Pada artikel ini, kami akan menunjukkan caranya definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut dan bilangan dalam trigonometri. Di sini kita akan berbicara tentang notasi, memberikan contoh entri, memberikan ilustrasi grafis. Sebagai kesimpulan, kami menggambar paralel antara definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dalam trigonometri dan geometri.

Navigasi halaman.

Pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen

Mari kita ikuti bagaimana konsep sinus, cosinus, tangen dan kotangen terbentuk dalam mata kuliah matematika sekolah. Dalam pelajaran geometri, definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari sudut lancip dalam segitiga siku-siku diberikan. Dan kemudian trigonometri dipelajari, yang mengacu pada sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi dan bilangan. Kami memberikan semua definisi ini, memberikan contoh dan memberikan komentar yang diperlukan.

Sudut lancip pada segitiga siku-siku

Dari mata kuliah geometri, definisi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip dalam segitiga siku-siku diketahui. Mereka diberikan sebagai rasio sisi-sisi segitiga siku-siku. Kami menyajikan formulasi mereka.

Definisi.

Sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring.

Definisi.

Cosinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Definisi.

Garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.

Definisi.

Kotangen sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.

Notasi sinus, cosinus, tangen dan kotangen juga diperkenalkan di sana - masing-masing sin, cos, tg dan ctg.

Sebagai contoh, jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C, maka sinus sudut lancip A sama dengan perbandingan kaki depan BC dengan sisi miring AB, yaitu sin∠A=BC/AB.

Definisi ini memungkinkan Anda untuk menghitung nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip dari panjang sisi segitiga siku-siku yang diketahui, serta dari nilai sinus, cosinus, garis singgung, kotangen dan panjang salah satu sisinya, tentukan panjang sisi yang lain. Misalnya, jika kita mengetahui bahwa pada segitiga siku-siku kaki AC adalah 3 dan sisi miring AB adalah 7 , maka kita dapat menghitung kosinus sudut lancip A dengan definisi: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Sudut rotasi

Dalam trigonometri, mereka mulai melihat sudut lebih luas - mereka memperkenalkan konsep sudut rotasi. Sudut rotasi, tidak seperti sudut lancip, tidak terbatas pada bingkai dari 0 hingga 90 derajat, sudut rotasi dalam derajat (dan dalam radian) dapat dinyatakan dengan bilangan real apa pun dari hingga +∞.

Dalam hal ini, definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen bukan lagi sudut lancip, tetapi sudut yang besarnya berubah-ubah - sudut rotasi. Mereka diberikan melalui koordinat x dan y dari titik A 1 , di mana titik awal yang disebut A(1, 0) lewat setelah berputar melalui sudut di sekitar titik O - awal dari sistem koordinat Cartesian persegi panjang dan pusat lingkaran satuan.

Definisi.

Sinus sudut rotasi adalah ordinat titik A 1 , yaitu sinα=y .

Definisi.

cosinus sudut rotasi disebut absis titik A 1 , yaitu cosα=x .

Definisi.

Tangen sudut rotasi adalah rasio ordinat titik A 1 dengan absisnya, yaitu, tgα=y/x .

Definisi.

Kotangen dari sudut rotasi adalah rasio absis titik A 1 dengan ordinatnya, yaitu ctgα=x/y .

Sinus dan kosinus didefinisikan untuk sembarang sudut , karena kita selalu dapat menentukan absis dan ordinat titik, yang diperoleh dengan memutar titik awal dengan sudut . Dan tangen dan kotangen tidak didefinisikan untuk setiap sudut. Garis singgung tidak didefinisikan untuk sudut seperti itu di mana titik awal menuju ke titik dengan nol absis (0, 1) atau (0, 1) , dan ini terjadi pada sudut 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Memang, pada sudut rotasi seperti itu, ekspresi tgα=y/x tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Sedangkan untuk kotangen, tidak ditentukan untuk sudut di mana titik awal menuju ke titik dengan ordinat nol (1, 0) atau (−1, 0) , dan ini adalah kasus sudut 180° k , k Z (π k rad).

