Dalam pelajaran ini, kita akan melihat fitur-fiturnya fungsi terbalik dan ulangi fungsi trigonometri terbalik. Secara terpisah, sifat-sifat semua fungsi trigonometri terbalik utama akan dipertimbangkan: arcsine, arccosine, arctangent, dan arccotangent.

Pelajaran ini akan membantu Anda mempersiapkan diri untuk salah satu jenis tugas. PUKUL 7 dan C1.

Persiapan untuk ujian matematika

Percobaan

Pelajaran 9

Teori

Ringkasan pelajaran

Ingat ketika kita bertemu dengan konsep seperti fungsi terbalik. Sebagai contoh, perhatikan fungsi kuadrat. Misalkan kita memiliki ruangan persegi dengan sisi 2 meter dan kita ingin menghitung luasnya. Untuk melakukan ini, menurut rumus hemat kuadrat, kita kuadratkan deuce dan sebagai hasilnya kita mendapatkan 4 m 2. Sekarang bayangkan masalah kebalikannya: kita mengetahui luas ruangan persegi dan ingin mencari panjang sisi-sisinya. Jika kita tahu bahwa luasnya masih sama 4 m 2, maka kita akan melakukan tindakan terbalik untuk menguadratkan - mengekstrak akar kuadrat aritmatika, yang akan memberi kita nilai 2 m.

Jadi, untuk fungsi mengkuadratkan suatu bilangan, fungsi kebalikannya adalah mengekstrak akar kuadrat aritmatika.

Secara khusus, dalam contoh ini, kami tidak memiliki masalah dengan menghitung sisi ruangan, karena kami memahami bahwa ini adalah angka positif. Namun, jika kita melepaskan diri dari kasus ini dan mempertimbangkan masalahnya secara lebih umum: "Hitung angka yang kuadratnya empat," kita akan menghadapi masalah - ada dua angka seperti itu. Ini adalah 2 dan -2, karena juga sama dengan empat. Ternyata masalah invers dalam kasus umum diselesaikan secara ambigu, dan tindakan menentukan angka, kuadrat mana yang memberi angka yang kita ketahui? memiliki dua hasil. Lebih mudah untuk menunjukkan ini pada grafik:

Dan ini berarti bahwa kita tidak dapat menyebut hukum korespondensi bilangan seperti itu sebagai fungsi, karena untuk suatu fungsi satu nilai argumen sesuai dengan benar-benar satu nilai fungsi.

Untuk memperkenalkan secara tepat fungsi invers ke kuadrat, konsep akar kuadrat aritmatika diusulkan, yang hanya memberikan nilai non-negatif. Itu. untuk suatu fungsi, fungsi invers dianggap .

Demikian pula, ada fungsi kebalikan dari trigonometri, mereka disebut fungsi trigonometri terbalik. Masing-masing fungsi yang telah kita bahas memiliki inversnya sendiri, mereka disebut: arcsinus, arccosinus, arctangent dan arccotangent.

Fungsi-fungsi ini memecahkan masalah menghitung sudut dari nilai fungsi trigonometri yang diketahui. Misalnya, menggunakan tabel nilai fungsi trigonometri utama, Anda dapat menghitung sinus yang sudutnya sama. Kami menemukan nilai ini di garis sinus dan menentukan sudut mana yang sesuai dengannya. Hal pertama yang ingin Anda jawab adalah bahwa ini adalah sudut atau, tetapi jika Anda memiliki tabel nilai hingga, Anda akan segera melihat pesaing lain untuk jawabannya - ini adalah sudut atau. Dan jika kita mengingat periode sinus, kita akan memahami bahwa ada jumlah sudut yang tak terbatas di mana sinus sama. Dan himpunan nilai sudut seperti itu yang sesuai dengan nilai fungsi trigonometri yang diberikan juga akan diamati untuk kosinus, garis singgung, dan kotangen, karena mereka semua memiliki periodisitas.

