Algoritme sederhana untuk menemukan ekstrem..

• Mencari turunan dari suatu fungsi
• Samakan turunan ini dengan nol
• Kami menemukan nilai variabel dari ekspresi yang dihasilkan (nilai variabel di mana turunannya diubah menjadi nol)
• Kami membagi garis koordinat menjadi interval dengan nilai-nilai ini (pada saat yang sama, kami tidak boleh melupakan titik putus, yang juga perlu diterapkan pada garis), semua titik ini disebut titik "mencurigakan" untuk titik ekstrem
• Kami menghitung interval mana dari turunan ini yang akan positif, dan yang negatif. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengganti nilai dari interval ke turunannya.

Dari poin-poin yang diduga ekstrem, perlu ditemukan dengan tepat . Untuk melakukan ini, kami melihat celah kami di garis koordinat. Jika saat melewati suatu titik, tanda turunannya berubah dari plus menjadi minus, maka titik tersebut adalah maksimum, dan jika dari minus ke plus, maka minimum.

Untuk menemukan nilai fungsi terbesar dan terkecil, Anda perlu menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik ekstrem. Kemudian pilih nilai terbesar dan terkecil.

Pertimbangkan sebuah contoh
Kami menemukan turunannya dan menyamakannya dengan nol:

Kami menerapkan nilai variabel yang diperoleh ke garis koordinat dan menghitung tanda turunan pada setiap interval. Nah, misalnya, untuk pengambilan pertama-2 , maka turunannya adalah-0,24 , untuk pengambilan kedua0 , maka turunannya adalah2 , dan untuk yang ketiga kita ambil2 , maka turunannya adalah-0,24. Kami meletakkan tanda-tanda yang sesuai.

Kita melihat bahwa ketika melewati titik -1, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, yaitu akan menjadi titik minimum, dan ketika melewati 1, masing-masing dari plus menjadi minus, ini adalah titik maksimum.

1°

1°. Menentukan ekstrem dari suatu fungsi.

Konsep maksimum, minimum, ekstrem dari fungsi dua variabel mirip dengan konsep yang sesuai dari fungsi satu variabel independen.

Biar fungsi z=F(X; y) didefinisikan di beberapa daerah D, dot N(x 0 ;y0) D.

Dot (x 0 ;y0) disebut titik maksimum fungsi z= F(X;y ), jika terdapat -ketetanggaan suatu titik (x 0 ;y 0), bahwa untuk setiap titik (x;y), berbeda dari (x 0 ;y0) lingkungan ini memenuhi ketidaksetaraan F(X;y)< F(x 0 ;y0). Gambar 12: N 1 - titik maksimum, a N 2 - fungsi titik minimum z=F(X;y ).

Inti nya minimum fungsi: untuk semua titik (x 0 ;y 0), Selain daripada (x 0 ;y 0), dari d-neighborhood titik (x 0 ;y0) pertidaksamaan berikut berlaku: F(x 0 ;y 0) >F(x 0 ;y0).

Demikian pula, ekstrem dari fungsi tiga atau lebih variabel ditentukan.

Nilai fungsi pada titik maksimum (minimum) disebut maksimum (minimum) fungsi.

Maksimum dan minimum dari suatu fungsi disebut ekstrim.

Perhatikan bahwa, berdasarkan definisi, titik ekstrem dari fungsi terletak di dalam domain fungsi; maksimum dan minimum adalah lokal karakter (lokal): nilai fungsi pada suatu titik (x 0 ;y0) dibandingkan dengan nilainya pada titik yang cukup dekat (x 0 ;y0). Di daerah D Suatu fungsi mungkin memiliki beberapa ekstrem atau tidak sama sekali.

2°. Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem.

Pertimbangkan kondisi keberadaan ekstrem dari suatu fungsi.

Sama secara geometris F"y (x 0 ;y0)= 0 dan F"y (x 0 ;y 0) = 0 berarti bahwa pada titik ekstrim dari fungsi z = F(X; y) bidang singgung ke permukaan yang menggambarkan fungsi F(X; y), sejajar dengan pesawat Oh hu karena persamaan bidang tangen adalah z=z0.

