Ekspansi deret Fourier sesuai dengan contoh grafik. Perluasan fungsi menjadi rangkaian daya

Bagaimana cara memasukkan rumus matematika di situs?

Jika Anda perlu menambahkan satu atau dua rumus matematika ke halaman web, maka cara termudah untuk melakukannya adalah seperti yang dijelaskan dalam artikel: rumus matematika mudah dimasukkan ke dalam situs dalam bentuk gambar yang dihasilkan Wolfram Alpha secara otomatis. Selain kesederhanaan, metode universal ini akan membantu meningkatkan visibilitas situs di mesin pencari. Ini telah bekerja untuk waktu yang lama (dan saya pikir itu akan bekerja selamanya), tetapi secara moral sudah ketinggalan zaman.

Sebaliknya, jika Anda terus-menerus menggunakan rumus matematika di situs Anda, maka saya sarankan Anda menggunakan MathJax, pustaka JavaScript khusus yang menampilkan notasi matematika di browser web menggunakan markup MathML, LaTeX, atau ASCIIMathML.

Ada dua cara untuk mulai menggunakan MathJax: (1) menggunakan kode sederhana, Anda dapat dengan cepat menghubungkan skrip MathJax ke situs Anda, yang akan dimuat secara otomatis dari server jauh pada waktu yang tepat (daftar server); (2) unggah skrip MathJax dari server jauh ke server Anda dan hubungkan ke semua halaman situs Anda. Metode kedua lebih rumit dan memakan waktu dan akan memungkinkan Anda untuk mempercepat pemuatan halaman situs Anda, dan jika server induk MathJax untuk sementara tidak tersedia karena alasan tertentu, ini tidak akan memengaruhi situs Anda sendiri dengan cara apa pun. Terlepas dari kelebihan ini, saya memilih metode pertama, karena lebih sederhana, lebih cepat, dan tidak memerlukan keterampilan teknis. Ikuti contoh saya, dan dalam 5 menit Anda akan dapat menggunakan semua fitur MathJax di situs Anda.

Anda dapat menghubungkan skrip perpustakaan MathJax dari server jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs web MathJax utama atau dari halaman dokumentasi:

Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke kode halaman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag . Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman lebih sedikit. Tetapi opsi kedua secara otomatis melacak dan memuat versi terbaru MathJax. Jika Anda memasukkan kode pertama, maka itu perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda menempelkan kode kedua, maka halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.

Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode pemuatan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal templat (omong-omong, ini sama sekali tidak perlu, karena skrip MathJax dimuat secara tidak sinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML dan Anda siap untuk menyematkan rumus matematika ke dalam halaman web Anda.

Setiap fraktal dibangun sesuai dengan aturan tertentu, yang diterapkan secara konsisten dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu tersebut disebut iterasi.

Algoritma berulang untuk membangun spons Menger cukup sederhana: kubus asli dengan sisi 1 dibagi dengan bidang yang sejajar dengan wajahnya menjadi 27 kubus yang sama. Satu kubus pusat dan 6 kubus yang berdekatan dengannya di sepanjang permukaan dikeluarkan darinya. Ternyata satu set terdiri dari 20 kubus kecil yang tersisa. Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kubus ini, kami mendapatkan satu set yang terdiri dari 400 kubus yang lebih kecil. Melanjutkan proses ini tanpa batas, kami mendapatkan spons Menger.

Dalam teori deret fungsional, bagian yang dikhususkan untuk perluasan suatu fungsi menjadi deret menempati tempat sentral.

Jadi, masalahnya diajukan: untuk fungsi yang diberikan diperlukan untuk menemukan rangkaian daya seperti itu

yang konvergen pada suatu interval dan jumlahnya sama dengan
, itu.

= ..

Tugas ini disebut masalah perluasan fungsi menjadi deret pangkat.

Kondisi yang diperlukan untuk perluasan fungsi menjadi deret pangkat adalah diferensiasinya berkali-kali - ini mengikuti sifat-sifat deret pangkat konvergen. Kondisi ini, sebagai suatu peraturan, dipenuhi untuk fungsi-fungsi dasar dalam domain definisinya.

Jadi mari kita asumsikan bahwa fungsi
memiliki turunan dari urutan apa pun. Apakah bisa diekspansi menjadi rangkaian daya, jika demikian, bagaimana cara menemukan rangkaian ini? Bagian kedua dari masalah lebih mudah untuk dipecahkan, jadi mari kita mulai dengan itu.