Itu. kami mengalami masalah yang sama karena kami harus menghitung nilai argumen dari nilai fungsi untuk tindakan kuadrat. Dan dalam hal ini, untuk fungsi trigonometri terbalik, batasan diperkenalkan pada kisaran nilai yang mereka berikan saat menghitung. Sifat dari fungsi invers ini disebut penyempitan jangkauan, dan itu perlu agar mereka dapat disebut fungsi.

Untuk setiap fungsi trigonometri terbalik, rentang sudut yang dikembalikannya memilikinya sendiri, dan kami akan mempertimbangkannya secara terpisah. Misalnya, arcsine mengembalikan nilai sudut dalam rentang dari hingga .

Kemampuan untuk bekerja dengan fungsi trigonometri terbalik akan berguna bagi kita saat menyelesaikan persamaan trigonometri.

Sekarang kita akan menunjukkan sifat-sifat utama dari masing-masing fungsi trigonometri terbalik. Siapa yang ingin berkenalan dengan mereka secara lebih rinci, lihat bab "Penyelesaian persamaan trigonometri" dalam program kelas 10.

Pertimbangkan sifat-sifat fungsi arcsinus dan plot grafiknya.

Definisi.Arcsinus suatu bilanganx

Sifat utama arcsine:

1) pada ,

2) pada .

Sifat utama dari fungsi arcsinus:

1) Domain definisi ;

2) Rentang nilai ;

3) Fungsinya ganjil Sebaiknya mengingat rumus ini secara terpisah, karena berguna untuk transformasi. Perhatikan juga bahwa keanehan menyiratkan simetri grafik fungsi terhadap asal;

Mari kita buat grafik fungsi:

Perhatikan bahwa tidak ada bagian dari grafik fungsi yang berulang, yang berarti bahwa arcsinus bukan fungsi periodik, tidak seperti sinus. Hal yang sama akan berlaku untuk semua fungsi busur lainnya.

Pertimbangkan sifat-sifat fungsi arccosine dan buat grafiknya.

Definisi.Busur kosinus suatu bilanganx sebut nilai sudut y yang . Selain itu, sebagai batasan pada nilai sinus, tetapi sebagai rentang sudut yang dipilih.

Sifat utama dari arc cosinus:

1) pada ,

2) pada .

Sifat utama dari fungsi arccosine:

1) Domain definisi ;

2) Rentang nilai;

3) Fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil, mis. pandangan umum . Juga diinginkan untuk mengingat formula ini, itu akan berguna bagi kita nanti;

4) Fungsinya menurun secara monoton.

Mari kita buat grafik fungsi:

Pertimbangkan sifat-sifat fungsi arctangent dan plot grafiknya.

Definisi.Tangen busur suatu bilanganx sebut nilai sudut y yang . Apalagi sejak tidak ada batasan pada nilai tangen, tetapi sebagai rentang sudut yang dipilih.

Sifat utama dari garis singgung busur:

1) pada ,

2) pada .

Sifat utama dari fungsi arctangent:

1) Domain definisi;

2) Rentang nilai ;

3) Fungsinya ganjil . Rumus ini juga berguna, seperti yang serupa. Seperti dalam kasus arcsinus, keanehan menyiratkan simetri grafik fungsi terhadap asal;

4) Fungsi naik secara monoton.

Mari kita buat grafik fungsi:

Fungsi trigonometri terbalik(fungsi melingkar, fungsi busur) - fungsi matematika yang terbalik dengan fungsi trigonometri.

Ini biasanya mencakup 6 fungsi:

• arcsinus(simbol: arcsin x; arcsin x adalah sudut dosa yang sama dengan x),
• arccosinus(simbol: arccos x; arccos x adalah sudut yang cosinusnya sama dengan x dll),
• tangen busur(simbol: arctg x atau arctan x),
• tangen busur(simbol: arcctg x atau arccot ​​x atau arccotan x),
• busur panah(simbol: detik busur x),
• arccosecant(simbol: arccosec x atau arccsc x).

arcsinus (y = busur x) adalah fungsi kebalikan dari dosa (x = sin . Dengan kata lain, mengembalikan sudut dengan nilainya dosa.

