Dalam buku teks "lama", itu juga disebut aturan "rantai". Jadi jika y \u003d f (u), dan u \u003d (x), yaitu

y \u003d f (φ (x))

kompleks - fungsi majemuk (komposisi fungsi) maka

di mana , setelah perhitungan dianggap pada u = (x).

Perhatikan bahwa di sini kami mengambil komposisi "berbeda" dari fungsi yang sama, dan hasil diferensiasi secara alami ternyata bergantung pada urutan "pencampuran".

Aturan rantai secara alami meluas ke komposisi tiga atau lebih fungsi. Dalam hal ini, akan ada tiga atau lebih "tautan" dalam "rantai" yang membentuk turunan, masing-masing. Berikut adalah analogi dengan perkalian: "kita punya" - tabel turunan; "di sana" - tabel perkalian; "dengan kami" adalah aturan rantai dan "ada" adalah aturan perkalian dengan "kolom". Saat menghitung turunan "kompleks" seperti itu, tentu saja, tidak ada argumen tambahan (u¸v, dll.) yang diperkenalkan, tetapi, setelah mencatat sendiri jumlah dan urutan fungsi yang berpartisipasi dalam komposisi, mereka "merangkai" tautan yang sesuai di urutan yang ditunjukkan.

. Di sini, lima operasi dilakukan dengan "x" untuk mendapatkan nilai "y", yaitu, komposisi lima fungsi terjadi: "eksternal" (yang terakhir) - eksponensial - e ; maka dalam urutan terbalik adalah hukum kekuasaan. () 2 ; dosa trigonometri (); kekuatan. () 3 dan akhirnya logaritmik ln.(). Jadi

Contoh berikut akan “membunuh pasangan burung dengan satu batu”: kita akan berlatih membedakan fungsi kompleks dan melengkapi tabel turunan dari fungsi dasar. Jadi:

4. Untuk fungsi pangkat - y \u003d x - menulis ulang menggunakan "identitas logaritma dasar" yang terkenal - b \u003d e ln b - dalam bentuk x \u003d x ln x kita dapatkan

5. Untuk fungsi eksponensial arbitrer, dengan menggunakan teknik yang sama, kita akan mendapatkan

6. Untuk fungsi logaritma arbitrer, dengan menggunakan rumus terkenal untuk transisi ke basis baru, kita memperoleh

.

7. Untuk membedakan garis singgung (cotangent), kita menggunakan aturan untuk membedakan hasil bagi:

Untuk memperoleh turunan fungsi trigonometri invers, digunakan relasi yang dipenuhi oleh turunan dua fungsi yang saling invers, yaitu fungsi (x) dan f (x) yang dihubungkan oleh relasi:

Berikut rasionya

Dari rumus ini untuk fungsi saling terbalik

dan
,

Pada akhirnya, kami merangkum ini dan beberapa lainnya, seperti turunan yang mudah diperoleh, dalam tabel berikut.

Jika sebuah g(x) dan f(kamu) adalah fungsi terdiferensiasi dari argumennya, masing-masing, pada titik x dan kamu= g(x), maka fungsi kompleks juga terdiferensialkan pada titik x dan ditemukan oleh rumus

Kesalahan umum dalam menyelesaikan masalah turunan adalah transfer otomatis aturan untuk membedakan fungsi sederhana ke fungsi kompleks. Kita akan belajar untuk menghindari kesalahan ini.

Contoh 2 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Solusi yang salah: hitung logaritma natural dari setiap suku dalam tanda kurung dan temukan jumlah turunannya:

Solusi yang benar: lagi kita menentukan di mana "apel" dan di mana "daging cincang". Di sini, logaritma natural dari ekspresi dalam tanda kurung adalah "apel", yaitu, fungsi pada argumen perantara kamu, dan ekspresi dalam tanda kurung adalah "daging cincang", yaitu, argumen perantara kamu oleh variabel bebas x.

