Fungsi linier adalah fungsi dengan bentuk y = kx + b yang didefinisikan pada himpunan semua bilangan real. Di sini k adalah kemiringan (bilangan real), b adalah intersep (bilangan real), x adalah variabel independen.

Dalam kasus khusus, jika k = 0, kita mendapatkan fungsi konstanta y = b, yang grafiknya adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu Ox, melewati titik dengan koordinat (0; b).

Jika b = 0, maka kita mendapatkan fungsi y = kx, yang merupakan proporsionalitas langsung.

Arti geometris dari koefisien b adalah panjang segmen yang dipotong oleh garis lurus sepanjang sumbu Oy, dihitung dari titik asal.

Arti geometris dari koefisien k - sudut kemiringan garis lurus ke arah positif sumbu Ox, dianggap berlawanan arah jarum jam.

Sifat fungsi linier:

1) Domain definisi fungsi linier adalah seluruh sumbu real;

2) Jika k 0, maka jangkauan fungsi linier adalah seluruh sumbu real. Jika k = 0, maka range dari fungsi linier tersebut terdiri dari bilangan b;

3) Kemerataan dan keganjilan suatu fungsi linier bergantung pada nilai koefisien k dan b.

a) b 0, k = 0, maka y = b genap;

b) b = 0, k 0, maka y = kx ganjil;

c) b 0, k 0, maka y = kx + b adalah fungsi umum;

d) b = 0, k = 0, maka y = 0 adalah fungsi genap dan ganjil.

4) Fungsi linier tidak memiliki sifat periodisitas;

Sapi: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, oleh karena itu (-b / k; 0) adalah titik perpotongan dengan sumbu absis.

Oy: y = 0k + b = b, maka (0; b) adalah titik potong dengan sumbu y.

Catatan Jika b = 0 dan k = 0, maka fungsi y = 0 hilang untuk sembarang nilai x. Jika b 0 dan k = 0, maka fungsi y = b tidak hilang untuk sembarang nilai variabel x.

6) Interval keteguhan tanda bergantung pada koefisien k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b - positif untuk x dari (-b/k; +∞),

y = kx + b - negatif untuk x dari (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b - positif untuk x dari (-∞; -b/k),

y = kx + b - negatif untuk x dari (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b positif di seluruh domain,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Interval kemonotonan suatu fungsi linier bergantung pada koefisien k.

k > 0, maka y = kx + b meningkat di seluruh domain,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Grafik fungsi linier adalah garis lurus. Untuk menggambar garis lurus, cukup mengetahui dua titik. Posisi garis lurus pada bidang koordinat bergantung pada nilai koefisien k dan b. Di bawah ini adalah tabel yang menggambarkan dengan jelas gambar 1. (Gbr.1)

Contoh Perhatikan fungsi linier berikut: y = 5x - 3.

3) Fungsi umum;

4) tidak berkala;

5) Titik potong dengan sumbu koordinat:

Sapi: 5x - 3 \u003d 0, x \u003d 3/5, oleh karena itu (3/5; 0) adalah titik perpotongan dengan sumbu absis.

Oy: y = -3, maka (0; -3) - titik potong dengan sumbu y;

6) y = 5x - 3 positif untuk x dari (3/5; +∞),

y = 5x - 3 - negatif untuk x dari (-∞; 3/5);

7) y = 5x - 3 meningkat di seluruh domain definisi;

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

5. Mononomial disebut hasil kali faktor numerik dan abjad. Koefisien disebut faktor numerik dari monomial.

6. Untuk menulis monomial dalam bentuk standar, Anda perlu: 1) Kalikan faktor numerik dan tempatkan produknya di tempat pertama; 2) Kalikan pangkat dengan basis yang sama dan letakkan produk yang dihasilkan setelah faktor numerik.

7. Suatu polinomial disebut jumlah aljabar dari beberapa monomial.

8. Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, perlu untuk mengalikan monomial dengan setiap suku polinomial dan menambahkan produk yang dihasilkan.

9. Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, perlu untuk mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku dari polinomial lainnya dan menambahkan produk yang dihasilkan.