Busur kosinus (y = busur x) adalah fungsi kebalikan dari karena (x = cos y karena.

Arctangen (y = arctan x) adalah fungsi kebalikan dari tg (x = tgy), yang memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai . Dengan kata lain, mengembalikan sudut dengan nilainya tg.

Tangen busur (y = arcctg x) adalah fungsi kebalikan dari ctg (x = ctg y), yang memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai. Dengan kata lain, mengembalikan sudut dengan nilainya ctg.

detik busur- arcsecant, mengembalikan sudut dengan nilai secan-nya.

arccosec- arccosecant, mengembalikan sudut dengan nilai cosecannya.

Ketika fungsi trigonometri terbalik tidak didefinisikan pada titik yang ditentukan, maka nilainya tidak akan muncul di tabel yang dihasilkan. Fungsi detik busur dan arccosec tidak didefinisikan pada segmen (-1,1), tetapi busur dosa dan arccos didefinisikan hanya pada interval [-1,1].

Nama fungsi trigonometri terbalik dibentuk dari nama fungsi trigonometri yang sesuai dengan menambahkan awalan "bahtera-" (dari lat. busur kita- busur). Ini disebabkan oleh fakta bahwa secara geometris nilai fungsi trigonometri terbalik dikaitkan dengan panjang busur lingkaran satuan (atau sudut yang menopang busur ini), yang sesuai dengan satu atau beberapa segmen lainnya.

Terkadang dalam literatur asing, serta dalam kalkulator ilmiah / teknik, mereka menggunakan notasi seperti dosa 1, karena -1 untuk arcsine, arccosine dan sejenisnya - ini dianggap tidak sepenuhnya akurat, karena kemungkinan kebingungan dengan menaikkan fungsi menjadi pangkat −1 (« −1 » (dikurangi kekuatan pertama) mendefinisikan fungsi x=f-1(y), kebalikan dari fungsi y=f(x)).

Hubungan dasar fungsi trigonometri terbalik.

Di sini penting untuk memperhatikan interval yang rumusnya valid.

Rumus yang berkaitan dengan fungsi trigonometri terbalik.

Tunjukkan salah satu nilai fungsi trigonometri terbalik melalui Arcsin x, Arccos x, Arktan x, Arccot ​​x dan pertahankan notasi: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​x untuk nilai-nilai utama mereka, maka hubungan di antara mereka dinyatakan dengan hubungan semacam itu.

Karena fungsi trigonometri adalah periodik, fungsi yang dibaliknya tidak bernilai tunggal. Jadi, persamaan y = dosa x, untuk diberikan , memiliki tak terhingga banyak akar. Memang, karena periodisitas sinus, jika x adalah akar seperti itu, maka x + 2n(di mana n adalah bilangan bulat) juga akan menjadi akar persamaan. Dengan demikian, fungsi trigonometri terbalik adalah multinilai. Untuk memudahkan bekerja dengan mereka, konsep nilai-nilai utama mereka diperkenalkan. Perhatikan, misalnya, sinus: y = dosa x. Jika kita membatasi argumen x ke interval , maka di atasnya fungsi y = dosa x meningkat secara monoton. Oleh karena itu, ia memiliki fungsi invers bernilai tunggal, yang disebut arcsinus: x = arcsin y.

Kecuali dinyatakan lain, fungsi trigonometri terbalik berarti nilai utamanya, yang didefinisikan oleh definisi berikut.

Arcsin ( y= arcsin x) adalah fungsi kebalikan dari sinus ( x= siny
Busur kosinus ( y= arccos x) adalah fungsi invers dari kosinus ( x= nyaman) yang memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai .
Arctangen ( y= arctg x) adalah fungsi kebalikan dari garis singgung ( x= tg y) yang memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai .
Tangen busur ( y= arcctg x) adalah fungsi kebalikan dari kotangen ( x= ctg y) yang memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai .

Grafik fungsi trigonometri terbalik

Grafik fungsi trigonometri terbalik diperoleh dari grafik fungsi trigonometri dengan refleksi cermin terhadap garis lurus y = x. Lihat bagian Sinus, kosinus, Tangen, kotangen.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Rumus dasar

Di sini, perhatian khusus harus diberikan pada interval di mana formula itu valid.

arcsin(sin x) = x pada
sin(bussin x) = x
arccos(cos x) = x pada
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x pada
tg(artg x) = x
arcctg(ctg x) = x pada
ctg(artg x) = x

Rumus yang berkaitan dengan fungsi trigonometri terbalik

Lihat juga: Turunan rumus untuk fungsi trigonometri terbalik

Rumus jumlah dan selisih

di atau

di dan

di dan

di atau

di dan

di dan

pada

pada

pada

pada

pada

pada

pada

pada

pada

pada

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.

Fungsi trigonometri terbalik adalah arcsinus, arccosinus, arctangent, dan arccotangent.

Mari kita beri definisi dulu.

arcsinus Atau, kita dapat mengatakan bahwa ini adalah sudut yang termasuk dalam segmen yang sinusnya sama dengan angka a.

Busur kosinus bilangan a disebut bilangan sedemikian rupa sehingga

Arctangen bilangan a disebut bilangan sedemikian rupa sehingga

Tangen busur bilangan a disebut bilangan sedemikian rupa sehingga

Mari kita bicara secara rinci tentang empat fungsi baru ini untuk kita - trigonometri terbalik.

Ingat, kita sudah pernah bertemu dengan .

Misalnya, akar kuadrat aritmatika dari a adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya adalah a.

Logaritma bilangan b ke basis a adalah bilangan c sedemikian sehingga

Di mana

Kami memahami mengapa matematikawan harus "menemukan" fungsi baru. Misalnya, solusi persamaan adalah dan Kami tidak dapat menuliskannya tanpa simbol akar kuadrat aritmatika khusus.

Konsep logaritma ternyata diperlukan untuk menulis solusi, misalnya, untuk persamaan seperti itu: Solusi untuk persamaan ini adalah bilangan irasional Ini adalah eksponen yang harus dinaikkan 2 untuk mendapatkan 7.

Sama halnya dengan persamaan trigonometri. Misalnya, kita ingin menyelesaikan persamaan

Jelas bahwa solusinya sesuai dengan titik-titik pada lingkaran trigonometri, yang ordinatnya sama dengan Dan jelas bahwa ini bukan nilai tabel sinus. Bagaimana cara menuliskan solusi?

Di sini kita tidak dapat melakukannya tanpa fungsi baru yang menunjukkan sudut yang sinusnya sama dengan bilangan a yang diberikan. Ya, semua orang sudah menebak. Ini adalah arcsinus.

Sudut milik segmen yang sinusnya sama adalah busur sinus seperempat. Jadi, deret solusi persamaan kita, yang bersesuaian dengan titik kanan pada lingkaran trigonometri, adalah

Dan deret kedua dari solusi persamaan kita adalah

Lebih lanjut tentang memecahkan persamaan trigonometri -.

Masih harus diklarifikasi - mengapa ditunjukkan dalam definisi arcsine bahwa ini adalah sudut yang termasuk dalam segmen?

Faktanya adalah ada tak hingga banyak sudut yang sinusnya, misalnya, . Kita harus memilih salah satunya. Kami memilih salah satu yang terletak di segmen.

