Jenis pekerjaan: 14

Kondisi

Pada piramida segitiga beraturan DABC dengan alas ABC, sisi alasnya sama dengan 6\sqrt(3), dan tinggi piramida adalah 8 . Titik M , N dan K masing-masing ditandai pada tepi AB , AC dan AD sedemikian rupa sehingga AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2) dan AK=\frac(5)(2).

sebuah) Buktikan bahwa bidang MNK dan DBC sejajar.

b) Hitunglah jarak dari titik K ke bidang DBC.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

sebuah) Bidang MNK dan DBC sejajar jika dua garis berpotongan di satu bidang masing-masing sejajar dengan dua garis berpotongan di bidang lainnya. Mari kita buktikan. Perhatikan garis MN dan KM bidang MNK dan garis BC dan DB bidang DBC.

Dalam segitiga AOD : \angle AOD = 90^\circle dan dengan teorema Pythagoras AD=\sqrt(DO^2 +AO^2).

Cari AO menggunakan \bigtriangleup ABC benar.

AO=\frac(2)(3)AO_1, di mana AO_1 adalah tinggi \bigtriangleup ABC, AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2), di mana a adalah sisi \bigtriangleup ABC.

AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9, maka AO=6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10.

1. Sejak \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2) : 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2) : 6\sqrt(3)=\frac(1)(4) dan \angle DAB bersifat umum, lalu \bigtriangleup AKM \sim ADB.

Ini mengikuti dari kesamaan bahwa \angle AKM = \angle ADB. Ini adalah sudut yang sesuai untuk garis KM dan BD dan garis potong AD . Jadi KM \paralel BD.

2. Karena \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(1)(4) dan \sudut CAB adalah umum, maka \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.

Ini mengikuti dari kesamaan bahwa \angle ANM = \angle ACB. Sudut-sudut ini sesuai dengan garis MN dan BC dan garis potong AC . Jadi MN \paralel BC.

Kesimpulan: karena dua garis berpotongan KM dan MN bidang MNK masing-masing sejajar dengan dua garis berpotongan BD dan BC bidang DBC , bidang-bidang ini sejajar - MNK \paralel DBC.

b) Mari kita cari jarak dari titik K ke bidang BDC.

Karena bidang MNK sejajar dengan bidang DBC , maka jarak titik K ke bidang DBC sama dengan jarak titik O_2 ke bidang DBC dan sama dengan panjang ruas O_2 H. Mari kita buktikan .

BC \perp AO_1 dan BC \perp DO_1 (sebagai tinggi segitiga ABC dan DBC ), maka BC tegak lurus bidang ADO_1, dan kemudian BC tegak lurus terhadap sembarang garis pada bidang ini, misalnya O_2 H. Dengan konstruksi O_2H \perp DO_1, maka O_2H tegak lurus dua garis lurus yang berpotongan pada bidang BCD, dan ruas O_2 H tegak lurus bidang BCD dan sama dengan jarak dari O_2 ke bidang BCD.

Dalam segitiga O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\sin\angle HO_(1)O_(2).

O_(2)O_(1)=AO_(1)-AO_(2).\, \frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4), AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4).

O_(2)O_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4).

\sin \angle DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))= \frac(8)(\sqrt(64+3^2))= \frac(8)(\sqrt(73)).

O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73)).

Menjawab

\frac(54)(\sqrt(73))

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 14
Topik: Jarak dari titik ke bidang

Kondisi

ABCDA_1B_1C_1D_1 adalah prisma segi empat biasa.

a) Buktikan bahwa bidang tersebut adalah BB_1D_1 \perp AD_1C .

b) Mengetahui AB = 5 dan AA_1 = 6, tentukan jarak dari titik B_1 ke bidang AD_1C.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

a) Karena prisma ini beraturan, maka BB_1 \perp ABCD , maka BB_1 \perp AC . Karena ABCD adalah persegi, maka AC \perp BD . Jadi AC \perp BD dan AC \perp BB_1 . Karena garis BD dan BB_1 berpotongan, maka, menurut tanda tegak lurus garis dan bidang, AC \perp BB_1D_1D . Sekarang berdasarkan tegak lurus bidang AD_1C \perp BB_1D_1 .

b) Dilambangkan dengan O titik potong diagonal AC dan BD dari persegi ABCD. Bidang AD_1C dan BB_1D_1 berpotongan di sepanjang garis lurus OD_1 . Misalkan B_1H merupakan garis tegak lurus yang ditarik pada bidang BB_1D_1 terhadap garis OD_1 . Kemudian B_1H \perp AD_1C . Biarkan E=OD_1 \cap BB_1 . Untuk segitiga sebangun D_1B_1E dan OBE (persamaan sudut yang bersesuaian mengikuti dari kondisi BO \parallel B_1D_1 ) kita memiliki \frac(B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.

