Garis urutan kedua.
Elips dan persamaan kanoniknya. Lingkaran

Setelah studi menyeluruh garis lurus pada pesawat kami terus mempelajari geometri dunia dua dimensi. Taruhannya digandakan dan saya mengundang Anda untuk mengunjungi galeri indah elips, hiperbola, parabola, yang merupakan perwakilan khas dari baris urutan kedua. Tur telah dimulai, dan pertama, informasi singkat tentang keseluruhan pameran di berbagai lantai museum:

Konsep garis aljabar dan urutannya

Garis pada bidang disebut aljabar, jika dalam sistem koordinat affine persamaannya memiliki bentuk , di mana adalah polinomial yang terdiri dari istilah bentuk ( adalah bilangan real, adalah bilangan bulat non-negatif).

Seperti yang Anda lihat, persamaan garis aljabar tidak mengandung sinus, cosinus, logaritma, dan beau monde fungsional lainnya. Hanya "x" dan "y" di bilangan bulat non-negatif derajat.

Urutan baris sama dengan nilai maksimum dari istilah-istilah yang termasuk di dalamnya.

Menurut teorema yang sesuai, konsep garis aljabar, serta urutannya, tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat affine, oleh karena itu, untuk kemudahan keberadaan, kami menganggap bahwa semua perhitungan selanjutnya terjadi di Koordinat kartesius.

Persamaan Umum garis orde kedua memiliki bentuk , dimana adalah bilangan real arbitrer (adalah kebiasaan untuk menulis dengan pengganda - "dua"), dan koefisien tidak secara bersamaan sama dengan nol.

Jika , maka persamaan disederhanakan menjadi , dan jika koefisien tidak secara bersamaan sama dengan nol, maka ini tepat persamaan umum garis lurus "datar", yang mewakili baris urutan pertama.

Banyak yang mengerti arti dari istilah-istilah baru, tetapi, bagaimanapun, untuk 100% mengasimilasi materi, kami memasukkan jari-jari kami ke dalam soket. Untuk menentukan urutan baris, ulangi semua istilah persamaannya dan untuk masing-masingnya temukan jumlah kekuatan variabel yang masuk.

Sebagai contoh:

istilah tersebut mengandung "x" hingga derajat ke-1;
istilah itu mengandung "Y" sampai derajat ke-1;
tidak ada variabel dalam istilah, sehingga jumlah kekuatan mereka adalah nol.

Sekarang mari kita cari tahu mengapa persamaan menetapkan garis kedua memesan:

istilah tersebut mengandung "x" pada derajat ke-2;
istilah memiliki jumlah derajat variabel: 1 + 1 = 2;
istilah tersebut mengandung "y" pada derajat ke-2;
semua istilah lain - lebih rendah derajat.

Nilai maksimum: 2

Jika kita menambahkan tambahan ke persamaan kita, katakanlah, , maka itu akan menentukan baris urutan ketiga. Jelas bahwa bentuk umum persamaan garis orde ke-3 berisi "kumpulan lengkap" istilah, jumlah derajat variabel yang sama dengan tiga:
, di mana koefisien tidak secara bersamaan sama dengan nol.

Dalam hal satu atau lebih istilah yang cocok ditambahkan yang mengandung , maka kita akan berbicara tentang baris urutan ke-4, dll.

Kita harus berurusan dengan garis aljabar dari urutan ke-3, ke-4 dan lebih tinggi lebih dari sekali, khususnya, ketika berkenalan dengan sistem koordinat kutub.

Namun, mari kita kembali ke persamaan umum dan mengingat variasi sekolah yang paling sederhana. Contohnya adalah parabola, yang persamaannya dapat dengan mudah direduksi menjadi bentuk umum, dan hiperbola dengan persamaan yang setara. Namun, tidak semuanya begitu mulus ....

Kelemahan yang signifikan dari persamaan umum adalah hampir selalu tidak jelas garis mana yang didefinisikannya. Bahkan dalam kasus yang paling sederhana, Anda tidak akan segera menyadari bahwa ini adalah hiperbola. Tata letak seperti itu hanya bagus untuk penyamaran, oleh karena itu, dalam geometri analitik, masalah tipikal dipertimbangkan pengurangan persamaan garis orde ke-2 ke bentuk kanonik.

Apa bentuk kanonik dari persamaan?

Ini adalah bentuk standar persamaan yang diterima secara umum, ketika dalam hitungan detik menjadi jelas objek geometris apa yang didefinisikannya. Selain itu, bentuk kanonik sangat nyaman untuk memecahkan banyak masalah praktis. Jadi, misalnya, menurut persamaan kanonik lurus "datar", pertama, segera jelas bahwa ini adalah garis lurus, dan kedua, titik miliknya dan vektor arah terlihat dengan jelas.

Jelas, apapun baris pesanan pertama mewakili garis lurus. Di lantai dua, tidak ada lagi petugas kebersihan yang menunggu kami, tetapi rombongan sembilan patung yang jauh lebih beragam:

Klasifikasi garis orde kedua

Dengan bantuan serangkaian tindakan khusus, persamaan garis orde kedua direduksi menjadi salah satu jenis berikut:

(dan merupakan bilangan real positif)

1) adalah persamaan kanonik elips;

2) adalah persamaan kanonik hiperbola;

3) adalah persamaan kanonik parabola;

4) – imajiner elips;

5) - sepasang garis berpotongan;

6) - pasangan imajiner garis berpotongan (dengan satu-satunya titik perpotongan nyata di titik asal);

7) - sepasang garis paralel;

8) - pasangan imajiner garis sejajar;

9) adalah sepasang garis yang bertepatan.

Beberapa pembaca mungkin mendapat kesan bahwa daftar itu tidak lengkap. Misalnya, dalam paragraf nomor 7, persamaan menetapkan pasangan langsung, sejajar sumbu, dan muncul pertanyaan: di mana persamaan yang menentukan garis sejajar sumbu y? Jawab ini tidak dianggap kanon. Garis lurus mewakili kasus standar yang sama diputar 90 derajat, dan entri tambahan dalam klasifikasi berlebihan, karena tidak membawa sesuatu yang baru secara fundamental.

Jadi, ada sembilan dan hanya sembilan jenis garis urutan ke-2 yang berbeda, tetapi dalam praktiknya yang paling umum adalah elips, hiperbola, dan parabola.

Mari kita lihat elipsnya dulu. Seperti biasa, saya fokus pada poin-poin yang sangat penting untuk memecahkan masalah, dan jika Anda memerlukan turunan terperinci dari rumus, bukti teorema, silakan merujuk, misalnya, ke buku teks oleh Bazylev / Atanasyan atau Aleksandrov.

Elips dan persamaan kanoniknya

Ejaan ... tolong jangan ulangi kesalahan beberapa pengguna Yandex yang tertarik dengan "cara membuat elips", "perbedaan antara elips dan oval" dan "eksentrisitas elebs".

Persamaan kanonik elips memiliki bentuk , Dimana bilangan real positif, dan . Saya akan merumuskan definisi elips nanti, tetapi untuk saat ini saatnya untuk istirahat dari berbicara dan memecahkan masalah umum:

Bagaimana cara membuat elips?

Ya, ambil dan gambar saja. Tugasnya umum, dan sebagian besar siswa tidak cukup kompeten mengatasi gambar:

Contoh 1

Bangun elips yang diberikan oleh persamaan

Keputusan: pertama kita bawa persamaan ke bentuk kanonik:

Mengapa membawa? Salah satu keuntungan dari persamaan kanonik adalah memungkinkan Anda untuk menentukan secara instan simpul elips, yang berada di titik . Sangat mudah untuk melihat bahwa koordinat masing-masing titik ini memenuhi persamaan.

Pada kasus ini :


Segmen garis ditelepon sumbu utama elips;
segmen garis – sumbu kecil;
nomor ditelepon sumbu semi-mayor elips;
nomor – sumbu semi-kecil.
dalam contoh kita: .

Untuk membayangkan dengan cepat seperti apa elips ini atau itu, lihat saja nilai "a" dan "be" dari persamaan kanoniknya.

Semuanya baik-baik saja, rapi dan indah, tetapi ada satu peringatan: Saya menyelesaikan gambar menggunakan program. Dan Anda dapat menggambar dengan aplikasi apa pun. Namun, dalam kenyataan pahit, selembar kertas kotak-kotak tergeletak di atas meja, dan tikus-tikus menari-nari di sekitar tangan kita. Orang dengan bakat seni, tentu saja, dapat berdebat, tetapi Anda juga memiliki tikus (walaupun yang lebih kecil). Tidak sia-sia bahwa umat manusia menemukan penggaris, kompas, busur derajat, dan perangkat sederhana lainnya untuk menggambar.

Untuk alasan ini, kita tidak mungkin dapat menggambar elips secara akurat, hanya mengetahui simpulnya. Masih baik-baik saja, jika elips kecil, misalnya, dengan semiaxes. Atau, Anda dapat mengurangi skala dan, karenanya, dimensi gambar. Tetapi dalam kasus umum sangat diinginkan untuk menemukan poin tambahan.

