4.2. Bilangan aljabar dan transendental

Bilangan real terkadang juga dibagi menjadi aljabar dan transendental.

Bilangan aljabar adalah bilangan yang merupakan akar-akar polinomial aljabar dengan koefisien bilangan bulat, misalnya 4, . Semua bilangan (non-aljabar) lainnya dianggap transendental. Karena setiap bilangan rasional p/q adalah akar dari polinomial derajat pertama yang bersesuaian dengan koefisien bilangan bulat qx -p, maka semua bilangan transendental adalah irasional.

Mari kita soroti ciri-ciri bilangan yang dipertimbangkan (alami, rasional, nyata): mereka hanya memodelkan satu properti - kuantitas; semuanya satu dimensi dan semuanya diwakili oleh titik-titik pada satu garis lurus, yang disebut sumbu koordinat.

5. Bilangan kompleks

5.1. Angka imajiner

Yang lebih aneh lagi daripada angka-angka irasional adalah angka-angka baru, yang ditemukan oleh ilmuwan Italia Cardano pada tahun 1545. Ia menunjukkan bahwa sistem persamaan yang tidak mempunyai solusi pada himpunan bilangan real mempunyai solusi dalam bentuk, . Anda hanya perlu menyetujui untuk bertindak berdasarkan ekspresi tersebut sesuai dengan aturan aljabar biasa dan berasumsi bahwa · = -.

Cardano menyebut kuantitas tersebut “murni negatif” dan bahkan “negatif secara canggih”, menganggapnya tidak berguna dan berusaha untuk tidak menggunakannya.

Untuk waktu yang lama, angka-angka ini dianggap mustahil, tidak ada, dan hanya khayalan. Descartes menyebut mereka khayalan, Leibniz - "orang aneh dari dunia gagasan, sebuah entitas yang terletak di antara ada dan tidak ada."

Faktanya, dengan bantuan angka-angka seperti itu tidak mungkin untuk menyatakan hasil pengukuran besaran apa pun, atau perubahan besaran apa pun.

Tidak ada tempat bagi bilangan imajiner pada sumbu koordinat. Namun, para ilmuwan memperhatikan bahwa jika kita mengambil bilangan real b pada bagian positif sumbu koordinat dan mengalikannya dengan, kita mendapatkan bilangan imajiner b, yang letaknya tidak diketahui di mana. Tetapi jika kita mengalikan bilangan ini dengan lagi, kita mendapatkan -b, yaitu bilangan asli, tetapi pada bagian negatif sumbu koordinat. Jadi, dengan mengalikan dua kali dengan kita melempar bilangan b dari positif ke negatif, dan tepat di tengah-tengah lemparan tersebut bilangan tersebut adalah bilangan imajiner. Beginilah cara kita menemukan tempat bilangan imajiner pada titik-titik pada sumbu koordinat imajiner yang tegak lurus dengan titik tengah sumbu koordinat sebenarnya. Titik-titik bidang antara sumbu imajiner dan sumbu real melambangkan bilangan-bilangan yang ditemukan Cardano, yang dalam bentuk umum a + b·i memuat bilangan real a dan imajiner b·i dalam satu kompleks (komposisi), oleh karena itu disebut bilangan kompleks.

Ini adalah generalisasi angka tingkat ke-4.

Teknik operasi bilangan imajiner berkembang secara bertahap. Pada pergantian abad ke-17 dan ke-17, teori umum tentang akar pangkat n dibangun, pertama dari bilangan negatif dan kemudian dari bilangan kompleks apa pun, berdasarkan rumus matematikawan Inggris A. Moivre berikut ini:

Dengan menggunakan rumus ini, rumus cosinus dan sinus beberapa busur juga dapat diturunkan.

Leonhard Euler memperoleh rumus yang luar biasa pada tahun 1748:

yang menghubungkan fungsi eksponensial dengan fungsi trigonometri. Dengan menggunakan rumus Euler, bilangan e dapat dinaikkan ke pangkat kompleks apa pun. Menariknya, misalnya,... Anda dapat mencari sin dan cos bilangan kompleks, menghitung logaritma bilangan tersebut, dll.

Untuk waktu yang lama, bahkan ahli matematika menganggap bilangan kompleks sebagai sesuatu yang misterius dan hanya menggunakannya untuk manipulasi matematika. Jadi, matematikawan Swiss Bernoulli menggunakan bilangan kompleks untuk menyelesaikan integral. Beberapa saat kemudian, mereka belajar menyatakan solusi persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan menggunakan bilangan imajiner. Persamaan seperti itu ditemukan, misalnya, dalam teori osilasi suatu titik material dalam medium penahan.

Kelompok matriks aljabar

Sistem penutupan aljabar

Mari kita mulai dengan konsep operasi aljabar. Misalkan A adalah aljabar universal dengan himpunan operasi aljabar U. Setiap operasi U dari U mempunyai aritas tertentu n, nN(0). Untuk sembarang bilangan asli n, operasi n-ary u adalah pemetaan dari An ke A...

Kekuatan bilangan prima

Bilangan prima timbal balik adalah bilangan asli atau bilangan bulat yang tidak tampak sebagai bilangan terbesar yang lebih besar dari 1, atau sebaliknya tampak sebagai bilangan terbesar yang lebih besar dari 1. Jadi, 2 dan 3 -- saling sederhana, dan 2 dan 4 bukan keduanya (dibagi 2)...

Grafik dan fungsinya

Mari kita pertimbangkan operasi aljabar dasar pada fungsi dan grafiknya, seperti penjumlahan dan pengurangan (y = f(x) ±g(x)), perkalian (y = f(x) g(x)), pembagian (y = f( x) /g(x)). Saat membuat grafik jenis ini, Anda harus mempertimbangkan...

Bilangan kompleks: dulu dan sekarang

Matematika di Abad Pertengahan

Kondisi yang diperlukan untuk menerapkan metode fan cheng pada sistem persamaan adalah pengenalan bilangan negatif. Misalnya, ketika menyelesaikan suatu sistem, kita mendapatkan tabel. Langkah selanjutnya: kurangi elemen kolom ketiga dari kanan dari elemen kolom pertama...

Numerologi

Pythagoras menganggap angka bukan hanya pengganti abstrak dari benda nyata, tetapi makhluk hidup yang mencerminkan sifat ruang, energi, atau getaran suara. Ilmu utama bilangan, aritmatika...

Numerologi

Legenda mengatakan bahwa bilangan harmonik, yang rasionya menimbulkan musik bola, ditemukan oleh Pythagoras. Flammarion menceritakan kembali legenda ini sebagai berikut: “Mereka mengatakan bahwa ketika melewati sebuah bengkel, dia mendengar suara palu...

Penerapan praktis rumus kuadratur dengan bobot Chebyshev-Hermite

Biarkan fungsi bobot genap ditentukan pada seluruh sumbu. (1.1) Dengan mendiferensiasikan fungsi ini secara berurutan, kita menemukan (1.2) Mudah untuk membuktikan dengan induksi bahwa orde n turunan fungsi (1.1) adalah hasil kali fungsi ini dengan beberapa polinomial berderajat n...

Mari kita perkenalkan bilangan baru yang tidak valid yang kuadratnya -1. Kita menyatakan bilangan ini dengan simbol I dan menyebutnya sebagai satuan imajiner. Jadi, (2.1) Lalu. (2.2) 1. Bentuk aljabar bilangan kompleks Jika, maka bilangan (2.3) disebut bilangan kompleks...

