Untuk pengukuran langsung

1. Biarkan dua tegangan diukur sekali pada voltmeter kamu 1 = 10V, kamu 2 \u003d 200 V. Voltmeter memiliki karakteristik sebagai berikut: kelas akurasi d kelas t \u003d 0,2, kamu maks = 300V.

Mari kita tentukan kesalahan absolut dan relatif dari pengukuran ini.

Karena kedua pengukuran dilakukan pada perangkat yang sama, maka D kamu 1=D kamu 2 dan dihitung dengan rumus (B.4)

Menurut definisi, kesalahan relatif kamu 1 dan kamu 2 masing-masing sama

1 \u003d 0,6 V / 10 V \u003d 0,06 \u003d 6%,

2 \u003d 0,6 V / 200 V \u003d 0,003 \u003d 0,3%.

Dapat dilihat dari hasil perhitungan diatas untuk 1 dan 2 bahwa 1 jauh lebih besar dari 2 .

Ini menyiratkan aturan: Anda harus memilih perangkat dengan batas pengukuran sedemikian rupa sehingga pembacaan berada di sepertiga terakhir skala.

2. Biarkan beberapa nilai diukur berkali-kali, yaitu, diproduksi n pengukuran individu dari kuantitas ini Sebuah x 1 , A x 2 ,...,Sebuah x 3 .

Kemudian, untuk menghitung kesalahan absolut, operasi berikut dilakukan:

1) menggunakan rumus (B.5), tentukan mean aritmatika TETAPI 0 nilai terukur;

2) menghitung jumlah deviasi kuadrat dari pengukuran individu dari rata-rata aritmatika yang ditemukan dan, dengan menggunakan rumus (B.6), menentukan kesalahan kuadrat rata-rata akar, yang mencirikan kesalahan absolut dari satu pengukuran dalam beberapa pengukuran langsung dari kuantitas tertentu ;

3) kesalahan relatif dihitung dengan rumus (B.2).

Perhitungan kesalahan absolut dan relatif

Jika diukur secara tidak langsung

Perhitungan kesalahan dalam pengukuran tidak langsung adalah tugas yang lebih sulit, karena dalam hal ini nilai yang diinginkan adalah fungsi dari besaran bantu lainnya, yang pengukurannya disertai dengan munculnya kesalahan. Biasanya, dalam pengukuran, kecuali kesalahan, kesalahan acak ternyata sangat kecil dibandingkan dengan nilai yang diukur. Mereka sangat kecil sehingga tingkat kesalahan kedua dan lebih tinggi berada di luar akurasi pengukuran dan dapat diabaikan. Karena kecilnya kesalahan untuk mendapatkan rumus kesalahan
kuantitas yang diukur secara tidak langsung, metode kalkulus diferensial digunakan. Dalam kasus pengukuran tidak langsung dari suatu besaran, ketika besaran-besaran yang terkait dengan beberapa ketergantungan matematis yang diinginkan diukur secara langsung, akan lebih mudah untuk terlebih dahulu menentukan kesalahan relatif dan sudah
melalui kesalahan relatif yang ditemukan, hitung kesalahan pengukuran absolut.

Kalkulus diferensial menyediakan cara termudah untuk menentukan kesalahan relatif dalam pengukuran tidak langsung.

Biarkan nilai yang diinginkan TETAPI secara fungsional terkait dengan beberapa besaran independen yang diukur secara langsung x 1 ,
x 2 , ..., x k, yaitu

A= f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Untuk menentukan kesalahan relatif dari nilai TETAPI ambil logaritma natural dari kedua sisi persamaan

ln A= ln f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Kemudian diferensial dari logaritma natural dari fungsi tersebut dihitung
A= f(x 1 ,x 2 , ..., x k),

dln A= dln f(x 1 , x 2 , ..., x k)

Semua kemungkinan transformasi dan penyederhanaan aljabar dibuat dalam ekspresi yang dihasilkan. Setelah itu, semua simbol dari diferensial d diganti dengan simbol kesalahan D, dan tanda negatif di depan diferensial dari variabel independen diganti dengan yang positif, yaitu, kasus yang paling tidak menguntungkan diambil, ketika semua kesalahan bertambah. Dalam hal ini, kesalahan maksimum dari hasil dihitung.

Mengingat hal di atas

tapi = D TETAPI / TETAPI

Ekspresi ini adalah rumus untuk kesalahan relatif kuantitas TETAPI dengan pengukuran tidak langsung, ini menentukan kesalahan relatif dari nilai yang diinginkan, melalui kesalahan relatif dari nilai yang diukur. Setelah dihitung menurut rumus (B.11) kesalahan relatif,
tentukan kesalahan mutlak dari nilai TETAPI sebagai produk dari kesalahan relatif dan nilai yang dihitung TETAPI yaitu

D TETAPI = ε TETAPI, (AT 12)

di mana dinyatakan sebagai bilangan tak berdimensi.

Jadi, kesalahan relatif dan absolut dari kuantitas yang diukur secara tidak langsung harus dihitung dalam urutan berikut:

1) formula diambil yang dengannya nilai yang diinginkan dihitung (rumus perhitungan);

2) diambil logaritma natural dari kedua bagian rumus perhitungan;

3) diferensial total logaritma natural dari nilai yang diinginkan dihitung;

4) dalam ekspresi yang dihasilkan, semua kemungkinan transformasi dan penyederhanaan aljabar dilakukan;

5) simbol diferensial d diganti dengan simbol kesalahan D, sedangkan semua tanda negatif di depan diferensial variabel bebas diganti dengan yang positif (kesalahan relatif akan maksimum) dan diperoleh rumus kesalahan relatif;

6) kesalahan relatif dari besaran terukur dihitung;

7) menurut galat relatif terhitung, galat mutlak pengukuran tidak langsung dihitung menurut rumus (B.12).

Mari kita perhatikan beberapa contoh penghitungan galat relatif dan galat mutlak dalam pengukuran tidak langsung.

1. Nilai yang diinginkan TETAPI berhubungan dengan besaran yang diukur secara langsung X, pada, z perbandingan

di mana sebuah dan b adalah nilai-nilai konstan.

2. Ambil logaritma natural dari ekspresi (B.13)

3. Hitung diferensial total logaritma natural dari nilai yang diinginkan TETAPI, yaitu, kita bedakan (B.13)

4. Kami melakukan transformasi. Mengingat bahwa d sebuah= 0 karena sebuah= konstanta, cos pada/dosa kamu=ctg kamu, kita mendapatkan:

5. Kami mengganti simbol diferensial dengan simbol kesalahan dan tanda minus di depan diferensial dengan tanda plus

6. Kami menghitung kesalahan relatif dari nilai yang diukur.

7. Berdasarkan galat relatif terhitung, galat mutlak pengukuran tidak langsung dihitung dengan menggunakan rumus (B.12), yaitu

Panjang gelombang kuning dari garis spektral merkuri ditentukan menggunakan kisi difraksi (menggunakan urutan yang diterima untuk menghitung kesalahan relatif dan absolut untuk panjang gelombang kuning).

1. Panjang gelombang warna kuning dalam hal ini ditentukan dengan rumus:

di mana Dengan adalah konstanta kisi difraksi (nilai yang diukur secara tidak langsung); l adalah sudut difraksi garis kuning dalam urutan spektrum tertentu (nilai yang diukur secara langsung); K g adalah orde spektrum di mana pengamatan dilakukan.

Konstanta kisi difraksi dihitung dengan rumus

di mana K h adalah orde spektrum garis hijau; z - diketahui panjang gelombang warna hijau (λz - konstan); z adalah sudut difraksi garis hijau dalam urutan spektrum tertentu (nilai yang diukur secara langsung).

Kemudian, dengan memperhatikan ekspresi (B.15)

(B.16)

di mana K h, K g - yang dapat diamati, yang dianggap konstan; h, l - are
dengan besaran yang dapat diukur secara langsung.

Ekspresi (B.16) adalah rumus perhitungan untuk panjang gelombang kuning yang ditentukan menggunakan kisi difraksi.

4.d K j = 0; d K f = 0; dλ h = 0, karena K h, K W dan w adalah nilai konstan;

Kemudian

5. (B.17)

di mana Dφ w, Dφ h adalah kesalahan mutlak dalam mengukur sudut difraksi kuning
dan garis spektrum hijau.