Perhatikan lingkaran trigonometri. Anda akan melihat bahwa pada segmen, setiap sudut sesuai dengan nilai sinus tertentu, dan hanya satu. Dan sebaliknya, setiap nilai sinus dari segmen sesuai dengan nilai tunggal sudut pada segmen. Ini berarti bahwa pada segmen Anda dapat menentukan fungsi yang mengambil nilai dari ke

Mari kita ulangi definisinya lagi:

Arcsinus dari a adalah bilangan , seperti yang

Penunjukan: Luas definisi arcsine adalah segmen. Rentang nilai adalah segmen.

Anda dapat mengingat ungkapan "arxin hidup di sebelah kanan." Kami hanya tidak lupa bahwa tidak hanya di kanan, tetapi juga di segmen .

Kami siap untuk membuat grafik fungsi

Seperti biasa, kami menandai nilai x pada sumbu horizontal dan nilai y pada sumbu vertikal.

Karena , Oleh karena itu, x terletak antara -1 dan 1.

Oleh karena itu, domain dari fungsi y = arcsin x adalah segmen

Kami mengatakan bahwa y termasuk dalam segmen . Ini berarti bahwa jangkauan fungsi y = arcsin x adalah segmen .

Perhatikan bahwa grafik fungsi y=arcsinx ditempatkan pada daerah yang dibatasi oleh garis dan

Seperti biasa ketika merencanakan fungsi yang tidak dikenal, mari kita mulai dengan sebuah tabel.

Menurut definisi, arcsinus nol adalah angka dari segmen yang sinusnya nol. Nomor apa ini? - Jelas bahwa ini adalah nol.

Demikian pula, arcsinus satu adalah angka dari segmen yang sinusnya sama dengan satu. Jelas ini

Kami melanjutkan: - ini adalah angka dari segmen, yang sinusnya sama dengan. Iya ini

			0
			0

Kami membangun grafik fungsi

Properti Fungsi

1. Domain definisi

2. Rentang nilai

3. , yaitu, fungsi ini ganjil. Grafiknya simetris terhadap titik asal.

4. Fungsi naik secara monoton. Nilai terkecilnya, sama dengan - , dicapai pada , dan nilai terbesarnya, sama dengan , di

5. Apa persamaan dan persamaan fungsi? Tidakkah Anda berpikir bahwa mereka "dibuat menurut pola yang sama" - seperti cabang kanan fungsi dan grafik fungsi, atau seperti grafik fungsi eksponensial dan logaritma?

Bayangkan kita memotong sebuah fragmen kecil dari ke dari gelombang sinus biasa, dan kemudian memutarnya secara vertikal - dan kita mendapatkan grafik arcsine.

Fakta bahwa untuk fungsi pada interval ini adalah nilai argumen, maka untuk arcsine akan ada nilai fungsi. Begitulah seharusnya! Bagaimanapun, sinus dan arcsine adalah fungsi yang saling terbalik. Contoh lain dari pasangan fungsi saling terbalik adalah untuk dan , dan fungsi eksponensial dan logaritma.

Ingat bahwa grafik fungsi saling terbalik adalah simetris terhadap garis lurus

Demikian pula, kita mendefinisikan fungsinya.Hanya segmen yang kita butuhkan adalah satu di mana setiap nilai sudut sesuai dengan nilai kosinusnya sendiri, dan mengetahui kosinus, kita dapat menemukan sudut secara unik. Kami butuh potongan

Busur cosinus dari a adalah bilangan , seperti yang

Mudah diingat: "busur kosinus hidup dari atas", dan tidak hanya dari atas, tetapi pada segmen

Penunjukan: Luas definisi busur kosinus - segmen Rentang nilai - segmen

Jelas, segmen dipilih karena di atasnya setiap nilai cosinus diambil hanya sekali. Dengan kata lain, setiap nilai cosinus, dari -1 hingga 1, sesuai dengan nilai sudut tunggal dari interval

Arccosinus bukan fungsi genap atau ganjil. Sebagai gantinya, kita dapat menggunakan hubungan yang jelas berikut ini:

Mari kita plot fungsinya

Kami membutuhkan bagian dari fungsi yang monoton, yaitu, mengambil masing-masing nilainya tepat satu kali.

