Produk bilangan prima. bilangan prima

Artikel ini membahas konsep bilangan prima dan bilangan komposit. Definisi angka tersebut dengan contoh diberikan. Kami memberikan bukti bahwa jumlah bilangan prima tidak terbatas dan membuat entri dalam tabel bilangan prima menggunakan metode Eratosthenes. Bukti akan diberikan apakah suatu bilangan prima atau komposit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bilangan Prima dan Komposit - Definisi dan Contoh

Bilangan prima dan komposit diklasifikasikan sebagai bilangan bulat positif. Mereka harus lebih besar dari satu. Pembagi juga dibagi menjadi sederhana dan majemuk. Untuk memahami konsep bilangan komposit, perlu terlebih dahulu mempelajari konsep pembagi dan kelipatan.

Definisi 1

Bilangan prima adalah bilangan bulat yang lebih besar dari satu dan memiliki dua pembagi positif, yaitu dirinya sendiri dan 1.

Definisi 2

Bilangan komposit adalah bilangan bulat yang lebih besar dari satu dan memiliki setidaknya tiga pembagi positif.

Satu bukan bilangan prima atau komposit. Ini hanya memiliki satu pembagi positif, sehingga berbeda dari semua bilangan positif lainnya. Semua bilangan bulat positif disebut alami, yaitu, digunakan dalam penghitungan.

Definisi 3

bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki dua pembagi positif.

Definisi 4

Angka komposit adalah bilangan asli yang memiliki lebih dari dua pembagi positif.

Setiap angka yang lebih besar dari 1 adalah prima atau komposit. Dari sifat dapat dibagi, kita mendapatkan bahwa 1 dan bilangan a akan selalu menjadi pembagi untuk sembarang bilangan a, yaitu akan habis dibagi oleh dirinya sendiri dan oleh 1. Kami memberikan definisi bilangan bulat.

Definisi 5

Bilangan asli yang bukan prima disebut bilangan komposit.

Bilangan prima: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Mereka hanya dapat dibagi oleh diri mereka sendiri dan oleh 1. Bilangan komposit: 6, 63, 121, 6697. Artinya, angka 6 dapat diuraikan menjadi 2 dan 3, dan 63 menjadi 1, 3, 7, 9, 21, 63, dan 121 menjadi 11, 11, yaitu, pembaginya adalah 1, 11, 121. Bilangan 6697 akan terurai menjadi 37 dan 181. Perhatikan bahwa konsep bilangan prima dan bilangan relatif prima adalah konsep yang berbeda.

Untuk mempermudah penggunaan bilangan prima, Anda perlu menggunakan tabel:

Tabel untuk semua bilangan asli yang ada tidak realistis, karena jumlahnya tidak terbatas. Ketika jumlahnya mencapai ukuran 10000 atau 1000000000, maka Anda harus mempertimbangkan untuk menggunakan saringan Eratosthenes.

Pertimbangkan teorema yang menjelaskan pernyataan terakhir.

Teorema 1

Pembagi positif terkecil dari bilangan asli lebih besar dari 1 selain 1 adalah bilangan prima.

Bukti 1

Asumsikan bahwa a adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, b adalah pembagi bukan satu terkecil dari a. Kita harus membuktikan bahwa b adalah bilangan prima dengan menggunakan metode kontradiksi.

Katakanlah b adalah bilangan komposit. Dari sini kita mendapatkan bahwa ada pembagi untuk b , yang berbeda dari 1 dan juga dari b . Pembagi seperti itu dilambangkan sebagai b 1 . Hal ini diperlukan bahwa kondisi 1< b 1 < b telah selesai.

Dapat dilihat dari syarat a habis dibagi b, b habis dibagi b 1, yang artinya konsep habis dibagi dinyatakan sebagai berikut: a = b q dan b = b 1 q 1 , dimana a = b 1 (q 1 q) , dimana q dan q 1 adalah bilangan bulat. Menurut aturan perkalian bilangan bulat, kita mendapatkan bahwa hasil kali bilangan bulat adalah bilangan bulat dengan persamaan bentuk a = b 1 · (q 1 · q) . Dapat dilihat bahwa b1 adalah pembagi dari a. Ketimpangan 1< b 1 < b bukan cocok, karena kita mendapatkan bahwa b adalah pembagi bukan-1 positif terkecil dari a.