Kemudian (menggunakan rumus 14 dari tabel turunan)

Dalam banyak masalah nyata, ekspresi dengan logaritma agak lebih rumit, itulah sebabnya ada pelajaran

Contoh 3 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Solusi yang salah:

Solusi yang benar. Sekali lagi, kita tentukan mana "apel" dan mana "daging cincang". Di sini, cosinus dari ekspresi dalam tanda kurung (rumus 7 dalam tabel turunan) adalah "apel", disiapkan dalam mode 1, yang hanya memengaruhinya, dan ekspresi dalam tanda kurung (turunan derajat - angka 3 dalam tabel turunan) adalah "daging cincang", dimasak dalam mode 2, hanya memengaruhinya. Dan seperti biasa, kami menghubungkan dua turunan dengan tanda produk. Hasil:

Turunan dari fungsi logaritma kompleks adalah tugas yang sering dilakukan dalam pengujian, jadi kami sangat menyarankan Anda untuk mengunjungi pelajaran "Turunan dari fungsi logaritma".

Contoh pertama adalah untuk fungsi kompleks, di mana argumen perantara atas variabel independen adalah fungsi sederhana. Tetapi dalam tugas-tugas praktis seringkali diperlukan untuk menemukan turunan dari suatu fungsi kompleks, di mana argumen perantara itu sendiri merupakan fungsi kompleks atau mengandung fungsi semacam itu. Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Temukan turunan dari fungsi tersebut menggunakan tabel dan aturan diferensiasi. Ketika turunan dari argumen perantara ditemukan, itu hanya diganti di tempat yang tepat dalam rumus. Di bawah ini adalah dua contoh bagaimana ini dilakukan.

Selain itu, ada baiknya untuk mengetahui hal-hal berikut. Jika fungsi kompleks dapat direpresentasikan sebagai rantai tiga fungsi

maka turunannya harus dicari sebagai produk turunan dari masing-masing fungsi berikut:

Banyak tugas pekerjaan rumah Anda mungkin mengharuskan Anda membuka tutorial di jendela baru. Tindakan dengan kekuatan dan akar dan Tindakan dengan pecahan .

Contoh 4 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks, tidak melupakan bahwa dalam produk turunan yang dihasilkan, argumen perantara sehubungan dengan variabel independen x tidak berubah:

Kami menyiapkan faktor kedua dari produk dan menerapkan aturan untuk membedakan jumlah:

Suku kedua adalah akarnya, jadi

Dengan demikian, diperoleh bahwa argumen perantara, yang merupakan jumlah, mengandung fungsi kompleks sebagai salah satu istilah: eksponensial adalah fungsi kompleks, dan yang dipangkatkan adalah argumen perantara oleh variabel bebas. x.

Oleh karena itu, kami kembali menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Kami mengubah derajat faktor pertama menjadi akar, dan membedakan faktor kedua, kami tidak lupa bahwa turunan dari konstanta sama dengan nol:

Sekarang kita dapat menemukan turunan dari argumen perantara yang diperlukan untuk menghitung turunan dari fungsi kompleks yang diperlukan dalam kondisi masalah kamu:

Contoh 5 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Pertama, kami menggunakan aturan untuk membedakan jumlah:

Dapatkan jumlah turunan dari dua fungsi kompleks. Temukan yang pertama:

Di sini, menaikkan sinus ke pangkat adalah fungsi yang kompleks, dan sinus itu sendiri adalah argumen perantara dalam variabel independen x. Oleh karena itu, kami menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks, di sepanjang jalan mengeluarkan pengganda dari tanda kurung :

Sekarang kita temukan suku kedua dari yang membentuk turunan dari fungsi kamu:

Di sini, menaikkan kosinus ke pangkat adalah fungsi yang kompleks f, dan kosinus itu sendiri adalah argumen perantara sehubungan dengan variabel independen x. Sekali lagi, kami menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Hasilnya adalah turunan yang diperlukan:

Tabel turunan dari beberapa fungsi kompleks

Untuk fungsi kompleks, berdasarkan aturan diferensiasi fungsi kompleks, rumus turunan dari fungsi sederhana mengambil bentuk yang berbeda.