Ada dua pendekatan untuk membangun elips - geometris dan aljabar. Saya tidak suka membangun dengan kompas dan penggaris karena algoritme pendek dan kekacauan gambar yang signifikan. Dalam keadaan darurat, silakan merujuk ke buku teks, tetapi pada kenyataannya jauh lebih rasional untuk menggunakan alat-alat aljabar. Dari persamaan elips pada draf, kami dengan cepat menyatakan:

Persamaan tersebut kemudian dibagi menjadi dua fungsi:
– mendefinisikan busur atas elips;
– mendefinisikan busur bawah elips.

Elips yang diberikan oleh persamaan kanonik adalah simetris terhadap sumbu koordinat, serta terhadap titik asal. Dan itu bagus - simetri hampir selalu merupakan pertanda dari freebie. Jelas, itu cukup untuk berurusan dengan kuartal koordinat 1, jadi kita membutuhkan sebuah fungsi . Ini menyarankan menemukan poin tambahan dengan absis . Kami menekan tiga SMS di kalkulator:

Tentu saja, menyenangkan juga bahwa jika kesalahan serius dibuat dalam perhitungan, maka ini akan segera menjadi jelas selama konstruksi.

Tandai titik pada gambar (merah), titik simetris pada busur lainnya (biru) dan hubungkan dengan hati-hati seluruh perusahaan dengan garis:


Lebih baik menggambar sketsa awal dengan tipis dan tipis, dan baru kemudian memberi tekanan pada pensil. Hasilnya harus elips yang cukup bagus. Omong-omong, apakah Anda ingin tahu apa kurva ini?

Definisi elips. Fokus elips dan eksentrisitas elips

Elips adalah kasus khusus dari oval. Kata "lonjong" tidak boleh dipahami dalam arti filistin ("anak menggambar oval", dll.). Ini adalah istilah matematika dengan formulasi rinci. Tujuan pelajaran ini bukan untuk mempertimbangkan teori oval dan berbagai jenisnya, yang secara praktis tidak diperhatikan dalam kursus standar geometri analitik. Dan, sesuai dengan kebutuhan yang lebih saat ini, kita langsung menuju ke definisi elips yang ketat:

Elips- ini adalah himpunan semua titik pesawat, jumlah jarak ke masing-masing dari dua titik tertentu, yang disebut Trik elips, adalah nilai konstanta, secara numerik sama dengan panjang sumbu utama elips ini: .
Dalam hal ini, jarak antara fokus kurang dari nilai ini: .

Sekarang akan menjadi lebih jelas:

Bayangkan bahwa titik biru "naik" pada elips. Jadi, tidak peduli titik elips mana yang kita ambil, jumlah panjang segmen akan selalu sama:

Mari kita pastikan bahwa dalam contoh kita nilai jumlah benar-benar sama dengan delapan. Secara mental tempatkan titik "em" di simpul kanan elips, lalu: , yang harus diperiksa.

Cara lain untuk menggambar elips didasarkan pada definisi elips. Matematika yang lebih tinggi, kadang-kadang, adalah penyebab ketegangan dan stres, jadi inilah saatnya untuk melakukan sesi pembongkaran lagi. Silakan ambil selembar kertas atau selembar karton besar dan sematkan ke meja dengan dua paku. Ini akan menjadi trik. Ikat benang hijau ke kepala kuku yang menonjol dan tarik seluruhnya dengan pensil. Leher pensil akan berada di beberapa titik, yang termasuk dalam elips. Sekarang mulailah mengarahkan pensil melintasi selembar kertas, jaga agar benang hijau tetap kencang. Lanjutkan prosesnya sampai kembali ke titik awal...bagus sekali...gambarnya bisa diserahkan untuk verifikasi oleh dokter ke guru =)

Bagaimana cara mencari fokus elips?

Dalam contoh di atas, saya menggambarkan titik fokus "siap", dan sekarang kita akan belajar cara mengekstraknya dari kedalaman geometri.

Jika elips diberikan oleh persamaan kanonik , maka fokusnya memiliki koordinat , dimana itu jarak dari masing-masing fokus ke pusat simetri elips.

Perhitungan lebih mudah daripada lobak kukus:

! Dengan arti "ce" tidak mungkin untuk mengidentifikasi koordinat spesifik trik! Saya ulangi, ini adalah JARAK dari setiap fokus ke pusat(yang dalam kasus umum tidak harus ditempatkan persis di titik asal).
Dan, oleh karena itu, jarak antara fokus juga tidak dapat dikaitkan dengan posisi kanonik elips. Dengan kata lain, elips dapat dipindahkan ke tempat lain dan nilainya akan tetap tidak berubah, sedangkan fokusnya secara alami akan berubah koordinatnya. Harap diingat hal ini saat Anda menjelajahi topik lebih lanjut.

Eksentrisitas elips dan makna geometrisnya

Eksentrisitas elips adalah rasio yang dapat mengambil nilai dalam .

Dalam kasus kami:

Mari kita cari tahu bagaimana bentuk elips bergantung pada eksentrisitasnya. Untuk ini perbaiki simpul kiri dan kanan dari elips yang dipertimbangkan, yaitu, nilai sumbu semi-mayor akan tetap konstan. Maka rumus eksentrisitas akan berbentuk: .

Mari kita mulai memperkirakan nilai eksentrisitas menjadi satu. Ini hanya mungkin jika . Apa artinya? ... trik mengingat . Ini berarti bahwa fokus elips akan "menyebar" sepanjang sumbu absis ke simpul samping. Dan, karena "segmen hijau bukan karet", elips pasti akan mulai rata, berubah menjadi sosis yang lebih tipis dan lebih tipis yang digantung pada sumbu.

Dengan demikian, semakin dekat eksentrisitas elips dengan satu, semakin lonjong elips tersebut.

Sekarang mari kita simulasikan proses sebaliknya: fokus elips pergi ke arah satu sama lain, mendekati pusat. Artinya nilai "ce" semakin kecil sehingga eksentrisitasnya cenderung nol: .
Dalam hal ini, "segmen hijau", sebaliknya, akan "menjadi ramai" dan mereka akan mulai "mendorong" garis elips ke atas dan ke bawah.

Dengan demikian, semakin dekat nilai eksentrisitas ke nol, semakin terlihat elips... lihat kasus pembatas, ketika fokus berhasil disatukan kembali di titik asal:

Lingkaran adalah kasus khusus dari elips

Memang, dalam kasus persamaan setengah sumbu, persamaan kanonik elips mengambil bentuk, yang secara refleks berubah menjadi persamaan lingkaran terkenal dari sekolah dengan pusat di titik asal jari-jari "a".

Dalam praktiknya, notasi dengan huruf "berbicara" lebih sering digunakan:. Jari-jari disebut panjang segmen, sedangkan setiap titik lingkaran dipindahkan dari pusat dengan jarak jari-jari.

Perhatikan bahwa definisi elips tetap sepenuhnya benar: fokus cocok, dan jumlah panjang segmen yang cocok untuk setiap titik pada lingkaran adalah nilai konstan. Karena jarak antara fokus adalah eksentrisitas lingkaran apa pun adalah nol.

Lingkaran dibangun dengan mudah dan cepat, cukup untuk mempersenjatai diri dengan kompas. Namun demikian, kadang-kadang perlu untuk mengetahui koordinat beberapa titiknya, dalam hal ini kita menggunakan cara yang sudah dikenal - kita membawa persamaan ke bentuk Matan yang ceria:

adalah fungsi setengah lingkaran atas;
adalah fungsi setengah lingkaran bawah.

Kemudian kami menemukan nilai yang diinginkan, dapat dibedakan, mengintegrasikan dan melakukan hal-hal baik lainnya.

Artikel ini, tentu saja, hanya untuk referensi, tetapi bagaimana seseorang bisa hidup tanpa cinta di dunia? Tugas kreatif untuk solusi independen

Contoh 2

Tulis persamaan kanonik elips jika salah satu fokusnya dan sumbu semi-minor diketahui (pusatnya di titik asal). Temukan simpul, titik tambahan, dan buat garis pada gambar. Hitung eksentrisitasnya.

Solusi dan menggambar di akhir pelajaran

Mari tambahkan tindakan:

Putar dan terjemahkan elips

Mari kita kembali ke persamaan kanonik dari elips, yaitu, ke kondisi, teka-teki yang telah menyiksa pikiran ingin tahu sejak penyebutan pertama kurva ini. Di sini kita telah mempertimbangkan sebuah elips , tapi dalam prakteknya tidak bisa persamaan ? Bagaimanapun, di sini, bagaimanapun, tampaknya seperti elips juga!

Persamaan seperti itu jarang terjadi, tetapi memang ditemukan. Dan itu mendefinisikan elips. Mari kita hilangkan mistik:

Sebagai hasil konstruksi, elips asli kami diperoleh, diputar 90 derajat. Yaitu, - Ini entri non-kanonik elips . Catatan!- persamaan tidak menentukan elips lain, karena tidak ada titik (fokus) pada sumbu yang akan memenuhi definisi elips.

Mari kita bangun sistem koordinat persegi panjang pada bidang dan pertimbangkan persamaan umum derajat kedua

di mana
.

Himpunan semua titik pada bidang yang koordinatnya memenuhi persamaan (8.4.1) disebut bengkok (garis) pesanan kedua.