Teorema 2

Ada banyak bilangan prima yang tak terhingga.

Bukti 2

Misalkan kita mengambil sejumlah bilangan asli n dan dilambangkan sebagai p 1 , p 2 , … , p n . Mari kita pertimbangkan varian untuk menemukan bilangan prima yang berbeda dari yang ditunjukkan.

Pertimbangkan angka p, yang sama dengan p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Itu tidak sama dengan masing-masing angka yang sesuai dengan bilangan prima dari bentuk p 1 , p 2 , … , p n . Bilangan p adalah bilangan prima. Maka teorema tersebut dianggap terbukti. Jika komposit, maka kita perlu mengambil notasi p n + 1 dan tunjukkan ketidakcocokan pembagi dengan salah satu p 1 , p 2 , … , p n .

Jika tidak demikian, maka, berdasarkan sifat dapat dibagi produk p 1 , p 2 , … , p n , kita dapatkan bahwa itu akan habis dibagi p n + 1 . Perhatikan bahwa ekspresi p n + 1 jumlah p dibagi sama dengan jumlah p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Kami mendapatkan bahwa ekspresi p n + 1 suku kedua dari jumlah ini, yang sama dengan 1, harus dibagi, tetapi ini tidak mungkin.

Dapat dilihat bahwa setiap bilangan prima dapat ditemukan di antara sejumlah bilangan prima yang diberikan. Oleh karena itu, ada banyak bilangan prima yang tak terhingga.

Karena ada banyak bilangan prima, tabel dibatasi pada angka 100, 1000, 10000 dan seterusnya.

Saat menyusun tabel bilangan prima, harus diingat bahwa tugas semacam itu memerlukan pemeriksaan angka secara berurutan, mulai dari 2 hingga 100. Jika tidak ada pembagi, maka dicatat dalam tabel; jika gabungan, maka tidak dimasukkan dalam tabel.

Mari kita pertimbangkan langkah demi langkah.

Jika Anda mulai dengan angka 2, maka itu hanya memiliki 2 pembagi: 2 dan 1, yang berarti dapat dimasukkan ke dalam tabel. Juga dengan nomor 3 . Angka 4 adalah komposit, itu harus didekomposisi menjadi 2 dan 2. Angka 5 adalah bilangan prima, yang berarti dapat diperbaiki dalam tabel. Lakukan sampai angka 100.

Metode ini tidak nyaman dan memakan waktu. Anda dapat membuat meja, tetapi Anda harus menghabiskan banyak waktu. Perlu menggunakan kriteria keterbagian, yang akan mempercepat proses pencarian pembagi.

Metode menggunakan saringan Eratosthenes dianggap paling nyaman. Mari kita lihat tabel-tabel di bawah ini. Untuk mulai dengan, angka 2, 3, 4, ..., 50 ditulis.

Sekarang Anda perlu mencoret semua angka yang merupakan kelipatan 2. Buat coretan berurutan. Kami mendapatkan tabel dalam bentuk:

Mari kita beralih ke mencoret angka-angka yang merupakan kelipatan 5. Kita mendapatkan:

Kami mencoret angka-angka yang merupakan kelipatan 7, 11. Akhirnya meja terlihat seperti

Mari kita beralih ke perumusan teorema.

Teorema 3

Pembagi positif dan bukan-1 terkecil dari bilangan dasar a tidak melebihi a , di mana a adalah akar aritmatika dari bilangan yang diberikan.

Bukti 3

Hal ini diperlukan untuk menyatakan b sebagai pembagi terkecil dari bilangan komposit a. Ada bilangan bulat q , di mana a = b · q , dan kita memiliki b q . Pertidaksamaan bentuk b > q karena syarat tersebut dilanggar. Kedua ruas pertidaksamaan b q harus dikalikan dengan sembarang bilangan positif b yang tidak sama dengan 1 . Kami mendapatkan bahwa b b b q , di mana b 2 a dan b a .