6. Hitung kesalahan relatif dari panjang gelombang kuning.

7. Hitung kesalahan absolut dari panjang gelombang kuning:

Dλ baik = baik.

Kesalahan mutlak angka perkiraan adalah modulus perbedaan antara angka ini dan nilai eksaknya. . Oleh karena itu ia diapit di dalam atau .

Contoh 1 Ada 1284 pekerja dan karyawan di perusahaan. Bila angka ini dibulatkan menjadi 1300, kesalahan mutlaknya adalah |1300 - 1284|=16. Jika dibulatkan ke 1280, kesalahan absolutnya adalah |1280 - 1284| = 4.
Kesalahan relatif jumlah perkiraan disebut rasio kesalahan mutlak ...
perkiraan angka ke modulus nilai angka .
Contoh 2 . Sekolah ini memiliki 197 siswa. Kami membulatkan angka ini menjadi 200. Kesalahan mutlaknya adalah |200 - 197| = 3. Kesalahan relatif adalah 3/|197| atau 1,5%.

Dalam kebanyakan kasus, tidak mungkin untuk mengetahui nilai pasti dari angka perkiraan, dan karenanya nilai pasti dari kesalahan. Namun, hampir selalu mungkin untuk menetapkan bahwa kesalahan (mutlak atau relatif) tidak melebihi angka tertentu.

Contoh 3 Penjual menimbang semangka dengan timbangan. Dalam set bobot, yang terkecil adalah 50 g. Beratnya memberi 3600 g. Jumlah ini perkiraan. Berat pasti semangka tidak diketahui. Tetapi kesalahan absolut tidak melebihi 50 g. Kesalahan relatif tidak melebihi 50/3600 1,4%.

Dalam contoh 3, 50 g dapat diambil sebagai kesalahan mutlak pembatas, dan 1,4% dapat diambil sebagai kesalahan relatif pembatas.
Kesalahan mutlak dilambangkan dengan huruf Yunani ("delta") atau D sebuah; kesalahan relatif - huruf Yunani ("delta kecil"). Jika bilangan perkiraan dilambangkan dengan huruf A, maka = /|A|.

Angka penting perkiraan angka A adalah setiap digit dalam representasi desimal yang berbeda dari nol, dan nol jika terkandung di antara angka penting atau merupakan perwakilan dari tempat desimal yang disimpan

Contoh. A = 0,002080. Di sini hanya tiga nol pertama yang tidak signifikan.

n digit penting pertama dari perkiraan bilangan A adalah setia, jika kesalahan mutlak angka ini tidak melebihi setengah angka yang dinyatakan n-Digit penting ke-th, menghitung dari kiri ke kanan. Bilangan yang salah disebut diragukan.

Contoh. Jika di antara sebuah= 0,03450 semua angka benar, maka .

Aturan Perkiraan
konsep	definisi	contoh atau catatan
Perkiraan perhitungan	Perhitungan dilakukan pada bilangan yang kita ketahui dengan ketelitian tertentu, misalnya diperoleh dalam suatu percobaan.	Saat melakukan perhitungan, selalu perlu diingat akurasi yang dibutuhkan atau yang bisa diperoleh. Tidak dapat diterima untuk melakukan perhitungan dengan sangat akurat jika masalah yang diberikan tidak memungkinkan atau tidak memerlukannya. Dan sebaliknya.
kesalahan	Selisih antara bilangan eksak sebuah dan nilai perkiraannya TETAPI ditelepon kesalahan diberikan jumlah perkiraan. Jika diketahui | | sebuah— Sebuah |< D, то величина D называется kesalahan mutlak perkiraan nilai A . Rasio D /|A| = disebut Kesalahan relatif; yang terakhir sering dinyatakan sebagai persentase.	3.14 adalah perkiraan angka sebuah, kesalahannya adalah 0,00159…, kesalahan absolut dapat dianggap sama dengan 0,0016, dan kesalahan relatif sama dengan 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.
Sosok penting	semua digit angka, dari yang pertama dari kiri, yang berbeda dari nol, hingga yang terakhir, yang kebenarannya dapat Anda jamin.	Perkiraan angka harus ditulis, hanya menyimpan tanda yang benar. Jika, misalnya, kesalahan mutlak dari angka 52438 adalah 100, maka angka ini harus ditulis, misalnya, sebagai 524 . 102 atau 0,524. 10 5 . Anda dapat memperkirakan kesalahan angka perkiraan dengan menunjukkan berapa banyak angka penting sebenarnya yang dikandungnya. Jika bilangan A = 47,542 diperoleh sebagai hasil operasi pada bilangan-bilangan aproksimasi dan diketahui bahwa = 0,1%, maka a memiliki 3 tanda yang benar, yaitu A = 47,5
pembulatan	Jika angka perkiraan mengandung karakter tambahan (atau salah), maka angka tersebut harus dibulatkan.	Saat membulatkan, hanya tanda yang benar yang dipertahankan; karakter tambahan dibuang, dan jika digit pertama yang dibuang lebih besar dari atau sama dengan 5 , maka digit terakhir yang disimpan bertambah satu.
Operasi pada perkiraan angka	Hasil operasi pada bilangan perkiraan juga merupakan bilangan perkiraan. Jumlah angka penting dari hasil dapat dihitung dengan menggunakan aturan berikut: 1. Saat menjumlahkan dan mengurangkan angka perkiraan, hasilnya harus mempertahankan tempat desimal sebanyak yang ada dalam perkiraan yang diberikan dengan jumlah tempat desimal paling sedikit. 2. Saat mengalikan dan membagi, sebagai hasilnya, banyak angka penting yang harus disimpan karena ada data perkiraan dengan jumlah angka penting terkecil.

Hasil operasi dengan angka perkiraan juga merupakan angka perkiraan. Pada saat yang sama, angka-angka yang diperoleh dengan operasi pada digit yang tepat dari angka-angka ini mungkin juga tidak akurat.

Contoh 5 Angka perkiraan 60,2 dan 80,1 dikalikan. Diketahui bahwa semua angka yang ditulis adalah benar, sehingga nilai sebenarnya dapat berbeda dari perkiraan hanya dengan seperseratus, seperseribu, dll.. Dalam produk kami mendapatkan 4822.02. Di sini, tidak hanya jumlah perseratus dan persepuluhan, tetapi juga jumlah unit bisa salah. Misalnya, faktor diperoleh dengan membulatkan bilangan eksak 60,25 dan 80,14. Maka hasil kali eksaknya adalah 4828.435, jadi angka satuan pada hasil kali perkiraan (2) berbeda dengan angka eksak (8) sebanyak 6 unit.

Teori perkiraan perhitungan memungkinkan:

1) mengetahui tingkat keakuratan data, menilai tingkat keakuratan hasil bahkan sebelum melakukan tindakan;

2) mengambil data dengan tingkat akurasi yang sesuai, cukup untuk memberikan akurasi yang diperlukan dari hasil, tetapi tidak terlalu besar untuk menyelamatkan kalkulator dari perhitungan yang tidak berguna;

3) merasionalkan proses perhitungan itu sendiri, membebaskannya dari perhitungan yang tidak akan mempengaruhi angka pasti dari hasil.

Dalam pelaksanaan praktis proses pengukuran, terlepas dari keakuratan alat ukur, kebenaran metodologi dan ketelitian
pengukuran, hasil pengukuran berbeda dengan nilai sebenarnya dari besaran yang diukur, yaitu kesalahan pengukuran tidak bisa dihindari. Saat mengevaluasi kesalahan, nilai sebenarnya diambil alih-alih nilai sebenarnya; oleh karena itu, hanya perkiraan perkiraan kesalahan pengukuran yang dapat diberikan. Penilaian reliabilitas hasil pengukuran, yaitu penentuan kesalahan pengukuran adalah salah satu tugas utama metrologi.
Kesalahan adalah penyimpangan hasil pengukuran dari nilai sebenarnya dari besaran yang diukur. Kesalahan secara kondisional dapat dibagi menjadi kesalahan alat ukur dan kesalahan hasil pengukuran.
Kesalahan alat ukur dibahas pada bab 3.
Kesalahan pengukuran adalah angka yang menunjukkan kemungkinan batas ketidakpastian nilai besaran yang diukur.
Di bawah ini, klasifikasi akan diberikan dan kesalahan hasil pengukuran akan dipertimbangkan.
Melalui ekspresi numerik membedakan kesalahan absolut dan relatif.
Tergantung asalnya ada kesalahan instrumental, metodis, bacaan dan setting.
Menurut pola manifestasi kesalahan pengukuran dibagi dengan sistematis, progresif, acak dan kasar.
Mari kita pertimbangkan kesalahan pengukuran yang ditunjukkan secara lebih rinci.

