Fungsi utama tanda kurung adalah untuk mengubah urutan tindakan saat menghitung nilai. Misalnya, dalam ekspresi numerik \(5 3+7\) perkalian akan dihitung terlebih dahulu, lalu penjumlahan: \(5 3+7 =15+7=22\). Namun dalam ekspresi \(5·(3+7)\), penambahan dalam tanda kurung akan dihitung terlebih dahulu, baru kemudian perkalian: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Contoh. Luaskan tanda kurung: \(-(4m+3)\).
Keputusan : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Contoh. Luaskan tanda kurung dan berikan suku sejenis \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Keputusan : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Contoh. Perluas tanda kurung \(5(3-x)\).
Keputusan : Kami memiliki \(3\) dan \(-x\) di dalam tanda kurung, dan lima di depan tanda kurung. Ini berarti bahwa setiap anggota kurung dikalikan dengan \ (5 \) - saya ingatkan Anda bahwa tanda perkalian antara angka dan tanda kurung dalam matematika tidak ditulis untuk mengurangi ukuran catatan.

Contoh. Perluas tanda kurung \(-2(-3x+5)\).
Keputusan : Seperti pada contoh sebelumnya, tanda kurung \(-3x\) dan \(5\) dikalikan dengan \(-2\).

Contoh. Sederhanakan ekspresi: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Keputusan : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Masih mempertimbangkan situasi terakhir.

Saat mengalikan kurung dengan kurung, setiap suku kurung pertama dikalikan dengan setiap suku kedua:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Contoh. Perluas tanda kurung \((2-x)(3x-1)\).
Keputusan : Kami memiliki produk kurung dan bisa langsung dibuka menggunakan rumus di atas. Namun agar tidak bingung, mari kita lakukan semuanya langkah demi langkah.
Langkah 1. Lepaskan braket pertama - masing-masing anggotanya dikalikan dengan braket kedua:

Langkah 2. Perluas produk braket dengan faktor seperti yang dijelaskan di atas:
- yang pertama dulu...

Kemudian yang kedua.

Langkah 3. Sekarang kita kalikan dan bawa suku-suku serupa:

Tidak perlu melukis semua transformasi secara detail, Anda bisa langsung mengalikannya. Tetapi jika Anda baru belajar membuka tanda kurung - tulis dengan detail, kemungkinan membuat kesalahan akan lebih kecil.

Catatan untuk seluruh bagian. Sebenarnya, Anda tidak perlu mengingat keempat aturan tersebut, Anda hanya perlu mengingat satu, yang ini: \(c(a-b)=ca-cb\) . Mengapa? Karena jika kita mengganti satu dan bukan c, kita mendapatkan aturan \((a-b)=a-b\) . Dan jika kita mengganti minus satu, kita mendapatkan aturan \(-(a-b)=-a+b\) . Nah, jika Anda mengganti braket lain alih-alih c, Anda bisa mendapatkan aturan terakhir.

kurung di dalam kurung

Terkadang dalam praktiknya ada masalah dengan tanda kurung yang bersarang di dalam tanda kurung lainnya. Berikut adalah contoh tugas tersebut: untuk menyederhanakan ekspresi \(7x+2(5-(3x+y))\).

Agar berhasil dalam tugas-tugas ini, Anda perlu:
- pahami dengan cermat sarang tanda kurung - yang mana;
- buka tanda kurung secara berurutan, mulai, misalnya, dengan yang terdalam.

Penting saat membuka salah satu kurung jangan sentuh sisa ekspresi, hanya menulis ulang apa adanya.
Mari kita ambil tugas di atas sebagai contoh.

Contoh. Buka tanda kurung dan berikan suku sejenis \(7x+2(5-(3x+y))\).
Keputusan:

Contoh. Perluas tanda kurung dan berikan suku sejenis \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Keputusan :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Ini adalah sarang tiga kurung. Kita mulai dengan yang paling dalam (disorot dengan warna hijau). Ada plus di depan tanda kurung, jadi dihilangkan begitu saja.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Sekarang Anda perlu membuka braket kedua, perantara. Namun sebelum itu, kami akan menyederhanakan ekspresi dengan membuat bayangan istilah serupa di braket kedua ini.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Sekarang kita membuka braket kedua (disorot dengan warna biru). Ada pengali di depan kurung - jadi setiap suku di dalam kurung dikalikan.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Dan buka kurung terakhir. Sebelum braket minus - jadi semua tanda dibalik.