Dapat dilihat dari teorema terbukti bahwa mencoret angka dalam tabel mengarah pada fakta bahwa perlu untuk memulai dengan angka yang sama dengan b 2 dan memenuhi pertidaksamaan b 2 a . Artinya, jika Anda mencoret angka kelipatan 2, maka prosesnya dimulai dari 4, dan yang kelipatan 3 dimulai dari 9, dan seterusnya hingga 100.

Menyusun tabel seperti itu menggunakan teorema Eratosthenes mengatakan bahwa ketika semua bilangan komposit dicoret, akan tetap ada bilangan prima yang tidak melebihi n. Dalam contoh di mana n = 50 , kita mendapatkan bahwa n = 50 . Dari sini kita mendapatkan bahwa saringan Eratosthenes menyaring semua bilangan komposit yang tidak lebih besar dari nilai akar 50. Pencarian angka dilakukan dengan mencoret.

Sebelum menyelesaikannya, perlu diketahui dulu apakah bilangan tersebut prima atau komposit. Kriteria pembagian sering digunakan. Mari kita lihat ini pada contoh di bawah ini.

Contoh 1

Buktikan bahwa 89898989898989898989 adalah bilangan komposit.

Keputusan

Jumlah angka-angka dari bilangan tersebut adalah 9 8 + 9 9 = 9 17 . Jadi bilangan 9 17 habis dibagi 9, berdasarkan tanda habis dibagi 9. Ini mengikuti bahwa itu adalah komposit.

Tanda-tanda seperti itu tidak dapat membuktikan keutamaan suatu bilangan. Jika verifikasi diperlukan, langkah lain harus diambil. Cara yang paling cocok adalah dengan menghitung angka. Selama proses, bilangan prima dan komposit dapat ditemukan. Artinya, angka dalam nilai tidak boleh melebihi a . Artinya, bilangan a harus didekomposisi menjadi faktor prima. jika ini benar, maka bilangan a dapat dianggap prima.

Contoh 2

Tentukan bilangan komposit atau bilangan prima 11723.

Keputusan

Sekarang Anda perlu menemukan semua pembagi untuk nomor 11723. Perlu mengevaluasi 11723 .

Dari sini kita melihat bahwa 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , dan 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Untuk perkiraan yang lebih akurat dari angka 11723, perlu untuk menulis ekspresi 108 2 = 11.664, dan 109 2 = 11 881 , kemudian 108 2 < 11 723 < 109 2 . Oleh karena itu, 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Saat menguraikan, kita mendapatkan bahwa 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101, 103 , 107 semuanya bilangan prima. Seluruh proses ini dapat digambarkan sebagai pembagian dengan kolom. Yaitu, bagi 11723 dengan 19. Angka 19 adalah salah satu faktornya, karena kita mendapatkan pembagian tanpa sisa. Mari kita gambarkan pembagian dengan kolom:

Oleh karena itu 11723 adalah bilangan komposit, karena selain dirinya sendiri dan 1 ia memiliki pembagi 19 .

Menjawab: 11723 adalah bilangan komposit.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Daftar pembagi. Menurut definisi, nomor n prima hanya jika tidak habis dibagi 2 dan bilangan bulat lainnya kecuali 1 dan dirinya sendiri. Rumus di atas menghilangkan langkah-langkah yang tidak perlu dan menghemat waktu: misalnya, setelah memeriksa apakah suatu bilangan habis dibagi 3, tidak perlu memeriksa apakah bilangan itu habis dibagi 9.

Fungsi lantai(x) membulatkan x ke bilangan bulat terdekat yang kurang dari atau sama dengan x.

Pelajari tentang aritmatika modular. Operasi "x mod y" (mod adalah singkatan dari kata Latin "modulo", yaitu, "modul") berarti "bagi x dengan y dan temukan sisanya". Dengan kata lain, dalam aritmatika modular, setelah mencapai nilai tertentu, yang disebut modul, angka "berubah" kembali ke nol. Misalnya, jam mengukur waktu dalam modulus 12: jam menunjukkan jam 10, 11, dan 12 dan kemudian kembali ke 1.