Komentar. Suatu fungsi dapat memiliki ekstrem di titik-titik di mana setidaknya salah satu turunan parsialnya tidak ada. Misalnya fungsi memiliki titik maksimum TENTANG(0;0), tetapi tidak memiliki turunan parsial pada saat ini.

Titik di mana turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi z = F(X;y) sama dengan nol, yaitu F"X = 0, F" y= 0, disebut titik stasioner fungsi z.

Titik stasioner dan titik di mana setidaknya satu turunan parsial tidak ada disebut poin kritis.

Pada titik-titik kritis, fungsi tersebut mungkin memiliki ekstrem atau tidak. Kesetaraan dengan nol dari turunan parsial adalah syarat yang diperlukan tetapi tidak cukup untuk keberadaan suatu ekstrem. Pertimbangkan, misalnya, fungsi z = hu. Untuk itu, poin 0(0; 0) sangat penting (mereka menghilang begitu saja). Namun, fungsi ekstrim di dalamnya z = xy tidak memiliki, karena di lingkungan yang cukup kecil dari titik O(0;0) terdapat titik-titik untuk itu z > 0 (poin kuarter I dan III) dan z< 0 (poin triwulan II dan IV).

Jadi, untuk menemukan ekstrem dari fungsi di wilayah tertentu, setiap titik kritis dari fungsi perlu dipelajari tambahan.

Titik stasioner ditemukan dengan menyelesaikan sistem persamaan

fx (x, y) \u003d 0, f "y (x, y) \u003d 0

(kondisi yang diperlukan untuk ekstrem).

Sistem (1) setara dengan satu persamaan df(x, y)=0. Secara umum, pada titik ekstrim P(a, b) fungsi f(x, y) atau df(x, y)=0, atau df(a, b) tidak ada.

3°. Kondisi yang cukup untuk ekstrem. Membiarkan P(a; b)- titik stasioner dari fungsi F(x, y), yaitu . df(a, b) = 0. Kemudian:

dan jika d2f (a, b)< 0 di , kemudian F(a, b) Ada maksimum fungsi F (x, y);

b) jika d2f (a, b) > 0 di , kemudian F(a, b)Ada minimum fungsi F (x, y);

c) jika d2f (a, b) mengubah tanda, lalu F (a, b) bukan merupakan ekstrem dari fungsi F (x, y).

Kondisi di atas setara dengan yang berikut: biarkan Dan . Ayo menulis diskriminatif ∆=AC-B2.

1) jika Δ > 0, maka fungsi tersebut memiliki titik ekstrem P (a;b) yaitu maksimum jika A<0 (atau DENGAN<0 ), dan minimum jika A>0(atau С>0);

2) jika Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b) TIDAK;

3) jika Δ = 0, maka pertanyaan tentang keberadaan ekstrem fungsi di suatu titik P(a; b) tetap terbuka (memerlukan studi lebih lanjut).

4°. Kasus fungsi banyak variabel. Untuk fungsi dengan tiga variabel atau lebih, syarat perlu untuk keberadaan ekstrem mirip dengan syarat (1), dan syarat cukup serupa dengan syarat a), b), c) 3°.

Contoh. Selidiki fungsi untuk ekstrem z=x³+3xy²-15x-12y.

Larutan. Mari kita temukan turunan parsial dan susun sistem persamaan (1):

Memecahkan sistem, kami memperoleh empat titik stasioner:

Mari kita cari turunan dari orde ke-2

dan membuat diskriminan ∆=AC - B² untuk setiap titik stasioner.

1) Untuk poin : , ∆=AC-B²=36-144<0 . Jadi tidak ada titik ekstrim.

2) Untuk titik P2: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. Pada titik P2, fungsinya memiliki minimum. Minimum ini sama dengan nilai fungsi di x=2, y=1: ​​​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) Untuk poin : A=-6, B=-12, C=-6; Δ = 36-144<0 . Tidak ada ekstrim.

4) Untuk poin P 4: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. Pada titik P4, fungsinya memiliki maksimum sama dengan Zmaks=-8-6+30+12=28.