4.1. Kesalahan absolut dan relatif

Kesalahan mutlak D adalah perbedaan antara X yang diukur dan X yang sebenarnya dan nilai-nilai kuantitas yang diukur. Kesalahan mutlak dinyatakan dalam satuan nilai terukur: D = X - Chi.
Karena nilai sebenarnya dari besaran yang diukur tidak dapat ditentukan, dalam praktiknya nilai sebenarnya dari besaran terukur Xd digunakan sebagai gantinya. Nilai sebenarnya ditemukan secara eksperimental, dengan menerapkan metode dan alat ukur yang cukup akurat. Ini sedikit berbeda dari nilai sebenarnya dan dapat digunakan sebagai gantinya untuk memecahkan masalah. Selama verifikasi, pembacaan alat ukur teladan biasanya diambil sebagai nilai sebenarnya. Jadi, dalam praktiknya, kesalahan absolut ditemukan oleh rumus D » X - Xd. Kesalahan relatif d adalah rasio kesalahan pengukuran absolut dengan nilai sebenarnya (nyata) dari kuantitas yang diukur (biasanya dinyatakan sebagai persentase): .

4.2. Kesalahan instrumental dan metodologis,
bacaan dan pengaturan

instrumental(instrumen atau perangkat keras) kesalahan adalah kesalahan yang dimiliki alat ukur tertentu, dapat ditentukan selama pengujian dan dimasukkan dalam paspornya.
Kesalahan ini disebabkan oleh kekurangan desain dan teknologi alat ukur, serta akibat dari keausan, penuaan, atau malfungsi. Kesalahan instrumental, karena kesalahan alat ukur yang digunakan, dibahas dalam Bab 3.
Namun, selain kesalahan instrumental, selama pengukuran ada juga kesalahan yang tidak dapat dikaitkan dengan perangkat ini, tidak dapat ditunjukkan dalam paspornya dan disebut metodis, itu. tidak terkait dengan perangkat itu sendiri, tetapi dengan metode penggunaannya.
Kesalahan metodologis mungkin timbul karena ketidaksempurnaan perkembangan teori fenomena yang mendasari metode pengukuran, ketidaktepatan hubungan yang digunakan untuk menemukan perkiraan besaran yang diukur, dan juga karena perbedaan antara besaran yang diukur dan modelnya.
Pertimbangkan contoh yang menggambarkan kesalahan pengukuran metodologis.
Objek penelitian adalah sumber tegangan bolak-balik, nilai amplitudonya um perlu diukur. Atas dasar studi pendahuluan objek studi, generator tegangan sinusoidal diadopsi sebagai modelnya. Menggunakan voltmeter yang dirancang untuk mengukur nilai efektif tegangan bolak-balik, dan mengetahui hubungan antara nilai efektif dan amplitudo tegangan sinusoidal, kami memperoleh hasil pengukuran dalam bentuk um = × UV, di mana UV- pembacaan voltmeter. Sebuah studi yang lebih menyeluruh dari objek dapat mengungkapkan bahwa bentuk tegangan yang diukur berbeda dari sinusoidal dan hubungan yang lebih benar antara nilai nilai yang diukur dan pembacaan voltmeter. um =k× UV, di mana k¹ . Dengan demikian, ketidaksempurnaan model objek studi yang diterima menyebabkan kesalahan pengukuran metodologis DU = × UV-k× UV.
Kesalahan ini dapat dikurangi dengan menghitung nilai k berdasarkan analisis bentuk kurva tegangan yang diukur, atau dengan mengganti alat ukur, mengambil voltmeter yang dirancang untuk mengukur nilai amplitudo tegangan bolak-balik.
Alasan yang sangat umum untuk terjadinya kesalahan metodologis adalah kenyataan bahwa ketika mengatur pengukuran, kita dipaksa untuk mengukur (atau sengaja mengukur) bukan nilai yang harus diukur, tetapi beberapa yang lain, dekat, tetapi tidak sama dengan itu.

Contoh kesalahan metodologis seperti itu adalah kesalahan dalam mengukur tegangan dengan voltmeter dengan resistansi terbatas (Gbr. 4.1).
Karena voltmeter shunting bagian sirkuit tempat tegangan diukur, ternyata lebih kecil dari sebelum voltmeter dihubungkan. Dan memang, tegangan yang akan ditunjukkan voltmeter ditentukan oleh ekspresi U = saya×Rv. Mengingat bahwa arus dalam rangkaian saya =E/(Ri +Rv), kemudian
< .
Oleh karena itu, untuk voltmeter yang sama yang dihubungkan secara bergantian ke bagian yang berbeda dari rangkaian yang diteliti, kesalahan ini berbeda: di bagian dengan resistansi rendah dapat diabaikan, dan di bagian dengan resistansi tinggi bisa sangat besar. Kesalahan ini dapat dihilangkan jika voltmeter terus-menerus terhubung ke bagian sirkuit ini selama pengoperasian perangkat (seperti pada panel pembangkit listrik), tetapi ini tidak menguntungkan karena berbagai alasan.
Ada kasus yang sering terjadi ketika umumnya sulit untuk menunjukkan metode pengukuran yang mengecualikan kesalahan metodologis. Biarkan, misalnya, suhu batangan panas yang berasal dari tungku ke pabrik penggulung diukur. Pertanyaannya adalah, di mana menempatkan sensor suhu (misalnya, termokopel): di bawah bagian yang kosong, di samping atau di atas bagian yang kosong? Di mana pun kami menempatkannya, kami tidak akan mengukur suhu internal benda kosong, mis. kita akan memiliki kesalahan metodologis yang signifikan, karena kita tidak mengukur apa yang dibutuhkan, tetapi apa yang lebih mudah (jangan mengebor saluran di setiap kosong untuk menempatkan termokopel di tengahnya).
Dengan demikian, fitur pembeda utama dari kesalahan metodologis adalah fakta bahwa mereka tidak dapat ditunjukkan dalam paspor instrumen, tetapi harus dievaluasi oleh eksperimen sendiri ketika mengatur teknik pengukuran yang dipilih, sehingga ia harus dengan jelas membedakan antara yang sebenarnya. terukur mereka seukuran untuk diukur.
Kesalahan membaca berasal dari pembacaan yang tidak akurat. Hal ini disebabkan oleh karakteristik subjektif pengamat (misalnya, kesalahan interpolasi, yaitu pembacaan pecahan yang tidak akurat pada skala instrumen) dan jenis alat pembaca (misalnya, kesalahan paralaks). Kesalahan membaca tidak ada saat menggunakan alat ukur digital, yang merupakan salah satu alasan prospek yang terakhir.
Kesalahan instalasi disebabkan oleh penyimpangan kondisi pengukuran dari normal, yaitu kondisi di mana kalibrasi dan verifikasi alat ukur dilakukan. Ini termasuk, misalnya, kesalahan dari pemasangan perangkat yang salah di ruang angkasa atau penunjuknya ke nol, dari perubahan suhu, tegangan suplai, dan besaran lain yang memengaruhi.
Jenis kesalahan yang dipertimbangkan sama-sama cocok untuk mengkarakterisasi keakuratan hasil pengukuran individu dan alat ukur.

