Maksimum adalah angka terbesar atau batas terbesar yang dapat dicapai. Minimumnya, seperti yang kita ketahui dengan baik, adalah kebalikan dari maksimum, yaitu. itu adalah bilangan terkecil dan batas terkecil. Kata minimum dan maksimum serta turunannya terdapat dalam ungkapan dan frasa seperti:

Dapatkan hasil maksimal dari komunikasi.

Untuk mempelajari sebuah puisi, Anda perlu membacanya setidaknya 3-4 kali.

Yang paling bisa dia lakukan adalah...

Mereka memiliki setidaknya dua teman yang sama.

Dia mendapat nilai tertinggi.

Manfaatkan peluang Anda sebaik-baiknya!

Ini adalah jumlah minimum yang perlu Anda ketahui.

Upah hidup.

Tekanan atmosfer minimum.

Dingin minimum/maksimum selama…..tahun.

Anda memerlukan setidaknya beberapa jam untuk menyelesaikan pekerjaan ini.

Konsep maksimum dan minimum juga dapat ditemukan dalam istilah ilmiah khusus. Misalnya dalam matematika ada konsep maksimum dan minimum suatu fungsi.

Jadi, maksimum dalam matematika adalah nilai terbesar suatu fungsi. Dalam hal ini, nilai maksimum suatu fungsi lebih besar dari semua nilai yang berdekatan dengannya. Maksimum suatu fungsi adalah nilainya ketika nilainya pertama kali naik dan kemudian segera mulai menurun, sedangkan fungsi tersebut mencapai maksimum pada tempat di mana kenaikan dan penurunan fungsi berpindah dari satu fungsi ke fungsi lainnya. Oleh karena itu, nilai minimum suatu fungsi adalah nilai terkecil dari fungsi tersebut.

Turunan pertama suatu fungsi dapat dianggap positif, jika naik saat kita menaikkan variabelnya, maka fungsi tersebut dianggap positif. Jika variabel pertama menurun seiring dengan bertambahnya turunan, maka fungsinya dianggap negatif.

Turunan adalah nilai utama yang digunakan dalam perhitungan diferensial (studi tentang turunan dan diferensial, yang membantu mempelajari fungsi matematika), dapat dipahami sebagai laju perubahan suatu fungsi pada suatu titik tertentu. Semakin besar kecepatannya, semakin kuat perubahan fungsinya, semakin kecil, semakin lambat (namun hal ini hanya berlaku jika fungsinya positif). Jadi, laju perubahan suatu fungsi pada suatu titik tertentulah yang menentukan kemiringan dan tonjolannya. Variabel adalah besaran yang dapat berubah nilainya. Dilambangkan dengan x atau waktu.

Variabel dapat dianggap sebagai atribut suatu sistem (baik fisik maupun abstrak) yang dapat mengubah nilainya. Dalam pengertian yang lebih global, suatu variabel dapat disebut waktu dan suhu, dan, secara umum, semua kehidupan (dapat berubah). Sebuah variabel mempunyai banyak nilai yang dapat diambilnya. Kita dapat berasumsi bahwa himpunan ini adalah variabel.

Sedangkan untuk fungsinya sendiri, harus berubah dari nilai positif ke negatif melalui nol. Jadi, pada nilai variabel yang sesuai dengan fungsi maksimum, turunannya akan sama dengan nol. Sifat fungsi inilah yang memungkinkan untuk menentukan nilai x di mana fungsi tersebut mencapai maksimum. Namun, jika kita menaikkan variabelnya dan, pada saat yang sama, fungsi tersebut mula-mula naik lalu turun, maka fungsi tersebut, ketika berubah dari nilai negatif ke positif (melewati nol), tidak akan mencapai maksimum, tetapi, sebaliknya, nilai minimum. Meskipun, secara logika, ini dapat dianggap sebagai nilai maksimum (ada di bagian atas fungsi).

Titik maksimum dan minimum suatu fungsi disebut juga titik ekstrem.

Jadi, baik dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam matematika, maksimum dan minimum adalah dua hal yang sangat berlawanan yang menunjukkan sesuatu yang terbesar dan sesuatu yang terkecil.

Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik dalam domain fungsi yang nilai fungsi tersebut bernilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi pada titik-titik ini disebut ekstrem (minimum dan maksimum) dari fungsi tersebut.

Definisi. Dot X1 ruang lingkup fungsi F(X) disebut titik maksimum dari fungsi tersebut , jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilai fungsi pada titik-titik yang cukup dekat dengannya, terletak di kanan dan kirinya (yaitu pertidaksamaan F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maksimum.

Definisi. Dot X2 ruang lingkup fungsi F(X) disebut titik minimum dari fungsi tersebut, jika nilai fungsi pada titik ini lebih kecil dari nilai fungsi pada titik-titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). Dalam hal ini, fungsi tersebut dikatakan ada pada titik X2 minimum.

Katakanlah intinya X1 - titik maksimum dari fungsi tersebut F(X) . Kemudian pada interval hingga X1 fungsi meningkat, jadi turunan fungsi tersebut lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ), dan dalam interval setelahnya X1 fungsinya menurun, jadi turunan fungsi kurang dari nol ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Mari kita asumsikan juga hal itu X2 - titik minimum dari fungsi tersebut F(X) . Kemudian pada interval hingga X2 fungsinya menurun dan turunan fungsinya kurang dari nol ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 fungsinya meningkat dan turunan fungsi tersebut lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ). Dalam hal ini juga pada intinya X2 turunan fungsi tersebut nol atau tidak ada.