1. Turunan dari fungsi pangkat kompleks, di mana kamu x
2. Turunan dari akar ekspresi
3. Turunan dari fungsi eksponensial
4. Kasus khusus dari fungsi eksponensial
5. Turunan dari fungsi logaritma dengan basis positif arbitrer sebuah
6. Turunan dari fungsi logaritma kompleks, di mana kamu adalah fungsi diferensial dari argumen x
7. Turunan sinus
8. Turunan kosinus
9. Turunan tangen
10. Turunan dari kotangen
11. Turunan dari arcsinus
12. Turunan dari arc cosinus
13. Turunan dari tangen busur
14. Turunan dari tangen terbalik

Sangat tidak mungkin untuk memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika tanpa pengetahuan tentang turunan dan metode untuk menghitungnya. Derivatif adalah salah satu konsep yang paling penting dari analisis matematika. Kami memutuskan untuk mencurahkan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa arti fisis dan geometrisnya, bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini dapat digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?

Arti geometris dan fisik dari turunan

Biarkan ada fungsi f(x) , diberikan dalam beberapa interval (a,b) . Titik x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Perubahan argumen - perbedaan nilainya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai fungsi pada dua titik. Definisi turunan:

Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika yang terakhir cenderung nol.

Jika tidak, dapat ditulis seperti ini:

Apa gunanya menemukan batas seperti itu? Tapi yang mana:

turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di titik tertentu.

Arti fisis turunan: turunan waktu dari lintasan sama dengan kecepatan gerak lurus.

Memang, sejak masa sekolah, semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur pribadi. x=f(t) dan waktu t . Kecepatan rata-rata selama periode waktu tertentu:

Untuk mengetahui kecepatan gerakan pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batas:

Aturan satu: keluarkan konstanta

Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, ambil sebagai aturan - jika Anda dapat menyederhanakan ekspresi, pastikan untuk menyederhanakan .

Contoh. Mari kita hitung turunannya:

Aturan dua: turunan dari jumlah fungsi

Turunan jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama berlaku untuk turunan dari perbedaan fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.

Cari turunan dari suatu fungsi:

Aturan tiga: turunan dari produk fungsi

Turunan produk dari dua fungsi yang dapat diturunkan dihitung dengan rumus:

Contoh: mencari turunan dari suatu fungsi:

Keputusan:

Di sini penting untuk mengatakan tentang perhitungan turunan dari fungsi kompleks. Turunan dari fungsi kompleks sama dengan produk turunan dari fungsi ini sehubungan dengan argumen perantara dengan turunan dari argumen antara sehubungan dengan variabel bebas.

Dalam contoh di atas, kita menemukan ekspresi:

Dalam hal ini, argumen perantara adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita pertimbangkan turunan dari fungsi eksternal sehubungan dengan argumen antara, dan kemudian kalikan dengan turunan dari argumen antara itu sendiri sehubungan dengan variabel independen.

Aturan Empat: Turunan dari hasil bagi dua fungsi

Rumus untuk menentukan turunan dari hasil bagi dua fungsi:

Kami mencoba berbicara tentang turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kedengarannya, jadi berhati-hatilah: sering ada jebakan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.

Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda memecahkan kontrol yang paling sulit dan menangani tugas-tugas, bahkan jika Anda belum pernah berurusan dengan perhitungan turunan sebelumnya.

turunan kompleks. turunan logaritma.
Turunan dari fungsi eksponensial

Kami terus meningkatkan teknik diferensiasi kami. Dalam pelajaran ini, kita akan mengkonsolidasikan materi yang dibahas, mempertimbangkan turunan yang lebih kompleks, dan juga berkenalan dengan trik dan trik baru untuk menemukan turunan, khususnya, dengan turunan logaritma.

Pembaca yang memiliki tingkat persiapan rendah harus merujuk ke artikel Bagaimana cara mencari turunannya? Contoh solusi yang akan memungkinkan Anda untuk meningkatkan keterampilan Anda hampir dari awal. Selanjutnya, Anda perlu mempelajari halaman dengan cermat Turunan dari fungsi kompleks, pahami dan selesaikan semua contoh yang telah saya berikan. Pelajaran ini secara logis adalah yang ketiga berturut-turut, dan setelah menguasainya, Anda akan dengan percaya diri membedakan fungsi yang cukup kompleks. Tidak diinginkan untuk tetap pada posisi “Di mana lagi? Ya, dan itu sudah cukup! ”, Karena semua contoh dan solusi diambil dari tes nyata dan sering ditemukan dalam praktik.

