Salah satu cara paling sederhana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah metode yang didasarkan pada penghitungan determinan ( Aturan Cramer). Keuntungannya adalah memungkinkan Anda untuk segera merekam solusi, sangat nyaman dalam kasus di mana koefisien sistem bukan angka, tetapi beberapa parameter. Kerugiannya adalah kerumitan perhitungan dalam kasus sejumlah besar persamaan, apalagi, aturan Cramer tidak secara langsung berlaku untuk sistem di mana jumlah persamaan tidak sesuai dengan jumlah yang tidak diketahui. Dalam kasus seperti itu, biasanya digunakan Metode Gauss.
Sistem persamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian yang sama disebut setara. Jelas, himpunan solusi sistem linier tidak akan berubah jika ada persamaan yang dipertukarkan, atau jika salah satu persamaan dikalikan dengan beberapa bilangan bukan nol, atau jika satu persamaan ditambahkan ke persamaan lainnya.
Metode Gauss (metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui) terletak pada kenyataan bahwa, dengan bantuan transformasi dasar, sistem direduksi menjadi sistem bertahap yang setara. Pertama, dengan bantuan persamaan 1, x 1 dari semua persamaan sistem berikutnya. Kemudian, dengan menggunakan persamaan ke-2, kita eliminasi x 2 dari 3 dan semua persamaan berikutnya. Proses ini disebut metode Gauss langsung, berlanjut sampai hanya satu yang tidak diketahui yang tersisa di sisi kiri persamaan terakhir x n. Setelah itu dibuat Kebalikan Gauss– memecahkan persamaan terakhir, kami menemukan x n; setelah itu, dengan menggunakan nilai ini, dari persamaan kedua dari belakang kita hitung x n-1 dll. Terakhir kita temukan x 1 dari persamaan pertama.
Lebih mudah untuk melakukan transformasi Gaussian dengan melakukan transformasi tidak dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks koefisiennya. Pertimbangkan matriks:
ditelepon sistem matriks diperpanjang, karena selain matriks utama sistem, itu termasuk kolom anggota bebas. Metode Gaussian didasarkan pada membawa matriks utama sistem ke bentuk segitiga (atau bentuk trapesium dalam kasus sistem non-persegi) menggunakan transformasi baris elementer (!) dari matriks diperpanjang sistem.
Contoh 5.1. Selesaikan sistem menggunakan metode Gauss:
Keputusan. Mari kita tuliskan matriks yang diperbesar dari sistem dan, dengan menggunakan baris pertama, setelah itu kita akan mengatur elemen-elemen lainnya menjadi nol:
kita mendapatkan nol di baris ke-2, ke-3 dan ke-4 dari kolom pertama:
Sekarang kita membutuhkan semua elemen di kolom kedua di bawah baris ke-2 agar sama dengan nol. Untuk melakukan ini, Anda dapat mengalikan baris kedua dengan -4/7 dan menambahkan ke baris ke-3. Namun, agar tidak berurusan dengan pecahan, kami akan membuat unit di baris ke-2 dari kolom kedua dan hanya
Sekarang, untuk mendapatkan matriks segitiga, Anda perlu menghilangkan elemen baris keempat dari kolom ke-3, untuk ini Anda dapat mengalikan baris ketiga dengan 8/54 dan menambahkannya ke yang keempat. Namun, agar tidak berurusan dengan pecahan, kami akan menukar baris ke-3 dan ke-4 dan kolom ke-3 dan ke-4, dan hanya setelah itu kami akan mengatur ulang elemen yang ditentukan. Perhatikan bahwa ketika kolom disusun ulang, variabel terkait akan ditukar, dan ini harus diingat; transformasi dasar lainnya dengan kolom (penjumlahan dan perkalian dengan angka) tidak dapat dilakukan!
Matriks sederhana terakhir sesuai dengan sistem persamaan yang setara dengan yang asli:
Dari sini, dengan menggunakan kebalikan dari metode Gauss, kita temukan dari persamaan keempat x 3 = -1; dari yang ketiga x 4 = -2, dari detik x 2 = 2 dan dari persamaan pertama x 1 = 1. Dalam bentuk matriks, jawabannya ditulis sebagai
Kami telah mempertimbangkan kasus ketika sistem pasti, yaitu. ketika hanya ada satu solusi. Mari kita lihat apa yang terjadi jika sistem tidak konsisten atau tak tentu.
Contoh 5.2. Jelajahi sistem menggunakan metode Gaussian:
Keputusan. Kami menulis dan mengubah matriks yang diperbesar dari sistem
Kami menulis sistem persamaan yang disederhanakan:
Di sini, dalam persamaan terakhir, ternyata 0=4, yaitu. kontradiksi. Oleh karena itu, sistem tidak memiliki solusi, mis. dia adalah tidak cocok. à
Contoh 5.3. Jelajahi dan selesaikan sistem menggunakan metode Gaussian:
Keputusan. Kami menulis dan mengubah matriks yang diperluas dari sistem:
Sebagai hasil dari transformasi, hanya nol yang diperoleh di baris terakhir. Ini berarti bahwa jumlah persamaan berkurang satu:
Jadi, setelah penyederhanaan, dua persamaan tetap ada, dan empat tidak diketahui, yaitu. dua "ekstra" yang tidak diketahui. Biarkan "berlebihan", atau, seperti yang mereka katakan, variabel bebas, akan x 3 dan x 4 . Kemudian
Asumsi x 3 = 2sebuah dan x 4 = b, kita mendapatkan x 2 = 1–sebuah dan x 1 = 2b–sebuah; atau dalam bentuk matriks
Solusi yang ditulis dengan cara ini disebut umum, karena, dengan memberikan parameter sebuah dan b nilai yang berbeda, adalah mungkin untuk menggambarkan semua solusi yang mungkin dari sistem. sebuah
Metode Gauss bagus untuk memecahkan sistem persamaan aljabar linier (SLAE). Ini memiliki beberapa keunggulan dibandingkan metode lain:
- pertama, tidak perlu menyelidiki sistem persamaan untuk kompatibilitas;
- kedua, metode Gauss dapat digunakan untuk menyelesaikan tidak hanya SLAEs di mana jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan matriks utama dari sistem adalah nondegenerate, tetapi juga sistem persamaan di mana jumlah persamaan tidak bertepatan dengan jumlah variabel yang tidak diketahui atau determinan matriks utama sama dengan nol;
- ketiga, metode Gauss menghasilkan hasil dengan jumlah operasi komputasi yang relatif kecil.
Review singkat artikel.
Pertama, kami memberikan definisi yang diperlukan dan memperkenalkan beberapa notasi.
Selanjutnya dijelaskan algoritma metode Gauss untuk kasus yang paling sederhana yaitu untuk sistem persamaan aljabar linier, banyaknya persamaan yang berimpit dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem tersebut tidak sama dengan nol. Saat memecahkan sistem persamaan seperti itu, esensi metode Gauss paling jelas terlihat, yang terdiri dari penghapusan variabel yang tidak diketahui secara berurutan. Oleh karena itu, metode Gaussian disebut juga metode eliminasi berurutan dari yang tidak diketahui. Mari kita tunjukkan solusi terperinci dari beberapa contoh.
Sebagai kesimpulan, kami mempertimbangkan solusi Gaussian dari sistem persamaan aljabar linier yang matriks utamanya adalah persegi panjang atau degenerasi. Solusi dari sistem tersebut memiliki beberapa fitur, yang akan kami analisis secara rinci menggunakan contoh.
Navigasi halaman.
Definisi dan notasi dasar.
Pertimbangkan sistem persamaan linier p dengan n tidak diketahui (p bisa sama dengan n ):
Dimana variabel yang tidak diketahui, adalah bilangan (nyata atau kompleks), adalah anggota bebas.
Jika sebuah 
, maka sistem persamaan aljabar linier disebut homogen, sebaliknya - heterogen.
Himpunan nilai variabel yang tidak diketahui, di mana semua persamaan sistem berubah menjadi identitas, disebut keputusan SLAU.
Jika setidaknya ada satu solusi untuk sistem persamaan aljabar linier, maka itu disebut persendian, sebaliknya - tidak cocok.
Jika SLAE memiliki solusi unik, maka itu disebut yakin. Jika terdapat lebih dari satu solusi, maka sistem tersebut disebut tidak pasti.
Sistem dikatakan ditulis dalam bentuk koordinat jika memiliki bentuk
.
Sistem ini di bentuk matriks catatan memiliki bentuk , di mana 
- matriks utama SLAE, - matriks kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks anggota bebas.
Jika kita menambahkan ke matriks A sebagai (n + 1)-kolom kolom matriks suku bebas, maka kita mendapatkan apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linier. Biasanya, matriks yang diperbesar dilambangkan dengan huruf T, dan kolom anggota bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom lainnya, yaitu, 
Matriks persegi A disebut merosot jika determinannya adalah nol. Jika , maka matriks A disebut tidak merosot.
Poin berikut harus diperhatikan.
Jika tindakan berikut dilakukan dengan sistem persamaan aljabar linier:
- tukar dua persamaan,
- kalikan kedua ruas persamaan apa pun dengan bilangan real (atau kompleks) sembarang dan bukan nol k,
- ke kedua bagian persamaan apa pun, tambahkan bagian-bagian yang sesuai dari persamaan lainnya, dikalikan dengan angka k yang berubah-ubah,
kemudian kita mendapatkan sistem ekuivalen yang memiliki solusi yang sama (atau, seperti yang asli, tidak memiliki solusi).
Untuk matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier, tindakan ini akan berarti transformasi dasar dengan baris:
- menukar dua senar
- perkalian semua elemen dari setiap baris matriks T dengan bilangan bukan nol k ,
- menambahkan elemen dari setiap baris matriks elemen yang sesuai dari baris lain, dikalikan dengan angka k .
Sekarang kita dapat melanjutkan ke deskripsi metode Gauss.
Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui dan matriks utama dari sistem adalah nondegenerate, dengan metode Gauss.
Apa yang akan kita lakukan di sekolah jika kita diberi tugas untuk menemukan solusi sistem persamaan? 
.
Beberapa akan melakukannya.
Perhatikan bahwa dengan menambahkan ruas kiri persamaan pertama ke ruas kiri persamaan kedua, dan ruas kanan ke ruas kanan, Anda dapat menyingkirkan variabel yang tidak diketahui x 2 dan x 3 dan segera menemukan x 1: 
Kami mengganti nilai yang ditemukan x 1 \u003d 1 ke dalam persamaan pertama dan ketiga dari sistem: 
Jika kita mengalikan kedua bagian persamaan ketiga dari sistem dengan -1 dan menambahkannya ke bagian yang sesuai dari persamaan pertama, maka kita menyingkirkan variabel yang tidak diketahui x 3 dan dapat menemukan x 2: 
Kami mengganti nilai yang diperoleh x 2 \u003d 2 ke dalam persamaan ketiga dan menemukan variabel yang tidak diketahui yang tersisa x 3: 
Orang lain akan melakukan sebaliknya.
Mari kita selesaikan persamaan pertama sistem sehubungan dengan variabel yang tidak diketahui x 1 dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua dan ketiga dari sistem untuk mengecualikan variabel ini dari mereka: 
Sekarang mari selesaikan persamaan kedua sistem terhadap x 2 dan substitusikan hasil yang diperoleh ke persamaan ketiga untuk mengecualikan variabel x 2 yang tidak diketahui darinya: 
Dapat dilihat dari persamaan ketiga sistem bahwa x 3 =3. Dari persamaan kedua kita temukan 
, dan dari persamaan pertama kita peroleh .
Solusi yang familiar, bukan?
Hal yang paling menarik di sini adalah bahwa metode solusi kedua pada dasarnya adalah metode eliminasi sekuensial yang tidak diketahui, yaitu metode Gauss. Ketika kami menyatakan variabel yang tidak diketahui (pertama x 1 , berikutnya x 2 ) dan mensubstitusikannya ke dalam sisa persamaan sistem, dengan demikian kami mengecualikannya. Kami melakukan pengecualian sampai saat persamaan terakhir hanya menyisakan satu variabel yang tidak diketahui. Proses eliminasi berurutan dari yang tidak diketahui disebut metode Gauss langsung. Setelah langkah maju selesai, kita memiliki kesempatan untuk menghitung variabel yang tidak diketahui dalam persamaan terakhir. Dengan bantuannya, dari persamaan kedua dari belakang, kami menemukan variabel yang tidak diketahui berikutnya, dan seterusnya. Proses berturut-turut menemukan variabel yang tidak diketahui sambil berpindah dari persamaan terakhir ke persamaan pertama disebut metode Gauss terbalik.
Perlu dicatat bahwa ketika kita menyatakan x 1 dalam bentuk x 2 dan x 3 dalam persamaan pertama, dan kemudian mensubstitusi ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua dan ketiga, tindakan berikut menghasilkan hasil yang sama:
Memang, prosedur seperti itu juga memungkinkan kita untuk mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem: 
Nuansa dengan penghapusan variabel yang tidak diketahui dengan metode Gauss muncul ketika persamaan sistem tidak mengandung beberapa variabel.
Misalnya, dalam SLAU 
pada persamaan pertama, tidak ada variabel x 1 yang tidak diketahui (dengan kata lain, koefisien di depannya adalah nol). Oleh karena itu, kita tidak dapat menyelesaikan persamaan pertama sistem terhadap x 1 untuk mengecualikan variabel yang tidak diketahui ini dari sisa persamaan. Jalan keluar dari situasi ini adalah dengan menukar persamaan sistem. Karena kita sedang mempertimbangkan sistem persamaan linier yang determinan matriks utamanya berbeda dari nol, selalu ada persamaan di mana variabel yang kita butuhkan ada, dan kita dapat mengatur ulang persamaan ini ke posisi yang kita butuhkan. Sebagai contoh kita, cukup menukar persamaan pertama dan kedua dari sistem 
, maka Anda dapat menyelesaikan persamaan pertama untuk x 1 dan mengecualikannya dari sisa persamaan sistem (walaupun x 1 sudah tidak ada dalam persamaan kedua).
Kami harap Anda mendapatkan intinya.
Mari kita uraikan algoritma metode Gauss.
Mari kita selesaikan sistem n persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui bentuknya 
, dan biarkan determinan matriks utamanya bukan nol.
Kami akan berasumsi bahwa , karena kami selalu dapat mencapai ini dengan mengatur ulang persamaan sistem. Kami mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem, mulai dari yang kedua. Untuk melakukannya, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan kedua sistem, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan ketiga, dan seterusnya, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk 
dimana 
.
Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusi ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Dengan demikian, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan kedua.
Selanjutnya, kami bertindak serupa, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar 
Untuk melakukannya, tambahkan persamaan kedua dikalikan dengan persamaan ketiga sistem, tambahkan persamaan kedua dikalikan dengan persamaan keempat, dan seterusnya, tambahkan persamaan kedua dikalikan dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk 
dimana 
. Dengan demikian, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.
Selanjutnya, kita lanjutkan ke eliminasi x 3 yang tidak diketahui, sambil bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar 
Jadi kita lanjutkan perjalanan langsung dari metode Gauss sampai sistem mengambil bentuk 
Mulai saat ini, kami memulai kebalikan dari metode Gauss: kami menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperoleh x n kami menemukan x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kami menemukan x 1 dari yang pertama persamaan.
Mari kita menganalisis algoritma dengan sebuah contoh.
Contoh.
metode Gauss.
Keputusan.
Koefisien a 11 berbeda dari nol, jadi mari kita lanjutkan ke metode Gauss langsung, yaitu menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem, kecuali yang pertama. Untuk melakukan ini, ke bagian kiri dan kanan persamaan kedua, ketiga dan keempat, tambahkan bagian kiri dan kanan persamaan pertama, dikalikan dengan , masing-masing, 
dan : 
Variabel yang tidak diketahui x 1 telah dihilangkan, mari beralih ke pengecualian x 2 . Ke bagian kiri dan kanan persamaan ketiga dan keempat dari sistem, kami menambahkan bagian kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan dengan 
dan 
:
Untuk menyelesaikan jalur maju metode Gauss, kita perlu mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Tambahkan ke ruas kiri dan kanan persamaan keempat, masing-masing, ruas kiri dan kanan persamaan ketiga, dikalikan 
:
Anda dapat memulai kebalikan dari metode Gauss.
Dari persamaan terakhir kita memiliki 
,
dari persamaan ketiga kita peroleh ,
dari yang kedua
dari yang pertama.
Untuk memeriksa, Anda dapat mengganti nilai yang diperoleh dari variabel yang tidak diketahui ke dalam sistem persamaan asli. Semua persamaan berubah menjadi identitas, yang berarti bahwa solusi dengan metode Gauss ditemukan dengan benar.
Menjawab:
Dan sekarang kita akan memberikan solusi dari contoh yang sama dengan metode Gauss dalam bentuk matriks.
Contoh.
Temukan solusi untuk sistem persamaan metode Gauss.
Keputusan.
Matriks yang diperluas dari sistem memiliki bentuk 
. Di atas setiap kolom, variabel yang tidak diketahui ditulis, yang sesuai dengan elemen matriks.
Kursus langsung dari metode Gauss di sini melibatkan membawa matriks diperpanjang dari sistem ke bentuk trapesium menggunakan transformasi dasar. Proses ini mirip dengan pengecualian variabel yang tidak diketahui yang kami lakukan dengan sistem dalam bentuk koordinat. Sekarang Anda akan yakin akan hal itu.
Mari kita ubah matriks sehingga semua elemen di kolom pertama, mulai dari yang kedua, menjadi nol. Untuk melakukan ini, ke elemen baris kedua, ketiga dan keempat, tambahkan elemen yang sesuai dari baris pertama dikalikan dengan , dan pada masing-masing: 
Selanjutnya, kami mengubah matriks yang dihasilkan sehingga di kolom kedua, semua elemen, mulai dari yang ketiga, menjadi nol. Ini akan sesuai dengan mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 2 . Untuk melakukan ini, tambahkan ke elemen baris ketiga dan keempat elemen yang sesuai dari baris pertama matriks, dikalikan dengan dan :
Tetap mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Untuk melakukan ini, ke elemen baris terakhir dari matriks yang dihasilkan, kami menambahkan elemen yang sesuai dari baris kedua dari belakang, dikalikan dengan :
Perlu dicatat bahwa matriks ini sesuai dengan sistem persamaan linier 
yang diperoleh lebih awal setelah direct move.
Saatnya untuk kembali. Dalam bentuk notasi matriks, kebalikan dari metode Gauss melibatkan transformasi matriks yang dihasilkan sedemikian rupa sehingga matriks yang ditandai pada gambar 
menjadi diagonal, yaitu, berbentuk 
di mana beberapa angka.
Transformasi ini mirip dengan metode Gauss, tetapi tidak dilakukan dari baris pertama ke baris terakhir, tetapi dari baris terakhir ke baris pertama.
Tambahkan ke elemen baris ketiga, kedua dan pertama elemen yang sesuai dari baris terakhir, dikalikan dengan 
, terus menerus 
masing-masing: 
Sekarang mari kita tambahkan ke elemen baris kedua dan pertama elemen yang sesuai dari baris ketiga, masing-masing dikalikan dengan dan dengan: 
Pada langkah terakhir dari gerakan mundur metode Gaussian, kami menambahkan elemen yang sesuai dari baris kedua, dikalikan dengan , ke elemen baris pertama: 
Matriks yang dihasilkan sesuai dengan sistem persamaan 
, dari mana kita menemukan variabel yang tidak diketahui.
Menjawab:
CATATAN.
Ketika menggunakan metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, perhitungan perkiraan harus dihindari, karena ini dapat menyebabkan hasil yang benar-benar salah. Kami menyarankan Anda untuk tidak membulatkan desimal. Lebih baik pindah dari pecahan desimal ke pecahan biasa.
Contoh.
Memecahkan Sistem Tiga Persamaan dengan Metode Gaussian 
.
Keputusan.
Perhatikan bahwa dalam contoh ini, variabel yang tidak diketahui memiliki penunjukan yang berbeda (bukan x 1 , x 2 , x 3 , tetapi x, y, z ). Mari kita beralih ke pecahan biasa: 
Hilangkan x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem: 
Dalam sistem yang dihasilkan, tidak ada variabel y yang tidak diketahui dalam persamaan kedua, dan y ada dalam persamaan ketiga, oleh karena itu, kami menukar persamaan kedua dan ketiga: 
Pada titik ini, jalur langsung dari metode Gauss telah berakhir (Anda tidak perlu mengecualikan y dari persamaan ketiga, karena variabel yang tidak diketahui ini tidak ada lagi).
Ayo kembali.
Dari persamaan terakhir kita menemukan 
,
dari kedua dari belakang 
dari persamaan pertama yang kita miliki 
Menjawab:
X=10, y=5, z=-20.
Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier, di mana jumlah persamaan tidak bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui atau matriks utama sistem didegenerasi, dengan metode Gauss.
Sistem persamaan yang matriks utamanya adalah persegi panjang atau degenerasi persegi mungkin tidak memiliki solusi, mungkin memiliki solusi tunggal, atau mungkin memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas.
Sekarang kita akan memahami bagaimana metode Gauss memungkinkan kita untuk menetapkan kompatibilitas atau inkonsistensi sistem persamaan linier, dan dalam kasus kompatibilitasnya, tentukan semua solusi (atau satu solusi tunggal).
Pada prinsipnya, proses menghilangkan variabel yang tidak diketahui dalam kasus SLAE tersebut tetap sama. Namun, ada baiknya memikirkan secara rinci beberapa situasi yang mungkin muncul.
Mari kita beralih ke langkah yang paling penting.
Jadi, mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan aljabar linier setelah penyelesaian lari ke depan dari metode Gauss mengambil bentuk 
dan tidak ada persamaan yang direduksi menjadi (dalam hal ini, kami akan menyimpulkan bahwa sistem tidak konsisten). Sebuah pertanyaan logis muncul: "Apa yang harus dilakukan selanjutnya"?
Kami menulis variabel yang tidak diketahui yang berada di tempat pertama dari semua persamaan sistem yang dihasilkan: 
Dalam contoh kita, ini adalah x 1 , x 4 dan x 5 . Di bagian kiri persamaan sistem, kami meninggalkan hanya suku-suku yang berisi variabel yang tidak diketahui yang ditulis x 1, x 4 dan x 5, kami mentransfer suku yang tersisa ke sisi kanan persamaan dengan tanda yang berlawanan: 
Mari kita berikan nilai arbitrer ke variabel yang tidak diketahui yang berada di sisi kanan persamaan, di mana 
- nomor arbitrer: 
Setelah itu, angka-angka ditemukan di bagian kanan semua persamaan SLAE kami dan kami dapat melanjutkan ke kebalikan dari metode Gauss.
Dari persamaan terakhir dari sistem yang kita miliki , dari persamaan kedua dari belakang yang kita temukan , dari persamaan pertama kita dapatkan 
Solusi dari sistem persamaan adalah himpunan nilai variabel yang tidak diketahui 
Memberi angka nilai yang berbeda, kita akan mendapatkan solusi yang berbeda untuk sistem persamaan. Artinya, sistem persamaan kami memiliki banyak solusi.
Menjawab:
di mana - angka sewenang-wenang.
Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis secara rinci solusi dari beberapa contoh lagi.
Contoh.
Memecahkan Sistem Homogen Persamaan Aljabar Linier 
metode Gauss.
Keputusan.
Mari kita keluarkan variabel x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem. Untuk melakukannya, tambahkan masing-masing bagian kiri dan kanan persamaan pertama ke bagian kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan ke bagian kiri dan kanan persamaan ketiga, bagian kiri dan kanan persamaan persamaan pertama, dikalikan dengan : 
Sekarang kami mengecualikan y dari persamaan ketiga dari sistem persamaan yang dihasilkan: 
SLAE yang dihasilkan setara dengan sistem 
.
Kami hanya meninggalkan istilah yang berisi variabel yang tidak diketahui x dan y di sisi kiri persamaan sistem, dan mentransfer istilah dengan variabel yang tidak diketahui z ke sisi kanan: 
Hari ini kita berurusan dengan metode Gauss untuk memecahkan sistem persamaan aljabar linier. Anda dapat membaca tentang apa sistem ini di artikel sebelumnya yang ditujukan untuk menyelesaikan SLAE yang sama dengan metode Cramer. Metode Gauss tidak memerlukan pengetahuan khusus, hanya perawatan dan konsistensi yang diperlukan. Terlepas dari kenyataan bahwa dari sudut pandang matematika, persiapan sekolah sudah cukup untuk penerapannya, penguasaan metode ini sering menyebabkan kesulitan bagi siswa. Pada artikel ini, kami akan mencoba menguranginya menjadi nol!
Metode Gauss
M Metode Gauss adalah metode paling universal untuk memecahkan SLAE (dengan pengecualian sistem yang sangat besar). Tidak seperti yang dibahas sebelumnya, ini cocok tidak hanya untuk sistem yang memiliki solusi unik, tetapi juga untuk sistem yang memiliki jumlah solusi tak terbatas. Ada tiga pilihan di sini.
- Sistem memiliki solusi unik (determinan matriks utama sistem tidak sama dengan nol);
- Sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas;
- Tidak ada solusi, sistem tidak konsisten.
Jadi, kami memiliki sistem (biarkan memiliki satu solusi), dan kami akan menyelesaikannya menggunakan metode Gaussian. Bagaimana itu bekerja?
Metode Gaussian terdiri dari dua tahap - langsung dan terbalik.
Metode Gauss Langsung
Pertama, kita menulis matriks yang diperbesar dari sistem. Untuk melakukan ini, kami menambahkan kolom anggota bebas ke matriks utama.
Inti keseluruhan dari metode Gaussian adalah mereduksi matriks ini menjadi bentuk bertahap (atau, seperti yang mereka katakan, segitiga) melalui transformasi elementer. Dalam bentuk ini, seharusnya hanya ada nol di bawah (atau di atas) diagonal utama matriks.
Apa yang bisa dilakukan:
- Anda dapat mengatur ulang baris matriks;
- Jika ada baris yang identik (atau proporsional) dalam matriks, Anda dapat menghapus semua kecuali satu;
- Anda dapat mengalikan atau membagi string dengan angka apa pun (kecuali nol);
- Garis nol dihapus;
- Anda dapat menambahkan string dikalikan dengan angka bukan nol ke string.
Metode Gauss terbalik
Setelah kami mengubah sistem dengan cara ini, satu yang tidak diketahui xn menjadi diketahui, dan adalah mungkin untuk menemukan semua yang tidak diketahui yang tersisa dalam urutan terbalik, dengan mensubstitusikan x yang sudah diketahui ke dalam persamaan sistem, hingga yang pertama.
Saat Internet selalu tersedia, Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gauss on line . Yang harus Anda lakukan adalah memasukkan peluang ke dalam kalkulator online. Tetapi Anda harus mengakui, jauh lebih menyenangkan untuk menyadari bahwa contoh itu diselesaikan bukan oleh program komputer, tetapi oleh otak Anda sendiri.
Contoh penyelesaian sistem persamaan menggunakan metode Gauss
Dan sekarang - sebuah contoh, sehingga semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti. Biarkan sistem persamaan linier diberikan, dan itu perlu diselesaikan dengan metode Gauss:
Pertama, mari kita tulis matriks yang diperbesar:
Sekarang mari kita lihat transformasinya. Ingat bahwa kita perlu mencapai bentuk segitiga dari matriks. Kalikan baris pertama dengan (3). Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1 dan dapatkan:
Kemudian kalikan baris ke-3 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2:
Kalikan baris pertama dengan (6). Kalikan baris ke-2 dengan (13). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:
Voila - sistem dibawa ke bentuk yang sesuai. Masih menemukan yang tidak diketahui:
Sistem dalam contoh ini memiliki solusi unik. Kami akan mempertimbangkan solusi sistem dengan serangkaian solusi tak terbatas dalam artikel terpisah. Mungkin pada awalnya Anda tidak akan tahu harus mulai dari mana dengan transformasi matriks, tetapi setelah latihan yang tepat Anda akan mendapatkannya dan akan mengklik Gaussian SLAE seperti kacang. Dan jika Anda tiba-tiba menemukan SLAU, yang ternyata terlalu sulit untuk dipecahkan, hubungi penulis kami! Anda bisa dengan meninggalkan aplikasi di Korespondensi. Bersama-sama kita akan menyelesaikan masalah apa pun!
Biarkan sistem persamaan aljabar linier diberikan, yang harus diselesaikan (temukan nilai-nilai yang tidak diketahui i yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan).
Kita tahu bahwa sistem persamaan aljabar linier dapat:
1) Tidak memiliki solusi (menjadi tidak cocok).
2) Memiliki banyak solusi.
3) Memiliki solusi yang unik.
Seperti yang kita ingat, aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok dalam kasus di mana sistem memiliki banyak solusi atau tidak konsisten. Metode Gauss – alat yang paling kuat dan serbaguna untuk menemukan solusi untuk setiap sistem persamaan linier, yang dalam setiap kasus membawa kita ke jawabannya! Algoritma metode dalam ketiga kasus bekerja dengan cara yang sama. Jika metode Cramer dan matriks membutuhkan pengetahuan tentang determinan, maka penerapan metode Gauss hanya membutuhkan pengetahuan tentang operasi aritmatika, yang membuatnya dapat diakses bahkan oleh siswa sekolah dasar.
Transformasi matriks yang diperluas ( ini adalah matriks sistem - matriks yang hanya terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, ditambah kolom istilah bebas) sistem persamaan aljabar linier dalam metode Gauss:
1) dengan troky matriks bisa mengatur kembali tempat.
2) jika ada (atau adalah) baris proporsional (sebagai kasus khusus - identik) dalam matriks, maka berikut: menghapus dari matriks, semua baris ini kecuali satu.
3) jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka itu juga mengikuti menghapus.
4) baris matriks dapat mengalikan (membagi) ke nomor apa pun selain nol.
5) ke baris matriks, Anda dapat tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol.
Dalam metode Gauss, transformasi elementer tidak mengubah solusi sistem persamaan.
Metode Gauss terdiri dari dua tahap:
- "Langkah langsung" - menggunakan transformasi dasar, bawa matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier ke bentuk langkah "segitiga": elemen-elemen dari matriks yang diperluas yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol (gerakan dari atas ke bawah ). Misalnya, untuk jenis ini:
Untuk melakukannya, lakukan langkah-langkah berikut:
1) Mari kita perhatikan persamaan pertama dari sistem persamaan aljabar linier dan koefisien pada x 1 sama dengan K. Yang kedua, ketiga, dst. kami mengubah persamaan sebagai berikut: kami membagi setiap persamaan (koefisien untuk yang tidak diketahui, termasuk suku bebas) dengan koefisien untuk x 1 yang tidak diketahui, yang ada di setiap persamaan, dan dikalikan dengan K. Setelah itu, kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua ( koefisien untuk yang tidak diketahui dan istilah bebas). Kita mendapatkan di x 1 dalam persamaan kedua koefisien 0. Dari persamaan transformasi ketiga kita kurangi persamaan pertama, jadi sampai semua persamaan, kecuali yang pertama, dengan x 1 yang tidak diketahui tidak akan memiliki koefisien 0.
2) Pindah ke persamaan berikutnya. Biarkan ini menjadi persamaan kedua dan koefisien pada x 2 sama dengan M. Dengan semua persamaan "bawahan", kami melanjutkan seperti dijelaskan di atas. Jadi, "di bawah" x 2 yang tidak diketahui dalam semua persamaan akan menjadi nol.
3) Kami meneruskan ke persamaan berikutnya dan seterusnya sampai satu suku bebas terakhir yang tidak diketahui dan diubah tetap.
- "Gerakan terbalik" dari metode Gauss adalah untuk mendapatkan solusi sistem persamaan aljabar linier (gerakan "bawah ke atas"). Dari persamaan "lebih rendah" terakhir kita mendapatkan satu solusi pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kami memecahkan persamaan dasar A * x n \u003d B. Dalam contoh di atas, x 3 \u003d 4. Kami mengganti nilai yang ditemukan dalam persamaan "atas" berikutnya dan menyelesaikannya sehubungan dengan yang tidak diketahui berikutnya. Misalnya, x 2 - 4 \u003d 1, mis. x 2 \u003d 5. Dan seterusnya sampai kami menemukan semua yang tidak diketahui.
Contoh.
Kami memecahkan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss, seperti yang disarankan oleh beberapa penulis:
Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:
Kami melihat "langkah" kiri atas. Di sana kita harus memiliki unit. Masalahnya adalah tidak ada yang sama sekali di kolom pertama, jadi tidak ada yang bisa diselesaikan dengan mengatur ulang baris. Dalam kasus seperti itu, unit harus diatur menggunakan transformasi dasar. Ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Mari kita lakukan seperti ini:
1 langkah
. Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan dengan -1. Artinya, kami secara mental mengalikan baris kedua dengan -1 dan melakukan penambahan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.
Sekarang di kiri atas "minus satu", yang sangat cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan tindakan tambahan: kalikan baris pertama dengan -1 (ubah tandanya).
2 langkah . Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.
3 langkah . Baris pertama dikalikan dengan -1, pada prinsipnya, ini untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke tempat kedua, sehingga pada "langkah kedua, kami memiliki unit yang diinginkan.
4 langkah . Pada baris ketiga, tambahkan baris kedua, dikalikan 2.
5 langkah . Baris ketiga dibagi 3.
Tanda yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (lebih jarang salah ketik) adalah garis bawah yang "buruk". Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti (0 0 11 | 23) di bawah ini, dan, oleh karena itu, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, maka dengan tingkat probabilitas yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa kesalahan telah dibuat selama sekolah dasar. transformasi.
Kami melakukan gerakan terbalik, dalam desain contoh, sistem itu sendiri sering tidak ditulis ulang, dan persamaan "diambil langsung dari matriks yang diberikan". Gerakan sebaliknya, saya ingatkan Anda, bekerja "dari bawah ke atas." Dalam contoh ini, hadiahnya ternyata:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, oleh karena itu x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1
Menjawab:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.
Mari kita selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang diusulkan. Kita mendapatkan
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Bagi persamaan kedua dengan 5 dan persamaan ketiga dengan 3. Kita peroleh:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Kalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita mendapatkan:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga, kita dapatkan:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Bagi persamaan ketiga dengan 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Kalikan persamaan ketiga dengan 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Kurangi persamaan kedua dari persamaan ketiga, kita mendapatkan matriks augmented "bertahap":
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Jadi, karena kesalahan terakumulasi dalam proses perhitungan, kami mendapatkan x 3 \u003d 0,96, atau sekitar 1.
x 2 \u003d 3 dan x 1 \u003d -1.
Memecahkan dengan cara ini, Anda tidak akan pernah bingung dalam perhitungan dan, meskipun ada kesalahan perhitungan, Anda akan mendapatkan hasilnya.
Metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier ini mudah diprogram dan tidak memperhitungkan fitur khusus dari koefisien untuk yang tidak diketahui, karena dalam praktiknya (dalam perhitungan ekonomi dan teknis) kita harus berurusan dengan koefisien non-bilangan bulat.
Semoga Anda beruntung! Sampai jumpa di kelas! Guru.
blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Biarkan sistem diberikan, 0. (satu)Metode Gauss adalah metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui.
Inti dari metode Gauss adalah mengubah (1) ke sistem dengan matriks segitiga , dari mana nilai-nilai semua yang tidak diketahui kemudian diperoleh secara berurutan (terbalik). Mari kita pertimbangkan salah satu skema komputasi. Sirkuit ini disebut sirkuit divisi tunggal. Jadi mari kita lihat diagram ini. Biarkan 11 0 (elemen utama) dibagi dengan 11 persamaan pertama. Mendapatkan
(2)
Dengan menggunakan persamaan (2), mudah untuk mengecualikan x 1 yang tidak diketahui dari persamaan sistem yang tersisa (untuk ini, cukup dengan mengurangi persamaan (2) dari setiap persamaan yang sebelumnya dikalikan dengan koefisien yang sesuai pada x 1), yang adalah, pada langkah pertama kita memperoleh
.
Dengan kata lain, pada langkah 1, setiap elemen dari baris berikutnya, mulai dari yang kedua, sama dengan perbedaan antara elemen asli dan produk dari "proyeksi" pada kolom pertama dan baris pertama (yang diubah).
Setelah itu, meninggalkan persamaan pertama saja, selama sisa persamaan sistem yang diperoleh pada langkah pertama, kami akan melakukan transformasi serupa: kami memilih di antara mereka persamaan dengan elemen utama dan menggunakannya untuk mengecualikan x 2 dari persamaan yang tersisa (langkah 2).
Setelah n langkah, alih-alih (1) kita mendapatkan sistem yang setara 
(3)
Jadi, pada tahap pertama, kita akan mendapatkan sistem segitiga (3). Langkah ini disebut maju.
Pada tahap kedua (gerakan mundur) kita mencari secara berurutan dari (3) nilai x n , x n -1 , …, x 1 .
Mari kita nyatakan solusi yang diperoleh sebagai x 0 . Maka selisih =b-A x 0 disebut sisa.
Jika =0, maka solusi yang ditemukan x 0 benar.
Perhitungan dengan metode Gauss dilakukan dalam dua tahap:
- Tahap pertama disebut direct course of the method. Pada tahap pertama, sistem asli diubah menjadi bentuk segitiga.
- Tahap kedua disebut sebaliknya. Pada tahap kedua, sistem segitiga yang setara dengan yang asli diselesaikan.
Pada setiap langkah, diasumsikan bahwa elemen utama berbeda dari nol. Jika ini tidak terjadi, maka elemen lain dapat digunakan sebagai pemimpin, seolah-olah mengatur ulang persamaan sistem.
Tujuan dari metode Gauss
Metode Gauss ditujukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Mengacu pada metode langsung solusi.Jenis metode Gauss
- metode Gauss Klasik;
- Modifikasi metode Gauss. Salah satu modifikasi metode Gaussian adalah rangkaian dengan pemilihan elemen utama. Ciri metode Gauss dengan pemilihan elemen utama adalah permutasi persamaan sedemikian rupa sehingga pada langkah ke-k elemen terdepan adalah elemen terbesar pada kolom ke-k.
- metode Jordan-Gauss;
Jelaskan perbedaannya Metode Jordan-Gauss dari metode Gauss pada contoh.
Contoh solusi Gauss
Mari kita selesaikan sistemnya: 
Untuk kenyamanan perhitungan, kami menukar baris: 
Kalikan baris ke-2 dengan (2). Tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2 
Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Tambahkan baris ke-2 ke baris pertama 
Dari baris ke-1 kita nyatakan x 3:
Dari baris ke-2 kita nyatakan x 2:
Dari baris ke-3 kita nyatakan x 1: 
Contoh penyelesaian dengan metode Jordan-Gauss
Kami akan menyelesaikan SLAE yang sama menggunakan metode Jordano-Gauss. 
Kami akan secara berurutan memilih elemen penyelesaian RE, yang terletak pada diagonal utama matriks.
Elemen yang memungkinkan sama dengan (1).
NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - elemen pemungkin (1), A dan B - elemen matriks yang membentuk persegi panjang dengan elemen STE dan RE.
Mari kita sajikan perhitungan setiap elemen dalam bentuk tabel:
| x 1 | x2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Elemen yang memungkinkan sama dengan (3).
Di tempat elemen penyelesaian, kami mendapatkan 1, dan di kolom itu sendiri kami menulis nol.
Semua elemen matriks lainnya, termasuk elemen kolom B, ditentukan oleh aturan persegi panjang.
Untuk melakukan ini, pilih empat angka yang terletak di simpul persegi panjang dan selalu sertakan elemen pengaktifan RE.
| x 1 | x2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Elemen yang memungkinkan adalah (-4).
Di tempat elemen penyelesaian, kami mendapatkan 1, dan di kolom itu sendiri kami menulis nol.
Semua elemen matriks lainnya, termasuk elemen kolom B, ditentukan oleh aturan persegi panjang.
Untuk melakukan ini, pilih empat angka yang terletak di simpul persegi panjang dan selalu sertakan elemen pengaktifan RE.
Mari kita sajikan perhitungan setiap elemen dalam bentuk tabel:
| x 1 | x2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Menjawab: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