Teorema Fermat (kriteria yang diperlukan untuk keberadaan fungsi ekstrem). Jika poin X0 - titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X) , maka pada titik ini turunan fungsinya sama dengan nol ( F "(X) = 0 ) atau tidak ada.

Definisi. Titik yang turunan suatu fungsi sama dengan nol atau tidak ada disebut poin kritis .

Contoh 1 Mari kita pertimbangkan suatu fungsi.

Pada intinya X= 0 turunan fungsi sama dengan nol, maka titik X= 0 adalah titik kritis. Namun, seperti terlihat pada grafik fungsinya, fungsi tersebut meningkat di seluruh domain definisi, begitu pula intinya X= 0 bukan merupakan titik ekstrem dari fungsi ini.

Jadi, kondisi bahwa turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol atau tidak ada merupakan kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem, tetapi tidak cukup, karena contoh fungsi lain dapat diberikan yang memenuhi kondisi ini, tetapi fungsinya tidak memiliki titik ekstrem pada titik yang bersesuaian. Itu sebabnya harus mempunyai indikasi yang cukup, yang memungkinkan untuk menilai apakah ada titik ekstrem pada titik kritis tertentu dan mana yang maksimum atau minimum.

Teorema (kriteria cukup pertama untuk keberadaan suatu fungsi ekstrem). Titik kritis X0 F(X) , jika turunan fungsi tersebut berubah tanda ketika melewati titik tersebut, dan jika tandanya berubah dari "plus" menjadi "minus", maka titik maksimumnya, dan jika dari "minus" menjadi "plus", maka titik minimumnya .

Jika dekat dengan titik tersebut X0 , di kiri dan kanannya, turunannya tetap bertanda, artinya fungsi tersebut hanya berkurang atau hanya bertambah di beberapa lingkungan titik X0 . Dalam hal ini, pada intinya X0 tidak ada ekstrem.

Jadi, untuk menentukan titik ekstrem suatu fungsi, Anda perlu melakukan hal berikut :

1. Temukan turunan suatu fungsi.
2. Samakan turunannya dengan nol dan tentukan titik kritisnya.
3. Secara mental atau di atas kertas, tandai titik-titik kritis pada sumbu numerik dan tentukan tanda-tanda turunan fungsi pada interval yang diperoleh. Jika tanda turunannya berubah dari “plus” menjadi “minus”, maka titik kritisnya adalah titik maksimum, dan jika dari “minus” menjadi “plus”, maka titik kritisnya adalah titik minimumnya.
4. Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem.

Contoh 2 Temukan ekstrem suatu fungsi .

Larutan. Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:

Samakan turunannya dengan nol untuk mencari titik kritis:

.

Karena untuk sembarang nilai "x" penyebutnya tidak sama dengan nol, maka kita samakan pembilangnya dengan nol:

Ada satu poin penting X= 3 . Kami menentukan tanda turunannya dalam interval yang dibatasi oleh titik ini:

dalam rentang dari minus tak terhingga hingga 3 - tanda minus, yaitu fungsinya menurun,

dalam kisaran dari 3 hingga plus tak terhingga - tanda tambah, yaitu fungsinya meningkat.

Yaitu, intinya X= 3 adalah poin minimum.

Temukan nilai fungsi pada titik minimum:

Jadi, titik ekstrem dari fungsi tersebut ditemukan: (3; 0) , dan itu adalah titik minimum.

Teorema (kriteria cukup kedua untuk keberadaan fungsi ekstrem). Titik kritis X0 adalah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X) , jika turunan kedua fungsi pada titik ini tidak sama dengan nol ( F ""(X) ≠ 0 ), apalagi jika turunan keduanya lebih besar dari nol ( F ""(X) > 0 ), maka titik maksimumnya, dan jika turunan keduanya kurang dari nol ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Catatan 1. Jika pada suatu titik X0 baik turunan pertama maupun turunan kedua hilang, maka pada titik ini tidak mungkin menilai keberadaan ekstrem berdasarkan tanda cukup kedua. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan kriteria cukup pertama untuk fungsi ekstrem.

Catatan 2. Kriteria cukup kedua untuk ekstrem suatu fungsi juga tidak dapat diterapkan jika turunan pertama tidak ada pada titik stasioner (maka turunan keduanya juga tidak ada). Dalam hal ini, kriteria cukup pertama untuk fungsi ekstrem juga perlu digunakan.

Sifat lokal dari fungsi ekstrem

Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa ekstrem suatu fungsi bersifat lokal - ini adalah nilai fungsi terbesar dan terkecil dibandingkan dengan nilai terdekat.

Misalkan Anda mempertimbangkan penghasilan Anda dalam rentang waktu satu tahun. Jika pada bulan Mei Anda memperoleh 45.000 rubel, dan pada bulan April 42.000 rubel, dan pada bulan Juni 39.000 rubel, maka penghasilan bulan Mei adalah maksimum dari fungsi penghasilan dibandingkan dengan nilai terdekat. Namun pada bulan Oktober Anda memperoleh 71.000 rubel, pada bulan September 75.000 rubel, dan pada bulan November 74.000 rubel, sehingga penghasilan bulan Oktober adalah fungsi penghasilan minimum dibandingkan dengan nilai di dekatnya. Dan Anda dapat dengan mudah melihat bahwa nilai maksimum pada bulan April-Mei-Juni kurang dari nilai minimum pada bulan September-Oktober-November.

