TOPIK MATA PELAJARAN

KONVERSI EKSPRESI NUMERIK DAN SURAT

Kuantitas 34 jam

guru matematika yang lebih tinggi

MOU “Sekolah Menengah No. 51”

Saratov, 2008

PROGRAM MATA PELAJARAN

"KONVERSI EKSPRESI NUMERIK DAN SURAT"

Catatan penjelasan

Dalam beberapa tahun terakhir, ujian akhir di sekolah, serta ujian masuk di universitas, dilakukan dengan bantuan tes. Bentuk ujian ini berbeda dengan ujian klasik dan memerlukan persiapan khusus. Ciri-ciri pengujian dalam bentuk yang berkembang sampai saat ini adalah kebutuhan untuk menjawab pertanyaan yang banyak dalam jangka waktu yang terbatas, yaitu dituntut tidak hanya untuk menjawab pertanyaan yang diajukan, tetapi juga untuk melakukannya dengan cepat. Karena itu, penting untuk menguasai berbagai teknik, metode yang memungkinkan Anda mencapai hasil yang diinginkan.

Saat memecahkan hampir semua masalah sekolah, Anda harus membuat beberapa transformasi. Seringkali, kompleksitasnya sepenuhnya ditentukan oleh tingkat kerumitan dan jumlah transformasi yang perlu dilakukan. Tidak jarang seorang siswa tidak dapat menyelesaikan suatu masalah, bukan karena dia tidak tahu bagaimana menyelesaikannya, tetapi karena dia tidak dapat membuat semua transformasi dan perhitungan yang diperlukan dalam waktu yang wajar tanpa kesalahan.

Kursus pilihan "Konversi Ekspresi Numerik dan Huruf" memperluas dan memperdalam program dasar matematika di sekolah menengah dan dirancang untuk dipelajari di kelas 11. Kursus yang diusulkan bertujuan untuk mengembangkan keterampilan komputasi dan ketajaman berpikir. Kursus ini dirancang untuk siswa dengan tingkat pelatihan matematika yang tinggi atau rata-rata dan dirancang untuk membantu mereka mempersiapkan diri untuk masuk ke universitas, untuk berkontribusi pada kelanjutan pendidikan matematika yang serius.

Tujuan dan sasaran:

Sistematisasi, generalisasi dan perluasan pengetahuan siswa tentang angka dan tindakan dengan mereka;

Pengembangan kemandirian, berpikir kreatif dan minat kognitif siswa;

Pembentukan minat dalam proses komputasi;

Adaptasi siswa dengan aturan baru untuk memasuki universitas.

Hasil yang diharapkan:

Pengetahuan tentang klasifikasi angka;

Meningkatkan keterampilan dan kemampuan berhitung cepat;

Kemampuan menggunakan peralatan matematika dalam memecahkan berbagai masalah;

Rencana pendidikan dan tematik

Rencananya adalah selama 34 jam. Itu dikompilasi dengan mempertimbangkan topik diploma, sehingga dua bagian terpisah dipertimbangkan: ekspresi numerik dan alfabet. Atas kebijaksanaan guru, ekspresi alfabet dapat dipertimbangkan bersama dengan ekspresi numerik dalam topik yang relevan.

		Jumlah jam
	Ekspresi numerik Bilangan bulat Metode induksi matematika Angka rasional Pecahan Berkala Desimal Bilangan irasional Akar dan derajat logaritma Fungsi trigonometri Fungsi trigonometri terbalik Bilangan kompleks Tes pada topik "Ekspresi numerik" Membandingkan Ekspresi Numerik Ekspresi literal Mengonversi ekspresi dengan radikal Transformasi Ekspresi Daya Mengonversi Ekspresi Logaritma Mengonversi ekspresi trigonometri Ujian akhir

Bilangan bulat (4 jam)

Baris nomor. Teorema dasar aritmatika. NOD dan NOC. tanda-tanda pembagian. Metode induksi matematika.

Bilangan rasional (2 jam)

Pengertian bilangan rasional. Sifat dasar pecahan. Rumus perkalian yang disingkat. Pengertian pecahan periodik. Aturan untuk mengubah dari pecahan periodik desimal ke biasa.

Bilangan irasional. Radikal. Derajat. Logaritma (6 jam)

Pengertian bilangan irasional. Bukti irasionalitas suatu bilangan. Menyingkirkan irasionalitas dalam penyebut. bilangan asli. Sifat derajat. Sifat-sifat akar aritmatika derajat ke-n. Definisi logaritma. Sifat-sifat logaritma.

Fungsi trigonometri (4 jam)

Lingkaran angka. Nilai numerik fungsi trigonometri sudut dasar. Mengubah sudut dari derajat ke radian dan sebaliknya. Rumus trigonometri dasar. Formula pengecoran. Fungsi trigonometri terbalik. Operasi trigonometri pada fungsi busur. Hubungan dasar antara fungsi busur.

Bilangan kompleks (2 jam)

Konsep bilangan kompleks. Operasi dengan bilangan kompleks. Bentuk trigonometri dan eksponensial dari bilangan kompleks.

Pengujian menengah (2 jam)

Perbandingan ekspresi numerik (4 jam)

Pertidaksamaan numerik pada himpunan bilangan real. Sifat-sifat pertidaksamaan numerik. Mendukung ketidaksetaraan. Metode untuk membuktikan ketidaksetaraan numerik.

Ekspresi huruf (8j)

Aturan untuk mengubah ekspresi dengan variabel: polinomial; pecahan aljabar; ekspresi irasional; trigonometri dan ekspresi lainnya. Bukti identitas dan ketidaksetaraan. Menyederhanakan ekspresi.

1 bagian dari mata pelajaran pilihan: "Ekspresi numerik"

AKTIVITAS 1(2 jam)

Topik pelajaran: Bilangan bulat

Tujuan Pelajaran: Menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan siswa tentang bilangan; mengingat kembali konsep GCD dan NOC; memperluas pengetahuan tentang tanda-tanda perpecahan; mempertimbangkan masalah yang diselesaikan dalam bilangan bulat.

Selama kelas

Saya. Kuliah pengantar.

Klasifikasi nomor:

bilangan bulat;

bilangan bulat;

Angka rasional;

bilangan asli;

bilangan kompleks.

Pengenalan deret bilangan di sekolah dimulai dengan konsep bilangan asli. Bilangan yang digunakan untuk menghitung benda disebut alami. Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan N. Bilangan asli dibagi menjadi prima dan komposit. Bilangan prima hanya memiliki dua pembagi satu dan bilangan itu sendiri, sedangkan bilangan komposit memiliki lebih dari dua pembagi. Teorema dasar aritmatika menyatakan: "Setiap bilangan asli lebih besar dari 1 dapat direpresentasikan sebagai produk bilangan prima (tidak harus yang berbeda), dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik (hingga urutan faktor)."

Dua konsep aritmatika yang lebih penting terkait dengan bilangan asli: pembagi persekutuan terbesar (PBK) dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Masing-masing konsep ini sebenarnya mendefinisikan dirinya sendiri. Penyelesaian banyak masalah difasilitasi oleh tanda-tanda dapat dibagi, yang harus diingat.

Tanda habis dibagi 2 . Suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhirnya genap atau o.

Dapat dibagi dengan 4 tanda . Suatu bilangan habis dibagi 4 jika dua angka terakhirnya nol atau membentuk bilangan yang habis dibagi 4.

Tanda habis dibagi 8. Suatu bilangan habis dibagi 8 jika tiga angka terakhirnya adalah nol atau membentuk bilangan yang habis dibagi 8.

Kriteria pembagian untuk 3 dan 9. Hanya bilangan-bilangan yang habis dibagi 3 yang jumlah angka-angkanya habis dibagi 3; dengan 9 - hanya angka yang jumlah angkanya habis dibagi 9.

Tanda habis dibagi 6. Suatu bilangan habis dibagi 6 jika bilangan tersebut habis dibagi 2 dan 3.

Tanda habis dibagi 5 . Habis dibagi 5 adalah bilangan yang angka terakhirnya 0 atau 5.

Tanda habis dibagi 25. Habis dibagi 25 adalah bilangan yang dua angka terakhirnya nol atau merupakan bilangan yang habis dibagi 25.

Tanda-tanda dapat dibagi dengan 10.100.1000. Hanya bilangan-bilangan yang digit terakhirnya 0 yang habis dibagi 10, hanya bilangan-bilangan yang dua digit terakhirnya 0 yang habis dibagi 100, hanya bilangan-bilangan yang tiga digit terakhirnya 0 yang habis dibagi 1000.

Tanda habis dibagi 11 . Hanya bilangan-bilangan yang habis dibagi 11 yang jumlah angka-angka yang menempati tempat ganjil sama dengan jumlah angka-angka yang menempati tempat genap, atau berbeda dengan angka yang habis dibagi 11.

Dalam pelajaran pertama, kita akan melihat bilangan asli dan bilangan bulat. utuh bilangan adalah bilangan asli, lawannya bilangan dan nol. Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan Z.

II. Penyelesaian masalah.

CONTOH 1. Faktorkan: a) 899; b) 1000027.

Solusi: a) ;

b) CONTOH 2. Tentukan KPK dari bilangan 2585 dan 7975.

Solusi: Mari kita gunakan algoritma Euclid:

Jika https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

220 |165 -

165|55 -

Jawaban: gcd(2585,7975) = 55.

CONTOH 3 Hitung:

Solusi: = 1987100011989. Produk kedua sama dengan nilai yang sama. Oleh karena itu, selisihnya adalah 0.

CONTOH 4. Carilah bilangan KPK dan KPK a) 5544 dan 1404; b) 198, 504 dan 780.

Jawaban: a) 36; 49896; b) 6; 360360.

CONTOH 5. Temukan hasil bagi dan sisa saat membagi

a) 5 sampai 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

c) -529 sampai (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

e) 256 sampai (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">

Solusi: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.

b)

Solusi: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.

CONTOH 7..gif" width="67" height="27 src="> dengan 17.

