B8. MENGGUNAKAN

1. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung grafik ini, digambar pada sebuah titik dengan absis x0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0. Jawaban: 2

2.

Jawaban: -5

3.

Pada interval (–9; 4).

Jawaban: 2

4.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0 Jawaban: 0,5

5. Tentukan titik kontak antara garis y = 3x + 8 dan grafik fungsi y = x3+x2-5x-4. Tunjukkan absis titik ini dalam jawaban Anda. Jawaban: -2

6.

Tentukan jumlah nilai integer dari argumen yang turunan dari fungsi f(x) negatif. Jawaban: 4

7.

Jawaban: 2

8.

Tentukan jumlah titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar atau berimpit dengan garis y=5–x. Jawaban: 3

9.

Interval (-8; 3).

y langsung = -20. Jawaban: 2

10.

Jawaban: -0,5

11

Jawaban 1

12. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik dengan absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0. Jawaban: 0,5

13. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik dengan absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0. Jawaban: -0,25

14.

Tentukan banyaknya titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar atau berimpit dengan garis y = x+7. Jawaban: 4

15

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0. Jawaban: -2

16.

selang waktu (-14;9).

Tentukan jumlah titik maksimum dari fungsi f(x) pada interval [-12;7]. Jawaban: 3

17

pada interval (-10; 8).

Tentukan jumlah titik ekstrem dari fungsi f(x) pada interval [-9;7]. Menjawab: 4

18. Garis y = 5x-7 menyentuh grafik fungsi y = 6x2 + bx-1 di sebuah titik dengan absis kurang dari 0. Tentukan b. Menjawab: 17

19

Menjawab:-0,25

20

Menjawab: 6

21. Tentukan garis singgung grafik fungsi y=x2+6x-7, sejajar dengan garis y=5x+11. Dalam jawaban Anda, tunjukkan absis titik kontak. Menjawab: -0,5

22.

Menjawab: 4

23. f "(x) pada interval (-16; 4).

Pada segmen [-11; 0] temukan jumlah titik maksimum dari fungsi tersebut. Menjawab: 1

B8 Grafik fungsi, turunan dari fungsi. Riset fungsi . MENGGUNAKAN

1. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung grafik ini, digambar pada sebuah titik dengan absis x0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

2. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval (-6; 5).

Pada titik segmen mana [-5; -1] f(x) mengambil nilai terkecil?

3. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi y = f(x), didefinisikan

Pada interval (–9; 4).

Tentukan banyaknya titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar dengan garis

y = 2x-17 atau sama.

4. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgungnya di titik dengan absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0

5. Tentukan titik kontak antara garis y = 3x + 8 dan grafik fungsi y = x3+x2-5x-4. Tunjukkan absis titik ini dalam jawaban Anda.

6. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x), yang didefinisikan pada interval (-7; 5).

Tentukan jumlah nilai integer dari argumen yang turunan dari fungsi f(x) negatif.

7. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y \u003d f "(x), yang ditentukan pada interval (-8; 8).

Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi f(x) yang termasuk dalam segmen [-4; 6].

8. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y \u003d f "(x), yang ditentukan pada interval (-8; 4).

Tentukan jumlah titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar atau berimpit dengan garis y=5–x.

9. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi y = f(x) yang didefinisikan pada

Interval (-8; 3).

Tentukan jumlah titik yang garis singgung grafik suatu fungsi sejajar

y langsung = -20.

10. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik dengan absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

11 . Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f (x), yang didefinisikan pada interval (-9; 9).

Temukan jumlah titik minimum dari fungsi $f(x)$ pada segmen [-6;8]. 1

12. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik dengan absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

13. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik dengan absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

14. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f (x), yang didefinisikan pada interval (-6; 8).

Tentukan banyaknya titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar atau berimpit dengan garis y = x+7.

15 . Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgungnya di titik dengan absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

16. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada

selang waktu (-14;9).

Tentukan jumlah titik maksimum dari fungsi f(x) pada interval [-12;7].

17 . Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan

pada interval (-10; 8).

Tentukan jumlah titik ekstrem dari fungsi f(x) pada interval [-9;7].