Secara umum, suatu fungsi mungkin memiliki beberapa ekstrem pada suatu interval, dan mungkin saja fungsi minimumnya lebih besar daripada maksimumnya. Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan pada gambar di atas, .

Artinya, kita tidak boleh berpikir bahwa fungsi maksimum dan minimum masing-masing adalah nilai maksimum dan minimumnya pada seluruh segmen yang dipertimbangkan. Pada titik maksimum, fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar hanya jika dibandingkan dengan nilai yang dimilikinya di semua titik cukup dekat dengan titik maksimum, dan pada titik minimum, nilai terkecil hanya dibandingkan dengan nilai tersebut. bahwa ia mempunyai titik-titik yang cukup dekat dengan titik minimum.

Oleh karena itu, kita dapat menyempurnakan konsep titik ekstrem dari suatu fungsi yang diberikan di atas dan menyebut titik minimum sebagai titik minimum lokal, dan titik maksimum sebagai titik maksimum lokal.

Kami mencari fungsi ekstrem bersama-sama

Contoh 3

Solusi Fungsi tersebut terdefinisi dan kontinu pada garis bilangan bulat. Turunannya juga ada pada seluruh garis bilangan. Oleh karena itu, dalam hal ini, hanya titik-titik yang , yaitu, berfungsi sebagai titik kritis. , dari mana dan . Titik kritis dan bagi seluruh domain fungsi menjadi tiga interval monotonisitas: . Kami memilih satu titik kontrol di masing-masing titik tersebut dan menemukan tanda turunannya pada titik ini.

Untuk intervalnya, titik acuannya dapat berupa : kita temukan . Dengan mengambil sebuah titik dalam interval tersebut, kita mendapatkan , dan mengambil sebuah titik dalam interval tersebut, kita mendapatkan . Jadi, di interval dan , dan di interval . Berdasarkan tanda cukup pertama dari suatu ekstrem, tidak ada ekstrem di titik tersebut (karena turunannya tetap bertanda pada interval ), dan fungsinya memiliki minimum di titik tersebut (karena turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus ketika melewati melalui titik ini). Temukan nilai fungsi yang sesuai: , dan . Dalam interval tersebut, fungsinya menurun, karena dalam interval ini , dan dalam interval tersebut meningkat, karena dalam interval ini.

Untuk memperjelas konstruksi grafik, kita mencari titik potongnya dengan sumbu koordinat. Ketika kita memperoleh persamaan yang akar-akarnya dan , yaitu dua titik (0; 0) dan (4; 0) dari grafik fungsi tersebut ditemukan. Dengan menggunakan semua informasi yang diterima, kami membuat grafik (lihat contoh di awal).

Untuk pengecekan mandiri selama perhitungan, Anda dapat menggunakan kalkulator derivatif online .

Contoh 4 Temukan ekstrem dari fungsi tersebut dan buat grafiknya.

Daerah asal fungsi tersebut adalah seluruh garis bilangan, kecuali titik, yaitu. .

Untuk mempersingkat pembelajaran, kita dapat menggunakan fakta bahwa fungsi ini genap, karena . Oleh karena itu, grafiknya simetris terhadap sumbunya Oi dan penelitian hanya dapat dilakukan untuk selang waktu.

Menemukan turunannya dan titik kritis dari fungsi tersebut:

1) ;

2) ,

tetapi fungsinya mengalami jeda pada titik ini, sehingga tidak bisa menjadi titik ekstrem.

Jadi, fungsi yang diberikan memiliki dua titik kritis: dan . Dengan mempertimbangkan paritas fungsi, kami hanya memeriksa titik dengan tanda ekstrem kedua yang cukup. Untuk melakukan ini, kita mencari turunan keduanya dan tentukan tandanya di : kita peroleh . Karena dan , maka adalah titik minimum dari fungsi tersebut, sedangkan .

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih lengkap tentang grafik suatu fungsi, mari kita cari tahu perilakunya pada batas-batas domain definisi:

(di sini simbol menunjukkan keinginan X ke nol di sebelah kanan, dan X tetap positif; sama artinya aspirasi X ke nol di sebelah kiri, dan X tetap negatif). Jadi, jika , maka . Selanjutnya, kita temukan

,

itu. jika kemudian .

Grafik fungsi tidak mempunyai titik potong dengan sumbunya. Gambarnya ada di awal contoh.

Untuk pengecekan mandiri selama perhitungan, Anda dapat menggunakan kalkulator derivatif online .

Kami terus mencari fungsi ekstrem bersama-sama

Contoh 8 Temukan ekstrem dari fungsinya .

Larutan. Temukan domain dari fungsi tersebut. Karena pertidaksamaan harus dipertahankan, kita peroleh dari .

Mari kita cari turunan pertama dari fungsi tersebut.

Dalil. (kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem) Jika fungsi f (x) terdiferensiasi di titik x \u003d x 1 dan titik x 1 merupakan titik ekstrem, maka turunan fungsi tersebut hilang di titik tersebut.

Bukti. Misalkan fungsi f(x) mempunyai maksimum di titik x = x 1.

Kemudian, untuk Dх>0 positif yang cukup kecil, berlaku pertidaksamaan berikut:

A-priori:

Itu. jika Dх®0, tetapi Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, lalu f¢(x 1) £ 0.

Dan ini hanya mungkin jika pada Dх®0 f¢(x 1) = 0.

Untuk kasus ketika fungsi f(x) mempunyai minimum di titik x 2, teorema tersebut dibuktikan dengan cara yang sama.

Teorema tersebut telah terbukti.