Untuk setiap kurva orde kedua, ada sistem koordinat persegi panjang, yang disebut kanonik, di mana persamaan kurva ini memiliki salah satu bentuk berikut:

1)
(elips);

2)
(elips imajiner);

3)
(sepasang garis berpotongan imajiner);

4)
(hiperbola);

5)
(sepasang garis berpotongan);

6)
(parabola);

7)
(sepasang garis sejajar);

8)
(sepasang garis paralel imajiner);

9)
(sepasang garis yang bertepatan).

Persamaan 1)–9) disebut persamaan kanonik kurva orde kedua.

Penyelesaian masalah pengurangan persamaan kurva orde kedua ke bentuk kanonik termasuk menemukan persamaan kanonik kurva dan sistem koordinat kanonik. Pengurangan ke bentuk kanonik memungkinkan Anda menghitung parameter kurva dan menentukan lokasinya relatif terhadap sistem koordinat asli. Transisi dari sistem koordinat persegi panjang asli
ke kanonik
dilakukan dengan memutar sumbu sistem koordinat asli di sekitar titik HAI ke sudut tertentu dan transfer paralel berikutnya dari sistem koordinat.

Invarian kurva orde kedua(8.4.1) disebut fungsi seperti itu dari koefisien persamaannya, yang nilainya tidak berubah ketika berpindah dari satu sistem koordinat persegi panjang ke yang lain dari sistem yang sama.

Untuk kurva orde kedua (8.4.1), jumlah koefisien pada koordinat kuadrat

,

determinan yang terdiri dari koefisien suku-suku utama

dan determinan orde ketiga

adalah invarian.

Nilai invarian s, , dapat digunakan untuk menentukan jenis dan menyusun persamaan kanonik dari kurva orde kedua (Tabel 8.1).

Tabel 8.1

Klasifikasi kurva orde kedua berdasarkan invarian

Mari kita lihat lebih dekat elips, hiperbola, dan parabola.

Elips(Gbr. 8.1) adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang jumlah jaraknya ke dua titik tetap
pesawat ini, disebut trik elips, adalah nilai konstan (lebih besar dari jarak antara fokus). Ini tidak mengecualikan kebetulan fokus elips. Jika fokusnya sama, maka elips adalah lingkaran.

Jumlah setengah jarak dari titik elips ke fokusnya dilambangkan dengan sebuah, setengah jarak antara fokus - dengan. Jika sistem koordinat persegi panjang pada bidang dipilih sehingga elips berfokus pada sumbu HAIx simetris terhadap titik asal, maka dalam sistem koordinat ini elips diberikan oleh persamaan

, (8.4.2)

ditelepon persamaan kanonik elips, di mana
.

Beras. 8.1

Dengan pilihan tertentu dari sistem koordinat persegi panjang, elips adalah simetris terhadap sumbu koordinat dan titik asal. Sumbu simetri elips menyebutnya kapak, dan pusat simetrinya adalah pusat elips. Pada saat yang sama, angka 2 sering disebut sumbu elips. sebuah dan 2 b, dan bilangan sebuah dan b – besar dan sumbu semi-kecil masing-masing.

Titik potong elips dengan sumbunya disebut titik sudut elips. Titik-titik elips memiliki koordinat ( sebuah, 0), (–sebuah, 0), (0, b), (0, –b).

eksentrisitas elips disebut nomor

. (8.4.3)

Karena 0 c < sebuah, eksentrisitas elips 0 < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Ini menunjukkan bahwa eksentrisitas mencirikan bentuk elips: semakin dekat ke nol, semakin elips terlihat seperti lingkaran; saat meningkat, elips menjadi lebih memanjang.

Biarlah
adalah titik sembarang dari elips,
dan
- jarak dari titik M sebelum trik F 1 dan F 2 masing-masing. angka r 1 dan r 2 disebut titik jari-jari fokus M elips dan dihitung dengan rumus

kepala sekolah selain lingkaran elips dengan persamaan kanonik (8.4.2) dua garis disebut

.

Arahan elips terletak di luar elips (Gbr. 8.1).

Rasio radius fokus poinMelips ke jarak  dari elips ini (fokus dan direktriks dianggap bersesuaian jika terletak pada sisi yang sama dari pusat elips).

hiperbola(Gbr. 8.2) disebut tempat kedudukan titik-titik bidang, di mana modulus perbedaan jarak ke dua titik tetap dan pesawat ini, disebut fokus hiperbola, adalah nilai konstan (tidak sama dengan nol dan kurang dari jarak antara fokus).

Biarkan jarak antara fokus menjadi 2 dengan, dan modulus perbedaan jarak yang ditentukan adalah 2 sebuah. Kami memilih sistem koordinat persegi panjang dengan cara yang sama seperti untuk elips. Dalam sistem koordinat ini, hiperbola diberikan oleh persamaan

, (8.4.4)

ditelepon persamaan kanonik hiperbola, di mana
.

Beras. 8.2

Dengan pilihan sistem koordinat persegi panjang ini, sumbu koordinat adalah sumbu simetri hiperbola, dan titik asal koordinat adalah pusat simetrinya. Sumbu simetri hiperbola disebut kapak, dan pusat simetrinya adalah pusat hiperbola. Persegi panjang dengan 2 sisi sebuah dan 2 b, terletak seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 8.2, disebut persegi panjang utama hiperbola. Nomor 2 sebuah dan 2 b adalah sumbu hiperbola, dan bilangan sebuah dan b- dia poros gandar. Garis lurus, yang merupakan kelanjutan dari diagonal persegi panjang utama, membentuk asimtot hiperbola

.

Titik potong hiperbola dengan sumbu Sapi ditelepon titik-titik hiperbola. Titik-titik hiperbola memiliki koordinat ( sebuah, 0), (–sebuah, 0).

Eksentrisitas hiperbola disebut nomor

. (8.4.5)

Sejauh dengan > sebuah, eksentrisitas hiperbola > 1. Mari kita tulis ulang persamaan (8.4.5) sebagai

.

Ini menunjukkan bahwa eksentrisitas mencirikan bentuk persegi panjang utama dan, akibatnya, bentuk hiperbola itu sendiri: semakin kecil , semakin panjang persegi panjang utama, dan setelah itu hiperbola itu sendiri sepanjang sumbu Sapi.

Biarlah
adalah titik sembarang dari hiperbola,
dan
- jarak dari titik M sebelum trik F 1 dan F 2 masing-masing. angka r 1 dan r 2 disebut titik jari-jari fokus M hiperbola dan dihitung dengan rumus

kepala sekolah hiperbola dengan persamaan kanonik (8.4.4) dua garis disebut

.

Arahan hiperbola berpotongan dengan persegi panjang utama dan melewati antara pusat dan simpul yang sesuai dari hiperbola (Gbr. 8.2).

HAI rasio radius fokus poinM hiperbola ke jarak dari titik ini ke fokus yang sesuai directrix sama dengan eksentrisitas hiperbola ini (fokus dan direktriks dianggap bersesuaian jika terletak pada sisi yang sama dari pusat hiperbola).

parabola(Gbr. 8.3) adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang jaraknya ke suatu titik tetap F (fokus parabola) bidang ini sama dengan jarak ke beberapa garis tetap ( direktriks parabola), juga terletak di bidang yang dipertimbangkan.

Ayo pilih yang awal HAI sistem koordinat persegi panjang di tengah segmen [ FD], yang merupakan tegak lurus yang dijatuhkan dari fokus F ke direktriks (diasumsikan bahwa fokus bukan milik direktriks), dan sumbu Sapi dan Oy langsung seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 8.3. Biarkan panjang segmen [ FD] adalah sama dengan p. Kemudian pada sistem koordinat yang dipilih
dan persamaan parabola kanonik memiliki bentuk

. (8.4.6)

Nilai p ditelepon parameter parabola.

Parabola memiliki sumbu simetri yang disebut sumbu parabola. Titik potong parabola dengan sumbunya disebut bagian atas parabola. Jika parabola diberikan oleh persamaan kanoniknya (8.4.6), maka sumbu parabola adalah sumbu Sapi. Jelas, simpul parabola adalah titik asal.

Contoh 1 Dot TETAPI= (2, –1) termasuk elips, titik F= (1, 0) adalah fokusnya, sesuai dengan F directrix diberikan oleh persamaan
. Tulis persamaan untuk elips ini.

Keputusan. Kami akan menganggap sistem koordinat persegi panjang. Maka jarak dari titik TETAPI ke kepala sekolah
sesuai dengan relasi (8.1.8), di mana


, sama dengan

.

Jarak dari titik TETAPI untuk fokus F sama dengan

,

yang memungkinkan Anda untuk menentukan eksentrisitas elips

.

Biarlah M = (x, kamu) adalah titik sembarang dari elips. Maka jarak
dari titik M ke kepala sekolah
menurut rumus (8.1.8) sama dengan

dan jarak dari titik M untuk fokus F sama dengan

.

Karena untuk sembarang titik elips, relasinya adalah nilai konstan yang sama dengan eksentrisitas elips, maka kita memiliki

,

Contoh 2 Kurva diberikan oleh persamaan

dalam sistem koordinat persegi panjang. Temukan sistem koordinat kanonik dan persamaan kanonik dari kurva ini. Tentukan jenis kurva.

Keputusan. bentuk kuadrat
memiliki matriks

.

polinomial karakteristiknya

memiliki akar 1 = 4 dan 2 = 9. Oleh karena itu, dalam basis ortonormal vektor eigen TETAPI bentuk kuadrat yang dipertimbangkan memiliki bentuk kanonik

.