Mari kita pilih segmen. Pada segmen ini, fungsinya menurun secara monoton, yaitu korespondensi antara himpunan dan adalah satu-satu. Setiap nilai x memiliki nilai y sendiri. Pada segmen ini, ada fungsi yang terbalik dengan kosinus, yaitu fungsi y \u003d arccosx.

Isi tabel dengan menggunakan definisi dari arc cosinus.

Arccosinus dari bilangan x yang termasuk dalam interval akan menjadi bilangan y yang termasuk dalam interval sehingga

Jadi karena ;

Sebagai ;

Sebagai ,

Sebagai ,

			0
					0

Berikut adalah plot dari arccosine:

Properti Fungsi

1. Domain definisi

2. Rentang nilai

Ini adalah fungsi generik - tidak genap atau ganjil.

4. Fungsinya menurun drastis. Fungsi y \u003d arccosx mengambil nilai terbesar, sama dengan , di , dan nilai terkecil, sama dengan nol, mengambil di

5. Fungsi dan saling invers.

Yang berikutnya adalah arctangent dan arccotangent.

Garis singgung busur a adalah bilangan , seperti yang

Penamaan: . Luas daerah definisi dari garis singgung busur adalah interval.Rentang nilai adalah intervalnya.

Mengapa ujung interval - titik dikecualikan dalam definisi garis singgung busur? Tentu saja, karena garis singgung pada titik-titik ini tidak ditentukan. Tidak ada bilangan a yang sama dengan tangen salah satu sudut tersebut.

Mari kita plot garis singgung busur. Menurut definisi, garis singgung busur bilangan x adalah bilangan y yang termasuk dalam interval , sehingga

Cara membangun grafik sudah jelas. Karena arctangent adalah fungsi kebalikan dari tangen, kita lanjutkan sebagai berikut:

Kami memilih bagian seperti itu dari grafik fungsi, di mana korespondensi antara x dan y adalah satu-satu. Ini adalah interval C. Pada bagian ini, fungsi mengambil nilai dari ke

Kemudian fungsi invers, yaitu fungsi , domain definisi akan menjadi seluruh garis bilangan, dari ke dan rentang nilai adalah intervalnya

Cara,

Cara,

Cara,

Tapi apa yang terjadi jika x sangat besar? Dengan kata lain, bagaimana fungsi ini berperilaku sebagai x cenderung ditambah tak terhingga?

Kita dapat mengajukan pertanyaan kepada diri kita sendiri: untuk bilangan manakah dalam interval tersebut nilai garis singgungnya cenderung tak terhingga? - Jelas, ini

Jadi, untuk nilai x yang sangat besar, plot garis singgung busur mendekati asimtot horizontal

Demikian pula, karena x cenderung minus tak terhingga, plot garis singgung busur mendekati asimtot horizontal

Pada gambar - grafik fungsi

Properti Fungsi

1. Domain definisi

2. Rentang nilai

3. Fungsinya ganjil.

4. Fungsinya meningkat secara ketat.

6. Fungsi dan saling terbalik - tentu saja, ketika fungsi dipertimbangkan pada interval

Demikian pula, kami mendefinisikan fungsi kotangen busur dan memplot grafiknya.