Jadi B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. Karena B_1D_1=5\sqrt(2) , maka sisi miring D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))= \sqrt(194). Selanjutnya, kita menggunakan metode luas pada segitiga D_1B_1E untuk menghitung tinggi B_1H yang diturunkan ke sisi miring D_1E :

S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;

B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97).

Menjawab

\frac(60\sqrt(97))(97)

Sumber: “Matematika. Persiapan menghadapi ujian-2016. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 14
Topik: Jarak dari titik ke bidang

Kondisi

ABCDA_1B_1C_1D_1 adalah kotak persegi panjang. Sisi AB=24, BC=7, BB_(1)=4 .

a) Buktikan bahwa jarak dari titik B dan D ke bidang ACD_(1) adalah sama.

b) Temukan jarak ini.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

sebuah) Pertimbangkan piramida segitiga D_1ACD .

Dalam piramida ini, jarak dari titik D ke bidang alas ACD_1-DH sama dengan tinggi piramida yang ditarik dari titik D ke alas ACD_1 .

V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH, dari persamaan ini diperoleh

DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)).

Perhatikan piramida D_1ABC . Jarak dari titik B ke bidang ACD_1 sama dengan ketinggian yang dijatuhkan dari puncak B ke dasar ACD_1 . Mari kita tunjukkan jarak ini BK . Kemudian V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BK, dari sini kita peroleh BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\: Tetapi V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) , karena jika kita perhatikan alas pada piramida ADC dan ABC , maka tinggi D_1D adalah total dan S_(ADC)=S_(ABC) ( \bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABC dengan dua kaki). Jadi BK = DH .

b) Tentukan volume piramida D_1ACD .

Tinggi D_1D=4 .

S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84.

V=\frac1(3)S_(ACD) \cdot D_1D=\frac1(3) \cdot84 \cdot4=112.

Luas wajah ACD_1 sama dengan \frac1(2)AC \cdot D_1P.

AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25

Mengetahui bahwa kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata proporsional untuk sisi miring dan segmen sisi miring yang tertutup antara kaki dan tinggi yang ditarik dari titik sudut siku-siku, dalam segitiga ADC kita memiliki AD^(2)=AC \cdot AP, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25).

Dalam segitiga siku-siku AD_1P dengan teorema Pythagoras D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\kiri (\frac(49)(25) \kanan)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)), D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25).

S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).

DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).

Setiap bidang dalam sistem koordinat Cartesian dapat didefinisikan dengan persamaan `Ax + By + Cz + D = 0`, di mana setidaknya salah satu bilangan `A`, `B`, `C` bukan nol. Biarkan titik `M (x_0;y_0;z_0)` diberikan, cari jarak darinya ke bidang `Ax + By + Cz + D = 0`.

Biarkan garis melewati titik `M` tegak lurus terhadap bidang `alpha`, memotongnya di titik `K` dengan koordinat `(x; y; z)`. Vektor `vec(MK)` tegak lurus terhadap bidang `alpha`, seperti vektor `vecn` `(A;B;C)`, yaitu vektor `vec(MK)` dan `vecn` kolinear, `vec(MK)=λvecn`.

Sejak `(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` dan `vecn(A,B,C)`, lalu `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.

titik `K` terletak di bidang `alpha` (Gbr. 6), koordinatnya memenuhi persamaan bidang. Substitusikan `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` ke dalam persamaan `Ax+By+Cz+D=0`, kita dapatkan

`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,

dari mana `lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)`.

Tentukan panjang vektor `vec(MK)`, yang sama dengan jarak dari titik `M(x_0;y_0;z_0)` ke bidang `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`.

Jadi, jarak `h` dari titik `M(x_0;y_0;z_0)` ke bidang `Ax + By + Cz + D = 0` adalah

`t=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`.

Dengan metode geometrik untuk mencari jarak dari titik `A` ke bidang `alpha`, cari alas dari tegak lurus `A A^"`, diturunkan dari titik `A` ke bidang `alpha`. Jika titik `A^"` berada di luar bagian bidang `alpha` yang ditentukan dalam soal, kemudian garis `c` ditarik melalui titik `A`, sejajar dengan bidang `alpha`, dan titik yang lebih sesuai `C ` dipilih di atasnya, proyeksi ortogonalnya adalah `C^"` milik bagian tertentu dari pesawat `alpha`. Panjang segmen `C C^"`akan sama dengan jarak yang diinginkan dari titik `A`hingga bidang `alpha`.