Urutan numerik yang ditentukan secara berulang

Saat memecahkan banyak soal, Anda sering kali harus berurusan dengan barisan yang diberikan secara berulang, namun, tidak seperti barisan Fibonacci, tidak selalu mungkin untuk mendapatkan tugas analitisnya...

Persamaan transendental dengan parameter dan metode penyelesaiannya

Persamaan transendental adalah persamaan yang mengandung fungsi transendental (irasional, logaritma, eksponensial, trigonometri, dan invers trigonometri) yang tidak diketahui (variabelnya), misalnya persamaan...

Angka yang luar biasa

Dahulu kala, ketika membantu diri mereka sendiri berhitung dengan kerikil, orang-orang memperhatikan angka-angka yang benar yang dapat dibuat dari kerikil. Anda cukup meletakkan kerikil secara berurutan: satu, dua, tiga. Jika Anda menempatkannya dalam dua baris untuk membuat persegi panjang...

Angka yang luar biasa

Terkadang bilangan sempurna dianggap sebagai kasus khusus dari bilangan bersahabat: setiap bilangan sempurna bersahabat dengan dirinya sendiri. Nicomachus dari Geras, seorang filsuf dan matematikawan terkenal, menulis: "Angka sempurna itu indah. Namun diketahui...

Sifat fraktal dari proses sosial

Fraktal geometris adalah bangun datar. Pendekatan ini cukup dapat diterima selama tidak perlu mempertimbangkan fenomena alam seperti aliran air yang jatuh, pusaran asap yang bergejolak…

Nomor transendental

bilangan (nyata atau imajiner) yang tidak memenuhi persamaan aljabar apa pun (Lihat persamaan Aljabar) dengan koefisien bilangan bulat. Jadi, bilangan bilangan dikontraskan dengan bilangan aljabar (Lihat Bilangan aljabar). Keberadaan T. ch pertama kali dikemukakan oleh J. Liouville (1844). Titik awal Liouville adalah teoremanya, yang menyatakan bahwa urutan perkiraan pecahan rasional dengan penyebut tertentu ke bilangan aljabar irasional tertentu tidak boleh terlalu tinggi. Yaitu jika bilangan aljabar A memenuhi persamaan derajat aljabar yang tidak dapat direduksi N dengan koefisien bilangan bulat, maka untuk sembarang bilangan rasional c hanya bergantung pada α ). Oleh karena itu, jika untuk bilangan irasional tertentu α seseorang dapat menentukan himpunan perkiraan rasional tak terhingga yang tidak memenuhi pertidaksamaan tertentu untuk bilangan apa pun. Dengan Dan N(sama untuk semua perkiraan), lalu α adalah T. h. Contoh dari bilangan tersebut memberikan:

Bukti lain tentang keberadaan bilangan diberikan oleh G. Cantor (1874), dengan menyatakan bahwa himpunan semua bilangan aljabar dapat dihitung (yaitu, semua bilangan aljabar dapat dinomori ulang; lihat teori Himpunan), sedangkan himpunan semua bilangan real tidak terhitung. Oleh karena itu, himpunan bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dihitung, dan selanjutnya bilangan-bilangan tersebut merupakan bagian terbesar dari himpunan semua bilangan.

Tugas terpenting teori bilangan absolut adalah menentukan apakah nilai fungsi analitik yang mempunyai sifat aritmatika dan analitik tertentu untuk nilai aljabar suatu argumen merupakan bilangan yang benar. Soal-soal semacam ini termasuk soal-soal tersulit dalam matematika modern. Pada tahun 1873, C. Hermite membuktikan bilangan Nepero

Pada tahun 1882, matematikawan Jerman F. Lindemann memperoleh hasil yang lebih umum: jika α adalah bilangan aljabar, maka eα - Hasil T. h. Lipdemann digeneralisasikan secara signifikan oleh matematikawan Jerman K. Siegel (1930), yang membuktikan, misalnya, transendensi nilai kelas fungsi silinder yang luas untuk nilai aljabar argumen. Pada tahun 1900, pada kongres matematika di Paris, D. Hilbert, di antara 23 masalah matematika yang belum terpecahkan, menunjukkan hal berikut: adalah bilangan transendental α β , Di mana α Dan β - bilangan aljabar, dan β - bilangan irasional, dan, khususnya, adalah bilangan e π transendental (masalah transendensi bilangan dalam bentuk α β pertama kali dipentaskan dalam bentuk privat oleh L. Euler, 1744). Solusi lengkap untuk masalah ini (dalam arti afirmatif) baru diperoleh pada tahun 1934 oleh A. O. Gelfond u. Dari penemuan Gelfond, khususnya, dapat disimpulkan bahwa semua logaritma desimal bilangan asli (yaitu, “logaritma tabel”) adalah bilangan bulat. Metode teori bilangan diterapkan pada sejumlah masalah penyelesaian persamaan dalam bilangan bulat.

menyala.: Gelfond A.O., Bilangan transendental dan aljabar, M., 1952.

Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

Lihat apa itu “Bilangan transendental” di kamus lain:

Bilangan yang tidak memenuhi persamaan aljabar apa pun dengan koefisien bilangan bulat. Bilangan transendental adalah: bilangan??3.14159...; logaritma desimal dari bilangan bulat apa pun yang tidak diwakili oleh satu diikuti dengan nol; bilangan e=2,71828...dan lain-lain... Kamus Ensiklopedis Besar

- (dari bahasa Latin transendere untuk lulus, melampaui) adalah bilangan real atau kompleks yang tidak bersifat aljabar, dengan kata lain bilangan yang tidak dapat menjadi akar polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Isi 1 Properti 2 ... ... Wikipedia

Bilangan yang tidak memenuhi persamaan aljabar apa pun dengan koefisien bilangan bulat. Bilangan transendental adalah : bilangan π = 3,14159...; logaritma desimal dari bilangan bulat apa pun yang tidak diwakili oleh satu diikuti dengan nol; bilangan e = 2,71828... dst... kamus ensiklopedis

Bilangan yang tidak memenuhi aljabar apa pun. persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Termasuk : angka PI = 3,14159...; logaritma desimal dari bilangan bulat apa pun yang tidak diwakili oleh satu diikuti dengan nol; bilangan e = 2,71828... dst... Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis

Bilangan yang bukan merupakan akar polinomial apa pun yang memiliki koefisien bilangan bulat. Daerah definisi bilangan-bilangan tersebut adalah nol dari bilangan real, kompleks, dan raditik. Keberadaan dan konstruksi eksplisit bagian nyata dibuktikan oleh J. Liouville... ... Ensiklopedia Matematika

Persamaan yang tidak aljabar. Biasanya ini adalah persamaan yang mengandung fungsi eksponensial, logaritma, trigonometri, invers trigonometri, misalnya: Definisi yang lebih ketat adalah: Persamaan transendental adalah persamaan ... Wikipedia

Angka yang kira-kira sama dengan 2,718, yang sering ditemukan dalam matematika dan sains. Misalnya, ketika suatu zat radioaktif meluruh setelah waktu t, pecahan yang sama dengan e kt tersisa dari jumlah awal zat tersebut, dengan k adalah bilangan,... ... Ensiklopedia Collier

E adalah konstanta matematika, basis logaritma natural, bilangan irasional dan transendental. Kadang-kadang bilangan e disebut bilangan Euler (jangan bingung dengan bilangan Euler jenis pertama) atau bilangan Napier. Dilambangkan dengan huruf latin kecil “e”.... ... Wikipedia

E adalah konstanta matematika, basis logaritma natural, bilangan irasional dan transendental. Kadang-kadang bilangan e disebut bilangan Euler (jangan bingung dengan bilangan Euler jenis pertama) atau bilangan Napier. Dilambangkan dengan huruf latin kecil “e”.... ... Wikipedia

Pada garis nyata, selain bilangan aljabar, ada himpunan lain yang pangkatnya sama dengan pangkat seluruh garis - ini adalah himpunan bilangan transendental.