4.3. Kesalahan sistematis, progresif, acak, dan kasar

Kesalahan pengukuran sistematis Dc adalah komponen kesalahan pengukuran yang tetap konstan atau berubah secara teratur selama pengukuran berulang dengan nilai yang sama.
Alasan terjadinya kesalahan sistematis biasanya dapat ditentukan selama persiapan dan pelaksanaan pengukuran. Alasan ini sangat beragam: ketidaksempurnaan alat ukur dan metode yang digunakan, pemasangan alat ukur yang salah, pengaruh faktor eksternal (mempengaruhi besaran) pada parameter alat ukur dan pada objek pengukuran itu sendiri, kekurangan dari metode pengukuran (kesalahan metodologis), karakteristik individu operator (kesalahan subjektif) dan lain-lain. Menurut sifat manifestasinya, kesalahan sistematis dibagi menjadi konstan dan variabel. Konstanta termasuk, misalnya, kesalahan karena penyesuaian nilai ukuran yang tidak akurat, kelulusan skala instrumen yang salah, pemasangan instrumen yang salah relatif terhadap arah medan magnet, dll. Kesalahan sistematis variabel disebabkan oleh pengaruh besaran yang mempengaruhi proses pengukuran dan dapat terjadi, misalnya, ketika tegangan sumber daya perangkat berubah, medan magnet eksternal, frekuensi tegangan bolak-balik yang diukur, dll. Fitur kesalahan sistematis adalah ketergantungan mereka pada jumlah yang mempengaruhi tunduk pada hukum tertentu. Hukum ini dapat dipelajari, dan hasil pengukuran dapat disempurnakan dengan membuat amandemen, jika nilai numerik dari kesalahan ini ditentukan. Cara lain untuk mengurangi pengaruh kesalahan sistematis adalah dengan menggunakan metode pengukuran yang memungkinkan untuk mengecualikan pengaruh kesalahan sistematis tanpa menentukan nilainya (misalnya, metode substitusi).
Hasil pengukuran adalah semakin mendekati nilai sebenarnya dari besaran yang diukur, semakin kecil kesalahan sistematis yang tidak dikecualikan. Kehadiran kesalahan sistematis yang dikecualikan menentukan kebenaran pengukuran, kualitas yang mencerminkan kedekatan kesalahan sistematis dengan nol. Hasil pengukuran akan benar karena tidak terdistorsi oleh kesalahan sistematis, dan semakin benar, semakin kecil kesalahan tersebut.
progresif(atau drift) disebut kesalahan tak terduga yang perlahan berubah seiring waktu. Kesalahan ini, sebagai suatu peraturan, disebabkan oleh proses penuaan bagian-bagian tertentu dari peralatan (pengosongan catu daya, penuaan resistor, kapasitor, deformasi bagian mekanis, penyusutan pita kertas pada instrumen perekaman sendiri, dll.). Ciri dari kesalahan progresif adalah bahwa kesalahan tersebut dapat dikoreksi dengan memperkenalkan koreksi hanya pada titik waktu tertentu, dan kemudian meningkat lagi secara tidak terduga. Oleh karena itu, tidak seperti kesalahan sistematis, yang dapat dikoreksi dengan koreksi yang ditemukan sekali selama masa pakai perangkat, kesalahan progresif memerlukan pengulangan koreksi yang terus menerus dan semakin sering, semakin kecil nilai residunya. Fitur lain dari kesalahan progresif adalah bahwa perubahannya dalam waktu adalah proses acak non-stasioner dan oleh karena itu, dalam kerangka teori yang dikembangkan dengan baik tentang proses acak stasioner, mereka hanya dapat dijelaskan dengan reservasi.
Kesalahan pengukuran acak adalah komponen kesalahan pengukuran, yang berubah secara acak selama pengukuran berulang dengan kuantitas yang sama. Nilai dan tanda kesalahan acak tidak dapat ditentukan, mereka tidak dapat langsung diperhitungkan karena perubahan kacau mereka karena pengaruh simultan dari berbagai faktor independen satu sama lain pada hasil pengukuran. Kesalahan acak ditemukan dalam beberapa pengukuran dengan kuantitas yang sama (dalam hal ini, pengukuran individu disebut pengamatan) oleh alat ukur yang sama dalam kondisi yang sama oleh pengamat yang sama, yaitu. pada pengukuran yang sama akurat (equidispersed). Pengaruh kesalahan acak pada hasil pengukuran diperhitungkan dengan metode statistik matematika dan teori probabilitas.
Kesalahan pengukuran kotor - kesalahan pengukuran acak secara signifikan melebihi yang diharapkan di bawah kondisi kesalahan yang diberikan.
Kesalahan besar (misses) biasanya disebabkan oleh kesalahan pembacaan pada alat ukur, kesalahan pencatatan pengamatan, adanya besaran yang sangat berpengaruh, tidak berfungsinya alat ukur, dan alasan lainnya. Sebagai aturan, hasil pengukuran yang mengandung kesalahan besar tidak diperhitungkan, sehingga kesalahan besar memiliki sedikit pengaruh pada akurasi pengukuran. Menemukan miss tidak selalu mudah, terutama dengan pengukuran tunggal; seringkali sulit untuk membedakan kesalahan besar dari kesalahan acak yang besar. Jika kesalahan besar sering terjadi, kami akan meragukan semua hasil pengukuran. Oleh karena itu, kesalahan besar mempengaruhi validitas pengukuran.
Sebagai kesimpulan dari pembagian kesalahan alat dan hasil pengukuran yang dijelaskan menjadi komponen acak, progresif dan sistematis, perlu untuk memperhatikan fakta bahwa pembagian semacam itu adalah metode analisis yang sangat disederhanakan. Oleh karena itu, harus selalu diingat bahwa pada kenyataannya, komponen-komponen kesalahan ini muncul bersama-sama dan membentuk proses acak tunggal yang tidak stasioner. Dalam hal ini, kesalahan hasil pengukuran dapat direpresentasikan sebagai jumlah kesalahan Dc acak dan sistematis: D = Dc +. Kesalahan pengukuran termasuk komponen acak, sehingga harus dianggap sebagai variabel acak.
Pertimbangan sifat manifestasi kesalahan pengukuran menunjukkan kepada kita bahwa satu-satunya cara yang benar untuk mengevaluasi kesalahan diberikan kepada kita oleh teori probabilitas dan statistik matematika.

4.4. Pendekatan probabilistik untuk deskripsi kesalahan

Hukum distribusi kesalahan acak. Kesalahan acak terdeteksi selama serangkaian pengukuran dengan nilai yang sama. Dalam hal ini, hasil pengukuran, sebagai suatu peraturan, tidak bertepatan satu sama lain, karena karena dampak total dari banyak faktor berbeda yang tidak dapat diperhitungkan, setiap pengukuran baru juga memberikan nilai acak baru dari kuantitas yang diukur. Dengan pengukuran yang benar, jumlah yang cukup dan pengecualian kesalahan dan kesalahan sistematis, dapat dikatakan bahwa nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur tidak melampaui nilai yang diperoleh selama pengukuran ini. Tetap tidak diketahui sampai nilai kemungkinan teoritis dari kesalahan acak ditentukan.
Biarkan nilai A diukur P kali dan amati nilai a1, a2, a3,…,a saya,...,sebuah. Kesalahan mutlak acak dari pengukuran tunggal ditentukan oleh perbedaan
Di = ai - A . (4.1)
Secara grafis, hasil pengukuran individu disajikan pada Gambar. 4.2.
Untuk jumlah yang cukup besar P kesalahan yang sama, jika mereka memiliki sejumlah nilai diskrit, diulang dan oleh karena itu dimungkinkan untuk menetapkan frekuensi relatif (frekuensi) kemunculannya, yaitu. rasio jumlah data identik yang diterima mi dengan jumlah total pengukuran yang dilakukan P. Saat pengukuran berlanjut, besaran TETAPI frekuensi ini tidak akan berubah, sehingga dapat dianggap probabilitas kesalahan dalam pengukuran ini: p(AI) = mi / n.

Ketergantungan statistik dari probabilitas terjadinya kesalahan acak pada nilainya disebut hukum distribusi kesalahan atau hukum distribusi probabilitas. Hukum ini menentukan sifat munculnya berbagai hasil pengukuran individu. Ada dua jenis deskripsi hukum distribusi: integral dan diferensial.
hukum integral, atau fungsi distribusi probabilitasF( D ) kesalahan acak Di disaya-itu pengalaman, mereka memanggil fungsi yang nilainya untuk setiap D adalah probabilitas suatu peristiwa R(D), yang terdiri dari fakta bahwa kesalahan acak Di mengambil nilai kurang dari beberapa nilai D, yaitu. fungsi F( D ) = P[ Di < D ]. Fungsi ini, ketika D berubah dari -¥ ke +¥, mengambil nilai dari 0 ke 1 dan tidak menurun. Itu ada untuk semua variabel acak, baik diskrit maupun kontinu (Gambar 4.3 a).
Jika sebuah F(D) simetris terhadap suatu titik TETAPI, probabilitas yang sesuai 0,5, maka distribusi hasil pengamatan akan simetris terhadap nilai sebenarnya TETAPI. Dalam hal ini, disarankan F(D) bergeser sepanjang absis dengan nilai DA, mis. mengecualikan komponen sistematis dari kesalahan (DA =Dc) dan dapatkan fungsi distribusi dari komponen acak kesalahan D=(Gbr. 4.3b). Fungsi distribusi probabilitas kesalahan D berbeda dari fungsi distribusi probabilitas dari komponen acak kesalahan hanya dengan pergeseran sepanjang sumbu absis dengan nilai komponen sistematis kesalahan DC.
hukum diferensial distribusi probabilitas untuk kesalahan acak dengan fungsi distribusi kontinu dan terdiferensiasi F(D) panggil fungsinya . Ketergantungan ini adalah kepadatan distribusi probabilitas. Grafik kepadatan distribusi probabilitas dapat memiliki bentuk yang berbeda tergantung pada hukum distribusi kesalahan. Untuk F(D) ditunjukkan pada gambar. 4.3 b, kurva distribusi f(D) memiliki bentuk yang mendekati bentuk lonceng (Gbr. 4.3 c).
Probabilitas terjadinya kesalahan acak ditentukan oleh area yang dibatasi oleh kurva f(D) atau bagiannya dan sumbu x (Gbr. 4.3 c). Tergantung pada interval kesalahan yang dipertimbangkan .

Berarti f(D)dD ada elemen probabilitas yang sama dengan luas persegi panjang dengan alas dD dan absis D1,D2, disebut kuantil. Sebagai F(+¥)= 1, maka persamaan ,
itu. luas di bawah kurva f(D) menurut aturan normalisasi, itu sama dengan satu dan mencerminkan probabilitas semua peristiwa yang mungkin.
Dalam praktik pengukuran listrik, salah satu hukum distribusi yang paling umum untuk kesalahan acak adalah: hukum biasa(Gauss).
Ekspresi matematika dari hukum normal memiliki bentuk
,
di mana f(D)- kepadatan probabilitas kesalahan acak D =saya-A; s - simpangan baku. Simpangan baku dapat dinyatakan dalam simpangan acak dari hasil pengamatan Di (lihat rumus (4.1)):
.
Sifat kurva yang dijelaskan oleh persamaan ini untuk dua nilai s ditunjukkan pada gambar. 4.4. Dapat dilihat dari kurva-kurva ini bahwa semakin kecil s, semakin sering terjadi kesalahan acak kecil, yaitu semakin akurat pengukurannya. Dalam praktik pengukuran, ada hukum distribusi lain yang dapat ditetapkan berdasarkan pemrosesan statistik.

data eksperimental. Beberapa hukum distribusi yang paling umum diberikan dalam GOST 8.011-84 "Indikator akurasi pengukuran dan bentuk penyajian hasil pengukuran."
Ciri utama hukum distribusi adalah nilai yang diharapkan dan penyebaran.
Ekspektasi matematis dari variabel acak adalah nilainya di mana hasil pengamatan individu dikelompokkan. Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit M[X] didefinisikan sebagai jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dengan probabilitas nilai-nilai ini .
Untuk variabel acak kontinu, kita harus menggunakan integrasi, yang untuk itu perlu diketahui ketergantungan kerapatan probabilitas pada X, yaitu f(x), di mana x=D. Kemudian .
Ungkapan ini berarti bahwa harapan matematis sama dengan jumlah produk yang tidak terbatas dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak X atas area yang sangat kecil f(x)dx, di mana f(x) - koordinat untuk masing-masing X, sebuah dx - segmen dasar dari sumbu x.
Jika ada distribusi normal dari kesalahan acak, maka ekspektasi matematis dari kesalahan acak adalah nol (Gbr. 4.4). Jika kita mempertimbangkan distribusi hasil yang normal, maka ekspektasi matematis akan sesuai dengan nilai sebenarnya dari besaran yang diukur, yang dilambangkan dengan A.
Kesalahan sistematik dalam hal ini adalah penyimpangan ekspektasi matematis hasil observasi dari nilai sebenarnya TETAPI nilai yang terukur: Dc = M[X]-A, dan galat acak adalah selisih antara hasil pengamatan tunggal dan harapan matematis: .
Dispersi serangkaian pengamatan mencirikan derajat dispersi (hamburan) hasil pengamatan individu di sekitar harapan matematis:
D[X] =Dx=M[(ai-mx)2].
Semakin kecil varians, semakin kecil penyebaran hasil individu, semakin akurat pengukuran. Namun, dispersi dinyatakan dalam satuan per kuadrat dari kuantitas yang diukur. Oleh karena itu, sebagai karakteristik keakuratan serangkaian pengamatan, standar deviasi (RMS) paling sering digunakan, sama dengan akar kuadrat dari varians: .
Distribusi normal yang dipertimbangkan dari variabel acak, termasuk kesalahan acak, bersifat teoritis, oleh karena itu distribusi normal yang dijelaskan harus dianggap sebagai "ideal", yaitu sebagai dasar teoretis untuk mempelajari kesalahan acak dan pengaruhnya terhadap hasil pengukuran.
Selanjutnya, cara menerapkan distribusi ini dalam praktik dengan berbagai tingkat perkiraan diuraikan. Distribusi lain (distribusi siswa) juga dipertimbangkan, yang digunakan untuk sejumlah kecil pengamatan.
Estimasi kesalahan dalam hasil pengukuran langsung. Biarkan itu diadakan P pengukuran langsung dalam jumlah yang sama. Dalam kasus umum, dalam setiap tindakan pengukuran, kesalahannya akan berbeda:
Dsaya =ai-A,
di mana Di adalah kesalahan pengukuran ke-i; ai- hasil pengukuran ke-i.
Karena nilai sebenarnya dari besaran yang diukur A tidak diketahui, kesalahan mutlak acak tidak dapat dihitung secara langsung. Dalam perhitungan praktis, alih-alih A menggunakan skornya. Biasanya diasumsikan bahwa nilai sebenarnya adalah rata-rata aritmatika dari serangkaian pengukuran:
. (4.2)
di mana sebuahsaya- hasil pengukuran individu; P - jumlah pengukuran.
Sekarang, mirip dengan ekspresi (4.1), kita dapat menentukan deviasi hasil setiap pengukuran dari nilai rata-rata :
(4.3)
di mana v saya- penyimpangan hasil pengukuran tunggal dari nilai rata-rata. Harus diingat bahwa jumlah penyimpangan hasil pengukuran dari nilai rata-rata adalah nol, dan jumlah kuadratnya minimal, mis.
dan min.
Properti ini digunakan saat memproses hasil pengukuran untuk mengontrol kebenaran perhitungan.
Kemudian hitung perkiraan nilainya kesalahan kuadrat rata-rata untuk serangkaian pengukuran tertentu

. (4.4)
Menurut teori probabilitas, untuk jumlah pengukuran yang cukup besar dengan kesalahan acak independen, estimasi S konvergen dalam probabilitas untuk s. Dengan demikian,