Konsekuensi. Hal sebaliknya tidak benar. Jika turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol, bukan berarti fungsi tersebut mempunyai ekstrem di titik tersebut. Contoh nyata dari hal ini adalah fungsi y \u003d x 3, yang turunannya di titik x \u003d 0 sama dengan nol, tetapi pada titik ini fungsi tersebut hanya memiliki infleksi, dan bukan maksimum atau minimum.

Definisi. poin kritis Fungsi adalah titik-titik yang turunan fungsi tersebut tidak ada atau sama dengan nol.

Teorema yang dibahas di atas memberi kita kondisi yang diperlukan untuk keberadaan suatu ekstrem, tetapi ini tidak cukup.

Contoh: f(x) = xô Contoh: f(x) =

Y y

Pada titik x = 0 fungsi tersebut mempunyai nilai minimum, tetapi pada titik x = 0 fungsi tersebut tidak mempunyai nilai minimum

tidak memiliki turunan. maksimum, tidak ada minimum, tidak

Secara umum, fungsi f(x) dapat mempunyai titik ekstrem pada titik-titik yang turunannya tidak ada atau sama dengan nol.

Dalil. (Kondisi yang cukup untuk keberadaan ekstrem)

Misalkan fungsi f(x) kontinu pada interval (a, b), yang memuat titik kritis x 1 , dan terdiferensiasi di semua titik interval ini (kecuali, mungkin, titik x 1 itu sendiri).

Jika melalui titik x 1 dari kiri ke kanan turunan fungsi f¢(x) berubah tanda dari “+” menjadi “-“, maka pada titik x = x 1 fungsi f(x) mempunyai maksimum, dan jika turunannya berubah tanda dari “-” menjadi “+” - maka fungsinya mempunyai minimum.

Bukti.

Membiarkan

Menurut teorema Lagrange: f(x) - f(x 1) = f¢(e)(x - x 1), dimana x< e < x 1 .

Maka: 1) Jika x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) Jika x > x 1, maka e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

Karena jawabannya sama, kita dapat mengatakan bahwa f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

Pembuktian teorema titik minimum serupa.

Teorema tersebut telah terbukti.

Berdasarkan hal tersebut di atas, dimungkinkan untuk mengembangkan prosedur tunggal untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu segmen:

1) Temukan titik kritis dari fungsi tersebut.

2) Temukan nilai fungsi pada titik kritis.

3) Temukan nilai fungsi di ujung-ujung segmen.

4) Pilihlah di antara nilai yang diperoleh yang terbesar dan terkecil.

Investigasi suatu fungsi secara ekstrem menggunakan

turunan dari orde yang lebih tinggi.

Misalkan f¢(x 1) = 0 di titik x = x 1 dan misalkan f¢¢(x 1) ada dan kontinu di suatu lingkungan di titik x 1 .

Dalil. Jika f¢(x 1) = 0, maka fungsi f(x) di titik x = x 1 mempunyai maksimum jika f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

Bukti.

Misalkan f¢(x 1) = 0 dan f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

Karena f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 di x x 1 . Artinya ketika melewati titik x = x 1, turunan f¢(x) berubah tanda dari “+” menjadi “-”, yaitu.

pada titik ini fungsi f(x) mencapai maksimum.

Untuk kasus fungsi minimum, teorema tersebut dibuktikan dengan cara yang sama.

Jika f¢¢(x) = 0, maka sifat titik kritisnya tidak diketahui. Diperlukan penelitian lebih lanjut untuk menentukannya.

Kecembungan dan kecekungan suatu kurva.

Titik belok.

Definisi. Kurvanya cembung ke atas pada interval (a, b) jika semua titiknya terletak di bawah garis singgung interval tersebut. Kurva yang titik cembungnya ke atas disebut cembung, dan kurva yang cembung ke bawah disebut cekung.

pada

Gambar tersebut menunjukkan ilustrasi definisi di atas.

Teorema 1. Jika di semua titik interval (a, b) turunan kedua fungsi f(x) negatif, maka kurva y = f(x) cembung ke atas (cembung).

Bukti. Misalkan x 0 О (a, b). Gambarlah garis singgung kurva pada titik ini.

Persamaan kurva: y = f(x);

Persamaan tangen:

Itu harus dibuktikan.

Menurut teorema Lagrange untuk f(x) – f(x 0): , x 0< c < x.

Menurut teorema Lagrange untuk

Misal x > x 0 lalu x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 dan c - x 0 > 0, dan sebagai tambahan, dengan syarat

Karena itu, .

Biarkan x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

Demikian pula dapat dibuktikan bahwa jika f¢¢(x) > 0 pada interval (a, b), maka kurva y=f(x) cekung pada interval (a, b).

Teorema tersebut telah terbukti.

Definisi. Titik yang memisahkan bagian cembung kurva dengan bagian cekung disebut titik belok.

Jelasnya, pada titik belok, garis singgung memotong kurva.

Teorema 2. Biarkan kurva didefinisikan oleh persamaan y = f(x). Jika turunan keduanya f¢¢(a) = 0 atau f¢¢(a) tidak ada dan ketika melewati titik x = a f¢¢(x) berubah tanda, maka titik kurva dengan absis x = a adalah titik belok.

Bukti. 1) Misalkan f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 untuk x > a. Lalu di

X< a кривая выпукла, а при x >kurva itu cekung, mis. titik x = a adalah titik belok.

2) Misalkan f¢¢(x) > 0 untuk x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b - menonjol. Maka x = b adalah titik belok.