Definisi 6 : Bilangan yang tidak bersifat aljabar disebut teramat, yaitu bilangan transendental (lat. transendere - melampaui, melampaui) adalah bilangan real atau kompleks yang tidak dapat menjadi akar polinomial (tidak identik sama dengan nol) dengan koefisien rasional

Sifat-sifat bilangan transendental:

· Himpunan bilangan transendental adalah kontinu.

· Setiap bilangan real transendental adalah irasional, namun kebalikannya tidak benar. Misalnya, suatu bilangan tidak rasional, tetapi tidak transendental: bilangan tersebut adalah akar polinomial (dan karenanya bersifat aljabar).

· Urutan himpunan bilangan transendental real isomorfik terhadap urutan himpunan bilangan irasional.

· Ukuran irasionalitas hampir semua bilangan transendental adalah 2.

Keberadaan bilangan transendental pertama kali dibuktikan oleh Liouville. Bukti Lauville tentang keberadaan bilangan transendental efektif; Berdasarkan teorema berikut, yang merupakan konsekuensi langsung dari Teorema 5, dibuatlah contoh spesifik bilangan transendental.

Teorema 6 [3, hal.54].: Membiarkan - bilangan real. Kalau untuk yang alami N 1 dan apa pun yang nyata C>0 paling sedikit terdapat satu pecahan rasional sehingga (11), maka - bilangan transendental.

Bukti: Jika bersifat aljabar, maka akan ada (Teorema 5) bilangan bulat positif N dan nyata C>0 sehingga untuk pecahan mana pun akan menjadi demikian, dan ini bertentangan dengan kebenaran (11). Asumsinya adalah itu bilangan aljabar, yaitu angka transendental. Teorema tersebut telah terbukti.

Angka yang mana, untuk apa pun N 1 dan C>0 pertidaksamaan (11) mempunyai penyelesaian dalam bilangan bulat A Dan B disebut bilangan Liouville transendental.

Kami sekarang memiliki cara untuk menyusun bilangan real yang bukan aljabar. Penting untuk membuat bilangan yang memungkinkan perkiraan tingkat tinggi yang sewenang-wenang.

Contoh:

A- bilangan transendental.

Mari kita anggap nyata secara sewenang-wenang N 1 dan C>0. Biarkan di mana k dipilih begitu besar itu buku, Kemudian

Karena untuk sewenang-wenang N 1 dan C>0 Anda dapat menemukan pecahan yang merupakan bilangan transendental.

Mari kita nyatakan bilangan tersebut sebagai pecahan desimal tak hingga: di mana

Lalu, di mana pun, . Jadi, dan ini berarti bahwa ia memungkinkan perkiraan tingkat tinggi yang sewenang-wenang dan oleh karena itu tidak dapat bersifat aljabar.

Pada tahun 1873, C. Hermite membuktikan transendensi angka e, basis logaritma natural.

Untuk membuktikan transendensi suatu bilangan e diperlukan dua lemma.

Lemma 1. Jika G(X) adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat, maka untuk sembarang kN semua koefisiennya k- oh turunan G (k) (X) dibagi menjadi k!.

Bukti. Sejak operator d/dx linier, maka cukup memeriksa pernyataan lemma hanya untuk bentuk polinomial G(X)=X S, S 0.

Jika k>S, Itu G (k) (X)= 0 dan k!|0.

Jika k< s , Itu

koefisien binomial adalah bilangan bulat dan G(k) ( X) sekali lagi dibagi k! sama sekali.

Lemma 2 (Identitas pertapa). Membiarkan F(X) - derajat polinomial sewenang-wenang k dengan koefisien nyata,

F( X)=F(X)+F" (X)+F"(X)+ … +F (k) (X) adalah jumlah semua turunannya. Lalu untuk hal yang nyata (dan bahkan rumit, tetapi kita tidak memerlukannya untuk saat ini) X Selesai:

Bukti. Mari kita integrasikan berdasarkan bagian:

Kita integrasikan kembali integral per bagian, dan seterusnya. Mengulangi prosedur ini k+1 kali, kita mendapatkan:

Teorema 7 (Pertapa, 1873). Nomor e teramat.

Bukti. Mari kita buktikan pernyataan ini dengan kontradiksi. Mari kita asumsikan itu e - bilangan aljabar, pangkat M. Kemudian

A M e M + … +A 1 e+A 0 =0

untuk beberapa yang alami M dan beberapa utuh A M ,… A 1 , A 0 . Mari kita gantikan dengan identitas Hermite (12). X bilangan bulat k yang mengambil nilai dari 0 hingga M; kalikan setiap persamaan

sesuai dengan A k, lalu jumlahkan semuanya. Kita mendapatkan:

Karena (ini asumsi kami yang sebaliknya), ternyata untuk polinomial apa pun F(X) kesetaraan harus dipenuhi:

Dengan pilihan polinomial yang sesuai F(X) Anda dapat membuat ruas kiri (13) menjadi bilangan bulat bukan nol, dan ruas kanannya berada di antara nol dan satu.

Pertimbangkan polinomial di mana N akan ditentukan kemudian ( NN, Dan N besar).

Angka 0 adalah akar dari multiplisitas N-1 polinomial F(X), angka 1, 2,…, M- akar multiplisitas N, karena itu:

F (aku) (0)=0, aku=1,2,…, N-2

F(n-1) (0)=(-1) M N (M!) N

F (aku) (k)=0, aku=0,1, …, N-1; k=1,2,…, M

Misalkan g( X)=X N-1 (X-1) N (X-2) N … (x-m) N - polinomial yang mirip dengan F(X), tetapi dengan koefisien bilangan bulat. Menurut Lemma 1, koefisien g ( aku) (X) - bilangan bulat habis dibagi aku!, oleh karena itu, kapan aku< n , turunan g ( aku) (X) semua koefisien adalah bilangan bulat yang habis dibagi N, Karena G( aku) (X) diperoleh dari g (l) ( X) dengan membaginya hanya dengan ( N-1)!. Itulah mengapa

Di mana A- bilangan bulat yang sesuai, dan di atas tanda penjumlahan ada angka ( M+1) N-1 - derajat polinomial F(X) dan, meskipun dapat dijumlahkan hingga tak terhingga, turunan bukan nol dari F(X) persis sebanyak itu.

Juga

Di mana B k- bilangan bulat yang cocok, k = 1, 2,…, M.

Biarkan sekarang NN - bilangan bulat apa pun yang memenuhi ketentuan berikut:

Pertimbangkan persamaan (13) lagi:

Dalam penjumlahan di sebelah kiri, semua suku adalah bilangan bulat, dan A k F(k) pada k = 1, 2,…, M dibagi dengan N, A A 0 F(0) aktif N tidak berbagi. Ini berarti jumlah keseluruhannya, sebagai bilangan bulat, adalah N tidak habis dibagi, yaitu tidak nol. Karena itu,

Sekarang mari kita perkirakan ruas kanan persamaan (13). Jelas bahwa pada segmen tersebut dan oleh karena itu pada segmen ini

di mana konstanta-konstantanya C 0 dan C 1 tidak bergantung pada N. Diketahui bahwa

oleh karena itu, untuk jumlah yang cukup besar N, ruas kanan (13) kurang dari satu dan persamaan (13) tidak mungkin.