. (4.5)
Karena rata-rata aritmatika juga merupakan variabel acak, konsep simpangan baku dari mean aritmatika masuk akal. Nilai ini akan dilambangkan dengan simbol sav. Dapat ditunjukkan bahwa untuk kesalahan independen
. (4.6)
Nilai sav mencirikan tingkat penyebaran . Sebagaimana disebutkan di atas, bertindak sebagai perkiraan nilai sebenarnya dari nilai yang diukur, yaitu merupakan hasil akhir dari pengukuran yang dilakukan. Oleh karena itu, sav disebut juga root mean square error dari hasil pengukuran.
Dalam praktiknya, nilai s yang dihitung dengan rumus (4,5) digunakan jika perlu untuk mengkarakterisasi keakuratan metode pengukuran yang digunakan: jika metode tersebut akurat, maka sebaran hasil pengukuran individu kecil, yaitu. nilai s kecil . nilai sp , dihitung dengan (4.6) digunakan untuk mencirikan keakuratan hasil pengukuran besaran tertentu, yaitu hasil yang diperoleh dengan pengolahan matematis dari hasil sejumlah pengukuran langsung individu.
Saat mengevaluasi hasil pengukuran, konsep terkadang digunakan maksimum atau kesalahan maksimum yang diizinkan, yang nilainya ditentukan dalam saham s atau S . Saat ini, ada kriteria yang berbeda untuk menetapkan kesalahan maksimum, yaitu, batas bidang toleransi ±D, di mana kesalahan acak harus sesuai. Definisi kesalahan maksimum D = 3s (atau 3 S). Baru-baru ini, berdasarkan teori informasi pengukuran, Profesor P. V. Novitsky merekomendasikan penggunaan nilai D = 2s.
Kami sekarang memperkenalkan konsep penting tingkat kepercayaan diri dan interval kepercayaan. Seperti disebutkan di atas, rata-rata aritmatika , diperoleh sebagai hasil dari beberapa rangkaian pengukuran, merupakan perkiraan nilai sebenarnya TETAPI dan, sebagai suatu peraturan, tidak bertepatan dengan itu, tetapi berbeda dengan nilai kesalahan. Biarlah Jalan ada kemungkinan bahwa berbeda dari TETAPI paling banyak D, yaitu R(-D< TETAPI< + D)=Rd. Kemungkinan Jalan ditelepon probabilitas kepercayaan, dan rentang nilai nilai terukur dari - D ke + D- interval kepercayaan.
Pertidaksamaan di atas berarti bahwa dengan peluang Jalan selang kepercayaan dari - D ke + D mengandung arti yang sebenarnya TETAPI. Jadi, untuk mengkarakterisasi kesalahan acak sepenuhnya, perlu memiliki dua angka - probabilitas kepercayaan dan interval kepercayaan yang sesuai dengannya. Jika hukum distribusi probabilitas kesalahan diketahui, maka interval kepercayaan dapat ditentukan dari probabilitas kepercayaan yang diberikan. Khususnya, untuk jumlah pengukuran yang cukup besar sering dibenarkan untuk menggunakan hukum normal, sedangkan untuk sejumlah kecil pengukuran (P< 20), yang hasilnya berdistribusi normal, harus digunakan distribusi Student. Distribusi ini memiliki kerapatan probabilitas yang secara praktis bertepatan dengan yang normal untuk besar P, tetapi secara signifikan berbeda dari normal di kecil P.
Di meja. 4.1 menunjukkan apa yang disebut kuantil dari distribusi Student t(n)½ Jalan untuk jumlah pengukuran P= 2 - 20 dan probabilitas kepercayaan R = 0,5 - 0,999.
Kami menunjukkan, bagaimanapun, bahwa biasanya tabel distribusi Siswa tidak diberikan untuk nilai P dan Jalan, dan untuk nilai m =n-1 dan a \u003d 1 - Jalan, apa yang harus dipertimbangkan saat menggunakannya. Untuk menentukan selang kepercayaan, diperlukan data P dan Jalan cari kuantil t(n) Rd dan hitung nilainya Sebuah = - sp× ½ t(n) Rdi Av = + sp× ½ t(n) Rd, yang akan menjadi batas bawah dan atas interval kepercayaan.

Setelah menemukan interval kepercayaan untuk probabilitas kepercayaan yang diberikan menurut metodologi di atas, hasil pengukuran dicatat dalam bentuk: ; D=D¸ Dv; Jalan,
di mana - penilaian nilai sebenarnya dari hasil pengukuran dalam satuan nilai yang diukur; D - kesalahan pengukuran; Dв = + sp× ½ t(n) dan Dн = - sp× ½ t(n) Rd - batas atas dan bawah kesalahan pengukuran; Rd - probabilitas kepercayaan.

Tabel 4.1

	Nilai kuantil distribusi Student t(n) dengan keyakinan kemungkinan Jalan

Estimasi kesalahan pada hasil pengukuran tidak langsung. Dengan pengukuran tidak langsung, nilai yang diinginkan TETAPI secara fungsional terkait dengan satu atau lebih besaran yang diukur secara langsung: X,kamu,..., t. Pertimbangkan kasus paling sederhana untuk menentukan kesalahan untuk satu variabel, ketika A= F(x). Menunjukkan kesalahan pengukuran mutlak kuantitas X melalui ±Dx , kita peroleh A+ D A= F(x± D x).
Memperluas ruas kanan persamaan ini menjadi deret Taylor dan mengabaikan suku-suku ekspansi yang mengandung Dx hingga pangkat yang lebih tinggi dari yang pertama, kita peroleh
A+DA » F(x) ± Dx atau DA » ± Dx.
Kesalahan pengukuran relatif dari fungsi ditentukan dari ekspresi
.
Jika nilai terukur TETAPI adalah fungsi dari beberapa variabel: A =F(x,y,...,t), maka kesalahan mutlak dari hasil pengukuran tidak langsung
.
Kesalahan relatif parsial dari pengukuran tidak langsung ditentukan oleh rumus ; dll. Kesalahan relatif dari hasil pengukuran
.
Mari kita juga membahas fitur memperkirakan hasil pengukuran tidak langsung dengan adanya kesalahan acak.
Untuk memperkirakan kesalahan acak dari hasil pengukuran kuantitas tidak langsung TETAPI kita akan mengasumsikan bahwa kesalahan sistematis dalam pengukuran besaran x, y,…, t dikecualikan, dan kesalahan acak dalam pengukuran besaran yang sama tidak bergantung satu sama lain.
Dengan pengukuran tidak langsung, nilai kuantitas yang diukur ditemukan dengan rumus ,
di mana nilai rata-rata atau rata-rata tertimbang dari kuantitas x, y,…, t .
Untuk menghitung deviasi standar dari nilai yang diukur TETAPI disarankan untuk menggunakan standar deviasi yang diperoleh selama pengukuran x, y,…, t .
Secara umum, rumus berikut digunakan untuk menentukan standar deviasi s dari pengukuran tidak langsung:
, (4.7)
di mana dx ;Dy ;…;Dt- apa yang disebut kesalahan parsial pengukuran tidak langsung ; ; …; ; ; ; … ; — turunan parsial TETAPI pada x, y,…, t ;seks; s,…,st, …— simpangan baku hasil pengukuran x, y,…, t .
Mari kita perhatikan beberapa kasus khusus penerapan persamaan (4.7), ketika ketergantungan fungsional antara besaran yang diukur secara tidak langsung dan langsung dinyatakan dengan rumus: A =k× xsebuah× kamub× zg , di mana k- koefisien numerik (tanpa dimensi).
Dalam hal ini, rumus (4.7) mengambil bentuk berikut:
.
Jika sebuah a =b=g = 1 dan A =k× x× kamu× z, maka rumus kesalahan relatif disederhanakan menjadi bentuk .
Rumus ini berlaku, misalnya, untuk menghitung simpangan baku pengukuran volume dari pengukuran tinggi, lebar, dan kedalaman tangki berbentuk kubus.