Dalam prisma heksagonal beraturan `A...F_1`, yang semua rusuknya sama dengan `1`, tentukan jarak dari titik `B` ke bidang `AF F_1`.

Biarkan `O` menjadi pusat alas bawah prisma (Gbr. 7). Garis `BO` sejajar dengan garis `AF` dan, oleh karena itu, jarak dari titik `B` ke bidang `AF F_1` sama dengan jarak `OH` dari titik `O` ke bidang ` AF F_1`. Dalam segitiga `AOF` kita memiliki `AO=OF=AF=1`. Tinggi `OH` segitiga ini adalah `(persegi3)/2`. Oleh karena itu, jarak yang diperlukan sama dengan `(persegi3)/2`.

Ayo tunjukkan cara lain (metode volume bantu) mencari jarak dari suatu titik ke bidang. Diketahui volume piramida `V` , luas dasarnya `S`dan panjang tinggi `h`dihubungkan dengan rumus `h=(3V)/S`. Tetapi panjang tinggi piramida tidak lain adalah jarak dari puncaknya ke bidang dasar. Oleh karena itu, untuk menghitung jarak dari suatu titik ke bidang, cukup dengan menemukan volume dan luas alas beberapa piramida dengan simpul pada titik ini dan dengan alas yang terletak pada bidang tertentu.

Sebuah prisma biasa `A...D_1` diberikan, di mana `AB=a`, `A A_1=2a`. Hitung jarak dari titik potong diagonal alas `A_1B_1C_1D_1` ke bidang `BDC_1`.

Pertimbangkan tetrahedron `O_1DBC_1` (Gbr. 8). Jarak yang diinginkan `h` adalah panjang ketinggian tetrahedron ini, diturunkan dari titik `O_1` ke bidang muka `BDC_1` . Untuk menemukannya, cukup mengetahui volume `V`tetrahedron `O_1DBC_1` dan daerah segitiga `DBC_1`. Mari kita hitung. Perhatikan bahwa baris `O_1C_1` tegak lurus bidang `O_1DB`, karena tegak lurus terhadap `BD` dan `B B_1` . Oleh karena itu, volume tetrahedron `O_1DBC_1` sama dengan

Menentukan jarak antara: 1 - titik dan bidang; 2 - lurus dan rata; 3 - pesawat; 4 - garis persimpangan dianggap bersama, karena algoritma solusi untuk semua masalah ini pada dasarnya sama dan terdiri dari konstruksi geometris yang harus dilakukan untuk menentukan jarak antara titik A yang diberikan dan bidang . Jika ada perbedaan, maka itu hanya terdiri dari fakta bahwa dalam kasus 2 dan 3, sebelum mulai menyelesaikan masalah, seseorang harus menandai titik sembarang A pada garis m (kasus 2) atau bidang (kasus 3) .. jarak antara garis miring, kami sebelumnya melampirkan mereka di bidang paralel dan dengan penentuan selanjutnya dari jarak antara bidang-bidang ini.

Mari kita pertimbangkan masing-masing kasus pemecahan masalah yang dicatat.

1. Menentukan jarak antara titik dan bidang.

Jarak dari suatu titik ke bidang ditentukan oleh panjang segmen tegak lurus yang dijatuhkan dari titik ke bidang.

Oleh karena itu, solusi dari masalah ini terdiri dari eksekusi berurutan dari operasi grafis berikut:

1) dari titik A kita turunkan tegak lurus terhadap bidang (Gbr. 269);

2) temukan titik M dari perpotongan tegak lurus ini dengan bidang M = a ;

3) tentukan panjang ruas tersebut.

Jika bidang berada pada posisi umum, maka untuk menjatuhkan tegak lurus pada bidang ini, pertama-tama perlu ditentukan arah proyeksi bidang horizontal dan frontal bidang ini. Menemukan titik pertemuan tegak lurus dengan bidang ini juga membutuhkan konstruksi geometris tambahan.

Penyelesaian masalah disederhanakan jika bidang menempati posisi tertentu relatif terhadap bidang proyeksi. Dalam hal ini, proyeksi tegak lurus dan pencarian titik pertemuannya dengan bidang dilakukan tanpa konstruksi tambahan tambahan.