Mari kita asumsikan bahwa fungsi
dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari deret pangkat yang konvergen dalam interval yang mengandung sebuah titik X 0 :

= .. (*)

di mana sebuah 0 ,sebuah 1 ,sebuah 2 ,...,sebuah P ,... – koefisien tidak pasti (belum).

Mari kita masukkan persamaan (*) nilainya x = x 0 , maka kita mendapatkan

Kami membedakan deret pangkat (*) suku demi suku

= ..

dan letakkan di sini x = x 0 , kita mendapatkan

Dengan diferensiasi berikutnya, kami mendapatkan seri

= ..

asumsi x = x 0 , kita mendapatkan
, di mana
.

Setelah P-diferensiasi lipat kita dapatkan

Dengan asumsi persamaan terakhir x = x 0 , kita mendapatkan
, di mana

Jadi koefisiennya ditemukan

,
,
, …,
,….,

mensubstitusikan mana ke dalam baris (*), kita peroleh

Deret yang dihasilkan disebut dekat taylor untuk fungsi
.

Jadi, kami telah menetapkan bahwa jika fungsi tersebut dapat diperluas menjadi deret pangkat dalam pangkat (x - x 0 ), maka ekspansi ini unik dan deret yang dihasilkan pasti deret Taylor.

Perhatikan bahwa deret Taylor dapat diperoleh untuk setiap fungsi yang memiliki turunan dari sembarang orde pada titik x = x 0 . Tetapi ini belum berarti bahwa tanda sama dengan dapat diletakkan di antara fungsi dan deret yang dihasilkan, yaitu. bahwa jumlah dari deret tersebut sama dengan fungsi aslinya. Pertama, persamaan seperti itu hanya masuk akal di daerah konvergensi, dan deret Taylor yang diperoleh untuk fungsi tersebut mungkin divergen, dan kedua, jika deret Taylor konvergen, maka jumlahnya mungkin tidak sesuai dengan fungsi aslinya.

3.2. Kondisi yang cukup untuk perluasan fungsi menjadi deret Taylor

Mari kita merumuskan pernyataan dengan bantuan yang masalah yang dinyatakan akan diselesaikan.

Jika fungsi
di beberapa lingkungan dari titik x 0 memiliki turunan hingga (n+ 1)-th order inklusif, maka di lingkungan ini kita memilikirumus Taylor

di manaR n (X)-suku sisa dari rumus Taylor - memiliki bentuk (bentuk Lagrange)

di mana dotξ terletak di antara x dan x 0 .

Perhatikan bahwa ada perbedaan antara deret Taylor dan rumus Taylor: rumus Taylor adalah jumlah berhingga, mis. P - nomor tetap.

Ingatlah bahwa jumlah deret S(x) dapat didefinisikan sebagai limit barisan fungsional dari jumlah parsial S P (x) pada interval tertentu X:

Menurut ini, memperluas fungsi menjadi deret Taylor berarti menemukan deret sedemikian rupa sehingga untuk sembarang XX

Kami menulis rumus Taylor dalam bentuk di mana

perhatikan itu
mendefinisikan kesalahan yang kita dapatkan, ganti fungsinya f(x) polinomial S n (x).

Jika sebuah
, kemudian
,itu. fungsi berkembang menjadi deret Taylor. Sebaliknya, jika
, kemudian
.

Dengan demikian, kami telah membuktikan kriteria untuk perluasan fungsi menjadi deret Taylor.

Agar dalam selang waktu tertentu fungsif(x) memuai dalam deret Taylor, perlu dan cukup bahwa pada interval ini
, di manaR n (x) adalah sisa deret Taylor.

Dengan bantuan kriteria yang dirumuskan, seseorang dapat memperoleh memadaisyarat untuk perluasan fungsi menjadi deret Taylor.

Jika dibeberapa lingkungan dari titik x 0 nilai mutlak semua turunan suatu fungsi dibatasi oleh bilangan yang sama M≥ 0, yaitu

, to di lingkungan ini, fungsi berkembang menjadi deret Taylor.

Dari atas berikut ini algoritmaperluasan fungsi f(x) dalam deret Taylor di sekitar titik X 0 :

1. Menemukan fungsi turunan f(x):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Kami menghitung nilai fungsi dan nilai turunannya di titik X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Kami secara formal menulis deret Taylor dan menemukan daerah konvergensi dari deret pangkat yang dihasilkan.