4.5. Aturan untuk penjumlahan kesalahan acak dan sistematis
Kesalahan alat ukur yang kompleks tergantung pada kesalahan masing-masing node (blok). Kesalahan diringkas menurut aturan tertentu.
Misalkan, alat pengukur terdiri dari: m blok, yang masing-masing memiliki kesalahan acak independen. Pada saat yang sama, nilai absolut dari akar-rata-rata-kuadrat sk atau maksimum Mk kesalahan untuk setiap blok.
Penjumlahan aritmatika atau memberikan kesalahan maksimum perangkat, yang memiliki probabilitas yang dapat diabaikan dan oleh karena itu jarang digunakan untuk menilai keakuratan perangkat secara keseluruhan. Menurut teori kesalahan, sres kesalahan yang dihasilkan dan mrez ditentukan oleh penjumlahan kuadrat atau .
Kesalahan pengukuran relatif yang dihasilkan ditentukan dengan cara yang sama: . (4.8)
Persamaan (4.8) dapat digunakan untuk menentukan kesalahan yang diizinkan dari masing-masing blok perangkat yang sedang dikembangkan dengan kesalahan pengukuran total yang diberikan. Saat mendesain perangkat, mereka biasanya diberikan kesalahan yang sama untuk masing-masing blok yang disertakan di dalamnya. Jika ada beberapa sumber kesalahan yang mempengaruhi hasil akhir pengukuran secara berbeda (atau perangkat terdiri dari beberapa blok dengan kesalahan yang berbeda), koefisien pembobotan harus dimasukkan ke dalam rumus (4.8) ki :
, (4.9)
di mana d1, d2, …, dm adalah kesalahan relatif dari unit individu (balok) dari alat pengukur; k1,k2, … ,km- koefisien yang memperhitungkan tingkat pengaruh kesalahan acak blok ini pada hasil pengukuran.
Jika alat pengukur (atau baloknya) juga memiliki kesalahan sistematis, kesalahan total ditentukan oleh jumlah mereka: Pendekatan yang sama berlaku untuk sejumlah besar komponen.
Ketika mengevaluasi pengaruh kesalahan parsial, harus diperhitungkan bahwa akurasi pengukuran terutama tergantung pada kesalahan yang besar dalam nilai absolut, dan beberapa kesalahan terkecil dapat diabaikan sama sekali. Kesalahan parsial diperkirakan berdasarkan apa yang disebut kriteria kesalahan yang dapat diabaikan, yaitu sebagai berikut. Mari kita asumsikan bahwa total kesalahan dres ditentukan oleh rumus (4.8) dengan mempertimbangkan semua m kesalahan parsial, di antaranya beberapa kesalahan di memiliki nilai yang kecil. Jika total error dres, dihitung tanpa memperhitungkan error di, berbeda dari dres tidak lebih dari 5%, yaitu drez-d¢rez< 0,05×dрез или 0,95×dрезDalam praktik perhitungan teknis, kriteria yang kurang ketat sering digunakan - koefisien 0,4 dimasukkan ke dalam formula ini.

4.6. Bentuk penyajian hasil pengukuran

Hasil pengukuran hanya bernilai jika interval ketidakpastiannya dapat diperkirakan, mis. tingkat keandalan. Oleh karena itu, hasil pengukuran harus memuat nilai besaran yang diukur dan ciri-ciri ketelitian nilai tersebut, yaitu kesalahan sistematis dan kesalahan acak. Indikator kuantitatif kesalahan, metode ekspresinya, serta bentuk penyajian hasil pengukuran diatur oleh GOST 8.011-72 "Indikator akurasi pengukuran dan bentuk penyajian hasil pengukuran". Mari kita perhatikan bentuk utama penyajian hasil pengukuran.
Kesalahan hasil pengukuran tunggal langsung tergantung pada banyak faktor, tetapi terutama ditentukan oleh kesalahan alat ukur yang digunakan. Oleh karena itu, dalam pendekatan pertama, kesalahan hasil pengukuran dapat diambil sama dengan
kesalahan, yang pada titik tertentu dalam rentang pengukuran mencirikan alat ukur yang digunakan.
Kesalahan alat ukur bervariasi dalam rentang pengukuran. Oleh karena itu, dalam setiap kasus, untuk setiap pengukuran, perlu untuk menghitung kesalahan hasil pengukuran menggunakan rumus (3.19) - (3.21) untuk menormalkan kesalahan alat ukur yang sesuai. Baik kesalahan absolut dan relatif dari hasil pengukuran harus dihitung, karena yang pertama diperlukan untuk membulatkan hasil dan pencatatan yang benar, dan yang kedua untuk karakteristik komparatif yang tidak ambigu dari akurasinya.
Untuk karakteristik normalisasi kesalahan SI yang berbeda, perhitungan ini dilakukan dengan cara yang berbeda, jadi kami akan mempertimbangkan tiga kasus tipikal.
1. Kelas perangkat ditunjukkan sebagai nomor tunggal q, tertutup dalam lingkaran. Maka kesalahan relatif dari hasil (dalam persen) g = q, dan kesalahan mutlaknya D x =q× x/ 100.
2. Kelas perangkat ditunjukkan oleh satu nomor p(tidak ada lingkaran). Maka kesalahan mutlak hasil pengukuran D x =p× xk / 100 dimana xk- batas pengukuran di mana itu dilakukan, dan kesalahan pengukuran relatif (dalam persen) ditemukan oleh rumus ,
yaitu dalam hal ini, saat mengukur, kecuali untuk membaca nilai yang diukur X harus tetap dan batas pengukuran xk , jika tidak, tidak akan mungkin untuk menghitung kesalahan hasil nanti.
3. Kelas perangkat ditunjukkan oleh dua angka dalam bentuk CD. Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menghitung kesalahan relatif d hasil dengan rumus (3.21), dan hanya kemudian menemukan kesalahan mutlak sebagai Dx=d× x/100.
Setelah melakukan perhitungan kesalahan, salah satu bentuk penyajian hasil pengukuran digunakan sebagai berikut: X;± D dan d, di mana X- nilai yang terukur; D- kesalahan pengukuran mutlak; d-kesalahan pengukuran relatif. Misalnya, entri berikut dibuat: “Pengukuran dilakukan dengan kesalahan relatif d= …%. nilai yang terukur x = (A± D), di mana TETAPI- hasil pengukuran.
Namun, lebih jelas untuk menunjukkan batas interval ketidakpastian dari nilai terukur dalam bentuk: x = (A-D)¸(A+D) atau (A-D)< х < (A+D) menunjukkan satuan pengukuran.
Bentuk lain penyajian hasil pengukuran diatur sebagai berikut: X; D dari D sebelum Dv; R, di mana X- hasil pengukuran dalam satuan nilai terukur; D,D,Dv- masing-masing, kesalahan pengukuran dengan batas bawah dan atas dalam satuan yang sama; R- probabilitas kesalahan pengukuran dalam batas-batas ini.
GOST 8.011-72 juga memungkinkan bentuk lain penyajian hasil pengukuran, yang berbeda dari bentuk di atas karena menunjukkan secara terpisah karakteristik komponen sistematis dan acak dari kesalahan pengukuran. Pada saat yang sama, untuk kesalahan sistematis, karakteristik probabilistiknya ditunjukkan. Dalam hal ini, karakteristik utama dari kesalahan sistematik adalah ekspektasi matematis M [ Dxc], simpangan baku s[ Dxc] dan selang kepercayaannya. Pemisahan komponen kesalahan sistematis dan acak disarankan jika hasil pengukuran akan digunakan dalam pengolahan data lebih lanjut, misalnya dalam menentukan hasil pengukuran tidak langsung dan menilai keakuratannya, dalam menjumlahkan kesalahan, dll.

Setiap bentuk penyajian hasil pengukuran, yang disediakan oleh GOST 8.011-72, harus berisi data yang diperlukan, yang dengannya interval kepercayaan untuk kesalahan hasil pengukuran dapat ditentukan. Dalam kasus umum, selang kepercayaan dapat dibentuk jika bentuk hukum distribusi kesalahan dan karakteristik numerik utama dari hukum ini diketahui.

Kesalahan absolut dan relatif

Elemen teori kesalahan

Angka eksak dan perkiraan

Keakuratan angka umumnya tidak diragukan lagi dalam hal nilai data bilangan bulat (2 pensil, 100 pohon). Namun, dalam banyak kasus, ketika tidak mungkin untuk menunjukkan nilai yang tepat dari suatu angka (misalnya, saat mengukur objek dengan penggaris, mengambil hasil dari perangkat, dll.), kita berurusan dengan data perkiraan.

Nilai perkiraan adalah angka yang sedikit berbeda dari nilai pasti dan menggantikannya dalam perhitungan. Derajat perbedaan antara nilai perkiraan suatu bilangan dan nilai eksaknya dicirikan oleh: kesalahan .

Ada sumber utama kesalahan berikut:

1. Kesalahan dalam perumusan masalah timbul sebagai akibat dari deskripsi perkiraan dari fenomena nyata dalam hal matematika.

2. Kesalahan metode terkait dengan kesulitan atau ketidakmungkinan memecahkan masalah dan menggantinya dengan yang serupa, sehingga Anda dapat menerapkan metode solusi yang terkenal dan dapat diakses dan mendapatkan hasil yang mendekati yang diinginkan.

3. Kesalahan fatal, terkait dengan nilai perkiraan data awal dan karena kinerja perhitungan pada angka perkiraan.

4. Kesalahan pembulatan terkait dengan pembulatan nilai data awal, hasil antara dan akhir yang diperoleh dengan penggunaan alat komputasi.