Mari kita mulai dengan pengulangan. Pada pelajaran Turunan dari fungsi kompleks kami telah mempertimbangkan sejumlah contoh dengan komentar terperinci. Dalam mempelajari kalkulus diferensial dan bagian lain dari analisis matematika, Anda harus sering membedakan, dan tidak selalu nyaman (dan tidak selalu perlu) untuk melukis contoh dengan sangat rinci. Oleh karena itu, kami akan berlatih dalam penemuan turunan secara lisan. "Kandidat" yang paling cocok untuk ini adalah turunan dari fungsi kompleks yang paling sederhana, misalnya:

Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks :

Ketika mempelajari topik matan lain di masa depan, catatan terperinci seperti itu paling sering tidak diperlukan, diasumsikan bahwa siswa dapat menemukan turunan serupa dengan autopilot. Mari kita bayangkan bahwa pada jam 3 pagi telepon berdering, dan suara yang menyenangkan bertanya: "Apa turunan dari garis singgung dua x?". Ini harus diikuti dengan respons yang hampir seketika dan sopan: .

Contoh pertama akan segera ditujukan untuk solusi independen.

Contoh 1

Cari turunan berikut secara lisan, dalam satu langkah, misalnya: . Untuk menyelesaikan tugas, Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan fungsi dasar(jika dia belum ingat). Jika Anda mengalami kesulitan, saya sarankan untuk membaca kembali pelajaran Turunan dari fungsi kompleks.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Jawaban di akhir pelajaran

Turunan kompleks

Setelah persiapan artileri awal, contoh dengan 3-4-5 lampiran fungsi akan kurang menakutkan. Mungkin dua contoh berikut akan tampak rumit bagi sebagian orang, tetapi jika dipahami (seseorang menderita), maka hampir semua hal lain dalam kalkulus diferensial akan tampak seperti lelucon anak-anak.

Contoh 2

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Seperti yang telah dicatat, ketika menemukan turunan dari fungsi kompleks, pertama-tama, perlu Baik MEMAHAMI INVESTASI. Dalam kasus di mana ada keraguan, saya mengingatkan Anda tentang trik yang berguna: kami mengambil nilai eksperimental "x", misalnya, dan mencoba (secara mental atau dalam konsep) untuk mengganti nilai ini ke dalam "ekspresi yang mengerikan".

1) Pertama kita perlu menghitung ekspresi, jadi jumlahnya adalah sarang terdalam.

2) Maka Anda perlu menghitung logaritma:

4) Kemudian kubus kosinus:

5) Pada langkah kelima, perbedaannya:

6) Dan akhirnya, fungsi terluar adalah akar kuadrat:

Rumus Diferensiasi Fungsi Kompleks diterapkan dalam urutan terbalik, dari fungsi terluar ke terdalam. Kami memutuskan:

Sepertinya tidak ada kesalahan ...

(1) Kami mengambil turunan dari akar kuadrat.

(2) Kami mengambil turunan dari perbedaan menggunakan aturan

(3) Turunan dari rangkap tiga sama dengan nol. Pada suku kedua, kami mengambil turunan dari derajat (kubus).

(4) Kami mengambil turunan dari kosinus.

(5) Kami mengambil turunan dari logaritma.

(6) Akhirnya, kami mengambil turunan dari nesting terdalam .

Ini mungkin tampak terlalu sulit, tetapi ini bukan contoh yang paling brutal. Ambil, misalnya, koleksi Kuznetsov dan Anda akan menghargai semua pesona dan kesederhanaan turunan yang dianalisis. Saya perhatikan bahwa mereka suka memberikan hal serupa pada ujian untuk memeriksa apakah siswa memahami bagaimana menemukan turunan dari fungsi kompleks, atau tidak mengerti.

Contoh berikut adalah untuk solusi mandiri.

