Saat menambahkan minus demi minus apa yang memberi. Tanda tangani aturan perkalian dan penjumlahan

"Musuh dari musuhku adalah temanku"

Mengapa minus satu kali dikurangi satu sama dengan ditambah satu? Mengapa minus satu kali ditambah satu sama dengan dikurangi satu? Jawaban termudah adalah: "Karena ini adalah aturan untuk bekerja dengan angka negatif." Aturan-aturan yang kita pelajari di sekolah dan diterapkan sepanjang hidup kita. Namun, buku teks tidak menjelaskan mengapa aturannya seperti itu. Pertama-tama kita akan mencoba memahami ini dari sejarah perkembangan aritmatika, dan kemudian kita akan menjawab pertanyaan ini dari sudut pandang matematika modern.

Dahulu kala, hanya bilangan asli yang diketahui orang: Mereka digunakan untuk menghitung peralatan, barang rampasan, musuh, dll. Tetapi bilangan itu sendiri agak tidak berguna - Anda harus dapat menanganinya. Penjumlahan jelas dan dapat dimengerti, selain itu, jumlah dua bilangan asli juga merupakan bilangan asli (seorang ahli matematika akan mengatakan bahwa himpunan bilangan asli tertutup di bawah operasi penjumlahan). Perkalian sebenarnya adalah penjumlahan yang sama jika kita berbicara tentang bilangan asli. Dalam hidup, kita sering melakukan tindakan yang berkaitan dengan dua operasi ini (misalnya, saat berbelanja, kita menambah dan mengalikan), dan aneh untuk berpikir bahwa nenek moyang kita lebih jarang menemukannya - penambahan dan perkalian dikuasai oleh umat manusia untuk waktu yang sangat lama yang lalu. Seringkali perlu untuk membagi satu kuantitas dengan yang lain, tetapi di sini hasilnya tidak selalu dinyatakan sebagai bilangan asli - ini adalah bagaimana bilangan pecahan muncul.

Angka negatif muncul dalam dokumen India dari abad ke-7 Masehi; orang Cina, tampaknya, mulai menggunakannya sedikit lebih awal. Mereka digunakan untuk menghitung hutang atau dalam perhitungan menengah untuk menyederhanakan solusi persamaan - itu hanya alat untuk mendapatkan jawaban positif. Fakta bahwa angka negatif, tidak seperti angka positif, tidak mengungkapkan keberadaan entitas apa pun, menimbulkan ketidakpercayaan yang kuat. Orang-orang dalam arti harfiah kata menghindari angka negatif: jika masalah mendapat jawaban negatif, mereka percaya bahwa tidak ada jawaban sama sekali. Ketidakpercayaan ini bertahan untuk waktu yang sangat lama, dan bahkan Descartes - salah satu "pendiri" matematika modern - menyebut mereka "salah" (pada abad ke-17!).

Mari kita ambil persamaan sebagai contoh. Ini dapat diselesaikan seperti ini: pindahkan suku dengan yang tidak diketahui ke sisi kiri, dan sisanya ke kanan, Anda mendapatkan , , . Dengan solusi ini, kami bahkan tidak menemukan angka negatif.

Tapi itu bisa dilakukan dengan cara yang berbeda: pindahkan suku dengan yang tidak diketahui ke sisi kanan dan dapatkan , . Untuk menemukan yang tidak diketahui, Anda perlu membagi satu angka negatif dengan yang lain: . Tetapi jawaban yang benar diketahui, dan masih harus disimpulkan bahwa .

Apa yang ditunjukkan oleh contoh sederhana ini? Pertama, logika yang mendefinisikan aturan tindakan pada angka negatif menjadi jelas: hasil dari tindakan ini harus sesuai dengan jawaban yang diperoleh dengan cara yang berbeda, tanpa angka negatif. Kedua, dengan mengizinkan penggunaan angka negatif, kami menyingkirkan pencarian yang membosankan (jika persamaan ternyata lebih rumit, dengan sejumlah besar istilah) untuk jalur solusi di mana semua tindakan dilakukan hanya pada bilangan asli. Selain itu, kita tidak dapat lagi berpikir setiap saat tentang kebermaknaan besaran yang dikonversi - dan ini sudah merupakan langkah untuk mengubah matematika menjadi ilmu abstrak.

Aturan untuk tindakan pada bilangan negatif tidak segera dibentuk, tetapi menjadi generalisasi dari banyak contoh yang muncul ketika memecahkan masalah yang diterapkan. Secara umum, perkembangan matematika secara kondisional dapat dibagi menjadi beberapa tahap: setiap tahap berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan tingkat abstraksi baru dalam studi objek. Jadi, pada abad ke-19, matematikawan menyadari bahwa bilangan bulat dan polinomial, untuk semua perbedaan luarnya, memiliki banyak kesamaan: keduanya dapat ditambahkan, dikurangkan, dan dikalikan. Operasi-operasi ini mematuhi hukum yang sama - baik dalam kasus bilangan maupun dalam kasus polinomial. Tetapi pembagian bilangan bulat satu sama lain, sehingga hasilnya adalah bilangan bulat lagi, tidak selalu mungkin. Hal yang sama berlaku untuk polinomial.