Mari kita lanjutkan ke konstruksi matriks transformasi ortogonal variabel, yang mereduksi bentuk kuadrat yang dipertimbangkan menjadi bentuk kanonik yang ditunjukkan. Untuk melakukan ini, kita akan membangun sistem dasar solusi sistem persamaan homogen
dan mengortonormalkan mereka.

Pada
sistem ini terlihat seperti

Solusi umumnya adalah
. Ada satu variabel bebas di sini. Oleh karena itu, sistem dasar solusi terdiri dari satu vektor, misalnya, vektor
. Menormalkannya, kita mendapatkan vektor

.

Pada
kita juga akan membangun sebuah vektor

.

Vektor dan sudah ortogonal, karena mengacu pada nilai eigen yang berbeda dari matriks simetris TETAPI. Mereka membentuk dasar ortonormal kanonik dari bentuk kuadrat yang diberikan. Dari kolom koordinatnya, matriks ortogonal yang diinginkan (matriks rotasi) dibangun

.

Periksa kebenaran menemukan matriks R sesuai rumus
, di mana
adalah matriks bentuk kuadrat dalam basis
:

Matriks R ditemukan dengan benar.

Mari kita lakukan transformasi variabel

dan tulis persamaan kurva ini dalam sistem koordinat persegi panjang baru dengan pusat lama dan vektor arah
:

di mana
.

Kami mendapatkan persamaan kanonik elips

.

Karena fakta bahwa transformasi koordinat persegi panjang yang dihasilkan ditentukan oleh rumus

,

,

sistem koordinat kanonik
memiliki awal
dan vektor arah
.

Contoh 3 Dengan menggunakan teori invarian, tentukan jenisnya dan tulis persamaan kanonik dari kurva

Keputusan. Sejauh

,

sesuai dengan tabel. 8.1 kami menyimpulkan bahwa ini adalah hiperbola.

Karena s = 0, polinomial karakteristik dari matriks bentuk kuadrat

akarnya
dan
memungkinkan kita untuk menulis persamaan kanonik dari kurva

di mana Dengan ditemukan dari kondisi

,

.

Persamaan kanonik yang diinginkan dari kurva

.

Dalam masalah bagian ini, koordinatx, kamudiasumsikan berbentuk persegi panjang.

8.4.1. Untuk elips
dan
Temukan:

a) setengah poros;

b) trik;

c) eksentrisitas;

d) persamaan direktriks.

8.4.2. Tulis persamaan elips, ketahui fokusnya
sesuai dengan direktriks x= 8 dan eksentrisitas . Temukan fokus kedua dan directrix kedua dari elips.

8.4.3. Tulis persamaan untuk elips yang fokusnya adalah (1, 0) dan (0, 1) dan sumbu utamanya adalah dua.

8.4.4. hiperbola dana
. Menemukan:

a) as roda sebuah dan b;

b) trik;

c) eksentrisitas;

d) persamaan asimtot;

e) persamaan direktriks.

8.4.5. hiperbola dana
. Menemukan:

a) as roda sebuah dan b;

b) trik;

c) eksentrisitas;

d) persamaan asimtot;

e) persamaan direktriks.

8.4.6. Dot
termasuk hiperbola yang fokusnya adalah
, dan direktriks yang sesuai diberikan oleh persamaan
. Tulis persamaan untuk hiperbola ini.

8.4.7. Tulis persamaan untuk parabola berdasarkan fokusnya
dan kepala sekolah
.

8.4.8. Diketahui titik sudut parabola
dan persamaan direktriks
. Tulis persamaan untuk parabola ini.

8.4.9. Tulis persamaan untuk parabola yang fokusnya di suatu titik

dan directrix diberikan oleh persamaan
.

8.4.10. Tulis persamaan untuk kurva orde kedua, dengan mengetahui eksentrisitasnya
, fokus
dan direktur yang sesuai
.

8.4.11. Tentukan jenis kurva orde kedua, tulis persamaan kanoniknya dan temukan sistem koordinat kanoniknya:

G)
;

8.4.12.

adalah elips. Cari panjang semi-sumbu dan eksentrisitas elips ini, koordinat pusat dan fokus, tulis persamaan sumbu dan direktrisnya.

8.4.13. Buktikan bahwa kurva orde kedua yang diberikan oleh persamaan

adalah hiperbola. Temukan panjang semi-sumbu dan eksentrisitas hiperbola ini, koordinat pusat dan fokus, tulis persamaan untuk sumbu, direktris dan asimtot.

8.4.14. Buktikan bahwa kurva orde kedua yang diberikan oleh persamaan

,

adalah parabola. Temukan parameter parabola ini, koordinat simpul dan fokus, tulis persamaan untuk sumbu dan direktriks.

8.4.15. Bawa setiap persamaan berikut ke bentuk kanonik. Gambarlah dalam gambar kurva orde kedua yang sesuai sehubungan dengan sistem koordinat persegi panjang asli:

8.4.16. Dengan menggunakan teori invarian, tentukan jenisnya dan tulis persamaan kanonik dari kurva tersebut.

11.1. Konsep dasar

Pertimbangkan garis yang ditentukan oleh persamaan derajat kedua sehubungan dengan koordinat saat ini

Koefisien persamaan adalah bilangan real, tetapi setidaknya salah satu dari bilangan A, B, atau C tidak nol. Garis seperti itu disebut garis (kurva) orde kedua. Di bawah ini akan ditentukan bahwa persamaan (11.1) mendefinisikan lingkaran, elips, hiperbola, atau parabola pada bidang. Sebelum melanjutkan ke pernyataan ini, mari kita pelajari sifat-sifat kurva yang disebutkan.

11.2. Lingkaran

Kurva paling sederhana dari orde kedua adalah lingkaran. Ingat bahwa lingkaran dengan jari-jari R berpusat pada suatu titik adalah himpunan semua titik dari bidang yang memenuhi kondisi . Biarkan sebuah titik dalam sistem koordinat persegi panjang memiliki koordinat x 0, y 0 a - titik sembarang lingkaran (lihat Gambar 48).

Kemudian dari kondisi tersebut diperoleh persamaan

(11.2)

Persamaan (11.2) dipenuhi oleh koordinat titik mana pun pada lingkaran yang diberikan dan tidak dipenuhi oleh koordinat titik mana pun yang tidak terletak pada lingkaran.

Persamaan (11.2) disebut persamaan kanonik lingkaran

Secara khusus, dengan asumsi dan , kita memperoleh persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal .

Persamaan lingkaran (11.2) setelah transformasi sederhana akan berbentuk . Ketika membandingkan persamaan ini dengan persamaan umum (11.1) dari kurva orde kedua, mudah untuk melihat bahwa dua kondisi terpenuhi untuk persamaan lingkaran:

1) koefisien pada x 2 dan y 2 sama satu sama lain;

2) tidak ada anggota yang mengandung produk xy dari koordinat saat ini.

Mari kita pertimbangkan masalah kebalikannya. Menempatkan dalam persamaan (11.1) nilai dan , kami memperoleh

Mari kita ubah persamaan ini:

(11.4)

Oleh karena itu persamaan (11.3) mendefinisikan lingkaran di bawah kondisi . Pusatnya ada di titik , dan jari-jari

.

Jika , maka persamaan (11.3) memiliki bentuk

.

Itu dipenuhi oleh koordinat satu titik . Dalam hal ini, mereka mengatakan: "lingkaran telah berubah menjadi titik" (memiliki jari-jari nol).

Jika sebuah , maka persamaan (11.4), dan dengan demikian persamaan setara (11.3), tidak akan menentukan garis apapun, karena ruas kanan persamaan (11.4) adalah negatif, dan ruas kiri tidak negatif (katakanlah: “lingkaran imajiner”).

11.3. Elips

Persamaan kanonik elips

Elips adalah himpunan semua titik pada bidang, jumlah jarak dari masing-masing titik tersebut ke dua titik tertentu pada bidang ini, yang disebut Trik , adalah nilai konstanta yang lebih besar dari jarak antara fokus.

Tunjukkan fokus dengan F1 dan F2, jarak keduanya dalam 2 c, dan jumlah jarak dari titik sembarang elips ke fokus - melalui 2 sebuah(lihat gambar 49). Menurut definisi 2 sebuah > 2c, yaitu sebuah > c.

Untuk menurunkan persamaan elips, kita memilih sistem koordinat sehingga fokus F1 dan F2 terletak pada sumbu , dan titik asal bertepatan dengan titik tengah segmen F 1 F 2. Maka fokus akan memiliki koordinat berikut: dan .

Membiarkan menjadi sembarang titik elips. Kemudian, menurut definisi elips, yaitu.

Ini, sebenarnya, adalah persamaan elips.

Kami mengubah persamaan (11,5) ke bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut:

Sebagai sebuah>dengan, kemudian . Mari kita taruh

(11.6)

Kemudian persamaan terakhir mengambil bentuk atau

(11.7)

Dapat dibuktikan bahwa persamaan (11.7) ekuivalen dengan persamaan semula. Ini disebut persamaan kanonik elips .

Elips adalah kurva orde kedua.

Mempelajari bentuk elips menurut persamaannya

Mari kita tentukan bentuk elips menggunakan persamaan kanoniknya.