4. Kami memeriksa pemenuhan kondisi yang cukup, yaitu. menetapkan untuk yang X dari daerah konvergensi, suku sisa R n (x) cenderung nol pada
atau
.

Perluasan fungsi dalam deret Taylor menurut algoritma ini disebut perluasan fungsi dalam deret Taylor menurut definisi atau dekomposisi langsung.

Bagaimana cara memasukkan rumus matematika di situs?

Anda dapat menghubungkan skrip perpustakaan MathJax dari server jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs web MathJax utama atau dari halaman dokumentasi:

Setiap fraktal dibangun sesuai dengan aturan tertentu, yang diterapkan secara konsisten dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu tersebut disebut iterasi.

Jika fungsi f(x) memiliki pada beberapa interval yang mengandung titik sebuah, turunan dari semua ordo, maka rumus Taylor dapat diterapkan padanya:

di mana rn- yang disebut suku sisa atau sisa deret, dapat diperkirakan dengan menggunakan rumus Lagrange:

, di mana bilangan x diapit di antara X dan sebuah.

Jika untuk beberapa nilai x r n®0 pada n®¥, maka dalam limit rumus Taylor untuk nilai ini berubah menjadi rumus konvergen seri Taylor:

Jadi fungsinya f(x) dapat diperluas menjadi deret Taylor pada titik yang dipertimbangkan X, jika:

1) memiliki turunan dari semua pesanan;

2) deret yang dibangun konvergen pada titik ini.

Pada sebuah=0 kita mendapatkan deret yang disebut dekat Maclaurin:

Contoh 1 f(x)= 2x.

Keputusan. Mari kita cari nilai fungsi dan turunannya di X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x di 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Mengganti nilai turunan yang diperoleh ke dalam rumus deret Taylor, kita mendapatkan:

Jari-jari kekonvergenan deret ini sama dengan tak terhingga, sehingga pemuaian ini berlaku untuk -¥<x<+¥.

Contoh 2 X+4) untuk fungsi f(x)= e x.

Keputusan. Mencari turunan dari fungsi e x dan nilai-nilai mereka pada intinya X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Oleh karena itu, deret Taylor yang diinginkan dari fungsi tersebut memiliki bentuk:

Dekomposisi ini juga berlaku untuk -¥<x<+¥.

Contoh 3 . Perluas fungsi f(x)= ln x dalam deret derajat ( X- 1),

(yaitu dalam deret Taylor di sekitar titik X=1).

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini.

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus, kami mendapatkan deret Taylor yang diinginkan:

Dengan bantuan uji d'Alembert, seseorang dapat memverifikasi bahwa deret tersebut konvergen ketika

½ X- 1½<1. Действительно,

Deret konvergen jika X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 kita memperoleh deret bolak-balik yang memenuhi kondisi uji Leibniz. Pada X=0 fungsi tidak terdefinisi. Dengan demikian, daerah konvergensi deret Taylor adalah interval setengah terbuka (0;2).

Mari kita sajikan ekspansi yang diperoleh dengan cara ini dalam deret Maclaurin (yaitu, di sekitar titik X=0) untuk beberapa fungsi dasar:

(2) ,

(3) ,

( ekspansi terakhir disebut deret binomial)

Contoh 4 . Perluas fungsi menjadi rangkaian daya

Keputusan. Dalam dekomposisi (1), kami mengganti X di - X 2 , kita mendapatkan:

Contoh 5 . Perluas fungsi dalam deret Maclaurin

Keputusan. Kita punya

Dengan menggunakan rumus (4), kita dapat menulis:

menggantikan bukan X ke dalam rumus -X, kita mendapatkan:

Dari sini kita menemukan:

Memperluas tanda kurung, mengatur ulang suku-suku barisan dan membuat pengurangan suku-suku serupa, kita peroleh

Deret ini konvergen dalam interval

(-1;1) karena diturunkan dari dua deret yang masing-masing konvergen pada interval ini.

Komentar .

Rumus (1)-(5) juga dapat digunakan untuk memperluas fungsi yang sesuai dalam deret Taylor, yaitu. untuk perluasan fungsi dalam pangkat bilangan bulat positif ( Ha). Untuk melakukan ini, perlu untuk melakukan transformasi identik seperti itu pada fungsi yang diberikan untuk mendapatkan salah satu fungsi (1) - (5), di mana alih-alih X biaya k( Ha) m , di mana k adalah bilangan konstan, m adalah bilangan bulat positif. Seringkali lebih mudah untuk mengubah variabel t=Ha dan memperluas fungsi yang dihasilkan terhadap t dalam deret Maclaurin.