Kemudian kumpulan objek matematika lainnya ditemukan di mana operasi semacam itu dapat dilakukan: deret pangkat formal, fungsi kontinu ... Akhirnya, muncul pemahaman bahwa jika Anda mempelajari sifat-sifat operasi itu sendiri, maka hasilnya dapat diterapkan ke semua ini kumpulan objek (pendekatan ini khas untuk semua matematika modern).

Alhasil, konsep baru muncul: cincin. Ini hanya sekelompok elemen ditambah tindakan yang dapat dilakukan pada mereka. Aturan dasar di sini hanyalah aturan (mereka disebut aksioma), yang tunduk pada tindakan, dan bukan sifat elemen himpunan (ini dia, tingkat abstraksi baru!). Ingin menekankan bahwa itu adalah struktur yang muncul setelah pengenalan aksioma yang penting, matematikawan mengatakan: cincin bilangan bulat, cincin polinomial, dll Mulai dari aksioma, seseorang dapat memperoleh sifat-sifat cincin lainnya.

Kami akan merumuskan aksioma ring (yang, tentu saja, mirip dengan aturan untuk operasi dengan bilangan bulat), dan kemudian kami akan membuktikan bahwa di ring mana pun, mengalikan minus dengan minus menghasilkan plus.

Ring adalah himpunan dengan dua operasi biner (yaitu, dua elemen ring terlibat dalam setiap operasi), yang secara tradisional disebut penjumlahan dan perkalian, dan aksioma berikut:

Perhatikan bahwa cincin, dalam konstruksi paling umum, tidak memerlukan perkalian untuk dapat diubah-ubah, juga tidak dapat dibalik (yaitu, tidak selalu mungkin untuk membagi), juga tidak memerlukan keberadaan unit - elemen netral sehubungan dengan untuk perkalian. Jika aksioma ini diperkenalkan, maka struktur aljabar lain diperoleh, tetapi semua teorema yang terbukti untuk cincin akan benar di dalamnya.

Sekarang kita akan membuktikan bahwa untuk setiap elemen dan ring sembarang, pertama, dan kedua, . Dari sini, pernyataan tentang unit dengan mudah mengikuti: dan .

Untuk melakukan ini, kita perlu menetapkan beberapa fakta. Pertama kita buktikan bahwa setiap elemen hanya dapat memiliki satu lawan. Memang, biarkan elemen memiliki dua yang berlawanan: dan . yaitu Mari kita pertimbangkan jumlahnya. Menggunakan hukum asosiatif dan komutatif dan properti nol, kita mendapatkan bahwa, di satu sisi, jumlahnya sama, dan di sisi lain, sama dengan. Cara, .

Perhatikan sekarang bahwa dan , Dan berlawanan dari elemen yang sama , sehingga mereka harus sama.

Fakta pertama diperoleh sebagai berikut: , yaitu berlawanan dengan , yang berarti sama dengan .

Agar lebih teliti secara matematis, mari kita jelaskan juga mengapa untuk elemen apa pun . Memang, . Artinya, penambahan tidak mengubah jumlah. Jadi produk ini sama dengan nol.

Dan fakta bahwa ada tepat satu nol di ring (bagaimanapun, aksioma mengatakan bahwa elemen seperti itu ada, tetapi tidak ada yang dikatakan tentang keunikannya!), kami akan menyerahkan kepada pembaca sebagai latihan sederhana.

Evgeny Epifanov
"Elemen"

Komentar: 0

Jacques Cesiano

Ada tiga ekspansi penting dari domain numerik dalam dua milenium. Pertama, sekitar 450 SM. ilmuwan dari sekolah Pythagoras membuktikan adanya bilangan irasional. Tujuan awal mereka adalah untuk secara numerik mewakili diagonal persegi satuan. Kedua, pada abad XIII-XV, para ilmuwan Eropa, yang memecahkan sistem persamaan linier, mengakui kemungkinan satu solusi negatif. Dan ketiga, pada tahun 1572, ahli aljabar Italia Rafael Bombelli menggunakan bilangan kompleks untuk mendapatkan solusi nyata dari persamaan kubik tertentu.

Proskuryakov I.V.

Tujuan buku ini adalah untuk secara tegas mendefinisikan bilangan, polinomial, dan pecahan aljabar dan untuk membenarkan sifat-sifatnya yang sudah diketahui dari sekolah, dan tidak memperkenalkan pembaca pada sifat-sifat baru. Oleh karena itu, pembaca tidak akan menemukan fakta di sini yang baru baginya (dengan kemungkinan pengecualian beberapa sifat, bilangan real dan kompleks), tetapi akan belajar bagaimana membuktikan hal-hal yang diketahuinya, dimulai dengan "dua kali dua - empat ” dan diakhiri dengan aturan operasi polinomial dan pecahan aljabar. Di sisi lain, pembaca akan berkenalan dengan sejumlah konsep umum yang memainkan peran utama dalam aljabar.

Ilya Shchurov

Matematikawan Ilya Shchurov tentang pecahan desimal, transendensi dan irasionalitas Pi.

