (द क्रॉनिकल्स ऑफ नार्निया के लेखक) इंकलिंग्स नामक साहित्यिक चर्चा समूह के नियमित सदस्य थे।

कोष्ठक में नोट्स।अक्सर, जब आप शब्दों में एक संख्यात्मक मान लिखते हैं, तो उस मान को संख्याओं में भी लिखना सहायक होता है। आप एक संख्यात्मक रूप को कोष्ठक में डालकर निर्दिष्ट कर सकते हैं।

• उदाहरण: उसे इस सप्ताह के अंत तक सात सौ डॉलर ($700) का किराया देना होगा।

सूचीबद्ध करते समय अंकों या अक्षरों का प्रयोग।जब आपको किसी अनुच्छेद या वाक्य के भीतर सूचनाओं की एक श्रृंखला सूचीबद्ध करने की आवश्यकता होती है, तो प्रत्येक अनुच्छेद को क्रमांकित करने से सूची कम भ्रमित हो सकती है। आपको प्रत्येक आइटम के लिए उपयोग की गई संख्याओं या अक्षरों को कोष्ठक में रखना होगा।

• उदाहरण: एक कंपनी एक नौकरी उम्मीदवार की तलाश में है जो (1) अनुशासित है, (2) फोटो संपादन और सॉफ्टवेयर सुधार में नवीनतम रुझानों के बारे में जानने के लिए सबकुछ जानता है, और (3) कम से कम पांच साल का पेशेवर अनुभव है फील्ड।
• उदाहरण: एक कंपनी एक नौकरी उम्मीदवार की तलाश में है जो (ए) अनुशासित है, (बी) फोटो संपादन और सॉफ्टवेयर सुधार में नवीनतम रुझानों के बारे में जानने के लिए सबकुछ जानता है, और (सी) में कम से कम पांच साल का पेशेवर अनुभव है फील्ड।

बहुवचन पदनाम।पाठ में, आप बहुवचन का संदर्भ देते हुए एकवचन में किसी चीज़ का उल्लेख कर सकते हैं। यदि यह ज्ञात है कि पाठक को यह जानने से लाभ होगा कि आपका मतलब बहुवचन और एकवचन दोनों से है, तो आप संज्ञा के तुरंत बाद उस संज्ञा के लिए उपयुक्त बहुवचन अंत में कोष्ठक लगाकर अपने इरादे को इंगित कर सकते हैं, यदि संज्ञा का ऐसा रूप है।

• उदाहरण: इस वर्ष उत्सव के आयोजक बड़ी संख्या में दर्शकों की उम्मीद कर रहे हैं, इसलिए अतिरिक्त टिकट खरीदना सुनिश्चित करें।

संक्षिप्ताक्षर अंकन।किसी संगठन, उत्पाद या अन्य इकाई का नाम लिखते समय, जिसका आमतौर पर एक प्रसिद्ध संक्षिप्त नाम है, आपको पाठ में पहली बार इकाई का पूरा नाम दर्ज करना होगा। यदि आप किसी प्रसिद्ध संक्षिप्त नाम का उपयोग करके बाद में किसी वस्तु को संदर्भित करने जा रहे हैं, तो आपको उस संक्षिप्त नाम को कोष्ठक में निर्दिष्ट करना होगा ताकि पाठकों को पता चले कि बाद में क्या देखना है।

• उदाहरण: एनिमल वेलफेयर लीग (पीएलएल) के कर्मचारी और स्वयंसेवक समुदाय के भीतर पशु क्रूरता और दुर्व्यवहार को कम करने और अंततः समाप्त करने की उम्मीद करते हैं।

महत्वपूर्ण तिथियों का उल्लेख।हालांकि हमेशा जरूरी नहीं है, कुछ संदर्भों में आपको उस विशिष्ट व्यक्ति की जन्म तिथि और/या मृत्यु की तारीख प्रदान करने की आवश्यकता हो सकती है जिसका आप पाठ में उल्लेख कर रहे हैं। ऐसी तिथियों को कोष्ठकों में संलग्न किया जाना चाहिए।

• उदाहरण: जेन ऑस्टेन (1775-1817) को उनकी साहित्यिक कृतियों प्राइड एंड प्रेजुडिस एंड सेंस एंड सेंसिबिलिटी के लिए जाना जाता है।
• जॉर्ज मार्टिन (बी। 1948) हिट श्रृंखला गेम ऑफ थ्रोन्स के पीछे का आदमी है।

परिचयात्मक उद्धरणों का उपयोग।गैर-कथा में, जब आप प्रत्यक्ष या परोक्ष रूप से किसी अन्य कार्य का हवाला देते हैं तो परिचयात्मक उद्धरण शामिल किए जाने चाहिए। इन उद्धरणों में ग्रंथ सूची संबंधी जानकारी होती है और उधार ली गई जानकारी के तुरंत बाद कोष्ठक में संलग्न की जानी चाहिए।