5°. Ekstrem bersyarat. Dalam kasus paling sederhana ekstrem bersyarat fungsi F(x, y) adalah maksimum atau minimum dari fungsi ini, dicapai dengan syarat bahwa argumennya terkait dengan persamaan φ(x,y)=0 (persamaan koneksi). Untuk menemukan ekstrem kondisional dari suatu fungsi F(x, y) di hadapan relasi φ(x, y) = 0, merupakan apa yang disebut fungsi lagrange

F(X ,y )=F(X ,y )+λφ (X ,y ),

di mana λ adalah faktor konstanta tak tentu, dan cari ekstrem biasa dari fungsi tambahan ini. Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem direduksi menjadi sistem tiga persamaan

dengan tiga yang tidak diketahui x, y, λ, dari mana, secara umum, hal-hal yang tidak diketahui ini dapat ditentukan.

Pertanyaan tentang keberadaan dan sifat ekstrem bersyarat diselesaikan berdasarkan mempelajari tanda diferensial kedua dari fungsi Lagrange

untuk sistem nilai yang diuji x, y, λ diperoleh dari (2) asalkan dx Dan du dihubungkan dengan persamaan

.

Yakni, fungsinya F(x, y) memiliki maksimum bersyarat jika d²F< 0, dan minimum bersyarat jika d²F>0. Secara khusus, jika diskriminan Δ untuk fungsi tersebut F(x, y) pada titik stasioner adalah positif, maka pada titik ini terdapat fungsi maksimum bersyarat F(x, y), Jika A< 0 (atau DENGAN< 0), dan minimum bersyarat jika A > O(atau С>0).

Demikian pula, ekstrem bersyarat dari suatu fungsi dari tiga atau lebih variabel ditemukan dengan adanya satu atau lebih persamaan koneksi (yang jumlahnya, bagaimanapun, harus lebih kecil dari jumlah variabel). Di sini perlu memasukkan faktor tak tentu ke dalam fungsi Lagrange sebanyak persamaan koneksi.

Contoh. Temukan ekstrem dari suatu fungsi z=6-4x-3y asalkan variabel X Dan pada memenuhi persamaan x² + y² = 1.

Larutan. Secara geometris, masalahnya direduksi menjadi menemukan nilai aplikasi terbesar dan terkecil z pesawat z=6 - 4x - Zu untuk titik potong dengan silinder x2+y2=1.

Tulis fungsi Lagrange F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Kita punya . Kondisi yang diperlukan memberikan sistem persamaan

penyelesaian yang kami temukan:

.

,

d²F=2λ (dx²+dy²).

Jika dan kemudian d²F>0, dan, oleh karena itu, pada titik ini fungsi tersebut memiliki minimum bersyarat. Jika kemudian d²F<0, dan, oleh karena itu, pada titik ini fungsi tersebut memiliki kondisi maksimum.

Dengan demikian,

6°. Nilai fungsi terbesar dan terkecil.

Biar fungsi z=F(X; y) didefinisikan dan kontinu dalam domain tertutup terbatas . Kemudian mencapai di beberapa titik terbesarnya M dan paling tidak T nilai-nilai (disebut. ekstrem global). Nilai-nilai ini dicapai dengan fungsi pada titik-titik yang terletak di dalam kawasan , atau pada titik-titik yang terletak di batas wilayah.

Nilai fungsi dan poin maksimum dan minimum

Nilai terbesar dari fungsi

Nilai fungsi terkecil

Seperti yang dikatakan ayah baptis: "Tidak ada yang pribadi." Derivatif saja!

Tugas 12 dalam statistik dianggap cukup sulit, dan semua itu karena teman-teman tidak membaca artikel ini (bercanda). Dalam kebanyakan kasus, kecerobohan yang harus disalahkan.

12 tugas terdiri dari dua jenis:

1. Temukan titik tinggi/rendah (diminta untuk menemukan nilai "x").
2. Temukan nilai fitur terbesar/terkecil (diminta untuk menemukan nilai "y").

Bagaimana cara bertindak dalam kasus ini?

Temukan Titik Tinggi/Rendah

1. Samakan dengan nol.
2. Ditemukan atau ditemukan "x" dan akan menjadi poin minimum atau maksimum.
3. Tentukan tanda menggunakan metode interval dan pilih titik mana yang dibutuhkan dalam tugas.