Banyak kalkulator memiliki kunci mod. Akhir bagian ini menunjukkan cara menghitung fungsi ini secara manual untuk jumlah besar.

Pelajari tentang perangkap Teorema Kecil Fermat. Semua angka yang kondisi pengujiannya tidak terpenuhi adalah gabungan, tetapi angka yang tersisa hanya mungkin dianggap sederhana. Jika Anda ingin menghindari hasil yang salah, cari n dalam daftar "bilangan Carmichael" (bilangan komposit yang memenuhi tes ini) dan "bilangan Fermat pseudo-prime" (angka-angka ini memenuhi kondisi pengujian hanya untuk beberapa nilai sebuah).

Jika nyaman, gunakan tes Miller-Rabin. Meskipun metode ini cukup rumit untuk perhitungan manual, metode ini sering digunakan dalam program komputer. Ini memberikan kecepatan yang dapat diterima dan memberikan lebih sedikit kesalahan daripada metode Fermat. Bilangan komposit tidak akan dianggap sebagai bilangan prima jika perhitungan dilakukan lebih dari nilai sebuah. Jika Anda secara acak memilih nilai yang berbeda sebuah dan untuk semuanya tes akan memberikan hasil positif, kita dapat mengasumsikan dengan tingkat kepercayaan yang cukup tinggi bahwa n adalah bilangan prima.

Untuk bilangan besar, gunakan aritmatika modular. Jika Anda tidak memiliki kalkulator mod, atau jika kalkulator Anda tidak dirancang untuk menangani bilangan sebesar itu, gunakan properti daya dan aritmatika modular untuk mempermudah penghitungan Anda. Di bawah ini adalah contoh untuk 3 50 (\gaya tampilan 3^(50)) mod 50:

Tulis ulang ekspresi dalam bentuk yang lebih nyaman: mod 50. Saat menghitung secara manual, penyederhanaan lebih lanjut mungkin diperlukan.
(3 25 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25)))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Di sini kita telah memperhitungkan properti perkalian modular.
3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
(3 25 (\displaystyle (3^(25))) mod 50 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
= 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
= 49 (\displaystyle=49).

Terjemahan

Sifat-sifat bilangan prima pertama kali dipelajari oleh matematikawan Yunani kuno. Matematikawan dari sekolah Pythagoras (500 - 300 SM) terutama tertarik pada sifat mistik dan numerologi bilangan prima. Merekalah yang pertama kali menemukan ide tentang bilangan sempurna dan ramah.

Bilangan sempurna memiliki pembaginya sendiri yang sama dengan dirinya sendiri. Misalnya, pembagi bilangan 6 yang benar adalah: 1, 2 dan 3. 1 + 2 + 3 = 6. Pembagi bilangan 28 adalah 1, 2, 4, 7 dan 14. Selain itu, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Bilangan disebut ramah jika jumlah pembagi sejati dari satu bilangan sama dengan bilangan lain, dan sebaliknya - misalnya, 220 dan 284. Kita dapat mengatakan bahwa bilangan sempurna ramah terhadap dirinya sendiri.

Pada saat kemunculan karya "Awal" Euclid pada 300 SM. Beberapa fakta penting tentang bilangan prima telah dibuktikan. Dalam Buku IX Elemen, Euclid membuktikan bahwa ada bilangan prima yang tak terbatas. Omong-omong, ini adalah salah satu contoh pertama penggunaan pembuktian dengan kontradiksi. Dia juga membuktikan Teorema Dasar Aritmatika - setiap bilangan bulat dapat direpresentasikan dengan cara yang unik sebagai produk bilangan prima.

Ia juga menunjukkan bahwa jika bilangan 2 n -1 prima, maka bilangan 2 n-1 * (2 n -1) akan sempurna. Matematikawan lain, Euler, pada tahun 1747 mampu menunjukkan bahwa semua bilangan sempurna genap dapat ditulis dalam bentuk ini. Sampai hari ini, tidak diketahui apakah bilangan sempurna ganjil ada.

Pada tahun 200 SM. Eratosthenes Yunani datang dengan algoritma untuk menemukan bilangan prima yang disebut Saringan Eratosthenes.