Teorema tersebut telah terbukti.

Asimtot.

Dalam studi fungsi, sering terjadi bahwa ketika koordinat x suatu titik pada suatu kurva dihilangkan hingga tak terhingga, kurva tersebut mendekati garis lurus tertentu tanpa batas.

Definisi. Langsung ditelepon asimtot kurva, jika jarak dari titik variabel kurva ke garis lurus ini cenderung nol ketika titik tersebut dipindahkan hingga tak terhingga.

Perlu diperhatikan bahwa tidak setiap kurva mempunyai asimtot. Asimtotnya bisa lurus atau miring. Studi tentang fungsi untuk keberadaan asimtot sangat penting dan memungkinkan Anda menentukan sifat fungsi dan perilaku grafik kurva dengan lebih akurat.

Secara umum, suatu kurva, yang mendekati asimtotnya tanpa batas waktu, dapat memotongnya, dan tidak pada satu titik, seperti yang ditunjukkan pada grafik fungsi di bawah ini. . Asimtot miringnya y = x.

Mari kita pertimbangkan lebih detail metode untuk mencari asimtot kurva.

Asimtot vertikal.

Dari definisi asimtotnya dapat disimpulkan bahwa jika atau atau , maka garis x = a adalah asimtot kurva y = f(x).

Misalnya, untuk suatu fungsi, garis x = 5 adalah asimtot vertikal.

Asimtot miring.

Asumsikan kurva y = f(x) memiliki asimtot miring y = kx + b.

Mari kita tentukan titik potong kurva dan tegak lurus asimtot - M, P - titik potong tegak lurus ini dengan asimtot. Sudut antara asimtot dan sumbu x dilambangkan dengan j. Garis tegak lurus MQ terhadap sumbu x memotong asimtot di titik N.

Maka MQ = y adalah ordinat titik kurva, NQ = ordinat titik N pada asimtotnya.

Dengan syarat: , РNMP = j, .

Sudut j konstan dan tidak sama dengan 90 0

Kemudian .

Jadi, garis y = kx + b merupakan asimtot kurva tersebut. Untuk menentukan garis ini secara akurat, perlu dicari cara menghitung koefisien k dan b.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, kita keluarkan x dari tanda kurung:

Karena x®¥, lalu , Karena b = konstanta, maka .

Kemudian , karena itu,

.

Karena , Itu , karena itu,

Perhatikan bahwa asimtot horizontal adalah kasus khusus dari asimtot miring untuk k =0.

Contoh. .

1) Asimtot vertikal: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, maka x = 0 adalah asimtot vertikal.

2) Asimtot miring:

Jadi, garis lurus y = x + 2 merupakan asimtot miring.

Mari kita plot fungsinya:

Contoh. Temukan asimtotnya dan buat grafik fungsinya.

Garis x=3 dan x=-3 adalah asimtot vertikal kurva.

Temukan asimtot miring:

y = 0 adalah asimtot horizontal.

Contoh. Temukan asimtotnya dan buat grafik fungsinya .

Garis x = -2 merupakan asimtot vertikal kurva.

Mari kita temukan asimtot miring.

Secara total, garis y = x - 4 merupakan asimtot miring.

Skema Studi Fungsi

Proses meneliti suatu fungsi terdiri dari beberapa tahap. Untuk mendapatkan gambaran paling lengkap tentang perilaku fungsi dan sifat grafiknya, perlu dicari:

1) Ruang lingkup fungsinya.

Konsep ini mencakup domain nilai dan ruang lingkup suatu fungsi.

2) Titik henti sementara. (Jika tersedia).

3) Interval kenaikan dan penurunan.

4) Poin maksimum dan minimum.

5) Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada domain definisinya.

6) Daerah cembung dan cekung.

7) Titik belok (jika ada).

8) Asimtot (jika ada).

9) Membangun grafik.

Mari kita gunakan skema ini dengan sebuah contoh.

Contoh. Selidiki fungsinya dan buat grafiknya.

Temukan luas keberadaan fungsi tersebut. Jelas sekali domain definisi fungsinya adalah luas (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

Pada gilirannya terlihat bahwa garis x = 1, x = -1 adalah asimtot vertikal bengkok.

Daerah nilai dari fungsi ini adalah interval (-¥; ¥).

titik istirahat fungsinya adalah titik x=1, x=-1.

Kami menemukan poin kritis.

Mari kita cari turunan dari fungsinya

Poin kritis: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Mari kita cari turunan kedua dari fungsi tersebut

Mari kita tentukan kecembungan dan kecekungan kurva pada intervalnya.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ >0, kurva cekung

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ >0, kurva cekung

< x < ¥, y¢¢ >0, kurva cekung

Menemukan kesenjangan meningkat Dan menurun fungsi. Untuk melakukan ini, kita menentukan tanda-tanda turunan fungsi pada interval.

-¥ < x < - , y¢ >0, fungsinya meningkat

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ >0, fungsinya meningkat

Terlihat bahwa titik x = - merupakan suatu titik maksimum, dan titik x = adalah intinya minimum. Nilai fungsi pada titik-titik tersebut masing-masing adalah -3/2 dan 3/2.

Tentang vertikal asimtot sudah dikatakan di atas. Sekarang mari kita temukan asimtot miring.

Jadi persamaan asimtot miringnya adalah y = x.

Mari kita membangun jadwal fitur:

Fungsi beberapa variabel

Ketika mempertimbangkan fungsi beberapa variabel, kami membatasi diri pada penjelasan rinci tentang fungsi dua variabel, karena semua hasil yang diperoleh akan valid untuk fungsi sejumlah variabel yang berubah-ubah.