Tugas dengan ujian:

Temukan titik maksimum dari fungsi tersebut

• Kami mengambil turunannya:

Benar, pertama fungsinya bertambah, lalu berkurang - ini adalah titik maksimumnya!
Jawaban: -15

Temukan titik minimum dari fungsi tersebut

• Ubah dan ambil turunannya:

• Besar! Pertama, fungsinya berkurang, lalu bertambah - ini adalah titik minimum!

Jawaban: -2

Temukan nilai terbesar / terkecil dari suatu fungsi

1. Ambil turunan dari fungsi yang diusulkan.
   
2. Samakan dengan nol.
   
3. "x" yang ditemukan akan menjadi titik minimum atau maksimum.
   
4. Tentukan tanda menggunakan metode interval dan pilih titik mana yang dibutuhkan dalam tugas.
5. Dalam tugas seperti itu, celah selalu ditetapkan: x yang ditemukan di paragraf 3 harus disertakan dalam celah ini.
6. Gantikan titik maksimum atau minimum yang dihasilkan dalam persamaan awal, kita mendapatkan nilai terbesar atau terkecil dari fungsi tersebut.

Tugas dengan ujian:

Temukan nilai terbesar dari fungsi pada interval [−4; −1]

Jawaban: -6

Temukan nilai terbesar dari fungsi pada segmen tersebut

• Nilai tertinggi dari fungsi tersebut adalah "11" pada titik maksimum (pada segmen ini) "0".

Jawaban: 11

Kesimpulan:

1. 70% kesalahannya adalah para pria tidak ingat apa yang ditanggapi nilai terbesar / terkecil dari fungsi yang Anda butuhkan untuk menulis "y", dan seterusnya tulis titik maksimum / minimum "x".
2. Apakah turunannya memiliki solusi saat mencari nilai fungsi? Tidak masalah, gantikan titik ekstrim dari celah tersebut!
3. Jawabannya selalu dapat ditulis sebagai angka atau desimal. TIDAK? Kemudian ubah contohnya.
4. Dalam sebagian besar tugas, satu poin akan diperoleh dan kemalasan kita untuk memeriksa maksimum atau minimum akan dibenarkan. Kami mendapat satu poin - Anda dapat menulis tanggapan dengan aman.
5. Dan di sini dengan mencari nilai suatu fungsi, Anda tidak boleh melakukan ini! Pastikan ini adalah titik yang diinginkan, jika tidak, nilai ekstrim dari celah mungkin lebih besar atau lebih kecil.

Dari artikel ini, pembaca akan belajar tentang apa itu nilai fungsional ekstrem, serta tentang fitur penggunaannya dalam praktik. Studi tentang konsep semacam itu sangat penting untuk memahami dasar-dasar matematika yang lebih tinggi. Topik ini sangat penting untuk mempelajari kursus yang lebih dalam.

Berhubungan dengan

Apa itu ekstrem?

Dalam kursus sekolah, banyak definisi konsep "ekstrim" diberikan. Artikel ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman istilah yang paling dalam dan paling jelas bagi mereka yang tidak mengetahui masalah tersebut. Jadi, istilah tersebut dipahami sejauh mana interval fungsional memperoleh nilai minimum atau maksimum pada suatu himpunan tertentu.

Ekstrem adalah nilai minimum dari fungsi dan maksimum pada saat yang bersamaan. Ada titik minimal dan titik maksimal, yaitu nilai ekstrim dari argumen pada grafik. Ilmu utama di mana konsep ini digunakan:

• statistik;
• kontrol mesin;
• ekonometrik.

Titik ekstrem memainkan peran penting dalam menentukan urutan fungsi yang diberikan. Sistem koordinat pada grafik yang terbaik menunjukkan perubahan posisi ekstrim tergantung pada perubahan fungsi.

Ekstrem dari fungsi turunan

Ada juga yang namanya "turunan". Penting untuk menentukan titik ekstrem. Penting untuk tidak mengacaukan poin minimum atau maksimum dengan nilai terbesar dan terkecil. Ini adalah konsep yang berbeda, meskipun mungkin tampak serupa.