1. Persamaan (11.7) hanya memuat x dan y pangkat genap, jadi jika suatu titik termasuk ke dalam elips, maka titik ,, juga termasuk di dalamnya. Oleh karena itu elips adalah simetris terhadap sumbu dan , serta sehubungan dengan titik , yang disebut pusat elips.

2. Tentukan titik potong elips dengan sumbu koordinat. Puting , Kami menemukan dua titik dan , di mana sumbu memotong elips (lihat Gambar. 50). Menempatkan dalam persamaan (11.7), kami menemukan titik-titik persimpangan elips dengan sumbu: dan . poin A 1 , A2 , B1, B2 ditelepon titik sudut elips. Segmen A 1 A2 dan B1 B2, serta panjangnya 2 sebuah dan 2 b dipanggil masing-masing sumbu mayor dan minor elips. angka sebuah dan b masing-masing disebut besar dan kecil. poros gandar elips.

3. Dari persamaan (11.7) diperoleh bahwa setiap suku di ruas kiri tidak lebih dari satu, yaitu. ada pertidaksamaan dan atau dan . Oleh karena itu, semua titik elips terletak di dalam persegi panjang yang dibentuk oleh garis lurus.

4. Pada persamaan (11.7), jumlah suku tak negatif dan sama dengan satu. Akibatnya, ketika satu istilah meningkat, yang lain akan berkurang, yaitu jika meningkat, maka menurun dan sebaliknya.

Dari apa yang telah dikatakan, maka elips memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 50 (kurva tertutup oval).

Lebih lanjut tentang elips

Bentuk elips tergantung pada rasio. Ketika elips berubah menjadi lingkaran, persamaan elips (11.7) berbentuk . Sebagai ciri dari bentuk elips, rasio lebih sering digunakan. Perbandingan setengah jarak antara fokus dengan sumbu semi-utama elips disebut eksentrisitas elips dan o6o dilambangkan dengan huruf ("epsilon"):

dengan 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Hal ini menunjukkan bahwa semakin kecil eksentrisitas elips, semakin sedikit oblate elips tersebut; jika kita menempatkan = 0, maka elips berubah menjadi lingkaran.

Biarkan M(x; y) menjadi titik sembarang dari elips dengan fokus F 1 dan F 2 (lihat Gambar 51). Panjang segmen F 1 M=r 1 dan F 2 M = r 2 disebut jari-jari fokus titik M. Jelas sekali,

Ada rumus

Garis lurus disebut

Teorema 11.1. Jika adalah jarak dari sembarang titik elips ke suatu fokus, d adalah jarak dari titik yang sama ke direktriks yang sesuai dengan fokus ini, maka rasionya adalah nilai konstan yang sama dengan eksentrisitas elips:

Ini mengikuti dari persamaan (11.6) bahwa . Jika , maka persamaan (11.7) mendefinisikan elips, sumbu utama terletak pada sumbu Oy, dan sumbu minor terletak pada sumbu Ox (lihat Gambar 52). Fokus dari elips tersebut berada di titik dan , Dimana .

11.4. Hiperbola

Persamaan kanonik hiperbola

hiperbola himpunan semua titik bidang disebut, modulus perbedaan jarak dari masing-masing ke dua titik tertentu dari bidang ini, disebut Trik , adalah nilai konstan, lebih kecil dari jarak antara fokus.

Tunjukkan fokus dengan F1 dan F2 jarak antara mereka melalui 2 detik, dan modulus perbedaan jarak dari setiap titik hiperbola ke fokus melalui 2a. Prioritas-A 2a < 2 detik, yaitu sebuah < c.

Untuk menurunkan persamaan hiperbola, kita memilih sistem koordinat sehingga titik fokus F1 dan F2 terletak pada sumbu , dan titik asal bertepatan dengan titik tengah segmen F 1 F 2(lihat gambar 53). Maka fokus akan memiliki koordinat dan

Membiarkan menjadi sembarang titik hiperbola. Kemudian menurut definisi hiperbola atau , yaitu Setelah penyederhanaan, seperti yang dilakukan ketika menurunkan persamaan elips, kita mendapatkan persamaan kanonik hiperbola

(11.9)

(11.10)

Hiperbola adalah garis orde dua.

Penyelidikan bentuk hiperbola menurut persamaannya

Mari kita tentukan bentuk hiperbola menggunakan persamaan caconic-nya.

1. Persamaan (11.9) memuat x dan y hanya dalam pangkat genap. Oleh karena itu, hiperbola adalah simetris terhadap sumbu dan , serta terhadap titik , yang disebut pusat hiperbola.

2. Temukan titik potong hiperbola dengan sumbu koordinat. Menempatkan dalam persamaan (11.9), kita menemukan dua titik perpotongan hiperbola dengan sumbu : dan . Dengan memasukkan (11.9), kita peroleh , yang tidak mungkin. Oleh karena itu, hiperbola tidak memotong sumbu y.

Titik dan disebut puncak hiperbola, dan segmen

sumbu nyata , segmen garis - setengah sumbu nyata hiperbola.

Ruas garis yang menghubungkan titik-titik disebut sumbu imajiner , nomor b - sumbu imajiner . Persegi panjang dengan sisi 2a dan 2b ditelepon persegi panjang utama hiperbola .

3. Dari persamaan (11.9) diperoleh bahwa minuend tidak kurang dari satu, yaitu itu atau . Artinya titik-titik hiperbola terletak di sebelah kanan garis (cabang kanan hiperbola) dan di sebelah kiri garis (cabang kiri hiperbola).

4. Dari persamaan (11.9) hiperbola dapat diketahui bahwa jika bertambah maka bertambah pula. Ini mengikuti dari fakta bahwa perbedaan menjaga nilai konstan sama dengan satu.

Hal ini mengikuti dari apa yang telah dikatakan bahwa hiperbola memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar 54 (kurva yang terdiri dari dua cabang tak terbatas).

Asimtot hiperbola

Garis L disebut asimtot kurva K tak terbatas jika jarak d dari titik M kurva K ke garis ini cenderung nol karena titik M bergerak sepanjang kurva K tanpa batas dari titik asal. Gambar 55 mengilustrasikan konsep asimtot: garis L adalah asimtot untuk kurva K.

Mari kita tunjukkan bahwa hiperbola memiliki dua asimtot:

(11.11)

Karena garis (11.11) dan hiperbola (11.9) simetris terhadap sumbu koordinat, cukup untuk mempertimbangkan hanya titik-titik dari garis yang ditunjukkan yang terletak di kuadran pertama.

Ambil garis lurus sebuah titik N yang memiliki absis x yang sama dengan titik pada hiperbola (lihat Gambar 56), dan temukan perbedaan N antara ordinat garis lurus dan cabang hiperbola:

Seperti yang Anda lihat, saat x bertambah, penyebut pecahan bertambah; pembilang adalah nilai konstan. Oleh karena itu, panjang segmen N cenderung nol. Karena N lebih besar dari jarak d dari titik ke garis, maka d lebih cenderung ke nol. Dengan demikian, garis adalah asimtot dari hiperbola (11.9).

Saat membangun hiperbola (11.9), disarankan untuk terlebih dahulu membangun persegi panjang utama hiperbola (lihat Gambar 57), menggambar garis yang melewati simpul yang berlawanan dari persegi panjang ini - asimtot hiperbola dan menandai simpul dan , hiperbola .

Persamaan hiperbola sama sisi.

yang asimtotnya merupakan sumbu koordinat

Hiperbola (11.9) disebut sama sisi jika setengah sumbunya sama (). Persamaan kanoniknya

(11.12)

Asimtot hiperbola sama sisi memiliki persamaan dan karena itu merupakan garis bagi sudut koordinat.

Pertimbangkan persamaan hiperbola ini dalam sistem koordinat baru (lihat Gambar 58), diperoleh dari yang lama dengan memutar sumbu koordinat dengan sudut. Kami menggunakan rumus untuk rotasi sumbu koordinat:

Kami mengganti nilai x dan y dalam persamaan (11.12):

Persamaan hiperbola sama sisi, di mana sumbu Ox dan Oy asimtot, akan berbentuk .

Lebih lanjut mengenai hiperbola

keanehan hiperbola (11,9) adalah perbandingan jarak antara fokus dengan nilai sumbu nyata hiperbola, dilambangkan dengan :

Karena untuk hiperbola , eksentrisitas hiperbola lebih besar dari satu: . Eksentrisitas mencirikan bentuk hiperbola. Memang, ini mengikuti dari kesetaraan (11.10) yaitu. dan .

Dari sini dapat dilihat bahwa semakin kecil eksentrisitas hiperbola, semakin kecil rasio - dari setengah sumbunya, yang berarti semakin panjang persegi panjang utamanya.

Eksentrisitas hiperbola sama sisi adalah . Betulkah,

Jari-jari fokus dan untuk titik-titik cabang kanan hiperbola memiliki bentuk dan , dan untuk kiri - dan .

Garis lurus disebut direktriks hiperbola. Karena untuk hiperbola > 1, maka . Artinya direktriks kanan terletak di antara pusat dan titik kanan hiperbola, direktriks kiri berada di antara pusat dan titik kiri.

Direktori hiperbola memiliki sifat yang sama dengan direktriks elips.