Membuka tanda kurung adalah keterampilan dasar dalam matematika. Tanpa keterampilan ini, tidak mungkin memiliki nilai di atas tiga di kelas 8 dan 9. Oleh karena itu, saya merekomendasikan pemahaman yang baik tentang topik ini.

Dalam video ini, kami akan menganalisis seluruh rangkaian persamaan linier yang diselesaikan menggunakan algoritma yang sama - itulah mengapa mereka disebut yang paling sederhana.

Untuk memulainya, mari kita definisikan: apa itu persamaan linier dan mana yang harus disebut yang paling sederhana?

Persamaan linear adalah persamaan yang hanya memiliki satu variabel, dan hanya memiliki derajat pertama.

Persamaan paling sederhana berarti konstruksi:

Semua persamaan linier lainnya direduksi menjadi yang paling sederhana menggunakan algoritma:

1. Tanda kurung buka, jika ada;
2. Pindahkan suku-suku yang mengandung variabel ke satu sisi tanda sama dengan, dan suku-suku tanpa variabel ke sisi lainnya;
3. Bawa suku-suku sejenis ke kiri dan kanan tanda sama dengan;
4. Bagilah persamaan yang dihasilkan dengan koefisien variabel $x$ .

Tentu saja, algoritma ini tidak selalu membantu. Faktanya adalah bahwa kadang-kadang, setelah semua intrik ini, koefisien variabel $x$ ternyata sama dengan nol. Dalam hal ini, dua opsi dimungkinkan:

1. Persamaan tidak memiliki solusi sama sekali. Misalnya, ketika Anda mendapatkan sesuatu seperti $0\cdot x=8$, mis. di sebelah kiri adalah nol, dan di sebelah kanan adalah angka bukan nol. Dalam video di bawah ini, kita akan melihat beberapa alasan mengapa situasi ini mungkin terjadi.
2. Solusinya adalah semua angka. Satu-satunya kasus ketika ini mungkin adalah ketika persamaan telah direduksi menjadi konstruksi $0\cdot x=0$. Cukup logis bahwa berapa pun $x$ yang kita substitusikan, tetap akan menghasilkan "nol sama dengan nol", yaitu. persamaan numerik yang benar.

Dan sekarang mari kita lihat bagaimana semuanya bekerja pada contoh masalah nyata.

Contoh penyelesaian persamaan

Hari ini kita berurusan dengan persamaan linier, dan hanya yang paling sederhana. Secara umum, persamaan linier berarti setiap persamaan yang memuat tepat satu variabel, dan hanya berlaku sampai derajat pertama.

Konstruksi semacam itu diselesaikan dengan cara yang kira-kira sama:

1. Pertama-tama, Anda perlu membuka tanda kurung, jika ada (seperti dalam contoh terakhir kami);
2. Kemudian bawa yang serupa
3. Akhirnya, isolasi variabel, mis. segala sesuatu yang berhubungan dengan variabel - istilah yang dikandungnya - dipindahkan ke satu sisi, dan segala sesuatu yang tersisa tanpa variabel dipindahkan ke sisi lain.

Kemudian, sebagai aturan, Anda perlu membawa persamaan di setiap sisi dari persamaan yang dihasilkan, dan setelah itu hanya tinggal membagi dengan koefisien di "x", dan kami akan mendapatkan jawaban akhir.

Secara teori, ini terlihat bagus dan sederhana, tetapi dalam praktiknya, bahkan siswa sekolah menengah yang berpengalaman dapat membuat kesalahan yang menyinggung dalam persamaan linier yang cukup sederhana. Biasanya, kesalahan dibuat baik saat membuka tanda kurung, atau saat menghitung "plus" dan "minus".

Selain itu, kebetulan persamaan linier tidak memiliki solusi sama sekali, atau sehingga solusinya adalah seluruh garis bilangan, mis. nomor apapun. Kami akan menganalisis seluk-beluk ini dalam pelajaran hari ini. Tetapi kami akan mulai, seperti yang sudah Anda pahami, dengan tugas paling sederhana.