Nilai fungsi merupakan faktor utama dalam menentukan cara mencari titik maksimum. Derivatif tidak terbentuk dari nilai-nilai, tetapi secara eksklusif dari posisi ekstremnya dalam satu atau lain urutan.

Derivatif itu sendiri ditentukan berdasarkan data titik ekstrim, dan bukan nilai terbesar atau terkecil. Di sekolah Rusia, garis antara kedua konsep ini tidak ditarik dengan jelas, yang memengaruhi pemahaman topik ini secara umum.

Sekarang mari kita pertimbangkan hal seperti "ujung yang tajam". Sampai saat ini, ada nilai minimum yang akut dan nilai maksimum yang akut. Definisi diberikan sesuai dengan klasifikasi Rusia dari titik kritis suatu fungsi. Konsep titik ekstrim adalah dasar untuk menemukan titik kritis pada grafik.

Untuk mendefinisikan konsep seperti itu, teorema Fermat digunakan. Ini adalah yang paling penting dalam mempelajari titik-titik ekstrim dan memberikan gambaran yang jelas tentang keberadaan mereka dalam satu atau lain bentuk. Untuk memastikan keekstriman, penting untuk menciptakan kondisi tertentu untuk penurunan atau peningkatan pada grafik.

Untuk menjawab pertanyaan "bagaimana menemukan titik maksimum" secara akurat, Anda harus mengikuti ketentuan berikut:

1. Menemukan area definisi yang tepat pada grafik.
2. Cari turunan dari fungsi dan titik ekstrem.
3. Selesaikan pertidaksamaan standar untuk domain argumen.
4. Mampu membuktikan di mana fungsi suatu titik pada grafik didefinisikan dan kontinu.

Perhatian! Pencarian titik kritis suatu fungsi hanya mungkin jika ada turunan dari setidaknya orde kedua, yang dipastikan dengan proporsi tinggi dari keberadaan titik ekstrem.

Kondisi yang diperlukan untuk fungsi ekstrem

Agar ekstrem ada, penting bahwa ada titik minimum dan titik maksimum. Jika aturan ini dipatuhi hanya sebagian, maka syarat keberadaan ekstrem dilanggar.

Setiap fungsi dalam posisi apa pun harus dibedakan untuk mengidentifikasi makna barunya. Penting untuk dipahami bahwa kasus ketika suatu titik hilang bukanlah prinsip utama untuk menemukan titik yang dapat dibedakan.

Ekstrem tajam, serta fungsi minimum, merupakan aspek yang sangat penting dalam memecahkan masalah matematika menggunakan nilai ekstrem. Untuk lebih memahami komponen ini, penting untuk merujuk pada nilai tabular untuk penetapan fungsional.

Eksplorasi makna yang lengkap

Merencanakan Nilai

1. Penentuan titik kenaikan dan penurunan nilai. 2. Mencari break point, extremum dan interseksi dengan sumbu koordinat. 3. Proses penentuan perubahan posisi pada chart. 4. Penentuan indeks dan arah konveksitas dan konveksitas, dengan mempertimbangkan adanya asimtot. 5. Pembuatan tabel ringkasan penelitian dalam hal penentuan koordinatnya. 6. Mencari interval kenaikan dan penurunan titik ekstrim dan akut. 7. Penentuan kecembungan dan kecekungan kurva. 8. Membangun grafik berdasarkan studi memungkinkan Anda menemukan minimum atau maksimum.

Elemen utama, bila diperlukan untuk bekerja dengan ekstrem, adalah konstruksi grafiknya yang tepat. Guru sekolah seringkali tidak memberikan perhatian maksimal pada aspek penting tersebut, yang merupakan pelanggaran berat terhadap proses pendidikan. Grafik dibangun hanya berdasarkan hasil studi data fungsional, definisi ekstrem tajam, serta titik-titik pada grafik. Ekstrem tajam dari turunan suatu fungsi ditampilkan pada sebidang nilai eksak menggunakan prosedur standar untuk menentukan asimtot. Titik maksimum dan minimum dari fungsi disertai dengan plotting yang lebih kompleks. Ini karena kebutuhan yang lebih dalam untuk menyelesaikan masalah ekstrem yang tajam. Penting juga untuk menemukan turunan dari fungsi yang kompleks dan sederhana, karena ini adalah salah satu konsep terpenting dalam soal ekstrem.

ekstrem fungsional

Untuk menemukan nilai di atas, Anda harus mematuhi aturan berikut:

• menentukan kondisi yang diperlukan untuk rasio ekstrem;
• memperhitungkan kondisi cukup dari titik ekstrim pada grafik;
• melakukan perhitungan ekstremitas akut.