Kesalahan absolut dan relatif

Penghitungan kesalahan merupakan aspek penting dari penerapan metode numerik, karena kesalahan hasil akhir dari penyelesaian seluruh masalah adalah produk dari interaksi semua jenis kesalahan. Oleh karena itu, salah satu tugas utama teori kesalahan adalah memperkirakan keakuratan hasil berdasarkan keakuratan data awal.

Jika merupakan bilangan eksak dan merupakan nilai aproksimasinya, maka kesalahan (error) dari nilai aproksimasi adalah derajat kedekatan nilainya dengan nilai eksaknya.

Ukuran kesalahan kuantitatif yang paling sederhana adalah kesalahan absolut, yang didefinisikan sebagai:

(1.1.2-1)

Seperti dapat dilihat dari rumus 1.1.2-1, galat mutlak memiliki satuan pengukuran yang sama dengan nilainya. Oleh karena itu, dengan besarnya kesalahan absolut, jauh dari selalu mungkin untuk menarik kesimpulan yang benar tentang kualitas aproksimasi. Misalnya, jika , dan kita berbicara tentang bagian mesin, maka pengukurannya sangat kasar, dan jika kita berbicara tentang ukuran kapal, maka itu sangat akurat. Dalam hal ini, konsep kesalahan relatif diperkenalkan, di mana nilai kesalahan absolut terkait dengan modulus nilai perkiraan ( ).

(1.1.2-2)

Penggunaan kesalahan relatif nyaman, khususnya, karena tidak bergantung pada skala nilai dan unit data. Kesalahan relatif diukur dalam pecahan atau persentase. Jadi, misalnya, jika

,sebuah , kemudian , dan jika dan ,

sehingga kemudian .

Untuk mengevaluasi kesalahan suatu fungsi secara numerik, Anda perlu mengetahui aturan dasar untuk menghitung kesalahan tindakan:

· saat menambah dan mengurangi angka kesalahan mutlak angka bertambah

· saat mengalikan dan membagi angka kesalahan relatif mereka ditumpuk di atas satu sama lain

· ketika dipangkatkan dengan angka perkiraan kesalahan relatifnya dikalikan dengan eksponen

Contoh 1.1.2-1. Diberikan sebuah fungsi: . Temukan kesalahan absolut dan relatif dari nilai (kesalahan hasil melakukan operasi aritmatika), jika nilainya diketahui, dan 1 adalah bilangan eksak dan kesalahannya adalah nol.

Setelah menentukan nilai kesalahan relatif, seseorang dapat menemukan nilai kesalahan absolut sebagai: , di mana nilainya dihitung dengan rumus untuk nilai perkiraan

Karena nilai pasti dari kuantitas biasanya tidak diketahui, perhitungannya dan menurut rumus di atas tidak mungkin. Oleh karena itu, dalam praktiknya, kesalahan marginal dari formulir dievaluasi:

(1.1.2-3)

di mana dan - nilai yang diketahui, yang merupakan batas atas kesalahan absolut dan relatif, jika tidak mereka disebut - kesalahan relatif pembatas dan absolut pembatas. Jadi, nilai eksaknya terletak di dalam:

Jika nilai diketahui, maka , dan jika nilainya diketahui , kemudian

Di zaman kita, manusia telah menemukan dan menggunakan berbagai macam alat ukur. Tetapi tidak peduli seberapa sempurna teknologi pembuatannya, mereka semua memiliki kesalahan yang lebih besar atau lebih kecil. Parameter ini, sebagai suatu peraturan, ditunjukkan pada instrumen itu sendiri, dan untuk menilai keakuratan nilai yang ditentukan, seseorang harus dapat memahami apa arti angka yang ditunjukkan pada penandaan. Selain itu, kesalahan relatif dan absolut pasti muncul dalam perhitungan matematis yang kompleks. Ini banyak digunakan dalam statistik, industri (kontrol kualitas) dan di sejumlah bidang lainnya. Bagaimana nilai ini dihitung dan bagaimana menafsirkan nilainya - inilah yang akan dibahas dalam artikel ini.

Kesalahan mutlak

Mari kita nyatakan dengan x nilai perkiraan suatu kuantitas, yang diperoleh, misalnya, melalui pengukuran tunggal, dan dengan x 0 nilai eksaknya. Sekarang mari kita hitung modulus selisih antara kedua bilangan tersebut. Kesalahan absolut adalah persis nilai yang kami dapatkan sebagai hasil dari operasi sederhana ini. Dinyatakan dalam bahasa rumus, definisi ini dapat ditulis sebagai berikut: x = | x - x0 |.

Kesalahan relatif

Penyimpangan absolut memiliki satu kelemahan penting - itu tidak memungkinkan kita untuk menilai tingkat pentingnya kesalahan. Misalnya, kami membeli 5 kg kentang di pasar, dan penjual yang tidak bermoral, ketika mengukur berat, membuat kesalahan sebesar 50 gram yang menguntungkannya. Artinya, kesalahan mutlak adalah 50 gram. Bagi kami, kekhilafan seperti itu akan menjadi hal yang sepele dan kami bahkan tidak akan memperhatikannya. Bayangkan apa yang akan terjadi jika kesalahan serupa terjadi dalam penyiapan obat? Di sini semuanya akan jauh lebih serius. Dan saat memuat gerbong barang, penyimpangan kemungkinan besar terjadi jauh lebih besar dari nilai ini. Oleh karena itu, kesalahan absolut itu sendiri tidak terlalu informatif. Selain itu, sangat sering, deviasi relatif juga dihitung, sama dengan rasio kesalahan absolut dengan nilai pasti dari angka tersebut. Ini ditulis dalam rumus berikut: = x / x 0 .

Properti Kesalahan

Misalkan kita memiliki dua besaran bebas: x dan y. Kita perlu menghitung deviasi dari nilai perkiraan jumlah mereka. Dalam hal ini, kita dapat menghitung galat mutlak sebagai jumlah dari simpangan mutlak yang telah dihitung sebelumnya dari masing-masingnya. Dalam beberapa pengukuran, mungkin saja terjadi kesalahan dalam menentukan nilai x dan y yang saling menghilangkan. Dan mungkin juga terjadi bahwa sebagai akibat dari penambahan, penyimpangan akan meningkat sebanyak mungkin. Oleh karena itu, ketika menghitung kesalahan absolut total, kasus terburuk harus diperhitungkan. Hal yang sama berlaku untuk perbedaan kesalahan beberapa nilai. Properti ini adalah karakteristik hanya untuk kesalahan absolut, dan tidak dapat diterapkan pada penyimpangan relatif, karena ini pasti akan mengarah pada hasil yang salah. Mari kita pertimbangkan situasi ini dalam contoh berikut.

Misalkan pengukuran di dalam silinder menunjukkan bahwa jari-jari bagian dalam (R 1) adalah 97 mm, dan bagian luar (R 2) adalah 100 mm. Diperlukan untuk menentukan ketebalan dindingnya. Pertama, temukan perbedaannya: h \u003d R 2 - R 1 \u003d 3 mm. Jika tugas tidak menunjukkan apa yang sama dengan kesalahan absolut, maka itu diambil sebagai setengah pembagian skala alat ukur. Jadi, (R 2) \u003d (R 1) \u003d 0,5 mm. Kesalahan mutlak total adalah: (h) = (R 2) + (R 1) = 1 mm. Sekarang kita menghitung deviasi relatif dari semua kuantitas:

(R 1) \u003d 0,5 / 100 \u003d 0,005,

(R 1) \u003d 0,5 / 97 0,0052,

(h) = (h)/h = 1/3 0,3333>> (R 1).

Seperti yang Anda lihat, kesalahan dalam mengukur kedua jari-jari tidak melebihi 5,2%, dan kesalahan dalam menghitung perbedaannya - ketebalan dinding silinder - adalah sebanyak 33,(3)%!

Properti berikut mengatakan: deviasi relatif dari produk beberapa angka kira-kira sama dengan jumlah deviasi relatif dari masing-masing faktor:

(xy) (x) + (y).

Selain itu, aturan ini benar terlepas dari jumlah nilai yang diperkirakan. Properti ketiga dan terakhir dari kesalahan relatif adalah bahwa perkiraan relatif dari jumlah pangkat k kira-kira dalam | k | kali lebih besar dari kesalahan relatif dari nomor asli.