Definisi: Jika setiap pasangan bilangan bebas (x, y) dari suatu himpunan tertentu diberi satu atau lebih nilai variabel z menurut suatu aturan, maka variabel z disebut fungsi dari dua variabel.

Definisi: Jika sepasang bilangan (x, y) berkorespondensi dengan satu nilai z, maka fungsinya disebut jelas, dan jika lebih dari satu, maka - ambigu.

Definisi: Ruang lingkup definisi fungsi z adalah himpunan pasangan (x, y) yang fungsi z ada.

Definisi: Titik lingkungan M 0 (x 0, y 0) berjari-jari r adalah himpunan semua titik (x, y) yang memenuhi syarat .

Definisi: Nomor A dipanggil membatasi fungsi f(x, y) karena titik M(x, y) cenderung ke titik M 0 (x 0, y 0), jika untuk setiap bilangan e > 0 terdapat bilangan r > 0 sehingga untuk sembarang titik M (x, y) yang kondisinya

kondisinya juga benar .

Tuliskan:

Definisi: Misalkan titik M 0 (x 0, y 0) termasuk dalam domain fungsi f(x, y). Kemudian fungsi z = f(x, y) dipanggil kontinu di titik M 0 (x 0, y 0), jika

(1)

apalagi titik M(x, y) cenderung ke titik M 0 (x 0, y 0) secara sembarang.

Jika kondisi (1) tidak terpenuhi pada suatu titik, maka titik tersebut disebut titik puncaknya fungsi f(x, y). Ini mungkin terjadi dalam kasus berikut:

1) Fungsi z \u003d f (x, y) tidak terdefinisi di titik M 0 (x 0, y 0).

2) Tidak ada batasan.

3) Limit ini ada, tetapi tidak sama dengan f(x 0 , y 0).

Properti. Jika fungsi f(x, y, …) terdefinisi dan kontinu dalam suatu daerah tertutup dan

dibatasi daerah D, maka pada daerah tersebut paling sedikit terdapat satu titik

N(x 0 , y 0 , …) sehingga terjadi pertidaksamaan

f(x 0 , kamu 0 , …) ³ f(x, kamu, …)

serta sebuah titik N 1 (x 01 , y 01 , ...), sehingga untuk semua titik lainnya pertidaksamaannya benar

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

maka f(x 0 , y 0 , …) = M – nilai tertinggi fungsi, dan f(x 01 , y 01 , ...) = m - nilai terkecil fungsi f(x, y, …) di domain D.

Suatu fungsi kontinu dalam domain tertutup dan terbatas D mencapai setidaknya satu kali nilai maksimumnya dan satu kali nilai minimumnya.

Properti. Jika fungsi f(x, y, …) terdefinisi dan kontinu dalam domain berbatas tertutup D, dan M dan m masing-masing merupakan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi dalam domain ini, maka untuk sembarang titik m О di sana adalah sebuah poin

N 0 (x 0 , y 0 , …) sehingga f(x 0 , y 0 , …) = m.

Sederhananya, fungsi kontinu mengambil semua nilai perantara antara M dan m di domain D. Konsekuensi dari sifat ini dapat berupa kesimpulan bahwa jika bilangan M dan m mempunyai tanda yang berbeda, maka dalam domain D fungsi tersebut hilang paling sedikit satu kali.

Properti. Fungsi f(x, y, …), kontinu dalam domain berbatas tertutup D, terbatas pada luas tersebut, jika terdapat bilangan K sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan tersebut benar untuk semua titik pada luas tersebut .

Properti. Jika suatu fungsi f(x, y, …) terdefinisi dan kontinu dalam daerah berbatas tertutup D, maka fungsi tersebut kontinu secara seragam di daerah ini, yaitu. untuk setiap bilangan positif e terdapat bilangan D > 0 sehingga untuk dua titik (x 1 , y 1) dan (x 2 , y 2) dari luas yang terletak pada jarak kurang dari D, pertidaksamaannya

Sifat-sifat di atas mirip dengan sifat-sifat fungsi suatu variabel yang kontinu pada suatu interval. Lihat Sifat Fungsi Kontinu pada suatu Interval.

Turunan dan diferensial fungsi

beberapa variabel.

Definisi. Misalkan suatu fungsi z = f(x, y) diberikan dalam suatu domain. Ambil titik sembarang M(x, y) dan atur kenaikan Dx ke variabel x. Maka besaran D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) disebut kenaikan sebagian fungsi di x.

Dapat ditulis

.

Lalu menelepon turunan parsial fungsi z = f(x, y) di x.

Penamaan:

Turunan parsial suatu fungsi terhadap y didefinisikan dengan cara yang sama.

pengertian geometris turunan parsial (misalkan) adalah garis singgung kemiringan garis singgung yang ditarik di titik N 0 (x 0, y 0, z 0) terhadap penampang permukaan bidang y \u003d y 0.

Kenaikan penuh dan diferensial penuh.

bidang singgung

Misalkan N dan N 0 adalah titik pada permukaan tertentu. Mari kita menggambar garis lurus NN 0 . Bidang yang melalui titik N 0 disebut bidang singgung ke permukaan jika sudut antara garis potong NN 0 dan bidang ini cenderung nol ketika jarak NN 0 cenderung nol.

Definisi. normal ke permukaan di titik N 0 disebut garis lurus yang melalui titik N 0 tegak lurus bidang singgung permukaan tersebut.