Ada juga konsep seperti minimum lemah dan minimum kuat. Ini harus diperhitungkan saat menentukan ekstrem dan perhitungan pastinya. Pada saat yang sama, fungsionalitas tajam adalah pencarian dan pembuatan semua kondisi yang diperlukan untuk bekerja dengan grafik fungsi.

Titik ekstrim suatu fungsi adalah titik dalam domain fungsi di mana nilai fungsi mengambil nilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi pada titik-titik ini disebut ekstrem (minimum dan maksimum) dari fungsi tersebut.

Definisi. Dot X1 lingkup fungsi F(X) disebut titik maksimum fungsi , jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu pertidaksamaan F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maksimum.

Definisi. Dot X2 lingkup fungsi F(X) disebut titik minimum fungsi, jika nilai fungsi pada titik ini lebih kecil dari nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu pertidaksamaan F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). Dalam hal ini, fungsi tersebut dikatakan memiliki titik X2 minimum.

Katakanlah intinya X1 - titik maksimum fungsi F(X) . Kemudian pada interval hingga X1 fungsi meningkat, jadi turunan fungsinya lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ), dan dalam interval sesudahnya X1 fungsinya menurun, jadi turunan fungsi kurang dari nol ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Mari kita asumsikan juga intinya X2 - titik minimum fungsi F(X) . Kemudian pada interval hingga X2 fungsinya menurun dan turunan dari fungsinya kurang dari nol ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 fungsi meningkat dan turunan dari fungsi lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ). Dalam hal ini juga pada intinya X2 turunan dari fungsi tersebut nol atau tidak ada.

Teorema Fermat (kriteria yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem suatu fungsi). Jika titik X0 - titik ekstrim dari fungsi F(X), maka pada titik ini turunan fungsinya sama dengan nol ( F "(X) = 0 ) atau tidak ada.

Definisi. Titik-titik di mana turunan suatu fungsi sama dengan nol atau tidak ada disebut poin kritis .

Contoh 1 Mari kita pertimbangkan suatu fungsi.

Pada intinya X= 0 turunan dari fungsi sama dengan nol, oleh karena itu, intinya X= 0 adalah titik kritis. Namun, seperti yang dapat dilihat pada grafik fungsi, itu meningkat di seluruh domain definisi, jadi intinya X= 0 bukan merupakan titik ekstrim dari fungsi ini.

Jadi, syarat bahwa turunan suatu fungsi pada suatu titik sama dengan nol atau tidak ada adalah syarat perlu untuk suatu ekstrem, tetapi tidak cukup, karena contoh fungsi lain dapat diberikan yang syaratnya dipenuhi, tetapi fungsinya tidak memiliki ekstrem pada titik yang bersesuaian. Itu sebabnya harus memiliki indikasi yang cukup, yang memungkinkan untuk menilai apakah ada ekstrem pada titik kritis tertentu dan mana yang maksimum atau minimum.

Teorema (kriteria cukup pertama untuk keberadaan ekstrem suatu fungsi). Titik kritis X0 F(X) , jika turunan dari fungsi berubah tanda saat melewati titik ini, dan jika tanda berubah dari "plus" menjadi "minus", maka titik maksimumnya, dan jika dari "minus" menjadi "plus", maka titik minimumnya .

Jika dekat titik X0 , di sebelah kiri dan kanannya, turunannya mempertahankan tandanya, ini berarti bahwa fungsinya hanya berkurang atau hanya bertambah di beberapa lingkungan titik X0 . Dalam hal ini, pada intinya X0 tidak ada ekstrim.