Contoh 3

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Petunjuk: Pertama kita terapkan aturan linearitas dan aturan diferensiasi produk

Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Saatnya beralih ke sesuatu yang lebih kompak dan lebih cantik.
Hal ini tidak biasa untuk situasi di mana produk bukan dua, tetapi tiga fungsi diberikan dalam contoh. Bagaimana menemukan turunan dari produk tiga faktor?

Contoh 4

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Pertama, kita lihat, tetapi apakah mungkin untuk mengubah produk tiga fungsi menjadi produk dua fungsi? Misalnya, jika kita memiliki dua polinomial dalam produk, maka kita dapat membuka tanda kurung. Tetapi dalam contoh ini, semua fungsi berbeda: derajat, eksponen, dan logaritma.

Dalam kasus seperti itu, perlu berturut-turut menerapkan aturan diferensiasi produk dua kali

Triknya adalah bahwa untuk "y" kami menyatakan produk dari dua fungsi: , dan untuk "ve" - ​​logaritma:. Mengapa ini bisa dilakukan? Apakah itu - ini bukan produk dari dua faktor dan aturannya tidak berfungsi?! Tidak ada yang rumit:

Sekarang tinggal menerapkan aturan untuk kedua kalinya untuk kurung:

Anda masih dapat memutarbalikkan dan mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung, tetapi dalam hal ini lebih baik meninggalkan jawabannya dalam formulir ini - akan lebih mudah untuk memeriksanya.

Contoh di atas dapat diselesaikan dengan cara kedua:

Kedua solusi benar-benar setara.

Contoh 5

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk solusi independen, dalam sampel diselesaikan dengan cara pertama.

Perhatikan contoh serupa dengan pecahan.

Contoh 6

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Di sini Anda dapat melakukannya dengan beberapa cara:

Atau seperti ini:

Tetapi penyelesaiannya dapat ditulis lebih ringkas jika, pertama-tama, kita menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi , dengan mengambil seluruh pembilangnya:

Pada prinsipnya, contoh diselesaikan, dan jika dibiarkan dalam bentuk ini, maka ini tidak akan menjadi kesalahan. Tetapi jika Anda punya waktu, selalu disarankan untuk memeriksa draf, tetapi apakah mungkin untuk menyederhanakan jawabannya? Kami membawa ekspresi pembilang ke penyebut yang sama dan singkirkan pecahan tiga lantai:

Kerugian dari penyederhanaan tambahan adalah bahwa ada risiko membuat kesalahan bukan ketika menemukan turunan, tetapi ketika transformasi sekolah dangkal. Di sisi lain, guru sering menolak tugas dan meminta untuk "mengingat" turunannya.

Contoh sederhana untuk solusi do-it-yourself:

Contoh 7

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Kami terus menguasai teknik untuk menemukan turunan, dan sekarang kami akan mempertimbangkan kasus umum ketika logaritma "mengerikan" diusulkan untuk diferensiasi

Contoh 8

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Di sini Anda dapat melangkah jauh, menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Tetapi langkah pertama segera menjerumuskan Anda ke dalam kesedihan - Anda harus mengambil turunan yang tidak menyenangkan dari tingkat pecahan, dan kemudian juga dari pecahan.

Jadi sebelum cara mengambil turunan dari logaritma "mewah", sebelumnya disederhanakan menggunakan properti sekolah terkenal:

! Jika Anda memiliki buku catatan latihan, salin rumus ini di sana. Jika Anda tidak memiliki buku catatan, gambar ulang di selembar kertas, karena sisa contoh pelajaran akan berputar di sekitar rumus ini.

Solusinya sendiri dapat dirumuskan seperti ini:

Mari kita ubah fungsinya:

Kami menemukan turunannya:

Transformasi awal dari fungsi itu sendiri sangat menyederhanakan solusi. Jadi, ketika logaritma yang sama diusulkan untuk diferensiasi, selalu disarankan untuk "memecahnya".

Dan sekarang beberapa contoh sederhana untuk solusi independen:

Contoh 9

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Contoh 10

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Semua transformasi dan jawaban di akhir pelajaran.

turunan logaritmik

Jika turunan dari logaritma adalah musik yang manis, maka muncul pertanyaan, apakah mungkin dalam beberapa kasus untuk mengatur logaritma secara artifisial? Bisa! Dan bahkan perlu.