Pada tahun 1882, Lindemann membuktikan teorema transendensi pangkat suatu bilangan e dengan eksponen aljabar bukan nol, sehingga membuktikan transendensi bilangan tersebut.

Teorema 8 (Lindeman) [3, halaman 58]. Jika merupakan bilangan aljabar dan, maka bilangan tersebut transendental.

Teorema Lindemann memungkinkan kita membangun bilangan transendental.

Contoh:

Misalnya, dari teorema Lindemann dapat disimpulkan bahwa bilangan dalam 2 - transendental, karena 2=e di 2, dan angka 2 adalah aljabar dan jika angka tersebut dalam 2 adalah bilangan aljabar, maka menurut lemma bilangan 2 adalah bilangan transendental.

Secara umum, untuk semua aljabar, dalam menurut teorema Lindemann bersifat transendental. Jika transendental, maka dalam belum tentu bilangan transendental, misalnya di e =1

Ternyata di sekolah menengah kita melihat banyak angka transendental - dalam 2, ln 3, ln() dan seterusnya.

Perhatikan juga bahwa bilangan transendental adalah bilangan yang bentuknya untuk sembarang bilangan aljabar bukan nol (menurut teorema Lindemann-Weierstrass, yang merupakan generalisasi dari teorema Lindemann). Misalnya, angka-angkanya bersifat transendental.

Jika transendental, maka belum tentu bilangan transendental, misalnya,

Pembuktian teorema Lindemann dapat dilakukan dengan menggunakan identitas Hermite, mirip dengan bagaimana transendensi dibuktikan, dengan beberapa komplikasi dalam transformasinya. Inilah yang dibuktikan oleh Lindemann sendiri. Namun teorema ini dapat dibuktikan dengan cara lain, seperti yang dilakukan oleh ahli matematika Soviet A.O. Gelfond, yang idenya pada pertengahan abad kedua puluh mengarah pada solusi Masalah Ketujuh Hilbert.

Pada tahun 1900, pada Kongres Matematikawan Internasional II, Hilbert, di antara masalah yang dirumuskannya, merumuskan masalah ketujuh: “Jika benar bilangan yang bentuknya, - aljabar dan - irasional adalah bilangan transendental?” . Masalah ini dipecahkan pada tahun 1934 oleh Gelfond, yang membuktikan bahwa semua angka tersebut memang transendental.

Pembuktian transendensi nilai fungsi eksponensial yang dikemukakan oleh Gelfond didasarkan pada penggunaan metode interpolasi.

Contoh:

1) Berdasarkan teorema Gelfond, misalnya dapat dibuktikan bahwa suatu bilangan bersifat transendental, karena jika bilangan tersebut irasional secara aljabar, maka karena bilangan 19 di belakang teorema Gelfond adalah bilangan transendental, dan hal ini tidak benar.

2) Biarkan A Dan B- bilangan irasional. Bisa nomor A B bersikap rasional?

Tentu saja dengan menggunakan permasalahan ketujuh Hilbert, permasalahan ini tidak sulit untuk diselesaikan. Faktanya, bilangan tersebut bersifat transendental (karena merupakan bilangan irasional aljabar). Tetapi semua bilangan rasional bersifat aljabar, oleh karena itu tidak rasional. Di sisi lain,

Jadi, kami menyajikan angka-angka ini secara sederhana: Namun, masalah ini dapat diselesaikan tanpa mengacu pada hasil Gelfond. Anda dapat beralasan sebagai berikut: pertimbangkan sebuah angka. Jika bilangan ini rasional, maka masalahnya terpecahkan, sebagai berikut A Dan B ditemukan. Jika tidak rasional, maka kita ambil, dan.

Jadi, kami menyajikan dua pasang angka A Dan B, sehingga salah satu dari pasangan tersebut memenuhi syarat yang ditentukan, tetapi dia tidak mengetahui yang mana. Tapi tidak perlu menghadirkan pasangan seperti itu! Jadi solusi ini dalam arti tertentu merupakan teorema keberadaan.

yang, jika a = 1, membantu kita menentukan jumlah barisan geometri. Jika teorema Gauss terbukti, misalkan a = a 1 adalah akar persamaan (17), sehingga

	) = sebuah + sebuah		sebuah n−1			sebuah n−2		sebuah 1 + sebuah

Mengurangi ekspresi ini dari f(x) dan mengatur ulang suku-sukunya, kita memperoleh identitasnya

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x − a1 ).

(21) Sekarang dengan menggunakan rumus (20), kita dapat mengisolasi faktor x − a 1 dari setiap suku dan kemudian mengeluarkannya dari tanda kurung, dan derajat polinomial yang tersisa di dalam tanda kurung akan berkurang satu. Mengelompokkan kembali istilah-istilah itu lagi, kita mendapatkan identitasnya

f(x) = (x − a1 )g(x),

dimana g(x) adalah polinomial berderajat n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(Kami tidak tertarik untuk menghitung koefisien yang dilambangkan dengan b di sini.) Mari kita terapkan lebih lanjut alasan yang sama pada polinomial g(x). Berdasarkan teorema Gauss, terdapat akar a2 dari persamaan g(x) = 0, jadi

g(x) = (x − a2 )h(x),

dimana h(x) sudah merupakan polinomial berderajat baru n − 2. Mengulangi argumen ini n − 1 kali (tentu saja menyiratkan penerapan prinsip induksi matematika), kita akhirnya sampai pada perluasan

f(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − sebuah ).

Dari identitas (22) tidak hanya bilangan kompleks a1, a2,

Ada akar-akar persamaan (17), tetapi persamaan (17) juga tidak mempunyai akar-akar lain. Memang, jika bilangan y adalah akar persamaan (17), maka (22) akan mengikuti

f(kamu) = (kamu − a1 )(kamu − a2 ) . . . (kamu − sebuah ) = 0.

Namun kita telah melihat (hal. 115) bahwa hasil kali bilangan kompleks sama dengan nol jika dan hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol. Jadi, salah satu faktor y − ar sama dengan 0, yaitu y = ar, yang perlu ditentukan.

§ 6.

1. Definisi dan pertanyaan tentang keberadaan. Bilangan aljabar adalah bilangan apa pun x, nyata atau imajiner, yang memenuhi bentuk persamaan aljabar tertentu

sebuah xn + sebuah−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 (n > 1, dan 6= 0),

130 SISTEM NUMERIK MATEMATIKA bag. II

dimana bilangan ai adalah bilangan bulat. Misalnya, bilangan 2 adalah bilangan aljabar karena memenuhi persamaan

x2 − 2 = 0.

Dengan cara yang sama, bilangan aljabar adalah akar persamaan apa pun dengan koefisien bilangan bulat ketiga, keempat, kelima, derajat apa pun yang Anda suka, dan terlepas dari apakah bilangan tersebut dinyatakan dalam radikal atau tidak. Konsep bilangan aljabar merupakan generalisasi alami dari konsep bilangan rasional, yang sesuai dengan kasus khusus n = 1.

Tidak semua bilangan real bersifat aljabar. Hal ini mengikuti teorema berikut yang dikemukakan oleh Cantor: himpunan semua bilangan aljabar dapat dihitung. Karena himpunan semua bilangan real tidak dapat dihitung, pasti ada bilangan real yang tidak bersifat aljabar.