Jadi, untuk menentukan titik ekstrem dari fungsi, Anda perlu melakukan hal berikut :

1. Temukan turunan dari suatu fungsi.
2. Samakan turunannya dengan nol dan tentukan titik kritisnya.
3. Secara mental atau di atas kertas, tandai titik kritis pada sumbu numerik dan tentukan tanda turunan fungsi dalam interval yang diperoleh. Jika tanda turunannya berubah dari "plus" menjadi "minus", maka titik kritisnya adalah titik maksimum, dan jika dari "minus" menjadi "plus", maka titik kritisnya adalah titik minimumnya.
4. Hitung nilai fungsi di titik-titik ekstrem.

Contoh 2 Temukan ekstrem dari suatu fungsi .

Larutan. Mari kita cari turunan dari fungsi:

Samakan turunannya dengan nol untuk menemukan titik kritis:

.

Karena untuk nilai "x" apa pun penyebutnya tidak sama dengan nol, maka kami menyamakan pembilangnya dengan nol:

Mendapat satu titik kritis X= 3 . Kami menentukan tanda turunan dalam interval yang dibatasi oleh titik ini:

dalam kisaran dari minus tak terhingga hingga 3 - tanda minus, yaitu fungsinya menurun,

dalam kisaran dari 3 hingga plus tak terhingga - tanda tambah, yaitu fungsinya meningkat.

Artinya, titik X= 3 adalah titik minimum.

Temukan nilai fungsi pada titik minimum:

Dengan demikian, titik ekstrem dari fungsi tersebut ditemukan: (3; 0) , dan merupakan titik minimum.

Teorema (kriteria cukup kedua untuk keberadaan ekstrem suatu fungsi). Titik kritis X0 adalah titik ekstrim dari fungsi F(X), jika turunan kedua dari fungsi pada titik ini tidak sama dengan nol ( F ""(X) ≠ 0 ), apalagi jika turunan keduanya lebih besar dari nol ( F ""(X) > 0 ), maka titik maksimum, dan jika turunan keduanya kurang dari nol ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Keterangan 1. Jika pada suatu titik X0 baik turunan pertama dan kedua lenyap, maka pada titik ini tidak mungkin untuk menilai keberadaan ekstrem berdasarkan tanda cukup kedua. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan kriteria pertama yang cukup untuk fungsi ekstrem.

Catatan 2. Kriteria cukup kedua untuk ekstrem suatu fungsi juga tidak dapat diterapkan jika turunan pertama tidak ada di titik stasioner (maka turunan kedua juga tidak ada). Dalam hal ini, juga perlu menggunakan kriteria cukup pertama untuk fungsi ekstrem.

Sifat lokal dari ekstrem fungsi

Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa ekstrem suatu fungsi bersifat lokal - ini adalah nilai fungsi terbesar dan terkecil dibandingkan dengan nilai terdekat.

Misalkan Anda mempertimbangkan penghasilan Anda dalam rentang waktu satu tahun. Jika pada bulan Mei Anda memperoleh 45.000 rubel, dan pada bulan April 42.000 rubel, dan pada bulan Juni 39.000 rubel, maka penghasilan bulan Mei adalah fungsi penghasilan maksimum dibandingkan dengan nilai terdekat. Tetapi pada bulan Oktober Anda memperoleh 71.000 rubel, pada bulan September 75.000 rubel, dan pada bulan November 74.000 rubel, jadi penghasilan Oktober adalah fungsi penghasilan minimum dibandingkan dengan nilai terdekat. Dan Anda dapat dengan mudah melihat bahwa maksimum di antara nilai April-Mei-Juni kurang dari minimum September-Oktober-November.

Secara umum, suatu fungsi dapat memiliki beberapa ekstrem pada suatu interval, dan mungkin ternyata setiap minimum dari fungsi tersebut lebih besar daripada maksimum apa pun. Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan pada gambar di atas, .

Artinya, orang tidak boleh berpikir bahwa fungsi maksimum dan minimum masing-masing adalah nilai maksimum dan minimumnya pada seluruh segmen yang dipertimbangkan. Pada titik maksimum, fungsi tersebut memiliki nilai terbesar hanya dibandingkan dengan nilai-nilai yang dimilikinya di semua titik yang cukup dekat dengan titik maksimum, dan pada titik minimum, nilai terkecil hanya dibandingkan dengan nilai-nilai tersebut. bahwa ia memiliki semua titik yang cukup dekat dengan titik minimum.