Dan kemudian ada terobosan besar dalam sejarah studi bilangan prima yang terkait dengan Abad Pertengahan.

Penemuan-penemuan berikut sudah dibuat pada awal abad ke-17 oleh ahli matematika Fermat. Dia membuktikan dugaan Albert Girard bahwa bilangan prima apa pun dalam bentuk 4n+1 dapat ditulis secara unik sebagai jumlah dari dua kuadrat, dan juga merumuskan teorema bahwa bilangan apa pun dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari empat kuadrat.

Ia mengembangkan metode faktorisasi baru untuk bilangan besar, dan mendemonstrasikannya pada bilangan 2027651281 = 44021 × 46061. Ia juga membuktikan Teorema Kecil Fermat: jika p adalah bilangan prima, maka a p = a modulo p akan benar untuk sembarang bilangan bulat a.

Pernyataan ini membuktikan setengah dari apa yang dikenal sebagai "hipotesis Cina" dan berasal dari 2000 tahun sebelumnya: bilangan bulat n adalah bilangan prima jika dan hanya jika 2n-2 habis dibagi n. Bagian kedua dari hipotesis ternyata salah - misalnya, 2341 - 2 habis dibagi 341, meskipun angka 341 adalah gabungan: 341 = 31 × 11.

Teorema Kecil Fermat adalah dasar bagi banyak hasil lain dalam teori bilangan dan metode untuk menguji apakah bilangan prima, banyak di antaranya masih digunakan sampai sekarang.

Fermat berkorespondensi secara luas dengan orang-orang sezamannya, terutama dengan seorang biarawan bernama Marin Mersenne. Dalam salah satu suratnya, ia menduga bahwa bilangan berbentuk 2 n + 1 akan selalu prima jika n adalah pangkat dua. Dia menguji ini untuk n = 1, 2, 4, 8, dan 16, dan yakin bahwa ketika n bukan pangkat dua, bilangan itu belum tentu prima. Angka-angka ini disebut angka Fermat, dan baru 100 tahun kemudian Euler menunjukkan bahwa angka berikutnya, 232 + 1 = 4294967297, habis dibagi 641 dan karena itu bukan bilangan prima.

Bilangan dalam bentuk 2 n - 1 juga telah menjadi subjek penelitian, karena mudah untuk menunjukkan bahwa jika n adalah komposit, maka bilangan itu sendiri juga komposit. Angka-angka ini disebut angka Mersenne karena dia aktif mempelajarinya.

Tetapi tidak semua bilangan berbentuk 2 n - 1, di mana n adalah prima, adalah prima. Misalnya, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ini pertama kali ditemukan pada tahun 1536.

Selama bertahun-tahun, bilangan semacam ini memberi matematikawan bilangan prima terbesar yang diketahui. Bahwa bilangan M 19 dibuktikan oleh Cataldi pada tahun 1588, dan selama 200 tahun merupakan bilangan prima terbesar yang diketahui, sampai Euler membuktikan bahwa M 31 juga bilangan prima. Rekor ini bertahan selama seratus tahun, dan kemudian Lucas menunjukkan bahwa M 127 adalah bilangan prima (dan ini sudah menjadi angka 39 digit), dan setelah itu, penelitian dilanjutkan dengan munculnya komputer.

Pada tahun 1952, bilangan prima dari M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 dan M 2281 terbukti.

Pada tahun 2005, 42 bilangan prima Mersenne telah ditemukan. Yang terbesar dari mereka, M 25964951 , terdiri dari 7816230 digit.

Karya Euler memiliki dampak besar pada teori bilangan, termasuk bilangan prima. Dia memperluas Teorema Kecil Fermat dan memperkenalkan fungsi . Memfaktorkan Fermat ke-5 bilangan 2 32 +1, menemukan 60 pasang bilangan bersahabat, dan merumuskan (tetapi gagal membuktikan) hukum kuadrat timbal balik.