Leon Takhtajyan

Ini akan menjadi empat cerita pendek. Kita akan mulai dengan angka, lalu kita akan berbicara tentang gerakan, tentang perubahan, lalu kita akan berbicara tentang bentuk dan ukuran, dan kemudian kita akan berbicara tentang awal dan akhir. Dalam gaya yang agak terenkripsi seperti itu, kita akan mencoba melihat matematika dari dalam dan luar, dan tepatnya sebagai objek. Apa yang matematikawan pikirkan dan apa yang mereka jalani - kita bisa membicarakannya nanti.

Vladlen Timorin

Matematikawan Vladlen Timorin tentang keunggulan bilangan kompleks, bilangan empat Hamilton, bilangan Cayley delapan dimensi dan ragam bilangan dalam geometri.

Jacques Cesiano

Kami hanya tahu sedikit tentang Diophantus. Dia tampaknya telah tinggal di Alexandria. Tidak ada matematikawan Yunani yang menyebutkan dia sebelum abad ke-4, jadi dia mungkin hidup di pertengahan abad ke-3. Karya Diophantus yang paling penting, "Aritmatika" (Ἀριθμητικά), terjadi di awal 13 "buku" (βιβλία), yaitu bab. Saat ini kita memiliki 10 di antaranya, yaitu: 6 dalam teks Yunani dan 4 lainnya dalam terjemahan Arab abad pertengahan, yang tempatnya berada di tengah-tengah buku Yunani: buku I-III dalam bahasa Yunani, IV-VII dalam bahasa Arab, VIII-X dalam bahasa Yunani. "Aritmatika" Diophantus terutama merupakan kumpulan masalah, sekitar 260. Sebenarnya, tidak ada teori; hanya ada petunjuk umum dalam pendahuluan buku, dan komentar khusus dalam beberapa masalah bila diperlukan. "Aritmatika" sudah memiliki ciri-ciri risalah aljabar. Pertama, Diophantus menggunakan tanda yang berbeda untuk menyatakan yang tidak diketahui dan derajatnya, juga beberapa perhitungan; seperti semua simbolisme aljabar Abad Pertengahan, simbolismenya berasal dari kata-kata matematika. Kemudian, Diophantus menjelaskan bagaimana menyelesaikan masalah secara aljabar. Tetapi masalah Diophantine bukanlah aljabar dalam pengertian biasa, karena hampir semuanya direduksi menjadi penyelesaian persamaan tak tentu atau sistem persamaan tersebut.

Dunia matematika tidak terbayangkan tanpa mereka - tanpa bilangan prima. Apa itu bilangan prima, apa keistimewaannya, dan apa artinya dalam kehidupan sehari-hari? Dalam film ini, profesor matematika Inggris Marcus du Sotoy akan mengungkap rahasia bilangan prima.

George Shabat

Di sekolah, kita semua ditanamkan dengan gagasan yang salah bahwa pada himpunan bilangan rasional Q ada jarak alami yang unik (modulus selisih), yang dengannya semua operasi aritmatika kontinu. Namun, ada juga jumlah tak terhingga dari apa yang disebut jarak p-adik, satu untuk setiap bilangan p. Menurut teorema Ostrovskii, jarak "biasa", bersama dengan semua jarak p-adik, benar-benar menghabiskan semua jarak wajar Q. Istilah demokrasi adele diperkenalkan oleh Yu. I. Manin. Menurut prinsip demokrasi adele, semua jarak yang wajar pada Q adalah sama di depan hukum matematika (mungkin hanya "sedikit = sedikit lebih sama ..." tradisional. Kursus ini akan memperkenalkan cincin adele yang memungkinkan Anda untuk bekerja dengan semua jarak ini secara bersamaan.

Vladimir Arnold

JL Lagrange membuktikan bahwa barisan hasil bagi tidak lengkap (dimulai dari suatu tempat) adalah periodik jika dan hanya jika bilangan x adalah irasionalitas kuadrat. R. O. Kuzmin membuktikan bahwa dalam urutan hasil bagi tidak lengkap dari hampir semua bilangan real, proporsi d_m sama dengan m hasil bagi tidak lengkap adalah sama (untuk bilangan real tipikal). Pecahan d_m berkurang sebagai m→∞ sebagai 1/m^2 dan nilainya diprediksi oleh Gauss (yang tidak membuktikan apa-apa). V. I. Arnolda (20 tahun yang lalu) menduga bahwa statistik Gauss–Kuzmin d_m juga berlaku untuk periode pecahan lanjutan dari akar persamaan kuadrat x^2+px+q=0 (dengan bilangan bulat p dan q): jika kita tulis bersama hasil bagi tidak lengkap , yang merupakan periode dari semua pecahan lanjutan dari akar persamaan dengan p^2+q^2≤R^2, maka pecahan hasil bagi m di antara mereka akan cenderung ke bilangan d_m sebagai R→ . V. A. Bykovsky dan murid-muridnya dari Khabarovsk baru-baru ini membuktikan hipotesis lama ini. Meskipun demikian, pertanyaan tentang statistik bukan huruf, tetapi kata-kata yang terdiri darinya, yang merupakan periode pecahan lanjutan dari akar apa pun x dari persamaan x^2+px+q=0, masih jauh dari penyelesaian.

Reid Miles

Saya meninggalkan judul dan abstrak sejelas mungkin, sehingga saya dapat berbicara tentang apa pun yang saya rasakan pada hari itu. Banyak varietas yang menarik dalam klasifikasi varietas diperoleh sebagai Spec atau Proj dari cincin Gorenstein. Dalam kodimensi 3, teori struktur yang terkenal menyediakan metode penghitungan eksplisit dengan cincin Gorenstein. Sebaliknya, tidak ada teori struktur yang dapat digunakan untuk cincin kodimensi 4. Namun demikian, dalam banyak kasus, proyeksi Gorenstein (dan kebalikannya, Kustin-Miller unprojection) menyediakan metode untuk menyerang cincin ini. Metode ini berlaku untuk kelas sporadis cincin kanonik dari permukaan aljabar reguler, dan untuk konstruksi Q-Fano 3-lipatan yang lebih sistematis, hubungan Sarkisov antara ini, dan flips 3-lipatan dari teori Tipe A Mori.

Mengapa minus dikalikan minus sama dengan plus?

- (1 tongkat) - (2 tongkat) = ((1 tongkat)+(2 tongkat))= 2 tongkat (Dan dua tongkat + karena ada 2 tongkat di tiang)))

Minus dikali minus memberi nilai plus karena itu peraturan sekolah. Saat ini, tidak ada jawaban pasti mengapa, menurut saya. Ini adalah aturan dan telah ada selama bertahun-tahun. Anda hanya perlu mengingat sliver untuk sliver memberikan jepitan.

Dari pelajaran matematika sekolah, kita tahu bahwa minus dikalikan minus memberi nilai plus. Ada juga penjelasan yang disederhanakan dan menyenangkan dari aturan ini: minus adalah satu baris, dua minus adalah dua baris, plus hanya terdiri dari 2 baris. Oleh karena itu, minus kali minus memberikan tanda plus.

Saya rasa begitu: minus adalah tongkat - tambahkan satu lagi tongkat minus - kemudian Anda mendapatkan dua batang, dan jika Anda menghubungkannya secara melintang, maka tanda + quot ; akan belajar, ini adalah bagaimana saya mengatakan pendapat saya tentang pertanyaan: minus minus tanggal plus.

Minus kali minus tidak selalu memberi nilai plus, bahkan dalam matematika. Tapi pada dasarnya, saya membandingkan pernyataan ini dengan matematika, di mana itu paling sering ditemukan. Mereka juga mengatakan bahwa mereka merobohkan memo dengan linggis - ini juga entah bagaimana terkait dengan minus.

Bayangkan Anda meminjam 100 rubel. Sekarang akun Anda: -100 rubel. Kemudian Anda melunasi hutang ini. Jadi ternyata Anda telah mengurangi (-) hutang Anda (-100) dengan jumlah uang yang sama. Kami mendapatkan: -100-(-100)=0

Minus menunjukkan sebaliknya: kebalikan dari 5 adalah -5. Tetapi -(-5) adalah angka yang berlawanan dengan kebalikannya, mis. 5.

Seperti dalam lelucon:

1 - Di mana seberang jalan?

2 - di sisi lain

1 - dan mereka mengatakan bahwa ini ...

Bayangkan sebuah timbangan dengan dua mangkuk. Fakta bahwa di mangkuk kanan selalu memiliki tanda plus, di mangkuk kiri - minus. Sekarang, mengalikan dengan angka dengan tanda plus berarti itu terjadi pada mangkuk yang sama, dan mengalikan dengan angka dengan tanda minus berarti hasilnya dibawa ke mangkuk lain. Contoh. Kami mengalikan 5 apel dengan 2. Kami mendapatkan 10 apel di mangkuk yang tepat. Kami mengalikan - 5 apel dengan 2, kami mendapatkan 10 apel di mangkuk kiri, yaitu -10. Sekarang kalikan -5 dengan -2. Artinya 5 apel di mangkuk kiri dikalikan 2 dan dipindahkan ke mangkuk kanan, yaitu jawabannya adalah 10. Menariknya, mengalikan plus dengan minus, yaitu apel di mangkuk kanan, hasilnya negatif, yaitu, apel pergi ke kiri. Dan mengalikan minus apel kiri dengan plus meninggalkannya di minus, di mangkuk kiri.

Saya pikir ini dapat ditunjukkan dengan cara berikut. Jika Anda memasukkan lima apel ke dalam lima keranjang, maka totalnya akan ada 25 apel. Dalam keranjang. Dan minus lima apel berarti saya tidak melaporkannya, tetapi mengeluarkannya dari masing-masing dari lima keranjang. dan ternyata 25 apel yang sama, tetapi tidak dalam keranjang. Oleh karena itu, keranjang menjadi minus.

Anda juga dapat mendemonstrasikan ini dengan sangat baik dengan contoh berikut. Jika rumah Anda terbakar, itu minus. Tetapi jika Anda lupa mematikan keran di kamar mandi, dan Anda mulai banjir, maka ini juga merupakan minus. Tapi ini terpisah. Namun jika semua itu terjadi secara bersamaan, maka minus demi minus memberikan nilai plus, dan apartemen Anda berpeluang untuk bertahan.