Skema untuk menyelesaikan persamaan linier sederhana

Untuk memulainya, izinkan saya sekali lagi menulis seluruh skema untuk menyelesaikan persamaan linier paling sederhana:

1. Perluas tanda kurung, jika ada.
2. Variabel terpisah, mis. segala sesuatu yang mengandung "x" dipindahkan ke satu sisi, dan tanpa "x" - ke sisi lain.
3. Kami menyajikan istilah serupa.
4. Kami membagi semuanya dengan koefisien di "x".

Tentu saja, skema ini tidak selalu berhasil, ia memiliki kehalusan dan trik tertentu, dan sekarang kita akan mengenalnya.

Memecahkan contoh nyata persamaan linier sederhana

Tugas 1

Pada langkah pertama, kita diharuskan untuk membuka kurung. Tapi mereka tidak ada dalam contoh ini, jadi kita lewati langkah ini. Pada langkah kedua, kita perlu mengisolasi variabel. Harap dicatat: kita hanya berbicara tentang istilah individu. Mari menulis:

Kami memberikan istilah serupa di kiri dan di kanan, tetapi ini sudah dilakukan di sini. Oleh karena itu, kami melanjutkan ke langkah keempat: bagi dengan faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Di sini kami mendapat jawabannya.

Tugas #2

Dalam tugas ini, kita dapat mengamati tanda kurung, jadi mari kita kembangkan:

Baik di kiri maupun di kanan, kita melihat konstruksi yang kira-kira sama, tetapi mari kita bertindak sesuai dengan algoritme, yaitu. variabel penyerap:

Berikut beberapa seperti:

Pada akar apa ini bekerja? Jawaban: untuk apa saja. Oleh karena itu, kita dapat menulis bahwa $x$ adalah bilangan apa saja.

Tugas #3

Persamaan linier ketiga sudah lebih menarik:

\[\kiri(6-x \kanan)+\kiri(12+x \kanan)-\kiri(3-2x \kanan)=15\]

Ada beberapa tanda kurung di sini, tetapi tidak dikalikan dengan apa pun, mereka hanya memiliki tanda yang berbeda di depannya. Mari kita uraikan:

Kami melakukan langkah kedua yang sudah kami ketahui:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Mari kita hitung:

Kami melakukan langkah terakhir - kami membagi semuanya dengan koefisien di "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Hal-hal yang Perlu Diingat Saat Menyelesaikan Persamaan Linier

Jika kita mengabaikan tugas yang terlalu sederhana, maka saya ingin mengatakan yang berikut:

• Seperti yang saya katakan di atas, tidak setiap persamaan linier memiliki solusi - terkadang tidak ada akar;
• Bahkan jika ada akar, nol bisa masuk di antara mereka - tidak ada yang salah dengan itu.

Nol adalah angka yang sama dengan yang lain, Anda tidak boleh membeda-bedakannya atau berasumsi bahwa jika Anda mendapatkan nol, maka Anda melakukan sesuatu yang salah.

Fitur lain terkait dengan perluasan tanda kurung. Harap diperhatikan: ketika ada "minus" di depannya, kami menghapusnya, tetapi dalam tanda kurung kami mengubah tanda menjadi di depan. Dan kemudian kita dapat membukanya sesuai dengan algoritma standar: kita akan mendapatkan apa yang kita lihat dalam perhitungan di atas.

Memahami fakta sederhana ini akan membantu Anda menghindari membuat kesalahan bodoh dan menyakitkan di sekolah menengah, ketika melakukan tindakan seperti itu dianggap biasa.

Memecahkan persamaan linier kompleks

Mari kita beralih ke persamaan yang lebih kompleks. Sekarang konstruksi akan menjadi lebih rumit dan fungsi kuadrat akan muncul ketika melakukan berbagai transformasi. Namun, Anda tidak perlu takut akan hal ini, karena jika, menurut maksud penulis, kita memecahkan persamaan linier, maka dalam proses transformasi semua monomial yang mengandung fungsi kuadrat akan direduksi.

Contoh 1

Jelas, langkah pertama adalah membuka kurung. Mari kita lakukan ini dengan sangat hati-hati:

Sekarang mari kita ambil privasi:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Berikut beberapa seperti:

Jelas, persamaan ini tidak memiliki solusi, jadi dalam jawabannya kami menulis sebagai berikut:

\[\variasi \]

atau tanpa akar.