• उदाहरण: अनुसंधान से पता चलता है कि माइग्रेन और नैदानिक ​​अवसाद के बीच एक कड़ी है (स्मिथ, 2012)।
• उदाहरण: अनुसंधान से पता चलता है कि माइग्रेन और नैदानिक ​​अवसाद (स्मिथ 32) के बीच एक कड़ी है।
• पाठ में परिचयात्मक उद्धरणों के सही उपयोग के बारे में अधिक जानकारी के लिए, "पाठ में उद्धरणों का सही तरीके से उपयोग कैसे करें" देखें।

इस पाठ में, आप सीखेंगे कि किसी ऐसे व्यंजक को कैसे परिवर्तित किया जाए जिसमें कोष्ठक हों, ऐसे व्यंजक में जिसमें कोष्ठक न हों। आप सीखेंगे कि धन चिह्न और ऋण चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलें। हम याद करेंगे कि गुणन के वितरण नियम का उपयोग करके कोष्ठक कैसे खोलते हैं। विचार किए गए उदाहरण नई और पहले से अध्ययन की गई सामग्री को एक पूरे में जोड़ने की अनुमति देंगे।

विषय: समीकरण हल करना

पाठ: कोष्ठक का विस्तार

"+" चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलें। जोड़ के साहचर्य नियम का उपयोग।

यदि आपको किसी संख्या में दो संख्याओं का योग जोड़ना है, तो आप इस संख्या में पहला पद और फिर दूसरा जोड़ सकते हैं।

समान चिह्न के बाईं ओर कोष्ठक के साथ एक व्यंजक है, और दाईं ओर बिना कोष्ठक वाला व्यंजक है। इसका मतलब यह है कि समानता के बाईं ओर से दाईं ओर जाने पर, कोष्ठक खोले गए थे।

उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

कोष्ठक का विस्तार करते हुए, हमने संचालन के क्रम को बदल दिया। गिनना आसान हो गया है।

उदाहरण 2

उदाहरण 3

ध्यान दें कि तीनों उदाहरणों में, हमने केवल कोष्ठक हटा दिए हैं। आइए नियम तैयार करें:

टिप्पणी।

यदि कोष्ठक में पहला पद अहस्ताक्षरित है, तो इसे धन चिह्न के साथ लिखा जाना चाहिए।

आप चरण दर चरण उदाहरण का अनुसरण कर सकते हैं। पहले 445 को 889 में जोड़ें। यह मानसिक क्रिया की जा सकती है, लेकिन यह बहुत आसान नहीं है। आइए कोष्ठकों को खोलें और देखें कि संचालन का बदला हुआ क्रम गणनाओं को बहुत सरल करेगा।

यदि आप क्रियाओं के संकेतित क्रम का पालन करते हैं, तो आपको पहले 512 से 345 घटाना होगा, और फिर परिणाम में 1345 जोड़ना होगा। कोष्ठकों का विस्तार करके, हम क्रियाओं के क्रम को बदल देंगे और गणनाओं को बहुत सरल बना देंगे।

निदर्शी उदाहरण और नियम।

एक उदाहरण पर विचार करें:। आप 2 और 5 को जोड़कर और फिर परिणामी संख्या को विपरीत चिह्न से लेकर व्यंजक का मान ज्ञात कर सकते हैं। हमें -7 मिलता है।

दूसरी ओर, विपरीत संख्याओं को जोड़कर समान परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

आइए नियम तैयार करें:

उदाहरण 1

उदाहरण 2

यदि कोष्ठक में दो नहीं, बल्कि तीन या अधिक पद हों तो नियम नहीं बदलता है।

उदाहरण 3

टिप्पणी। संकेतों को केवल शर्तों के सामने उलट दिया जाता है।

कोष्ठकों को खोलने के लिए, इस मामले में, हमें वितरण संपत्ति को याद करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, पहले ब्रैकेट को 2 से और दूसरे को 3 से गुणा करें।

पहला ब्रैकेट "+" चिह्न से पहले होता है, जिसका अर्थ है कि संकेतों को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए। दूसरा "-" चिन्ह से पहले है, इसलिए, सभी संकेतों को उलट दिया जाना चाहिए