1) Mengapa minus satu kali dikurangi satu sama dengan ditambah satu?
2) Mengapa dikurangi satu kali ditambah satu sama dengan dikurangi satu?

"Musuh dari musuhku adalah temanku."

Jawaban termudah adalah: "Karena ini adalah aturan untuk bekerja dengan angka negatif." Aturan-aturan yang kita pelajari di sekolah dan diterapkan sepanjang hidup kita. Namun, buku teks tidak menjelaskan mengapa aturannya seperti itu. Pertama-tama kita akan mencoba memahami ini dari sejarah perkembangan aritmatika, dan kemudian kita akan menjawab pertanyaan ini dari sudut pandang matematika modern.

Dahulu kala, hanya bilangan asli yang diketahui orang: 1, 2, 3, ... Mereka digunakan untuk menghitung peralatan, mangsa, musuh, dll. Tetapi angka itu sendiri agak tidak berguna - Anda harus bisa menangani mereka. Penjumlahan jelas dan dapat dimengerti, dan selain itu, jumlah dua bilangan asli juga merupakan bilangan asli (seorang ahli matematika akan mengatakan bahwa himpunan bilangan asli tertutup di bawah operasi penjumlahan). Perkalian sebenarnya adalah penjumlahan yang sama jika kita berbicara tentang bilangan asli. Dalam hidup, kita sering melakukan tindakan yang berkaitan dengan dua operasi ini (misalnya, saat berbelanja, kita menambah dan mengalikan), dan aneh untuk berpikir bahwa nenek moyang kita lebih jarang menemukannya - penambahan dan perkalian dikuasai oleh umat manusia untuk waktu yang sangat lama yang lalu. Seringkali perlu untuk membagi satu kuantitas dengan yang lain, tetapi di sini hasilnya tidak selalu dinyatakan dengan bilangan asli - ini adalah bagaimana bilangan pecahan muncul.

Angka negatif muncul dalam dokumen India dari abad ke-7 Masehi; orang Cina, tampaknya, mulai menggunakannya sedikit lebih awal. Mereka digunakan untuk menghitung hutang atau dalam perhitungan menengah untuk menyederhanakan solusi persamaan - itu hanya alat untuk mendapatkan jawaban positif. Fakta bahwa angka negatif, tidak seperti angka positif, tidak mengungkapkan keberadaan entitas apa pun, menimbulkan ketidakpercayaan yang kuat. Orang-orang dalam arti harfiah kata menghindari angka negatif: jika masalah mendapat jawaban negatif, mereka percaya bahwa tidak ada jawaban sama sekali. Ketidakpercayaan ini bertahan untuk waktu yang sangat lama, dan bahkan Descartes, salah satu "pendiri" matematika modern, menyebut mereka "salah" (pada abad ke-17!).

Perhatikan, misalnya, persamaan 7x - 17 = 2x - 2. Ini dapat diselesaikan seperti ini: pindahkan suku dengan yang tidak diketahui ke sisi kiri, dan sisanya ke kanan, itu akan menjadi 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Dengan solusi ini, kami bahkan tidak menemukan angka negatif.

Tapi itu bisa saja dilakukan dengan cara yang berbeda secara kebetulan: pindahkan suku-suku dengan yang tidak diketahui ke sisi kanan dan dapatkan 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. Untuk menemukan yang tidak diketahui, Anda perlu membagi satu angka negatif dengan yang lain: x = (-15)/(-5). Tetapi jawaban yang benar diketahui, dan masih harus disimpulkan bahwa (-15)/(-5) = 3 .

Apa yang ditunjukkan oleh contoh sederhana ini? Pertama, menjadi jelas logika yang menentukan aturan tindakan pada angka negatif: hasil dari tindakan tersebut harus sesuai dengan jawaban yang diperoleh dengan cara yang berbeda, tanpa angka negatif. Kedua, dengan mengizinkan penggunaan angka negatif, kami menyingkirkan pencarian yang membosankan (jika persamaan ternyata lebih rumit, dengan sejumlah besar istilah) untuk jalur solusi di mana semua tindakan dilakukan hanya pada bilangan asli. Selain itu, kita tidak dapat lagi berpikir setiap saat tentang kebermaknaan besaran yang dikonversi - dan ini sudah merupakan langkah menuju mengubah matematika menjadi ilmu abstrak.