Kurva yang ditentukan oleh persamaan juga merupakan hiperbola, sumbu nyata 2b terletak pada sumbu Oy, dan sumbu imajiner 2 sebuah- pada sumbu Ox. Pada Gambar 59, ditunjukkan sebagai garis putus-putus.

Jelas, hiperbola dan memiliki asimtot yang sama. Hiperbola semacam itu disebut konjugasi.

11.5. Parabola

Persamaan parabola kanonik

Parabola adalah himpunan semua titik pada bidang, yang masing-masing berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut fokus, dan garis tertentu, yang disebut direktriks. Jarak dari fokus F ke direktriks disebut parameter parabola dan dilambangkan dengan p (p > 0).

Untuk menurunkan persamaan parabola, kita memilih sistem koordinat Oxy sehingga sumbu Oxy melewati fokus F tegak lurus terhadap direktriks dalam arah dari direktriks ke F, dan titik asal O terletak di tengah antara fokus dan direktriks (lihat Gambar 60). Dalam sistem yang dipilih, fokus F memiliki koordinat , dan persamaan directrix memiliki bentuk , atau .

1. Pada persamaan (11.13), variabel y termasuk dalam derajat genap, yang berarti parabola simetris terhadap sumbu Ox; sumbu x adalah sumbu simetri parabola.

2. Karena > 0, maka dari (11.13) bahwa . Oleh karena itu, parabola terletak di sebelah kanan sumbu y.

3. Ketika kita memiliki y \u003d 0. Oleh karena itu, parabola melewati titik asal.

4. Dengan peningkatan x yang tidak terbatas, modul y juga meningkat tanpa batas. Parabola memiliki bentuk (bentuk) yang ditunjukkan pada Gambar 61. Titik O (0; 0) disebut titik puncak parabola, segmen FM \u003d r disebut jari-jari fokus titik M.

Persamaan , , ( p>0) juga mendefinisikan parabola, mereka ditunjukkan pada Gambar 62

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa grafik trinomial bujur sangkar, di mana , B dan C adalah sembarang bilangan real, adalah parabola dalam pengertian definisi di atas.

11.6. Persamaan umum garis orde dua

Persamaan kurva orde kedua dengan sumbu simetri sejajar sumbu koordinat

Mari kita cari dulu persamaan elips yang berpusat di sebuah titik yang sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu koordinat Ox dan Oy dan sumbu seminya masing-masing sama dengan sebuah dan b. Mari kita tempatkan di pusat elips O 1 asal sistem koordinat baru , yang sumbu dan semi-sumbunya sebuah dan b(lihat gambar 64):

Dan akhirnya, parabola yang ditunjukkan pada Gambar 65 memiliki persamaan yang sesuai.

persamaan

Persamaan elips, hiperbola, parabola dan persamaan lingkaran setelah transformasi (kurung terbuka, pindahkan semua suku persamaan ke satu arah, bawa suku sejenis, perkenalkan notasi baru untuk koefisien) dapat ditulis menggunakan persamaan tunggal formulir

dimana koefisien A dan C tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

Timbul pertanyaan: apakah ada persamaan bentuk (11.14) yang menentukan salah satu kurva (lingkaran, elips, hiperbola, parabola) dari orde kedua? Jawabannya diberikan oleh teorema berikut.

Teorema 11.2. Persamaan (11.14) selalu mendefinisikan: baik lingkaran (untuk A = C), atau elips (untuk A C > 0), atau hiperbola (untuk A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Persamaan umum orde kedua

Pertimbangkan sekarang persamaan umum derajat kedua dengan dua yang tidak diketahui:

Ini berbeda dari persamaan (11.14) dengan adanya istilah dengan produk koordinat (B¹ 0). Dimungkinkan, dengan memutar sumbu koordinat dengan sudut a, untuk mengubah persamaan ini sehingga suku dengan produk koordinat tidak ada di dalamnya.

Menggunakan rumus untuk memutar sumbu

Mari kita nyatakan koordinat lama dalam hal yang baru:

Kami memilih sudut a sehingga koefisien di x "y" hilang, yaitu, sehingga persamaan

Jadi, ketika sumbu diputar melalui sudut a yang memenuhi kondisi (11.17), persamaan (11.15) direduksi menjadi persamaan (11.14).

Kesimpulan: persamaan umum orde kedua (11.15) mendefinisikan pada bidang (kecuali untuk kasus degenerasi dan peluruhan) kurva berikut: lingkaran, elips, hiperbola, parabola.

Catatan: Jika A = C, maka persamaan (11.17) kehilangan artinya. Dalam hal ini cos2α = 0 (lihat (11.16)), maka 2α = 90°, yaitu = 45°. Jadi, pada A = C, sistem koordinat harus diputar sebesar 45°.

1. Garis-garis orde kedua pada bidang Euclidean.

2. Invarian persamaan garis orde kedua.

3. Menentukan jenis garis orde dua dari invarian persamaannya.

4. Garis-garis orde kedua pada bidang affine. Teorema keunikan.

5. Pusat garis orde kedua.

6. Asimtot dan diameter garis orde kedua.

7. Pengurangan persamaan garis orde kedua ke yang paling sederhana.

8. Arah utama dan diameter garis orde kedua.

BIBLIOGRAFI

1. Garis-garis orde kedua pada bidang Euclidean.

Definisi:

Pesawat Euclidean adalah ruang berdimensi 2,

(ruang nyata dua dimensi).

Garis-garis orde kedua adalah garis perpotongan kerucut melingkar dengan bidang-bidang yang tidak melalui puncaknya.

Garis-garis ini sering ditemukan dalam berbagai pertanyaan ilmu pengetahuan alam. Misalnya, pergerakan titik material di bawah pengaruh medan gravitasi pusat terjadi di sepanjang salah satu garis ini.

Jika bidang potong memotong semua generator bujursangkar dari satu rongga kerucut, maka akan diperoleh garis pada bagian yang disebut elips(Gbr. 1.1, a). Jika bidang potong memotong generator kedua rongga kerucut, maka pada bagian tersebut akan diperoleh garis yang disebut hiperbola(Gbr. 1.1.6). Dan akhirnya, jika bidang potong sejajar dengan salah satu generator kerucut (dengan 1.1, di- ini adalah generatornya AB), kemudian di bagian Anda mendapatkan garis yang disebut parabola. Beras. 1.1 memberikan representasi visual dari bentuk garis yang sedang dipertimbangkan.

Gambar 1.1

Persamaan umum dari garis orde kedua memiliki bentuk sebagai berikut:

(1)

(1*)

Elips adalah himpunan titik-titik pada bidang yang jumlah jaraknya ke dua titik tetap F 1 dan F 2 bidang ini, yang disebut fokus, adalah nilai konstan.

Ini tidak mengecualikan kebetulan fokus elips. Jelas sekali jika fokusnya sama, maka elips adalah lingkaran.

Untuk menurunkan persamaan kanonik elips, kita memilih titik asal O dari sistem koordinat Cartesian di tengah segmen F 1 F 2 , kapak Oh dan OU langsung seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1.2 (jika trik F 1 dan F 2 bertepatan, maka O bertepatan dengan F 1 dan F 2, dan untuk sumbu Oh seseorang dapat mengambil sumbu apa pun yang melewati HAI).

Biarkan panjang segmen F 1 F 2 F 1 dan F 2 masing-masing memiliki koordinat (-c, 0) dan (c, 0). Dilambangkan dengan 2a konstanta yang dimaksud dalam definisi elips. Jelas, 2a > 2c, yaitu. a > c ( Jika sebuah M- titik elips (lihat Gambar 1.2), maka | MF ] |+ | MF 2 | = 2 sebuah , dan karena jumlah dua sisi MF 1 dan MF 2 segi tiga MF 1 F 2 lebih dari pihak ketiga F 1 F 2 = 2c, maka 2a > 2c. Wajar untuk mengecualikan kasus 2a = 2c, sejak saat itu titik M terletak di segmen F 1 F 2 dan elips berdegenerasi menjadi segmen. ).

Biarlah M- titik pesawat dengan koordinat (x, y)(Gbr. 1.2). Dilambangkan dengan r 1 dan r 2 jarak dari titik M ke poin F 1 dan F 2 masing-masing. Menurut definisi elips persamaan

r 1 + r 2 = 2a (1.1)

adalah kondisi perlu dan cukup untuk lokasi titik M(x,y) pada elips yang diberikan.

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, kita peroleh

(1.2)

Dari (1.1) dan (1.2) berikut bahwa perbandingan

(1.3)

mewakili kondisi perlu dan cukup untuk lokasi titik M dengan koordinat x dan y pada elips tertentu. Oleh karena itu, relasi (1.3) dapat dianggap sebagai persamaan elips. Menggunakan metode standar "penghancuran radikal", persamaan ini direduksi menjadi bentuk

(1.4) (1.5)

Karena persamaan (1.4) adalah konsekuensi aljabar persamaan elips (1.3), maka koordinat x dan y titik apapun M elips juga akan memenuhi persamaan (1.4). Karena "akar tambahan" dapat muncul selama transformasi aljabar yang terkait dengan penyingkiran radikal, kita harus memastikan bahwa titik mana pun M, yang koordinatnya memenuhi persamaan (1.4) terletak pada elips yang diberikan. Untuk ini, jelas cukup untuk membuktikan bahwa besaran r 1 dan r 2 untuk setiap titik memenuhi relasi (1.1). Jadi biarkan koordinat X dan pada poin M memenuhi persamaan (1.4). Mengganti nilai pada 2 dari (1.4) ke sisi kanan ekspresi (1.2) untuk r 1 setelah transformasi sederhana kita menemukan bahwa

, kemudian .