Contoh 11

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Contoh serupa yang baru-baru ini kami pertimbangkan. Apa yang harus dilakukan? Anda dapat berturut-turut menerapkan aturan diferensiasi hasil bagi, dan kemudian aturan diferensiasi produk. Kerugian dari metode ini adalah Anda mendapatkan pecahan tiga lantai yang besar, yang tidak ingin Anda tangani sama sekali.

Tetapi dalam teori dan praktik ada hal yang luar biasa seperti turunan logaritmik. Logaritma dapat diatur secara artifisial dengan "menggantung" mereka di kedua sisi:

Catatan : karena function dapat mengambil nilai negatif, maka, secara umum, Anda perlu menggunakan modul: , yang menghilang sebagai akibat dari diferensiasi. Namun, desain saat ini juga dapat diterima, di mana secara default kompleks nilai-nilai. Tetapi jika dengan semua ketelitian, maka dalam kedua kasus itu perlu untuk membuat reservasi itu.

Sekarang Anda perlu "mengurai" logaritma sisi kanan sebanyak mungkin (rumus di depan mata Anda?). Saya akan menjelaskan proses ini dengan sangat rinci:

Mari kita mulai dengan diferensiasi.
Kami menyimpulkan kedua bagian dengan stroke:

Turunan dari sisi kanan cukup sederhana, saya tidak akan mengomentarinya, karena jika Anda membaca teks ini, Anda harus dapat menanganinya dengan percaya diri.

Bagaimana dengan sisi kiri?

Di sisi kiri kita memiliki fungsi kompleks. Saya meramalkan pertanyaan: "Mengapa, ada satu huruf "y" di bawah logaritma?".

Faktanya adalah "satu huruf y" ini - ADALAH FUNGSI DI SENDIRI(jika tidak terlalu jelas, lihat artikel Turunan dari fungsi yang ditentukan secara implisit). Oleh karena itu, logaritma adalah fungsi eksternal, dan "y" adalah fungsi internal. Dan kami menggunakan aturan diferensiasi fungsi majemuk :

Di sisi kiri, seolah-olah dengan sihir, kami memiliki turunan. Selanjutnya, menurut aturan proporsi, kami membuang "y" dari penyebut sisi kiri ke atas sisi kanan:

Dan sekarang kita ingat fungsi "permainan" macam apa yang kita bicarakan saat membedakan? Mari kita lihat kondisinya:

Jawaban akhir:

Contoh 12

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Ini adalah contoh do-it-yourself. Contoh desain contoh jenis ini di akhir pelajaran.

Dengan bantuan turunan logaritmik, dimungkinkan untuk menyelesaikan salah satu contoh No. 4-7, hal lain adalah bahwa fungsinya lebih sederhana, dan, mungkin, penggunaan turunan logaritmik tidak terlalu dibenarkan.

Turunan dari fungsi eksponensial

Kami belum mempertimbangkan fungsi ini. Fungsi eksponensial adalah fungsi yang memiliki dan derajat dan basis bergantung pada "x". Contoh klasik yang akan diberikan kepada Anda di buku teks atau kuliah apa pun:

Bagaimana cara mencari turunan dari fungsi eksponensial?

Hal ini diperlukan untuk menggunakan teknik yang baru saja dipertimbangkan - turunan logaritmik. Kami menggantung logaritma di kedua sisi:

Sebagai aturan, derajat diambil dari bawah logaritma di sisi kanan:

Akibatnya, di sisi kanan kita memiliki produk dari dua fungsi, yang akan dibedakan menurut rumus standar .

Kami menemukan turunannya, untuk ini kami melampirkan kedua bagian di bawah goresan:

Langkah selanjutnya mudah:

Akhirnya:

Jika beberapa transformasi tidak sepenuhnya jelas, harap baca kembali penjelasan Contoh #11 dengan seksama.

Dalam tugas-tugas praktis, fungsi eksponensial akan selalu lebih rumit daripada contoh kuliah yang dipertimbangkan.

Contoh 13

Tentukan turunan dari suatu fungsi

Kami menggunakan turunan logaritmik.