Akibatnya, sebuah konsep baru muncul: cincin. Ini hanya sekelompok elemen ditambah tindakan yang dapat dilakukan pada mereka. Aturan dasar di sini hanyalah aturan (mereka disebut aksioma) yang menjadi subjek tindakan, bukan sifat elemen himpunan (ini dia, tingkat abstraksi baru!). Ingin menekankan bahwa itu adalah struktur yang muncul setelah pengenalan aksioma yang penting, matematikawan mengatakan: cincin bilangan bulat, cincin polinomial, dll Mulai dari aksioma, seseorang dapat memperoleh sifat-sifat cincin lainnya.

cincin disebut himpunan dengan dua operasi biner (yaitu, dua elemen ring terlibat dalam setiap operasi), yang secara tradisional disebut penjumlahan dan perkalian, dan aksioma berikut:

penambahan elemen ring memenuhi komutatif ( A + B = B + A untuk setiap elemen A dan B) dan asosiatif ( A + (B + C) = (A + B) + C) hukum; cincin mengandung elemen khusus 0 (elemen netral dengan penambahan) sedemikian rupa sehingga A + 0 = A, dan untuk setiap elemen A ada elemen yang berlawanan (dilambangkan (-A)), Apa A + (-A) = 0 ;
perkalian mematuhi hukum kombinasi: A (B C) = (A B) C ;
penjumlahan dan perkalian dihubungkan dengan aturan ekspansi kurung berikut: (A + B) C = A C + B C dan A (B + C) = A B + A C .

Kami mencatat bahwa cincin, dalam konstruksi yang paling umum, tidak memerlukan perkalian untuk dapat diubah, juga tidak dapat dibalik (yaitu, tidak selalu mungkin untuk membagi), juga tidak memerlukan keberadaan unit, elemen netral dengan sehubungan dengan perkalian. Jika aksioma ini diperkenalkan, maka struktur aljabar lain diperoleh, tetapi semua teorema yang terbukti untuk cincin akan benar di dalamnya.

Kami sekarang membuktikan bahwa untuk setiap elemen A dan B cincin sewenang-wenang benar, pertama, (-A) B = -(A B), dan kedua (-(-A)) = A. Dari sini, pernyataan tentang unit dengan mudah mengikuti: (-1) 1 = -(1 1) = -1 dan (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1 .

Untuk melakukan ini, kita perlu menetapkan beberapa fakta. Pertama kita buktikan bahwa setiap elemen hanya dapat memiliki satu lawan. Memang, biarkan elemen A ada dua hal yang berlawanan: B dan Dengan. Yaitu A + B = 0 = A + C. Pertimbangkan jumlah A+B+C. Menggunakan hukum asosiatif dan komutatif dan properti nol, kita mendapatkan bahwa, di satu sisi, jumlahnya sama dengan B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, dan sebaliknya, sama dengan C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Cara, B=C .

Mari kita perhatikan bahwa A, dan (-(-A)) berlawanan dengan elemen yang sama (-A), jadi keduanya harus sama.

Fakta pertama seperti ini: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, yaitu (-A) B di depan A B, jadi sama dengan -(A B) .

Agar matematis ketat, mari kita jelaskan alasannya 0 B = 0 untuk elemen apa pun B. Memang, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Artinya, tambahan 0 B tidak mengubah jumlahnya. Jadi produk ini sama dengan nol.

Evgeny Epifanov, Bumi (Sol III).

Memang, mengapa? Jawaban termudah adalah: "Karena ini adalah aturan untuk bekerja dengan angka negatif." Aturan-aturan yang kita pelajari di sekolah dan diterapkan sepanjang hidup kita. Namun, buku teks tidak menjelaskan mengapa aturannya seperti itu. Kami ingat - itu saja, dan tidak lagi mengajukan pertanyaan.

Dan mari kita bertanya...

Pengurangan, tentu saja, juga sangat diperlukan. Namun dalam praktiknya, kita cenderung mengurangi angka yang lebih kecil dari angka yang lebih besar, dan tidak perlu menggunakan angka negatif. (Jika saya memiliki 5 permen dan saya memberikan 3 kepada saudara perempuan saya, maka saya akan memiliki 5 - 3 = 2 permen, tetapi saya tidak dapat memberikan 7 permen dengan semua keinginan saya.) Ini dapat menjelaskan mengapa orang tidak menggunakan angka negatif untuk waktu yang lama.

Angka negatif muncul dalam dokumen India dari abad ke-7 Masehi; orang Cina, tampaknya, mulai menggunakannya sedikit lebih awal. Mereka digunakan untuk menghitung hutang atau dalam perhitungan menengah untuk menyederhanakan solusi persamaan - itu hanya alat untuk mendapatkan jawaban positif. Fakta bahwa angka negatif, tidak seperti angka positif, tidak mengungkapkan keberadaan entitas apa pun, menimbulkan ketidakpercayaan yang kuat. Orang-orang dalam arti harfiah kata menghindari angka negatif: jika masalah mendapat jawaban negatif, mereka percaya bahwa tidak ada jawaban sama sekali. Ketidakpercayaan ini bertahan untuk waktu yang sangat lama, dan bahkan Descartes, salah satu "pendiri" matematika modern, menyebut mereka "salah" (pada abad ke-17!).

Pertimbangkan misalnya persamaan 7x - 17 \u003d 2x - 2. Ini dapat diselesaikan sebagai berikut: pindahkan suku dengan yang tidak diketahui ke sisi kiri, dan sisanya ke kanan, Anda mendapatkan 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Dengan ini Kami bahkan tidak menemukan angka negatif dalam solusi.

Tapi itu bisa dilakukan dengan cara yang berbeda: pindahkan suku yang tidak diketahui ke ruas kanan dan dapatkan 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Untuk menemukan yang tidak diketahui, Anda perlu membagi satu angka negatif dengan yang lain: x = (-15)/(-5). Tetapi jawaban yang benar diketahui, dan masih harus disimpulkan bahwa (-15)/(-5) = 3.