10. Dimungkinkan untuk menggambar garis lurus melalui dua titik, dan hanya satu.

11. Dua garis hanya memiliki satu titik yang sama atau tidak memiliki titik yang sama.

12. Dua bangun geometris disebut sama jika mereka dapat ditumpangkan.

13. Titik segmen yang membaginya menjadi dua, yaitu menjadi dua segmen yang sama, disebut titik tengah segmen.

14. Sinar datang dari titik sudut dan membaginya menjadi dua sudut yang sama disebut garis-bagi sudut.

15. Sudut yang dikembangkan adalah 180°.

16. Suatu sudut disebut sudut siku-siku jika besarnya 90°.

17. Suatu sudut disebut lancip jika besarnya kurang dari 90°, yaitu kurang dari sudut siku-siku.

18. Suatu sudut disebut tumpul jika lebih besar dari 90°, tetapi kurang dari 180°, yaitu lebih dari sudut siku-siku, tetapi kurang dari sudut lurus.

19. Dua sudut yang memiliki satu sisi yang sama dan dua lainnya adalah perpanjangan satu sama lain disebut berdekatan.

20. Jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°.

21. Dua sudut disebut vertikal jika sisi-sisi dari salah satu sudut merupakan perpanjangan dari sisi-sisi yang lain.

22. Sudut vertikal sama besar.

23. Dua garis yang berpotongan disebut tegak lurus (atau saling

tegak lurus) jika mereka membentuk empat sudut siku-siku.

24. Dua garis tegak lurus terhadap sepertiga tidak berpotongan.

25. Faktorkan polinomial berarti mewakilinya sebagai produk dari beberapa monomial dan polinomial.

26. Cara memfaktorkan polinomial:

a) mengurung faktor persekutuan,

b) penggunaan rumus perkalian yang disingkat,

c) pengelompokan.

27. Untuk memfaktorkan polinomial dengan mengambil faktor persekutuan dari kurung, Anda perlu:

a) temukan faktor persekutuan ini,

b) keluarkan dari kurung,

c) membagi setiap suku polinomial dengan faktor ini dan menjumlahkan hasil yang diperoleh.

Tanda persamaan segitiga

1) Jika dua sisi dan sudut antara satu segitiga masing-masing sama dengan dua sisi dan sudut di antara mereka dari segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen.

2) Jika sisi dan dua sudut yang berdekatan dengannya dari satu segitiga masing-masing sama dengan satu sisi dan dua sudut yang berdekatan dengannya dari segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen.

3) Jika tiga sisi dari sebuah segitiga masing-masing sama dengan tiga sisi dari segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Pendidikan minimal

1. Faktorisasi dengan rumus perkalian yang disingkat:

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

2. Rumus perkalian yang disingkat:

(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2

(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

3. Ruas garis yang menghubungkan titik sudut segitiga dengan titik tengah sisi yang berhadapan disebut median segi tiga.

4. Garis tegak lurus yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga ke garis yang memuat sisi yang berhadapan disebut tinggi segi tiga.

5. Pada segitiga sama kaki, sudut-sudut di alasnya sama besar.

6. Dalam segitiga sama kaki, garis bagi yang ditarik ke alasnya adalah median dan tinggi.

7. Lingkaran bangun geometri disebut, terdiri dari semua titik pesawat yang terletak pada jarak tertentu dari titik tertentu.

8. Ruas garis yang menghubungkan pusat dengan titik pada lingkaran disebut radius lingkaran .

9. Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut akord.

Tali busur yang melalui pusat lingkaran disebut diameter

10. Proporsionalitas langsung y = kx , di mana X adalah variabel bebas, ke adalah bilangan bukan nol ( ke adalah koefisien proporsionalitas).

11. Grafik proporsionalitas langsung adalah garis lurus yang melalui titik asal.

12. Fungsi linier adalah fungsi yang dapat diberikan oleh rumus y = kx + b , di mana X adalah variabel bebas, ke dan b - beberapa nomor.

13. Grafik fungsi linier- adalah garis lurus.

14 X – argumen fungsi (variabel bebas)

pada – nilai fungsi (variabel terikat)

15. Pada b=0 fungsi mengambil bentuk y=kx, grafiknya melewati titik asal.

Pada k=0 fungsi mengambil bentuk y=b, grafiknya adalah garis mendatar yang melalui titik ( 0; b).

Korespondensi antara grafik fungsi linier dan tanda-tanda koefisien k dan b

1. Dua garis lurus pada sebuah bidang disebut paralel, jika mereka tidak berpotongan.

"Gambar untuk slide" - Kursus opsional "Dunia Teknologi Multimedia". Gambar di slide. C) Anda dapat memindahkan gambar dengan meraih bagian tengah dengan mouse. Menyisipkan gambar pada slide. Sekolah menengah institusi pendidikan kota No. 5. 95% informasi dirasakan oleh seseorang dengan bantuan organ penglihatan ...

"Fungsi dan grafiknya" - 3. Fungsi tangen. trigonometri. Fungsi terdefinisi dan kontinu pada seluruh himpunan bilangan real. Definisi: Fungsi numerik yang diberikan oleh rumus y = cos x disebut cosinus. 4. Fungsi kotangen. Pada titik x = a itu sendiri, fungsi mungkin ada atau tidak ada. Definisi 1. Biarkan fungsi y = f(x) didefinisikan pada sebuah segmen.

"Fungsi beberapa variabel" - Nilai fungsi terbesar dan terkecil. teorema Weierstrass. Titik internal dan batas. Limit fungsi dari 2 variabel. Grafik fungsi. Dalil. Kontinuitas. Daerah terbatas. Area terbuka dan tertutup. Derivatif dari pesanan yang lebih tinggi. Derivatif swasta. Inkremen sebagian fungsi dari 2 variabel.

"Gambar 3d di aspal" - Kurt mulai membuat karya pertamanya pada usia 16 tahun di Santa Barbara, di mana ia menjadi kecanduan seni jalanan. gambar 3d di aspal. Kurt Wenner adalah salah satu seniman jalanan paling terkenal yang menggambar gambar 3D di atas aspal menggunakan krayon biasa. AMERIKA SERIKAT. Di masa mudanya, Kurt Wenner bekerja sebagai ilustrator untuk NASA, di mana ia menciptakan gambar awal pesawat ruang angkasa masa depan.

"Fungsi Tema" - Jika siswa bekerja dengan cara yang berbeda, maka guru harus bekerja dengan mereka dengan cara yang berbeda. Penting untuk mencari tahu bukan apa yang tidak diketahui siswa, tetapi apa yang dia ketahui. Generalisasi. Perpaduan. GUNAKAN hasil dalam matematika. Program kursus opsional. Asosiasi. Rencana pendidikan dan tematik (24 jam). Analogi. Jika siswa telah melampaui guru, ini adalah kebahagiaan guru.

Tugas pada properti dan grafik fungsi kuadrat, seperti yang ditunjukkan oleh praktik, menyebabkan kesulitan serius. Ini agak aneh, karena fungsi kuadrat dilewatkan di kelas 8, dan kemudian seluruh kuartal pertama kelas 9 "diperas" oleh sifat parabola dan grafiknya dibuat untuk berbagai parameter.

Hal ini disebabkan oleh kenyataan bahwa memaksa siswa untuk membangun parabola, mereka praktis tidak mencurahkan waktu untuk "membaca" grafik, yaitu, mereka tidak berlatih memahami informasi yang diterima dari gambar. Rupanya, diasumsikan bahwa, setelah membangun dua lusin grafik, siswa yang cerdas sendiri akan menemukan dan merumuskan hubungan antara koefisien dalam rumus dan tampilan grafik. Dalam praktiknya, ini tidak berhasil. Untuk generalisasi seperti itu, diperlukan pengalaman serius dalam penelitian mini matematika, yang tentu saja tidak dimiliki oleh sebagian besar siswa kelas sembilan. Sementara itu, di GIA mereka mengusulkan untuk menentukan tanda-tanda koefisien secara tepat sesuai jadwal.

Kami tidak akan menuntut hal yang mustahil dari anak sekolah dan hanya menawarkan salah satu algoritma untuk memecahkan masalah seperti itu.

Jadi, fungsi dari bentuk y=ax2+bx+c disebut kuadrat, grafiknya adalah parabola. Seperti namanya, komponen utamanya adalah kapak 2. Yaitu sebuah tidak boleh sama dengan nol, koefisien yang tersisa ( b dan dengan) bisa sama dengan nol.

Mari kita lihat bagaimana tanda-tanda koefisiennya mempengaruhi penampilan parabola.

Ketergantungan paling sederhana untuk koefisien sebuah. Sebagian besar anak sekolah dengan percaya diri menjawab: "jika sebuah> 0, maka cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika sebuah < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой sebuah > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

Pada kasus ini sebuah = 0,5

Dan sekarang untuk sebuah < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Pada kasus ini sebuah = - 0,5

Pengaruh koefisien dengan juga cukup mudah untuk diikuti. Bayangkan kita ingin mencari nilai fungsi di suatu titik X= 0. Substitusikan nol ke dalam rumus:

kamu = sebuah 0 2 + b 0 + c = c. Ternyata itu y = c. Yaitu dengan adalah ordinat titik potong parabola dengan sumbu y. Biasanya, titik ini mudah ditemukan di grafik. Dan tentukan apakah terletak di atas nol atau di bawah. Yaitu dengan> 0 atau dengan < 0.