Jadi, sinus dan kosinus didefinisikan untuk setiap sudut rotasi, garis singgung didefinisikan untuk semua sudut kecuali 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), dan kotangen untuk semua sudut kecuali 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Notasi yang sudah kita ketahui muncul dalam definisi sin, cos, tg dan ctg, mereka juga digunakan untuk menunjukkan sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi (kadang-kadang Anda dapat menemukan notasi tan dan cot yang sesuai dengan tangen dan kotangens). Jadi sinus sudut rotasi 30 derajat dapat ditulis sebagai sin30°, catatan tg(−24°17′) dan ctgα sesuai dengan tangen sudut rotasi 24 derajat 17 menit dan kotangen sudut rotasi . Ingatlah bahwa ketika menulis ukuran radian suatu sudut, notasi "rad" sering dihilangkan. Misalnya, cosinus dari sudut rotasi tiga pi rad biasanya dilambangkan cos3 .

Sebagai penutup paragraf ini, perlu diperhatikan bahwa dalam membicarakan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut rotasi, frasa “sudut rotasi” atau kata “rotasi” sering dihilangkan. Artinya, alih-alih frasa "sinus sudut rotasi alfa", frasa "sinus sudut alfa" biasanya digunakan, atau bahkan lebih pendek - "sinus alfa". Hal yang sama berlaku untuk cosinus, dan tangen, dan kotangen.

Katakan juga bahwa definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut lancip pada segitiga siku-siku konsisten dengan definisi yang diberikan untuk sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut rotasi yang berkisar dari 0 hingga 90 derajat. Ini akan kami buktikan.

angka

Definisi.

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan t adalah angka yang sama dengan sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi masing-masing dalam t radian.

Misalnya, kosinus 8 , menurut definisi, adalah bilangan yang sama dengan kosinus sudut 8 rad. Dan cosinus sudut pada 8 rad sama dengan satu, oleh karena itu cosinus dari angka 8 sama dengan 1.

Ada pendekatan lain untuk definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari suatu bilangan. Ini terdiri dari fakta bahwa setiap bilangan real t diberi titik lingkaran satuan yang berpusat pada titik asal sistem koordinat persegi panjang, dan sinus, kosinus, tangen dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini. Mari kita membahas ini secara lebih rinci.

Mari kita tunjukkan bagaimana korespondensi antara bilangan real dan titik-titik lingkaran ditetapkan:

• angka 0 ditetapkan sebagai titik awal A(1, 0);
• angka positif t dikaitkan dengan titik pada lingkaran satuan, yang akan kita dapatkan jika kita bergerak mengelilingi lingkaran dari titik awal dalam arah berlawanan arah jarum jam dan melalui jalur dengan panjang t;
• angka negatif t dikaitkan dengan titik pada lingkaran satuan, yang akan kita dapatkan jika kita bergerak di sekitar lingkaran dari titik awal searah jarum jam dan melalui jalur dengan panjang |t| .

Sekarang mari kita beralih ke definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari bilangan t. Mari kita asumsikan bahwa angka t sesuai dengan titik lingkaran A 1 (x, y) (misalnya, angka &pi/2; sesuai dengan titik A 1 (0, 1) ).

Definisi.

Sinus suatu bilangan t adalah ordinat titik lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan t , yaitu sint=y .

Definisi.

Kosinus suatu bilangan t disebut absis dari titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t , yaitu, biaya=x .

Definisi.

Tangen suatu bilangan t adalah rasio ordinat dengan absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t, yaitu, tgt=y/x. Dalam formulasi lain yang setara, garis singgung dari angka t adalah rasio sinus dari angka ini dengan kosinus, yaitu, tgt=sint/biaya .

Definisi.

Kotangen suatu bilangan t adalah rasio absis terhadap ordinat titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t, yaitu, ctgt=x/y. Rumusan lain adalah sebagai berikut: tangen bilangan t adalah perbandingan kosinus bilangan t dengan sinus bilangan t : ctgt=biaya/sint .

Di sini kami mencatat bahwa definisi yang baru saja diberikan setuju dengan definisi yang diberikan di awal subbagian ini. Memang, titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t bertepatan dengan titik yang diperoleh dengan memutar titik awal melalui sudut t radian.