Ring adalah himpunan dengan dua operasi biner (yaitu, dua elemen ring terlibat dalam setiap operasi), yang secara tradisional disebut penjumlahan dan perkalian, dan aksioma berikut:

Penambahan elemen ring mematuhi hukum komutatif (A + B = B + A untuk setiap elemen A dan B) dan kombinasional (A + (B + C) = (A + B) + C); cincin memiliki elemen khusus 0 (penambahan netral) sehingga A + 0 = A, dan untuk setiap elemen A ada elemen yang berlawanan (dilambangkan (-A)) sehingga A + (-A) = 0;
- perkalian mematuhi hukum kombinasi: A (B C) = (A B) C;
penjumlahan dan perkalian dihubungkan dengan aturan ekspansi braket berikut: (A + B) C = A C + B C dan A (B + C) = A B + A C.

Sekarang mari kita buktikan bahwa untuk sembarang elemen A dan B dari ring sembarang, pertama, (-A) B = -(A B), dan kedua (-(-A)) = A. Ini dengan mudah menyiratkan pernyataan tentang satuan: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 dan (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Untuk melakukan ini, kita perlu menetapkan beberapa fakta. Pertama kita buktikan bahwa setiap elemen hanya dapat memiliki satu lawan. Memang, biarkan elemen A memiliki dua yang berlawanan: B dan C. Artinya, A + B = 0 = A + C. Pertimbangkan jumlah A + B + C. Dengan menggunakan hukum asosiatif dan komutatif dan sifat nol, kita dapatkan bahwa, dengan di satu sisi, jumlahnya sama dengan B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, dan di sisi lain, sama dengan C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Jadi, B = C.

Perhatikan sekarang bahwa baik A dan (-(-A)) adalah kebalikan dari elemen yang sama (-A), jadi keduanya harus sama.

Fakta pertama diperoleh sebagai berikut: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, yaitu (-A) B berlawanan dengan A B, sehingga sama dengan - (A B).

Agar tepat secara matematis, mari kita jelaskan juga mengapa 0·B = 0 untuk setiap elemen B. Memang, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Artinya, menambahkan 0 B tidak mengubah jumlah. Jadi produk ini sama dengan nol.

Evgeny Epifanov

Saat mendengarkan guru matematika, sebagian besar siswa menganggap materi sebagai aksioma. Pada saat yang sama, hanya sedikit orang yang mencoba memahami dan mencari tahu mengapa "minus" ke "plus" memberi tanda "minus", dan ketika dua angka negatif dikalikan, angka positif keluar.

Hukum Matematika

Kebanyakan orang dewasa tidak dapat menjelaskan kepada diri mereka sendiri atau anak-anak mereka mengapa ini terjadi. Mereka benar-benar menyerap materi ini di sekolah, tetapi mereka bahkan tidak mencoba mencari tahu dari mana aturan seperti itu berasal. Tapi sia-sia. Seringkali, anak-anak modern tidak begitu mudah tertipu, mereka perlu memahami masalah ini dan memahami, katakanlah, mengapa "plus" pada "minus" memberi "minus". Dan terkadang tomboi dengan sengaja mengajukan pertanyaan rumit untuk menikmati momen ketika orang dewasa tidak dapat memberikan jawaban yang masuk akal. Dan itu benar-benar bencana jika seorang guru muda mendapat masalah ...

Omong-omong, perlu dicatat bahwa aturan yang disebutkan di atas berlaku untuk perkalian dan pembagian. Perkalian bilangan negatif dan positif hanya akan menghasilkan "minus". Jika kita berbicara tentang dua angka yang bertanda "-", maka hasilnya akan menjadi bilangan positif. Hal yang sama berlaku untuk pembagian. Jika salah satu dari angka negatif, maka hasil bagi juga akan dengan tanda "-".

Untuk menjelaskan kebenaran hukum matematika ini, perlu untuk merumuskan aksioma ring. Tetapi pertama-tama Anda perlu memahami apa itu. Dalam matematika, merupakan kebiasaan untuk menyebut ring sebagai himpunan yang melibatkan dua operasi dengan dua elemen. Tetapi lebih baik untuk memahami ini dengan sebuah contoh.

Aksioma cincin

Ada beberapa hukum matematika.

Yang pertama tergantikan, menurutnya, C + V = V + C.
Yang kedua disebut asosiatif (V + C) + D = V + (C + D).

Perkalian (V x C) x D \u003d V x (C x D) juga mematuhinya.

Tidak ada yang membatalkan aturan di mana tanda kurung dibuka (V + C) x D = V x D + C x D, juga benar bahwa C x (V + D) = C x V + C x D.

Selain itu, telah ditetapkan bahwa elemen netral tambahan khusus dapat dimasukkan ke dalam ring, dengan menggunakan yang berikut ini akan menjadi benar: C + 0 = C. Selain itu, untuk setiap C ada elemen yang berlawanan, yang dapat dilambangkan dengan (-C). Dalam hal ini, C + (-C) \u003d 0.