Metode ini menggambarkan teorema tentang keunikan perluasan suatu fungsi dalam deret pangkat. Inti dari teorema ini adalah bahwa di sekitar titik yang sama, dua deret pangkat berbeda tidak dapat diperoleh yang akan konvergen ke fungsi yang sama, tidak peduli bagaimana ekspansinya dilakukan.

Contoh 6 . Perluas fungsi dalam deret Taylor di sekitar titik X=3.

Keputusan. Masalah ini dapat diselesaikan, seperti sebelumnya, menggunakan definisi deret Taylor, yang untuk itu perlu menemukan turunan dari fungsi dan nilainya di X=3. Namun, akan lebih mudah menggunakan dekomposisi yang ada (5):

Deret yang dihasilkan konvergen di atau -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Contoh 7 . Tulislah deret Taylor dalam pangkat ( X-1) fitur .

Keputusan.

Deret tersebut konvergen di , atau 2< x£5.

Deret Fourier fungsi periodik dengan periode 2π.

Deret Fourier memungkinkan Anda mempelajari fungsi periodik dengan menguraikannya menjadi komponen. Arus dan tegangan bolak-balik, perpindahan, kecepatan dan percepatan mekanisme engkol, dan gelombang akustik adalah aplikasi praktis yang khas dari fungsi periodik dalam perhitungan teknik.

Perluasan deret Fourier didasarkan pada asumsi bahwa semua fungsi penting praktis dalam interval -π x dapat dinyatakan sebagai deret trigonometri konvergen (deret dianggap konvergen jika barisan jumlah parsial yang terdiri dari suku-sukunya konvergen) :

Notasi standar (=biasa) melalui penjumlahan sinx dan cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

di mana a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. adalah konstanta nyata, yaitu

Dimana, untuk rentang dari -π hingga , koefisien deret Fourier dihitung dengan rumus:

Koefisien a o ,a n dan b n disebut Koefisien Fourier, dan jika dapat ditemukan, maka deret (1) disebut dekat Fourier, sesuai dengan fungsi f(x). Untuk deret (1), suku (a 1 cosx+b 1 sinx) disebut suku pertama atau harmonika utama,

Cara lain untuk menulis deret adalah dengan menggunakan relasi acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Di mana a o adalah konstanta, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 adalah amplitudo dari berbagai komponen, dan sama dengan a n \ u003d arctg a n /b n.

Untuk deret (1), suku (a 1 cosx + b 1 sinx) atau c 1 sin (x + 1) disebut pertama atau harmonika utama,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) atau c 2 sin(2x+α 2) disebut harmonik kedua dll.

Untuk merepresentasikan sinyal kompleks secara akurat, biasanya diperlukan jumlah suku yang tidak terbatas. Namun, dalam banyak masalah praktis, cukup untuk mempertimbangkan hanya beberapa istilah pertama saja.

Deret Fourier fungsi non-periodik dengan periode 2π.

Dekomposisi fungsi non-periodik.

Jika fungsi f(x) non-periodik, maka tidak dapat diperluas dalam deret Fourier untuk semua nilai x. Namun, adalah mungkin untuk mendefinisikan deret Fourier yang mewakili suatu fungsi pada rentang lebar 2π apa pun.

Mengingat fungsi non-periodik, seseorang dapat membuat fungsi baru dengan memilih nilai f(x) dalam rentang tertentu dan mengulanginya di luar rentang ini pada interval 2π. Karena fungsi baru periodik dengan periode 2π, dapat diperluas dalam deret Fourier untuk semua nilai x. Misalnya, fungsi f(x)=x tidak periodik. Namun, jika perlu untuk mengembangkannya menjadi deret Fourier pada interval dari 0 hingga 2π, maka fungsi periodik dengan periode 2π dibangun di luar interval ini (seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah).

Untuk fungsi non-periodik seperti f(x)=x, jumlah deret Fourier sama dengan nilai f(x) di semua titik dalam rentang yang diberikan, tetapi tidak sama dengan f(x) untuk titik di luar jangkauan. Untuk menemukan deret Fourier dari fungsi non-periodik dalam rentang 2π, rumus yang sama dari koefisien Fourier digunakan.

fungsi genap dan ganjil.