Dengan cara yang persis sama, kita menemukan bahwa

. Jadi, untuk poin yang dipertimbangkan M , (1.6)

yaitu r 1 + r 2 = 2a, dan karena itu titik M terletak pada elips. Persamaan (1.4) disebut persamaan kanonik elips. Kuantitas sebuah dan b dipanggil masing-masing semiax mayor dan minor dari elips(Nama "besar" dan "kecil" dijelaskan oleh fakta bahwa a > b).

Komentar. Jika setengah sumbu elips sebuah dan b sama, maka elips adalah lingkaran yang jari-jarinya sama dengan R = sebuah = b, dan pusat bertepatan dengan asal.

hiperbola adalah himpunan titik-titik pada bidang yang nilai absolut dari perbedaan jarak ke dua titik tetap, F 1 dan F 2 bidang ini, yang disebut fokus, adalah nilai konstan ( Fokus F 1 dan F 2 wajar untuk menganggap hiperbola berbeda, karena jika konstanta yang ditunjukkan dalam definisi hiperbola tidak sama dengan nol, maka tidak ada satu titik pun pada bidang ketika F 1 dan F 2 , yang memenuhi persyaratan definisi hiperbola. Jika konstanta ini nol dan F 1 bertepatan dengan F 2 , maka setiap titik pada bidang memenuhi persyaratan definisi hiperbola. ).

Untuk menurunkan persamaan kanonik hiperbola, kita memilih titik asal koordinat di tengah segmen F 1 F 2 , kapak Oh dan OU langsung seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1.2. Biarkan panjang segmen F 1 F 2 sama dengan 2s. Kemudian dalam sistem koordinat yang dipilih titik-titik F 1 dan F 2 masing-masing memiliki koordinat (-с, 0) dan (с, 0) Dilambangkan dengan 2 sebuah konstanta yang dimaksud dalam definisi hiperbola. Jelas 2a< 2с, т. е. sebuah < с. Kita harus memastikan bahwa persamaan (1.9), yang diperoleh dari transformasi aljabar persamaan (1.8), tidak memperoleh akar baru. Untuk melakukan ini, cukup untuk membuktikan bahwa untuk setiap poin M, koordinat X dan pada yang memenuhi persamaan (1.9), besaran r 1 dan r 2 memenuhi hubungan (1.7). Melakukan argumen yang serupa dengan yang dibuat saat menurunkan rumus (1.6), kami menemukan ekspresi berikut untuk jumlah r 1 dan r 2 yang menarik bagi kami:

(1.11)

Jadi, untuk poin yang dipertimbangkan M kita punya

, dan karena itu terletak pada hiperbola.

Persamaan (1.9) disebut persamaan kanonik hiperbola. Kuantitas sebuah dan b masing-masing disebut nyata dan imajiner. setengah sumbu hiperbola.

parabola adalah himpunan titik-titik pada bidang yang jaraknya ke suatu titik tetap F bidang ini sama dengan jarak ke beberapa garis tetap, juga terletak di bidang yang dipertimbangkan.

persamaan kurva berlimpah ketika membaca literatur ekonomi Mari kita tunjukkan beberapa kurva ini.

kurva indiferen - kurva yang menunjukkan berbagai kombinasi dua produk yang memiliki nilai konsumen atau utilitas yang sama bagi konsumen.

Kurva Anggaran Konsumen adalah kurva yang menunjukkan berbagai kombinasi jumlah dua barang yang dapat dibeli konsumen pada tingkat pendapatan uang tertentu.

Kurva Kemungkinan Produksi - kurva yang menunjukkan berbagai kombinasi dua barang atau jasa yang dapat diproduksi dalam kondisi kerja penuh dan produksi penuh dalam perekonomian dengan persediaan sumber daya yang konstan dan teknologi yang tidak berubah.

Kurva permintaan investasi - kurva yang menunjukkan dinamika tingkat bunga dan volume investasi pada tingkat bunga yang berbeda.

kurva phillips- kurva yang menunjukkan adanya hubungan yang stabil antara tingkat pengangguran dan tingkat inflasi.

Kurva Laffer- kurva yang menunjukkan hubungan antara tarif pajak dan penerimaan pajak, yang menunjukkan tingkat pajak di mana penerimaan pajak mencapai maksimum.

Sebuah enumerasi sederhana dari istilah menunjukkan betapa pentingnya bagi para ekonom untuk dapat membangun grafik dan menganalisis persamaan kurva, yang merupakan garis lurus dan kurva orde kedua - lingkaran, elips, hiperbola, parabola. Selain itu, ketika memecahkan kelas besar masalah, diperlukan untuk memilih area pada bidang yang dibatasi oleh beberapa kurva yang persamaannya diberikan.Paling sering, masalah ini dirumuskan sebagai berikut: temukan rencana produksi terbaik untuk sumber daya yang diberikan. Penugasan sumber daya biasanya mengambil bentuk ketidaksetaraan, persamaan yang diberikan. Oleh karena itu, kita harus mencari nilai terbesar atau terkecil yang diambil oleh beberapa fungsi di wilayah yang ditentukan oleh persamaan sistem pertidaksamaan.

Dalam geometri analitik garis di pesawat didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang koordinatnya memenuhi persamaan F(x,y)=0. Dalam hal ini, pembatasan harus diterapkan pada fungsi F sehingga, di satu sisi, persamaan ini memiliki himpunan solusi tak terhingga dan, di sisi lain, sehingga himpunan solusi ini tidak memenuhi “bagian dari bidang ”. Kelas penting dari garis adalah yang fungsinya F(x,y) adalah polinomial dalam dua variabel, dalam hal ini garis yang didefinisikan oleh persamaan F(x,y)=0 disebut aljabar. Garis-garis aljabar yang diberikan oleh persamaan derajat pertama adalah garis lurus. Persamaan derajat kedua, yang memiliki jumlah solusi tak terbatas, mendefinisikan elips, hiperbola, parabola, atau garis yang membelah menjadi dua garis lurus.

Biarkan sistem koordinat Cartesian persegi panjang diberikan di pesawat. Garis lurus pada bidang dapat diberikan oleh salah satu persamaan:

sepuluh. Persamaan umum garis lurus

Kapak + Oleh + C = 0. (2.1)

vektor n(А,В) adalah ortogonal terhadap garis lurus, angka A dan B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

20 . Persamaan Garis dengan Kemiringan

y - y o = k (x - x o), (2.2)

di mana k adalah kemiringan garis lurus, yaitu k = tg a , dimana - nilai sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu x, M (x o , y o) - beberapa titik yang termasuk dalam garis lurus.

Persamaan (2.2) berbentuk y = kx + b jika M (0, b) adalah titik potong garis dengan sumbu Oy.

tiga puluh. Persamaan garis lurus dalam segmen

x/a + y/b = 1, (2.3)

di mana a dan b adalah nilai segmen yang dipotong oleh garis lurus pada sumbu koordinat.

40 . Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu adalah A(x 1 , y 1) dan B(x 2 , y 2):

. (2.4)

lima puluh. Persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu A(x 1 , y 1) sejajar dengan vektor tertentu sebuah(M N)

. (2.5)

60 . Persamaan normal garis lurus

rn o - p = 0, (2.6)

di mana r adalah jari-jari titik sembarang M(x,y) dari garis ini, n o adalah vektor satuan ortogonal terhadap garis ini dan diarahkan dari titik asal ke garis; p adalah jarak dari titik asal ke garis lurus.

Normal dalam bentuk koordinat memiliki bentuk:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

dimana - nilai sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu x.

Persamaan garis pensil yang berpusat di titik A (x 1, y 1) memiliki bentuk:

y-y 1 = l (x-x 1),

dimana aku adalah parameter balok. Jika balok diberikan oleh dua garis berpotongan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, maka persamaannya berbentuk:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

dimana l dan m adalah parameter balok yang tidak berubah menjadi 0 pada saat yang bersamaan.

Sudut antara garis y \u003d kx + b dan y \u003d k 1 x + b 1 diberikan oleh rumus:

tgj = .

Persamaan 1 + k 1 k = 0 adalah syarat perlu dan syarat cukup agar garis tegak lurus.

Untuk membuat dua persamaan

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

mengatur garis lurus yang sama, perlu dan cukup bahwa koefisiennya proporsional:

A 1 / A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

Persamaan (2.7), (2.8) mendefinisikan dua garis sejajar yang berbeda jika A 1 /A 2 = B 1 /B 2 dan B 1 /B 2¹ C1 /C2; garis berpotongan jika A 1 /A 2 B1/B2.

Jarak d dari titik M o (x o, y o) ke garis lurus adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari titik M o ke garis lurus. Jika garis diberikan oleh persamaan normal, maka d =ê r tentang n o - r , di mana r o adalah vektor jari-jari titik M o atau, dalam bentuk koordinat, d = x o cos a + y o sin a - r .