Garis singgung busur a adalah bilangan , seperti yang

Grafik Fungsi:

Properti Fungsi

1. Domain definisi

2. Rentang nilai

3. Fungsi tersebut berbentuk umum, yaitu tidak genap maupun ganjil.

4. Fungsinya menurun drastis.

5. Asimtot langsung dan - horizontal dari fungsi yang diberikan.

6. Fungsi dan saling terbalik jika dipertimbangkan pada interval

Tugas yang berkaitan dengan fungsi trigonometri terbalik sering ditawarkan pada ujian akhir sekolah dan ujian masuk di beberapa universitas. Sebuah studi rinci tentang topik ini hanya dapat dicapai di kelas ekstrakurikuler atau mata kuliah pilihan. Kursus yang diusulkan dirancang untuk mengembangkan kemampuan setiap siswa semaksimal mungkin, untuk meningkatkan pelatihan matematikanya.

Kursus ini dirancang selama 10 jam:

1. Fungsi arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 jam).

2. Operasi pada fungsi trigonometri terbalik (4 jam).

3. Operasi trigonometri terbalik pada fungsi trigonometri (2 jam).

Pelajaran 1 (2 jam) Topik: Fungsi y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Tujuan: cakupan penuh dari masalah ini.

1. Fungsi y \u003d arcsin x.

a) Untuk fungsi y \u003d sin x pada segmen, ada fungsi terbalik (bernilai tunggal), yang kami sepakati untuk memanggil arcsine dan dilambangkan sebagai berikut: y \u003d arcsin x. Grafik fungsi invers adalah simetris dengan grafik fungsi utama terhadap garis-bagi sudut koordinat I - III.

Sifat fungsi y = arcsin x .

1) Lingkup definisi: segmen [-1; satu];

2) Area perubahan: potong;

3) Fungsi y = arcsin x ganjil: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Fungsi y = arcsin x meningkat secara monoton;

5) Grafik memotong sumbu Ox, Oy di titik asal.

Contoh 1. Temukan a = arcsin . Contoh ini dapat dirumuskan secara rinci sebagai berikut: temukan argumen seperti itu a , terletak dalam rentang dari ke , yang sinusnya sama dengan .

Keputusan. Ada banyak argumen yang sinusnya , misalnya: dll. Tapi kami hanya tertarik pada argumen yang ada di interval. Argumen ini akan. Jadi, .

Contoh 2. Temukan .Keputusan. Berdebat dengan cara yang sama seperti pada Contoh 1, kita peroleh .

b.latihan lisan. Cari: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 Contoh jawaban: , karena . Apakah ekspresinya masuk akal: ; busur 1.5; ?

c) Susun dalam urutan menaik: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0.9.

II. Fungsi y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (sama).

Pelajaran 2 (2 jam) Topik: Fungsi trigonometri terbalik, grafiknya.

Tujuan: dalam pelajaran ini perlu untuk melatih keterampilan dalam menentukan nilai-nilai fungsi trigonometri, dalam memplot fungsi trigonometri terbalik menggunakan D (y), E (y) dan transformasi yang diperlukan.

Dalam pelajaran ini, lakukan latihan yang mencakup mencari domain definisi, ruang lingkup fungsi dari tipe: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .

Diperlukan untuk membuat grafik fungsi: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y \u003d busur;

d) y \u003d busur; e) y = arcsin; f) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Contoh. Mari kita plot y = arccos

Anda dapat memasukkan latihan berikut dalam pekerjaan rumah Anda: buat grafik fungsi: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Grafik fungsi terbalik

Pelajaran #3 (2 jam) Topik:

Operasi pada fungsi trigonometri terbalik.

Tujuan: untuk memperluas pengetahuan matematika (ini penting bagi pelamar untuk spesialisasi dengan peningkatan persyaratan untuk persiapan matematika) dengan memperkenalkan hubungan dasar untuk fungsi trigonometri terbalik.

bahan pelajaran.

Beberapa operasi trigonometri sederhana pada fungsi trigonometri terbalik: sin (arcsin x) \u003d x, i xi? satu; cos (arсcos x) = x, i xi? satu; tg (artg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Latihan.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (artg 5) = .

ctg (artgx) = ; tg (artgx) = .

b) cos (+ arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6). Biarkan arcsin 0.6 \u003d a, sin a \u003d 0.6;

cos(busur x) = ; sin (arccos x) = .

