1.21. PEMBUNUHAN, osilasi paksa

Persamaan diferensial osilasi teredam dan solusinya. Koefisien atenuasi. Desember logaritmikpita peredam.faktor Qsistem tubuh.proses aperiodik. Persamaan diferensial osilasi paksa dan solusinya.Amplitudo dan fase osilasi paksa. Proses pembentukan osilasi. Kasus resonansi.Osilasi diri.

Redaman osilasi adalah penurunan bertahap dalam amplitudo osilasi dari waktu ke waktu, karena hilangnya energi oleh sistem osilasi.

Getaran alami tanpa redaman adalah sebuah idealisasi. Alasan memudar bisa berbeda. Dalam sistem mekanis, getaran diredam oleh adanya gesekan. Ketika semua energi yang tersimpan dalam sistem osilasi habis, osilasi akan berhenti. Oleh karena itu, amplitudo getaran teredam berkurang hingga menjadi nol.

Osilasi teredam, serta yang alami, dalam sistem yang berbeda sifatnya, dapat dipertimbangkan dari satu sudut pandang - fitur umum. Namun, karakteristik seperti amplitudo dan periode memerlukan pendefinisian ulang, sementara yang lain memerlukan penambahan dan klarifikasi dibandingkan dengan karakteristik yang sama untuk osilasi alami yang tidak teredam. Tanda-tanda umum dan konsep osilasi teredam adalah sebagai berikut:

Persamaan diferensial harus diperoleh dengan memperhitungkan penurunan energi vibrasi dalam proses osilasi.

Persamaan osilasi adalah solusi dari persamaan diferensial.

Amplitudo osilasi teredam tergantung pada waktu.

Frekuensi dan periode tergantung pada tingkat redaman osilasi.

Fase dan fase awal memiliki arti yang sama dengan osilasi tak teredam.

Osilasi teredam mekanis.

sistem mekanik : pegas pendulum yang menerima gaya gesekan.

Gaya yang bekerja pada bandul :

kekuatan elastis., di mana k adalah koefisien kekakuan pegas, adalah perpindahan pendulum dari posisi setimbang.

Kekuatan perlawanan. Pertimbangkan gaya resistensi yang sebanding dengan kecepatan v gerakan (ketergantungan seperti itu khas untuk kelas besar gaya resistensi): . Tanda minus menunjukkan bahwa arah gaya tahanan berlawanan dengan arah kecepatan benda. Koefisien drag r secara numerik sama dengan gaya drag yang terjadi pada kecepatan unit tubuh:

hukum gerak pegas pendulum adalah hukum kedua Newton:

m sebuah = F mantan. + F melawan.

Mengingat dan , kita menulis hukum kedua Newton dalam bentuk:

. (21.1)

Membagi semua suku persamaan dengan m, memindahkan semuanya ke ruas kanan, kita peroleh persamaan diferensial getaran teredam:

Mari kita tunjukkan , di mana β – faktor redaman , , di mana ω 0 adalah frekuensi osilasi bebas tak teredam tanpa adanya kehilangan energi dalam sistem osilasi.

Dalam notasi baru, persamaan diferensial osilasi teredam memiliki bentuk:

. (21.2)

Ini adalah persamaan diferensial linier orde dua.

Persamaan diferensial linier ini diselesaikan dengan perubahan variabel. Kami mewakili fungsi x, tergantung pada waktu t, dalam bentuk:

.

Mari kita cari turunan waktu pertama dan kedua dari fungsi ini, mengingat bahwa fungsi z juga merupakan fungsi waktu:

, .

Substitusi ke persamaan diferensial:

Kami membawa suku yang sama ke dalam persamaan dan mengurangi setiap suku dengan , kami mendapatkan persamaan:

.

Mari kita menunjukkan kuantitas .

solusi persamaan adalah fungsi , .

Kembali ke variabel x, kami memperoleh rumus untuk persamaan osilasi teredam:

Dengan demikian , persamaan getaran teredam adalah solusi dari persamaan diferensial (21.2):

Frekuensi osilasi teredam :

(Oleh karena itu, hanya akar sebenarnya yang memiliki arti fisik).

Periode getaran teredam :

(21.5)

Makna yang dimasukkan ke dalam konsep periode osilasi tak teredam tidak sesuai untuk osilasi teredam, karena sistem osilasi tidak pernah kembali ke keadaan semula karena hilangnya energi getaran. Dengan adanya gesekan, osilasi lebih lambat: .

Periode getaran teredam disebut selang waktu minimum di mana sistem melewati dua kali posisi kesetimbangan dalam arah yang sama.

Untuk sistem mekanis pendulum pegas kita memiliki:

, .

Amplitudo osilasi teredam :

Untuk pendulum pegas.

Amplitudo osilasi teredam bukanlah nilai yang konstan, tetapi berubah seiring waktu semakin cepat, semakin besar koefisien . Oleh karena itu, definisi amplitudo, yang diberikan sebelumnya untuk osilasi bebas tak teredam, harus diubah untuk osilasi teredam.

Untuk redaman kecil amplitudo osilasi teredam disebut penyimpangan terbesar dari posisi keseimbangan untuk periode tersebut.

Grafik kurva offset vs. waktu dan amplitudo vs. waktu ditunjukkan pada Gambar 21.1 dan 21.2.

Gambar 21.1 - Ketergantungan perpindahan pada waktu untuk osilasi teredam.

Gambar 21.2 - Ketergantungan amplitudo pada waktu untuk osilasi teredam

Karakteristik osilasi teredam.

1. Faktor redaman β .

Perubahan amplitudo osilasi teredam terjadi sesuai dengan hukum eksponensial:

Biarkan amplitudo osilasi berkurang "e" kali dari waktu ke waktu ("e" adalah basis dari logaritma natural, e 2,718). Kemudian, di satu sisi, , dan di sisi lain, setelah melukis amplitudo A zat. (t) dan A di. (t+τ), kita memiliki . Hubungan ini menyiratkan = 1, maka .

Jarak waktu τ , yang amplitudonya berkurang sebesar "e" kali, disebut waktu relaksasi.

Faktor redaman β adalah nilai yang berbanding terbalik dengan waktu relaksasi.

2. Penurunan redaman logaritmik δ - kuantitas fisik yang secara numerik sama dengan logaritma natural dari rasio dua amplitudo berurutan yang dipisahkan dalam waktu oleh suatu periode.

Jika redamannya kecil, mis. nilai kecil, maka amplitudo berubah sedikit selama periode tersebut, dan penurunan logaritmik dapat didefinisikan sebagai berikut:

,

dimana A di. (t) dan A di. (t + NT) - amplitudo osilasi pada waktu e dan setelah N periode, yaitu pada waktu (t + NT).

3. Faktor kualitas Q sistem osilasi adalah kuantitas fisik tak berdimensi yang sama dengan produk dari nilai (2π) a rasio energi W(t) sistem pada momen waktu yang berubah-ubah dengan kehilangan energi selama satu periode osilasi teredam:

.

Karena energi sebanding dengan kuadrat amplitudo, maka

Untuk nilai kecil dari penurunan logaritmik , faktor kualitas sistem osilasi sama dengan

,

di mana N e adalah jumlah osilasi, selama amplitudo berkurang "e" kali.

Jadi, faktor kualitas pendulum pegas adalah - Semakin besar faktor kualitas sistem osilasi, semakin sedikit redaman, semakin lama proses periodik dalam sistem tersebut akan berlangsung. Faktor kualitas sistem osilasi - kuantitas tak berdimensi yang mencirikan disipasi energi dalam waktu.

4. Dengan peningkatan koefisien , frekuensi osilasi teredam berkurang, dan periode meningkat. Pada 0 = , frekuensi osilasi teredam menjadi sama dengan nol zat. = 0, dan T zat. = . Dalam hal ini, osilasi kehilangan sifat periodiknya dan disebut aperiodik.

Pada 0 = , parameter sistem yang bertanggung jawab atas penurunan energi getaran mengambil nilai yang disebut kritis . Untuk bandul pegas, kondisi 0 = akan ditulis sebagai:, dari mana kita menemukan nilainya koefisien drag kritis:

.

Beras. 21.3. Ketergantungan amplitudo osilasi aperiodik terhadap waktu

Getaran paksa.

Semua osilasi nyata teredam. Agar osilasi nyata terjadi untuk waktu yang cukup lama, perlu untuk secara berkala mengisi kembali energi sistem osilasi dengan bekerja padanya dengan gaya eksternal yang berubah secara berkala.

Pertimbangkan fenomena osilasi jika eksternal (memaksa) gaya berubah terhadap waktu sesuai dengan hukum harmonik. Dalam hal ini, osilasi akan muncul dalam sistem, yang sifatnya, pada tingkat tertentu, akan mengulangi sifat kekuatan pendorong. Fluktuasi seperti itu disebut dipaksa .

Tanda-tanda umum osilasi mekanis paksa.

1. Mari kita perhatikan osilasi mekanis paksa dari pendulum pegas, yang ditindaklanjuti oleh eksternal (menarik ) kekuatan periodik . Gaya-gaya yang bekerja pada bandul, setelah dikeluarkan dari keseimbangan, berkembang dalam sistem osilasi itu sendiri. Ini adalah gaya elastis dan gaya drag.

hukum gerak (Hukum kedua Newton) ditulis sebagai berikut:

(21.6)

Bagilah kedua ruas persamaan dengan m, perhitungkan bahwa , dan dapatkan persamaan diferensial getaran paksa:

Menunjukkan ( β – faktor redaman ), (ω 0 adalah frekuensi osilasi bebas tak teredam), gaya yang bekerja per satuan massa. Dalam notasi ini persamaan diferensial osilasi paksa akan berbentuk:

(21.7)

Ini adalah persamaan diferensial orde dua dengan ruas kanan bukan nol. Solusi dari persamaan tersebut adalah jumlah dari dua solusi

.

adalah solusi umum dari persamaan diferensial homogen, yaitu persamaan diferensial tanpa ruas kanan jika sama dengan nol. Kami tahu solusi seperti itu - ini adalah persamaan osilasi teredam, ditulis hingga konstanta, yang nilainya ditentukan oleh kondisi awal sistem osilasi:

Di mana .

Kita telah membahas sebelumnya bahwa solusinya dapat ditulis dalam bentuk fungsi sinus.

Jika kita mempertimbangkan proses osilasi bandul setelah periode waktu yang cukup lama t setelah gaya penggerak dihidupkan (Gambar 21.2), maka osilasi teredam dalam sistem praktis akan berhenti. Dan kemudian solusi persamaan diferensial dengan ruas kanan akan menjadi solusi .

Solusi adalah solusi khusus dari persamaan diferensial tidak homogen, yaitu persamaan dengan ruas kanan. Dari teori persamaan diferensial diketahui bahwa dengan ruas kanan yang berubah menurut hukum harmonik, penyelesaiannya akan menjadi fungsi harmonik (sin atau cos) dengan frekuensi yang berubah sesuai dengan perubahan frekuensi ruas kanan:

di mana A amp. – amplitudo osilasi paksa, 0 – pergeseran fasa , itu. perbedaan fase antara fase gaya penggerak dan fase osilasi paksa. Dan amplitudo A amp. , dan pergeseran fasa 0 bergantung pada parameter sistem (β, 0) dan pada frekuensi gaya penggerak .

Periode osilasi paksa sama dengan (21.9)

Jadwal osilasi paksa pada Gambar 4.1.

Gbr.21.3. Jadwal osilasi paksa

Osilasi paksa yang stabil juga harmonik.

Ketergantungan amplitudo osilasi paksa dan pergeseran fasa pada frekuensi aksi eksternal. Resonansi.

1. Mari kembali ke sistem mekanik pendulum pegas, yang dipengaruhi oleh gaya luar yang berubah menurut hukum harmonik. Untuk sistem seperti itu, persamaan diferensial dan solusinya, masing-masing, memiliki bentuk:

, .

Mari kita menganalisis ketergantungan amplitudo osilasi dan pergeseran fasa pada frekuensi gaya penggerak eksternal, untuk ini kita menemukan turunan pertama dan kedua dari x dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan diferensial.

Mari kita gunakan metode diagram vektor. Dapat dilihat dari persamaan bahwa jumlah ketiga ayunan pada ruas kiri persamaan (Gambar 4.1) harus sama dengan ayunan pada ruas kanan. Diagram vektor dibuat untuk waktu t yang berubah-ubah. Dari situ bisa ditentukan.

Gambar 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Mengingat nilai , ,, kita memperoleh rumus untuk 0 dan A ampl. sistem mekanik:

,

.

2. Kami menyelidiki ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak dan besarnya gaya resistensi dalam sistem mekanis berosilasi, dengan menggunakan data ini kami membuat grafik . Hasil penelitian ditunjukkan pada Gambar 21.5, mereka menunjukkan bahwa pada frekuensi tertentu dari kekuatan pendorong amplitudo osilasi meningkat tajam. Dan peningkatan ini semakin besar, semakin rendah koefisien atenuasi . Pada , amplitudo osilasi menjadi sangat besar.

Fenomena peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak yang sama dengan disebut resonansi.

(21.12)

Kurva pada Gambar 21.5 mencerminkan hubungan dan disebut kurva resonansi amplitudo .

Gambar 21.5 - Grafik ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak.

Amplitudo osilasi resonansi akan berbentuk:

Getaran paksa adalah tidak teredam fluktuasi. Kehilangan energi yang tak terhindarkan karena gesekan dikompensasikan dengan pasokan energi dari sumber eksternal dari gaya yang bekerja secara berkala. Ada sistem di mana osilasi tak teredam muncul bukan karena pengaruh eksternal periodik, tetapi sebagai akibat dari kemampuan sistem tersebut untuk mengatur aliran energi dari sumber konstan. Sistem seperti ini disebut berosilasi sendiri, dan proses osilasi tak teredam dalam sistem tersebut adalah osilasi diri.

Dalam sistem osilasi sendiri, tiga elemen karakteristik dapat dibedakan - sistem osilasi, sumber energi, dan perangkat umpan balik antara sistem osilasi dan sumbernya. Sebagai sistem osilasi, sistem mekanis apa pun yang mampu melakukan osilasi teredamnya sendiri (misalnya, pendulum jam dinding) dapat digunakan.

Sumber energi tersebut dapat berupa energi deformasi pegas atau energi potensial beban dalam medan gravitasi. Perangkat umpan balik adalah mekanisme di mana sistem osilasi sendiri mengatur aliran energi dari sumbernya. pada gambar. 21.6 menunjukkan diagram interaksi berbagai elemen dari sistem yang berosilasi sendiri.

Contoh dari sistem osilasi otomatis adalah jarum jam dengan jangkar bergerak (Gbr. 21.7.). Roda berjalan dengan gigi miring diikat dengan kaku ke drum bergigi, di mana rantai dengan beban dilemparkan. Di ujung atas bandul, jangkar (jangkar) dipasang dengan dua pelat bahan keras yang ditekuk di sepanjang busur lingkaran yang berpusat pada sumbu bandul. Dalam jam tangan, beratnya digantikan oleh pegas, dan pendulum diganti dengan penyeimbang - roda tangan yang diikat ke pegas spiral.

Gambar 21.7. Mekanisme jam dengan bandul.