dengan > 0:

y=x2+4x+3

dengan < 0

y = x 2 + 4x - 3

Dengan demikian, jika dengan= 0, maka parabola harus melalui titik asal:

y=x2+4x

Lebih sulit dengan parameter b. Titik di mana kita akan menemukannya tidak hanya bergantung pada b tapi juga dari sebuah. Ini adalah puncak parabola. Absisnya (koordinat sumbu X) ditemukan dengan rumus x dalam \u003d - b / (2a). Dengan demikian, b = - 2x dalam. Artinya, kami bertindak sebagai berikut: pada grafik kami menemukan bagian atas parabola, tentukan tanda absisnya, yaitu, kami melihat ke kanan nol ( x masuk> 0) atau ke kiri ( x masuk < 0) она лежит.

Namun, ini tidak semua. Kita juga harus memperhatikan tanda koefisien sebuah. Artinya, untuk melihat ke mana arah cabang parabola itu. Dan hanya setelah itu, sesuai dengan rumus b = - 2x dalam tentukan tanda b.

Pertimbangkan sebuah contoh:

Cabang-cabang mengarah ke atas sebuah> 0, parabola memotong sumbu pada di bawah nol berarti dengan < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x masuk> 0. Jadi b = - 2x dalam = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: sebuah > 0, b < 0, dengan < 0.

Fungsi linear disebut fungsi dari bentuk y = kx + b, didefinisikan pada himpunan semua bilangan real. Di Sini k– koefisien sudut (bilangan real), b – anggota gratis (bilangan asli), x adalah variabel bebas.

Dalam kasus tertentu, jika k = 0, kita memperoleh fungsi konstan y=b, yang grafiknya berupa garis lurus yang sejajar dengan sumbu Ox, melalui titik dengan koordinat (0;b).

Jika sebuah b = 0, maka kita mendapatkan fungsi y=kx, yang mana dalam proporsi langsung.

b – panjang segmen, yang memotong garis sepanjang sumbu Oy, dihitung dari titik asal.

Arti geometris dari koefisien k – sudut kemiringan lurus ke arah positif sumbu Ox dianggap berlawanan arah jarum jam.

Sifat fungsi linier:

1) Domain dari fungsi linier adalah seluruh sumbu nyata;

2) Jika sebuah k 0, maka jangkauan fungsi linier adalah seluruh sumbu real. Jika sebuah k = 0, maka jangkauan fungsi linier terdiri dari bilangan b;

3) Kemerataan dan keanehan fungsi linier bergantung pada nilai koefisien k dan b.

sebuah) b 0, k = 0, karena itu, y = b genap;

b) b = 0, k 0, karena itu y = kx ganjil;

c) b 0, k 0, karena itu y = kx + b adalah fungsi umum;

d) b = 0, k = 0, karena itu y = 0 adalah fungsi genap dan ganjil.

4) Fungsi linier tidak memiliki sifat periodisitas;

5) Titik potong dengan sumbu koordinat:

Sapi: y = kx + b = 0, x = -b/k, karena itu (-b/k; 0)- titik potong dengan sumbu absis.

Oy: y=0k+b=b, karena itu (0;b) adalah titik potong dengan sumbu y.

Catatan.Jika b = 0 dan k = 0, maka fungsi y=0 menghilang untuk setiap nilai variabel X. Jika sebuah b 0 dan k = 0, maka fungsi y=b tidak hilang untuk nilai variabel apa pun X.

6) Interval keteguhan tanda bergantung pada koefisien k.

sebuah) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- positif di x dari (-b/k; +∞),

y = kx + b- negatif di x dari (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- positif di x dari (-∞; -b/k),

y = kx + b- negatif di x dari (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b positif di seluruh domain definisi,

k = 0, b< 0; y = kx + b negatif di seluruh domain definisi.

7) Interval kemonotonan suatu fungsi linier bergantung pada koefisien k.

k > 0, karena itu y = kx + b meningkat di seluruh domain definisi,

k< 0 , karena itu y = kx + b menurun di seluruh domain definisi.

8) Grafik fungsi linier adalah garis lurus. Untuk menggambar garis lurus, cukup mengetahui dua titik. Posisi garis lurus pada bidang koordinat tergantung pada nilai koefisien k dan b. Di bawah ini adalah tabel yang dengan jelas menggambarkan hal ini.