Di sisi kanan kita memiliki konstanta dan produk dari dua faktor - "x" dan "logaritma dari logaritma dari x" (logaritma lain bersarang di bawah logaritma). Saat membedakan sebuah konstanta, seperti yang kita ingat, lebih baik segera menghilangkannya dari tanda turunannya agar tidak menghalangi; dan, tentu saja, terapkan aturan yang sudah dikenal :

Fungsi kompleks tidak selalu sesuai dengan definisi fungsi kompleks. Jika ada fungsi dalam bentuk y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, maka itu tidak dapat dianggap kompleks, tidak seperti y \u003d sin 2 x.

Artikel ini akan menunjukkan konsep fungsi kompleks dan identifikasinya. Mari bekerja dengan rumus untuk menemukan turunan dengan contoh solusi dalam kesimpulan. Penggunaan tabel turunan dan aturan diferensiasi secara signifikan mengurangi waktu untuk menemukan turunannya.

Definisi dasar

Definisi 1

Fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya juga merupakan fungsi.

Ini dilambangkan dengan cara ini: f (g (x)) . Kami memiliki bahwa fungsi g (x) dianggap sebagai argumen f (g (x)) .

Definisi 2

Jika terdapat fungsi f dan merupakan fungsi kotangen, maka g(x) = ln x adalah fungsi logaritma natural. Kami mendapatkan bahwa fungsi kompleks f (g (x)) akan ditulis sebagai arctg (lnx). Atau fungsi f, yang merupakan fungsi pangkat 4, di mana g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 dianggap sebagai seluruh fungsi rasional, kita mendapatkan bahwa f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Jelas g(x) bisa rumit. Dari contoh y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, dapat dilihat bahwa nilai g memiliki akar pangkat tiga dengan pecahan. Ekspresi ini dapat dilambangkan sebagai y = f (f 1 (f 2 (x))) . Dari mana kita mendapatkan bahwa f adalah fungsi sinus, dan f 1 adalah fungsi yang terletak di bawah akar kuadrat, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 adalah fungsi rasional pecahan.

Definisi 3

Derajat bersarang ditentukan oleh bilangan asli apa pun dan ditulis sebagai y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definisi 4

Konsep komposisi fungsi mengacu pada jumlah fungsi bersarang sesuai dengan pernyataan masalah. Untuk solusinya, rumus untuk menemukan turunan dari fungsi kompleks dari bentuk

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Contoh

Contoh 1

Tentukan turunan dari fungsi kompleks berbentuk y = (2 x + 1) 2 .

Keputusan

Dengan konvensi, f adalah fungsi kuadrat, dan g(x) = 2 x + 1 dianggap sebagai fungsi linier.

Kami menerapkan rumus turunan untuk fungsi kompleks dan menulis:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Hal ini diperlukan untuk menemukan turunan dengan bentuk awal fungsi yang disederhanakan. Kita mendapatkan:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Oleh karena itu kita memiliki itu

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Hasilnya cocok.

Ketika memecahkan masalah semacam ini, penting untuk memahami di mana fungsi dari bentuk f dan g (x) akan ditempatkan.

Contoh 2

Anda harus menemukan turunan dari fungsi kompleks dalam bentuk y \u003d sin 2 x dan y \u003d sin x 2.

Keputusan

Entri pertama dari fungsi mengatakan bahwa f adalah fungsi kuadrat dan g(x) adalah fungsi sinus. Kemudian kita mendapatkan itu

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

Entri kedua menunjukkan bahwa f adalah fungsi sinus, dan g (x) = x 2 menunjukkan fungsi pangkat. Oleh karena itu, produk dari fungsi kompleks dapat ditulis sebagai

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Rumus untuk turunan y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) akan ditulis sebagai y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) f 2 " (f 3 (. . . (f n (x )) )). . . f n "(x)

Contoh 3

Tentukan turunan dari fungsi y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Keputusan

Contoh ini menunjukkan kerumitan penulisan dan penentuan lokasi fungsi. Kemudian y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) menunjukkan, di mana f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) adalah fungsi sinus, fungsi menaikkan ke 3 derajat, fungsi dengan logaritma dan basis e, fungsi dari garis singgung busur dan satu linier.