Dia adalah orang pertama yang memperkenalkan metode analisis matematis dan mengembangkan teori analitik angka. Dia membuktikan bahwa tidak hanya deret harmonik (1/n), tetapi juga deret bentuk

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Diperoleh dengan jumlah besaran yang berbanding terbalik dengan bilangan prima, juga divergen. Jumlah n suku deret harmonik bertambah kira-kira seperti log(n), sedangkan deret kedua divergen lebih lambat, seperti log[ log(n)]. Ini berarti bahwa, misalnya, jumlah kebalikan dari semua bilangan prima yang ditemukan hingga saat ini hanya akan menghasilkan 4, meskipun deretnya masih divergen.

Sepintas, tampaknya bilangan prima didistribusikan di antara bilangan bulat secara acak. Misalnya, di antara 100 bilangan tepat sebelum 10000000, ada 9 bilangan prima, dan di antara 100 bilangan tepat setelah nilai ini, hanya ada 2. Tetapi pada segmen besar, bilangan prima didistribusikan dengan cukup merata. Legendre dan Gauss menangani distribusi mereka. Gauss pernah memberi tahu seorang teman bahwa dalam setiap 15 menit gratis dia selalu menghitung jumlah bilangan prima dalam 1000 angka berikutnya. Pada akhir hidupnya, dia telah menghitung semua bilangan prima hingga 3 juta. Legendre dan Gauss sama-sama menghitung bahwa untuk n besar kerapatan bilangan prima adalah 1/log(n). Legendre memperkirakan jumlah bilangan prima antara 1 dan n sebagai

(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Dan Gauss - sebagai integral logaritmik

(n) = / 1/log(t) dt

Dengan interval integrasi dari 2 hingga n.

Pernyataan tentang kerapatan bilangan prima 1/log(n) dikenal sebagai Teorema Bilangan Prima. Mereka mencoba membuktikannya sepanjang abad ke-19, dan Chebyshev dan Riemann membuat kemajuan. Mereka menghubungkannya dengan Hipotesis Riemann, dugaan yang sampai sekarang belum terbukti tentang distribusi nol dari fungsi zeta Riemann. Kepadatan bilangan prima secara bersamaan dibuktikan oleh Hadamard dan de la Vallée-Poussin pada tahun 1896.

Dalam teori bilangan prima, masih banyak pertanyaan yang belum terpecahkan, beberapa di antaranya berusia ratusan tahun:

hipotesis prima kembar - tentang jumlah tak terbatas dari pasangan bilangan prima yang berbeda satu sama lain sebesar 2
Dugaan Goldbach: bilangan genap apa pun, mulai dari 4, dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua bilangan prima
Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n 2 + 1 ?
apakah selalu mungkin untuk menemukan bilangan prima antara n 2 dan (n + 1) 2 ? (fakta bahwa selalu ada bilangan prima antara n dan 2n dibuktikan oleh Chebyshev)
Apakah ada bilangan prima Fermat yang tak terhingga? apakah ada bilangan prima Fermat setelah tanggal 4?
apakah ada deret aritmatika dari bilangan prima berurutan untuk panjang tertentu? misalnya, untuk panjang 4: 251, 257, 263, 269. Panjang maksimum yang ditemukan adalah 26 .
Apakah ada jumlah tak terbatas dari tiga bilangan prima berurutan dalam deret aritmatika?
n 2 - n + 41 adalah bilangan prima untuk 0 n ≤ 40. Apakah ada bilangan prima yang tak hingga? Pertanyaan yang sama untuk rumus n 2 - 79 n + 1601. Bilangan-bilangan ini prima untuk 0 n 79.
Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n# + 1? (n# adalah hasil perkalian semua bilangan prima kurang dari n)
Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n# -1 ?
Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n! +1?
Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n! - satu?
jika p adalah bilangan prima, apakah 2 p -1 selalu tidak termasuk di antara faktor-faktor bilangan prima kuadrat?
Apakah barisan Fibonacci mengandung bilangan prima yang tak terhingga?

Bilangan prima kembar terbesar adalah 2003663613 × 2 195000 ± 1. Terdiri dari 58711 angka dan ditemukan pada tahun 2007.

Bilangan prima faktorial terbesar (dalam bentuk n! ± 1) adalah 147855! - 1. Terdiri dari 142891 digit dan ditemukan pada tahun 2002.