CONTOH 1. Tentukan jarak dari titik A ke bidang proyeksi frontal (Gbr. 270).

KEPUTUSAN. Melalui A "kita menggambar proyeksi horizontal dari tegak lurus l" h 0α, dan melalui A "- proyeksi depannya l" f 0α. Kami menandai titik M" = l" f 0α . Sejak AM || 2 , lalu [А" "] == |AM| = d.

Dari contoh yang dipertimbangkan, dapat dilihat betapa sederhananya masalah diselesaikan ketika pesawat menempati posisi proyeksi. Oleh karena itu, jika bidang generik ditentukan dalam data awal, maka sebelum melanjutkan dengan solusi, bidang tersebut harus dipindahkan ke posisi tegak lurus terhadap bidang proyeksi apa pun.

CONTOH 2. Tentukan jarak dari titik K ke bidang yang diberikan oleh (Gbr. 271).

1. Kami memindahkan bidang ke posisi proyeksi *. Untuk melakukan ini, kita beralih dari sistem xπ 2 / 1 ke x 1 3 / 1: arah sumbu baru x 1 dipilih tegak lurus terhadap proyeksi horizontal bidang horizontal segitiga.

2. Kami memproyeksikan ke bidang baru 3 (bidang diproyeksikan ke 3, dalam [С" 1 " 1 ]).

3. Kami memproyeksikan titik K (K "→ K" 1) pada bidang yang sama.

4. Melalui titik K "1 kita menggambar (K" 1 M "1) segmen [C" 1 B "1]. Jarak yang diinginkan d \u003d | K "1 M" 1 |.

Penyelesaian masalah disederhanakan jika bidang diberikan oleh jejak, karena proyeksi garis level tidak perlu dilakukan.

CONTOH 3. Tentukan jarak dari titik K ke bidang , yang diberikan oleh jejak (Gbr. 272).

* Cara paling rasional untuk mentransfer bidang segitiga ke posisi proyeksi adalah metode mengganti bidang proyeksi, karena dalam hal ini cukup untuk membangun hanya satu proyeksi tambahan.

KEPUTUSAN. Kami mengganti bidang 1 dengan bidang 3, untuk ini kami menggambar sumbu baru x 1 f 0α. Pada h 0α kami menandai titik sewenang-wenang 1 "dan menentukan proyeksi horizontal barunya pada bidang 3 (1" 1). Melalui titik X 1 (X 1 \u003d h 0α 1 x 1) dan 1 "1 kita menggambar h 0α 1. Kita mendefinisikan proyeksi horizontal baru dari titik K → K" 1. Dari titik K "1 kita turunkan tegak lurus ke h 0α 1 dan tandai titik perpotongannya dengan h 0α 1 - M" 1. Panjang segmen K "1 M" 1 akan menunjukkan jarak yang diinginkan.

2. Menentukan jarak antara garis lurus dan bidang.

Jarak antara garis lurus dan bidang ditentukan oleh panjang segmen garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik sembarang dari garis lurus ke bidang (lihat Gambar 248).

Oleh karena itu, penyelesaian masalah penentuan jarak antara garis lurus m dan bidang tidak berbeda dengan contoh yang dipertimbangkan dalam paragraf 1 untuk menentukan jarak antara titik dan bidang (lihat Gambar 270 ... 272) . Setiap titik yang termasuk dalam garis m dapat diambil sebagai titik.

3. Penentuan jarak antar bidang.

Jarak antara bidang ditentukan oleh nilai segmen tegak lurus yang dijatuhkan dari titik yang diambil pada satu bidang ke bidang lainnya.

Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa algoritma untuk memecahkan masalah menemukan jarak antara bidang dan berbeda dari algoritma serupa untuk memecahkan masalah menentukan jarak antara garis m dan bidang hanya dalam garis m harus milik pesawat , yaitu, untuk menentukan jarak antara pesawat dan berikut:

1) ambil garis m pada bidang ;

2) pilih sembarang titik A pada garis m;

3) dari titik A, turunkan tegak lurus l ke bidang ;

4) tentukan titik M - titik pertemuan tegak lurus l dengan bidang ;

5) menentukan nilai segmen.

Dalam praktiknya, disarankan untuk menggunakan algoritma solusi yang berbeda, yang akan berbeda dari yang diberikan hanya dalam hal itu, sebelum melanjutkan dengan langkah pertama, pesawat harus dipindahkan ke posisi proyeksi.

Dimasukkannya operasi tambahan ini dalam algoritme menyederhanakan implementasi semua poin lain tanpa kecuali, yang pada akhirnya mengarah pada solusi yang lebih sederhana.

CONTOH 1. Tentukan jarak antara bidang dan (Gbr. 273).

KEPUTUSAN. Kami lulus dari sistem xπ 2 /π 1 ke x 1 1 /π 3 . Sehubungan dengan bidang baru 3, bidang dan menempati posisi proyeksi, sehingga jarak antara jejak frontal baru f 0α 1 dan f 0β 1 diperlukan.

Dalam praktik rekayasa, seringkali perlu untuk memecahkan masalah konstruksi bidang yang sejajar dengan bidang tertentu dan pada jarak tertentu darinya. Contoh 2 di bawah ini menggambarkan solusi untuk masalah seperti itu.

CONTOH 2. Diperlukan untuk membuat proyeksi bidang , sejajar dengan bidang yang diberikan (m || n), jika diketahui bahwa jarak antara keduanya sama dengan d (Gbr. 274).

1. Pada bidang kita menggambar h horizontal sewenang-wenang (1, 3) dan f frontal (1,2).

2. Dari titik 1 kita mengembalikan tegak lurus l ke bidang (l" h", l" f").

3. Tandai titik sembarang A pada tegak lurus l.

4. Tentukan panjang segmen - (posisi menunjukkan arah garis lurus l yang tidak terdistorsi secara metrik pada diagram).

5. Sisihkan pada garis lurus (1"A 0) dari titik 1" ruas = d.

6. Kami menandai proyeksi l "dan l" titik B "dan B", sesuai dengan titik B 0.

7. Gambarlah sebuah bidang melalui titik B (h 1 f 1). Jadi || , perlu diperhatikan kondisi h 1 || h dan f 1 || f.

4. Menentukan jarak antar garis miring.

Jarak antara garis-garis miring ditentukan oleh panjang garis-garis miring yang tertutup antara bidang-bidang sejajar tempat garis-garis miring itu berada.

Untuk menggambar bidang dan yang saling sejajar melalui garis m dan f yang berpotongan, cukup ditarik garis p yang sejajar dengan garis f melalui titik A (A m), dan melalui titik B (B f) - garis k sejajar dengan garis m. Garis berpotongan m dan p, f dan k mendefinisikan bidang yang saling sejajar dan (lihat Gambar 248, e). Jarak antara bidang dan sama dengan jarak yang diinginkan antara garis miring m dan f.

Cara lain dapat diusulkan untuk menentukan jarak antara garis miring, yang terdiri dari fakta bahwa dengan bantuan beberapa metode transformasi proyeksi ortogonal, salah satu garis miring dipindahkan ke posisi proyeksi. Dalam hal ini, satu proyeksi garis merosot menjadi satu titik. Jarak antara proyeksi baru garis miring (titik A" 2 dan segmen C" 2 D" 2) adalah jarak yang diperlukan.

pada gambar. 275 menunjukkan solusi untuk masalah penentuan jarak antara garis berpotongan a dan b, diberikan segmen [AB] dan [CD]. Solusinya dilakukan dalam urutan berikut:

1. Pindahkan salah satu garis berpotongan (a) ke posisi sejajar bidang 3; untuk melakukan ini, mereka bergerak dari sistem bidang proyeksi xπ 2 / 1 ke yang baru x 1 1 / 3, sumbu x 1 sejajar dengan proyeksi horizontal garis lurus a. Tentukan a" 1 [A" 1 B" 1 ] dan b" 1 .

2. Dengan mengganti bidang 1 dengan bidang 4, garis lurus diterjemahkan

dan pada posisi a "2, tegak lurus bidang 4 (sumbu baru x 2 ditarik tegak lurus a" 1).

3. Bangun proyeksi horizontal baru dari garis lurus b "2 - [ C" 2 D "2].

4. Jarak dari titik A “2 ke garis lurus C” 2 D “2 (segmen (A” 2 M “2] (adalah yang diinginkan.

Perlu diingat bahwa perpindahan salah satu garis berpotongan ke posisi proyeksi tidak lebih dari transfer bidang paralelisme, di mana garis a dan b dapat diapit, juga ke posisi proyeksi.

Memang, dengan memindahkan garis a ke posisi tegak lurus terhadap bidang 4 , kami memastikan bahwa setiap bidang yang memuat garis a tegak lurus terhadap bidang 4 , termasuk bidang yang ditentukan oleh garis a dan m (a m, m || b ). Jika sekarang kita menggambar garis n sejajar dengan a dan memotong garis b, maka kita mendapatkan bidang , yang merupakan bidang paralelisme kedua, yang memuat garis-garis berpotongan a dan b. Sejak || , maka 4 .

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili keseluruhan presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Sasaran:

• generalisasi dan sistematisasi pengetahuan dan keterampilan siswa;
• pengembangan keterampilan menganalisis, membandingkan, menarik kesimpulan.

Peralatan:

• proyektor multimedia;
• komputer;
• lembar tugas

PROSES STUDI

I. Momen organisasi

II. Tahap memperbarui pengetahuan(slide 2)

Kami ulangi bagaimana jarak dari titik ke bidang ditentukan

AKU AKU AKU. Kuliah(slide 3-15)

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat berbagai cara untuk mencari jarak dari suatu titik ke bidang.

Metode pertama: komputasi langkah demi langkah

Jarak dari titik M ke bidang :
– sama dengan jarak ke bidang dari titik sembarang P yang terletak pada garis a, yang melalui titik M dan sejajar dengan bidang ;
– sama dengan jarak ke bidang dari titik sembarang P yang terletak pada bidang , yang melalui titik M dan sejajar dengan bidang .

Kami akan menyelesaikan tugas-tugas berikut:

№1. Pada kubus A ... D 1 tentukan jarak dari titik C 1 ke bidang AB 1 C.

Tetap menghitung nilai panjang segmen O 1 N.

№2. Dalam prisma segi enam beraturan A ... F 1, semua tepinya sama dengan 1, tentukan jarak dari titik A ke bidang DEA 1.

Metode selanjutnya: metode volume.

Jika volume piramida ABCM adalah V, maka jarak dari titik M ke bidang yang mengandung ABC dihitung dengan rumus (M; ) = (M; ABC) =
Saat memecahkan masalah, kami menggunakan kesetaraan volume satu gambar, yang dinyatakan dalam dua cara berbeda.

Mari kita selesaikan masalah berikut:

№3. Tepi AD piramida DABC tegak lurus terhadap bidang alas ABC. Tentukan jarak dari A ke bidang yang melalui titik tengah rusuk AB, AC dan AD, jika .

Saat memecahkan masalah metode koordinat jarak dari titik M ke bidang dapat dihitung dengan rumus (M; ) = , di mana M(x 0; y 0; z 0), dan bidang diberikan oleh persamaan ax + by + cz + d = 0

Mari kita selesaikan masalah berikut:

№4. Pada kubus satuan A…D 1 tentukan jarak dari titik A 1 ke bidang BDC 1 .

Kami memperkenalkan sistem koordinat dengan titik asal di titik A, sumbu y akan melewati tepi AB, sumbu x - sepanjang tepi AD, sumbu z - sepanjang tepi AA 1. Maka koordinat titik B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Mari kita buat persamaan bidang yang melalui titik B, D, C 1 .

Maka – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Oleh karena itu, =

Metode berikut, yang dapat digunakan dalam memecahkan masalah jenis ini - metode tugas referensi.

Penerapan metode ini terdiri dari penerapan masalah referensi terkenal, yang dirumuskan sebagai teorema.

Mari kita selesaikan masalah berikut:

№5. Pada kubus satuan A ... D 1 tentukan jarak dari titik D 1 ke bidang AB 1 C.

Pertimbangkan Aplikasi metode vektor.

№6. Dalam kubus satuan A ... D 1 tentukan jarak dari titik A 1 ke bidang BDC 1.

Jadi, kami telah mempertimbangkan berbagai metode yang dapat digunakan dalam memecahkan masalah jenis ini. Pilihan satu atau metode lain tergantung pada tugas spesifik dan preferensi Anda.

IV. Pekerjaan kelompok

Cobalah untuk memecahkan masalah dengan cara yang berbeda.

№1. Ruas kubus …D 1 sama dengan . Tentukan jarak dari titik C ke bidang BDC 1 .

№2. Dalam ABCD tetrahedron beraturan dengan tepi, tentukan jarak dari titik A ke bidang BDC

№3. Pada prisma segitiga beraturan ABCA 1 B 1 C 1 yang semua rusuknya sama dengan 1, tentukan jarak dari A ke bidang BCA 1.

№4. Dalam sebuah piramida segi empat beraturan SABCD, yang semua rusuknya sama dengan 1, tentukan jarak dari A ke bidang SCD.

V. Ringkasan pelajaran, pekerjaan rumah, refleksi