Catatan: kita ambil tanda “+” di depan akar karena a = arcsin x memenuhi .

c) sin (1,5 + arcsin).Jawaban:;

d) ctg ( + arctg 3) Jawaban: ;

e) tg (- arcctg 4).Jawaban: .

f) cos (0,5 + arccos) . Menjawab: .

Menghitung:

a) dosa (2 arctan 5) .

Misal arctg 5 = a, maka sin 2 a = atau sin(2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0.8) Jawaban: 0.28.

c) arctg + arctg.

Misalkan a = arctg , b = arctg ,

maka tan(a + b) = .

d) sin (arcsin + arcsin).

e) Buktikan bahwa untuk semua x I [-1; 1] arcsin sejati x + arccos x = .

Bukti:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = dosa (- arccos x)

x = cos (arccos x)

Untuk solusi mandiri: sin (arccos ), cos (arcsin ), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos ), ctg (arccos ).

Untuk solusi rumah: 1) sin (arcsin 0.6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg ( - arccos 0.6); 4) cos (2 arcctg 5 ); 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) busur 0,5 - busur 3.

Pelajaran No. 4 (2 jam) Topik: Operasi pada fungsi trigonometri terbalik.

Tujuan: dalam pelajaran ini untuk menunjukkan penggunaan rasio dalam transformasi ekspresi yang lebih kompleks.

bahan pelajaran.

secara lisan:

a) sin (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);

b) tg (artg 5), ctg (artg 5);

c) sin (artg -3), cos (arctg ());

d) tg (arccos ), ctg (arccos()).

TERTULIS:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5 - arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg (- arcsin 0.6) = - tg (arcsin 0.6) =

4)

Pekerjaan mandiri akan membantu menentukan tingkat asimilasi materi

1) tg ( arctg 2 - arctg ) 2) cos( - arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) dosa (1,5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg 2

Untuk pekerjaan rumah, Anda dapat menawarkan:

1) ctg (artg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) dosa (2 arctan); 5) tg ( (arsin ))

Pelajaran No. 5 (2h) Topik: Operasi trigonometri terbalik pada fungsi trigonometri.

Tujuan: untuk membentuk pemahaman siswa tentang operasi trigonometri terbalik pada fungsi trigonometri, fokus pada peningkatan kebermaknaan teori yang dipelajari.

Saat mempelajari topik ini, diasumsikan bahwa jumlah materi teoretis yang harus dihafal terbatas.

Bahan untuk pelajaran:

Anda dapat mulai mempelajari materi baru dengan memeriksa fungsi y = arcsin (sin x) dan memplotnya.

3. Setiap x I R diasosiasikan dengan y I , mis.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Fungsinya ganjil: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Grafik y = arcsin (sin x) pada:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y \u003d sin ( - x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

Jadi,

Setelah membangun y = arcsin (sin x) pada , kami melanjutkan secara simetris tentang asal pada [- ; 0], dengan mempertimbangkan keanehan fungsi ini. Menggunakan periodisitas, kami melanjutkan ke seluruh sumbu numerik.

Kemudian tuliskan beberapa rasio: arcsin (sin a) = a jika<= a <= ; arccos (cos sebuah ) = a jika 0<= a <= ; arctg (tg a) = a jika< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Dan lakukan latihan berikut: a) arccos (sin 2) Jawaban: 2 - ; b) arcsin (cos 0.6) Jawaban: - 0.1; c) arctg (tg 2) Jawaban: 2 -;

d) arcctg (tg 0.6)Jawaban: 0.9; e) arccos (cos ( - 2)) Jawab: 2 -; f) arcsin (sin (- 0.6)). Jawaban: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Jawaban: 2 - ; h) arcctg (tg 0.6). Jawaban: - 0,6; - arctanx; e) arccos + arccos