Penting juga untuk mengklarifikasi poin ini. Katakanlah kita memiliki entri sin3. Bagaimana memahami apakah sinus angka 3 atau sinus sudut rotasi 3 radian yang dimaksud? Ini biasanya jelas dari konteksnya, jika tidak, mungkin tidak masalah.

Fungsi trigonometri argumen sudut dan numerik

Menurut definisi yang diberikan dalam paragraf sebelumnya, setiap sudut rotasi sesuai dengan nilai sinα yang terdefinisi dengan baik, serta nilai cosα. Selain itu, semua sudut rotasi selain 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) sesuai dengan nilai tgα , dan selain 180° k , k∈Z (π k rad ) adalah nilai dari ctgα . Oleh karena itu sinα, cosα, tgα dan ctgα adalah fungsi dari sudut . Dengan kata lain, ini adalah fungsi dari argumen sudut.

Demikian pula, kita dapat berbicara tentang fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari argumen numerik. Memang, setiap bilangan real t sesuai dengan nilai sint , serta biaya yang terdefinisi dengan baik . Selain itu, semua angka selain /2+π·k , k∈Z sesuai dengan nilai tgt , dan angka ·k , k∈Z sesuai dengan nilai ctgt .

Fungsi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen disebut fungsi trigonometri dasar.

Biasanya jelas dari konteksnya bahwa kita berurusan dengan fungsi trigonometri dari argumen sudut atau argumen numerik. Jika tidak, kita dapat menganggap variabel independen sebagai ukuran sudut (argumen sudut) dan argumen numerik.

Namun, sekolah terutama mempelajari fungsi numerik, yaitu fungsi yang argumennya, serta nilai fungsi yang sesuai, adalah angka. Oleh karena itu, jika kita berbicara tentang fungsi, maka disarankan untuk mempertimbangkan fungsi trigonometri sebagai fungsi argumen numerik.

Koneksi definisi dari geometri dan trigonometri

Jika kita mempertimbangkan sudut rotasi dari 0 hingga 90 derajat, maka data dalam konteks trigonometri definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi sepenuhnya konsisten dengan definisi sinus, cosinus , tangen dan kotangen dari sudut akut dalam segitiga siku-siku, yang diberikan dalam kursus geometri. Mari kita buktikan ini.

Gambarlah sebuah lingkaran satuan pada sistem koordinat kartesius persegi panjang Oxy. Perhatikan titik awal A(1, 0) . Mari kita putar dengan sudut mulai dari 0 hingga 90 derajat, kita mendapatkan titik A 1 (x, y) . Mari kita jatuhkan tegak lurus A 1 H dari titik A 1 ke sumbu Ox.

Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam segitiga siku-siku sudut A 1 OH sama dengan sudut rotasi , panjang kaki OH yang berdekatan dengan sudut ini sama dengan absis titik A 1, yaitu |OH |=x, panjang kaki A 1 H yang berhadapan dengan sudut sama dengan ordinat titik A 1 , yaitu |A 1 H|=y , dan panjang sisi miring OA 1 sama dengan satu , karena itu adalah jari-jari lingkaran satuan. Kemudian, menurut definisi dari geometri, sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku A 1 OH sama dengan rasio sisi yang berlawanan dengan sisi miring, yaitu, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Dan menurut definisi dari trigonometri, sinus sudut rotasi sama dengan ordinat titik A 1, yaitu sinα=y. Hal ini menunjukkan bahwa definisi sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku sama dengan definisi sinus sudut putar untuk dari 0 hingga 90 derajat.

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa definisi kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip konsisten dengan definisi kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut rotasi .

Bibliografi.

1. Geometri. nilai 7-9: studi. untuk pendidikan umum institusi / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev dan lainnya]. - edisi ke-20. M.: Pendidikan, 2010. - 384 hal.: sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometri: Prok. untuk 7-9 sel. pendidikan umum institusi / A. V. Pogorelov. - Edisi ke-2 - M.: Pencerahan, 2001. - 224 hal.: sakit. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Aljabar dan fungsi dasar: Buku teks untuk siswa kelas 9 sekolah menengah / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Diedit oleh Doktor Ilmu Fisika dan Matematika O.N. Golovin - edisi ke-4. Moskow: Pendidikan, 1969.
4. Aljabar: Prok. untuk 9 sel. rata-rata sekolah / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Pencerahan, 1990.- 272 hal.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- edisi ke-14.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: sakit.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Aljabar dan awal dari analisis. Kelas 10. Pukul 2 siang Bagian 1: buku teks untuk lembaga pendidikan (tingkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-4, tambahkan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Aljabar dan awal dari analisis matematis. Kelas 10: buku pelajaran. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - I.: Pendidikan, 2010. - 368 hal.: Sakit - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Identitas trigonometri adalah persamaan yang membentuk hubungan antara sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari satu sudut, yang memungkinkan Anda menemukan salah satu fungsi ini, asalkan fungsi lainnya diketahui.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Identitas ini mengatakan bahwa jumlah kuadrat sinus satu sudut dan kuadrat kosinus satu sudut sama dengan satu, yang dalam praktiknya memungkinkan untuk menghitung sinus satu sudut ketika cosinusnya diketahui dan sebaliknya. .

Saat mengonversi ekspresi trigonometri, identitas ini sangat sering digunakan, yang memungkinkan Anda untuk mengganti jumlah kuadrat dari kosinus dan sinus satu sudut dengan satu dan juga melakukan operasi penggantian dalam urutan terbalik.

Menemukan tangen dan kotangen melalui sinus dan cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Identitas ini terbentuk dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Lagi pula, jika Anda perhatikan, maka menurut definisi, ordinat y adalah sinus, dan absis x adalah kosinus. Maka tangen akan sama dengan rasio \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), dan rasio \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- akan menjadi kotangen.

Kami menambahkan bahwa hanya untuk sudut \alpha yang fungsi trigonometrinya masuk akal, identitas akan terjadi , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Sebagai contoh: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) berlaku untuk \sudut alfa yang berbeda dari \frac(\pi)(2)+\pi z, sebuah ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- untuk sudut \alpha selain \pi z , z adalah bilangan bulat.

Hubungan antara tangen dan kotangen

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Identitas ini hanya berlaku untuk sudut \alpha yang berbeda dari \frac(\pi)(2) z. Jika tidak, baik kotangen atau tangen tidak akan ditentukan.

Berdasarkan poin di atas, kita mendapatkan bahwa tg \alpha = \frac(y)(x), sebuah ctg\alpha=\frac(x)(y). Oleh karena itu berikut ini tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dengan demikian, tangen dan kotangen dari satu sudut di mana mereka masuk akal adalah angka yang saling timbal balik.

Hubungan antara tangen dan kosinus, kotangen dan sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- jumlah kuadrat garis singgung sudut \alpha dan 1 sama dengan kuadrat kebalikan dari kosinus sudut ini. Identitas ini berlaku untuk semua \alpha selain \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- jumlah 1 dan kuadrat kotangen dari sudut \alpha , sama dengan kuadrat terbalik dari sinus sudut yang diberikan. Identitas ini berlaku untuk semua \alpha selain \pi z .

Contoh dengan solusi untuk masalah menggunakan identitas trigonometri

Contoh 1

Cari \sin \alpha dan tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Fungsi \sin \alpha dan \cos \alpha dihubungkan oleh rumus \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Substitusi ke rumus ini \cos \alpha = -\frac12, kita mendapatkan:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Persamaan ini memiliki 2 solusi:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Dengan kondisi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada kuarter kedua, sinusnya positif, jadi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Untuk mencari tg \alpha , kita menggunakan rumus tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Contoh 2

Temukan \cos \alpha dan ctg \alpha jika dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Substitusi ke rumus \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 nomor bersyarat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kita mendapatkan \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Persamaan ini memiliki dua solusi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Dengan kondisi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada kuartal kedua, kosinusnya negatif, jadi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Untuk mencari ctg \alpha , kita menggunakan rumus ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Kami tahu nilai yang sesuai.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Awalnya, sinus dan cosinus muncul karena kebutuhan untuk menghitung jumlah dalam segitiga siku-siku. Telah diperhatikan bahwa jika nilai ukuran derajat sudut dalam segitiga siku-siku tidak berubah, maka rasio aspek, tidak peduli berapa banyak sisi ini berubah panjang, selalu tetap sama.

Ini adalah bagaimana konsep sinus dan kosinus diperkenalkan. Sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring, dan kosinus adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Teorema cosinus dan sinus

Tetapi cosinus dan sinus dapat digunakan tidak hanya pada segitiga siku-siku. Untuk menemukan nilai sudut tumpul atau lancip, sisi segitiga apa pun, cukup menerapkan teorema kosinus dan sinus.

Teorema kosinus cukup sederhana: "Kuadrat sisi sebuah segitiga sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya dikurangi dua kali produk sisi-sisi ini dengan kosinus sudut di antara mereka."

Ada dua interpretasi dari teorema sinus: kecil dan diperpanjang. Menurut kecil: "Dalam segitiga, sudut sebanding dengan sisi yang berlawanan." Teorema ini sering diperluas karena sifat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga: "Dalam sebuah segitiga, sudut-sudutnya sebanding dengan sisi-sisi yang berlawanan, dan rasionya sama dengan diameter lingkaran yang dibatasi."

Derivatif

Turunan adalah alat matematika yang menunjukkan seberapa cepat suatu fungsi berubah sehubungan dengan perubahan dalam argumennya. Derivatif digunakan dalam geometri, dan dalam sejumlah disiplin teknis.

Saat memecahkan masalah, Anda perlu mengetahui nilai tabular dari turunan fungsi trigonometri: sinus dan kosinus. Turunan dari sinus adalah cosinus, dan turunan dari cosinus adalah sinus, tetapi dengan tanda minus.

Aplikasi dalam matematika

Terutama sering, sinus dan cosinus digunakan dalam memecahkan segitiga siku-siku dan masalah yang terkait dengannya.

Kenyamanan sinus dan kosinus juga tercermin dalam teknologi. Sudut dan sisi mudah dievaluasi menggunakan teorema kosinus dan sinus, memecah bentuk dan objek kompleks menjadi segitiga "sederhana". Insinyur dan, sering berurusan dengan perhitungan rasio aspek dan ukuran derajat, menghabiskan banyak waktu dan tenaga untuk menghitung cosinus dan sinus sudut non-tabel.

Kemudian tabel Bradis datang untuk menyelamatkan, yang berisi ribuan nilai sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen dari sudut yang berbeda. Di masa Soviet, beberapa guru memaksa lingkungan mereka untuk menghafal halaman-halaman tabel Bradis.

Radian - nilai sudut busur, sepanjang panjangnya sama dengan jari-jari atau 57.295779513 ° derajat.

Derajat (dalam geometri) - 1/360 lingkaran atau 1/90 sudut siku-siku.

= 3.141592653589793238462… (perkiraan nilai pi).

Tabel kosinus untuk sudut: 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 120 °, 135 °, 150 °, 180 °, 210 °, 225 °, 240 °, 270 °, 300 °, 315 °, 330 °, 360 °.

Sudut x (dalam derajat)	0°	30°	45°	60 °	90 °	120 °	135 °	150 °	180 °	210 °	225 °	240 °	270 °	300 °	315 °	330 °	360°
Sudut x (dalam radian)	0	/6	/4	/3	/2	2 x /3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

- pasti akan ada tugas dalam trigonometri. Trigonometri sering tidak disukai karena harus menjejalkan sejumlah besar rumus sulit yang penuh dengan sinus, cosinus, garis singgung, dan kotangen. Situs tersebut sudah pernah memberikan saran tentang cara mengingat formula yang terlupakan, menggunakan contoh formula Euler dan Peel.

Dan dalam artikel ini kami akan mencoba menunjukkan bahwa cukup mengetahui hanya lima rumus trigonometri sederhana dengan kuat, dan memiliki gagasan umum tentang sisanya dan menyimpulkannya di sepanjang jalan. Ini seperti dengan DNA: gambar lengkap makhluk hidup yang sudah jadi tidak disimpan dalam molekul. Ini berisi, lebih tepatnya, instruksi untuk merakitnya dari asam amino yang tersedia. Jadi dalam trigonometri, mengetahui beberapa prinsip umum, kita akan mendapatkan semua rumus yang diperlukan dari sekumpulan kecil rumus yang harus diingat.

Kami akan mengandalkan formula berikut:

Dari rumus sinus dan cosinus jumlah, mengetahui bahwa fungsi cosinus genap dan fungsi sinus ganjil, menggantikan -b untuk b, kita memperoleh rumus untuk perbedaannya:

1. Sinus perbedaan: dosa(a-b) = dosasebuahkarena(-b)+karenasebuahdosa(-b) = dosasebuahkarenab-karenasebuahdosab
2. selisih kosinus: karena(a-b) = karenasebuahkarena(-b)-dosasebuahdosa(-b) = karenasebuahkarenab+dosasebuahdosab

Menempatkan a \u003d b ke dalam rumus yang sama, kami memperoleh rumus untuk sinus dan cosinus sudut ganda:

1. Sinus sudut ganda: dosa2a = dosa(a+a) = dosasebuahkarenasebuah+karenasebuahdosasebuah = 2dosasebuahkarenasebuah
2. Cosinus sudut ganda: karena2a = karena(a+a) = karenasebuahkarenasebuah-dosasebuahdosasebuah = karena2a-dosa2a

Rumus untuk beberapa sudut lainnya diperoleh dengan cara yang sama:

1. Sinus sudut rangkap tiga: dosa3a = dosa(2a+a) = dosa2akarenasebuah+karena2adosasebuah = (2dosasebuahkarenasebuah)karenasebuah+(karena2a-dosa2a)dosasebuah = 2dosasebuahkarena2a+dosasebuahkarena2a-dosa 3a = 3 dosasebuahkarena2a-dosa 3a = 3 dosasebuah(1-dosa2a)-dosa 3a = 3 dosasebuah-4dosa 3a
2. Cosinus sudut rangkap tiga: karena3a = karena(2a+a) = karena2akarenasebuah-dosa2adosasebuah = (karena2a-dosa2a)karenasebuah-(2dosasebuahkarenasebuah)dosasebuah = karena 3a- dosa2akarenasebuah-2dosa2akarenasebuah = karena 3a-3 dosa2akarenasebuah = karena 3 a-3(1- karena2a)karenasebuah = 4karena 3a-3 karenasebuah

Sebelum melanjutkan, mari kita pertimbangkan satu masalah.
Diketahui: sudutnya lancip.
Cari kosinusnya jika
Solusi yang diberikan oleh salah satu siswa:
Karena , kemudian dosasebuah= 3,a karenasebuah = 4.
(Dari humor matematika)

Jadi, definisi tangen menghubungkan fungsi ini dengan sinus dan cosinus. Tetapi Anda bisa mendapatkan rumus yang memberikan hubungan garis singgung hanya dengan kosinus. Untuk menurunkannya, kami mengambil identitas trigonometri dasar: dosa 2 sebuah+karena 2 sebuah= 1 dan dibagi dengan karena 2 sebuah. Kita mendapatkan:

Jadi solusi untuk masalah ini adalah:

(Karena sudutnya lancip, tanda + diambil saat mengekstrak akar)

Rumus untuk tangen jumlah adalah salah satu yang sulit untuk diingat. Mari kita output seperti ini:

segera keluarkan dan

Dari rumus kosinus untuk sudut ganda, Anda bisa mendapatkan rumus sinus dan kosinus untuk setengah sudut. Untuk melakukan ini, ke sisi kiri rumus kosinus sudut ganda:
karena2 sebuah = karena 2 sebuah-dosa 2 sebuah
kami menambahkan unit, dan di sebelah kanan - unit trigonometri, mis. jumlah kuadrat sinus dan cosinus.
karena2a+1 = karena2a-dosa2a+karena2a+dosa2a
2karena 2 sebuah = karena2 sebuah+1
mengekspresikan karenasebuah melalui karena2 sebuah dan melakukan perubahan variabel, kita mendapatkan:

Tanda diambil tergantung pada kuadran.

Demikian pula, mengurangkan satu dari sisi kiri persamaan, dan jumlah kuadrat sinus dan kosinus dari sisi kanan, kita mendapatkan:
karena2a-1 = karena2a-dosa2a-karena2a-dosa2a
2dosa 2 sebuah = 1-karena2 sebuah

Dan terakhir, untuk mengubah jumlah fungsi trigonometri menjadi produk, kami menggunakan trik berikut. Misalkan kita perlu mewakili jumlah sinus sebagai produk dosasebuah+dosab. Mari kita perkenalkan variabel x dan y sedemikian rupa sehingga a = x+y, b+x-y. Kemudian
dosasebuah+dosab = dosa(x+y)+ dosa(x-y) = dosa x karena y+ karena x dosa y+ dosa x karena y- karena x dosa y=2 dosa x karena y. Sekarang mari kita nyatakan x dan y dalam bentuk a dan b.

Karena a = x+y, b = x-y, maka . Jadi

Anda dapat menarik segera

1. rumus partisi hasil kali sinus dan cosinus di jumlah: dosasebuahkarenab = 0.5(dosa(a+b)+dosa(a-b))

Kami menyarankan Anda berlatih dan memperoleh rumus untuk mengubah produk dari selisih sinus dan jumlah dan selisih cosinus menjadi produk, serta untuk membagi produk sinus dan cosinus menjadi jumlah. Setelah melakukan latihan ini, Anda akan benar-benar menguasai keterampilan menurunkan rumus trigonometri dan tidak akan tersesat bahkan dalam kontrol, olimpiade, atau pengujian yang paling sulit sekalipun.

Saya tidak akan meyakinkan Anda untuk tidak menulis lembar contekan. Menulis! Termasuk lembar contekan pada trigonometri. Nanti saya berencana untuk menjelaskan mengapa lembar contekan diperlukan dan bagaimana lembar contekan berguna. Dan di sini - informasi tentang bagaimana tidak belajar, tetapi untuk mengingat beberapa rumus trigonometri. Jadi - trigonometri tanpa lembar contekan! Kami menggunakan asosiasi untuk menghafal.

1. Rumus penambahan:

cosinus selalu "berpasangan": cosinus-cosinus, sinus-sinus. Dan satu hal lagi: cosinus "tidak memadai". Mereka "semuanya salah", jadi mereka mengubah tanda: "-" menjadi "+", dan sebaliknya.

Sinus - "campuran": sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Rumus jumlah dan selisih:

kosinus selalu "berpasangan". Setelah menambahkan dua cosinus - "roti", kami mendapatkan sepasang cosinus - "kolobok". Dan jika dikurangi, kita pasti tidak akan mendapatkan kolobok. Kami mendapatkan beberapa sinus. Masih dengan minus di depan.

Sinus - "campuran" :

3. Rumus untuk mengubah produk menjadi jumlah dan selisih.

Kapan kita mendapatkan sepasang cosinus? Saat menambahkan kosinus. Jadi

Kapan kita mendapatkan sepasang sinus? Saat mengurangkan kosinus. Dari sini:

"Pencampuran" diperoleh dengan menambahkan dan mengurangi sinus. Mana yang lebih menyenangkan: menambah atau mengurangi? Itu benar, lipat. Dan untuk rumusnya ambil tambahan:

Dalam rumus pertama dan ketiga dalam tanda kurung - jumlahnya. Dari penataan ulang tempat istilah, jumlahnya tidak berubah. Urutannya penting hanya untuk formula kedua. Tapi, agar tidak bingung, untuk memudahkan mengingat, pada ketiga rumus di kurung pertama kita ambil selisihnya

dan kedua, jumlah

Tempat tidur bayi di saku Anda memberikan ketenangan pikiran: jika Anda lupa formulanya, Anda dapat menghapusnya. Dan mereka memberi kepercayaan: jika Anda gagal menggunakan lembar contekan, rumusnya dapat dengan mudah diingat.