Balancer melakukan getaran torsional di sekitar porosnya. Sistem osilasi pada jam adalah pendulum atau penyeimbang. Sumber energi adalah beban yang diangkat atau pegas luka. Perangkat umpan balik adalah jangkar yang memungkinkan roda yang berjalan memutar satu gigi dalam satu setengah siklus.

Umpan balik disediakan oleh interaksi jangkar dengan roda yang berjalan. Dengan setiap osilasi pendulum, gigi roda perjalanan mendorong garpu jangkar ke arah gerakan pendulum, mentransfer sebagian energi ke sana, yang mengkompensasi kehilangan energi akibat gesekan. Dengan demikian, energi potensial dari berat (atau pegas bengkok) secara bertahap, dalam bagian yang terpisah, ditransfer ke bandul.

Sistem osilasi otomatis tersebar luas dalam kehidupan di sekitar kita dan dalam teknologi. Getaran diri dibuat oleh mesin uap, mesin pembakaran dalam, bel listrik, dawai alat musik yang ditekuk, kolom udara di pipa alat musik tiup, pita suara saat berbicara atau bernyanyi, dll.

Dalam sistem osilasi nyata, selain gaya kuasi-elastis, ada gaya resistensi medium. Adanya gaya gesek menyebabkan disipasi (disipasi) energi dan penurunan amplitudo osilasi. Dengan memperlambat gerakan, gaya gesekan meningkatkan periode, yaitu. mengurangi frekuensi getaran. Osilasi seperti itu tidak akan harmonis.

Getaran dengan amplitudo yang terus berkurang dalam waktu karena disipasi energi disebut kabur . Pada kecepatan yang cukup rendah, gaya gesekan sebanding dengan kecepatan benda dan diarahkan melawan gerakan

di mana r adalah koefisien gesekan, yang tergantung pada sifat-sifat medium, bentuk dan ukuran benda yang bergerak. Persamaan diferensial osilasi teredam dengan adanya gaya gesekan akan memiliki bentuk:

atau
(21)

di mana
- koefisien atenuasi,

- frekuensi melingkar alami dari osilasi bebas tanpa adanya gaya gesekan.

Solusi umum Persamaan (21) dalam kasus redaman rendah (
) adalah:

Ini berbeda dari harmonik (8) dalam amplitudo osilasi:

(23)

adalah fungsi menurun dari waktu, dan frekuensi melingkar terkait dengan frekuensi alami dan faktor redaman perbandingan:

. (24)

Periode getaran teredam sama dengan:

. (25)

Ketergantungan perpindahan X pada t osilasi teredam ditunjukkan pada Gambar.4.

C tingkat penurunan amplitudo ditentukan oleh koefisien atenuasi .

Selama
amplitudo (23) berkurang dengan faktor e 2,72. Kali ini peluruhan alami disebut waktu relaksasi. Oleh karena itu, faktor redaman adalah kebalikan dari waktu relaksasi:

.(26)

Laju penurunan amplitudo osilasi dicirikan oleh: pengurangan redaman logaritmik. Misalkan A(t) dan A(t+T) adalah amplitudo dari dua osilasi berurutan yang bersesuaian dengan titik waktu yang berbeda satu periode. Maka relasinya:

(27)

ditelepon pengurangan redaman, yang menunjukkan berapa kali amplitudo osilasi berkurang dalam waktu yang sama dengan periode. Logaritma natural dari rasio ini adalah:

(28)

disebut faktor redaman logaritmik. Di sini, N e adalah jumlah osilasi yang dilakukan selama amplitudo berkurang dengan faktor e, yaitu. selama waktu relaksasi.

Jadi, penurunan redaman logaritmik adalah kebalikan dari jumlah osilasi, setelah itu amplitudo osilasi berkurang dengan faktor e.

Laju penurunan energi sistem osilasi dicirikan oleh faktor kualitas Q. Faktor kualitas sistem osilasi- nilai yang sebanding dengan rasio energi total E(t) dari sistem osilasi terhadap energi (- E) hilang selama periode T:

(29)

Energi total sistem osilasi pada momen waktu yang berubah-ubah dan untuk setiap nilai X memiliki bentuk:

(30)

Karena energi sebanding dengan kuadrat amplitudo, energi osilasi teredam berkurang sebanding dengan nilai
, kamu bisa menulis:

. (31)

Kemudian, menurut definisi, ekspresi untuk faktor kualitas sistem osilasi akan terlihat seperti:

Di sini diperhitungkan bahwa pada redaman rendah (1): 1 -2 2.

Oleh karena itu, faktor kualitas sebanding dengan jumlah osilasi N e yang dilakukan oleh sistem selama waktu relaksasi.

Faktor kualitas sistem osilasi dapat sangat bervariasi, misalnya faktor kualitas bandul fisis adalah Q~ 10 2 , sedangkan faktor kualitas atom, yang juga merupakan sistem osilasi, mencapai Q~ 108 .

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa ketika koefisien redaman =ω 0, periode menjadi tak terbatas T =∞ (redaman kritis). Dengan peningkatan lebih lanjut dalam , periode T menjadi imajiner, dan redaman gerakan terjadi tanpa osilasi, seperti yang mereka katakan, secara aperiodik. Kasus gerakan ini ditunjukkan pada Gbr.5. Redaman kritis (menenangkan) terjadi dalam waktu minimum dan penting dalam alat ukur, misalnya pada galvanometer balistik .

PADA DIPAKSA VASKULASI DAN RESONANSI

Jika gaya elastis F y \u003d -kX bekerja pada benda bermassa m, gaya gesekan
dan gaya periodik eksternal
, maka ia melakukan osilasi paksa. Dalam hal ini, persamaan diferensial gerak memiliki bentuk:

di mana
,
- koefisien atenuasi,
- frekuensi alami getaran bebas benda yang tidak teredam, F 0 - amplitudo, - frekuensi gaya periodik.

Pada saat-saat awal, kerja gaya eksternal melebihi energi yang dihabiskan untuk gesekan (Gbr. 6). Energi dan amplitudo osilasi tubuh akan meningkat sampai semua energi yang diberikan oleh gaya eksternal dihabiskan sepenuhnya untuk mengatasi gesekan, yang sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu, keseimbangan terbentuk di mana jumlah energi kinetik dan potensial adalah konstan. Kondisi ini mencirikan keadaan stasioner sistem.

Dalam keadaan ini, gerakan tubuh akan harmonis dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi eksitasi eksternal, tetapi karena kelembaman tubuh, osilasinya akan bergeser dalam fase sehubungan dengan nilai sesaat dari periodik eksternal. memaksa:

X = ACos(ωt + ). (34)

Tidak seperti osilasi bebas, amplitudo A dan fase dari osilasi paksa tidak bergantung pada kondisi awal gerak, tetapi hanya akan ditentukan oleh sifat sistem osilasi, amplitudo, dan frekuensi gaya penggerak:

, (35)

. (36)

Dapat dilihat bahwa amplitudo dan pergeseran fasa bergantung pada frekuensi gaya penggerak (Gbr. 7, 8).

Ciri khas dari osilasi paksa adalah adanya resonansi. Fenomena peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa ketika frekuensi gaya penggerak mendekati frekuensi alami osilasi bebas tak teredam benda 0 disebut resonansi mekanik . Amplitudo getaran tubuh pada frekuensi resonansi
mencapai nilai maksimum:

(37)

Mengenai kurva resonansi (lihat Gambar 7), mari kita membuat pernyataan berikut. Jika → 0, maka semua kurva (lihat juga (35)) mencapai nilai batas bukan nol yang sama
, disebut penyimpangan statistik. Jika → , maka semua kurva cenderung asimtotik ke nol.

Di bawah kondisi redaman rendah (β 2 0 2), amplitudo resonansi (lihat (37))

(37a)

Di bawah kondisi ini, kami mengambil rasio perpindahan resonansi dengan deviasi statis:

dari mana dapat dilihat bahwa peningkatan relatif dalam amplitudo osilasi pada resonansi ditentukan oleh faktor kualitas sistem osilasi. Di sini, faktor kualitas, pada kenyataannya, adalah keuntungan dari respons
sistem dan pada redaman rendah dapat mencapai nilai yang besar.

Keadaan ini menentukan pentingnya fenomena resonansi dalam fisika dan teknologi. Ini digunakan jika mereka ingin memperkuat getaran, misalnya, dalam akustik - untuk meningkatkan suara alat musik, dalam teknik radio - untuk mengisolasi sinyal yang diinginkan dari banyak sinyal lain yang berbeda frekuensinya. Jika resonansi dapat menyebabkan peningkatan osilasi yang tidak diinginkan, sistem dengan faktor kualitas rendah digunakan.

GETARAN TERKAIT

Sistem osilasi kedua, yang terhubung secara elastis dengan yang pertama, dapat berfungsi sebagai sumber gaya periodik eksternal. Kedua sistem osilasi dapat bertindak satu sama lain. Jadi, misalnya, kasus dua bandul yang digabungkan (Gbr. 9).

Sistem dapat melakukan osilasi dalam fase (Gbr. 9b) dan anti-fase (Gbr. 9c). Osilasi semacam itu disebut tipe normal atau mode normal osilasi dan dicirikan oleh frekuensi normalnya sendiri. Dengan osilasi dalam fase, perpindahan pendulum setiap saat X 1 \u003d X 2, dan frekuensi 1 persis sama dengan frekuensi bandul tunggal
. Ini karena pegas cahaya dalam keadaan bebas dan tidak berpengaruh pada gerakan. Dengan osilasi antifase setiap saat - X 1 \u003d X 2. Frekuensi osilasi tersebut lebih besar dari dan sama dengan
, karena pegas yang memiliki kekakuan k dan melakukan sambungan selalu dalam keadaan teregang, maka dalam keadaan terkompresi.

L
Setiap keadaan dari sistem terkopel kita, termasuk perpindahan awal X (Gbr. 9a), dapat direpresentasikan sebagai superposisi dari dua mode normal:

Jika kita membuat sistem bergerak dari keadaan awal X 1 = 0,
, X 2 \u003d 2A,
,

maka perpindahan bandul akan dijelaskan oleh ekspresi:

pada gambar. 10 menunjukkan perubahan perpindahan pendulum individu dari waktu ke waktu.

Frekuensi osilasi bandul sama dengan frekuensi rata-rata dua mode normal:

, (39)

dan amplitudonya berubah sesuai dengan hukum sinus atau kerucut dengan frekuensi yang lebih rendah sama dengan setengah perbedaan frekuensi dari mode normal:

. (40)

Perubahan amplitudo yang lambat dengan frekuensi sama dengan setengah perbedaan antara frekuensi mode normal disebut “ ketukan ” dua getaran dengan frekuensi yang hampir sama. Frekuensi "ketukan" sama dengan perbedaan frekuensi 1 – 2, (dan bukan setengah dari perbedaan ini), karena amplitudo maksimum 2A dicapai dua kali dalam periode yang sesuai dengan frekuensi

Oleh karena itu, periode ketukan sama dengan:

(41)

Saat pendulum berdenyut, terjadi pertukaran energi. Namun, pertukaran energi lengkap hanya mungkin jika kedua massa sama dan rasio (ω 1 + 2 / 1 -ω 2) sama dengan bilangan bulat. Satu hal penting yang perlu diperhatikan adalah bahwa sementara pendulum individu dapat bertukar energi, tidak ada pertukaran energi antara mode normal.

Kehadiran sistem osilasi yang berinteraksi satu sama lain dan mampu mentransfer energinya satu sama lain, membentuk dasar gerakan gelombang.

Sebuah benda material yang berosilasi yang ditempatkan dalam media elastis menarik dan mengatur dalam gerakan osilasi partikel-partikel media yang berdekatan dengannya. Karena adanya ikatan elastis antara partikel, getaran merambat dengan karakteristik kecepatan dari media tertentu di seluruh media.

Proses perambatan getaran dalam medium elastis disebut melambai .

Ada dua jenis utama gelombang: longitudinal dan transversal. Pada gelombang longitudinal partikel medium berosilasi sepanjang arah rambat gelombang, dan melintang tegak lurus terhadap arah rambat gelombang. Tidak semua medium elastis dapat merambatkan gelombang transversal. Gelombang elastik transversal hanya mungkin terjadi pada media di mana terjadi deformasi geser elastik. Misalnya, hanya gelombang elastis longitudinal (suara) yang merambat dalam gas dan cairan.

Tempat kedudukan titik-titik medium yang getarannya telah mencapai suatu titik waktu tertentu disebut gelombang depan . Muka gelombang memisahkan bagian ruang yang sudah terlibat dalam proses gelombang dari daerah di mana osilasi belum muncul. Tergantung pada bentuk bagian depan, gelombang adalah bidang, bola, silinder, dll.

Persamaan untuk gelombang bidang yang merambat tanpa kehilangan dalam medium homogen adalah:
, (42)

di mana (X,t) adalah perpindahan partikel medium dengan koordinat X dari posisi kesetimbangan pada waktu t, A adalah amplitudo,
- fase gelombang,
- frekuensi melingkar osilasi partikel medium, v - kecepatan rambat gelombang.

panjang gelombang λ jarak antara titik-titik yang bergetar dengan beda fase 2π disebut, dengan kata lain, panjang gelombang adalah lintasan yang ditempuh oleh setiap fase gelombang dalam satu periode osilasi:

kecepatan fase, yaitu kecepatan propagasi fase ini:

/ T (44)

nomor gelombang adalah jumlah panjang gelombang yang muat pada panjang 2π satuan:

k = / v = 2π / . (45)

Substitusikan notasi ini ke (42), persamaan gelombang monokromatik yang merambat bidang dapat direpresentasikan sebagai:

(46)

Perhatikan bahwa persamaan gelombang (46) menunjukkan periodisitas ganda dalam koordinat dan waktu. Memang, fase osilasi bertepatan ketika koordinat berubah oleh dan ketika waktu berubah oleh periode T. Oleh karena itu, tidak mungkin untuk menggambarkan secara grafis gelombang pada bidang. Waktu t sering tetap dan ketergantungan perpindahan pada koordinat X disajikan pada grafik, yaitu. distribusi sesaat perpindahan partikel medium sepanjang arah rambat gelombang (Gbr. 11). Perbedaan fase dari osilasi titik-titik media tergantung pada jarak X \u003d X 2 - X 1 antara titik-titik ini:

(47)

Jika gelombang merambat berlawanan dengan arah X, maka persamaan gelombang mundur akan ditulis sebagai:

(X,t) = ACos(ωt + kX). (48)

GELOMBANG BERDIRI adalah hasil dari jenis khusus interferensi gelombang. Mereka terbentuk ketika dua gelombang berjalan merambat satu sama lain dengan frekuensi dan amplitudo yang sama.

Persamaan dua gelombang bidang yang merambat sepanjang sumbu X dalam arah yang berlawanan adalah:

1 \u003d ACos (ωt - kX)

2 = ACos(ωt + kX). (49)

Menambahkan persamaan ini menggunakan rumus jumlah cosinus dan dengan mempertimbangkan bahwa k = 2π / , kita memperoleh persamaan gelombang berdiri:

. (50)

Pengganda Cos t menunjukkan bahwa osilasi dengan frekuensi yang sama terjadi pada titik-titik medium dengan amplitudo
, tergantung pada koordinat X dari titik yang dipertimbangkan. Pada titik-titik di lingkungan di mana:
, (51)

amplitudo osilasi mencapai nilai maksimum 2A. Titik-titik ini disebut antinode.

Dari ekspresi (51) orang dapat menemukan koordinat antinode:
(52)

Pada titik-titik dimana
(53) amplitudo osilasi menghilang. Titik-titik ini disebut simpul.

Koordinat simpul:
. (54)

R jarak antara antinode tetangga dan node tetangga adalah sama dan sama dengan /2. Jarak antara node dan antinode tetangga sama dengan / 4. Saat melewati node, pengali
berubah tanda, sehingga fase osilasi pada sisi yang berlawanan dari simpul berbeda , yaitu. titik yang terletak di sisi berlawanan dari simpul berosilasi dalam antifase. Titik-titik yang berada di antara dua simpul yang bertetangga berosilasi dengan amplitudo yang berbeda, tetapi dengan fase yang sama.

Distribusi node dan antinode dalam gelombang berdiri tergantung pada kondisi yang terjadi pada antarmuka antara dua media, dari mana refleksi terjadi. Jika pantulan gelombang terjadi dari media yang lebih padat, maka fase osilasi di tempat pantulan gelombang berubah menjadi kebalikannya, atau, seperti yang mereka katakan, setengah dari gelombang hilang. Oleh karena itu, sebagai akibat dari penambahan osilasi dengan arah yang berlawanan, perpindahan pada batas adalah nol, mis. ada simpul (Gbr. 12). Ketika gelombang dipantulkan dari batas medium yang kurang rapat, fase osilasi di tempat pemantulan tetap tidak berubah dan osilasi dengan fase yang sama ditambahkan di dekat batas - sebuah antinode diperoleh.

Dalam gelombang berdiri, tidak ada gerakan fase, tidak ada perambatan gelombang, tidak ada transfer energi, itulah alasan untuk nama jenis gelombang ini.

Penurunan energi sistem osilasi menyebabkan penurunan bertahap dalam amplitudo osilasi, karena

Dalam hal ini, mereka mengatakan bahwa fluktuasi teredam .

Situasi serupa berkembang di sirkuit osilasi. Kumparan nyata, yang merupakan bagian dari rangkaian, selalu memiliki resistansi aktif. Ketika arus mengalir melalui resistansi aktif koil, panas Joule akan dilepaskan. Dalam hal ini, energi rangkaian akan berkurang, yang akan menyebabkan penurunan amplitudo muatan, osilasi tegangan dan arus.

Tugas kita- untuk mengetahui dengan hukum apa penurunan amplitudo osilasi terjadi, menurut hukum mana nilai osilasi itu sendiri berubah, dengan frekuensi apa osilasi teredam terjadi, berapa lama osilasi "memudar".

1 Redaman getaran dalam sistem dengan gesekan kental

Pertimbangkan sistem osilasi di mana gaya gesekan kental bekerja. Contoh dari sistem osilasi seperti itu adalah pendulum matematika yang berosilasi di udara.

Dalam hal ini, ketika sistem dibawa keluar dari kesetimbangan dengan

bandul akan dikenai dua gaya: gaya kuasi-elastis dan gaya tahanan (gaya gesekan viskos).

Hukum II Newton ditulis sebagai berikut:

(1)

Kita tahu bahwa pada kecepatan rendah, gaya gesekan kental sebanding dengan kecepatan gerak:

Kami memperhitungkan bahwa proyeksi kecepatan adalah turunan pertama dari koordinat tubuh, dan proyeksi percepatan adalah turunan kedua dari koordinat:

Maka persamaan (2) akan berbentuk:

kita peroleh persamaan gerak dalam bentuk berikut:

(3)

di mana d adalah koefisien redaman, itu tergantung pada koefisien gesekan r,

w 0 - frekuensi siklik osilasi ideal (tanpa adanya gesekan).

Sebelum menyelesaikan persamaan (3), pertimbangkan rangkaian osilasi. Resistansi aktif kumparan dihubungkan secara seri dengan kapasitansi C dan induktansi L.

Mari kita tuliskan hukum kedua Kirchhoff

Mari kita pertimbangkan bahwa, , .

Maka hukum kedua Kirchhoff berbentuk:

Bagilah kedua ruas persamaan dengan:

Mari kita perkenalkan notasinya

Akhirnya kita mendapatkan

Perhatikan identitas matematis persamaan diferensial (3) dan (3'). Tidak ada yang mengejutkan. Kami telah menunjukkan identitas matematis absolut dari proses osilasi pendulum dan osilasi elektromagnetik di sirkuit. Jelas, proses osilasi redaman di sirkuit dan dalam sistem dengan gesekan kental juga terjadi dengan cara yang sama.

Dengan menyelesaikan persamaan (3), kita akan mendapatkan jawaban dari semua pertanyaan di atas.

Kita tahu solusi dari persamaan ini

Kemudian untuk persamaan yang diinginkan (3) kami memperoleh hasil akhir

Sangat mudah untuk melihat bahwa muatan kapasitor dalam rangkaian osilasi nyata akan berubah sesuai dengan hukum

Analisis hasil:

1 Sebagai akibat dari aksi bersama dari gaya kuasi-elastis dan gaya tahanan, sistem mungkin melakukan gerakan berosilasi. Untuk ini, kondisi w 0 2 - d 2 > 0. Dengan kata lain, gesekan dalam sistem harus kecil.

2 Frekuensi osilasi teredam w tidak sama dengan frekuensi osilasi sistem tanpa adanya gesekan w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . Seiring waktu, frekuensi osilasi teredam tetap tidak berubah.

Jika koefisien redaman d kecil, maka frekuensi osilasi teredam mendekati frekuensi alami w 0 .

Penurunan amplitudo ini terjadi secara eksponensial.

4 Jika w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

(4)

di mana .

Dengan substitusi langsung, mudah untuk memverifikasi bahwa fungsi (4) memang merupakan solusi untuk persamaan (3). Jelas, jumlah dua fungsi eksponensial bukan fungsi periodik. Dari sudut pandang fisik, ini berarti bahwa tidak akan ada osilasi dalam sistem. Setelah mengeluarkan sistem dari posisi kesetimbangan, perlahan-lahan akan kembali ke sana. Proses seperti ini disebut aperiodik .

2 Seberapa cepat osilasi meluruh dalam sistem dengan gesekan kental?

Penurunan redaman

nilai kuantitas. Dapat dilihat bahwa nilai d mencirikan laju redaman osilasi. Untuk alasan ini, d disebut faktor redaman.

Untuk osilasi listrik dalam rangkaian, koefisien atenuasi tergantung pada parameter koil: semakin besar resistansi aktif koil, semakin cepat amplitudo muatan pada kapasitor, tegangan, dan arus berkurang.

Fungsi tersebut merupakan hasil kali dari fungsi eksponensial menurun dan fungsi harmonik, jadi fungsi tersebut tidak harmonis. Tetapi ia memiliki tingkat "pengulangan" tertentu, yang terdiri dari fakta bahwa maksimum, minimum, nol dari fungsi terjadi pada interval yang teratur. Grafik fungsi adalah sinusoidal yang dibatasi oleh dua eksponen.

Mari kita cari perbandingan dua amplitudo berurutan yang dipisahkan oleh selang waktu satu periode. Hubungan ini disebut pengurangan redaman

Harap dicatat bahwa hasilnya tidak tergantung pada apakah Anda mempertimbangkan dua periode berturut-turut - pada awal gerakan osilasi atau setelah beberapa waktu berlalu. Untuk setiap periode, amplitudo osilasi berubah ukurannya tidak sama, tapi jumlah yang sama berkali-kali !!

Sangat mudah untuk melihat itu untuk interval waktu yang berbeda, amplitudo osilasi teredam berkurang dengan jumlah yang sama.

Waktu relaksasi

Waktu relaksasi disebut waktu selama amplitudo osilasi teredam berkurang e kali:

Kemudian .

Dari sini tidak sulit untuk menetapkan arti fisik dari koefisien atenuasi:

Dengan demikian, faktor redaman adalah kebalikan dari waktu relaksasi. Misalnya, dalam rangkaian osilasi, koefisien redaman sama dengan . Ini berarti bahwa setelah waktu s amplitudo osilasi akan berkurang sebesar e sekali.

Penurunan redaman logaritmik

Seringkali, tingkat redaman osilasi ditandai dengan penurunan redaman logaritmik. Untuk melakukan ini, ambil logaritma natural dari rasio amplitudo yang dipisahkan oleh periode waktu.

Mari kita cari tahu arti fisis dari penurunan redaman logaritmik.

Misalkan N adalah jumlah osilasi yang dilakukan oleh sistem selama waktu relaksasi, yaitu, jumlah osilasi selama amplitudo osilasi berkurang dalam e sekali. Jelas sekali, .

Dapat dilihat bahwa penurunan redaman logaritmik adalah kebalikan dari jumlah osilasi, setelah itu amplitudo menurun e sekali.

Misalkan, , ini berarti bahwa setelah 100 getaran, amplitudo akan berkurang sebesar e sekali.

Faktor kualitas sistem osilasi

Selain penurunan redaman logaritmik dan waktu relaksasi, laju redaman osilasi dapat dicirikan dengan nilai seperti faktor kualitas sistem berosilasi . Di bawah faktor kualitas

Dapat ditunjukkan bahwa untuk osilasi teredam lemah

Energi sistem osilasi pada titik waktu yang berubah-ubah sama dengan . Kehilangan energi selama suatu periode dapat ditemukan sebagai perbedaan antara energi pada suatu titik waktu dan energi setelah waktu yang sama dengan periode:

Kemudian

Fungsi eksponensial dapat diperluas menjadi deret pada<< 1. после подстановки получаем .

Saat menarik, kami memberlakukan batasan<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Rumus yang kami peroleh untuk faktor kualitas sistem belum mengatakan apa-apa. Katakanlah perhitungan memberikan nilai faktor kualitas Q = 10. Apa artinya ini? Seberapa cepat getaran meluruh? Apakah ini baik atau buruk?

Biasanya secara kondisional dianggap bahwa osilasi praktis berhenti jika energinya berkurang 100 kali (amplitudo - 10). Mari kita cari tahu berapa banyak osilasi yang dibuat sistem pada saat ini:

Kita dapat menjawab pertanyaan yang diajukan sebelumnya: N = 8.

Sistem osilasi mana yang lebih baik - dengan faktor kualitas besar atau kecil? Jawaban atas pertanyaan ini tergantung pada apa yang ingin Anda dapatkan dari sistem osilasi.

Jika Anda ingin sistem membuat osilasi sebanyak mungkin sebelum berhenti, faktor kualitas sistem harus ditingkatkan. Bagaimana? Karena faktor kualitas ditentukan oleh parameter sistem osilasi itu sendiri, maka perlu untuk memilih parameter ini dengan benar.

Misalnya, pendulum Foucault, dipasang di Katedral St. Isaac, seharusnya melakukan osilasi teredam lemah. Kemudian

Cara termudah untuk meningkatkan faktor kualitas pendulum adalah dengan membuatnya lebih berat.

Dalam praktiknya, masalah terbalik sering muncul: perlu untuk memadamkan osilasi yang muncul sesegera mungkin (misalnya, getaran panah alat ukur, getaran bodi mobil, getaran kapal, dll.) Perangkat yang memungkinkan peningkatan redaman dalam sistem disebut peredam (atau peredam kejut). Sebagai contoh, peredam kejut mobil pada pendekatan pertama adalah silinder berisi minyak (cairan kental), di mana piston dengan sejumlah lubang kecil dapat bergerak. Batang piston terhubung ke tubuh, dan silinder terhubung ke poros roda. Getaran tubuh yang dihasilkan dengan cepat memudar, karena piston yang bergerak menghadapi banyak hambatan dalam perjalanannya dari cairan kental yang mengisi silinder.

§ 3 Redaman getaran dalam sistem dengan gesekan kering

Redaman osilasi terjadi secara fundamental berbeda jika gaya gesekan geser bekerja dalam sistem. Dialah yang menjadi alasan berhentinya pendulum pegas, yang berosilasi di sepanjang permukaan apa pun.

Misalkan pendulum pegas, yang terletak di permukaan horizontal, dibawa ke dalam gerakan osilasi dengan menekan pegas dan melepaskan beban, yaitu dari posisi ekstrem. Dalam proses pemindahan suatu beban dari satu posisi ekstrim ke posisi ekstrim lainnya dipengaruhi oleh gaya gravitasi dan gaya reaksi tumpuan (vertikal), gaya elastisitas dan gaya gesek geser (sepanjang permukaan).

Perhatikan bahwa dalam proses bergerak dari kiri ke kanan, gaya gesekan tidak berubah dalam arah dan modulus.

Hal ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa selama paruh pertama periode pendulum pegas berada dalam medan gaya konstan.

Perpindahan posisi kesetimbangan dapat dihitung dari kondisi bahwa resultan sama dengan nol pada posisi kesetimbangan:
Adalah penting bahwa selama paruh pertama periode osilasi pendulum harmonis !

Ketika bergerak ke arah yang berlawanan - dari kanan ke kiri - gaya gesekan akan berubah arah, tetapi selama seluruh transisi itu akan tetap konstan dalam besar dan arah. Situasi ini sekali lagi sesuai dengan osilasi pendulum dalam medan gaya konstan. Hanya sekarang bidang ini berbeda! Itu berubah arah. Akibatnya, posisi keseimbangan saat bergerak dari kanan ke kiri juga berubah. Sekarang telah bergeser ke kanan dengan jumlah D aku 0 .

Mari kita gambarkan ketergantungan koordinat tubuh pada waktu. Karena untuk setiap setengah periode gerakan adalah osilasi harmonik, grafik akan menjadi bagian dari sinusoida, yang masing-masing dibangun relatif terhadap posisi kesetimbangannya. Kami akan melakukan operasi "solusi menjahit".

Mari kita tunjukkan bagaimana ini dilakukan dengan contoh spesifik.

Misal massa beban yang terikat pada pegas adalah 200 g, kekakuan pegas adalah 20 N/m, dan koefisien gesekan antara beban dan permukaan meja adalah 0,1. Bandul dibawa ke dalam gerakan osilasi dengan meregangkan pegas dengan

6,5 cm.

Berbeda dengan sistem osilasi dengan gesekan kental, dalam sistem dengan gesekan kering, amplitudo osilasi berkurang seiring waktu sesuai dengan hukum linier - untuk setiap periode berkurang dua lebar zona stagnasi.

Ciri khas lainnya adalah bahwa osilasi dalam sistem dengan gesekan kering, bahkan secara teoritis, tidak dapat terjadi tanpa batas. Mereka berhenti segera setelah tubuh berhenti di "zona stagnasi".

4 Contoh pemecahan masalah

Soal 1 Sifat perubahan amplitudo osilasi teredam dalam sistem dengan gesekan viskos

Amplitudo osilasi teredam bandul selama t 1 = 5 menit berkurang 2 kali. Dalam waktu t 2 amplitudo osilasi akan berkurang 8 kali? Setelah waktu t 3 berapakah kita dapat menganggap bahwa osilasi bandul telah berhenti?

Keputusan:

Amplitudo osilasi dalam sistem dengan gesekan kental dari waktu ke waktu

berkurang secara eksponensial , di mana amplitudo osilasi pada saat awal waktu, adalah faktor redaman.

1 Mari kita tuliskan hukum perubahan amplitudo dua kali

2 Kami memecahkan persamaan bersama-sama. Mengambil logaritma dari setiap persamaan, kita mendapatkan

Kami membagi persamaan kedua bukan yang pertama dan menemukan waktu t 2

4

Setelah transformasi, kita mendapatkan

Bagi persamaan terakhir dengan persamaan (*)

Tugas 2 Periode osilasi teredam dalam sistem dengan gesekan kental

Tentukan periode osilasi teredam dari sistem T, jika periode osilasi alami T 0 \u003d 1 s, dan penurunan redaman logaritmik. Berapa banyak osilasi yang akan dilakukan sistem ini sebelum benar-benar berhenti?

Keputusan:

1 Periode osilasi teredam dalam sistem dengan gesekan kental lebih besar dari periode osilasi alami (tanpa adanya gesekan dalam sistem). Frekuensi osilasi teredam, sebaliknya, lebih kecil dari frekuensi alami dan sama dengan , dimana adalah koefisien atenuasi.

2 Nyatakan frekuensi siklik melalui periode. dan memperhitungkan bahwa penurunan redaman logaritmik sama dengan:

3 Setelah transformasi, kita mendapatkan .

Energi sistem sama dengan energi potensial maksimum bandul

Setelah transformasi, kita mendapatkan

5 Kami menyatakan koefisien atenuasi dalam hal penurunan logaritmik , kami memperoleh

Banyaknya getaran yang dilakukan sistem sebelum berhenti sama dengan

Soal 3 Banyaknya getaran yang dilakukan bandul hingga amplitudonya menjadi setengahnya

Penurunan redaman logaritmik bandul sama dengan q = 3×10 -3 . Tentukan banyaknya osilasi lengkap yang harus dilakukan bandul agar amplitudo osilasinya berkurang 2 kali.

Keputusan:

3 Sangat mudah untuk melihat bahwa itu adalah penurunan redaman logaritmik. Kita mendapatkan

Mencari jumlah getaran

Tugas 4 Faktor kualitas sistem osilasi

Tentukan faktor kualitas bandul, jika selama 10 kali getaran dilakukan, amplitudonya berkurang 2 kali. Berapa lama pendulum berhenti?

Keputusan:

1 Amplitudo osilasi dalam sistem dengan gesekan viskos berkurang secara eksponensial terhadap waktu, di mana amplitudo osilasi pada saat awal waktu, adalah koefisien redaman.

Karena amplitudo osilasi berkurang 2 kali, kami memperoleh

2 Waktu osilasi dapat dinyatakan sebagai hasil kali periode osilasi dengan nomornya:

Substitusi nilai waktu yang dihasilkan ke dalam ekspresi (*)

3 Sangat mudah untuk melihat bahwa itu adalah penurunan redaman logaritmik. Kami mendapatkan penurunan redaman logaritmik sama dengan

4 Faktor kualitas sistem osilasi

Energi sistem sama dengan energi potensial maksimum bandul

Setelah transformasi, kita mendapatkan

Cari waktu setelah osilasi akan berhenti .

Tugas 5 Getaran magnet

Vasya Lisichkin, seorang peneliti terkenal di seluruh sekolah, memutuskan untuk membuat patung magnetis pahlawan sastra favoritnya, Kolobok, bergetar di sepanjang dinding lemari es. Dia menempelkan patung itu ke pegas dengan kekakuan k = 10 N/m, meregangkannya 10 cm, dan melepaskannya. Berapa getaran yang akan dilakukan oleh Gingerbread Man jika massa patung tersebut adalah m = 10 g, koefisien gesekan antara patung dan dinding adalah = 0,4 dan dapat dirobek dari dinding dengan gaya F = 0,5 N .

Keputusan:

1 Ketika bergerak dari posisi ekstrim bawah ke posisi ekstrim atas, ketika kecepatan beban diarahkan ke atas, gaya gesekan geser diarahkan ke bawah dan secara numerik sama dengan . Dengan demikian, pendulum pegas berada dalam medan gaya konstan yang diciptakan oleh gaya gravitasi dan gesekan. Dalam medan gaya konstan, pendulum menggeser posisi kesetimbangannya:

dimana regangan pegas pada "posisi keseimbangan" yang baru.

2 Ketika bergerak dari posisi ekstrim atas ke posisi ekstrim bawah, ketika kecepatan beban diarahkan ke bawah, gaya gesekan geser diarahkan ke atas dan secara numerik sama dengan . Dengan demikian, pendulum pegas kembali berada dalam medan gaya konstan yang diciptakan oleh gaya gravitasi dan gesekan. Dalam medan gaya konstan, pendulum menggeser posisi kesetimbangannya:

di mana deformasi pegas dalam "posisi keseimbangan" baru, tanda "-" mengatakan bahwa dalam posisi ini pegas dikompresi.

3 Zona stagnasi dibatasi oleh deformasi pegas dari - 1 cm hingga 3 cm dan 4 cm. Bagian tengah zona stagnasi, di mana deformasi pegas adalah 1 cm, sesuai dengan posisi beban di mana tidak ada gesekan memaksa. Di zona stagnasi, gaya elastis pegas lebih kecil dalam modulus daripada resultannya gaya gesekan statis maksimum dan gravitasi. Jika bandul berhenti di zona stagnasi, osilasi berhenti.

4 Untuk setiap periode, deformasi pegas dikurangi dengan dua lebar zona stagnasi, yaitu. sebesar 8 cm Setelah satu kali osilasi, deformasi pegas menjadi sebesar 10 cm - 8 cm = 2 cm, artinya setelah satu kali osilasi, sosok Kolobok memasuki zona stagnasi dan osilasinya berhenti.

5 Tugas untuk solusi independen

Uji "Getaran teredam"

1 Redaman getaran dipahami sebagai ...

A) penurunan frekuensi osilasi; B) penurunan periode osilasi;

C) penurunan amplitudo osilasi; D) penurunan fase osilasi.

2 Alasan redaman getaran bebas adalah

A) efek pada sistem faktor acak yang menghambat osilasi;

B) aksi kekuatan eksternal yang berubah secara berkala;

C) adanya gaya gesekan dalam sistem;

D) penurunan bertahap dalam gaya kuasi-elastis, yang cenderung mengembalikan bandul ke posisi setimbang.

?

A) 5 cm; B) 4 cm; C) 3 cm;

D) Tidak mungkin memberikan jawaban, karena waktunya tidak diketahui.

6 Dua bandul identik, berada di media kental yang berbeda, berosilasi. Amplitudo osilasi ini berubah dari waktu ke waktu seperti yang ditunjukkan pada gambar. Media mana yang memiliki gesekan lebih besar?

7 Dua bandul, berada di lingkungan yang sama, berosilasi. Amplitudo osilasi ini berubah dari waktu ke waktu seperti yang ditunjukkan pada gambar. Bandul manakah yang memiliki massa terbesar?

C) Tidak mungkin memberikan jawaban, karena skala tidak diatur di sepanjang sumbu koordinat dan tidak mungkin untuk melakukan perhitungan.

8 Gambar manakah yang benar menunjukkan ketergantungan koordinat osilasi teredam dalam sistem dengan gesekan viskos pada waktu?

A) 1; B) 2; DALAM 3; D. Semua grafik benar.

9 Tetapkan korespondensi antara besaran fisis yang mencirikan redaman osilasi dalam sistem dengan gesekan viskos, dan definisi serta makna fisisnya. Isi meja

A) Ini adalah rasio amplitudo osilasi setelah waktu yang sama dengan periode;

B) Ini adalah logaritma natural dari rasio amplitudo osilasi setelah waktu yang sama dengan periode;

C) Ini adalah waktu selama amplitudo osilasi berkurang dalam e sekali;

G) D) E)

G) Nilai ini adalah kebalikan dari jumlah osilasi, di mana amplitudo osilasi berkurang e sekali;

H) Nilai ini menunjukkan berapa kali amplitudo osilasi berkurang selama waktu yang sama dengan periode osilasi.

10 Buatlah pernyataan yang benar.

Kebaikan artinya...

A) rasio energi total sistem E meningkat dengan faktor 2p terhadap energi W yang hilang selama satu periode;

B) rasio amplitudo setelah periode waktu sama dengan periode;

C) jumlah osilasi yang dibuat sistem pada saat amplitudo berkurang e kali.

Faktor kualitas dihitung sesuai dengan rumus ...

TETAPI) B) C)

Faktor kualitas dari sistem osilasi tergantung pada ...

A) energi sistem;

B) kehilangan energi untuk periode tersebut;

C) parameter sistem osilasi dan gesekan di dalamnya.

Semakin besar faktor kualitas sistem osilasi, semakin

A) osilasi meluruh lebih lambat;

B) fluktuasi meluruh lebih cepat.

11 Pendulum matematis diatur ke dalam gerakan osilasi, menyimpang suspensi dari posisi kesetimbangan dalam kasus pertama sebesar 15°, dalam kasus kedua - sebesar 10°. Dalam hal apa bandul akan membuat lebih banyak osilasi sebelum berhenti?

A) Ketika gantungan dibelokkan sebesar 15°;

B) Ketika gantungan dibelokkan 10 °;

C) Dalam kedua kasus, bandul akan membuat jumlah getaran yang sama.

12 Bola dengan jari-jari yang sama diikat ke dua utas dengan panjang yang sama - aluminium dan tembaga. Pendulum diatur dalam gerakan osilasi, membelokkannya pada sudut yang sama. Manakah dari bandul yang akan melakukan osilasi paling banyak sebelum berhenti?

A) aluminium; B) Tembaga;

C. Kedua bandul akan membuat jumlah getaran yang sama.

13 Sebuah bandul pegas yang terletak pada bidang mendatar digetarkan dengan cara meregangkan pegas sebesar 9 cm. Setelah melakukan tiga kali getaran penuh, bandul berada pada jarak 6 cm dari posisi pegas yang tidak berubah bentuk. Berapa jauh dari posisi pegas yang tidak berbentuk bandul setelah tiga osilasi berikutnya?

A) 5 cm; B) 4 cm; C.3cm

getaran teredam

Getaran teredam dari pendulum pegas

getaran teredam- fluktuasi, energi yang berkurang seiring waktu. Proses spesies yang berlanjut tanpa batas tidak mungkin terjadi di alam. Osilasi bebas dari osilator mana pun cepat atau lambat akan memudar dan berhenti. Oleh karena itu, dalam praktiknya, seseorang biasanya berurusan dengan osilasi teredam. Mereka dicirikan oleh fakta bahwa amplitudo osilasi A adalah fungsi menurun. Biasanya, redaman terjadi di bawah aksi gaya resistensi media, paling sering dinyatakan sebagai ketergantungan linier pada kecepatan osilasi atau kuadratnya.

Dalam akustik: redaman - mengurangi level sinyal hingga tidak terdengar sepenuhnya.

Getaran teredam dari pendulum pegas

Misalkan ada sistem yang terdiri dari pegas (mematuhi hukum Hooke), yang satu ujungnya kaku, dan di ujung lainnya ada benda bermassa m. Osilasi terjadi dalam media di mana gaya resistensi sebanding dengan kecepatan dengan koefisien c(lihat gesekan kental).

Akar-akarnya dihitung dengan rumus berikut:

Solusi

Bergantung pada nilai koefisien atenuasi, solusinya dibagi menjadi tiga opsi yang memungkinkan.

• aperiodisitas

Jika , maka ada dua akar real, dan solusi persamaan diferensial berbentuk:

Dalam hal ini, osilasi meluruh secara eksponensial sejak awal.

• Batas aperiodisitas

Jika , kedua akar realnya sama, dan solusi persamaannya adalah:

Dalam hal ini, mungkin ada peningkatan sementara, tetapi kemudian pembusukan eksponensial.

• Atenuasi yang lemah

Jika , maka solusi persamaan karakteristik adalah dua akar konjugasi kompleks

Maka solusi persamaan diferensial awal adalah

Dimana adalah frekuensi alami osilasi teredam.

Konstanta dan dalam setiap kasus ditentukan dari kondisi awal:

Lihat juga

• Penurunan redaman

literatur

Lit.: Saveliev I. V., Kursus Fisika Umum: Mekanika, 2001.

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa itu "Osilasi Teredam" di kamus lain:

getaran teredam- Getaran teredam. DAMING OSCILLATIONS, getaran yang amplitudo A berkurang seiring waktu karena kehilangan energi: konversi energi getaran menjadi panas sebagai akibat gesekan dalam sistem mekanis (misalnya, pada titik suspensi ... ... Kamus Ensiklopedis Bergambar

Osilasi alami, amplitudo A berkurang dengan waktu t menurut hukum eksponensial (t) = оexp (?t) (? indeks redaman karena disipasi energi karena gaya gesekan kental untuk osilasi teredam mekanis dan ohmik ... . .. Kamus Ensiklopedis Besar

Fluktuasi, yang amplitudonya berkurang secara bertahap, misalnya. osilasi pendulum mengalami hambatan udara dan gesekan pada suspensi. Semua getaran bebas yang terjadi di alam, pada tingkat yang lebih besar atau lebih kecil, Z. K. Electric Z. K. ... ... Marine Dictionary

getaran teredam- Getaran mekanis dengan nilai kisaran koordinat umum atau turunan waktunya yang menurun terhadap waktu. [Koleksi istilah yang direkomendasikan. Edisi 106. Getaran mekanis. Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet. Komite Ilmiah dan Teknis ... ... Buku Pegangan Penerjemah Teknis

getaran teredam- (GETARAN) fluktuasi (getaran) dengan penurunan nilai puncak-ke-puncak… Ensiklopedia Rusia tentang perlindungan tenaga kerja

Osilasi alami sistem, amplitudo A berkurang dengan waktu t menurut hukum eksponensial A(t) = A0exp(?α t) (α indeks redaman) karena disipasi energi karena gaya gesekan kental untuk osilasi teredam mekanis dan ohmik ... ... kamus ensiklopedis

getaran teredam- 31. Osilasi teredam Osilasi dengan penurunan nilai amplitudo Sumber ... Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis

Osilasi alami sistem, amplitudo A k ryh berkurang dengan waktu t menurut hukum eksponensial A (t) = Aoeexp (at) (indeks redaman) karena disipasi energi karena gaya gesekan kental untuk mekanik. 3. to dan resistansi ohmik untuk el ... Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis

getaran teredam- silpstantieji virpesiai status sebagai T sritis automatika atitikmenys: angl. osilasi teredam vok. gedämpfte Schwingung, dari rus. osilasi teredam, n pranc. osilasi amortitas, f; oscillations décroissantes, f … Automatikos terminų odynas

getaran teredam- slopinamieji virpesiai status sebagai T sritis fizika atitikmenys: angl. osilasi teredam; getaran teredam; osilasi sekarat vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, dari rus. osilasi teredam, n pranc. osilasi amortitas, f … Fizikos terminų odynas