Turunan aksioma untuk bilangan negatif

Setelah menerima pernyataan di atas, kita dapat menjawab pertanyaan: ""Plus" pada "minus" memberikan tanda apa? Mengetahui aksioma tentang perkalian bilangan negatif, perlu dipastikan bahwa memang (-C) x V = -(C x V). Dan juga persamaan berikut ini benar: (-(-C)) = C.

Untuk melakukan ini, pertama-tama kita harus membuktikan bahwa setiap elemen hanya memiliki satu "saudara" yang berlawanan. Perhatikan contoh pembuktian berikut. Mari kita coba bayangkan bahwa dua bilangan berlawanan untuk C - V dan D. Dari sini dapat disimpulkan bahwa C + V = 0 dan C + D = 0, yaitu, C + V = 0 = C + D. Mengingat hukum perpindahan dan tentang sifat-sifat bilangan 0, kita dapat mempertimbangkan jumlah ketiga bilangan: C, V dan D. Mari kita coba mencari nilai V. Adalah logis bahwa V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, karena nilai C + D, seperti yang diterima di atas, sama dengan 0. Jadi, V = V + C + D.

Nilai D diturunkan dengan cara yang sama: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Berdasarkan ini, menjadi jelas bahwa V = D.

Untuk memahami mengapa, bagaimanapun, "plus" pada "minus" memberikan "minus", Anda perlu memahami yang berikut ini. Jadi, untuk elemen (-C), kebalikannya adalah C dan (-(-C)), yaitu, mereka sama satu sama lain.

Maka jelas bahwa 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Dari sini dapat disimpulkan bahwa C x V berlawanan dengan (-) C x V , yang berarti (- C) x V = -(C x V).

Untuk ketelitian matematis yang lengkap, juga perlu untuk mengkonfirmasi bahwa 0 x V = 0 untuk setiap elemen. Jika Anda mengikuti logika, maka 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Ini berarti bahwa menambahkan produk 0 x V tidak mengubah jumlah yang ditetapkan dengan cara apa pun. Lagi pula, produk ini sama dengan nol.

Mengetahui semua aksioma ini, seseorang dapat menyimpulkan tidak hanya berapa banyak yang diberikan "plus" dengan "minus", tetapi juga apa yang terjadi ketika bilangan negatif dikalikan.

Perkalian dan pembagian dua angka dengan tanda "-"

Jika Anda tidak mempelajari nuansa matematika, maka Anda dapat mencoba menjelaskan aturan tindakan dengan angka negatif dengan cara yang lebih sederhana.

Misalkan C - (-V) = D, berdasarkan ini, C = D + (-V), yaitu, C = D - V. Kami mentransfer V dan kami mendapatkan bahwa C + V = D. Yaitu, C + V = C - (-V). Contoh ini menjelaskan mengapa dalam ekspresi di mana ada dua "minus" berturut-turut, tanda-tanda yang disebutkan harus diubah menjadi "plus". Sekarang mari kita berurusan dengan perkalian.

(-C) x (-V) \u003d D, dua produk identik dapat ditambahkan dan dikurangkan ke ekspresi, yang tidak akan mengubah nilainya: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Mengingat aturan untuk bekerja dengan tanda kurung, kami mendapatkan:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Dari sini dapat disimpulkan bahwa C x V \u003d (-C) x (-V).

Demikian pula, kita dapat membuktikan bahwa hasil pembagian dua bilangan negatif akan menjadi positif.

Aturan matematika umum

Tentu penjelasan seperti itu tidak cocok untuk siswa sekolah dasar yang baru mulai belajar abstrak bilangan negatif. Lebih baik bagi mereka untuk menjelaskan pada objek yang terlihat, memanipulasi istilah akrab melalui kaca tampak. Misalnya, mainan yang ditemukan, tetapi tidak ada ada di sana. Mereka dapat ditampilkan dengan tanda "-". Perkalian dua objek kaca tampak memindahkannya ke dunia lain, yang disamakan dengan saat ini, yaitu, sebagai hasilnya, kami memiliki angka positif. Tetapi perkalian bilangan negatif abstrak dengan bilangan positif hanya memberikan hasil yang akrab bagi semua orang. Lagi pula, "plus" dikalikan dengan "minus" menghasilkan "minus". Benar, anak-anak tidak berusaha terlalu keras untuk mempelajari semua nuansa matematika.

Meskipun, jika Anda menghadapi kebenaran, bagi banyak orang, bahkan dengan pendidikan tinggi, banyak aturan tetap menjadi misteri. Setiap orang menerima begitu saja apa yang diajarkan guru mereka, tidak bingung untuk menyelidiki semua kerumitan yang dihadapi matematika. "Minus" pada "minus" memberi "plus" - semua orang tahu tentang ini tanpa kecuali. Ini berlaku untuk bilangan bulat dan bilangan pecahan.

Perhatian, hanya HARI INI!

Metode Penyortiran dalam Pemrograman: Bubble Sort

Portal untuk siswa. Latihan mandiri

Hukum Matematika

Aksioma cincin

Turunan aksioma untuk bilangan negatif

Perkalian dan pembagian dua angka dengan tanda "-"

Aturan matematika umum

ARTIKEL TERKAIT