Pada titik tertentu, permukaan hanya memiliki satu bidang singgung, atau tidak memiliki bidang singgung sama sekali.

Jika permukaan diberikan oleh persamaan z \u003d f (x, y), dimana f (x, y) adalah fungsi yang terdiferensiasi di titik M 0 (x 0, y 0), bidang singgung di titik N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) ada dan mempunyai persamaan:

Persamaan garis normal permukaan pada titik ini adalah:

pengertian geometris diferensial total suatu fungsi dua variabel f ​​(x, y) di titik (x 0, y 0) adalah pertambahan penerapan (koordinat z) bidang singgung ke permukaan selama transisi dari titik tersebut (x 0, y 0) ke titik (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

Seperti yang Anda lihat, makna geometri diferensial total suatu fungsi dua variabel merupakan analogi spasial dari makna geometri diferensial suatu fungsi satu variabel.

Contoh. Temukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan

di titik M(1, 1, 1).

Persamaan bidang singgung:

Persamaan Normal:

Perkiraan perhitungan menggunakan diferensial total.

Diferensial total fungsi u adalah:

Nilai pasti dari ungkapan ini adalah 1,049275225687319176.

Turunan parsial dari orde yang lebih tinggi.

Jika fungsi f(x, y) terdefinisi di suatu domain D, maka turunan parsialnya dan juga akan terdefinisi di domain atau bagian yang sama.

Kami akan menyebutnya turunan turunan parsial orde pertama.

Turunan dari fungsi-fungsi tersebut adalah turunan parsial orde kedua.

Dengan terus mendiferensiasikan persamaan yang diperoleh, kita memperoleh turunan parsial dari orde yang lebih tinggi.

Dari artikel ini, pembaca akan belajar tentang apa itu nilai fungsional ekstrem, serta tentang ciri-ciri penggunaannya dalam praktik. Studi tentang konsep semacam itu sangat penting untuk memahami dasar-dasar matematika tingkat tinggi. Topik ini sangat penting untuk mempelajari kursus lebih dalam.

Dalam kontak dengan

Apa yang ekstrim?

Dalam pelajaran sekolah banyak diberikan definisi tentang konsep “ekstrim”. Artikel ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman terdalam dan jelas mengenai istilah tersebut bagi mereka yang awam terhadap permasalahan tersebut. Jadi, istilah tersebut dipahami sejauh mana interval fungsional memperoleh nilai minimum atau maksimum pada suatu himpunan tertentu.

Ekstremnya adalah nilai minimum dari suatu fungsi dan nilai maksimum pada saat yang bersamaan. Ada titik minimum dan titik maksimum, yaitu nilai ekstrim argumen pada grafik. Ilmu-ilmu utama yang menggunakan konsep ini:

• statistik;
• kontrol mesin;
• ekonometrika.

Titik ekstrim memegang peranan penting dalam menentukan barisan suatu fungsi tertentu. Sistem koordinat pada grafik paling baik menunjukkan perubahan posisi ekstrim tergantung pada perubahan fungsi.

Ekstrem dari fungsi turunan

Ada juga yang namanya "turunan". Penting untuk menentukan titik ekstrem. Penting untuk tidak mengacaukan titik minimum dan maksimum dengan nilai terbesar dan terkecil. Ini adalah konsep yang berbeda, meskipun mungkin tampak serupa.

Nilai fungsi merupakan faktor utama dalam menentukan cara mencari titik maksimum. Turunannya tidak terbentuk dari nilai-nilai, melainkan semata-mata dari posisi ekstrimnya dalam satu urutan atau lainnya.

Turunannya sendiri ditentukan berdasarkan data titik ekstrimnya, dan bukan nilai terbesar atau terkecil. Di sekolah-sekolah Rusia, garis antara kedua konsep ini tidak ditarik dengan jelas, sehingga mempengaruhi pemahaman topik ini secara umum.

Sekarang mari kita pertimbangkan hal seperti "ekstrim tajam". Sampai saat ini, terdapat nilai minimum akut dan nilai maksimum akut. Definisi tersebut diberikan sesuai dengan klasifikasi titik kritis suatu fungsi Rusia. Konsep titik ekstrem menjadi dasar untuk menemukan titik-titik kritis pada sebuah grafik.

Untuk mendefinisikan konsep seperti itu, digunakan teorema Fermat. Ini adalah hal terpenting dalam studi tentang titik-titik ekstrem dan memberikan gambaran yang jelas tentang keberadaannya dalam satu atau lain bentuk. Untuk memastikan ekstremitas, penting untuk menciptakan kondisi tertentu untuk penurunan atau kenaikan pada grafik.

Untuk menjawab pertanyaan “bagaimana mencari titik maksimal” secara akurat, ketentuan berikut harus diikuti:

1. Menemukan area definisi yang tepat pada grafik.
2. Mencari turunan suatu fungsi dan titik ekstrem.
3. Selesaikan pertidaksamaan standar untuk domain argumen.
4. Mampu membuktikan fungsi mana yang suatu titik pada suatu grafik terdefinisi dan kontinu.

Perhatian! Pencarian titik kritis suatu fungsi hanya mungkin dilakukan jika terdapat turunan setidaknya orde kedua, yang dijamin dengan sebagian besar keberadaan titik ekstrem.

Kondisi yang diperlukan untuk fungsi ekstrem

Agar titik ekstrem ada, penting bahwa terdapat titik minimum dan titik maksimum. Jika aturan ini hanya dipatuhi sebagian, maka kondisi keberadaan ekstrem dilanggar.