Persamaan umum dari kurva orde kedua memiliki bentuk

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

Diasumsikan bahwa di antara koefisien persamaan a 11 , a 12 , a 22 ada selain nol.

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik C(a,b) dan berjari-jari R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

Elipstempat kedudukan titik disebut, jumlah jarak dari dua titik yang diberikan F 1 dan F 2 (fokus) adalah nilai konstan yang sama dengan 2a.

Persamaan kanonik (paling sederhana) dari elips

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Elips yang diberikan oleh persamaan (2.10) adalah simetris terhadap sumbu koordinat. Pilihan sebuah dan b ditelepon poros gandar elips.

Misalkan a>b, maka fokus F 1 dan F 2 berada pada sumbu Ox pada jarak
c= dari asal. Rasio c/a = e < 1 называется keanehan elips. Jarak dari titik M(x, y) dari elips ke fokusnya (vektor radius fokus) ditentukan oleh rumus:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

Jika sebuah< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

Jika a = b, maka elips adalah lingkaran yang berpusat di titik asal jari-jari sebuah.

hiperbolatempat kedudukan titik-titik disebut, selisih jarak dari dua titik tertentu F 1 dan F 2 (fokus) sama nilai absolutnya dengan bilangan 2a yang diberikan.

Persamaan kanonik hiperbola

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Hiperbola yang diberikan oleh persamaan (2.11) adalah simetris terhadap sumbu koordinat. Ini memotong sumbu Ox di titik A (a,0) dan A (-a,0) - simpul hiperbola dan tidak memotong sumbu Oy. Parameter sebuah ditelepon setengah sumbu nyata, b -sumbu imajiner. Parameter c= adalah jarak dari fokus ke titik asal. Rasio c/a = e >1 disebut keanehan hiperbola. Garis lurus yang persamaannya y =± b/a x disebut asimtot hiperbola. Jarak dari titik M(x,y) hiperbola ke fokusnya (vektor radius fokus) ditentukan oleh rumus:

r 1 = e x - a , r 2 = e x + a .

Hiperbola dengan a = b disebut sama sisi, persamaannya x 2 - y 2 \u003d a 2, dan persamaan asimtot y \u003d± x. Hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 dan
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 disebut terkonjugasi.

parabolaadalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu (fokus) dan suatu garis tertentu (directrix).

Persamaan kanonik parabola memiliki dua bentuk:

1) y 2 \u003d 2px - parabola simetris terhadap sumbu Ox.

2) x 2 \u003d 2py - parabola simetris terhadap sumbu Oy.

Dalam kedua kasus, p>0 dan titik puncak parabola, yaitu titik yang terletak pada sumbu simetri, terletak di titik asal.

Sebuah parabola yang persamaannya y 2 = 2рx memiliki fokus F(р/2,0) dan directrix x = - /2, radius fokus-vektor titik M(x, y) padanya r = x+ /2.

Parabola yang persamaan x 2 =2py memiliki fokus F(0, p/2) dan directrix y = - p/2; vektor radius fokus titik M(x, y) parabola adalah r = y + p/2.

Persamaan F(x, y) = 0 mendefinisikan garis yang membagi bidang menjadi dua bagian atau lebih. Di salah satu bagian ini, pertidaksamaan F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Dengan kata lain, garis
F(x, y)=0 memisahkan bagian bidang di mana F(x, y)>0 dari bagian bidang di mana F(x, y)<0.

Garis lurus, yang persamaannya adalah Ax+By+C = 0, membagi bidang menjadi dua setengah bidang. Dalam praktiknya, untuk mengetahui di setengah bidang mana kita memiliki Ax + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, terapkan metode breakpoint. Untuk melakukan ini, ambil titik kontrol (tentu saja, tidak terletak pada garis lurus, persamaannya adalah Ax + By + C = 0) dan periksa tanda apa yang dimiliki ekspresi Ax + By + C pada titik ini. Tanda yang sama memiliki ekspresi yang ditunjukkan di seluruh setengah bidang di mana titik kontrol terletak. Pada setengah bidang kedua Ax+By+C memiliki tanda yang berlawanan.

Pertidaksamaan nonlinier dengan dua hal yang tidak diketahui diselesaikan dengan cara yang sama.

Sebagai contoh, selesaikan pertidaksamaan x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Dapat ditulis ulang menjadi (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Persamaan (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 mendefinisikan lingkaran dengan pusat di titik C(2,-3) dan jari-jari 5. Lingkaran membagi bidang menjadi dua bagian - bagian dalam dan luar. Untuk mengetahui di mana dari mereka ketidaksetaraan ini terjadi, kami mengambil titik kontrol di wilayah dalam, misalnya, pusat C(2,-3) dari lingkaran kami. Mengganti koordinat titik C ke sisi kiri pertidaksamaan, kita mendapatkan angka negatif -25. Oleh karena itu, di semua titik yang terletak di dalam lingkaran, pertidaksamaan
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Contoh 1.5.Buatlah persamaan garis yang melalui titik A(3,1) dan condong ke garis 2x+3y-1 = 0 dengan sudut 45 o .

Keputusan.Kami akan mencari dalam bentuk y=kx+b. Karena garis melewati titik A, koordinatnya memenuhi persamaan garis, yaitu. 1=3k+b,Þ b=1-3k. Sudut antar garis
y= k 1 x+b 1 dan y= kx+b didefinisikan dengan rumus tg j = . Karena kemiringan k 1 dari garis asli 2x+3y-1=0 adalah - 2/3, dan sudut j = 45 o , maka kita memiliki persamaan untuk menentukan k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 atau (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Kami memiliki dua nilai k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Menemukan nilai yang sesuai dari b dengan rumus b=1-3k, kami mendapatkan dua garis yang diinginkan, persamaannya adalah: x - 5y + 2 = 0 dan
5x + y - 16 = 0.

Contoh 1.6. Berapa nilai parameternya? t garis yang persamaannya 3tx-8y+1 = 0 dan (1+t)x-2ty = 0 sejajar?

Keputusan.Garis lurus yang diberikan oleh persamaan umum adalah sejajar jika koefisien di x dan kamu proporsional, yaitu 3t/(1+t) = -8/(-2t). Memecahkan persamaan yang dihasilkan, kami menemukan t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Contoh 1.7. Tentukan persamaan tali busur dari dua lingkaran:
x 2 +y 2 =10 dan x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Keputusan.Temukan titik potong lingkaran, untuk ini kami memecahkan sistem persamaan:

Memecahkan persamaan pertama, kami menemukan nilai x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. Dari persamaan kedua - nilai yang sesuai kamu: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Sekarang kita mendapatkan persamaan akord yang sama, mengetahui dua titik A (3,1) dan B (1,3) milik garis ini: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3), atau y+ x - 4 = 0.

Contoh 1.8. Bagaimana letak titik-titik pada bidang yang koordinatnya memenuhi syarat (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Keputusan.Pertidaksamaan pertama dari sistem mendefinisikan bagian dalam lingkaran, tidak termasuk batas, mis. lingkaran dengan pusat di titik (3,3) dan jari-jari . Pertidaksamaan kedua mendefinisikan setengah bidang yang ditentukan oleh garis lurus yang persamaannya adalah x = y, dan, karena pertidaksamaannya ketat, titik-titik dari garis lurus itu sendiri tidak termasuk dalam setengah bidang, dan semua titik di bawah garis lurus ini garis milik setengah bidang. Karena kita mencari titik yang memenuhi kedua pertidaksamaan, maka luas yang diinginkan adalah bagian dalam setengah lingkaran.

Contoh 1.9.Hitung panjang sisi bujur sangkar dalam elips yang persamaannya adalah x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1.

Keputusan.Biarlah M(s, s)- puncak bujur sangkar, terletak di kuartal pertama. Maka sisi persegi tersebut adalah 2 dengan. Karena dot M termasuk elips, koordinatnya memenuhi persamaan elips c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, dari mana
c = ab/ ; jadi sisi persegi adalah 2ab/ .

Contoh 1.10.Mengetahui persamaan asimtot hiperbola y =± 0,5 x dan salah satu titiknya M (12, 3), buat persamaan hiperbola.

Keputusan.Kami menulis persamaan kanonik hiperbola: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Asimtot hiperbola diberikan oleh persamaan y =± 0,5 x, jadi b/a = 1/2, maka a=2b. Sejauh M- titik hiperbola, maka koordinatnya memenuhi persamaan hiperbola, mis. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Diketahui a = 2b, kita temukan b: b 2 =9Þ b=3 dan a=6. Maka persamaan hiperbolanya adalah x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Contoh 1.11.Hitung panjang sisi segitiga beraturan ABC pada parabola dengan parameter R, dengan asumsi bahwa titik A bertepatan dengan titik parabola.

Keputusan.Persamaan kanonik parabola dengan parameter R memiliki bentuk y 2 = 2рx, simpulnya berimpit dengan titik asal, dan parabolanya simetris terhadap sumbu x. Karena garis AB membentuk sudut 30 o dengan sumbu Ox, persamaan garisnya adalah: y = x. banyak grafik

Oleh karena itu, kita dapat mencari koordinat titik B dengan menyelesaikan sistem persamaan y 2 =2px, y = x, dari mana x = 6p, y = 2p. Jadi, jarak antara titik A(0,0) dan B(6p,2p) adalah 4p.