Mari kita tunjukkan salah satu metode untuk menghitung ulang sekumpulan bilangan aljabar. Setiap persamaan bentuk (1) dikaitkan dengan bilangan bulat positif

h = |sebuah | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | + n,

yang akan kami sebut demi singkatnya “ketinggian” persamaan. Untuk setiap nilai tetap n, hanya terdapat sejumlah persamaan berhingga berbentuk (1) dengan tinggi h. Masing-masing persamaan mempunyai paling banyak n akar. Oleh karena itu, hanya ada sejumlah bilangan aljabar terbatas yang dihasilkan oleh persamaan ketinggian h; Akibatnya, semua bilangan aljabar dapat disusun dalam bentuk barisan, pertama-tama daftar bilangan yang dihasilkan oleh persamaan tinggi 1, kemudian persamaan tinggi 2, dan seterusnya.

Bukti bahwa himpunan bilangan aljabar dapat dihitung membuktikan keberadaan bilangan real yang bukan aljabar. Angka-angka seperti itu disebut transendental (dari bahasa Latin transendere - melewati, melampaui); Euler memberi mereka nama ini karena mereka “melebihi kekuatan metode aljabar.”

Bukti Cantor tentang keberadaan bilangan transendental tidaklah konstruktif. Secara teoritis, bilangan transendental dapat dibuat dengan menggunakan prosedur diagonal yang dilakukan pada daftar imajiner ekspansi desimal dari semua bilangan aljabar; tetapi prosedur seperti itu tidak memiliki arti praktis apa pun dan tidak akan menghasilkan bilangan yang perluasannya menjadi pecahan desimal (atau pecahan lainnya) sebenarnya dapat ditulis. Masalah paling menarik yang terkait dengan bilangan transendental melibatkan pembuktian bahwa bilangan tertentu dan spesifik (termasuk bilangan p dan e, yang dijelaskan di halaman 319–322) bersifat transendental.

ANGKA ALJABAR DAN TRANSENDENTAL

**2. Teorema Liouville dan konstruksi bilangan transendental. Bukti keberadaan bilangan transendental, bahkan sebelum Cantor, diberikan oleh J. Liouville (1809–1862). Hal ini memungkinkan untuk membuat contoh angka-angka tersebut. Pembuktian Liouville lebih sulit dibandingkan pembuktian Cantor, dan hal ini tidak mengejutkan, karena membangun sebuah contoh, secara umum, lebih sulit daripada membuktikan keberadaannya. Saat menyajikan bukti Liouville di bawah ini, yang kami maksud hanyalah pembaca yang sudah siap, meskipun pengetahuan matematika dasar sudah cukup untuk memahami buktinya.

Seperti yang ditemukan Liouville, bilangan aljabar irasional memiliki sifat bahwa bilangan tersebut tidak dapat didekati dengan bilangan rasional dengan tingkat akurasi yang sangat tinggi kecuali jika penyebut dari pecahan yang mendekatinya dianggap sangat besar.

Misalkan bilangan z memenuhi persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + sebuah xn = 0 (sebuah 6= 0),

tetapi tidak memenuhi persamaan yang sama pada derajat yang lebih rendah. Kemudian

mereka mengatakan bahwa x itu sendiri adalah bilangan aljabar yang berderajat n. Misalnya,

bilangan z = 2 adalah bilangan aljabar berderajat 2, karena memenuhi persamaan x2 − 2 = 0√ berderajat 2, tetapi tidak memenuhi persamaan derajat pertama; bilangan z = 3 2 berderajat 3, karena memenuhi persamaan x3 − 2 = 0, namun tidak memenuhi (seperti yang akan kita tunjukkan di Bab III) persamaan yang berderajat lebih rendah. Bilangan aljabar derajat n > 1

tidak bisa rasional, karena bilangan rasional z = p q memenuhi

memenuhi persamaan qx − p = 0 derajat 1. Setiap bilangan irasional z dapat didekati dengan tingkat akurasi apa pun menggunakan bilangan rasional; ini berarti Anda selalu dapat menentukan barisan bilangan rasional

hal 1 , hal 2 , . . .

q 1 q 2

dengan penyebut yang tumbuh tanpa batas, yang memiliki penyebutnya sendiri

itu

p r → z. qr

Teorema Liouville menyatakan: berapapun bilangan aljabar z derajat n > 1, tidak dapat didekati dengan rasionalisasi.

Untuk penyebut yang cukup besar, ketimpangan tetap berlaku

z − hal q			> q n1 +1 .

SISTEM NUMERIK MATEMATIKA

Kami akan memberikan bukti teorema ini, tetapi pertama-tama kami akan menunjukkan bagaimana teorema ini dapat digunakan untuk menyusun bilangan transendental. Pertimbangkan nomornya

z = a1 10−1! + a2 · 10−2! + a3 · 10−3! + . . . + pagi · 10−m! + . . . = = 0,a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000 . . . ,

dimana ai menunjukkan angka sembarang dari 1 hingga 9 (cara termudah adalah dengan mengatur semua ai sama dengan 1), dan simbol n!, seperti biasa (lihat halaman 36), menunjukkan 1 · 2 · . . . · N. Sifat khas dari pemuaian desimal suatu bilangan adalah bahwa kelompok angka nol yang panjangnya bertambah dengan cepat bergantian dengan angka-angka individual selain nol. Mari kita nyatakan dengan zm pecahan desimal akhir yang diperoleh ketika dalam perluasan kita mengambil semua suku hingga am · 10−m! inklusif. Lalu kita mendapatkan ketidaksetaraan

Misalkan z adalah bilangan aljabar berderajat n. Kemudian, dengan asumsi pertidaksamaan Liouville (3) p q = zm = 10 p m! , kita harus punya

|z − zm | > 10 (n+1)m!

untuk nilai m yang cukup besar. Membandingkan pertidaksamaan terakhir dengan pertidaksamaan (4) menghasilkan

10 (n+1)m!		10 (m+1)!			10 (m+1)!−1

yang berarti (n + 1)m! > (m+1)! − 1 untuk m yang cukup besar. Namun hal ini tidak berlaku untuk nilai m lebih besar dari n (biarkan pembaca bersusah payah memberikan bukti rinci atas pernyataan ini). Kita telah sampai pada suatu kontradiksi. Jadi, bilangan z bersifat transendental.

Masih membuktikan teorema Liouville. Misalkan z adalah bilangan aljabar berderajat n > 1 yang memenuhi persamaan (1), sehingga

f(zm) = f(zm) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2) + . . . + sebuah (zm n − zn ).

Membagi kedua ruas dengan zm − z dan menggunakan rumus aljabar

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , kamu − v

kita mendapatkan:

	f(zm)	A1 + a2 (zm + z) + a3 (zm 2 + zm z + z2 ) + . . .
	zm − z
		Sebuah (zm n−1 + . . + zn−1 ). (6)

ANGKA ALJABAR DAN TRANSENDENTAL

Karena zm cenderung ke z, maka untuk m yang cukup besar bilangan rasional zm akan berbeda dari z kurang dari satu. Oleh karena itu, untuk m yang cukup besar, perkiraan kasar berikut dapat dibuat:

	f(zm)		< |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(|z| + 1)2
zm − z

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

Selain itu, bilangan M di sebelah kanan adalah konstan, karena z tidak berubah selama pembuktian. Sekarang mari kita pilih m yang begitu besar

pecahan z m = p m mempunyai penyebut q m lebih besar dari M; Kemudian qm

|z − zm | >	|f(zm)|			|f(zm)|

|f(zm)| =							−q n
							1 hal + . . . + sebuah
Bilangan rasional zm =			tidak bisa menjadi akar persamaan

sejak saat itu faktor (x − zm) dapat diisolasi dari polinomial f(x), dan, oleh karena itu, z akan memenuhi persamaan derajat yang lebih rendah dari n. Jadi, f(zm) 6= 0. Tetapi pembilang di sisi kanan persamaan (9) adalah bilangan bulat dan, oleh karena itu, dalam nilai absolut paling sedikit sama dengan satu. Jadi, dari perbandingan relasi (8) dan (9) berikut ini

|z − zm | >
					qn+1

tepatnya isi teorema yang ditunjukkan.