Bilangan prima primorial terbesar (bilangan berbentuk n# ± 1) adalah 1098133# + 1.

Terjemahan

Dan kemudian ada terobosan besar dalam sejarah studi bilangan prima yang terkait dengan Abad Pertengahan.

Teorema Kecil Fermat adalah dasar bagi banyak hasil lain dalam teori bilangan dan metode untuk menguji apakah bilangan prima, banyak di antaranya masih digunakan sampai sekarang.

Tetapi tidak semua bilangan berbentuk 2 n - 1, di mana n adalah prima, adalah prima. Misalnya, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ini pertama kali ditemukan pada tahun 1536.

Pada tahun 1952, bilangan prima dari M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 dan M 2281 terbukti.

Pada tahun 2005, 42 bilangan prima Mersenne telah ditemukan. Yang terbesar dari mereka, M 25964951 , terdiri dari 7816230 digit.

Dia adalah orang pertama yang memperkenalkan metode analisis matematis dan mengembangkan teori analitik angka. Dia membuktikan bahwa tidak hanya deret harmonik (1/n), tetapi juga deret bentuk

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Dan Gauss - sebagai integral logaritmik

(n) = / 1/log(t) dt

Dengan interval integrasi dari 2 hingga n.

Dalam teori bilangan prima, masih banyak pertanyaan yang belum terpecahkan, beberapa di antaranya berusia ratusan tahun:

hipotesis prima kembar - tentang jumlah tak terbatas dari pasangan bilangan prima yang berbeda satu sama lain sebesar 2
Dugaan Goldbach: bilangan genap apa pun, mulai dari 4, dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua bilangan prima
Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n 2 + 1 ?
apakah selalu mungkin untuk menemukan bilangan prima antara n 2 dan (n + 1) 2 ? (fakta bahwa selalu ada bilangan prima antara n dan 2n dibuktikan oleh Chebyshev)
Apakah ada bilangan prima Fermat yang tak terhingga? apakah ada bilangan prima Fermat setelah tanggal 4?
apakah ada deret aritmatika dari bilangan prima berurutan untuk panjang tertentu? misalnya, untuk panjang 4: 251, 257, 263, 269. Panjang maksimum yang ditemukan adalah 26 .
Apakah ada jumlah tak terbatas dari tiga bilangan prima berurutan dalam deret aritmatika?
n 2 - n + 41 adalah bilangan prima untuk 0 n ≤ 40. Apakah ada bilangan prima yang tak hingga? Pertanyaan yang sama untuk rumus n 2 - 79 n + 1601. Bilangan-bilangan ini prima untuk 0 n 79.
Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n# + 1? (n# adalah hasil perkalian semua bilangan prima kurang dari n)
Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n# -1 ?
Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n! +1?
Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n! - satu?
jika p adalah bilangan prima, apakah 2 p -1 selalu tidak termasuk di antara faktor-faktor bilangan prima kuadrat?
Apakah barisan Fibonacci mengandung bilangan prima yang tak terhingga?

Bilangan prima kembar terbesar adalah 2003663613 × 2 195000 ± 1. Terdiri dari 58711 angka dan ditemukan pada tahun 2007.

Bilangan prima faktorial terbesar (dalam bentuk n! ± 1) adalah 147855! - 1. Terdiri dari 142891 digit dan ditemukan pada tahun 2002.

Bilangan prima primorial terbesar (bilangan berbentuk n# ± 1) adalah 1098133# + 1.

Tag: Tambahkan tag

Semua bilangan asli, kecuali satu, dibagi menjadi prima dan komposit. Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki dua pembagi: satu dan dirinya sendiri.. Semua yang lain disebut komposit. Studi tentang sifat-sifat bilangan prima berkaitan dengan bagian khusus matematika - teori bilangan. Dalam teori cincin, bilangan prima terkait dengan elemen yang tidak dapat direduksi.

Berikut adalah barisan bilangan prima mulai dari 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... dll.