18. Garis y = 5x-7 menyentuh grafik fungsi y = 6x2 + bx-1 di sebuah titik dengan absis kurang dari 0. Tentukan b.

19 . Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) dan garis singgungnya di titik dengan absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

20 . Tentukan jumlah titik pada interval (-1;12) di mana turunan dari fungsi y = f(x) yang ditunjukkan pada grafik sama dengan 0.

21. Tentukan garis singgung grafik fungsi y=x2+6x-7, sejajar dengan garis y=5x+11. Dalam jawaban Anda, tunjukkan absis titik kontak.

22. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x). Temukan jumlah titik bilangan bulat dalam interval (-2;11) di mana turunan dari fungsi f(x) positif.

23. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y= f "(x) pada interval (-16; 4).

Pada segmen [-11; 0] temukan jumlah titik maksimum dari fungsi tersebut.

Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [–5; 6]. Temukan jumlah titik dari grafik f (x), di mana masing-masing garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi bertepatan atau sejajar dengan sumbu x

Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi terdiferensiasi y = f(x).

Temukan jumlah titik dalam grafik fungsi yang termasuk dalam segmen [–7; 7], di mana garis singgung grafik fungsi sejajar dengan garis lurus yang diberikan oleh persamaan y = –3x.

Bahan titik M mulai bergerak dari titik A dan bergerak lurus selama 12 detik. Grafik menunjukkan bagaimana jarak dari titik A ke titik M berubah dari waktu ke waktu. Absis menunjukkan waktu t dalam sekon, ordinat menunjukkan jarak s dalam meter. Tentukan berapa kali selama gerakan kecepatan titik M menjadi nol (abaikan awal dan akhir gerakan).

Gambar tersebut menunjukkan bagian-bagian grafik fungsi y \u003d f (x) dan garis singgungnya pada titik dengan absis x \u003d 0. Diketahui bahwa garis singgung ini sejajar dengan garis lurus yang melalui titik-titik grafik dengan absis x \u003d -2 dan x \u003d 3. Dengan menggunakan ini, temukan nilai turunan f "(o).

Gambar tersebut menunjukkan grafik y = f'(x) - turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada segmen (−11; 2). Temukan absis titik di mana garis singgung grafik fungsi y = f(x) sejajar dengan sumbu x atau berimpit dengannya.

Titik material bergerak lurus menurut hukum x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, di mana x adalah jarak dari titik acuan dalam meter, t adalah waktu dalam detik yang diukur dari awal gerakan. Pada titik waktu berapa (dalam detik) kecepatannya sama dengan 2 m/s?

Titik material bergerak sepanjang garis lurus dari posisi awal ke posisi akhir. Gambar tersebut menunjukkan grafik pergerakannya. Waktu dalam detik diplot pada sumbu absis, jarak dari posisi awal titik (dalam meter) diplot pada sumbu ordinat. Temukan kecepatan rata-rata titik tersebut. Berikan jawaban Anda dalam meter per detik.

Fungsi y \u003d f (x) didefinisikan pada interval [-4; 4]. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunannya. Temukan jumlah titik dalam grafik fungsi y \u003d f (x), garis singgung yang membentuk sudut 45 ° dengan arah positif sumbu Ox.

Fungsi y \u003d f (x) didefinisikan pada segmen [-2; 4]. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunannya. Temukan absis titik grafik fungsi y \u003d f (x), di mana dibutuhkan nilai terkecil pada segmen [-2; -0,001].

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y \u003d f (x) dan garis singgung grafik ini, yang digambar pada titik x0. Garis singgung diberikan oleh persamaan y = -2x + 15. Tentukan nilai turunan dari fungsi y = -(1/4)f(x) + 5 di titik x0.

Tujuh titik ditandai pada grafik fungsi terdiferensiasi y = f(x): x1,..,x7. Temukan semua titik yang ditandai di mana turunan dari fungsi f(x) lebih besar dari nol. Masukkan jumlah poin ini dalam jawaban Anda.

Gambar menunjukkan grafik y \u003d f "(x) dari turunan fungsi f (x), yang ditentukan pada interval (-10; 2). Temukan jumlah titik di mana garis singgung grafik fungsi f (x) sejajar dengan garis y \u003d -2x-11 atau cocok dengannya.

Gambar menunjukkan grafik y \u003d f "(x) - turunan dari fungsi f (x). Sembilan titik ditandai pada sumbu x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7 , x8, x9.
Berapa banyak dari titik-titik ini yang termasuk dalam interval fungsi menurun f(x) ?

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y \u003d f (x) dan garis singgung grafik ini, yang digambar pada titik x0. Garis singgung diberikan oleh persamaan y = 1,5x + 3,5. Temukan nilai turunan dari fungsi y \u003d 2f (x) - 1 di titik x0.

Gambar tersebut menunjukkan grafik y=F(x) dari salah satu antiturunan dari fungsi f (x). Enam titik dengan absis x1, x2, ..., x6 ditandai pada grafik. Pada berapa banyak titik ini fungsi y=f(x) bernilai negatif?

Gambar tersebut menunjukkan jadwal mobil di sepanjang rute. Waktu diplot pada sumbu absis (dalam jam), pada sumbu ordinat - jarak yang ditempuh (dalam kilometer). Temukan kecepatan rata-rata mobil pada rute ini. Berikan jawaban Anda dalam km/jam

Titik material bergerak lurus menurut hukum x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, di mana x adalah jarak dari titik acuan (dalam meter), t adalah waktu gerakan (dalam detik). Tentukan kecepatannya (dalam meter per sekon) pada waktu t=6 s

Gambar tersebut menunjukkan grafik antiturunan y \u003d F (x) dari beberapa fungsi y \u003d f (x), yang ditentukan pada interval (-6; 7). Dengan menggunakan gambar, tentukan jumlah nol dari fungsi f(x) dalam selang waktu tertentu.

Gambar tersebut menunjukkan grafik y = F(x) dari salah satu antiturunan dari beberapa fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval (-7; 5). Dengan menggunakan gambar, tentukan jumlah solusi persamaan f(x) = 0 pada ruas [- 5; 2].

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi terdiferensiasi y=f(x). Sembilan titik ditandai pada sumbu x: x1, x2, ... x9. Temukan semua titik yang ditandai di mana turunan dari f(x) negatif. Masukkan jumlah poin ini dalam jawaban Anda.

Titik material bergerak lurus menurut hukum x(t)=12t^3−3t^2+2t, di mana x adalah jarak dari titik acuan dalam meter, t adalah waktu dalam detik yang diukur dari awal gerakan. Tentukan kecepatannya (dalam meter per sekon) pada waktu t=6 s.

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung grafik ini digambar pada titik x0. Persamaan tangen ditunjukkan pada gambar. tentukan nilai turunan dari fungsi y=4*f(x)-3 di titik x0.

Dalam masalah B9, diberikan grafik fungsi atau turunan, yang darinya diperlukan untuk menentukan salah satu besaran berikut:

1. Nilai turunan di suatu titik x 0,
2. Titik tinggi atau rendah (titik ekstrim),
3. Interval fungsi naik dan turun (interval monotonisitas).

Fungsi dan turunan yang disajikan dalam masalah ini selalu kontinu, yang sangat menyederhanakan solusinya. Terlepas dari kenyataan bahwa tugas itu termasuk dalam bagian analisis matematis, itu cukup dalam kekuatan bahkan siswa yang paling lemah, karena tidak diperlukan pengetahuan teoretis yang mendalam di sini.

Untuk mencari nilai turunan, titik ekstrem, dan interval monoton, ada algoritma sederhana dan universal - semuanya akan dibahas di bawah ini.

Baca dengan cermat kondisi masalah B9 agar tidak membuat kesalahan bodoh: terkadang teks yang cukup banyak muncul, tetapi ada beberapa kondisi penting yang memengaruhi jalannya solusi.

Perhitungan nilai turunan. Metode dua titik

Jika masalah diberikan grafik fungsi f(x), bersinggungan dengan grafik ini di beberapa titik x 0 , dan diperlukan untuk menemukan nilai turunan pada titik ini, algoritma berikut diterapkan:

1. Temukan dua titik "memadai" pada grafik singgung: koordinatnya harus bilangan bulat. Mari kita nyatakan titik-titik ini sebagai A (x 1 ; y 1) dan B (x 2 ; y 2). Tuliskan koordinat dengan benar - ini adalah poin kunci dari solusi, dan kesalahan apa pun di sini mengarah pada jawaban yang salah.
2. Mengetahui koordinat, mudah untuk menghitung kenaikan argumen x = x 2 x 1 dan kenaikan fungsi y = y 2 y 1 .
3. Akhirnya, kami menemukan nilai turunan D = y/x. Dengan kata lain, Anda perlu membagi kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen - dan ini akan menjadi jawabannya.

Sekali lagi, kita perhatikan: titik A dan B harus dicari tepat pada garis singgung, dan bukan pada grafik fungsi f(x), seperti yang sering terjadi. Garis singgung harus mengandung setidaknya dua titik seperti itu, jika tidak, masalahnya dirumuskan secara tidak benar.

Pertimbangkan titik A (−3; 2) dan B (1; 6) dan temukan kenaikannya:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Mari kita cari nilai turunannya: D = y/Δx = 4/2 = 2.

Tugas. Gambar menunjukkan grafik fungsi y \u003d f (x) dan garis singgungnya pada titik dengan absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Perhatikan titik A (0; 3) dan B (3; 0), cari pertambahan:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Sekarang kita cari nilai turunannya: D = y/Δx = 3/3 = 1.

Tugas. Gambar menunjukkan grafik fungsi y \u003d f (x) dan garis singgungnya pada titik dengan absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Pertimbangkan poin A (0; 2) dan B (5; 2) dan temukan kenaikannya:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; y = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Tetap mencari nilai turunannya: D = y/x = 0/5 = 0.

Dari contoh terakhir, kita dapat merumuskan aturan: jika garis singgung sejajar dengan sumbu OX, turunan dari fungsi pada titik kontak sama dengan nol. Dalam hal ini, Anda bahkan tidak perlu menghitung apa pun - lihat saja grafiknya.

Menghitung Poin Tinggi dan Rendah

Kadang-kadang alih-alih grafik fungsi dalam masalah B9, grafik turunan diberikan dan diperlukan untuk menemukan titik maksimum atau minimum dari fungsi tersebut. Dalam skenario ini, metode dua titik tidak berguna, tetapi ada algoritma lain yang lebih sederhana. Pertama, mari kita definisikan terminologinya:

1. Titik x 0 disebut titik maksimum dari fungsi f(x) jika pertidaksamaan berikut berlaku di beberapa lingkungan dari titik ini: f(x 0) f(x).
2. Titik x 0 disebut titik minimum dari fungsi f(x) jika pertidaksamaan berikut berlaku di beberapa lingkungan dari titik ini: f(x 0) f(x).

Untuk menemukan titik maksimum dan minimum pada grafik turunan, cukup melakukan langkah-langkah berikut:

1. Gambar ulang grafik turunan, hapus semua informasi yang tidak perlu. Seperti yang ditunjukkan oleh praktik, data tambahan hanya mengganggu solusi. Oleh karena itu, kami menandai nol dari turunan pada sumbu koordinat - dan hanya itu.
2. Cari tahu tanda-tanda turunan pada interval antara nol. Jika untuk suatu titik x 0 diketahui f'(x 0) 0, maka hanya dua pilihan yang mungkin: f'(x 0) 0 atau f'(x 0) 0. Tanda turunannya adalah mudah ditentukan dari gambar aslinya: jika graf turunan terletak di atas sumbu OX, maka f'(x) 0. Sebaliknya, jika graf turunan terletak di bawah sumbu OX, maka f'(x) 0.
3. Kami kembali memeriksa nol dan tanda-tanda turunannya. Di mana tanda berubah dari minus ke plus, ada titik minimum. Sebaliknya, jika tanda turunannya berubah dari plus ke minus, ini adalah titik maksimumnya. Penghitungan selalu dilakukan dari kiri ke kanan.

Skema ini hanya berfungsi untuk fungsi kontinu - tidak ada yang lain dalam masalah B9.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−5; 5]. Temukan titik minimum dari fungsi f(x) pada segmen ini.

Mari kita singkirkan informasi yang tidak perlu - kita hanya akan meninggalkan perbatasan [−5; 5] dan nol dari turunan x = 3 dan x = 2.5. Perhatikan juga tanda-tandanya:

Jelasnya, pada titik x = 3, tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus. Ini adalah titik minimum.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−3; 7]. Temukan titik maksimum fungsi f(x) pada segmen ini.

Mari kita menggambar ulang grafik, hanya menyisakan batas [−3; 7] dan nol dari turunan x = 1.7 dan x = 5. Perhatikan tanda-tanda turunan pada grafik yang dihasilkan. Kita punya:

Jelas, pada titik x = 5, tanda turunan berubah dari plus ke minus - ini adalah titik maksimum.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−6; 4]. Tentukan jumlah titik maksimum dari fungsi f(x) yang termasuk dalam interval [−4; 3].

Dari kondisi masalah, maka cukup untuk mempertimbangkan hanya bagian dari grafik yang dibatasi oleh segmen [−4; 3]. Oleh karena itu, kami membangun grafik baru, di mana kami hanya menandai batas [−4; 3] dan nol turunan di dalamnya. Yaitu, titik x = 3.5 dan x = 2. Kita peroleh:

Pada grafik ini, hanya ada satu titik maksimum x = 2. Di dalamnya tanda turunan berubah dari plus ke minus.

Catatan kecil tentang titik dengan koordinat non-bilangan bulat. Sebagai contoh, pada soal terakhir, titik x = 3.5 dipertimbangkan, tetapi dengan keberhasilan yang sama kita dapat mengambil x = 3.4. Jika masalah dirumuskan dengan benar, perubahan seperti itu seharusnya tidak mempengaruhi jawaban, karena poin "tanpa tempat tinggal tetap" tidak terlibat langsung dalam menyelesaikan masalah. Tentu saja, dengan poin integer, trik seperti itu tidak akan berhasil.

Menemukan interval kenaikan dan penurunan fungsi

Dalam masalah seperti itu, seperti titik maksimum dan minimum, diusulkan untuk menemukan area di mana fungsi itu sendiri meningkat atau menurun dari grafik turunan. Pertama, mari kita definisikan apa itu ascending dan descending:

1. Suatu fungsi f(x) disebut meningkat pada suatu ruas jika untuk sembarang dua titik x 1 dan x 2 dari ruas ini pernyataannya benar: x 1 x 2 f(x 1) f(x 2). Dengan kata lain, semakin besar nilai argumen, semakin besar nilai fungsinya.
2. Suatu fungsi f(x) disebut menurun pada suatu ruas jika untuk sembarang dua titik x 1 dan x 2 dari ruas ini pernyataannya benar: x 1 x 2 f(x 1) f(x 2). Itu. nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Kami merumuskan kondisi yang cukup untuk naik dan turun:

1. Agar fungsi kontinu f(x) meningkat pada segmen , cukup turunannya di dalam segmen menjadi positif, mis. f'(x) 0.
2. Agar fungsi kontinu f(x) berkurang pada segmen , cukup turunannya di dalam segmen menjadi negatif, mis. f'(x) 0.

Kami menerima pernyataan ini tanpa bukti. Dengan demikian, kami mendapatkan skema untuk menemukan interval kenaikan dan penurunan, yang dalam banyak hal mirip dengan algoritma untuk menghitung titik ekstrem:

1. Hapus semua informasi yang berlebihan. Pada grafik asli turunan, kami terutama tertarik pada nol dari fungsi, jadi kami hanya meninggalkannya.
2. Tandai tanda-tanda turunan pada interval antara nol. Dimana f'(x) 0, fungsi meningkat, dan dimana f'(x) 0, fungsi menurun. Jika masalah memiliki batasan pada variabel x, kami juga menandainya pada bagan baru.
3. Sekarang kita mengetahui perilaku fungsi dan kendala, tinggal menghitung nilai yang diperlukan dalam masalah.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−3; 7.5]. Tentukan interval fungsi menurun f(x). Dalam jawaban Anda, tulis jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Seperti biasa, kita menggambar ulang grafik dan menandai batas [−3; 7.5], serta nol dari turunan x = 1.5 dan x = 5.3. Kemudian kita tandai tanda-tanda turunannya. Kita punya:

Karena turunannya negatif pada interval (− 1,5), ini adalah interval fungsi menurun. Tetap menjumlahkan semua bilangan bulat yang ada di dalam interval ini:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−10; 4]. Carilah interval dari peningkatan fungsi f(x). Dalam jawaban Anda, tuliskan panjang yang terbesar.

Mari kita singkirkan informasi yang berlebihan. Kami hanya meninggalkan batas [−10; 4] dan nol dari turunannya, yang kali ini menjadi empat: x = 8, x = 6, x = 3 dan x = 2. Perhatikan tanda-tanda turunan dan dapatkan gambar berikut:

Kami tertarik pada interval fungsi yang meningkat, yaitu di mana f'(x) 0. Ada dua interval seperti itu pada grafik: (−8; 6) dan (−3; 2). Mari kita hitung panjangnya:
l 1 = 6 (−8) = 2;
l 2 = 2 (−3) = 5.

Karena diperlukan untuk menemukan panjang interval terbesar, kami menulis nilai l 2 = 5 sebagai tanggapan.

Garis y=3x+2 bersinggungan dengan grafik fungsi y=-12x^2+bx-10. Temukan b , mengingat bahwa absis titik sentuh kurang dari nol.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Biarkan x_0 menjadi absis titik pada grafik fungsi y=-12x^2+bx-10 yang melaluinya garis singgung grafik ini.

Nilai turunan pada titik x_0 sama dengan kemiringan garis singgung, yaitu y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sebaliknya, titik singgung termasuk dalam grafik fungsi dan grafik tangen, yaitu -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Kami mendapatkan sistem persamaan \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(kasus)

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1. Menurut kondisi absis, titik sentuh kurang dari nol, oleh karena itu x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Menjawab

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) (yaitu garis putus-putus yang terdiri dari tiga ruas garis lurus). Menggunakan gambar, hitung F(9)-F(5), di mana F(x) adalah salah satu antiturunan dari f(x).

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Menurut rumus Newton-Leibniz, selisih F(9)-F(5), di mana F(x) adalah salah satu antiturunan dari fungsi f(x), sama dengan luas trapesium lengkung yang dibatasi dengan grafik fungsi y=f(x), garis lurus y=0 , x=9 dan x=5. Berdasarkan grafik, kami menentukan bahwa trapesium lengkung yang ditentukan adalah trapesium dengan alas sama dengan 4 dan 3 dan tinggi 3.

luasnya sama dengan \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik y \u003d f "(x) - turunan dari fungsi f (x), yang ditentukan pada interval (-4; 10). Temukan interval fungsi menurun f (x). Dalam jawaban Anda , tunjukkan panjang yang terbesar dari mereka.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Seperti yang Anda ketahui, fungsi f (x) berkurang pada interval tersebut, di setiap titik di mana turunan f "(x) kurang dari nol. Mengingat perlu untuk menemukan panjang terbesar dari mereka, tiga interval seperti itu secara alami dibedakan dari gambar: (-4; -2 ;(0;3);(5;9).

Panjang yang terbesar dari mereka - (5; 9) sama dengan 4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik y \u003d f "(x) - turunan dari fungsi f (x), yang ditentukan pada interval (-8; 7). Temukan jumlah titik maksimum dari fungsi f (x) milik ke interval [-6; -2].

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Grafik menunjukkan bahwa turunan f "(x) dari fungsi f (x) berubah tanda dari plus ke minus (akan ada maksimum pada titik tersebut) tepat di satu titik (antara -5 dan -4) dari interval [ -6; -2 Oleh karena itu, ada tepat satu titik maksimum pada interval [-6;-2].

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) yang didefinisikan pada interval (-2; 8). Tentukan jumlah titik di mana turunan dari fungsi f(x) sama dengan 0 .

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Jika turunan di suatu titik sama dengan nol, maka garis singgung grafik fungsi yang digambar di titik ini sejajar dengan sumbu Ox. Oleh karena itu, kami menemukan titik-titik di mana garis singgung grafik fungsi sejajar dengan sumbu Ox. Pada grafik ini, titik-titik tersebut adalah titik ekstrim (titik maksimum atau minimum). Seperti yang Anda lihat, ada 5 titik ekstrem.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kondisi

Garis y=-3x+4 sejajar dengan garis singgung grafik fungsi y=-x^2+5x-7. Temukan absis titik kontak.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Kemiringan garis ke grafik fungsi y=-x^2+5x-7 pada sembarang titik x_0 adalah y"(x_0). Tapi y"=-2x+5, jadi y"(x_0)=- 2x_0+5 Sudut koefisien garis y=-3x+4 yang ditentukan dalam kondisi adalah -3.Garis sejajar memiliki koefisien kemiringan yang sama.Oleh karena itu, kami menemukan nilai x_0 yang =-2x_0 +5=-3.

Kami mendapatkan: x_0 = 4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan titik bertanda -6, -1, 1, 4 pada sumbu x. Di mana dari titik-titik ini nilai turunannya paling kecil? Tolong tunjukkan poin ini dalam jawaban Anda.