Contoh #2

Kami melakukan langkah yang sama. Langkah pertama:

Mari kita pindahkan semuanya dengan variabel ke kiri, dan tanpa itu - ke kanan:

Berikut beberapa seperti:

Jelas, persamaan linier ini tidak memiliki solusi, jadi kami menulisnya seperti ini:

\\[\varnothing\],

atau tanpa akar.

Nuansa solusi

Kedua persamaan diselesaikan sepenuhnya. Pada contoh dua ekspresi ini, kami sekali lagi memastikan bahwa bahkan dalam persamaan linier paling sederhana, semuanya tidak bisa sesederhana itu: bisa ada satu, atau tidak ada, atau banyak sekali. Dalam kasus kami, kami mempertimbangkan dua persamaan, di keduanya tidak ada akar.

Tetapi saya ingin menarik perhatian Anda ke fakta lain: cara bekerja dengan tanda kurung dan cara memperluasnya jika ada tanda minus di depannya. Pertimbangkan ungkapan ini:

Sebelum membuka, Anda perlu mengalikan semuanya dengan "x". Harap dicatat: kalikan setiap istilah individu. Di dalamnya ada dua istilah - masing-masing, dua istilah dan dikalikan.

Dan hanya setelah transformasi yang tampaknya mendasar, tetapi sangat penting dan berbahaya ini telah selesai, braket dapat dibuka dari sudut pandang bahwa ada tanda minus setelahnya. Ya, ya: baru sekarang, ketika transformasi selesai, kami ingat bahwa ada tanda minus di depan tanda kurung, yang berarti bahwa semua yang ada di bawah hanya berubah tanda. Pada saat yang sama, tanda kurung itu sendiri menghilang dan, yang paling penting, "minus" depan juga menghilang.

Kami melakukan hal yang sama dengan persamaan kedua:

Bukan kebetulan bahwa saya memperhatikan fakta-fakta kecil yang tampaknya tidak penting ini. Karena penyelesaian persamaan selalu merupakan urutan transformasi dasar, di mana ketidakmampuan untuk secara jelas dan kompeten melakukan tindakan sederhana mengarah pada fakta bahwa siswa sekolah menengah datang kepada saya dan belajar memecahkan persamaan sederhana seperti itu lagi.

Tentu saja, saatnya akan tiba ketika Anda akan mengasah keterampilan ini menjadi otomatisme. Anda tidak lagi harus melakukan begitu banyak transformasi setiap kali, Anda akan menulis semuanya dalam satu baris. Tetapi saat Anda baru belajar, Anda perlu menulis setiap tindakan secara terpisah.

Memecahkan persamaan linier yang lebih kompleks

Apa yang akan kita selesaikan sekarang hampir tidak bisa disebut tugas paling sederhana, tetapi artinya tetap sama.

Tugas 1

\[\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]

Mari kita kalikan semua elemen di bagian pertama:

Mari kita lakukan retret:

Berikut beberapa seperti:

Mari kita lakukan langkah terakhir:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Inilah jawaban terakhir kami. Dan, terlepas dari kenyataan bahwa dalam proses penyelesaian kami memiliki koefisien dengan fungsi kuadrat, namun, mereka saling membatalkan, yang membuat persamaan persis linier, bukan persegi.

Tugas #2

\[\kiri(1-4x \kanan)\kiri(1-3x \kanan)=6x\kiri(2x-1 \kanan)\]

Mari lakukan langkah pertama dengan hati-hati: kalikan setiap elemen di kurung pertama dengan setiap elemen di kurung kedua. Secara total, empat istilah baru harus diperoleh setelah transformasi:

Dan sekarang dengan hati-hati lakukan perkalian di setiap suku:

Mari pindahkan suku dengan "x" ke kiri, dan tanpa - ke kanan:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Berikut adalah istilah serupa:

Kami telah menerima jawaban yang pasti.

Nuansa solusi

Pernyataan paling penting tentang kedua persamaan ini adalah ini: segera setelah kita mulai mengalikan tanda kurung yang memiliki lebih dari satu suku, maka ini dilakukan sesuai dengan aturan berikut: kita ambil suku pertama dari yang pertama dan kalikan dengan setiap elemen dari yang kedua; kemudian kami mengambil elemen kedua dari yang pertama dan dengan cara yang sama mengalikan dengan setiap elemen dari yang kedua. Hasilnya, kami mendapatkan empat suku.