Menurut teorema dasar aritmatika, setiap bilangan asli yang lebih besar dari satu dapat direpresentasikan sebagai produk bilangan prima. Namun, ini adalah satu-satunya cara untuk mewakili bilangan asli hingga urutan faktor. Berdasarkan ini, kita dapat mengatakan bahwa bilangan prima adalah bagian dasar dari bilangan asli.

Representasi bilangan asli seperti itu disebut penguraian bilangan asli menjadi bilangan prima atau faktorisasi suatu bilangan.

Salah satu cara tertua dan paling efektif untuk menghitung bilangan prima adalah "ayakan Erastothenes".

Praktek telah menunjukkan bahwa setelah menghitung bilangan prima menggunakan saringan Erastofen, diperlukan untuk memeriksa apakah bilangan yang diberikan adalah bilangan prima. Untuk ini, tes khusus, yang disebut tes kesederhanaan, telah dikembangkan. Algoritma dari tes ini adalah probabilistik. Paling sering mereka digunakan dalam kriptografi.

Omong-omong, untuk beberapa kelas angka ada tes primalitas efektif khusus. Misalnya, untuk menguji kesederhanaan bilangan Mersenne, digunakan uji Lucas-Lehmer, dan untuk menguji kesederhanaan bilangan Fermat, digunakan uji Pepin.

Kita semua tahu bahwa ada banyak sekali bilangan. Pertanyaan yang tepat muncul: berapa banyak bilangan prima yang ada? Ada juga bilangan prima yang tak terbatas. Bukti paling kuno dari penilaian ini adalah bukti Euclid, yang dinyatakan dalam Elemen. Bukti Euclid adalah sebagai berikut:

Bayangkan bahwa jumlah bilangan prima terbatas. Mari kita kalikan dan tambahkan satu. Angka yang dihasilkan tidak dapat dibagi dengan salah satu himpunan bilangan prima berhingga, karena sisa pembagian dengan salah satu dari mereka menghasilkan satu. Jadi, bilangan tersebut harus habis dibagi oleh suatu bilangan prima yang tidak termasuk dalam himpunan ini.

Teorema distribusi bilangan prima menyatakan bahwa jumlah bilangan prima yang kurang dari n, dinotasikan (n), bertambah sebagai n / ln(n).

Melalui ribuan tahun mempelajari bilangan prima, telah ditemukan bahwa bilangan prima terbesar yang diketahui adalah 243112609 1. Bilangan ini memiliki 12.978.189 angka desimal dan merupakan bilangan prima Mersenne (M43112609). Penemuan ini dibuat pada 23 Agustus 2008 di Departemen Matematika Universitas uCLA sebagai bagian dari pencarian terdistribusi GIMPS untuk bilangan prima Mersenne.

Ciri pembeda utama bilangan Mersenne adalah adanya uji primalitas Luc-Lehmer yang sangat efisien. Dengan itu, bilangan prima Mersenne, dalam jangka waktu yang lama, adalah bilangan prima terbesar yang diketahui.

Namun, hingga hari ini, banyak pertanyaan tentang bilangan prima belum mendapat jawaban yang pasti. Pada Kongres Matematika Internasional ke-5, Edmund Landau merumuskan masalah utama di bidang bilangan prima:

Masalah Goldbach, atau masalah pertama Landau, adalah untuk membuktikan atau menyangkal bahwa setiap bilangan genap yang lebih besar dari dua dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan prima, dan setiap bilangan ganjil yang lebih besar dari 5 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari tiga bilangan prima.
Masalah kedua Landau membutuhkan jawaban atas pertanyaan: apakah ada himpunan tak terhingga dari "kembar sederhana" - bilangan prima, selisihnya sama dengan 2?
Dugaan Legendre atau masalah ketiga Landau adalah: benarkah antara n2 dan (n + 1)2 selalu ada bilangan prima?
Soal keempat Landau: Apakah himpunan bilangan prima berbentuk n2 + 1 tak terhingga?
Selain masalah di atas, ada masalah menentukan bilangan prima tak hingga dalam banyak barisan bilangan bulat seperti bilangan Fibonacci, bilangan Fermat, dll.

Bilangan Prima dan Komposit - Definisi dan Contoh

ARTIKEL TERKAIT