Mereka mengatakan fungsi y=f(x) bahkan jika f(-x)=f(x) untuk semua nilai x. Grafik fungsi genap selalu simetris terhadap sumbu y (yaitu, dicerminkan). Dua contoh fungsi genap: y=x 2 dan y=cosx.

Mereka mengatakan bahwa fungsi y=f(x) aneh, jika f(-x)=-f(x) untuk semua nilai x. Grafik fungsi ganjil selalu simetris terhadap asal.

Banyak fungsi yang tidak genap maupun ganjil.

Ekspansi deret Fourier dalam kosinus.

Deret Fourier dari fungsi periodik genap f(x) dengan periode 2π hanya berisi suku kosinus (yaitu, tidak mengandung suku sinus) dan dapat mencakup suku konstan. Karena itu,

di mana adalah koefisien deret Fourier,

Deret Fourier dari fungsi periodik ganjil f(x) dengan periode 2π hanya berisi suku dengan sinus (yaitu, tidak mengandung suku dengan cosinus).

Karena itu,

di mana adalah koefisien deret Fourier,

Deret Fourier pada setengah siklus.

Jika suatu fungsi didefinisikan pada suatu rentang, katakanlah 0 hingga , dan bukan hanya 0 hingga 2π, fungsi tersebut dapat diperluas menjadi deret hanya dalam bentuk sinus atau hanya dalam bentuk cosinus. Deret Fourier yang dihasilkan disebut dekat Fourier pada setengah siklus.

Jika Anda ingin mendapatkan dekomposisi Fourier pada setengah siklus dalam kosinus fungsi f(x) dalam rentang dari 0 hingga , maka perlu menyusun fungsi periodik genap. pada gambar. di bawah ini adalah fungsi f(x)=x yang dibangun pada interval dari x=0 hingga x=π. Karena fungsi genap simetris terhadap sumbu f(x), kita tarik garis AB, seperti ditunjukkan pada Gambar. di bawah. Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, bentuk segitiga yang dihasilkan adalah periodik dengan periode 2π, maka grafik terakhir memiliki bentuk, tampilan. dalam gambar. di bawah. Karena diperlukan untuk memperoleh ekspansi Fourier dalam cosinus, seperti sebelumnya, kami menghitung koefisien Fourier a o dan a n

Jika Anda perlu mendapatkan ekspansi Fourier setengah siklus sinus fungsi f(x) dalam rentang dari 0 hingga , maka perlu untuk menyusun fungsi periodik ganjil. pada gambar. di bawah ini adalah fungsi f(x)=x yang dibangun pada interval dari x=0 hingga x=π. Karena fungsi ganjil simetris terhadap titik asal, kita membangun garis CD, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, sinyal gigi gergaji yang diterima adalah periodik dengan periode 2π, maka grafik terakhir memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. Karena diperlukan untuk memperoleh ekspansi Fourier pada setengah siklus dalam bentuk sinus, seperti sebelumnya, kami menghitung koefisien Fourier. b

Deret Fourier untuk interval sembarang.

Ekspansi fungsi periodik dengan periode L.

Fungsi periodik f(x) berulang ketika x bertambah L, yaitu. f(x+L)=f(x). Transisi dari fungsi yang dipertimbangkan sebelumnya dengan periode 2π ke fungsi dengan periode L cukup sederhana, karena dapat dilakukan dengan menggunakan perubahan variabel.

Untuk mencari deret Fourier dari fungsi f(x) pada range -L/2≤x≤L/2, kita perkenalkan variabel baru u sehingga fungsi f(x) memiliki periode 2π terhadap u. Jika u=2πx/L, maka x=-L/2 untuk u=-π dan x=L/2 untuk u=π. Misalkan juga f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Deret Fourier F(u) memiliki bentuk

(Batas integrasi dapat diganti dengan interval apa pun dengan panjang L, misalnya, dari 0 hingga L)

Deret Fourier pada setengah siklus untuk fungsi yang diberikan dalam interval L≠2π.

Untuk substitusi u=πx/L, interval dari x=0 ke x=L sesuai dengan interval dari u=0 ke u=π. Oleh karena itu, fungsi tersebut dapat diperluas menjadi deret hanya dalam bentuk cosinus atau hanya dalam bentuk sinus, yaitu. di Deret Fourier pada setengah siklus.

Ekspansi dalam kosinus dalam rentang dari 0 hingga L memiliki bentuk

3.2. Kondisi yang cukup untuk perluasan fungsi menjadi deret Taylor

ARTIKEL TERKAIT