Oleh karena itu, kita dapat menyempurnakan konsep titik ekstrem fungsi di atas dan menyebut titik minimum titik minimum lokal, dan titik maksimum - titik maksimum lokal.

Kami mencari ekstrem fungsi bersama

Contoh 3

Solusi Fungsi tersebut terdefinisi dan kontinu pada garis bilangan bulat. Turunannya juga ada di seluruh garis bilangan. Oleh karena itu, dalam hal ini, hanya di mana , yaitu, berfungsi sebagai titik kritis. , dari mana dan . Titik kritis dan membagi seluruh domain fungsi menjadi tiga interval monotonitas: . Kami memilih satu titik kontrol di masing-masingnya dan menemukan tanda turunannya pada titik ini.

Untuk interval, titik acuannya adalah : kita temukan . Mengambil titik dalam interval, kita mendapatkan , dan mengambil titik dalam interval, kita . Jadi, dalam interval dan , dan dalam interval . Menurut tanda yang cukup pertama dari suatu ekstrem, tidak ada ekstrem pada titik tersebut (karena turunan mempertahankan tandanya dalam interval ), dan fungsinya memiliki minimum pada titik tersebut (karena turunannya mengubah tanda dari minus menjadi plus ketika lewat melalui titik ini). Temukan nilai yang sesuai dari fungsi: , dan . Dalam interval, fungsinya berkurang, karena dalam interval ini , dan dalam interval itu meningkat, karena dalam interval ini.

Untuk memperjelas konstruksi grafik, kami menemukan titik-titik perpotongannya dengan sumbu koordinat. Ketika kita mendapatkan persamaan yang akarnya dan , yaitu dua titik (0; 0) dan (4; 0) dari grafik fungsi ditemukan. Menggunakan semua informasi yang diterima, kami membuat grafik (lihat di awal contoh).

Untuk pemeriksaan mandiri selama perhitungan, Anda dapat menggunakan kalkulator derivatif online .

Contoh 4 Temukan ekstrem dari fungsi dan buat grafiknya.

Domain dari fungsi adalah seluruh garis bilangan, kecuali titik, yaitu. .

Untuk mempersingkat studi, kita dapat menggunakan fakta bahwa fungsi ini genap, karena . Oleh karena itu, grafiknya simetris terhadap sumbu Oy dan studi hanya dapat dilakukan untuk interval.

Menemukan turunannya dan titik kritis dari fungsi:

1) ;

2) ,

tetapi fungsi mengalami jeda pada titik ini, sehingga tidak bisa menjadi titik ekstrem.

Dengan demikian, fungsi yang diberikan memiliki dua titik kritis: dan . Mempertimbangkan paritas fungsi, kami hanya memeriksa titik dengan tanda kedua yang cukup dari ekstrem. Untuk melakukan ini, kami menemukan turunan kedua dan tentukan tandanya di : kita dapatkan . Sejak dan , maka adalah titik minimum dari fungsi, sementara .

Untuk mendapatkan gambaran grafik fungsi yang lebih lengkap, mari cari tahu perilakunya pada batas-batas domain definisi:

(di sini simbol menunjukkan keinginan X ke nol di sebelah kanan, dan X tetap positif; sama artinya aspirasi X ke nol di sebelah kiri, dan X tetap negatif). Jadi, jika , maka . Selanjutnya, kita temukan

,

itu. jika kemudian .

Grafik fungsi tidak memiliki titik potong dengan sumbu. Gambar ada di awal contoh.

Untuk pemeriksaan mandiri selama perhitungan, Anda dapat menggunakan kalkulator derivatif online .

Kami terus mencari ekstrem fungsi bersama-sama

Contoh 8 Temukan ekstrem dari fungsi .

Larutan. Temukan domain dari fungsi tersebut. Karena pertidaksamaan harus berlaku, kita dapatkan dari .

Mari kita cari turunan pertama dari fungsi tersebut.