ग्रन्थसूची

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम .: निमोसिन, 2012।
2. मर्ज़लीक ए.जी., पोलोन्स्की वी.वी., याकिर एम.एस. गणित छठी कक्षा। - जिमनैजियम, 2006।
3. डेपमैन I.Ya।, विलेनकिन N.Ya। गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। - ज्ञानोदय, 1989।
4. रुरुकिन ए.एन., त्चिकोवस्की आई.वी. गणित ग्रेड 5-6 - ZSH MEPhI, 2011 के पाठ्यक्रम के लिए कार्य।
5. रुरुकिन ए.एन., सोचिलोव एस.वी., त्चिकोवस्की के.जी. गणित 5-6. एमईपीएचआई पत्राचार स्कूल के छठी कक्षा के छात्रों के लिए एक मैनुअल। - जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
6. शेवरिन एल.एन., गेइन ए.जी., कोर्याकोव आई.ओ., वोल्कोव एम.वी. गणित: हाई स्कूल के 5-6 ग्रेड के लिए पाठ्यपुस्तक-वार्ताकार। गणित के शिक्षक का पुस्तकालय। - ज्ञानोदय, 1989।

1. ऑनलाइन गणित परीक्षण ()।
2. आप क्लॉज 1.2 में निर्दिष्ट लोगों को डाउनलोड कर सकते हैं। पुस्तकें()।

गृहकार्य

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम।: निमोसिन, 2012। (लिंक 1.2 देखें)
2. गृहकार्य: संख्या 1254, संख्या 1255, संख्या 1256 (बी, डी)
3. अन्य कार्य: संख्या 1258 (सी), संख्या 1248

बीजगणित में जिन विभिन्न व्यंजकों पर विचार किया जाता है, उनमें एकपदी के योग महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं। यहां ऐसे भावों के उदाहरण दिए गए हैं:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। मोनोमियल को बहुपद के रूप में भी जाना जाता है, एक मोनोमियल को एक सदस्य से मिलकर बहुपद माना जाता है।

उदाहरण के लिए, बहुपद
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
सरलीकृत किया जा सकता है।

हम सभी पदों को मानक रूप के एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई भी समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.

प्रति बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेते हैं। तो, द्विपद \(12a^2b - 7b \) में तीसरी डिग्री है, और ट्रिनोमियल \(2b^2 -7b + 6 \) के पास दूसरा है।

आमतौर पर, एक चर वाले बहुपद के मानक रूप के सदस्यों को इसके घातांक के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।

कभी-कभी बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करते हैं। चूंकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:

यदि कोष्ठक के आगे + चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को समान चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

यदि कोष्ठक के सामने "-" का चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का रूपांतरण (सरलीकरण)

गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके, एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल को एक बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।

यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।

एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।

हमने इस नियम का बार-बार योग से गुणा करने के लिए उपयोग किया है।

बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)

सामान्य तौर पर, दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित नियम का उपयोग करें।

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग

बीजगणितीय परिवर्तनों में कुछ अभिव्यक्तियों को दूसरों की तुलना में अधिक बार व्यवहार करना पड़ता है। शायद सबसे आम भाव हैं \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) और \(a^2 - b^2 \), यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग, और वर्ग अंतर। आपने देखा कि संकेतित व्यंजकों के नाम अधूरे प्रतीत होते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, \((a + b)^2 \) निश्चित रूप से योग का वर्ग नहीं है, बल्कि योग के योग का वर्ग है। ए और बी। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, a और b अक्षरों के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।

व्यंजक \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित (सरलीकृत) करना आसान है, वास्तव में, बहुपदों को गुणा करते समय आप पहले ही इस तरह के कार्य से मिल चुके हैं :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

परिणामी सर्वसमिकाएँ मध्यवर्ती गणनाओं के बिना याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी होती हैं। लघु मौखिक सूत्रीकरण इसमें मदद करते हैं।

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - योग का वर्ग वर्गों और दोहरे गुणनफल के योग के बराबर होता है।

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - अंतर का वर्ग गुणन को दोगुना किए बिना वर्गों का योग है।

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - वर्गों का अंतर अंतर और योग के गुणनफल के बराबर है।

ये तीन पहचान परिवर्तनों में अपने बाएं हिस्सों को दाएं से बदलने की अनुमति देती हैं और इसके विपरीत - बाएं हिस्से के साथ दाएं हिस्से। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित अभिव्यक्तियों को देखना और यह समझना कि उनमें कौन से चर a और b बदले गए हैं। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।

कोष्ठक का मुख्य कार्य मूल्यों की गणना करते समय क्रियाओं के क्रम को बदलना है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक व्यंजक \(5 3+7\) में पहले गुणन की गणना की जाएगी, और फिर जोड़: \(5 3+7 =15+7=22\)। लेकिन व्यंजक \(5·(3+7)\) में, कोष्ठक में योग की गणना पहले की जाएगी, और उसके बाद ही गुणा: \(5·(3+7)=5·10=50\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें: \(-(4m+3)\)।
समाधान : \(-(4m+3)=-4m-3\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(5-(3x+2)+(2+3x)\)।
समाधान : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\)।

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(5(3-x)\)।
समाधान : हमारे पास ब्रैकेट में \(3\) और \(-x\) और ब्रैकेट के सामने पांच हैं। इसका मतलब है कि ब्रैकेट के प्रत्येक सदस्य को \ (5 \) से गुणा किया जाता है - मैं आपको याद दिलाता हूं कि गणित में किसी संख्या और कोष्ठक के बीच गुणन चिह्न को अभिलेखों के आकार को कम करने के लिए नहीं लिखा जाता है.

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \(-2(-3x+5)\)।
समाधान : पिछले उदाहरण की तरह, कोष्ठक वाले \(-3x\) और \(5\) को \(-2\) से गुणा किया जाता है।

उदाहरण। व्यंजक को सरल कीजिए: \(5(x+y)-2(x-y)\)।
समाधान : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\)।

यह अंतिम स्थिति पर विचार करना बाकी है।

कोष्ठक द्वारा कोष्ठक को गुणा करते समय, पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें \((2-x)(3x-1)\)।
समाधान : हमारे पास कोष्ठकों का एक गुणनफल है और इसे उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके तुरंत खोला जा सकता है। लेकिन भ्रमित न होने के लिए, आइए सब कुछ चरणबद्ध तरीके से करें।
चरण 1। पहला ब्रैकेट निकालें - इसके प्रत्येक सदस्य को दूसरे ब्रैकेट से गुणा किया जाता है:

चरण 2. ब्रैकेट के उत्पादों को ऊपर वर्णित कारक द्वारा विस्तारित करें:
- पहले वाला पहला...

फिर दूसरा।

चरण 3. अब हम गुणा करते हैं और समान पदों को लाते हैं:

सभी परिवर्तनों को विस्तार से चित्रित करना आवश्यक नहीं है, आप तुरंत गुणा कर सकते हैं। लेकिन अगर आप सिर्फ कोष्ठक खोलना सीख रहे हैं - विस्तार से लिखें, गलती करने की संभावना कम होगी।

पूरे खंड पर ध्यान दें।वास्तव में, आपको सभी चार नियमों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल एक को याद रखने की आवश्यकता है, यह एक: \(c(a-b)=ca-cb\) । क्यों? क्योंकि यदि हम c के स्थान पर एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \((a-b)=a-b\) प्राप्त होता है। और यदि हम ऋणात्मक एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें नियम \(-(a-b)=-a+b\) प्राप्त होता है। ठीक है, यदि आप सी के बजाय किसी अन्य ब्रैकेट को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आप अंतिम नियम प्राप्त कर सकते हैं।

कोष्ठक के भीतर कोष्ठक

कभी-कभी व्यवहार में अन्य कोष्ठकों में नेस्टेड कोष्ठकों के साथ समस्याएँ होती हैं। यहाँ ऐसे कार्य का एक उदाहरण दिया गया है: व्यंजक \(7x+2(5-(3x+y))\) को सरल बनाने के लिए।

इन कार्यों में सफल होने के लिए, आपको चाहिए:
- कोष्ठक के घोंसले को ध्यान से समझें - कौन सा है जिसमें;
- कोष्ठक को क्रमिक रूप से खोलें, उदाहरण के लिए, अंतरतम के साथ शुरू करना।

कोष्ठकों में से किसी एक को खोलते समय यह महत्वपूर्ण है शेष अभिव्यक्ति को मत छुओ, बस इसे वैसे ही फिर से लिखना।
आइए उपरोक्त कार्य को एक उदाहरण के रूप में लें।

उदाहरण। कोष्ठक खोलिए और समान पद \(7x+2(5-(3x+y))\) दीजिए।
समाधान:

उदाहरण। कोष्ठक का विस्तार करें और समान पद दें \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\)।
समाधान :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		यह कोष्ठकों का ट्रिपल नेस्टिंग है। हम अंतरतम से शुरू करते हैं (हरे रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक प्लस है, इसलिए इसे आसानी से हटा दिया जाता है।
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		अब आपको दूसरा ब्रैकेट खोलने की जरूरत है, इंटरमीडिएट। लेकिन इससे पहले, हम इस दूसरे ब्रैकेट में समान शब्दों को घोस्ट करके व्यंजक को सरल बना देंगे।
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		अब हम दूसरा ब्रैकेट खोलते हैं (नीले रंग में हाइलाइट किया गया)। कोष्ठक के सामने एक गुणक होता है - इसलिए कोष्ठक में प्रत्येक पद को इससे गुणा किया जाता है।
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		और अंतिम कोष्ठक खोलें। ब्रैकेट माइनस से पहले - तो सभी संकेत उलट जाते हैं।

ब्रैकेट खोलना गणित में एक बुनियादी कौशल है। इस कौशल के बिना, ग्रेड 8 और 9 में तीन से ऊपर का ग्रेड होना असंभव है। इसलिए, मैं इस विषय की अच्छी समझ की सलाह देता हूं।