Setiap fungsi dalam posisi apa pun harus dibedakan untuk mengidentifikasi makna barunya. Penting untuk dipahami bahwa kasus hilangnya suatu titik bukanlah prinsip utama dalam menemukan titik terdiferensiasi.

Ekstrem lancip, serta fungsi minimum, merupakan aspek yang sangat penting dalam menyelesaikan masalah matematika menggunakan nilai ekstrem. Untuk lebih memahami komponen ini, penting untuk merujuk pada nilai tabel untuk mendefinisikan fungsinya.

Eksplorasi makna secara menyeluruh

Merencanakan Nilai

1. Penentuan titik kenaikan dan penurunan nilai. 2. Menemukan titik putus, ekstrem dan perpotongan dengan sumbu koordinat. 3. Proses penentuan perubahan posisi pada grafik. 4. Penentuan indeks dan arah konveksitas dan konveksitas, dengan memperhatikan adanya asimtot. 5. Pembuatan tabel ringkasan penelitian ditinjau dari penentuan koordinatnya. 6. Menemukan interval kenaikan dan penurunan titik ekstrim dan lancip. 7. Penentuan kecembungan dan kecekungan suatu kurva. 8. Membangun grafik berdasarkan penelitian memungkinkan Anda menemukan minimum atau maksimum.

Elemen utama, bila perlu bekerja dengan ekstrem, adalah konstruksi grafiknya yang tepat. Guru sekolah seringkali tidak memberikan perhatian yang maksimal terhadap aspek penting tersebut, sehingga merupakan pelanggaran berat terhadap proses pendidikan. Grafik dibuat hanya berdasarkan hasil kajian data fungsional, definisi ekstrem tajam, serta titik-titik pada grafik. Ekstrem tajam dari turunan suatu fungsi ditampilkan pada plot nilai eksak menggunakan prosedur standar untuk menentukan asimtot. Titik maksimum dan minimum dari fungsi tersebut disertai dengan plot yang lebih kompleks. Hal ini disebabkan oleh kebutuhan yang lebih mendalam untuk mengatasi masalah ekstrem yang tajam. Turunan dari fungsi kompleks dan sederhana juga perlu dicari, karena ini adalah salah satu konsep terpenting dalam masalah ekstrem.

Ekstrem fungsional

Untuk menemukan nilai di atas, Anda harus mematuhi aturan berikut:

• menentukan kondisi yang diperlukan untuk rasio ekstrem;
• memperhitungkan kondisi kecukupan titik-titik ekstrim pada grafik;
• melakukan perhitungan ekstrem akut.

Ada juga konsep seperti minimum lemah dan minimum kuat. Ini harus diperhitungkan saat menentukan titik ekstrem dan perhitungan pastinya. Pada saat yang sama, fungsionalitas yang tajam adalah pencarian dan pembuatan semua kondisi yang diperlukan untuk bekerja dengan grafik fungsi.

Perhatikan fungsi y = f(x), yang terletak pada interval (a, b).

Jika dimungkinkan untuk menentukan lingkungan b dari titik x1 yang termasuk dalam interval (a, b) sehingga untuk semua x (x1, b) pertidaksamaan f(x1) > f(x) terpenuhi, maka y1 = f1(x1) dipanggil berfungsi maksimal y = f(x) lihat gambar.

Maksimum fungsi y = f(x) dilambangkan dengan maks f(x). Jika dimungkinkan untuk menentukan lingkungan ke-6 dari titik x2 yang termasuk dalam interval (a, b) sedemikian rupa sehingga untuk semua x termasuk dalam O(x2, 6), x tidak sama dengan x2, maka pertidaksamaannya f(x2)< f(x) , maka y2= f(x2) disebut minimum dari fungsi y-f(x) (lihat Gambar).

Contoh mencari maksimal lihat video berikut

Fitur Minimal

Minimal fungsi y = f(x) dilambangkan dengan min f(x). Dengan kata lain, maksimum atau minimum suatu fungsi y = f(x) ditelepon nilainya, yang lebih besar (lebih kecil) dari semua nilai lain yang diambil pada titik-titik yang cukup dekat dengan nilai tertentu dan berbeda darinya.

Catatan 1. Fitur maksimal, ditentukan oleh pertidaksamaan, disebut maksimum ketat; maksimum tidak ketat ditentukan oleh pertidaksamaan f(x1) > = f(x2)

Komentar 2. memiliki karakter lokal (ini adalah nilai fungsi terbesar dan terkecil di lingkungan yang cukup kecil dari titik yang bersesuaian); minimum individu dari suatu fungsi mungkin lebih besar daripada maksimum fungsi yang sama

Akibatnya, fungsi maksimum (minimum) dipanggil maksimum lokal(minimum lokal) berbeda dengan maksimum absolut (minimum) - nilai terbesar (terkecil) dalam domain fungsi.

Maksimum dan minimum suatu fungsi disebut ekstrem. . Ekstrem ditemukan untuk fungsi plot

Latin ekstrim berarti "ekstrim" arti. Nilai argumen x yang mencapai titik ekstrem disebut titik ekstrem. Kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem dinyatakan oleh teorema berikut.

Dalil. Pada titik ekstrem fungsi terdiferensiasi dan turunannya sama dengan nol.

Teorema ini memiliki arti geometri sederhana: garis singgung grafik suatu fungsi terdiferensiasi pada titik yang bersesuaian sejajar dengan sumbu x