Solusi: Mari kita masukkan catatan , yang berarti bahwa bila dibagi dengan m, bilangan a, b, c, ... d memberikan sisa yang sama.

Oleh karena itu, untuk setiap k alami, akan ada

Tapi 1989=16124+5. Cara,

Jawaban: Sisanya adalah 12.

CONTOH 8. Temukan bilangan asli terkecil yang lebih besar dari 10, yang jika dibagi dengan 24, 45, dan 56, akan menghasilkan sisa 1.

Jawaban: KPK(24;45;56)+1=2521.

CONTOH 9. Temukan bilangan asli terkecil yang habis dibagi 7, dan jika dibagi 3, 4 dan 5 memberikan sisa 1.

Jawaban: 301. Instruksi. Di antara angka-angka dalam bentuk 60k + 1, Anda perlu menemukan yang terkecil yang dapat dibagi 7; k = 5.

CONTOH 10. Tetapkan 23 satu angka di kanan dan di kiri sehingga angka empat angka yang dihasilkan habis dibagi 9 dan 11.

Jawaban: 6237.

CONTOH 11. Berilah tiga angka di belakang bilangan tersebut sehingga bilangan yang dihasilkan habis dibagi 7, 8 dan 9.

Jawaban: 304 atau 808. Indikasi. Bilangan dibagi dengan = 789) memberikan sisa 200. Oleh karena itu, jika Anda menambahkan 304 atau 808, itu akan dibagi dengan 504.

CONTOH 12. Apakah mungkin untuk menyusun kembali angka-angka dalam bilangan tiga angka yang habis dibagi 37 sehingga bilangan yang dihasilkan juga habis dibagi 37?

Jawaban: Anda bisa. Catatan..gif" width="61" height="24"> juga habis dibagi 37. Kita memiliki A = 100a + 10b + c = 37k, dari mana c = 37k -100a - 10b. Kemudian B = 100b + 10c + a = 100b + k - 100a - 10b) + a \u003d 370k - 999a, yaitu, B habis dibagi 37.

CONTOH 13. Carilah bilangan tersebut, bila dibagi dengan bilangan 1108, 1453, 1844 dan 2281 memberikan sisa yang sama.

Jawaban: 23. Indikasi. Selisih dari dua bilangan yang diberikan dapat dibagi dengan bilangan yang diperlukan. Ini berarti bahwa setiap pembagi umum dari semua kemungkinan perbedaan data, selain 1, cocok untuk kita

CONTOH 14. Nyatakan 19 sebagai selisih pangkat tiga bilangan asli.

CONTOH 15. Kuadrat suatu bilangan asli sama dengan hasil kali empat bilangan ganjil berurutan. Temukan nomor ini.

Menjawab: .

CONTOH 16..gif" width="115" height="27"> tidak habis dibagi 10.

Jawab: a) Arah. Setelah mengelompokkan suku pertama dan suku terakhir, suku kedua dan kedua dari belakang, dll., gunakan rumus jumlah kubus.

b) Indikasi..gif" width="120" height="20">.

4) Temukan semua pasangan bilangan asli yang FPBnya 5 dan KPKnya 105.

Jawaban: 5, 105 atau 15, 35.

AKTIVITAS 2(2 jam)

Topik pelajaran: Metode induksi matematika.

Tujuan pelajaran: Pertimbangkan pernyataan matematika yang membutuhkan bukti; mengenalkan siswa pada metode induksi matematika; mengembangkan pemikiran logis.

Selama kelas

Saya. Memeriksa pekerjaan rumah.

II. Penjelasan materi baru.

Dalam kursus matematika sekolah, bersama dengan tugas "Temukan nilai ekspresi", ada tugas dalam bentuk: "Buktikan kesetaraan". Salah satu metode yang paling universal untuk membuktikan pernyataan matematika di mana kata-kata "untuk n alami sewenang-wenang" muncul adalah metode induksi matematika lengkap.

Pembuktian menggunakan metode ini selalu terdiri dari tiga langkah:

1) Dasar induksi. Validitas pernyataan untuk n = 1 diperiksa.

Dalam beberapa kasus, untuk memulai induksi, Anda harus memeriksa beberapa

nilai-nilai awal.

2) Asumsi induksi. Pernyataan tersebut dianggap benar untuk sembarang

3) Langkah induktif. Kami membuktikan validitas pernyataan untuk

Jadi, mulai dari n = 1, berdasarkan langkah induktif terbukti, kita memperoleh validitas pernyataan yang dibuktikan untuk

n =2, 3,…t. e.untuk sembarang n.

Mari kita lihat beberapa contoh.

CONTOH 1: Buktikan bahwa untuk sembarang n bilangan asli habis dibagi 7.

Bukti: Menunjukkan .

Langkah 1..gif" width="143" height="37 src="> habis dibagi 7.

Langkah 3..gif" width="600" height="88">

Bilangan terakhir habis dibagi 7 karena merupakan selisih antara dua bilangan bulat yang habis dibagi 7.

CONTOH 2: Buktikan kesetaraan https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> diperoleh dari mengganti n dengan k = 1.

AKU AKU AKU. Penyelesaian masalah

Dalam pelajaran pertama, dari tugas-tugas di bawah (No. 1-3), beberapa dipilih untuk diselesaikan atas kebijaksanaan guru untuk dianalisis di papan tulis. Pelajaran kedua membahas 4.5; pekerjaan independen dari No. 1-3 dilakukan; No. 6 ditawarkan sebagai tambahan, dengan keputusan wajib di dewan.

1) Buktikan bahwa a) habis dibagi 83;

b) habis dibagi 13;

c) habis dibagi 20801.

2) Buktikan bahwa untuk sembarang n natural:

sebuah) habis dibagi 120;

b) habis dibagi 27;

di) habis dibagi 84;

G) habis dibagi 169;

e) habis dibagi 8;

f) habis dibagi 8;

g) habis dibagi 16;

h) habis dibagi 49;

dan) habis dibagi 41;

ke) habis dibagi 23;

l) habis dibagi 13;

m) dibagi dengan .

3) Buktikan bahwa:

G) ;

4) Keluarkan rumus jumlah https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">.

6) Buktikan bahwa jumlah anggota setiap baris tabel

…………….

sama dengan kuadrat suatu bilangan ganjil yang bilangan barisannya sama dengan bilangan baris dari awal tabel.

Jawaban dan instruksi.

1) Mari kita gunakan entri yang diperkenalkan pada contoh 4 dari pelajaran sebelumnya.

sebuah) . Jadi habis dibagi 83 .

b) Karena , kemudian ;

. Karena itu, .

c) Karena , perlu dibuktikan bahwa bilangan yang diberikan habis dibagi 11, 31 dan 61..gif" width="120" height="32 src=">. Pembagian oleh 11 dan 31 dibuktikan dengan cara yang sama.

2) a) Mari kita buktikan bahwa ekspresi ini habis dibagi 3, 8, 5. Pembagian dengan 3 mengikuti dari fakta bahwa , dan dari tiga bilangan asli berurutan, satu habis dibagi 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. Untuk memeriksa pembagian dengan 5, cukup dengan mempertimbangkan nilai n=0,1,2,3,4.

Menulis kondisi masalah menggunakan notasi yang diterima dalam matematika mengarah pada munculnya apa yang disebut ekspresi matematika, yang secara sederhana disebut ekspresi. Pada artikel ini, kita akan berbicara secara rinci tentang ekspresi numerik, literal, dan variabel: kami akan memberikan definisi dan memberikan contoh ekspresi dari masing-masing jenis.

Navigasi halaman.

Ekspresi numerik - apa itu?

Berkenalan dengan ekspresi numerik dimulai hampir dari pelajaran matematika pertama. Tetapi nama mereka - ekspresi numerik - mereka secara resmi memperolehnya beberapa saat kemudian. Misalnya, jika Anda mengikuti mata kuliah M. I. Moro, maka ini terjadi pada halaman buku teks matematika untuk kelas 2. Di sana, representasi ekspresi numerik diberikan sebagai berikut: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1, dll. - itu semua ekspresi numerik, dan jika kita melakukan tindakan yang ditunjukkan dalam ekspresi, maka kita akan menemukan nilai ekspresi.

Dapat disimpulkan bahwa pada tahap pembelajaran matematika ini, ekspresi numerik disebut catatan yang memiliki makna matematis, terdiri dari angka, tanda kurung dan tanda penjumlahan dan pengurangan.

Beberapa saat kemudian, setelah berkenalan dengan perkalian dan pembagian, entri ekspresi numerik mulai mengandung tanda "·" dan ":". Berikut beberapa contohnya: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 dst.

Dan di sekolah menengah, variasi entri untuk ekspresi numerik tumbuh seperti bola salju yang menggelinding menuruni gunung. Pecahan biasa dan desimal, bilangan campuran dan bilangan negatif, pangkat, akar, logaritma, sinus, cosinus, dan sebagainya muncul di dalamnya.

Mari kita rangkum semua informasi dalam definisi ekspresi numerik:

Definisi.

Ekspresi numerik adalah kombinasi angka, tanda operasi aritmatika, guratan pecahan, tanda akar (radikal), logaritma, notasi trigonometri, trigonometri terbalik dan fungsi lainnya, serta tanda kurung dan simbol matematika khusus lainnya, yang disusun sesuai dengan aturan yang berlaku di matematika.

Mari kita jelaskan semua bagian penyusun definisi bersuara.

Benar-benar angka apa pun dapat berpartisipasi dalam ekspresi numerik: dari alami ke nyata, dan bahkan kompleks. Artinya, dalam ekspresi numerik seseorang dapat bertemu

Dengan tanda-tanda operasi aritmatika, semuanya jelas - ini adalah tanda-tanda penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, masing-masing, memiliki bentuk "+", "−", "·" dan ":". Dalam ekspresi numerik, salah satu karakter ini, beberapa di antaranya, atau sekaligus, dan lebih dari satu kali, dapat ada. Berikut adalah contoh ekspresi numerik dengan mereka: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12−1/12.

Adapun tanda kurung, ada ekspresi numerik di mana ada tanda kurung, dan ekspresi tanpa tanda kurung. Jika ada tanda kurung dalam ekspresi numerik, maka pada dasarnya adalah

Dan terkadang tanda kurung dalam ekspresi numerik memiliki tujuan khusus tertentu yang ditunjukkan secara terpisah. Misalnya, Anda dapat menemukan tanda kurung siku yang menunjukkan bagian bilangan bulat dari angka tersebut, sehingga ekspresi numerik +2 berarti angka 2 ditambahkan ke bagian bilangan bulat dari angka 1,75.

Dari definisi ekspresi numerik, jelas juga bahwa ekspresi dapat berisi , , log , ln , lg , sebutan atau lain-lain. Berikut adalah contoh ekspresi numerik dengan mereka: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 dan .

Pembagian dalam ekspresi numerik dapat dilambangkan dengan . Dalam hal ini, ada ekspresi numerik dengan pecahan. Berikut adalah contoh dari ekspresi tersebut: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 dan .

Sebagai simbol dan notasi matematika khusus yang dapat ditemukan dalam ekspresi numerik, kami berikan. Sebagai contoh, mari kita tunjukkan ekspresi numerik dengan modulus .

Apa itu ekspresi literal?

Konsep ekspresi literal diberikan segera setelah berkenalan dengan ekspresi numerik. Itu dimasukkan seperti ini. Dalam ekspresi numerik tertentu, salah satu angka tidak ditulis, tetapi sebuah lingkaran (atau persegi, atau sesuatu yang serupa) diletakkan di tempatnya, dan dikatakan bahwa angka tertentu dapat menggantikan lingkaran. Mari kita ambil entri sebagai contoh. Jika Anda menempatkan, misalnya, angka 2 alih-alih persegi, maka Anda mendapatkan ekspresi numerik 3 + 2. Jadi, alih-alih lingkaran, kotak, dll. setuju untuk menulis surat, dan ekspresi seperti itu dengan huruf disebut ekspresi literal. Mari kembali ke contoh kita, jika dalam entri ini alih-alih persegi kita menempatkan huruf a, maka kita mendapatkan ekspresi literal dari bentuk 3+a.

Jadi, jika kita mengizinkan dalam ekspresi numerik keberadaan huruf yang menunjukkan beberapa angka, maka kita mendapatkan apa yang disebut ekspresi literal. Mari kita berikan definisi yang tepat.

Definisi.

Ungkapan yang mengandung huruf-huruf yang menyatakan suatu bilangan disebut ekspresi literal.

Dari definisi ini jelas bahwa pada dasarnya ekspresi literal berbeda dari ekspresi numerik karena dapat berisi huruf. Biasanya, dalam ekspresi literal, huruf kecil alfabet Latin digunakan (a, b, c, ...), dan ketika menunjukkan sudut, huruf kecil alfabet Yunani digunakan (α, , , ...).

Jadi, ekspresi literal dapat terdiri dari angka, huruf dan berisi semua simbol matematika yang dapat ditemukan dalam ekspresi numerik, seperti tanda kurung, tanda akar, logaritma, trigonometri dan fungsi lainnya, dll. Secara terpisah, kami menekankan bahwa ekspresi literal mengandung setidaknya satu huruf. Tapi itu juga bisa berisi beberapa huruf yang identik atau berbeda.

Sekarang kami memberikan beberapa contoh ekspresi literal. Misalnya, a+b adalah ekspresi literal dengan huruf a dan b . Berikut adalah contoh lain dari ekspresi literal 5 x 3 3 x 2 +x−2.5. Dan kami memberikan contoh ekspresi literal dari bentuk kompleks: .

Ekspresi dengan variabel

Jika dalam ekspresi literal huruf menunjukkan nilai yang tidak mengambil satu nilai tertentu, tetapi dapat mengambil nilai yang berbeda, maka huruf ini disebut variabel dan ekspresinya disebut ekspresi variabel.

Definisi.

Ekspresi dengan variabel adalah ekspresi literal di mana huruf (semua atau beberapa) menunjukkan jumlah yang mengambil nilai yang berbeda.

Misalnya, dalam ekspresi x 2 1 huruf x dapat mengambil nilai natural apa pun dari interval 0 hingga 10, maka x adalah variabel, dan ekspresi x 2 1 adalah ekspresi dengan variabel x .

Perlu dicatat bahwa mungkin ada beberapa variabel dalam sebuah ekspresi. Misalnya, jika kita menganggap x dan y sebagai variabel, maka ekspresi adalah ekspresi dengan dua variabel x dan y .

Secara umum, transisi dari konsep ekspresi literal ke ekspresi dengan variabel terjadi di kelas 7, ketika mereka mulai belajar aljabar. Sampai saat ini, ekspresi literal telah memodelkan beberapa tugas tertentu. Dalam aljabar, mereka mulai melihat ekspresi secara lebih umum, tanpa mengacu pada tugas tertentu, dengan pemahaman bahwa ekspresi ini cocok dengan sejumlah besar tugas.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan satu hal lagi: dengan munculnya ekspresi literal, tidak mungkin untuk mengetahui apakah huruf-huruf yang termasuk di dalamnya adalah variabel atau bukan. Oleh karena itu, tidak ada yang menghalangi kita untuk menganggap huruf-huruf ini sebagai variabel. Dalam hal ini, perbedaan antara istilah "ekspresi literal" dan "ekspresi dengan variabel" menghilang.

Bibliografi.

• Matematika. 2 sel Prok. untuk pendidikan umum lembaga dengan adj. ke sebuah elektron. pembawa. Pada jam 2, Bagian 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, dan lainnya] - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 2012. - 96 hal.: sakit. - (Sekolah Rusia). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Matematika: studi. untuk 5 sel. pendidikan umum institusi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Edisi ke-21, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 hal.: sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Aljabar: buku pelajaran untuk 7 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-17. - M. : Pendidikan, 2008. - 240 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja ketika Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Ekspresi literal (atau ekspresi dengan variabel) adalah ekspresi matematika yang terdiri dari angka, huruf, dan tanda operasi matematika. Misalnya, ekspresi berikut adalah literal:

a+b+4

Menggunakan ekspresi literal, Anda dapat menuliskan hukum, rumus, persamaan, dan fungsi. Kemampuan untuk memanipulasi ekspresi literal adalah kunci untuk pengetahuan yang baik tentang aljabar dan matematika yang lebih tinggi.

Masalah serius apa pun dalam matematika berujung pada pemecahan persamaan. Dan untuk dapat menyelesaikan persamaan, Anda harus dapat bekerja dengan ekspresi literal.

Untuk bekerja dengan ekspresi literal, Anda perlu mempelajari aritmatika dasar dengan baik: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, hukum dasar matematika, pecahan, operasi dengan pecahan, proporsi. Dan tidak hanya untuk belajar, tetapi untuk memahami secara menyeluruh.

Isi pelajaran

Variabel

Huruf yang terdapat dalam ekspresi literal disebut variabel. Misalnya, dalam ekspresi a+b+ 4 variabel adalah huruf sebuah dan b. Jika alih-alih variabel-variabel ini kami mengganti angka apa pun, maka ekspresi literal a+b+ 4 akan berubah menjadi ekspresi numerik, yang nilainya dapat ditemukan.

Bilangan yang menggantikan variabel disebut nilai variabel. Misalnya, mari kita ubah nilai variabel sebuah dan b. Gunakan tanda sama dengan untuk mengubah nilai

a = 2, b = 3

Kami telah mengubah nilai variabel sebuah dan b. variabel sebuah diberi nilai 2 , variabel b diberi nilai 3 . Akibatnya, ekspresi literal a+b+4 mengkonversi ke ekspresi numerik normal 2+3+4 yang nilainya dapat ditemukan:

Ketika variabel dikalikan, mereka ditulis bersama-sama. Misalnya, entri ab artinya sama dengan entri a x b. Jika kita mengganti bukan variabel sebuah dan b angka 2 dan 3 , maka diperoleh 6

Bersama-sama, Anda juga dapat menulis perkalian angka dengan ekspresi dalam tanda kurung. Misalnya, alih-alih a×(b + c) dapat ditulis a(b + c). Menerapkan hukum distributif perkalian, kami memperoleh a(b + c)=ab+ac.

Kemungkinan

Dalam ekspresi literal, Anda sering dapat menemukan notasi di mana angka dan variabel ditulis bersama, misalnya 3a. Sebenarnya, ini adalah singkatan untuk mengalikan angka 3 dengan variabel. sebuah dan entri ini terlihat seperti 3×a .

Dengan kata lain, ekspresi 3a adalah produk dari nomor 3 dan variabel sebuah. Nomor 3 dalam pekerjaan ini disebut koefisien. Koefisien ini menunjukkan berapa kali variabel akan meningkat sebuah. Ungkapan ini dapat dibaca sebagai " sebuah tiga kali atau tiga kali sebuah", atau "menambah nilai variabel sebuah tiga kali", tetapi paling sering dibaca sebagai "tiga" sebuah«

Misalnya, jika variabel sebuah adalah sama dengan 5 , maka nilai ekspresi 3a akan sama dengan 15.

3 x 5 = 15

Secara sederhana, koefisien adalah angka yang muncul sebelum huruf (sebelum variabel).

Bisa ada beberapa huruf, misalnya 5abc. Di sini koefisien adalah angka 5 . Koefisien ini menunjukkan bahwa produk variabel abc meningkat lima kali lipat. Ungkapan ini dapat dibaca sebagai " abc lima kali" atau "meningkatkan nilai ekspresi abc lima kali" atau "lima" abc «.

Jika bukan variabel abc substitusikan angka 2, 3 dan 4, maka nilai dari ekspresi 5abc akan sama dengan 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

Anda dapat membayangkan secara mental bagaimana angka 2, 3 dan 4 pertama kali dikalikan, dan nilai yang dihasilkan meningkat lima kali lipat:

Tanda koefisien hanya mengacu pada koefisien, dan tidak berlaku untuk variabel.

Perhatikan ekspresi 6b. Minus di depan koefisien 6 , hanya berlaku untuk koefisien 6 , dan tidak berlaku untuk variabel b. Memahami fakta ini akan memungkinkan Anda untuk tidak membuat kesalahan di masa depan dengan tanda-tanda.

Temukan nilai dari ekspresi 6b pada b = 3.

6b 6×b. Untuk kejelasan, kami menulis ekspresi 6b dalam bentuk yang diperluas dan substitusikan nilai variabel b

6b = 6 × b = 6 × 3 = 18

Contoh 2 Temukan nilai ekspresi 6b pada b = 5

Ayo tulis ekspresinya 6b dalam bentuk diperluas

6b = 6 × b = 6 × (−5) = 30

Contoh 3 Temukan nilai ekspresi 5a+b pada a = 3 dan b = 2

5a+b adalah kependekan dari 5 × a + b, oleh karena itu, untuk kejelasan, kami menulis ekspresi 5×a+b dalam bentuk yang diperluas dan substitusikan nilai-nilai variabel sebuah dan b

5a + b = 5 × a + b = 5 × 3 + 2 = 15 + 2 = 13

Terkadang huruf ditulis tanpa koefisien, misalnya sebuah atau ab. Dalam hal ini, koefisiennya adalah satu:

tetapi unitnya secara tradisional tidak ditulis, jadi mereka hanya menulis sebuah atau ab

Jika ada minus sebelum huruf, maka koefisiennya adalah angka −1 . Misalnya, ungkapan -sebuah sebenarnya terlihat seperti 1a. Ini adalah produk dari minus satu dan variabel sebuah. Itu keluar seperti ini:

1 × a = 1a

Di sinilah letak trik kecil. Dalam ekspresi -sebuah dikurangi sebelum variabel sebuah sebenarnya mengacu pada "unit tak terlihat" dan bukan variabel sebuah. Karena itu, ketika memecahkan masalah, Anda harus berhati-hati.

Misalnya, diberikan ekspresi -sebuah dan kita diminta untuk mencari nilainya di a = 2, lalu di sekolah kami mengganti deuce alih-alih variabel sebuah dan dapatkan jawaban −2 , tidak terlalu fokus pada bagaimana hasilnya. Faktanya, ada perkalian minus satu dengan bilangan positif 2

-a = -1 × a

1 × a = 1 × 2 = 2

Jika sebuah ekspresi diberikan -sebuah dan diperlukan untuk mencari nilainya di a = 2, maka kita substitusikan −2 bukannya variabel sebuah

-a = -1 × a

1 × a = 1 × (−2) = 2

Untuk menghindari kesalahan, pada awalnya unit tak terlihat dapat ditulis secara eksplisit.

Contoh 4 Temukan nilai ekspresi abc pada a=2 , b=3 dan c=4

Ekspresi abc 1×a×b×c. Untuk kejelasan, kami menulis ekspresi abc a , b dan c

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Contoh 5 Temukan nilai ekspresi abc pada a=−2 , b=−3 dan c=−4

Ayo tulis ekspresinya abc dalam bentuk yang diperluas dan substitusikan nilai-nilai variabel a , b dan c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = 24

Contoh 6 Temukan nilai ekspresi − abc pada a=3 , b=5 dan c=7

Ekspresi − abc adalah kependekan dari 1×a×b×c. Untuk kejelasan, kami menulis ekspresi − abc dalam bentuk yang diperluas dan substitusikan nilai-nilai variabel a , b dan c

abc = 1 × a × b × c = 1 × 3 × 5 × 7 = 105

Contoh 7 Temukan nilai ekspresi − abc pada a=−2 , b=−4 dan c=−3

Ayo tulis ekspresinya − abc diperluas:

abc = 1 × a × b × c

Substitusikan nilai variabel sebuah , b dan c

abc = 1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Bagaimana menentukan koefisien

Kadang-kadang diperlukan untuk memecahkan masalah di mana diperlukan untuk menentukan koefisien ekspresi. Pada prinsipnya, tugas ini sangat sederhana. Cukup untuk dapat mengalikan angka dengan benar.

Untuk menentukan koefisien dalam ekspresi, Anda perlu mengalikan angka yang disertakan dalam ekspresi ini secara terpisah, dan mengalikan huruf secara terpisah. Faktor numerik yang dihasilkan akan menjadi koefisien.

Contoh 1 7m×5a×(−3)×n

Ekspresi terdiri dari beberapa faktor. Hal ini dapat terlihat dengan jelas jika ungkapan tersebut ditulis dalam bentuk yang diperluas. Artinya, bekerja 7m dan 5a tulis dalam bentuk 7×m dan 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Kami menerapkan hukum perkalian asosiatif, yang memungkinkan kami untuk mengalikan faktor dalam urutan apa pun. Yaitu, kalikan angka secara terpisah dan kalikan huruf (variabel) secara terpisah:

3 × 7 × 5 × m × a × n = 105man

Koefisiennya adalah −105 . Setelah selesai, bagian huruf sebaiknya disusun menurut abjad:

105 pagi

Contoh 2 Tentukan koefisien dalam ekspresi: a×(−3)×2

a × (−3) × 2 = 3 × 2 × (−a) = 6 × (−a) = 6a

Koefisiennya adalah 6.

Contoh 3 Tentukan koefisien dalam ekspresi:

Mari kita kalikan angka dan huruf secara terpisah:

Koefisiennya adalah 1. Harap dicatat bahwa unit tidak dicatat, karena koefisien 1 biasanya tidak dicatat.

Tugas yang tampaknya sederhana ini dapat memainkan lelucon yang sangat kejam bagi kita. Seringkali ternyata tanda koefisien diatur secara tidak benar: baik minus dihilangkan atau, sebaliknya, diatur dengan sia-sia. Untuk menghindari kesalahan-kesalahan yang menjengkelkan ini, harus dipelajari pada level yang baik.

Istilah dalam ekspresi literal

Ketika Anda menambahkan beberapa angka, Anda mendapatkan jumlah dari angka-angka itu. Bilangan yang dijumlahkan disebut suku. Ada beberapa istilah, misalnya:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Ketika sebuah ekspresi terdiri dari suku-suku, akan lebih mudah untuk menghitungnya, karena lebih mudah untuk menambahkan daripada mengurangi. Tetapi ekspresi tidak hanya dapat berisi penambahan, tetapi juga pengurangan, misalnya:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Dalam ungkapan ini, angka 3 dan 5 dikurangkan, bukan dijumlahkan. Tetapi tidak ada yang menghalangi kita untuk mengganti pengurangan dengan penambahan. Kemudian kita kembali mendapatkan ekspresi yang terdiri dari istilah:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Tidak masalah bahwa angka -3 dan -5 sekarang dengan tanda minus. Hal utama adalah bahwa semua angka dalam ekspresi ini dihubungkan oleh tanda tambahan, yaitu ekspresi adalah jumlah.

Kedua ekspresi 1 + 2 − 3 + 4 − 5 dan 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) sama dengan nilai yang sama - dikurangi satu

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Dengan demikian, nilai ekspresi tidak akan terpengaruh oleh fakta bahwa kita mengganti pengurangan dengan penambahan di suatu tempat.

Anda juga dapat mengganti pengurangan dengan penambahan dalam ekspresi literal. Sebagai contoh, perhatikan ekspresi berikut:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Untuk setiap nilai variabel a, b, c, d dan s ekspresi 7a + 6b - 3c + 2d - 4s dan 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) akan sama dengan nilai yang sama.

Anda harus siap dengan kenyataan bahwa seorang guru di sekolah atau seorang guru di sebuah institut dapat memanggil istilah bahkan angka-angka (atau variabel) yang bukan mereka.

Misalnya, jika perbedaannya tertulis di papan tulis a-b, maka guru tidak akan mengatakan itu sebuah adalah minuend, dan b- dapat dikurangkan. Dia akan menyebut kedua variabel satu kata umum - ketentuan. Dan semua karena ekspresi bentuk a-b matematikawan melihat bagaimana penjumlahannya a + (−b). Dalam hal ini, ekspresi menjadi jumlah, dan variabel sebuah dan (−b) menjadi komponen.

Istilah serupa

Istilah serupa adalah suku-suku yang memiliki bagian huruf yang sama. Misalnya, perhatikan ekspresi 7a + 6b + 2a. Ketentuan 7a dan 2a memiliki bagian huruf yang sama - variabel sebuah. Jadi syaratnya 7a dan 2a mirip.

Biasanya, suku serupa ditambahkan untuk menyederhanakan ekspresi atau menyelesaikan persamaan. Operasi ini disebut pengurangan suku-suku sejenis.

Untuk mendapatkan suku-suku serupa, Anda perlu menambahkan koefisien suku-suku ini, dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf biasa.

Misalnya, kami memberikan istilah serupa dalam ekspresi 3a + 4a + 5a. Dalam hal ini, semua istilah serupa. Kami menambahkan koefisiennya dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf yang sama - dengan variabel sebuah

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Istilah-istilah seperti itu biasanya diberikan dalam pikiran dan hasilnya segera dicatat:

3a + 4a + 5a = 12a

Juga, Anda bisa berdebat seperti ini:

Ada 3 variabel a , 4 variabel lagi a dan 5 variabel lagi ditambahkan ke dalamnya. Hasilnya, kami mendapat 12 variabel a

Mari kita pertimbangkan beberapa contoh pengurangan istilah serupa. Mengingat topik ini sangat penting, pada awalnya kami akan menuliskan setiap detail secara detail. Terlepas dari kenyataan bahwa semuanya sangat sederhana di sini, kebanyakan orang membuat banyak kesalahan. Sebagian besar karena kurangnya perhatian, bukan ketidaktahuan.

Contoh 1 3sebuah + 2sebuah + 6sebuah + 8sebuah

Kami menambahkan koefisien dalam ekspresi ini dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf yang sama:

3sebuah + 2sebuah + 6sebuah + 8a =(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19sebuah

Konstruksi (3 + 2 + 6 + 8) × a Anda tidak bisa menuliskannya, jadi kami akan segera menuliskan jawabannya

3 sebuah + 2 sebuah + 6 sebuah + 8 a = 19 sebuah

Contoh 2 Bawa istilah seperti dalam ekspresi 2a+a

Istilah kedua sebuah ditulis tanpa koefisien, tetapi sebenarnya didahului oleh koefisien 1 , yang tidak kita lihat karena fakta bahwa itu tidak direkam. Jadi ekspresinya terlihat seperti ini:

2a + 1a

Sekarang kami menyajikan istilah serupa. Artinya, kami menambahkan koefisien dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf biasa:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Mari kita tulis solusinya secara singkat:

2a + a = 3a

2a+a, Anda dapat berdebat dengan cara lain:

Contoh 3 Bawa istilah seperti dalam ekspresi 2a - a

Mari kita ganti pengurangan dengan penambahan:

2a + (a)

Istilah kedua (−a) ditulis tanpa koefisien, tetapi sebenarnya terlihat seperti (−1a). Koefisien −1 lagi terlihat karena fakta bahwa itu tidak direkam. Jadi ekspresinya terlihat seperti ini:

2a + (−1a)

Sekarang kami menyajikan istilah serupa. Kami menambahkan koefisien dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf biasa:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Biasanya ditulis lebih pendek:

2a a = a

Membawa istilah seperti dalam ekspresi 2a−a Anda juga dapat berdebat dengan cara lain:

Ada 2 variabel a , dikurangi satu variabel a , hasilnya hanya ada satu variabel a

Contoh 4 Bawa istilah seperti dalam ekspresi 6a - 3a + 4a - 8a

6a 3a + 4a 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Sekarang kami menyajikan istilah serupa. Kami menambahkan koefisien dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf biasa

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = 1a = a

Mari kita tulis solusinya secara singkat:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Ada ekspresi yang mengandung beberapa kelompok berbeda dari istilah yang sama. Sebagai contoh, 3a + 3b + 7a + 2b. Untuk ekspresi seperti itu, aturan yang sama berlaku untuk yang lainnya, yaitu menambahkan koefisien dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf biasa. Tetapi untuk menghindari kesalahan, akan lebih mudah untuk menggarisbawahi kelompok istilah yang berbeda dengan garis yang berbeda.

Misalnya, dalam ekspresi 3a + 3b + 7a + 2b istilah-istilah yang mengandung variabel sebuah, dapat digarisbawahi dengan satu baris, dan istilah-istilah yang mengandung variabel b, dapat digarisbawahi dengan dua baris:

Sekarang kita bisa membawa istilah yang sama. Artinya, tambahkan koefisien dan kalikan hasilnya dengan bagian huruf biasa. Ini harus dilakukan untuk kedua kelompok istilah: untuk istilah yang mengandung variabel sebuah dan untuk suku-suku yang mengandung variabel b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Sekali lagi, kami ulangi, ekspresinya sederhana, dan istilah serupa dapat diberikan dalam pikiran:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Contoh 5 Bawa istilah seperti dalam ekspresi 5a - 6a - 7b + b

Kami mengganti pengurangan dengan penambahan jika memungkinkan:

5a 6a 7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Garis bawahi suku-suku sejenis dengan garis yang berbeda. Istilah yang mengandung variabel sebuah garis bawahi dengan satu baris, dan istilah yang mengandung variabel b, digarisbawahi dengan dua baris:

Sekarang kita bisa membawa istilah yang sama. Artinya, tambahkan koefisien dan kalikan hasilnya dengan bagian huruf biasa:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = a + (−6b)

Jika ekspresi berisi angka biasa tanpa faktor alfabet, maka mereka ditambahkan secara terpisah.

Contoh 6 Bawa istilah seperti dalam ekspresi 4a + 3a 5 + 2b + 7

Mari kita ganti pengurangan dengan penambahan jika memungkinkan:

4a + 3a 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Mari kita hadirkan istilah serupa. angka −5 dan 7 tidak memiliki faktor literal, tetapi mereka adalah istilah yang serupa - Anda hanya perlu menambahkannya. Dan istilahnya 2b akan tetap tidak berubah, karena itu adalah satu-satunya dalam ekspresi ini yang memiliki faktor huruf b, dan tidak ada yang menambahkannya:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Mari kita tulis solusinya secara singkat:

4a + 3a 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Istilah dapat diurutkan sehingga istilah yang memiliki bagian huruf yang sama terletak di bagian ekspresi yang sama.

Contoh 7 Bawa istilah seperti dalam ekspresi 5t+2x+3x+5t+x

Karena ekspresi adalah jumlah dari beberapa suku, ini memungkinkan kita untuk mengevaluasinya dalam urutan apa pun. Oleh karena itu, istilah yang mengandung variabel t, dapat ditulis di awal ekspresi, dan suku-suku yang mengandung variabel x di akhir ekspresi:

5t+5t+2x+3x+x

Sekarang kita dapat menambahkan istilah seperti:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Mari kita tulis solusinya secara singkat:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Jumlah bilangan yang berlawanan adalah nol. Aturan ini juga berfungsi untuk ekspresi literal. Jika ekspresi mengandung istilah yang identik, tetapi dengan tanda yang berlawanan, maka Anda dapat menghilangkannya pada tahap mengurangi istilah yang serupa. Dengan kata lain, lepaskan saja dari ekspresi karena jumlahnya nol.

Contoh 8 Bawa istilah seperti dalam ekspresi 3t 4t 3t + 2t

Mari kita ganti pengurangan dengan penambahan jika memungkinkan:

3t 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Ketentuan 3t dan (−3t) berlawanan. Jumlah suku yang berlawanan sama dengan nol. Jika kita menghapus nol ini dari ekspresi, maka nilai ekspresi tidak akan berubah, jadi kami akan menghapusnya. Dan kami akan menghapusnya dengan penghapusan persyaratan yang biasa 3t dan (−3t)

Akibatnya, kita akan memiliki ekspresi (−4t) + 2t. Dalam ekspresi ini, Anda dapat menambahkan istilah serupa dan mendapatkan jawaban akhir:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = 2t

Mari kita tulis solusinya secara singkat:

Penyederhanaan ekspresi

"sederhanakan ekspresi" dan berikut adalah ekspresi yang akan disederhanakan. Sederhanakan Ekspresi berarti untuk membuatnya lebih sederhana dan lebih pendek.

Sebenarnya, kita sudah berurusan dengan penyederhanaan ekspresi saat mengurangi pecahan. Setelah direduksi, pecahan menjadi lebih pendek dan lebih mudah dibaca.

Perhatikan contoh berikut. Sederhanakan ekspresi.

Tugas ini secara harfiah dapat dipahami sebagai berikut: "Lakukan apa pun yang dapat Anda lakukan dengan ekspresi ini, tetapi buat lebih sederhana" .

Dalam hal ini, Anda dapat mengurangi pecahan, yaitu membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan 2:

Apa lagi yang bisa dilakukan? Anda dapat menghitung pecahan yang dihasilkan. Kemudian kita mendapatkan desimal 0,5

Hasilnya, pecahan disederhanakan menjadi 0,5.

Pertanyaan pertama yang harus ditanyakan pada diri sendiri ketika memecahkan masalah seperti itu adalah "apa yang bisa dilakukan?" . Karena ada hal-hal yang dapat Anda lakukan dan ada hal-hal yang tidak dapat Anda lakukan.

Poin penting lainnya yang perlu diingat adalah bahwa nilai ekspresi tidak boleh berubah setelah ekspresi disederhanakan. Mari kembali ke ekspresi. Ungkapan ini merupakan pembagian yang dapat dilakukan. Setelah melakukan pembagian ini, kami mendapatkan nilai ekspresi ini, yang sama dengan 0,5

Tapi kami menyederhanakan ekspresi dan mendapatkan ekspresi baru yang disederhanakan. Nilai dari ekspresi baru yang disederhanakan masih 0,5

Tetapi kami juga mencoba menyederhanakan ekspresi dengan menghitungnya. Hasilnya, jawaban akhirnya adalah 0,5.

Jadi, bagaimanapun kita menyederhanakan ekspresi, nilai ekspresi yang dihasilkan tetap 0,5. Artinya, penyederhanaan dilakukan dengan benar pada setiap tahap. Inilah yang perlu kita perjuangkan ketika menyederhanakan ekspresi - makna ekspresi tidak boleh menderita dari tindakan kita.

Seringkali perlu untuk menyederhanakan ekspresi literal. Bagi mereka, aturan penyederhanaan yang sama berlaku untuk ekspresi numerik. Anda dapat melakukan tindakan apa pun yang valid, selama nilai ekspresi tidak berubah.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1 Sederhanakan Ekspresi 5.21s × t × 2.5

Untuk menyederhanakan ekspresi ini, Anda dapat mengalikan angka secara terpisah dan mengalikan huruf secara terpisah. Tugas ini sangat mirip dengan yang kami pertimbangkan ketika kami belajar menentukan koefisien:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Jadi ekspresinya 5.21s × t × 2.5 disederhanakan menjadi 13.025.

Contoh 2 Sederhanakan Ekspresi 0.4×(−6.3b)×2

Pekerjaan kedua (−6.3b) diterjemahkan ke dalam bentuk yang dapat dimengerti oleh kita, yaitu, ditulis dalam bentuk ( 6.3)×b , kemudian kalikan angka secara terpisah dan kalikan huruf secara terpisah:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

Jadi ekspresinya 0.4×(−6.3b)×2 disederhanakan menjadi 5.04b

Contoh 3 Sederhanakan Ekspresi

Mari kita tulis ungkapan ini lebih detail untuk melihat dengan jelas di mana angka-angka itu dan di mana huruf-hurufnya:

Sekarang kita mengalikan angka secara terpisah dan mengalikan huruf secara terpisah:

Jadi ekspresinya disederhanakan menjadi abc. Solusi ini dapat ditulis lebih pendek:

Saat menyederhanakan ekspresi, pecahan dapat direduksi dalam proses penyelesaian, dan bukan di akhir, seperti yang kita lakukan dengan pecahan biasa. Misalnya, jika selama penyelesaian kami menemukan ekspresi bentuk , maka sama sekali tidak perlu menghitung pembilang dan penyebut dan melakukan sesuatu seperti ini:

Suatu pecahan dapat direduksi dengan memilih faktor pembilang dan penyebutnya dan mengurangi faktor-faktor tersebut dengan pembagi persekutuan terbesarnya. Dengan kata lain, gunakan , di mana kami tidak menjelaskan secara rinci apa yang dibagi menjadi pembilang dan penyebut.

Misalnya, dalam pembilang, faktor 12 dan penyebut, faktor 4 dapat dikurangi dengan 4. Kami menyimpan empat dalam pikiran kami, dan membagi 12 dan 4 dengan empat ini, kami menulis jawaban di sebelah angka-angka ini, setelah sebelumnya mencoretnya

Sekarang Anda dapat mengalikan faktor-faktor kecil yang dihasilkan. Dalam hal ini, jumlahnya tidak banyak dan Anda dapat mengalikannya dalam pikiran Anda:

Seiring waktu, Anda mungkin menemukan bahwa ketika memecahkan masalah tertentu, ekspresi mulai "menggemukkan", jadi disarankan untuk membiasakan diri dengan perhitungan cepat. Apa yang bisa dihitung dalam pikiran harus diperhitungkan dalam pikiran. Apa yang bisa dipotong dengan cepat harus dipotong dengan cepat.

Contoh 4 Sederhanakan Ekspresi

Jadi ekspresinya disederhanakan menjadi

Contoh 5 Sederhanakan Ekspresi

Kami mengalikan angka secara terpisah dan huruf secara terpisah:

Jadi ekspresinya disederhanakan menjadi M N.

Contoh 6 Sederhanakan Ekspresi

Mari kita tulis ungkapan ini lebih detail untuk melihat dengan jelas di mana angka-angka itu dan di mana huruf-hurufnya:

Sekarang kita mengalikan angka secara terpisah dan huruf secara terpisah. Untuk memudahkan perhitungan, pecahan desimal 6.4 dan bilangan campuran dapat diubah menjadi pecahan biasa:

Jadi ekspresinya disederhanakan menjadi

Solusi untuk contoh ini dapat ditulis jauh lebih pendek. Ini akan terlihat seperti ini:

Contoh 7 Sederhanakan Ekspresi

Kami mengalikan angka secara terpisah dan huruf secara terpisah. Untuk memudahkan perhitungan, pecahan campuran dan pecahan desimal 0,1 dan 0,6 dapat diubah menjadi pecahan biasa:

Jadi ekspresinya disederhanakan menjadi abcd. Jika Anda melewatkan detailnya, maka solusi ini dapat ditulis jauh lebih pendek:

Perhatikan bagaimana pecahan telah dikurangi. Pengganda baru, yang diperoleh dengan mengurangi pengganda sebelumnya, juga dapat dikurangi.

Sekarang mari kita bicara tentang apa yang tidak boleh dilakukan. Saat menyederhanakan ekspresi, dilarang keras untuk mengalikan angka dan huruf jika ekspresi adalah jumlah dan bukan produk.

Misalnya, jika Anda ingin menyederhanakan ekspresi 5a + 4b, maka tidak dapat ditulis sebagai berikut:

Ini sama dengan fakta bahwa jika kita diminta untuk menjumlahkan dua angka, dan kita akan mengalikannya daripada menjumlahkannya.

Saat mengganti nilai variabel apa pun sebuah dan b ekspresi 5a+4b berubah menjadi ekspresi numerik sederhana. Mari kita asumsikan variabelnya sebuah dan b memiliki arti sebagai berikut:

a = 2 , b = 3

Maka nilai ekspresinya adalah 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Pertama, perkalian dilakukan, dan kemudian hasilnya ditambahkan. Dan jika kita mencoba menyederhanakan ekspresi ini dengan mengalikan angka dan huruf, kita akan mendapatkan yang berikut:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Ternyata makna ekspresi yang sama sekali berbeda. Dalam kasus pertama ternyata 22 , dalam kasus kedua 120 . Ini berarti bahwa penyederhanaan ekspresi 5a + 4b dilakukan secara tidak benar.

Setelah menyederhanakan ekspresi, nilainya tidak boleh berubah dengan nilai variabel yang sama. Jika, ketika mengganti nilai variabel apa pun ke dalam ekspresi asli, satu nilai diperoleh, maka setelah menyederhanakan ekspresi, nilai yang sama harus diperoleh seperti sebelum penyederhanaan.

Dengan ekspresi 5a + 4b sebenarnya tidak ada yang bisa dilakukan. Itu tidak menjadi lebih mudah.

Jika ekspresi berisi istilah yang mirip, maka mereka dapat ditambahkan jika tujuan kami adalah untuk menyederhanakan ekspresi.

Contoh 8 Sederhanakan Ekspresi 0.3a−0.4a+a

0.3a 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

atau lebih pendek: 0.3a - 0.4a + a = 0.9a

Jadi ekspresinya 0.3a−0.4a+a disederhanakan menjadi 0.9a

Contoh 9 Sederhanakan Ekspresi 7.5a 2.5b + 4a

Untuk menyederhanakan ekspresi ini, Anda dapat menambahkan istilah serupa:

7.5a 2.5b + 4a = 7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = 3.5a + (−2.5b)

atau lebih pendek 7.5a 2.5b + 4a = 3.5a + (−2.5b)

ketentuan (−2.5b) tetap tidak berubah, karena tidak ada yang bisa dilipat.

Contoh 10 Sederhanakan Ekspresi

Untuk menyederhanakan ekspresi ini, Anda dapat menambahkan istilah serupa:

Koefisien adalah untuk kenyamanan perhitungan.

Jadi ekspresinya disederhanakan menjadi

Contoh 11. Sederhanakan Ekspresi

Untuk menyederhanakan ekspresi ini, Anda dapat menambahkan istilah serupa:

Jadi ekspresinya disederhanakan menjadi .

Dalam contoh ini, akan lebih masuk akal untuk menambahkan koefisien pertama dan terakhir terlebih dahulu. Dalam hal ini, kami akan mendapatkan solusi singkat. Ini akan terlihat seperti ini:

Contoh 12. Sederhanakan Ekspresi

Untuk menyederhanakan ekspresi ini, Anda dapat menambahkan istilah serupa:

Jadi ekspresinya disederhanakan menjadi .

Istilah itu tetap tidak berubah, karena tidak ada yang ditambahkan.

Solusi ini dapat ditulis jauh lebih pendek. Ini akan terlihat seperti ini:

Solusi singkat menghilangkan langkah-langkah mengganti pengurangan dengan penambahan dan catatan rinci tentang bagaimana pecahan dikurangi menjadi penyebut yang sama.

Perbedaan lain adalah bahwa dalam solusi terperinci, jawabannya terlihat seperti , tapi singkatnya . Sebenarnya, itu adalah ekspresi yang sama. Perbedaannya adalah bahwa dalam kasus pertama, pengurangan diganti dengan penambahan, karena pada awalnya, ketika kami menuliskan solusi secara rinci, kami mengganti pengurangan dengan penambahan sedapat mungkin, dan penggantian ini dipertahankan untuk jawabannya.

Identitas. Ekspresi setara yang identik

Setelah kami menyederhanakan ekspresi apa pun, itu menjadi lebih sederhana dan lebih pendek. Untuk memeriksa apakah ekspresi disederhanakan dengan benar, cukup dengan mengganti nilai variabel apa pun terlebih dahulu ke dalam ekspresi sebelumnya, yang harus disederhanakan, dan kemudian ke yang baru, yang disederhanakan. Jika nilai pada kedua ekspresi sama, maka ekspresi disederhanakan dengan benar.

Mari kita pertimbangkan contoh paling sederhana. Biarkan diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi 2a × 7b. Untuk menyederhanakan ekspresi ini, Anda dapat mengalikan angka dan huruf secara terpisah:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Mari kita periksa apakah kita telah menyederhanakan ekspresi dengan benar. Untuk melakukan ini, gantikan nilai variabel apa pun sebuah dan b pertama ke ekspresi pertama, yang perlu disederhanakan, dan kemudian ke yang kedua, yang disederhanakan.

Biarkan nilai-nilai variabel sebuah , b akan menjadi sebagai berikut:

a = 4 , b = 5

Ganti mereka dalam ekspresi pertama 2a × 7b

Sekarang mari kita substitusikan nilai yang sama dari variabel ke dalam ekspresi yang dihasilkan dari penyederhanaan 2a×7b, yaitu pada ungkapan 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Kita melihatnya di a=4 dan b=5 nilai ekspresi pertama 2a×7b dan nilai ekspresi kedua 14ab setara

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Hal yang sama akan terjadi untuk nilai lainnya. Misalnya, mari a = 1 dan b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Jadi, untuk setiap nilai variabel, ekspresi 2a×7b dan 14ab adalah sama dengan nilai yang sama. Ekspresi seperti itu disebut identik sama.

Kami menyimpulkan bahwa di antara ekspresi 2a×7b dan 14ab Anda dapat menempatkan tanda sama dengan, karena mereka sama dengan nilai yang sama.

2a × 7b = 14ab

Persamaan adalah setiap ekspresi yang dihubungkan dengan tanda sama dengan (=).

Dan persamaan bentuk 2a×7b = 14ab ditelepon identitas.

Identitas adalah persamaan yang benar untuk setiap nilai variabel.

Contoh identitas lainnya:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Ya, hukum matematika yang kita pelajari adalah identitas.

Persamaan numerik sejati juga merupakan identitas. Sebagai contoh:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Saat memecahkan masalah yang kompleks, untuk memudahkan perhitungan, ekspresi kompleks diganti dengan ekspresi sederhana yang identik sama dengan yang sebelumnya. Penggantian seperti itu disebut transformasi identik dari ekspresi atau hanya konversi ekspresi.

Misalnya, kami menyederhanakan ekspresi 2a × 7b, dan dapatkan ekspresi yang lebih sederhana 14ab. Penyederhanaan ini bisa disebut transformasi identitas.

Anda sering dapat menemukan tugas yang mengatakan "Buktikan bahwa kesetaraan adalah identitas" dan kemudian persamaan yang akan dibuktikan diberikan. Biasanya persamaan ini terdiri dari dua bagian: bagian kiri dan kanan persamaan. Tugas kita adalah melakukan transformasi identik dengan salah satu bagian persamaan dan mendapatkan bagian lainnya. Atau lakukan transformasi identik dengan kedua bagian persamaan dan pastikan kedua bagian persamaan berisi ekspresi yang sama.

Sebagai contoh, mari kita buktikan bahwa persamaan 0,5a × 5b = 2.5ab adalah sebuah identitas.

Sederhanakan ruas kiri persamaan ini. Untuk melakukan ini, kalikan angka dan huruf secara terpisah:

0,5 × 5 × a × b = 2.5ab

2.5ab = 2.5ab

Sebagai hasil dari transformasi identitas kecil, sisi kiri persamaan menjadi sama dengan sisi kanan persamaan. Jadi kami telah membuktikan bahwa persamaan 0,5a × 5b = 2.5ab adalah sebuah identitas.

Dari transformasi identik, kami belajar menjumlahkan, mengurangi, mengalikan dan membagi bilangan, mengurangi pecahan, membawa suku yang sama, dan juga menyederhanakan beberapa ekspresi.

Tapi ini jauh dari semua transformasi identik yang ada dalam matematika. Ada banyak lagi transformasi yang identik. Kita akan melihat ini lagi dan lagi di masa depan.

Tugas untuk solusi independen:

Apakah Anda menyukai pelajarannya?
Bergabunglah dengan grup Vkontakte baru kami dan mulai menerima pemberitahuan tentang pelajaran baru

Ekspresi, konversi ekspresi

Ekspresi kekuatan (ekspresi dengan kekuatan) dan transformasinya

Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang mengubah ekspresi dengan kekuatan. Pertama, kita akan fokus pada transformasi yang dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi pangkat, seperti kurung buka, pengurangan suku yang serupa. Dan kemudian kami akan menganalisis transformasi yang melekat secara khusus dalam ekspresi dengan derajat: bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan properti derajat, dll.

Navigasi halaman.

Apa itu Ekspresi Daya?

Istilah "ekspresi kekuatan" praktis tidak ditemukan dalam buku pelajaran matematika sekolah, tetapi sering muncul dalam kumpulan tugas, yang dirancang khusus untuk mempersiapkan Ujian Negara Bersatu dan OGE, misalnya. Setelah menganalisis tugas di mana diperlukan untuk melakukan tindakan apa pun dengan ekspresi kekuatan, menjadi jelas bahwa ekspresi kekuatan dipahami sebagai ekspresi yang mengandung derajat dalam entri mereka. Oleh karena itu, untuk Anda sendiri, Anda dapat mengambil definisi berikut:

Definisi.

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung kekuatan.

Ayo bawa contoh ekspresi kekuatan. Selain itu, kami akan merepresentasikan mereka sesuai dengan bagaimana perkembangan pandangan dari derajat dengan indikator alami ke derajat dengan indikator nyata berlangsung.

Seperti yang Anda ketahui, pertama ada kenalan dengan derajat suatu bilangan dengan eksponen alami, pada tahap ini ekspresi kekuatan paling sederhana pertama dari tipe 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 dst.

Beberapa saat kemudian, pangkat suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat dipelajari, yang mengarah pada munculnya ekspresi pangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif, seperti berikut: 3 2, , a 2 +2 b 3 + c 2 .

Di kelas senior, mereka kembali ke gelar lagi. Di sana, gelar dengan eksponen rasional diperkenalkan, yang mengarah pada munculnya ekspresi kekuatan yang sesuai: , , dll. Akhirnya, derajat dengan eksponen irasional dan ekspresi yang mengandungnya dianggap: , .

Masalahnya tidak terbatas pada ekspresi pangkat yang terdaftar: selanjutnya variabel menembus ke dalam eksponen, dan ada, misalnya, ekspresi seperti itu 2 x 2 +1 atau . Dan setelah berkenalan, ekspresi dengan kekuatan dan logaritma mulai muncul, misalnya, x 2 lgx 5 x lgx.

Jadi, kami menemukan pertanyaan tentang apa itu ekspresi kekuatan. Selanjutnya, kita akan belajar bagaimana mengubahnya.

Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan

Dengan ekspresi kekuatan, Anda dapat melakukan salah satu transformasi identitas dasar ekspresi. Misalnya, Anda dapat membuka tanda kurung, mengganti ekspresi numerik dengan nilainya, menambahkan suku sejenis, dan seterusnya. Secara alami, dalam hal ini perlu untuk mengikuti prosedur yang diterima untuk melakukan tindakan. Mari kita beri contoh.

Contoh.

Hitung nilai dari ekspresi pangkat 2 3 ·(4 2 12) .

Keputusan.

Menurut urutan tindakan, pertama-tama kita melakukan tindakan dalam tanda kurung. Di sana, pertama, kami mengganti pangkat 4 2 dengan nilainya 16 (lihat jika perlu), dan kedua, kami menghitung selisihnya 16−12=4 . Kita punya 2 3 (4 2 12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, kami mengganti pangkat 2 3 dengan nilainya 8 , setelah itu kami menghitung produk 8·4=32 . Ini adalah nilai yang diinginkan.

Jadi, 2 3 (4 2 12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Menjawab:

2 3 (4 2 12)=32 .

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya 3 a 4 b 7 1+2 a 4 b 7.

Keputusan.

Jelas, ekspresi ini mengandung istilah yang mirip 3 · a 4 · b 7 dan 2 · a 4 · b 7 , dan kita dapat menguranginya: .

Menjawab:

3 a 4 b 7 1+2 a 4 b 7 =5 a 4 b 7 1.

Contoh.

Ekspresikan ekspresi dengan kekuatan sebagai produk.

Keputusan.

Untuk mengatasi tugas memungkinkan representasi angka 9 sebagai kekuatan 3 2 dan penggunaan selanjutnya dari rumus perkalian berkurang, perbedaan kuadrat:

Menjawab:

Ada juga sejumlah transformasi identik yang melekat dalam ekspresi kekuasaan. Selanjutnya, kami akan menganalisisnya.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Ada derajat, dalam basis dan / atau indikator yang bukan hanya angka atau variabel, tetapi beberapa ekspresi. Sebagai contoh, mari kita tulis (2+0.3 7) 5−3.7 dan (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Saat bekerja dengan ekspresi seperti itu, dimungkinkan untuk mengganti ekspresi di basis derajat dan ekspresi dalam indikator dengan ekspresi yang sama identik pada DPV variabelnya. Dengan kata lain, menurut aturan yang kita ketahui, kita dapat secara terpisah mengonversi basis derajat, dan secara terpisah - indikatornya. Jelas bahwa sebagai hasil dari transformasi ini, diperoleh ekspresi yang identik sama dengan yang asli.

Transformasi tersebut memungkinkan kita untuk menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan atau mencapai tujuan lain yang kita butuhkan. Misalnya, dalam ekspresi pangkat (2+0.3 7) 5−3.7 yang disebutkan di atas, Anda dapat melakukan operasi dengan angka dalam basis dan eksponen, yang memungkinkan Anda untuk beralih ke pangkat 4.1 1.3. Dan setelah membuka kurung dan membawa suku-suku sejenis ke dalam basis derajat (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) kita mendapatkan ekspresi pangkat dari bentuk yang lebih sederhana a 2·(x+1 ) .

Menggunakan Properti Daya

Salah satu alat utama untuk mengubah ekspresi dengan kekuatan adalah persamaan yang mencerminkan . Mari kita ingat yang utama. Untuk sembarang bilangan positif a dan b dan bilangan real sembarang r dan s, sifat-sifat daya berikut berlaku:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = a r s .

Perhatikan bahwa untuk eksponen natural, integer, dan positif, pembatasan pada bilangan a dan b mungkin tidak terlalu ketat. Misalnya, untuk bilangan asli m dan n, persamaan a m a n =a m+n benar tidak hanya untuk a positif , tetapi juga untuk negatif, dan untuk a=0 .

Di sekolah, perhatian utama dalam transformasi ekspresi kekuatan difokuskan tepat pada kemampuan untuk memilih properti yang sesuai dan menerapkannya dengan benar. Dalam hal ini, basis derajat biasanya positif, yang memungkinkan Anda untuk menggunakan properti derajat tanpa batasan. Hal yang sama berlaku untuk transformasi ekspresi yang mengandung variabel dalam basis derajat - rentang nilai variabel yang dapat diterima biasanya sedemikian rupa sehingga basis hanya mengambil nilai positif di atasnya, yang memungkinkan Anda untuk bebas menggunakan properti derajat. Secara umum, Anda perlu terus-menerus bertanya pada diri sendiri apakah mungkin untuk menerapkan properti derajat apa pun dalam kasus ini, karena penggunaan properti yang tidak akurat dapat menyebabkan penyempitan ODZ dan masalah lainnya. Poin-poin ini dibahas secara rinci dan dengan contoh dalam artikel transformasi ekspresi menggunakan properti derajat. Di sini kita membatasi diri pada beberapa contoh sederhana.

Contoh.

Nyatakan ekspresi a 2.5 ·(a 2) 3:a 5.5 sebagai pangkat dengan basis a .

Keputusan.

Pertama, kita ubah faktor kedua (a 2) 3 dengan sifat menaikkan pangkat menjadi pangkat: (a 2) 3 =a 2 (−3) =a 6. Dalam hal ini, ekspresi pangkat awal akan berbentuk a 2.5 ·a 6:a 5.5 . Jelas, tetap menggunakan sifat perkalian dan pembagian kekuatan dengan basis yang sama, kita memiliki
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a 3.5−(−5.5) =a 2 .

Menjawab:

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Properti daya digunakan saat mengubah ekspresi daya baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri.

Contoh.

Temukan nilai dari ekspresi kekuatan.

Keputusan.

Persamaan (a·b) r =a r ·b r , diterapkan dari kanan ke kiri, memungkinkan Anda beralih dari ekspresi asli ke produk bentuk dan selanjutnya. Dan ketika mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, indikatornya bertambah: .

Dimungkinkan untuk melakukan transformasi ekspresi asli dengan cara lain:

Menjawab:

.

Contoh.

Diberikan ekspresi pangkat a 1,5 a 0,5 6 , masukkan variabel baru t=a 0,5 .

Keputusan.

Derajat a 1,5 dapat direpresentasikan sebagai 0,5 3 dan selanjutnya berdasarkan sifat derajat dalam derajat (a r) s =a r s yang diterapkan dari kanan ke kiri, ubahlah menjadi bentuk (a 0,5) 3 . Dengan demikian, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Sekarang mudah untuk memperkenalkan variabel baru t=a 0.5 , kita mendapatkan t 3 t−6 .

Menjawab:

t 3 t−6 .

Mengonversi pecahan yang mengandung kekuatan

Ekspresi pangkat dapat berisi pecahan dengan pangkat atau mewakili pecahan tersebut. Transformasi pecahan dasar apa pun yang melekat pada pecahan jenis apa pun sepenuhnya berlaku untuk pecahan tersebut. Artinya, pecahan yang mengandung derajat dapat direduksi, direduksi menjadi penyebut baru, bekerja secara terpisah dengan pembilangnya dan secara terpisah dengan penyebutnya, dll. Untuk mengilustrasikan kata-kata di atas, pertimbangkan solusi dari beberapa contoh.

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Keputusan.

Ekspresi kekuatan ini adalah pecahan. Mari kita bekerja dengan pembilang dan penyebutnya. Di pembilang, kami membuka tanda kurung dan menyederhanakan ekspresi yang diperoleh setelah itu menggunakan sifat-sifat pangkat, dan dalam penyebut kami menyajikan istilah yang serupa:

Dan kita juga mengubah tanda penyebut dengan menempatkan minus di depan pecahan: .

Menjawab:

.

Pengurangan pecahan yang mengandung pangkat ke penyebut baru dilakukan dengan cara yang sama seperti mereduksi pecahan rasional ke penyebut baru. Pada saat yang sama, faktor tambahan juga ditemukan dan pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengannya. Saat melakukan tindakan ini, perlu diingat bahwa pengurangan ke penyebut baru dapat menyebabkan penyempitan DPV. Untuk mencegah hal ini terjadi, perlu bahwa faktor tambahan tidak hilang untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi asli.

Contoh.

Pindahkan pecahan ke penyebut baru: a) ke penyebut a, b) ke penyebutnya.

Keputusan.

a) Dalam hal ini, cukup mudah untuk mengetahui faktor tambahan apa yang membantu mencapai hasil yang diinginkan. Ini adalah pengali a 0,3, karena 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Perhatikan bahwa dalam kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel a (ini adalah himpunan semua bilangan real positif), derajat a 0,3 tidak hilang, oleh karena itu, kami memiliki hak untuk mengalikan pembilang dan penyebut dari pecahan yang diberikan oleh faktor tambahan ini:

b) Melihat lebih dekat pada penyebut, kami menemukan bahwa

dan mengalikan ekspresi ini dengan akan memberikan jumlah kubus dan , yaitu . Dan ini adalah penyebut baru yang kita butuhkan untuk membawa pecahan aslinya.

Jadi kami menemukan faktor tambahan. Ekspresi tidak hilang pada rentang nilai yang dapat diterima dari variabel x dan y, oleh karena itu, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengannya:

Menjawab:

sebuah) , b) .

Juga tidak ada yang baru dalam pengurangan pecahan yang mengandung derajat: pembilang dan penyebut direpresentasikan sebagai sejumlah faktor, dan faktor pembilang dan penyebut yang sama dikurangi.

Contoh.

Kurangi pecahan: a) , b).

Keputusan.

a) Pertama, pembilang dan penyebutnya dapat dikurangi dengan angka 30 dan 45, yang sama dengan 15. Juga, jelas, Anda dapat mengurangi x 0,5 +1 dan dengan . Inilah yang kami miliki:

b) Dalam hal ini, faktor pembilang dan penyebut yang sama tidak langsung terlihat. Untuk mendapatkannya, Anda harus melakukan transformasi awal. Dalam hal ini, mereka terdiri dari menguraikan penyebut menjadi faktor-faktor sesuai dengan perbedaan rumus kuadrat:

Menjawab:

sebuah)

b) .

Mengurangi pecahan ke penyebut baru dan mengurangi pecahan terutama digunakan untuk melakukan operasi pada pecahan. Tindakan dilakukan sesuai dengan aturan yang diketahui. Saat menambahkan (mengurangi) pecahan, mereka direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu pembilangnya ditambahkan (dikurangi), dan penyebutnya tetap sama. Hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya adalah hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah perkalian penyebutnya. Pembagian dengan pecahan adalah perkalian dengan kebalikannya.

Contoh.

Ikuti langkah-langkahnya .

Keputusan.

Pertama, kita kurangi pecahan dalam kurung. Untuk melakukan ini, kami membawanya ke penyebut yang sama, yaitu , lalu kurangi pembilangnya:

Sekarang kita mengalikan pecahan:

Jelas, pengurangan dengan kekuatan x 1/2 dimungkinkan, setelah itu kita memiliki .

Anda juga dapat menyederhanakan ekspresi pangkat dalam penyebut dengan menggunakan rumus selisih kuadrat: .

Menjawab:

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Keputusan.

Jelas, pecahan ini dapat dikurangi dengan (x 2,7 +1) 2, ini memberikan pecahan . Jelas bahwa sesuatu yang lain perlu dilakukan dengan kekuatan x. Untuk melakukan ini, kami mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi produk. Ini memberi kita kesempatan untuk menggunakan properti pembagian kekuatan dengan basis yang sama: . Dan di akhir proses, kita beralih dari produk terakhir ke pecahan.

Menjawab:

.

Dan kami menambahkan bahwa adalah mungkin dan dalam banyak kasus diinginkan untuk mentransfer faktor dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut atau dari penyebut ke pembilang dengan mengubah tanda eksponen. Transformasi seperti itu sering menyederhanakan tindakan lebih lanjut. Misalnya, ekspresi kekuatan dapat diganti dengan .

Mengubah ekspresi dengan akar dan pangkat

Seringkali dalam ekspresi di mana beberapa transformasi diperlukan, bersama dengan derajat dengan eksponen pecahan, ada juga akar. Untuk mengonversi ekspresi seperti itu ke bentuk yang diinginkan, dalam banyak kasus cukup dengan hanya pergi ke akar atau hanya ke kekuatan. Tetapi karena lebih nyaman untuk bekerja dengan derajat, mereka biasanya berpindah dari akar ke derajat. Namun, disarankan untuk melakukan transisi seperti itu ketika ODZ variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda untuk mengganti akar dengan derajat tanpa perlu mengakses modul atau membagi ODZ menjadi beberapa interval (kami membahas ini secara rinci di bagian artikel, transisi dari akar ke pangkat dan sebaliknya Setelah berkenalan dengan derajat dengan eksponen rasional, gelar dengan indikator irasional diperkenalkan, yang memungkinkan untuk berbicara tentang gelar dengan indikator nyata yang sewenang-wenang.Pada tahap ini, sekolah mulai belajar Fungsi eksponensial, yang secara analitis diberikan oleh derajat, dengan dasar yang ada angka, dan dalam indikator - variabel. Jadi kita dihadapkan dengan ekspresi eksponensial yang berisi angka dalam basis derajat, dan dalam eksponen - ekspresi dengan variabel, dan tentu saja muncul kebutuhan untuk melakukan transformasi ekspresi tersebut.

Harus dikatakan bahwa transformasi ekspresi dari tipe yang ditunjukkan biasanya harus dilakukan saat menyelesaikan persamaan eksponensial dan pertidaksamaan eksponensial, dan transformasi ini cukup sederhana. Dalam sebagian besar kasus, mereka didasarkan pada sifat-sifat derajat dan sebagian besar ditujukan untuk memperkenalkan variabel baru di masa depan. Persamaan akan memungkinkan kita untuk mendemonstrasikannya 5 2 x+1 3 5 x 7 x 14 7 2 x−1 =0.

Pertama, eksponen, di mana eksponen jumlah beberapa variabel (atau ekspresi dengan variabel) dan angka, ditemukan, diganti dengan produk. Ini berlaku untuk istilah pertama dan terakhir dari ekspresi di sisi kiri:
5 2 x 5 1 3 5 x 7 x 14 7 2 x 7 1 =0,
5 5 2 x 3 5 x 7 x 2 7 2 x =0.

Selanjutnya, kedua bagian persamaan dibagi dengan ekspresi 7 2 x , yang hanya mengambil nilai positif pada ODZ variabel x untuk persamaan asli (ini adalah teknik standar untuk menyelesaikan persamaan semacam ini, kami tidak membicarakannya sekarang, jadi fokuslah pada transformasi ekspresi selanjutnya dengan kekuatan ):

Sekarang pecahan dengan kekuatan dibatalkan, yang memberikan .

Akhirnya, rasio pangkat dengan pangkat yang sama diganti dengan pangkat rasio, yang mengarah ke persamaan , yang setara dengan . Transformasi yang dibuat memungkinkan kami untuk memperkenalkan variabel baru, yang mengurangi solusi persamaan eksponensial asli menjadi solusi persamaan kuadrat

I.V. Boikov, L.D. Romanova Kumpulan tugas untuk persiapan ujian. Bagian 1. Penza 2003.