Pada jumlah aljabar

Dengan contoh terakhir, saya ingin mengingatkan siswa apa itu jumlah aljabar. Dalam matematika klasik, dengan $1-7$ yang kami maksud adalah konstruksi sederhana: kami mengurangi tujuh dari satu. Dalam aljabar, yang kami maksud dengan ini adalah sebagai berikut: ke angka "satu" kami menambahkan angka lain, yaitu "dikurangi tujuh." Jumlah aljabar ini berbeda dari jumlah aritmatika biasa.

Segera setelah melakukan semua transformasi, setiap penambahan dan perkalian, Anda mulai melihat konstruksi yang mirip dengan yang dijelaskan di atas, Anda tidak akan memiliki masalah dalam aljabar saat bekerja dengan polinomial dan persamaan.

Sebagai kesimpulan, mari kita lihat beberapa contoh lagi yang akan lebih kompleks daripada yang baru saja kita lihat, dan untuk menyelesaikannya, kita harus sedikit memperluas algoritme standar kita.

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan

Untuk menyelesaikan tugas seperti itu, satu langkah lagi harus ditambahkan ke algoritme kami. Tapi pertama-tama, saya akan mengingatkan algoritma kami:

1. Buka kurung.
2. Variabel terpisah.
3. Bawa serupa.
4. Bagi dengan faktor.

Sayangnya, algoritme yang luar biasa ini, untuk semua efisiensinya, tidak sepenuhnya tepat ketika kita memiliki pecahan di depan kita. Dan dalam apa yang akan kita lihat di bawah, kita memiliki pecahan di kiri dan kanan di kedua persamaan.

Bagaimana cara bekerja dalam kasus ini? Ya, itu sangat sederhana! Untuk melakukan ini, Anda perlu menambahkan satu langkah lagi ke algoritme, yang dapat dilakukan sebelum tindakan pertama dan sesudahnya, yaitu, untuk menghilangkan pecahan. Dengan demikian, algoritmanya akan menjadi sebagai berikut:

1. Singkirkan pecahan.
2. Buka kurung.
3. Variabel terpisah.
4. Bawa serupa.
5. Bagi dengan faktor.

Apa artinya "menyingkirkan pecahan"? Dan mengapa mungkin melakukan ini setelah dan sebelum langkah standar pertama? Faktanya, dalam kasus kami, semua pecahan adalah numerik dalam hal penyebut, yaitu. dimana-mana penyebutnya hanyalah sebuah angka. Oleh karena itu, jika kita mengalikan kedua bagian persamaan dengan angka ini, maka kita akan menghilangkan pecahan.

Contoh 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Mari kita singkirkan pecahan dalam persamaan ini:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Harap dicatat: semuanya dikalikan dengan "empat" sekali, mis. hanya karena Anda memiliki dua tanda kurung tidak berarti Anda harus mengalikan masing-masing tanda kurung dengan "empat". Mari menulis:

\[\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]

Sekarang mari kita buka:

Kami melakukan pengasingan variabel:

Kami melakukan pengurangan istilah serupa:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \kanan) \kanan.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Kami telah menerima solusi akhir, kami meneruskan ke persamaan kedua.

Contoh #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Di sini kami melakukan semua tindakan yang sama:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Masalah terpecahkan.

Sebenarnya, hanya itu yang ingin saya ceritakan hari ini.

Poin-poin penting

Temuan kuncinya adalah sebagai berikut:

• Mengetahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear.
• Kemampuan untuk membuka kurung.
• Jangan khawatir jika di suatu tempat Anda memiliki fungsi kuadrat, kemungkinan besar, dalam proses transformasi lebih lanjut, mereka akan berkurang.
• Akar dalam persamaan linier, bahkan yang paling sederhana, terdiri dari tiga jenis: satu akar tunggal, seluruh garis bilangan adalah akar, tidak ada akar sama sekali.

Saya harap pelajaran ini akan membantu Anda menguasai topik yang sederhana, tetapi sangat penting untuk pemahaman lebih lanjut tentang semua matematika. Jika ada yang tidak jelas, buka situsnya, selesaikan contoh yang disajikan di sana. Nantikan, masih banyak hal menarik lainnya menanti Anda!

"Kurung pembuka" - Buku pelajaran matematika Kelas 6 (Vilenkin)

Deskripsi Singkat:

Di bagian ini, Anda akan mempelajari cara membuka tanda kurung dalam contoh. Untuk apa? Semua sama seperti sebelumnya - untuk memudahkan Anda menghitung, membuat lebih sedikit kesalahan, dan idealnya (impian guru matematika Anda) untuk menyelesaikan semuanya tanpa kesalahan sama sekali.
Anda sudah tahu bahwa tanda kurung dalam notasi matematika ditempatkan jika dua tanda matematika berturut-turut, jika kita ingin menunjukkan penyatuan angka, penataan ulang mereka. Memperluas tanda kurung berarti menghilangkan karakter tambahan. Misalnya: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Apakah Anda ingat sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan? Lagi pula, dalam contoh itu, kami juga menghilangkan tanda kurung untuk menyederhanakan perhitungan. Sifat perkalian bernama juga dapat diterapkan pada empat, tiga, lima atau lebih suku. Misalnya: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Pernahkah Anda memperhatikan bahwa saat membuka tanda kurung, angka di dalamnya tidak berubah tanda jika angka di depan tanda kurung adalah positif? Bagaimanapun, lima belas adalah angka positif. Dan jika Anda memecahkan contoh ini: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Kami memiliki angka negatif minus lima belas di depan tanda kurung, ketika kami membuka tanda kurung semua angka mulai mengubah tandanya ke tanda lain - sebaliknya - dari plus ke minus.
Berdasarkan contoh di atas, dua aturan dasar untuk membuka kurung dapat disuarakan:
1. Jika Anda memiliki angka positif di depan tanda kurung, maka setelah membuka tanda kurung, semua tanda angka dalam tanda kurung tidak berubah, tetapi tetap sama persis seperti semula.
2. Jika Anda memiliki angka negatif di depan tanda kurung, maka setelah tanda kurung dibuka, tanda minus tidak lagi ditulis, dan tanda semua bilangan mutlak dalam tanda kurung dibalik dengan tajam.
Misalnya: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Mari kita sedikit memperumit contoh kita: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Anda perhatikan bahwa membuka kurung kedua, kami mengalikannya dengan 2, tetapi tanda-tandanya tetap sama seperti sebelumnya. Dan ini contohnya: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, dalam contoh ini bilangan dua negatif, itu adalah sebelum tanda kurung berdiri dengan tanda minus, oleh karena itu, membukanya, kami mengubah tanda-tanda angka menjadi yang berlawanan (sembilan dengan plus, menjadi dengan minus, delapan dengan minus, menjadi dengan plus ).

Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu di mana Achilles berlari sejauh ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa tipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dari sudut pandang fisik, sepertinya waktu melambat hingga berhenti total pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.

Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya menjadi pada tempatnya. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Yang ingin saya tunjukkan secara khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan karena keduanya memberikan peluang yang berbeda untuk eksplorasi.

Rabu, 4 Juli 2018

Sangat baik perbedaan antara set dan multiset dijelaskan di Wikipedia. Kami melihat.

Seperti yang Anda lihat, "kumpulan tidak dapat memiliki dua elemen yang identik", tetapi jika ada elemen yang identik di dalam himpunan, himpunan seperti itu disebut "multiset". Makhluk yang berakal tidak akan pernah mengerti logika absurditas seperti itu. Ini adalah tingkat burung beo yang bisa berbicara dan monyet yang terlatih, di mana pikiran absen dari kata "sepenuhnya". Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengkhotbahkan ide-ide absurd mereka kepada kami.

Sekali waktu, para insinyur yang membangun jembatan berada di sebuah perahu di bawah jembatan selama pengujian jembatan. Jika jembatan runtuh, insinyur biasa-biasa saja mati di bawah puing-puing ciptaannya. Jika jembatan dapat menahan beban, insinyur berbakat membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana matematikawan bersembunyi di balik ungkapan "ingat aku, aku di rumah", atau lebih tepatnya "matematika mempelajari konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika untuk matematikawan itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di meja kas, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan meletakkannya di meja kami ke dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami meletakkan uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu tagihan dari setiap tumpukan dan memberikan "kumpulan gaji matematika" kepada ahli matematika itu. Kami menjelaskan matematika bahwa dia akan menerima sisa tagihan hanya ketika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: "Anda dapat menerapkannya pada orang lain, tetapi tidak pada saya!" Selanjutnya, jaminan akan dimulai bahwa ada nomor uang kertas yang berbeda pada uang kertas dari denominasi yang sama, yang berarti bahwa mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang identik. Yah, kami menghitung gaji dalam koin - tidak ada angka di koin. Di sini ahli matematika akan dengan panik mengingat fisika: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom untuk setiap koin adalah unik ...

Dan sekarang saya memiliki pertanyaan yang paling menarik: di mana batas di luar elemen multiset mana yang berubah menjadi elemen himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains di sini bahkan tidak dekat.

Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama, artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita mempertimbangkan nama stadion yang sama, kita dapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama adalah himpunan dan multiset pada waktu yang sama. Bagaimana benar? Dan di sini matematikawan-dukun-shuller mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang satu set atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, mengikatnya pada kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: bagaimana elemen satu himpunan berbeda dari elemen himpunan lain? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".

Minggu, 18 Maret 2018

Jumlah digit angka adalah tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk menemukan jumlah digit angka dan menggunakannya, tetapi mereka adalah dukun untuk itu, untuk mengajari keturunan mereka keterampilan dan kebijaksanaan mereka, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.

Apakah Anda perlu bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah Digit Angka". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dengannya Anda dapat menemukan jumlah digit dari bilangan apa pun. Bagaimanapun, angka adalah simbol grafik yang dengannya kita menulis angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya terdengar seperti ini: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak dapat memecahkan masalah ini, tetapi dukun dapat melakukannya secara mendasar.

Mari kita cari tahu apa dan bagaimana kita lakukan untuk menemukan jumlah digit dari angka yang diberikan. Jadi, misalkan kita memiliki bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk menemukan jumlah angka dari bilangan ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.

1. Tulis nomornya di secarik kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengonversi angka menjadi simbol grafik angka. Ini bukan operasi matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang diterima menjadi beberapa gambar yang berisi nomor terpisah. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.

3. Ubah karakter grafik individu menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.

4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang itu matematika.

Jumlah angka dari angka 12345 adalah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" dari dukun yang digunakan oleh ahli matematika. Tapi itu tidak semua.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah di sistem bilangan mana kita menulis bilangan. Jadi, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari angka yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. Dengan jumlah besar 12345, saya tidak ingin membodohi kepala saya, perhatikan angka 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka dari angka yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Ini seperti menemukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter akan memberikan hasil yang sama sekali berbeda.

Nol di semua sistem bilangan terlihat sama dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta bahwa . Sebuah pertanyaan untuk matematikawan: bagaimana itu dilambangkan dalam matematika yang bukan angka? Apa, untuk ahli matematika, tidak ada yang lain selain angka? Untuk dukun, saya bisa mengizinkan ini, tetapi untuk ilmuwan, tidak. Realitas bukan hanya tentang angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak dapat membandingkan angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeda dari kuantitas yang sama menyebabkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil tindakan matematika tidak bergantung pada nilai angka, unit pengukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan ini.

Tanda di pintu Membuka pintu dan berkata:

Aduh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa yang tidak terbatas saat naik ke surga! Nimbus di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?

Betina... Lingkaran di atas dan panah ke bawah adalah jantan.

Jika Anda memiliki karya seni desain seperti itu yang muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,

Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:

Secara pribadi, saya berusaha sendiri untuk melihat minus empat derajat pada orang yang buang air besar (satu gambar) (susunan beberapa gambar: tanda minus, angka empat, penunjukan derajat). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip busur persepsi gambar grafis. Dan matematikawan mengajari kita ini sepanjang waktu. Berikut adalah contoh.

1A bukan "minus empat derajat" atau "satu a". Ini adalah "orang buang air besar" atau angka "dua puluh enam" dalam sistem bilangan heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem angka ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.

Tanda kurung digunakan untuk menunjukkan urutan tindakan yang dilakukan dalam ekspresi numerik dan alfabet, serta dalam ekspresi dengan variabel. Lebih mudah untuk berpindah dari ekspresi dengan tanda kurung ke ekspresi identik yang sama tanpa tanda kurung. Teknik ini disebut pembukaan kurung.

Memperluas tanda kurung berarti menghilangkan ekspresi tanda kurung ini.

Poin lain patut mendapat perhatian khusus, yang menyangkut kekhasan solusi penulisan saat membuka tanda kurung. Kita dapat menulis ekspresi awal dengan tanda kurung dan hasil yang diperoleh setelah membuka tanda kurung sebagai persamaan. Misalnya, setelah membuka tanda kurung, alih-alih ekspresi
3−(5−7) kita mendapatkan ekspresi 3−5+7. Kita dapat menulis kedua ekspresi ini sebagai persamaan 3−(5−7)=3−5+7.

Dan satu poin penting lagi. Dalam matematika, untuk mengurangi entri, biasanya tidak menulis tanda tambah jika itu adalah yang pertama dalam ekspresi atau dalam tanda kurung. Misalnya, jika kita menambahkan dua angka positif, misalnya, tujuh dan tiga, maka kita tidak menulis +7 + 3, tetapi hanya 7 + 3, meskipun faktanya tujuh juga merupakan angka positif. Demikian pula, jika Anda melihat, misalnya, ekspresi (5 + x) - ketahuilah bahwa ada plus di depan tanda kurung, yang tidak ditulis, dan ada plus + (+5 + x) di depan tanda kurung. lima.

Aturan ekspansi braket untuk penambahan

Saat membuka kurung, jika ada plus sebelum kurung, maka plus ini dihilangkan bersama dengan kurung.

Contoh. Buka kurung pada ekspresi 2 + (7 + 3) Sebelum kurung plus, maka karakter di depan angka dalam kurung tidak berubah.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Aturan untuk memperluas tanda kurung saat mengurangkan

Jika ada minus sebelum tanda kurung, maka minus ini dihilangkan bersama dengan tanda kurung, tetapi istilah yang ada di dalam kurung mengubah tandanya menjadi kebalikannya. Ketiadaan tanda sebelum suku pertama dalam kurung menyiratkan tanda +.

Contoh. Tanda kurung buka dalam ekspresi 2 (7 + 3)

Ada minus sebelum kurung, jadi Anda perlu mengubah tanda sebelum angka dari kurung. Tidak ada tanda dalam kurung sebelum angka 7, artinya angka tujuh itu positif, dianggap tanda + di depannya.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Saat membuka tanda kurung, kami menghapus tanda minus dari contoh, yang ada di depan tanda kurung, dan tanda kurung itu sendiri 2 (+ 7 + 3), dan mengubah tanda yang ada di dalam tanda kurung menjadi tanda yang berlawanan.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Memperluas tanda kurung saat mengalikan

Jika ada tanda perkalian di depan kurung, maka setiap bilangan di dalam kurung dikalikan dengan faktor di depan kurung. Pada saat yang sama, mengalikan minus dengan minus menghasilkan plus, dan mengalikan minus dengan plus, seperti mengalikan plus dengan minus, menghasilkan minus.

Jadi, tanda kurung dalam produk diperluas sesuai dengan sifat distributif perkalian.

Contoh. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Saat mengalikan kurung dengan kurung, setiap suku kurung pertama dikalikan dengan setiap suku kurung kedua.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Sebenarnya tidak perlu mengingat semua aturan, cukup mengingat satu saja, yang ini: c(a−b)=ca−cb. Mengapa? Karena jika kita mengganti satu dan bukan c, kita mendapatkan aturan (a−b)=a−b. Dan jika kita mengganti minus satu, kita mendapatkan aturan (a−b)=−a+b. Nah, jika Anda mengganti braket lain alih-alih c, Anda bisa mendapatkan aturan terakhir.

Perluas tanda kurung saat membagi

Jika ada tanda pembagian setelah tanda kurung, maka setiap bilangan di dalam tanda kurung habis dibagi oleh pembagi setelah tanda kurung, dan sebaliknya.

Contoh. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Cara memperluas tanda kurung bersarang

Jika ekspresi berisi tanda kurung bersarang, maka akan diperluas secara berurutan, dimulai dengan eksternal atau internal.

Pada saat yang sama, saat membuka salah satu braket, penting untuk tidak menyentuh braket lainnya, cukup tulis ulang apa adanya.

Contoh. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b