Selama beberapa dekade terakhir, penelitian mengenai kemungkinan memperkirakan bilangan aljabar dengan bilangan rasional telah berkembang lebih jauh. Misalnya, ahli matematika Norwegia A. Thue (1863–1922) menemukan bahwa dalam pertidaksamaan Liouville (3) eksponen n + 1 dapat diganti dengan eksponen yang lebih kecil n 2 + 1.

K. L. Siegel menunjukkan bahwa adalah mungkin untuk mengambil yang lebih kecil lagi (bahkan lebih kecil

untuk n yang lebih besar) indikatornya adalah 2 n.

Bilangan transendental selalu menjadi topik yang menarik perhatian para ahli matematika. Namun hingga baru-baru ini, di antara angka-angka yang menarik, sangat sedikit yang diketahui memiliki karakter transendental. (Dari transendensi bilangan p, yang akan dibahas pada Bab III, maka tidak mungkin membuat persegi lingkaran dengan menggunakan penggaris dan kompas.) Dalam pidatonya di Kongres Matematika Internasional Paris pada tahun 1900, David Hilbert mengusulkan tiga puluh matematika

ALJABAR himpunan

masalah-masalah yang memungkinkan adanya rumusan sederhana, bahkan ada yang cukup mendasar dan populer, yang tidak hanya satupun yang terpecahkan, tetapi bahkan tampaknya tidak mampu diselesaikan dengan menggunakan matematika pada masa itu. “Masalah Hilbert” ini mempunyai pengaruh rangsangan yang kuat sepanjang periode perkembangan matematika berikutnya. Hampir semuanya terselesaikan secara bertahap, dan dalam banyak kasus solusinya dikaitkan dengan keberhasilan yang jelas dalam arti mengembangkan metode yang lebih umum dan lebih dalam. Salah satu masalah yang tampaknya tidak ada harapan lagi adalah

bukti bahwa nomor tersebut

bersifat transendental (atau setidaknya tidak rasional). Selama tiga dekade, tidak ada satu pun tanda-tanda pendekatan terhadap masalah ini dari pihak mana pun yang dapat membuka harapan keberhasilan. Akhirnya, Siegel dan, secara independen, matematikawan muda Rusia A. Gelfond menemukan metode baru untuk membuktikan transendensi banyak hal.

angka-angka yang penting dalam matematika. Secara khusus, itu didirikan

transendensi tidak hanya bilangan Hilbert 2 2, tetapi juga seluruh kelas bilangan yang cukup luas dalam bentuk ab, di mana a adalah bilangan aljabar selain 0 dan 1, dan b adalah bilangan aljabar irasional.

TAMBAHAN BAB II

Aljabar himpunan

1. Teori umum. Konsep kelas, atau kumpulan, atau sekumpulan objek adalah salah satu konsep paling mendasar dalam matematika. Suatu himpunan ditentukan oleh beberapa properti ("atribut") A, yang harus dimiliki atau tidak dimiliki oleh setiap objek; benda-benda yang mempunyai sifat A membentuk himpunan A. Jadi, jika kita menganggap bilangan bulat dan sifat A adalah "menjadi prima", maka himpunan A yang bersesuaian terdiri dari semua bilangan prima 2, 3, 5, 7, . . .

Teori himpunan matematika berangkat dari fakta bahwa himpunan baru dapat dibentuk dari himpunan dengan menggunakan operasi tertentu (seperti halnya bilangan baru diperoleh dari bilangan melalui operasi penjumlahan dan perkalian). Studi tentang operasi pada himpunan merupakan subjek dari “aljabar himpunan”, yang memiliki banyak kesamaan dengan aljabar numerik biasa, meskipun dalam beberapa hal berbeda dari aljabar numerik biasa. Fakta bahwa metode aljabar dapat diterapkan pada studi objek non-numerik, seperti himpunan, diilustrasikan oleh

ALJABAR himpunan

menciptakan kesamaan ide yang lebih besar dalam matematika modern. Baru-baru ini menjadi jelas bahwa aljabar himpunan memberikan pencerahan baru pada banyak bidang matematika, misalnya teori ukuran dan teori probabilitas; ini juga berguna dalam mensistematisasikan konsep matematika dan memperjelas hubungan logisnya.

Berikut ini saya akan menunjukkan sekumpulan objek tertentu yang konstan, yang sifatnya acuh tak acuh, dan yang dapat kita sebut sebagai himpunan universal (atau alam semesta penalaran), dan

A, B, C, . . . akan ada beberapa himpunan bagian dari I. Jika I adalah himpunan semua bilangan asli, maka A, katakanlah, dapat menyatakan himpunan semua bilangan genap, B himpunan semua bilangan ganjil, C himpunan semua bilangan prima, dan seterusnya. Jika I menyatakan himpunan semua titik pada bidang, maka A dapat berupa himpunan titik-titik di dalam suatu lingkaran, B dapat berupa himpunan titik-titik di dalam lingkaran lain, dan seterusnya. Lebih mudah bagi kita untuk memasukkan I itu sendiri serta “ kosong” himpunan yang tidak mengandung elemen apa pun. Tujuan yang dicapai oleh perluasan buatan tersebut adalah untuk mempertahankan posisi bahwa untuk setiap properti A terdapat sekumpulan elemen tertentu dari I yang memiliki properti ini. Jika A adalah suatu sifat yang valid secara universal, yang contohnya (dalam hal bilangan) adalah sifat yang memenuhi persamaan sepele x = x, maka himpunan bagian dari I yang bersesuaian adalah I itu sendiri, karena setiap elemen mempunyai sifat seperti itu; sebaliknya, jika A adalah suatu sifat yang kontradiktif secara internal (seperti x 6 = x), maka himpunan bagian yang bersesuaian tidak mengandung unsur sama sekali, ia “kosong” dan dilambangkan dengan simbol.

Dikatakan bahwa himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B, singkatnya, “A ada di B”, atau “B berisi A”, jika tidak ada anggota himpunan A yang juga tidak ada di himpunan B. Ini relasi sesuai dengan notasi

A B, atau B A.

Misalnya, himpunan A yang terdiri dari semua bilangan bulat yang habis dibagi 10 adalah himpunan bagian dari himpunan B yang seluruh bilangan bulatnya habis dibagi 5, karena setiap bilangan yang habis dibagi 10 juga habis dibagi 5. Relasi A B tidak mengecualikan relasi B A. Jika baik ini dan itu, lalu

Artinya setiap anggota A juga merupakan anggota B, begitu pula sebaliknya, sehingga himpunan A dan B memuat unsur-unsur yang sama persis.

Relasi A B antar himpunan dalam banyak hal mengingatkan pada relasi a 6 b antar bilangan. Secara khusus, kami mencatat hal berikut

ALJABAR himpunan

properti berikut dari relasi ini:

1) SEBUAH.

2) Jika A B dan B A maka A = B.

3) Jika A B dan B C, maka A C.

Oleh karena itu, relasi A B kadang-kadang disebut “relasi keteraturan”. Perbedaan utama antara relasi yang dipertimbangkan dan relasi a 6 b antar bilangan adalah bahwa antara dua bilangan (nyata) a dan b, paling sedikit salah satu dari relasi a 6 b atau b 6 a harus terpenuhi, sedangkan untuk relasi A B antar himpunan pernyataan serupa salah. Misalnya A adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 1, 2, 3,

dan B adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 3, 4,

maka baik relasi A B maupun relasi B A tidak berlaku. Oleh karena itu, mereka mengatakan bahwa himpunan bagian A, B, C, . . . himpunan I “terurut sebagian”, sedangkan bilangan real a, b, c, . . .

membentuk himpunan yang “terurut sempurna”.

Perhatikan, bahwa dari definisi relasi A B dapat disimpulkan bahwa, berapapun himpunan bagian A dari himpunan I,

Sifat 4) mungkin tampak agak paradoks, tetapi jika dipikir-pikir, secara logis hal itu sesuai dengan arti sebenarnya dari definisi suatu tanda. Faktanya, relasi A hanya akan dilanggar

V jika himpunan kosong berisi elemen yang tidak dapat ditampung dalam A; tetapi karena himpunan kosong tidak mengandung elemen sama sekali, hal ini tidak mungkin terjadi, apa pun Anya.

Sekarang kita akan mendefinisikan dua operasi pada himpunan yang secara formal memiliki banyak sifat aljabar penjumlahan dan perkalian bilangan, meskipun dalam isi internalnya keduanya sama sekali berbeda dari operasi aritmatika ini. Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Yang dimaksud dengan gabungan, atau “jumlah logis”, dari A dan B adalah himpunan yang terdiri dari unsur-unsur yang terkandung dalam A atau

V B (termasuk unsur-unsur yang terkandung dalam A dan B). Himpunan ini dilambangkan dengan A + B. 1 Yang dimaksud dengan “potongan” atau “hasil kali logika” A dan B adalah himpunan yang terdiri dari unsur-unsur yang terdapat dalam A dan B. Himpunan ini dilambangkan dengan AB.2

Di antara sifat-sifat aljabar penting dari operasi A + B dan AB, kami mencantumkan yang berikut ini. Pembaca akan dapat memeriksa validitasnya berdasarkan definisi operasi itu sendiri:

	A + (B + C) = (A + B) + C. 9)
	SEBUAH(B + C) = AB + AC.		A + (BC) = (A + B)(A + C).
	Relasi A B ekuivalen terhadap kedua relasi tersebut

Verifikasi semua undang-undang ini adalah masalah logika yang paling dasar. Misalnya, aturan 10) menyatakan bahwa himpunan elemen yang terdapat dalam A atau A justru merupakan himpunan A; Aturan 12) menyatakan bahwa himpunan unsur-unsur yang terdapat di A dan sekaligus terdapat di B atau di C bertepatan dengan himpunan unsur-unsur yang terdapat secara serentak di A dan B, atau terdapat secara serentak di A dan C. Penalaran logis yang digunakan dalam pembuktian aturan semacam ini dapat diilustrasikan dengan mudah jika kita setuju untuk menggambarkan himpunan A, B, C, . . . dalam bentuk beberapa bangun datar dan kita akan sangat berhati-hati agar tidak melewatkan kemungkinan-kemungkinan logis yang muncul jika menyangkut adanya unsur-unsur persekutuan dari dua himpunan atau, sebaliknya, adanya unsur-unsur yang sama dalam satu himpunan. tidak terkandung dalam yang lain.

ALJABAR himpunan

Pembaca pasti memperhatikan fakta bahwa hukum 6), 7), 8), 9) dan 12) secara lahiriah identik dengan hukum komutatif, asosiatif, dan distributif aljabar biasa yang terkenal. Oleh karena itu, semua aturan aljabar biasa yang mengikuti hukum-hukum ini juga berlaku dalam aljabar himpunan. Sebaliknya, hukum 10), 11) dan 13) tidak memiliki analogi dalam aljabar biasa, dan memberikan struktur yang lebih sederhana pada aljabar himpunan. Misalnya, rumus binomial dalam aljabar himpunan direduksi menjadi persamaan paling sederhana

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = SEBUAH + B,

yang mengikuti dari UU 11). Hukum 14), 15) dan 17) menyatakan bahwa sifat-sifat himpunan dan I terhadap operasi gabungan dan perpotongan himpunan sangat mirip dengan sifat-sifat bilangan 0 dan 1 terhadap operasi bilangan penjumlahan dan perkalian. Namun hukum 16) tidak memiliki analogi dalam aljabar numerik.

Masih mendefinisikan satu operasi lagi dalam aljabar himpunan. Misalkan A adalah suatu himpunan bagian dari himpunan universal I. Maka komplemen A pada I dipahami sebagai himpunan semua anggota I yang tidak terdapat dalam A. Untuk himpunan ini kita memperkenalkan notasi A0. Jadi, jika I adalah himpunan semua bilangan asli, dan A adalah himpunan semua bilangan prima, maka A0 adalah himpunan yang terdiri dari semua bilangan komposit dan bilangan 1. Operasi perpindahan dari A ke A0 yang terdapat tidak ada analognya dalam aljabar biasa, mempunyai sifat sebagai berikut :

	A + A0 = Saya.		AA0 = .
	0 = saya.		saya0 = .

23) SEBUAH 00 = SEBUAH.

24) Rasio A B setara dengan rasio B 0 A0 .

25) (A + B)0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0.

Kami kembali menyerahkan verifikasi properti ini kepada pembaca.

Hukum 1)–26) adalah dasar dari aljabar himpunan. Mereka memiliki sifat “dualitas” yang luar biasa dalam pengertian berikut:

Jika dalam salah satu undang-undang 1)–26) kita mengganti yang bersangkutan

(dalam setiap kejadiannya), maka hasilnya lagi-lagi merupakan salah satu hukum yang sama. Misalnya, hukum 6) berubah menjadi hukum 7), 12) menjadi 13), 17) menjadi 16), dst. Oleh karena itu, setiap teorema yang dapat diturunkan dari hukum 1)–26) bersesuaian dengan teorema lain, “dual” -nya teorema, diperoleh dari yang pertama melalui permutasi simbol yang ditunjukkan. Faktanya, sejak pembuktiannya

Bab. II ALJABAR himpunan 139

teorema pertama terdiri dari penerapan berurutan (pada berbagai tahap argumen) dari beberapa hukum 1–26), kemudian penerapan hukum “ganda” pada tahap-tahap yang sesuai akan menjadi bukti dari teorema “ganda”. (Untuk “dualitas” serupa dalam geometri, lihat Bab IV.)

2. Penerapan logika matematika. Verifikasi hukum aljabar himpunan didasarkan pada analisis makna logis dari relasi A B dan operasi A + B, AB dan A0. Kita sekarang dapat membalikkan proses ini dan mempertimbangkan hukum 1)–26) sebagai dasar “aljabar logika”. Mari kita lebih tepatnya: bagian logika yang menyangkut himpunan, atau, yang pada dasarnya sama, sifat-sifat benda yang ditinjau, dapat direduksi menjadi sistem aljabar formal berdasarkan hukum 1)–26). “Alam semesta konvensional” yang logis mendefinisikan himpunan I; setiap properti A mendefinisikan himpunan A yang terdiri dari objek-objek di I yang memiliki properti ini. Aturan untuk menerjemahkan terminologi logika biasa ke dalam bahasa himpunan jelas

contoh berikut:
"Bukan A atau B"			(A + B)0, atau, yang sama, A0 B0
"Tidak benar A dan B"			(AB)0, atau, sama saja, A0 + B0
adalah B", atau
"Jika A maka B"
"Dari A mengikuti B"
"Beberapa A adalah B"
"Tidak, A adalah B"			AB =
“Beberapa A bukanlah B”			AB0 6=
"Tidak ada A"

Dalam kaitannya dengan aljabar himpunan, silogisme "Barbara" menyatakan bahwa "jika setiap A adalah B dan setiap B adalah C, maka setiap A adalah C" mengambil bentuk sederhana:

3) Jika A B dan B C, maka A C.

Demikian pula dengan “hukum kontradiksi”, yang menyatakan bahwa “suatu benda tidak dapat sekaligus mempunyai dan tidak mempunyai suatu sifat”, ditulis sebagai:

20) AA 0 = ,

A “Hukum tengah yang dikecualikan”, yang mengatakan bahwa “suatu benda harus mempunyai atau tidak mempunyai suatu sifat”, ditulis:

19) SEBUAH + SEBUAH 0 = Saya.

ALJABAR himpunan

Jadi, bagian logika yang dapat dinyatakan dalam simbol +, · dan 0 dapat diperlakukan sebagai sistem aljabar formal, tunduk pada hukum 1)–26). Berdasarkan penggabungan analisis logis matematika dan analisis logika matematika, sebuah disiplin baru diciptakan - logika matematika, yang saat ini sedang dalam proses perkembangan pesat.

Dari sudut pandang aksiomatik, fakta luar biasa bahwa pernyataan 1)–26), bersama dengan semua teorema aljabar himpunan lainnya, dapat disimpulkan secara logis dari tiga persamaan berikut yang patut mendapat perhatian:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = SEBUAH + (B + C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = SEBUAH.

Oleh karena itu, aljabar himpunan dapat dibangun sebagai teori deduktif murni, seperti geometri Euclidean, berdasarkan ketiga ketentuan ini, yang diterima sebagai aksioma. Jika aksioma ini diterima, maka operasi AB dan relasi A B didefinisikan dalam bentuk A + B dan A0:

	menunjukkan himpunan (A0 + B0 )0,
	B menunjukkan bahwa A + B = B.

Contoh yang sangat berbeda dari sistem matematika yang memenuhi semua hukum formal aljabar himpunan diberikan oleh sistem delapan bilangan 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: di sini a + b melambangkan , berdasarkan

definisinya, kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b, ab adalah pembagi persekutuan terbesar dari a dan b, a b adalah pernyataan “b dibagi a” dan a0 adalah bilangan 30 a. Su-

Adanya contoh-contoh tersebut mengarah pada studi tentang sistem aljabar umum yang memenuhi hukum 27). Sistem seperti ini disebut "Aljabar Boolean" setelah George Boole (1815–1864), seorang ahli matematika dan logika Inggris yang bukunya An Investigation of the Laws of Thought terbit pada tahun 1854.

3. Salah satu penerapan teori probabilitas. Aljabar himpunan berkaitan erat dengan teori probabilitas dan memungkinkan kita melihatnya dari sudut pandang baru. Mari kita perhatikan contoh paling sederhana: bayangkan sebuah eksperimen dengan jumlah kemungkinan hasil yang terbatas, yang semuanya dianggap “sama mungkin”. Sebuah eksperimen mungkin, misalnya, terdiri dari pengambilan kartu secara acak dari setumpuk penuh yang telah dikocok dengan baik. Jika kita menyatakan himpunan semua hasil percobaan dengan I, dan A menyatakan suatu himpunan bagian dari I, maka peluang hasil percobaan tersebut termasuk dalam himpunan bagian A didefinisikan sebagai rasio

p(A) = jumlah elemen A . jumlah elemen I

ALJABAR himpunan

Jika kita sepakat untuk menyatakan jumlah anggota suatu himpunan A dengan n(A), maka persamaan terakhir dapat diberikan bentuk

Dalam contoh kita, dengan asumsi A adalah himpunan bagian dari klub, kita peroleh
dimana n(A) = 13, n(I) = 52 dan p(A) =

Ide-ide aljabar himpunan terungkap ketika menghitung probabilitas bila diperlukan, mengetahui probabilitas beberapa himpunan, untuk menghitung probabilitas himpunan lain. Misalnya, dengan mengetahui probabilitas p(A), p(B) dan p(AB), Anda dapat menghitung probabilitas p(A + B):

p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB).

Tidak akan sulit untuk membuktikannya. Kita punya

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

karena unsur-unsur yang terkandung dalam A dan B secara bersamaan, yaitu unsur AB, dihitung dua kali ketika menghitung jumlah n(A) + n(B), dan oleh karena itu, n(AB) perlu dikurangi dari jumlah ini untuk menghitung n(A + B) diproduksi dengan benar. Kemudian membagi kedua ruas persamaan dengan n(I), kita memperoleh relasi (2).

Rumus yang lebih menarik diperoleh jika kita berbicara tentang tiga himpunan A, B, C dari I. Dengan menggunakan relasi (2), kita peroleh

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Hukum (12) dari paragraf sebelumnya memberi kita (A + B)C = AC + BC. Ini menyiratkan:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Mensubstitusikan nilai p[(A + B)C] dan nilai p(A + B) yang diambil dari (2) ke dalam relasi yang diperoleh sebelumnya, kita mendapatkan rumus yang kita perlukan:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Sebagai contoh, perhatikan percobaan berikut. Tiga angka 1, 2, 3 ditulis secara sembarang. Berapa peluang paling sedikit salah satu digitnya berada pada tempat yang benar (dalam hal penomoran)? Misal A adalah himpunan permutasi yang angka 1 berada di urutan pertama, B himpunan permutasi yang angka 2 berada di urutan kedua, C himpunan permutasi yang angka 3 berada di urutan ketiga. Kita perlu menghitung p(A + B + C). Sudah jelas itu

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3 ;

memang benar, jika ada digit yang berada pada tempatnya, maka ada dua kemungkinan untuk menyusun ulang dua digit sisanya dari jumlah total 3 · 2 · 1 = 6 kemungkinan permutasi tiga digit. Lebih jauh,

Latihan. Turunkan rumus yang sesuai untuk p(A + B + C + D) dan terapkan pada percobaan yang melibatkan 4 digit. Probabilitas yang sesuai adalah 5 8 = 0,6250.

Rumus umum penggabungan n himpunan adalah

p(A1 + A2 + . . + An ) =
	p(Ai) -
			p(Ai Aj ) + p(Ai Aj Ak ) − . . . ± p(A1 A2 ... Sebuah), (4)
di mana karakternya				menunjukkan penjumlahan dari semua kemungkinan

kombinasi yang mengandung satu, dua, tiga, . . . , (n − 1) huruf dari A1 , A2 , . . .

Sebuah. Rumus ini dapat ditentukan dengan induksi matematika - sama seperti rumus (3) diturunkan dari rumus (2).

Dari rumus (4) kita dapat menyimpulkan bahwa jika n angka adalah 1, 2, 3, . . . , n ditulis sembarang, maka peluang paling sedikit salah satu angkanya berada di tempat yang benar adalah

pn = 1 −

dan suku terakhir diawali dengan tanda + atau −, bergantung pada apakah n genap atau ganjil. Khususnya, untuk n = 5 probabilitas ini sama dengan

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! + 5! = 30 = 0,6333. . .

Kita akan melihat di Bab VIII bahwa ketika n mendekati tak terhingga, ekspresi

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! + 4! − . . . ±n!

cenderung ke batas 1 e, yang nilainya, hingga lima tempat desimal,

sama dengan 0,36788. Karena rumus (5) jelas bahwa pn = 1 − Sn, maka n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.