Dari rumus untuk definisi fungsi kompleks, kita mendapatkan bahwa

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Mendapatkan apa yang harus ditemukan

1. f”(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) sebagai turunan sinus pada tabel turunan, maka f”(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) sebagai turunan dari fungsi pangkat, maka f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) sebagai turunan logaritma, maka f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3”(f 4 (x)) sebagai turunan dari garis singgung busur, maka f 3”(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Saat menemukan turunan f 4 (x) \u003d 2 x, ambil 2 dari tanda turunan menggunakan rumus turunan fungsi pangkat dengan eksponen yaitu 1, lalu f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Kami menggabungkan hasil antara dan mendapatkan itu

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3"(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analisis fungsi tersebut menyerupai boneka bersarang. Aturan diferensiasi tidak selalu dapat diterapkan secara eksplisit menggunakan tabel turunan. Seringkali Anda perlu menerapkan rumus untuk menemukan turunan dari fungsi kompleks.

Ada beberapa perbedaan antara tampilan kompleks dan fungsi kompleks. Dengan kemampuan yang jelas untuk membedakan ini, menemukan turunan akan sangat mudah.

Contoh 4

Penting untuk mempertimbangkan membawa contoh seperti itu. Jika terdapat fungsi berbentuk y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , maka dapat dianggap sebagai fungsi kompleks dari bentuk g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Jelas, perlu untuk menerapkan rumus untuk turunan kompleks:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Fungsi berbentuk y = t g x 2 + 3 t g x + 1 tidak dianggap kompleks, karena memiliki jumlah t g x 2 , 3 t g x dan 1 . Namun, t g x 2 dianggap sebagai fungsi kompleks, maka kita mendapatkan fungsi pangkat dalam bentuk g (x) \u003d x 2 dan f, yang merupakan fungsi dari garis singgung. Untuk melakukan ini, Anda perlu membedakan jumlahnya. Kami mengerti

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2x

Mari kita beralih ke mencari turunan dari fungsi kompleks (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Kita peroleh bahwa y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Fungsi kompleks dapat dimasukkan ke dalam fungsi kompleks, dan fungsi kompleks itu sendiri dapat berupa fungsi kompleks dari bentuk kompleks.

Contoh 5

Misalnya, pertimbangkan fungsi kompleks dari bentuk y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Fungsi ini dapat direpresentasikan sebagai y = f (g (x)) , di mana nilai f adalah fungsi dari logaritma basis 3, dan g (x) dianggap jumlah dari dua fungsi bentuk h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 dan k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Jelas, y = f (h (x) + k (x)) .

Pertimbangkan fungsi h(x) . Ini adalah rasio dari l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 terhadap m (x) = e x 2 + 3 3

Kami memiliki bahwa l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) adalah jumlah dari dua fungsi n (x) = x 2 + 7 dan p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , di mana p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) adalah fungsi kompleks dengan koefisien numerik 3, dan p 1 adalah fungsi kubus, p 2 fungsi kosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 - fungsi linier.

Kami menemukan bahwa m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) adalah jumlah dari dua fungsi q (x) = e x 2 dan r (x) = 3 3 , di mana q (x) = q 1 (q 2 (x)) adalah fungsi kompleks, q 1 adalah fungsi dengan eksponen, q 2 (x) = x 2 adalah fungsi pangkat.

Hal ini menunjukkan bahwa h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Saat meneruskan ke ekspresi bentuk k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), jelas bahwa fungsi direpresentasikan sebagai kompleks s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) dengan bilangan bulat rasional t (x) = x 2 + 1, di mana s 1 adalah fungsi kuadrat, dan s 2 (x) = ln x adalah logaritma dengan basis e .

Oleh karena itu, ekspresi akan mengambil bentuk k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Kemudian kita mendapatkan itu

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Menurut struktur fungsi, menjadi jelas bagaimana dan rumus apa yang harus diterapkan untuk menyederhanakan ekspresi ketika dibedakan. Untuk membiasakan diri Anda dengan masalah seperti itu dan untuk memahami solusinya, Anda perlu merujuk ke titik diferensiasi suatu fungsi, yaitu menemukan turunannya.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter