Diskriminan, serta persamaan kuadrat, mulai dipelajari di mata kuliah aljabar di kelas 8. Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat melalui diskriminan dan menggunakan teorema Vieta. Metodologi untuk mempelajari persamaan kuadrat, serta rumus diskriminan, agak gagal ditanamkan pada anak sekolah, seperti banyak dalam pendidikan nyata. Oleh karena itu, tahun sekolah berlalu, pendidikan di kelas 9-11 menggantikan "pendidikan tinggi" dan semua orang kembali mencari - "Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat?", "Bagaimana menemukan akar persamaan?", "Bagaimana menemukan diskriminannya?" dan...

Rumus Diskriminan

Diskriminan D dari persamaan kuadrat a*x^2+bx+c=0 adalah D=b^2–4*a*c.
Akar (solusi) persamaan kuadrat bergantung pada tanda diskriminan (D):
D>0 - persamaan memiliki 2 akar real yang berbeda;
D=0 - persamaan memiliki 1 akar (2 akar yang bertepatan):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Rumus untuk menghitung diskriminan cukup sederhana, sehingga banyak situs menawarkan kalkulator diskriminan online. Kami belum menemukan skrip semacam ini, jadi siapa yang tahu bagaimana menerapkan ini, silakan tulis ke surat Alamat email ini dilindungi dari robot spam. Anda harus mengaktifkan JavaScript untuk melihat. .

Rumus umum untuk mencari akar persamaan kuadrat:

Akar persamaan ditemukan dengan rumus
Jika koefisien variabel dalam kuadrat dipasangkan, maka disarankan untuk menghitung bukan diskriminan, tetapi bagian keempatnya
Dalam kasus seperti itu, akar persamaan ditemukan dengan rumus

Cara kedua untuk mencari akar adalah Teorema Vieta.

Teorema dirumuskan tidak hanya untuk persamaan kuadrat, tetapi juga untuk polinomial. Anda dapat membaca ini di Wikipedia atau sumber elektronik lainnya. Namun, untuk menyederhanakan, perhatikan bagian yang berkaitan dengan persamaan kuadrat tereduksi, yaitu persamaan bentuk (a=1)
Inti dari rumus Vieta adalah bahwa jumlah akar persamaan sama dengan koefisien variabel, diambil dengan tanda yang berlawanan. Produk dari akar-akar persamaan sama dengan suku bebas. Rumus teorema Vieta memiliki notasi.
Turunan dari formula Vieta cukup sederhana. Mari kita tulis persamaan kuadrat dalam hal faktor prima
Seperti yang Anda lihat, segala sesuatu yang cerdik itu sederhana pada saat yang bersamaan. Rumus Vieta efektif digunakan jika selisih modulus akar atau selisih modulus akar adalah 1, 2. Misalnya, persamaan berikut, menurut teorema Vieta, memiliki akar




Hingga 4 analisis persamaan akan terlihat seperti ini. Hasil kali akar-akar persamaan adalah 6, sehingga akar-akarnya dapat berupa nilai (1, 6) dan (2, 3) atau berpasangan dengan tanda yang berlawanan. Jumlah akarnya adalah 7 (koefisien variabel dengan tanda yang berlawanan). Dari sini kita menyimpulkan bahwa solusi persamaan kuadrat sama dengan x=2; x=3.
Lebih mudah untuk memilih akar persamaan di antara pembagi suku bebas, mengoreksi tandanya untuk memenuhi rumus Vieta. Pada awalnya, hal ini tampaknya sulit untuk dilakukan, tetapi dengan latihan pada sejumlah persamaan kuadrat, teknik ini akan lebih efisien daripada menghitung diskriminan dan menemukan akar persamaan kuadrat dengan cara klasik.
Seperti yang Anda lihat, teori sekolah untuk mempelajari diskriminan dan cara menemukan solusi persamaan tidak memiliki makna praktis - "Mengapa anak sekolah membutuhkan persamaan kuadrat?", "Apa arti fisis dari diskriminan?".

Mari kita coba mencari tahu apa yang dideskripsikan oleh diskriminan?

Dalam kursus aljabar, mereka mempelajari fungsi, skema untuk mempelajari fungsi dan memplot fungsi. Dari semua fungsi, tempat penting ditempati oleh parabola, yang persamaannya dapat ditulis dalam bentuk
Jadi arti fisis persamaan kuadrat adalah nol parabola, yaitu titik potong grafik fungsi dengan sumbu absis Ox
Saya meminta Anda untuk mengingat sifat-sifat parabola yang dijelaskan di bawah ini. Waktunya akan tiba untuk mengikuti ujian, tes, atau ujian masuk dan Anda akan berterima kasih atas bahan referensinya. Tanda variabel pada bujur sangkar sesuai dengan apakah cabang parabola pada grafik akan naik (a>0),

atau parabola dengan cabang ke bawah (a<0) .

Titik puncak parabola terletak di tengah-tengah antara akar-akarnya

Arti fisik dari diskriminan:

Jika diskriminan lebih besar dari nol (D>0), parabola memiliki dua titik potong dengan sumbu Ox.
Jika diskriminan sama dengan nol (D=0), maka parabola di atas menyentuh sumbu x.
Dan kasus terakhir, ketika diskriminan kurang dari nol (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Persamaan kuadrat tidak lengkap

persamaan kuadrat. diskriminatif. Solusi, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Jenis persamaan kuadrat

Apa itu persamaan kuadrat? Seperti apa bentuknya? Dalam ketentuan persamaan kuadrat kata kuncinya adalah "kotak". Artinya dalam persamaan perlu harus ada x kuadrat. Selain itu, dalam persamaan mungkin ada (atau mungkin tidak!) Hanya x (sampai tingkat pertama) dan hanya angka (anggota bebas). Dan tidak boleh ada x dalam derajat yang lebih besar dari dua.

Dalam istilah matematika, persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk:

Di Sini a, b dan c- beberapa nomor. b dan c- benar-benar ada, tapi sebuah- apa pun kecuali nol. Sebagai contoh:

Di Sini sebuah =1; b = 3; c = -4

Di Sini sebuah =2; b = -0,5; c = 2,2

Di Sini sebuah =-3; b = 6; c = -18

Nah, Anda mendapatkan ide ...

Dalam persamaan kuadrat ini, di sebelah kiri, ada set lengkap anggota. x kuadrat dengan koefisien sebuah, x pangkat pertama dengan koefisien b dan anggota gratis

Persamaan kuadrat seperti itu disebut menyelesaikan.

Dan jika b= 0, apa yang akan kita dapatkan? Kita punya X akan menghilang di tingkat pertama. Ini terjadi dari mengalikan dengan nol.) Ternyata, misalnya:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Dll. Dan jika kedua koefisien b dan c sama dengan nol, maka lebih sederhana:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Persamaan seperti itu, di mana ada sesuatu yang hilang, disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Yang cukup logis.) Harap dicatat bahwa x kuadrat ada di semua persamaan.

Ngomong-ngomong kenapa sebuah tidak bisa nol? Dan kamu menggantikannya sebuah nol.) X di kotak akan hilang! Persamaan akan menjadi linier. Dan itu dilakukan secara berbeda ...

Itu semua jenis utama persamaan kuadrat. Lengkap dan tidak lengkap.

Solusi persamaan kuadrat.

Solusi persamaan kuadrat lengkap.

Persamaan kuadrat mudah diselesaikan. Menurut rumus dan aturan sederhana yang jelas. Pada tahap pertama, perlu untuk membawa persamaan yang diberikan ke bentuk standar, yaitu. ke tampilan:

Jika persamaan sudah diberikan kepada Anda dalam bentuk ini, Anda tidak perlu melakukan tahap pertama.) Hal utama adalah menentukan semua koefisien dengan benar, sebuah, b dan c.

Rumus untuk menemukan akar persamaan kuadrat terlihat seperti ini:

Ekspresi di bawah tanda akar disebut pembeda. Tetapi lebih banyak tentang dia di bawah ini. Seperti yang Anda lihat, untuk menemukan x, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. koefisien dari persamaan kuadrat. Ganti nilainya dengan hati-hati a, b dan c ke dalam rumus ini dan menghitung. Pengganti dengan tanda-tanda Anda! Misalnya, dalam persamaan:

sebuah =1; b = 3; c= -4. Di sini kami menulis:

Contoh hampir terpecahkan:

Ini adalah jawabannya.

Semuanya sangat sederhana. Dan bagaimana menurut Anda, Anda tidak bisa salah? Nah, ya, bagaimana ...

Kesalahan yang paling umum adalah kebingungan dengan tanda-tanda nilai a, b dan c. Atau lebih tepatnya, tidak dengan tanda-tandanya (di mana harus bingung?), Tetapi dengan substitusi nilai negatif ke dalam rumus untuk menghitung akar. Di sini, catatan detail rumus dengan nomor tertentu disimpan. Jika ada masalah dengan perhitungan, jadi lakukanlah!

Misalkan kita perlu memecahkan contoh berikut:

Di Sini sebuah = -6; b = -5; c = -1

Katakanlah Anda tahu bahwa Anda jarang mendapatkan jawaban pertama kali.

Nah, jangan malas. Ini akan memakan waktu 30 detik untuk menulis baris tambahan. Dan jumlah kesalahan akan turun tajam. Jadi kami menulis secara rinci, dengan semua tanda kurung dan tanda:

Tampaknya sangat sulit untuk melukis dengan sangat hati-hati. Tapi sepertinya. Cobalah. Nah, atau memilih. Mana yang lebih baik, cepat, atau benar? Selain itu, aku akan membuatmu bahagia. Setelah beberapa saat, tidak perlu mengecat semuanya dengan sangat hati-hati. Itu hanya akan menjadi benar. Terutama jika Anda menerapkan teknik praktis, yang dijelaskan di bawah ini. Contoh jahat dengan banyak minus ini akan diselesaikan dengan mudah dan tanpa kesalahan!

Tapi, seringkali, persamaan kuadrat terlihat sedikit berbeda. Misalnya, seperti ini:

Tahukah kamu?) Ya! Ini persamaan kuadrat tidak lengkap.

Penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap.

Mereka juga dapat diselesaikan dengan rumus umum. Anda hanya perlu mencari tahu dengan benar apa yang setara di sini a, b dan c.

Menyadari? Pada contoh pertama a = 1; b = -4; sebuah c? Itu tidak ada sama sekali! Yah, ya, itu benar. Dalam matematika, ini berarti bahwa c = 0 ! Itu saja. Substitusikan nol ke dalam rumus alih-alih c, dan semuanya akan berhasil bagi kita. Begitu pula dengan contoh kedua. Hanya nol yang tidak kita miliki di sini dengan, sebuah b !

Tetapi persamaan kuadrat yang tidak lengkap dapat diselesaikan dengan lebih mudah. Tanpa formula apapun. Pertimbangkan persamaan pertama yang tidak lengkap. Apa yang bisa dilakukan di sisi kiri? Anda dapat mengeluarkan X dari tanda kurung! Mari kita keluarkan.

Dan apa dari ini? Dan fakta bahwa produk sama dengan nol jika, dan hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol! Tidak percaya? Nah, kemudian temukan dua angka bukan nol yang, ketika dikalikan, akan menghasilkan nol!
Tidak bekerja? Sesuatu...
Oleh karena itu, kita dapat dengan yakin menulis: x 1 = 0, x 2 = 4.

Semuanya. Ini akan menjadi akar persamaan kita. Keduanya cocok. Saat memasukkan salah satu dari mereka ke dalam persamaan asli, kami mendapatkan identitas yang benar 0 = 0. Seperti yang Anda lihat, solusinya jauh lebih sederhana daripada rumus umum. Omong-omong, saya perhatikan, X mana yang akan menjadi yang pertama, dan mana yang kedua - itu benar-benar acuh tak acuh. Mudah untuk menulis secara berurutan x 1- mana yang lebih kecil x 2- yang lebih.

Persamaan kedua juga dapat dengan mudah diselesaikan. Kami pindah 9 ke sisi kanan. Kita mendapatkan:

Tetap mengekstrak root dari 9, dan hanya itu. Mendapatkan:

juga dua akar . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ini adalah bagaimana semua persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan. Baik dengan mengeluarkan X dari kurung, atau hanya dengan memindahkan nomor ke kanan, diikuti dengan mengekstrak akarnya.
Sangat sulit untuk membingungkan metode ini. Hanya karena dalam kasus pertama Anda harus mengekstrak root dari X, yang entah bagaimana tidak dapat dipahami, dan dalam kasus kedua tidak ada yang bisa dihilangkan dari tanda kurung ...

diskriminatif. Formula diskriminan.

Kata ajaib pembeda ! Seorang siswa sekolah menengah yang langka belum pernah mendengar kata ini! Ungkapan "putuskan melalui diskriminan" adalah meyakinkan dan meyakinkan. Karena tidak perlu menunggu trik dari pembeda! Ini sederhana dan bebas masalah untuk digunakan.) Saya mengingatkan Anda tentang rumus paling umum untuk menyelesaikannya setiap persamaan kuadrat:

Ekspresi di bawah tanda akar disebut diskriminan. Diskriminan biasanya dilambangkan dengan huruf D. Rumus diskriminan:

D = b 2 - 4ac

Dan apa yang istimewa dari ungkapan ini? Mengapa itu layak mendapat nama khusus? Apa pengertian diskriminan? Lagipula -b, atau 2a dalam rumus ini mereka tidak secara khusus menyebutkan ... Huruf dan huruf.

Intinya adalah ini. Saat memecahkan persamaan kuadrat menggunakan rumus ini, dimungkinkan hanya tiga kasus.

1. Diskriminannya positif. Ini berarti Anda dapat mengekstrak root darinya. Apakah root diekstraksi dengan baik atau buruk adalah pertanyaan lain. Penting apa yang diekstraksi pada prinsipnya. Maka persamaan kuadrat Anda memiliki dua akar. Dua solusi yang berbeda.

2. Diskriminan adalah nol. Maka Anda punya satu solusi. Karena penambahan atau pengurangan nol pada pembilang tidak mengubah apa pun. Sebenarnya, ini bukan akar tunggal, tapi dua identik. Tapi, dalam versi yang disederhanakan, sudah biasa dibicarakan satu solusi.

3. Diskriminan bernilai negatif. Bilangan negatif tidak mengambil akar kuadrat. Yah, oke. Ini berarti tidak ada solusi.

Sejujurnya, dengan solusi sederhana persamaan kuadrat, konsep diskriminan tidak terlalu diperlukan. Kami mengganti nilai koefisien dalam rumus, dan kami mempertimbangkan. Di sana semuanya ternyata dengan sendirinya, dan dua akar, dan satu, dan tidak satu pun. Namun, ketika menyelesaikan tugas yang lebih kompleks, tanpa pengetahuan arti dan rumus diskriminan tidak cukup. Terutama - dalam persamaan dengan parameter. Persamaan tersebut adalah aerobatik untuk GIA dan Unified State Examination!)

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadrat melalui diskriminan yang Anda ingat. Atau dipelajari, yang juga tidak buruk.) Anda tahu cara mengidentifikasi dengan benar a, b dan c. Apa kamu tau bagaimana caranya dengan penuh perhatian substitusikan ke dalam rumus akar dan dengan penuh perhatian menghitung hasilnya. Apakah Anda mengerti bahwa kata kuncinya di sini adalah - dengan penuh perhatian?

Sekarang perhatikan teknik praktis yang secara dramatis mengurangi jumlah kesalahan. Yang justru karena kurangnya perhatian ... Yang kemudian menyakitkan dan menghina ...

Resepsi pertama . Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat untuk membawanya ke bentuk standar. Apa artinya ini?
Misalkan, setelah transformasi apa pun, Anda mendapatkan persamaan berikut:

Jangan buru-buru menulis rumus akarnya! Anda hampir pasti akan mencampuradukkan peluang a, b dan c. Bangun contoh dengan benar. Pertama, x kuadrat, lalu tanpa kuadrat, lalu anggota bebas. Seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan terburu-buru! Minus sebelum x kuadrat dapat membuat Anda sangat kesal. Melupakan itu mudah... Singkirkan minusnya. Bagaimana? Ya, seperti yang diajarkan pada topik sebelumnya! Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Dan sekarang Anda dapat dengan aman menuliskan rumus untuk akar, menghitung diskriminan dan menyelesaikan contoh. Putuskan sendiri. Anda harus berakhir dengan akar 2 dan -1.

Penerimaan kedua. Periksa akar Anda! Menurut teorema Vieta. Jangan khawatir, saya akan menjelaskan semuanya! memeriksa hal terakhir persamaan. Itu. yang dengannya kami menuliskan rumus akarnya. Jika (seperti dalam contoh ini) koefisien a = 1, periksa akarnya dengan mudah. Itu sudah cukup untuk memperbanyak mereka. Anda harus mendapatkan istilah gratis, mis. dalam kasus kami -2. Perhatikan, bukan 2, tapi -2! anggota gratis dengan tanda Anda . Jika tidak berhasil, itu berarti mereka sudah kacau di suatu tempat. Cari kesalahan.

Jika berhasil, Anda perlu melipat akarnya. Pemeriksaan terakhir dan terakhir. Seharusnya rasio b dengan di depan tanda. Dalam kasus kami -1+2 = +1. Sebuah koefisien b, yang sebelum x, sama dengan -1. Jadi, semuanya benar!
Sangat disayangkan bahwa ini sangat sederhana hanya untuk contoh di mana x kuadrat murni, dengan koefisien a = 1. Tapi setidaknya periksa persamaan seperti itu! Akan ada lebih sedikit kesalahan.

Penerimaan ketiga . Jika persamaan Anda memiliki koefisien pecahan, singkirkan pecahan! Kalikan persamaan dengan penyebut yang sama seperti yang dijelaskan dalam pelajaran "Bagaimana menyelesaikan persamaan? Transformasi identitas". Saat bekerja dengan pecahan, kesalahan, karena alasan tertentu, naik ...

Omong-omong, saya menjanjikan contoh jahat dengan banyak minus untuk disederhanakan. Sama sama! Itu dia.

Agar tidak bingung dengan minus, kami mengalikan persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Itu saja! Memutuskan itu menyenangkan!

Jadi mari kita rekap topik.

Tip Praktis:

1. Sebelum menyelesaikan, kita bawa persamaan kuadrat ke bentuk standar, bangunlah Baik.

2. Jika ada koefisien negatif di depan x dalam bujur sangkar, kita hilangkan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan -1.

3. Jika koefisiennya pecahan, kita hilangkan pecahan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan faktor yang sesuai.

4. Jika x kuadrat murni, koefisiennya sama dengan satu, solusinya dapat dengan mudah diperiksa menggunakan teorema Vieta. Lakukan!

Sekarang Anda dapat memutuskan.)

Selesaikan Persamaan:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Jawaban (berantakan):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - angka berapa pun

x 1 = -3
x 2 = 3

tidak ada solusi

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Apakah semuanya cocok? Bagus! Persamaan kuadrat tidak membuat Anda pusing. Tiga yang pertama ternyata, tetapi sisanya tidak? Maka masalahnya bukan pada persamaan kuadrat. Masalahnya adalah dalam transformasi persamaan yang identik. Lihat linknya, semoga bermanfaat.

Tidak cukup berhasil? Atau tidak berfungsi sama sekali? Kemudian Bagian 555 akan membantu Anda Di sana, semua contoh ini diurutkan berdasarkan tulang. Menampilkan utama kesalahan dalam penyelesaian. Tentu saja, penerapan transformasi identik dalam menyelesaikan berbagai persamaan juga dijelaskan. Membantu banyak!

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Misalnya, untuk trinomial \(3x^2+2x-7\), diskriminannya adalah \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Dan untuk trinomial \(x^2-5x+11\), itu akan sama dengan \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminan dilambangkan dengan huruf \(D\) dan sering digunakan saat menyelesaikan. Juga, dengan nilai diskriminan, Anda dapat memahami seperti apa grafik itu (lihat di bawah).

Diskriminan dan akar persamaan kuadrat

Nilai diskriminan menunjukkan jumlah persamaan kuadrat:
- jika \(D\) positif, persamaan akan memiliki dua akar;
- jika \(D\) sama dengan nol - hanya satu akar;
- jika \(D\) negatif, tidak ada akar.

Ini tidak perlu diajarkan, mudah untuk sampai pada kesimpulan seperti itu, cukup mengetahui bahwa dari diskriminan (yaitu, \(\sqrt(D)\) dimasukkan dalam rumus untuk menghitung akar persamaan kuadrat : \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2a)\) Mari kita lihat setiap kasus lebih lanjut.

Jika diskriminannya positif

Dalam hal ini, akarnya adalah suatu bilangan positif, yang berarti \(x_(1)\) dan \(x_(2)\) akan berbeda nilainya, karena pada rumus pertama \(\sqrt(D) \) ditambahkan , dan yang kedua - dikurangi. Dan kami memiliki dua akar yang berbeda.

Contoh : Temukan akar-akar persamaan \(x^2+2x-3=0\)
Keputusan :

Menjawab : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Jika diskriminan adalah nol

Dan berapa banyak akar jika diskriminannya nol? Mari kita bernalar.

Rumus akar terlihat seperti ini: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Dan jika diskriminannya nol, maka akarnya juga nol. Kemudian ternyata:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Artinya, nilai akar persamaan akan cocok, karena penambahan atau pengurangan nol tidak mengubah apa pun.

Contoh : Cari akar persamaan \(x^2-4x+4=0\)
Keputusan :

\(x^2-4x+4=0\)		Kami menulis koefisien:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Hitung diskriminan menggunakan rumus \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Mencari akar persamaan
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Kami memiliki dua akar yang identik, jadi tidak masuk akal untuk menuliskannya secara terpisah - kami menuliskannya sebagai satu.

Menjawab : \(x=2\)

Mari kita pertimbangkan tugasnya. Panjang alas persegi panjang 10 cm dari tingginya, dan luasnya 24 cm². Cari tinggi persegi panjang. Biarlah X sentimeter adalah tinggi persegi panjang, maka alasnya adalah ( X+10) cm. Luas persegi panjang tersebut adalah X(X+ 10) cm². Sesuai tugas X(X+ 10) = 24. Memperluas tanda kurung dan memindahkan angka 24 dengan tanda yang berlawanan ke sisi kiri persamaan, kita mendapatkan: X² + 10 X-24 = 0. Saat menyelesaikan soal ini, diperoleh sebuah persamaan, yang disebut persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk

kapak ²+ bx+c= 0

di mana a, b, c diberi nomor, dan sebuah 0, dan X- tidak dikenal.

Kemungkinan a, b, c Persamaan kuadrat biasanya disebut seperti ini: sebuah- koefisien pertama atau tertinggi, b- koefisien kedua, c- anggota gratis. Misalnya, dalam masalah kita, koefisien senior adalah 1, koefisien kedua adalah 10, suku bebasnya adalah -24. Solusi dari banyak masalah matematika dan fisika direduksi menjadi solusi persamaan kuadrat.

Memecahkan persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat lengkap. Langkah pertama adalah membawa persamaan yang diberikan ke bentuk standar kapak²+ bx+ c= 0. Mari kita kembali ke masalah kita, di mana persamaan dapat ditulis sebagai X(X+ 10) = 24 mari kita bawa ke bentuk standar, buka tanda kurung X² + 10 X- 24 = 0, kita selesaikan persamaan ini menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat umum.

Ekspresi di bawah tanda akar dalam rumus ini disebut diskriminan D = b² - 4 ac

Jika D>0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang berbeda, yang dapat ditemukan dengan rumus akar-akar persamaan kuadrat.

Jika D=0, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar.

Jika D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Gantikan nilai dalam rumus kami sebuah= 1, b= 10, c= -24.

kita mendapatkan D>0, jadi kita mendapatkan dua akar.

Pertimbangkan contoh di mana D=0, dalam kondisi ini, satu akar harus diperoleh.

25x² - 30 x+ 9 = 0

Perhatikan contoh di mana D<0, при этом условии решения не должно быть.

2x² + 3 x+ 4 = 0

Bilangan di bawah tanda akar (diskriminan) negatif, kita tulis jawabannya sebagai berikut: persamaan tidak memiliki akar real.

Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

Persamaan kuadrat kapak² + bx+ c= 0 disebut tidak lengkap jika setidaknya salah satu dari koefisien b atau c sama dengan nol. Persamaan kuadrat tidak lengkap adalah persamaan dari salah satu jenis berikut:

kapak² = 0,

kapak² + c= 0, c≠ 0,

kapak² + bx= 0, b≠ 0.

Perhatikan beberapa contoh, selesaikan persamaannya

Membagi kedua ruas persamaan dengan 5, kita mendapatkan persamaan X² = 0, jawabannya akan memiliki satu akar X= 0.

Pertimbangkan persamaan bentuk

3X² - 27 = 0

Membagi kedua sisi dengan 3, kita mendapatkan persamaan X² - 9 = 0, atau dapat ditulis X² = 9, jawabannya akan memiliki dua akar X= 3 dan X= -3.

Pertimbangkan persamaan bentuk

2X² + 7 = 0

Membagi kedua sisi dengan 2, kita mendapatkan persamaan X² = -7/2. Persamaan ini tidak memiliki akar real karena X² 0 untuk sembarang bilangan real X.

Pertimbangkan persamaan bentuk

3X² + 5 X= 0

Memfaktorkan ruas kiri persamaan, kita peroleh X(3X+ 5) = 0, jawabannya akan memiliki dua akar X= 0, X=-5/3.

Hal terpenting saat menyelesaikan persamaan kuadrat adalah membawa persamaan kuadrat ke bentuk standar, menghafal rumus akar persamaan kuadrat umum dan tidak bingung dengan tanda-tandanya.

Melanjutkan topik “Menyelesaikan Persamaan”, materi dalam artikel ini akan memperkenalkan Anda pada persamaan kuadrat.

Mari kita pertimbangkan semuanya secara rinci: esensi dan notasi persamaan kuadrat, mengatur istilah yang menyertainya, menganalisis skema untuk menyelesaikan persamaan yang tidak lengkap dan lengkap, berkenalan dengan rumus akar dan diskriminan, membangun hubungan antara akar dan koefisien, dan Tentu saja kami akan memberikan solusi visual dari contoh-contoh praktis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Persamaan kuadrat, jenisnya

Definisi 1

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang ditulis sebagai a x 2 + b x + c = 0, di mana x– variabel, a , b dan c adalah beberapa angka, sedangkan sebuah tidak nol.

Seringkali, persamaan kuadrat juga disebut persamaan derajat kedua, karena sebenarnya persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar derajat kedua.

Mari kita beri contoh untuk menggambarkan definisi yang diberikan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, dst. adalah persamaan kuadrat.

Definisi 2

Bilangan a , b dan c adalah koefisien persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0, sedangkan koefisien sebuah disebut yang pertama, atau senior, atau koefisien di x 2, b - koefisien kedua, atau koefisien di x, sebuah c disebut anggota bebas.

Misalnya, dalam persamaan kuadrat 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 koefisien tertinggi adalah 6 , koefisien kedua adalah − 2 , dan suku bebasnya sama dengan − 11 . Mari kita perhatikan fakta bahwa ketika koefisien b dan/atau c negatif, maka bentuk singkatan yang digunakan 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, tapi tidak 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Mari kita juga memperjelas aspek ini: jika koefisien sebuah dan/atau b setara 1 atau − 1 , maka mereka mungkin tidak mengambil bagian eksplisit dalam menulis persamaan kuadrat, yang dijelaskan oleh kekhasan penulisan koefisien numerik yang ditunjukkan. Misalnya, dalam persamaan kuadrat y 2 y + 7 = 0 koefisien senior adalah 1 dan koefisien kedua adalah − 1 .

Persamaan kuadrat tereduksi dan tak tereduksi

Menurut nilai koefisien pertama, persamaan kuadrat dibagi menjadi berkurang dan tidak berkurang.

Definisi 3

Persamaan kuadrat berkurang adalah persamaan kuadrat di mana koefisien terkemuka adalah 1 . Untuk nilai lain dari koefisien terkemuka, persamaan kuadrat tidak direduksi.

Berikut adalah beberapa contoh: persamaan kuadrat x 2 4 · x + 3 = 0 , x 2 x 4 5 = 0 dikurangi, di mana masing-masing koefisien utamanya adalah 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- persamaan kuadrat yang tidak direduksi, di mana koefisien pertama berbeda dari 1 .

Setiap persamaan kuadrat yang tidak tereduksi dapat diubah menjadi persamaan tereduksi dengan membagi kedua bagiannya dengan koefisien pertama (transformasi ekuivalen). Persamaan yang ditransformasi akan memiliki akar yang sama dengan persamaan tak tereduksi yang diberikan atau juga tidak memiliki akar sama sekali.

Pertimbangan contoh spesifik akan memungkinkan kita untuk dengan jelas menunjukkan transisi dari persamaan kuadrat tak tereduksi ke persamaan tereduksi.

Contoh 1

Diketahui persamaan 6 x 2 + 18 x 7 = 0 . Hal ini diperlukan untuk mengubah persamaan asli ke dalam bentuk tereduksi.

Keputusan

Menurut skema di atas, kami membagi kedua bagian persamaan asli dengan koefisien utama 6 . Kemudian kita mendapatkan: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, dan ini sama dengan: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 7: 3 = 0 dan selanjutnya: (6: 6) x 2 + (18: 6) x 7: 6 = 0 . Dari sini: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Dengan demikian, persamaan yang setara dengan yang diberikan diperoleh.

Menjawab: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Mari kita beralih ke definisi persamaan kuadrat. Di dalamnya, kami menentukan bahwa sebuah 0. Kondisi serupa diperlukan untuk persamaan a x 2 + b x + c = 0 persis persegi, karena a = 0 itu pada dasarnya berubah menjadi persamaan linier bx + c = 0.

Dalam kasus di mana koefisien b dan c sama dengan nol (yang mungkin, baik secara individu maupun bersama-sama), persamaan kuadrat disebut tidak lengkap.

Definisi 4

Persamaan kuadrat tidak lengkap adalah persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0, di mana setidaknya salah satu koefisien b dan c(atau keduanya) adalah nol.

Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan kuadrat di mana semua koefisien numerik tidak sama dengan nol.

Mari kita bahas mengapa jenis persamaan kuadrat diberi nama yang persis seperti itu.

Untuk b = 0, persamaan kuadrat berbentuk a x 2 + 0 x + c = 0, yang sama dengan a x 2 + c = 0. Pada c = 0 persamaan kuadrat ditulis sebagai a x 2 + b x + 0 = 0, yang setara a x 2 + b x = 0. Pada b = 0 dan c = 0 persamaan akan berbentuk ax2 = 0. Persamaan yang kita peroleh berbeda dari persamaan kuadrat penuh karena ruas kirinya tidak mengandung salah satu suku dengan variabel x, atau suku bebas, atau keduanya sekaligus. Sebenarnya, fakta ini memberi nama untuk jenis persamaan ini - tidak lengkap.

Misalnya, x 2 + 3 x + 4 = 0 dan 7 x 2 2 x + 1, 3 = 0 adalah persamaan kuadrat lengkap; x 2 \u003d 0, 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , x 2 6 x = 0 adalah persamaan kuadrat tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

Definisi yang diberikan di atas memungkinkan untuk membedakan jenis persamaan kuadrat tidak lengkap berikut:

• ax2 = 0, koefisien sesuai dengan persamaan tersebut b = 0 dan c = 0 ;
• a x 2 + c \u003d 0 untuk b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 untuk c = 0 .

Pertimbangkan berturut-turut solusi dari setiap jenis persamaan kuadrat tidak lengkap.

Solusi persamaan a x 2 \u003d 0

Seperti yang telah disebutkan di atas, persamaan seperti itu sesuai dengan koefisien b dan c, sama dengan nol. persamaan ax2 = 0 dapat diubah menjadi persamaan ekuivalen x2 = 0, yang kita peroleh dengan membagi kedua ruas persamaan awal dengan bilangan sebuah, tidak sama dengan nol. Fakta yang jelas adalah bahwa akar persamaan x2 = 0 adalah nol karena 0 2 = 0 . Persamaan ini tidak memiliki akar lain, yang dijelaskan oleh sifat-sifat derajat: untuk bilangan apa pun p , tidak sama dengan nol, pertidaksamaan benar p2 > 0, yang berarti bahwa ketika p 0 persamaan p2 = 0 tidak akan pernah tercapai.

Definisi 5

Jadi, untuk persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 = 0, ada akar unik x=0.

Contoh 2

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap 3 x 2 = 0. Ini setara dengan persamaan x2 = 0, satu-satunya akarnya adalah x=0, maka persamaan asli memiliki akar tunggal - nol.

Solusinya diringkas sebagai berikut:

3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solusi persamaan a x 2 + c \u003d 0

Baris berikutnya adalah solusi persamaan kuadrat tidak lengkap, di mana b \u003d 0, c 0, yaitu, persamaan bentuk a x 2 + c = 0. Mari kita ubah persamaan ini dengan memindahkan suku dari satu sisi persamaan ke sisi yang lain, mengubah tanda ke sisi yang berlawanan dan membagi kedua sisi persamaan dengan angka yang tidak sama dengan nol:

• menderita c ke sisi kanan, yang memberikan persamaan ax2 = c;
• bagi kedua ruas persamaan dengan sebuah, kita dapatkan sebagai hasilnya x = - c a .

Transformasi kami setara, masing-masing, persamaan yang dihasilkan juga setara dengan yang asli, dan fakta ini memungkinkan untuk menarik kesimpulan tentang akar persamaan. Dari apa nilai-nilainya? sebuah dan c tergantung pada nilai ekspresi - c a: dapat memiliki tanda minus (misalnya, jika a = 1 dan c = 2, maka - c a = - 2 1 = - 2) atau tanda tambah (misalnya, jika a = -2 dan c=6, maka - c a = - 6 - 2 = 3); itu tidak sama dengan nol karena c 0. Mari kita membahas lebih detail tentang situasi ketika - c a< 0 и - c a > 0 .

Dalam kasus ketika - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p persamaan p 2 = - c a tidak mungkin benar.

Semuanya berbeda ketika - c a > 0: ingat akar kuadrat, dan akan menjadi jelas bahwa akar persamaan x 2 \u003d - c a akan menjadi angka - c a, karena - c a 2 \u003d - c a. Mudah dipahami bahwa bilangan - - c a - juga merupakan akar dari persamaan x 2 = - c a: memang, - - c a 2 = - c a .

Persamaan tidak akan memiliki akar lain. Kita dapat mendemonstrasikan ini dengan menggunakan metode yang berlawanan. Pertama, mari kita atur notasi akar yang ditemukan di atas sebagai x 1 dan x 1. Mari kita asumsikan bahwa persamaan x 2 = - c a juga memiliki akar x2, yang berbeda dengan akarnya x 1 dan x 1. Kita tahu bahwa dengan mensubstitusi ke dalam persamaan, bukan x akarnya, kami mengubah persamaan menjadi kesetaraan numerik yang adil.

Untuk x 1 dan x 1 tulis: x 1 2 = - c a , dan untuk x2- x 2 2 \u003d - c a. Berdasarkan sifat persamaan numerik, kita kurangi satu persamaan sejati dari suku lain dengan suku, yang akan memberi kita: x 1 2 x 2 2 = 0. Gunakan sifat-sifat operasi bilangan untuk menulis ulang persamaan terakhir sebagai (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Diketahui hasil kali dua bilangan adalah nol jika dan hanya jika paling sedikit salah satu bilangan adalah nol. Dari apa yang telah dikatakan, berikut ini x1 x2 = 0 dan/atau x1 + x2 = 0, yang sama x2 = x1 dan/atau x 2 = x 1. Kontradiksi yang jelas muncul, karena pada awalnya disepakati bahwa akar persamaan x2 berbeda dari x 1 dan x 1. Jadi, kami telah membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar selain x = - c a dan x = - - c a .

Kami merangkum semua argumen di atas.

Definisi 6

Persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 + c = 0 setara dengan persamaan x 2 = - c a , yang:

• tidak akan memiliki akar di - c a< 0 ;
• akan memiliki dua akar x = - c a dan x = - - c a ketika - c a > 0 .

Mari kita berikan contoh penyelesaian persamaan a x 2 + c = 0.

Contoh 3

Diberikan persamaan kuadrat 9 x 2 + 7 = 0 . Solusinya perlu dicari.

Keputusan

Kami mentransfer istilah bebas ke sisi kanan persamaan, maka persamaan akan mengambil bentuk 9 x 2 \u003d - 7.
Kami membagi kedua sisi persamaan yang dihasilkan dengan 9 , kita sampai pada x 2 = - 7 9 . Di sebelah kanan kita melihat angka dengan tanda minus, yang berarti: persamaan yang diberikan tidak memiliki akar. Maka persamaan kuadrat tidak lengkap asli 9 x 2 + 7 = 0 tidak akan memiliki akar.

Menjawab: persamaan 9 x 2 + 7 = 0 tidak memiliki akar.

Contoh 4

Hal ini diperlukan untuk memecahkan persamaan x2 + 36 = 0.

Keputusan

Mari kita pindahkan 36 ke sisi kanan: x 2 = 36.
Mari kita bagi kedua bagian menjadi − 1 , kita mendapatkan x2 = 36. Di sisi kanan adalah angka positif, dari mana kita dapat menyimpulkan bahwa x = 36 atau x = - 36 .
Kami mengekstrak akarnya dan menulis hasil akhirnya: persamaan kuadrat yang tidak lengkap x2 + 36 = 0 memiliki dua akar x=6 atau x = -6.

Menjawab: x=6 atau x = -6.

Solusi persamaan a x 2 +b x=0

Mari kita menganalisis jenis ketiga persamaan kuadrat tidak lengkap, ketika c = 0. Untuk mencari solusi persamaan kuadrat yang tidak lengkap a x 2 + b x = 0, kami menggunakan metode faktorisasi. Mari kita faktorkan polinomial, yang ada di sisi kiri persamaan, dengan mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung x. Langkah ini akan memungkinkan untuk mengubah persamaan kuadrat tidak lengkap asli menjadi setara x (a x + b) = 0. Dan persamaan ini, pada gilirannya, setara dengan himpunan persamaan x=0 dan ax + b = 0. persamaan ax + b = 0 linier, dan akarnya: x = b a.

Definisi 7

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 + b x = 0 akan memiliki dua akar x=0 dan x = b a.

Mari kita gabungkan materi dengan sebuah contoh.

Contoh 5

Solusi dari persamaan 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Keputusan

Mari kita keluarkan x di luar kurung dan dapatkan persamaan x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Persamaan ini setara dengan persamaan x=0 dan 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Sekarang Anda harus menyelesaikan persamaan linier yang dihasilkan: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Secara singkat, kami menulis solusi persamaan sebagai berikut:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau x = 3 3 7

Menjawab: x = 0, x = 3 3 7 .

Diskriminan, rumus akar-akar persamaan kuadrat

Untuk menemukan solusi persamaan kuadrat, ada rumus akar:

Definisi 8

x = - b ± D 2 a, dimana D = b 2 4 a c adalah yang disebut diskriminan dari persamaan kuadrat.

Menulis x \u003d - b ± D 2 a pada dasarnya berarti bahwa x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Akan berguna untuk memahami bagaimana rumus yang ditunjukkan diturunkan dan bagaimana menerapkannya.

Turunan dari rumus akar-akar persamaan kuadrat

Misalkan kita dihadapkan dengan tugas memecahkan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0. Mari kita lakukan sejumlah transformasi ekuivalen:

• bagi kedua ruas persamaan dengan bilangan sebuah, berbeda dari nol, kami memperoleh persamaan kuadrat tereduksi: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• pilih kotak penuh di sisi kiri persamaan yang dihasilkan:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Setelah ini, persamaan akan berbentuk: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• sekarang dimungkinkan untuk memindahkan dua suku terakhir ke ruas kanan, dengan mengubah tandanya menjadi kebalikannya, setelah itu kita mendapatkan: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• akhirnya, kami mengubah ekspresi yang tertulis di sisi kanan persamaan terakhir:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Jadi, kita sampai pada persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , yang ekivalen dengan persamaan awal a x 2 + b x + c = 0.

Kami membahas solusi persamaan tersebut di paragraf sebelumnya (solusi persamaan kuadrat tidak lengkap). Pengalaman yang telah diperoleh memungkinkan untuk menarik kesimpulan mengenai akar-akar persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• untuk b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• untuk b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, persamaannya berbentuk x + b 2 · a 2 = 0, maka x + b 2 · a = 0.

Dari sini, satu-satunya akar x = - b 2 · a jelas;

• untuk b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, yang benar adalah: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , yang merupakan sama dengan x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , yaitu. persamaan memiliki dua akar.

Dimungkinkan untuk menyimpulkan bahwa ada atau tidaknya akar-akar persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (dan karenanya persamaan aslinya) bergantung pada tanda dari ekspresi b 2 - 4 a c 4 · a 2 tertulis di sisi kanan. Dan tanda dari ungkapan ini diberikan oleh tanda pembilangnya, (penyebutnya 4 a 2 akan selalu positif), yaitu, tanda dari ekspresi b 2 4 a c. Ekspresi ini b 2 4 a c nama diberikan - diskriminan dari persamaan kuadrat dan huruf D didefinisikan sebagai penunjukannya. Di sini Anda dapat menuliskan esensi diskriminan - berdasarkan nilai dan tandanya, mereka menyimpulkan apakah persamaan kuadrat akan memiliki akar nyata, dan, jika demikian, berapa banyak akar - satu atau dua.

Mari kembali ke persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Mari kita tulis ulang dengan menggunakan notasi diskriminan: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Mari kita rekap kesimpulannya:

Definisi 9

• pada D< 0 persamaan tidak memiliki akar real;
• pada D=0 persamaan memiliki akar tunggal x = - b 2 · a ;
• pada D > 0 persamaan memiliki dua akar: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 atau x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Berdasarkan sifat-sifat radikal, akar-akar ini dapat ditulis sebagai: x \u003d - b 2 a + D 2 a atau - b 2 a - D 2 a. Dan ketika kita membuka modul dan mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama, kita mendapatkan: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Jadi, hasil penalaran kita adalah turunan dari rumus akar-akar persamaan kuadrat:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminan D dihitung dengan rumus D = b 2 4 a c.

Rumus ini memungkinkan, ketika diskriminan lebih besar dari nol, untuk menentukan kedua akar real. Ketika diskriminan adalah nol, menerapkan kedua rumus akan memberikan akar yang sama sebagai satu-satunya solusi untuk persamaan kuadrat. Dalam kasus ketika diskriminan negatif, mencoba menggunakan rumus akar kuadrat, kita akan dihadapkan pada kebutuhan untuk mengekstrak akar kuadrat dari bilangan negatif, yang akan membawa kita melampaui bilangan real. Dengan diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak akan memiliki akar real, tetapi sepasang akar konjugat kompleks dimungkinkan, ditentukan oleh rumus akar yang sama yang kita peroleh.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus akar

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan segera menggunakan rumus akar, tetapi pada dasarnya ini dilakukan jika perlu mencari akar kompleks.

Dalam sebagian besar kasus, pencarian biasanya tidak dimaksudkan untuk kompleks, tetapi untuk akar real dari persamaan kuadrat. Maka optimal, sebelum menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, tentukan dulu diskriminannya dan pastikan tidak negatif (jika tidak kita akan menyimpulkan bahwa persamaan tidak memiliki akar real), dan kemudian lanjutkan untuk menghitung nilai akar.

Alasan di atas memungkinkan untuk merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Definisi 10

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0, diperlukan:

• sesuai rumus D = b 2 4 a c cari nilai diskriminannya;
• di D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• untuk D = 0 temukan satu-satunya akar persamaan dengan rumus x = - b 2 · a ;
• untuk D > 0, tentukan dua akar real persamaan kuadrat dengan rumus x = - b ± D 2 · a.

Perhatikan bahwa ketika diskriminan adalah nol, Anda dapat menggunakan rumus x = - b ± D 2 · a , itu akan memberikan hasil yang sama dengan rumus x = - b 2 · a .

Pertimbangkan contoh.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat

Kami menyajikan solusi dari contoh untuk berbagai nilai diskriminan.

Contoh 6

Hal ini diperlukan untuk menemukan akar persamaan x 2 + 2 x - 6 = 0.

Keputusan

Kami menulis koefisien numerik dari persamaan kuadrat: a \u003d 1, b \u003d 2 dan c = 6. Selanjutnya, kami bertindak sesuai dengan algoritme, mis. Mari kita mulai menghitung diskriminan, yang dengannya kita substitusikan koefisien a , b dan c ke dalam rumus diskriminan: D = b 2 4 a c = 2 2 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Jadi, kita mendapatkan D > 0, yang berarti bahwa persamaan asli akan memiliki dua akar real.
Untuk menemukannya, kami menggunakan rumus akar x \u003d - b ± D 2 · a dan, dengan mengganti nilai yang sesuai, kami mendapatkan: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Kami menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan dengan mengeluarkan faktor dari tanda akar, diikuti dengan pengurangan pecahan:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 atau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 atau x = - 1 - 7

Menjawab: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Contoh 7

Persamaan kuadrat harus diselesaikan 4 x 2 + 28 x 49 = 0.

Keputusan

Mari kita tentukan diskriminannya: D = 28 2 4 (− 4) (− 49) = 784 784 = 0. Dengan nilai diskriminan ini, persamaan asli hanya akan memiliki satu akar, ditentukan oleh rumus x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Menjawab: x = 3, 5.

Contoh 8

Hal ini diperlukan untuk memecahkan persamaan 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Keputusan

Koefisien numerik dari persamaan ini adalah: a = 5 , b = 6 dan c = 2 . Kami menggunakan nilai-nilai ini untuk menemukan diskriminan: D = b 2 4 · a · c = 6 2 4 · 5 · 2 = 36 40 = 4 . Diskriminan yang dihitung adalah negatif, sehingga persamaan kuadrat asli tidak memiliki akar real.

Dalam kasus ketika tugasnya adalah untuk menunjukkan akar kompleks, kami menerapkan rumus akar dengan melakukan operasi dengan bilangan kompleks:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 atau x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i atau x = - 3 5 - 1 5 i .

Menjawab: tidak ada akar nyata; akar kompleksnya adalah: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Dalam kurikulum sekolah, sebagai standar, tidak ada persyaratan untuk mencari akar kompleks, oleh karena itu, jika diskriminan didefinisikan sebagai negatif selama penyelesaian, jawabannya segera dicatat bahwa tidak ada akar nyata.

Rumus akar untuk koefisien kedua genap

Rumus akar x = - b ± D 2 a (D = b 2 4 a c) memungkinkan untuk memperoleh rumus lain, lebih ringkas, memungkinkan Anda menemukan solusi untuk persamaan kuadrat dengan koefisien genap di x (atau dengan koefisien dari bentuk 2 a n, misalnya, 2 3 atau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mari kita tunjukkan bagaimana rumus ini diturunkan.

Misalkan kita dihadapkan pada tugas mencari solusi persamaan kuadrat a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Kami bertindak sesuai dengan algoritma: kami menentukan diskriminan D = (2 n) 2 4 a c = 4 n 2 4 a c = 4 (n 2 a c) , dan kemudian menggunakan rumus akar:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c.

Biarkan ekspresi n 2 a c dilambangkan sebagai D 1 (kadang-kadang dilambangkan D "). Maka rumus untuk akar persamaan kuadrat yang dipertimbangkan dengan koefisien kedua 2 n akan berbentuk:

x \u003d - n ± D 1 a, di mana D 1 \u003d n 2 - a c.

Sangat mudah untuk melihat bahwa D = 4 · D 1 , atau D 1 = D 4 . Dengan kata lain, D1 adalah seperempat dari diskriminan. Jelas, tanda D 1 sama dengan tanda D, yang berarti bahwa tanda D 1 juga dapat berfungsi sebagai indikator ada tidaknya akar persamaan kuadrat.

Definisi 11

Jadi, untuk menemukan solusi persamaan kuadrat dengan koefisien kedua 2 n, perlu:

• cari D 1 = n 2 a c ;
• di D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• untuk D 1 = 0, tentukan satu-satunya akar persamaan dengan rumus x = - n a ;
• untuk D 1 > 0, tentukan dua akar real menggunakan rumus x = - n ± D 1 a.

Contoh 9

Persamaan kuadrat harus diselesaikan 5 · x 2 6 · x 32 = 0.

Keputusan

Koefisien kedua dari persamaan yang diberikan dapat direpresentasikan sebagai 2 · (− 3) . Kemudian kita tulis ulang persamaan kuadrat yang diberikan menjadi 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x 32 = 0 , di mana a = 5 , n = 3 dan c = 32 .

Mari kita hitung bagian keempat dari diskriminan: D 1 = n 2 a c = (− 3) 2 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Nilai yang dihasilkan adalah positif, yang berarti persamaan tersebut memiliki dua akar real. Kami mendefinisikannya dengan rumus akar yang sesuai:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 atau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 atau x = - 2

Anda dapat melakukan perhitungan menggunakan rumus biasa untuk akar persamaan kuadrat, tetapi dalam kasus ini solusinya akan lebih rumit.

Menjawab: x = 3 1 5 atau x = - 2 .

Penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat

Terkadang dimungkinkan untuk mengoptimalkan bentuk persamaan asli, yang akan menyederhanakan proses penghitungan akar.

Misalnya, persamaan kuadrat 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 jelas lebih nyaman untuk diselesaikan daripada 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Lebih sering, penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat dilakukan dengan mengalikan atau membagi kedua bagiannya dengan angka tertentu. Sebagai contoh, di atas kami telah menunjukkan representasi sederhana dari persamaan 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, diperoleh dengan membagi kedua bagiannya dengan 100.

Transformasi seperti itu dimungkinkan jika koefisien persamaan kuadrat bukan bilangan prima yang relatif. Kemudian, biasanya, kedua bagian persamaan dibagi dengan pembagi persekutuan terbesar dari nilai absolut koefisiennya.

Sebagai contoh, kita menggunakan persamaan kuadrat 12 x 2 42 x + 48 = 0. Mari kita tentukan gcd dari nilai absolut koefisiennya: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Mari kita bagi kedua bagian persamaan kuadrat asli dengan 6 dan dapatkan persamaan kuadrat yang setara 2 · x 2 7 · x + 8 = 0 .

Dengan mengalikan kedua ruas persamaan kuadrat, koefisien pecahan biasanya dihilangkan. Dalam hal ini, kalikan dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut koefisiennya. Misalnya, jika setiap bagian dari persamaan kuadrat 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 dikalikan dengan KPK (6, 3, 1) \u003d 6, maka akan ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Akhirnya, kami mencatat bahwa hampir selalu menghilangkan minus pada koefisien pertama persamaan kuadrat, mengubah tanda setiap suku persamaan, yang dicapai dengan mengalikan (atau membagi) kedua bagian dengan 1. Misalnya, dari persamaan kuadrat - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, Anda dapat beralih ke versi yang disederhanakan 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Hubungan antara akar dan koefisien

Rumus yang sudah diketahui untuk akar persamaan kuadrat x = - b ± D 2 · a menyatakan akar persamaan dalam bentuk koefisien numeriknya. Berdasarkan rumus ini, kami memiliki kesempatan untuk mengatur ketergantungan lain antara akar dan koefisien.

Yang paling terkenal dan dapat diterapkan adalah rumus teorema Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a dan x 2 \u003d c a.

Khususnya, untuk persamaan kuadrat yang diberikan, jumlah akar-akarnya adalah koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, dan produk dari akar-akarnya sama dengan suku bebas. Misalnya, dengan bentuk persamaan kuadrat 3 · x 2 7 · x + 22 = 0, dapat segera ditentukan bahwa jumlah akar-akarnya adalah 7 3 , dan hasil kali akar-akarnya adalah 22 3 .

Anda juga dapat menemukan sejumlah hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Misalnya, jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam koefisien:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter