Untuk suatu fungsi f(x) dari banyak variabel, titik x adalah vektor, f'(x) adalah vektor turunan pertama (gradien) dari fungsi f(x), f (x) adalah matriks simetris turunan parsial kedua (matriks Hesse Hessian) fungsi f(x).
Untuk fungsi beberapa variabel, kondisi optimalitas dirumuskan sebagai berikut.
Kondisi yang diperlukan untuk optimalitas lokal. Misalkan f(x) terdiferensial di titik x * R n . Jika x * adalah titik ekstrem lokal, maka f'(x *) = 0.
Seperti sebelumnya, titik-titik yang merupakan solusi dari sistem persamaan disebut stasioner. Sifat dari titik stasioner x * berhubungan dengan ketegasan tanda dari matriks Hessian f′ (x).
Ketepatan tanda dari matriks A bergantung pada tanda-tanda bentuk kuadrat Q(α)=< α A, α >untuk semua bukan nol R n .
Di sini dan selanjutnya melalui produk skalar dari vektor x dan y dinotasikan. A-prioritas,

Suatu matriks A terdefinisi positif (non-negatif) jika Q(α)>0 (Q(α)≥0) untuk semua tak-nol R n ; negatif (nonpositif) pasti jika Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 untuk beberapa bukan nol R n dan Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Kondisi yang cukup untuk optimalitas lokal. Misal f(x) terdiferensialkan dua kali pada titik x * R n , dan f’(x *)=0 , mis. x * titik stasioner. Kemudian, jika matriks f (x *) positif (negatif) pasti, maka x * adalah titik minimum (maksimum) lokal; jika matriks f′′(x *) tak tentu, maka x * adalah titik pelana.
Jika matriks f′′(x *) definit non-negatif (non-positif), maka untuk menentukan sifat stasioner titik x *, diperlukan studi turunan orde tinggi.
Untuk memeriksa ketegasan tanda dari suatu matriks, biasanya digunakan kriteria Sylvester. Menurut kriteria ini, matriks simetris A pasti positif jika dan hanya jika semua minor sudutnya positif. Dalam hal ini, sudut minor dari matriks A adalah determinan matriks yang dibangun dari elemen-elemen matriks A, berdiri di persimpangan baris dan kolom dengan angka yang sama (dan yang pertama). Untuk memeriksa matriks simetris A untuk kepastian negatif, kita harus memeriksa matriks (−A) untuk kepastian positif.
Jadi, algoritma untuk menentukan titik-titik ekstrem lokal dari suatu fungsi banyak variabel adalah sebagai berikut.
1. Temukan f′(x).
2. Sistem terpecahkan

Akibatnya, titik stasioner x i dihitung.
3. Temukan f′′(x), himpunan i=1.
4. Temukan f′′(x i)
5. Minor sudut dari matriks f′′(x i) dihitung. Jika tidak semua minor sudut bukan nol, maka untuk menentukan sifat stasioner titik x i, diperlukan studi turunan orde tinggi. Dalam hal ini, transisi ke item 8 dilakukan.
Jika tidak, lanjutkan ke langkah 6.
6. Tanda-tanda dari minor sudut f′′(x i) dianalisis. Jika f′′(x i) pasti positif, maka x i adalah titik minimum lokal. Dalam hal ini, transisi ke item 8 dilakukan.
Jika tidak, lanjutkan ke item 7.
7. Minor sudut dari matriks -f′′(x i) dihitung dan tanda-tandanya dianalisis.
Jika -f′′(x i) definit positif, maka f′′(x i) definit negatif dan x i adalah titik maksimum lokal.
Jika tidak, f′′(x i) tidak tentu dan x i adalah titik pelana.
8. Kondisi untuk menentukan sifat semua titik stasioner i=N diperiksa.
Jika memenuhi, maka perhitungan selesai.
Jika kondisi tidak terpenuhi, maka i=i+1 diasumsikan dan transisi ke langkah 4 dilakukan.

Contoh 1. Tentukan titik ekstrem lokal dari fungsi f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2









Karena semua minor sudut bukan nol, karakter x 2 ditentukan oleh f′′(x).
Karena matriks f′′(x 2) adalah pasti positif, x 2 adalah titik minimum lokal.
Jawaban: fungsi f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 memiliki minimum lokal di titik x = (5/3; 8/3).

Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik domain fungsi, di mana nilai fungsi mengambil nilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi pada titik-titik ini disebut ekstrim (minimum dan maksimum) dari fungsi.

Definisi. Dot x1 lingkup fungsi f(x) disebut titik maksimum fungsi , jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Definisi. Dot x2 lingkup fungsi f(x) disebut titik minimum dari fungsi, jika nilai fungsi pada titik ini lebih kecil dari nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, terletak di kanan dan kirinya (yaitu, pertidaksamaan f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Dalam hal ini, fungsi dikatakan memiliki titik x2 minimum.

Katakanlah intinya x1 - titik maksimum fungsi f(x) . Kemudian pada interval hingga x1 fungsi meningkat, sehingga turunan dari fungsi tersebut lebih besar dari nol ( f "(x) > 0 ), dan dalam interval setelah x1 fungsinya turun, jadi turunan fungsi kurang dari nol ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Mari kita juga berasumsi bahwa intinya x2 - titik minimum fungsi f(x) . Kemudian pada interval hingga x2 fungsi menurun dan turunan dari fungsi kurang dari nol ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 fungsi naik dan turunan fungsi lebih besar dari nol ( f "(x) > 0 ). Dalam hal ini juga pada intinya x2 turunan dari fungsi adalah nol atau tidak ada.

Teorema Fermat (kriteria yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem suatu fungsi). Jika titik x0 - titik ekstrem dari fungsi f(x), maka pada titik ini turunan dari fungsi tersebut sama dengan nol ( f "(x) = 0 ) atau tidak ada.

Definisi. Titik-titik di mana turunan suatu fungsi sama dengan nol atau tidak ada disebut titik kritis .

Contoh 1 Mari kita pertimbangkan sebuah fungsi.

Pada intinya x= 0 turunan dari fungsi sama dengan nol, oleh karena itu, titik x= 0 adalah titik kritis. Namun, seperti yang dapat dilihat pada grafik fungsi, itu meningkat di seluruh domain definisi, jadi intinya x= 0 bukan merupakan titik ekstrem dari fungsi ini.

Dengan demikian, kondisi bahwa turunan suatu fungsi pada suatu titik sama dengan nol atau tidak ada adalah kondisi yang diperlukan untuk ekstrem, tetapi tidak cukup, karena contoh fungsi lain dapat diberikan untuk memenuhi kondisi ini, tetapi fungsi tidak memiliki ekstrem pada titik yang sesuai. Jadi harus memiliki indikasi yang cukup, yang memungkinkan untuk menilai apakah ada ekstrem pada titik kritis tertentu dan yang mana - maksimum atau minimum.

Teorema (kriteria pertama yang cukup untuk keberadaan ekstrem suatu fungsi). Titik kritis x0 f(x) , jika turunan fungsi berubah tanda ketika melewati titik ini, dan jika tanda berubah dari "plus" menjadi "minus", maka titik maksimumnya, dan jika dari "minus" menjadi "plus", maka titik minimum .

Jika dekat titik x0 , ke kiri dan ke kanan, turunannya mempertahankan tandanya, ini berarti bahwa fungsi hanya berkurang atau hanya meningkat di beberapa lingkungan titik x0 . Dalam hal ini, pada titik x0 tidak ada ekstrem.

Jadi, untuk menentukan titik ekstrem dari fungsi, Anda perlu melakukan hal berikut: :

1. Menemukan turunan dari suatu fungsi.
2. Samakan turunannya dengan nol dan tentukan titik kritisnya.
3. Secara mental atau di atas kertas, tandai titik kritis pada sumbu numerik dan tentukan tanda-tanda turunan fungsi dalam interval yang diperoleh. Jika tanda turunannya berubah dari "plus" menjadi "minus", maka titik kritisnya adalah titik maksimum, dan jika dari "minus" menjadi "plus", maka titik kritisnya adalah titik minimum.
4. Hitung nilai fungsi pada titik ekstrem.

Contoh 2 Menemukan ekstrem dari suatu fungsi .

Keputusan. Mari kita cari turunan dari fungsi:

Samakan turunan dengan nol untuk mencari titik kritis:

.

Karena untuk nilai apa pun dari "x" penyebutnya tidak sama dengan nol, maka kita menyamakan pembilangnya dengan nol:

Punya satu titik kritis x= 3 . Kami menentukan tanda turunan dalam interval yang dibatasi oleh titik ini:

dalam kisaran dari minus tak terhingga hingga 3 - tanda minus, yaitu fungsi menurun,

dalam kisaran dari 3 hingga plus tak terhingga - tanda plus, yaitu fungsi meningkat.

Artinya, titik x= 3 adalah titik minimum.

Tentukan nilai fungsi di titik minimum:

Dengan demikian, titik ekstrem dari fungsi tersebut ditemukan: (3; 0 ), dan merupakan titik minimum.

Teorema (kriteria cukup kedua untuk keberadaan ekstrem suatu fungsi). Titik kritis x0 adalah titik ekstrem dari fungsi f(x), jika turunan kedua fungsi pada titik ini tidak sama dengan nol ( f ""(x) 0 ), apalagi jika turunan kedua lebih besar dari nol ( f ""(x) > 0 ), maka titik maksimum, dan jika turunan kedua kurang dari nol ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Catatan 1. Jika pada suatu titik x0 baik turunan pertama dan kedua menghilang, maka pada titik ini tidak mungkin untuk menilai keberadaan ekstrem berdasarkan tanda cukup kedua. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan kriteria cukup pertama untuk fungsi ekstrem.

Catatan 2. Kriteria cukup kedua untuk ekstrem suatu fungsi juga tidak dapat diterapkan bila turunan pertama tidak ada pada titik stasioner (maka turunan kedua juga tidak ada). Dalam hal ini, perlu juga menggunakan kriteria cukup pertama untuk ekstrem fungsi.

Sifat lokal dari ekstrem dari fungsi

Ini mengikuti dari definisi di atas bahwa ekstrem dari suatu fungsi memiliki karakter lokal - ini adalah nilai fungsi terbesar dan terkecil dibandingkan dengan nilai terdekat.

Misalkan Anda mempertimbangkan penghasilan Anda dalam rentang waktu satu tahun. Jika pada bulan Mei Anda memperoleh 45.000 rubel, dan pada bulan April 42.000 rubel, dan pada bulan Juni 39.000 rubel, maka penghasilan Mei adalah fungsi penghasilan maksimum dibandingkan dengan nilai terdekat. Tetapi pada bulan Oktober Anda memperoleh 71.000 rubel, pada bulan September 75.000 rubel, dan pada bulan November 74.000 rubel, jadi penghasilan Oktober adalah fungsi penghasilan minimum dibandingkan dengan nilai terdekat. Dan Anda dapat dengan mudah melihat bahwa maksimum di antara nilai April-Mei-Juni kurang dari minimum September-Oktober-November.

Secara umum, suatu fungsi mungkin memiliki beberapa ekstrem pada suatu interval, dan dapat berubah menjadi fungsi minimum apa pun lebih besar daripada maksimum apa pun. Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan pada gambar di atas, .

Artinya, orang tidak boleh berpikir bahwa maksimum dan minimum suatu fungsi, masing-masing, adalah nilai maksimum dan minimumnya pada seluruh segmen yang dipertimbangkan. Pada titik maksimum, fungsi memiliki nilai terbesar hanya dibandingkan dengan nilai-nilai yang dimilikinya di semua titik yang cukup dekat dengan titik maksimum, dan pada titik minimum, nilai terkecil hanya dibandingkan dengan nilai-nilai yang ia memiliki di semua titik yang cukup dekat dengan titik minimum.

Oleh karena itu, kita dapat memperbaiki konsep titik ekstrem di atas dari suatu fungsi dan menyebut titik minimum lokal sebagai titik minimum, dan titik maksimum - titik maksimum lokal.

Kami mencari ekstrem dari fungsi tersebut bersama-sama

Contoh 3

Penyelesaian Fungsi didefinisikan dan kontinu pada garis bilangan bulat. turunannya juga ada di seluruh garis bilangan. Oleh karena itu, dalam hal ini, hanya yang , yaitu, berfungsi sebagai titik kritis. , dari mana dan . Titik kritis dan bagi seluruh domain fungsi menjadi tiga interval monotonisitas: . Kami memilih satu titik kontrol di masing-masing dari mereka dan menemukan tanda turunan pada titik ini.

Untuk interval, titik referensi dapat : kita temukan . Mengambil titik dalam interval, kita mendapatkan , dan mengambil titik dalam interval, kita . Jadi, dalam interval dan , Dan dalam interval . Menurut tanda cukup pertama dari suatu ekstrem, tidak ada ekstrem pada titik tersebut (karena turunan mempertahankan tandanya dalam interval ), dan fungsi memiliki minimum pada titik tersebut (karena turunan berubah tanda dari minus ke plus saat melewati melalui titik ini). Temukan nilai yang sesuai dari fungsi: , dan . Dalam interval, fungsi menurun, karena dalam interval ini , dan dalam interval itu meningkat, karena dalam interval ini.

Untuk memperjelas konstruksi grafik, kami menemukan titik potongnya dengan sumbu koordinat. Ketika kita memperoleh persamaan yang akar dan , yaitu, dua titik (0; 0) dan (4; 0) dari grafik fungsi ditemukan. Menggunakan semua informasi yang diterima, kami membuat grafik (lihat di awal contoh).

Contoh 4 Temukan ekstrem dari fungsi tersebut dan buat grafiknya.

Domain fungsi adalah seluruh garis bilangan, kecuali titik, mis. .

Untuk mempersingkat penelitian, kita dapat menggunakan fakta bahwa fungsi ini genap, karena . Oleh karena itu, grafiknya simetris terhadap sumbu Oy dan studi hanya dapat dilakukan untuk interval.

Menemukan turunan dan titik kritis fungsi:

1) ;

2) ,

tetapi fungsi tersebut mengalami pemutusan pada titik ini, sehingga tidak dapat menjadi titik ekstrem.

Jadi, fungsi yang diberikan memiliki dua titik kritis: dan . Dengan mempertimbangkan paritas fungsi, kami hanya memeriksa titik dengan tanda ekstrem kedua yang cukup. Untuk melakukan ini, kami menemukan turunan kedua dan tentukan tandanya di : kita peroleh . Karena dan , maka adalah titik minimum dari fungsi tersebut, sedangkan .

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih lengkap tentang grafik fungsi, mari kita cari tahu perilakunya pada batas-batas domain definisi:

(di sini simbol menunjukkan keinginan x ke nol di sebelah kanan, dan x tetap positif; sama artinya aspirasi x ke nol di sebelah kiri, dan x tetap negatif). Jadi, jika , maka . Selanjutnya, kita menemukan

,

itu. jika kemudian .

Grafik fungsi tidak memiliki titik potong dengan sumbu. Gambar ada di awal contoh.

Kami terus mencari ekstrem dari fungsi tersebut bersama-sama

Contoh 8 Temukan ekstrem dari fungsi .

Keputusan. Temukan domain dari fungsi tersebut. Karena pertidaksamaan harus berlaku, kita peroleh dari .

Mari kita cari turunan pertama dari fungsi:

Mari kita cari titik kritis dari fungsi tersebut.

MAKSIMUM LOKAL

MAKSIMUM LOKAL

(maksimum lokal) Nilai dari suatu fungsi yang lebih besar dari nilai yang berdekatan dari argumennya atau kumpulan argumennya, dy/dx= 0 adalah kondisi yang diperlukan untuk mencapai maksimum lokal y=f(x); dalam kondisi ini, kondisi yang cukup untuk mencapai maksimum lokal adalah: d2y/dx2 0. Maksimum lokal juga dapat menjadi maksimum absolut jika tidak ada nilai X, di bawah mana pada lagi. Namun, ini mungkin tidak selalu terjadi. Pertimbangkan fungsinya y = x3–3x.dy/dx = 0 kapan x2= satu; dan d2y/dx2=6x. pada memiliki maksimum pada x = - 1, tetapi ini hanya lokal, bukan maksimum absolut, karena pada bisa menjadi sangat besar ketika diberi nilai positif yang cukup besar X. Lihat juga: angka untuk artikel maksimal.

Ekonomi. Kamus. - M.: "INFRA-M", Rumah penerbitan "Ves Mir". J. Hitam. Staf redaksi umum: Doktor Ekonomi Osadchaya I.M.. 2000 .

kamus ekonomi. 2000 .

Lihat apa itu "LOCAL MAXIMUM" di kamus lain:

maksimum lokal- - [A.S. Goldberg. Kamus Energi Bahasa Inggris Rusia. 2006] Topik energi secara umum EN maksimum lokal ... Buku Pegangan Penerjemah Teknis

maksimum lokal- lokalusis status maksimum sebagai T sritis automatika atitikmenys: engl. vok maksimum lokal Lokalmaximum, n rus. maksimum lokal, m pranc. maksimum lokal, m … Automatikos terminų odynas

maksimum lokal- vietinė smailė status sebagai T sritis fizika atitikmenys: angl. maksimum lokal; puncak lokal vok. lokal Maksimum, n rus. maksimum lokal, m pranc. lokal maksimum, m; pic local, m … Fizikos terminų odynas

Maksimum lokal, minimum lokal- (maksimum lokal, minimum lokal) lihat Fungsi ekstrem... Kamus Ekonomi dan Matematika

- (maksimum) Nilai tertinggi dari fungsi yang diperlukan untuk setiap nilai argumennya. Maksimum bisa lokal atau absolut. Misalnya, fungsi y=1–x2 memiliki maksimum absolut y=1 pada x=0; tidak ada nilai x lain yang ... ... kamus ekonomi

- (minimum lokal) Nilai fungsi, yang lebih kecil dari nilai tetangga mana pun dari argumen atau kumpulan argumennya, dy/dx = 0, adalah kondisi yang diperlukan untuk mencapai minimum lokal y=f(x); dengan syarat ini, cukup ... ... kamus ekonomi

Ekstrem (Latin extremum extreme) dalam matematika adalah nilai maksimum atau minimum suatu fungsi pada suatu himpunan tertentu. Titik di mana ekstrem tercapai disebut titik ekstrem. Dengan demikian, jika titik ekstrem minimum tercapai ... ... Wikipedia

Algoritma pencarian lokal adalah sekelompok algoritma di mana pencarian dilakukan hanya berdasarkan keadaan saat ini, dan keadaan yang dilewati sebelumnya tidak diperhitungkan dan tidak diingat. Tujuan utama pencarian bukanlah untuk menemukan jalur optimal ke ... ... Wikipedia

- (maksimum global) Nilai fungsi, sama dengan atau lebih tinggi dari nilainya yang diambil untuk nilai argumen lainnya. Suatu kondisi yang cukup untuk maksimum suatu fungsi dari satu argumen, yang terdiri dari fakta bahwa turunan pertamanya dalam ... ... kamus ekonomi

- (eng. arah tren, tren) arah, tren perkembangan proses politik, fenomena. Memiliki ekspresi matematika. Definisi trend (tren) yang paling populer adalah definisi dari teori Dow. Tren naik... ... Ilmu Politik. Kosakata.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Dikatakan bahwa $f$ memiliki maksimum lokal pada titik $x_(0) \dalam E$ jika terdapat lingkungan $U$ dari titik $x_(0)$ sedemikian rupa sehingga untuk semua $x \dalam U$ pertidaksamaan $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Maksimum lokal disebut ketat , jika lingkungan $U$ dapat dipilih sedemikian rupa sehingga untuk semua $x \dalam U$ yang berbeda dari $x_(0)$ ada $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definisi
Biarkan $f$ menjadi fungsi nyata pada himpunan terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Dikatakan bahwa $f$ memiliki minimum lokal pada titik $x_(0) \dalam E$ jika ada lingkungan $U$ dari titik $x_(0)$ sedemikian rupa sehingga untuk semua $x \dalam U$ pertidaksamaan $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Minimum lokal dikatakan ketat jika lingkungan $U$ dapat dipilih sehingga untuk semua $x \dalam U$ berbeda dari $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\kanan)$.

Ekstrem lokal menggabungkan konsep minimum lokal dan maksimum lokal.

Teorema (kondisi yang diperlukan untuk ekstrem dari fungsi terdiferensiasi)
Biarkan $f$ menjadi fungsi nyata pada himpunan terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Jika pada titik $x_(0) \dalam E$ fungsi $f$ memiliki ekstrem lokal pada titik ini juga, maka $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Persamaan ke nol diferensial setara dengan fakta bahwa semua sama dengan nol, yaitu $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Dalam kasus satu dimensi, ini adalah . Tunjukkan $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, di mana $h$ adalah vektor arbitrer. Fungsi $\phi$ didefinisikan untuk nilai modulo yang cukup kecil dari $t$. Selain itu, sehubungan dengan , itu dapat dibedakan, dan $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Biarkan $f$ memiliki maksimum lokal pada x $0$. Oleh karena itu, fungsi $\phi$ pada $t = 0$ memiliki maksimum lokal dan, menurut teorema Fermat, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Jadi, kita mendapatkan $df \left(x_(0)\right) = 0$, mis. fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ sama dengan nol pada sembarang vektor $h$.

Definisi
Titik-titik di mana diferensial sama dengan nol, mis. yang semua turunan parsialnya sama dengan nol disebut stasioner. titik kritis fungsi $f$ adalah titik-titik di mana $f$ tidak terdiferensialkan, atau sama dengan nol. Jika titik tersebut stasioner, maka fungsi tersebut belum memiliki titik ekstrem pada titik ini.

Contoh 1
Misal $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Kemudian $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, jadi $\left(0,0\right)$ adalah titik stasioner, tetapi fungsi tersebut tidak memiliki ekstrem pada titik ini. Memang, $f \left(0,0\right) = 0$, tetapi mudah untuk melihat bahwa di lingkungan mana pun dari titik $\left(0,0\right)$ fungsi mengambil nilai positif dan negatif.

Contoh 2
Fungsi $f \left(x,y\right) = x^(2) y^(2)$ memiliki titik asal koordinat sebagai titik stasioner, tetapi jelas bahwa tidak ada titik ekstrem pada titik ini.

Teorema (kondisi yang cukup untuk suatu ekstrem).
Misalkan suatu fungsi $f$ terdiferensialkan dua kali secara kontinu pada himpunan terbuka $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Biarkan $x_(0) \dalam E$ menjadi titik stasioner dan $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\parsial^(2) f)(\parsial x_(i) \parsial x_(j)) \left(x_(0)\kanan)h^(i)h^(j).$ $ Kemudian

1. jika $Q_(x_(0))$ – , maka fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ memiliki ekstrem lokal, yaitu minimum jika bentuknya berdefinisi positif dan maksimum jika bentuknya negatif-pasti;
2. jika bentuk kuadrat $Q_(x_(0))$ tidak tentu, maka fungsi $f$ pada titik $x_(0)$ tidak memiliki ekstrem.

Mari kita gunakan ekspansi menurut rumus Taylor (12,7 hal. 292) . Dengan mempertimbangkan bahwa turunan parsial orde pertama pada titik $x_(0)$ sama dengan nol, kita mendapatkan $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0 )\kanan) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\parsial^(2) f)(\parsial x_(i) \ parsial x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ di mana $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, dan $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ untuk $h \rightarrow 0$, maka ruas kanan adalah positif untuk sembarang vektor $h$ dengan panjang yang cukup kecil.
Jadi, kita sampai pada kesimpulan bahwa di beberapa lingkungan dari titik $x_(0)$ pertidaksamaan $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ dipenuhi jika hanya $ x \neq x_ (0)$ (kita masukkan $x=x_(0)+h$\kanan). Ini berarti bahwa pada titik $x_(0)$ fungsi memiliki minimum lokal yang ketat, dan dengan demikian bagian pertama dari teorema kita terbukti.
Misalkan sekarang $Q_(x_(0))$ adalah bentuk tak tentu. Kemudian ada vektor $h_(1)$, $h_(2)$ sehingga $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Kemudian kita mendapatkan $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Untuk $t>0$ yang cukup kecil, sisi kanannya adalah positif. Ini berarti bahwa di setiap lingkungan dari titik $x_(0)$ fungsi $f$ mengambil nilai $f \left(x\right)$ lebih besar dari $f \left(x_(0)\right)$.
Demikian pula, kami memperoleh bahwa di setiap lingkungan dari titik $x_(0)$ fungsi $f$ mengambil nilai kurang dari $f \left(x_(0)\right)$. Ini, bersama dengan yang sebelumnya, berarti bahwa fungsi $f$ tidak memiliki ekstrem pada titik $x_(0)$.

Mari kita pertimbangkan kasus khusus dari teorema ini untuk fungsi $f \left(x,y\right)$ dari dua variabel yang didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik $\left(x_(0),y_(0)\right) $ dan memiliki turunan parsial kontinu dari pesanan pertama dan kedua. Misalkan $\left(x_(0),y_(0)\right)$ menjadi titik stasioner dan misalkan $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\kanan), a_(22)=\frac(\parsial^(2) f)(\parsial y^(2)) \kiri(x_(0), y_(0)\kanan ). $$ Kemudian teorema sebelumnya mengambil bentuk berikut.

Dalil
Biarkan $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) a_(12)^2$. Kemudian:

1. jika $\Delta>0$, maka fungsi $f$ memiliki ekstrem lokal pada titik $\left(x_(0),y_(0)\right)$, yaitu, minimum jika $a_(11)> 0$ , dan maksimum jika $a_(11)<0$;
2. jika $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Contoh pemecahan masalah

Algoritma untuk menemukan ekstrem dari fungsi banyak variabel:

1. Kami menemukan titik stasioner;
2. Kami menemukan diferensial dari urutan ke-2 di semua titik stasioner
3. Menggunakan kondisi yang cukup untuk ekstrem dari fungsi beberapa variabel, kami mempertimbangkan diferensial orde kedua pada setiap titik stasioner

1. Selidiki fungsi hingga ekstrem $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Keputusan

   Cari turunan parsial dari orde ke-1: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Tulis dan selesaikan sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Panah kanan \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Panah kanan \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Dari persamaan ke-2, kita ekspresikan $x=4 \cdot y^(2)$ — substitusikan ke persamaan ke-1: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ kanan )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Hasilnya, diperoleh 2 titik stasioner:
   1) $y=0 \Panah kanan x = 0, M_(1) = \kiri(0, 0\kanan)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\kanan)$
   Mari kita periksa pemenuhan kondisi ekstrem yang cukup:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\parsial^(2) f)(\parsial x \parsial y)=-6; \frac(\parsial^(2) f)(\parsial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Untuk titik $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\parsial^(2) f)(\parsial x \parsial y) \left(0,0\kanan)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Untuk poin $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, jadi ada ekstrem pada titik $M_(2)$, dan karena $A_(2)>0 $, maka ini adalah minimum.
   Jawaban: Titik $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ adalah titik minimum dari fungsi $f$.
   

2. Selidiki fungsi ekstrem $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Keputusan

   Cari titik stasioner: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Tulis dan selesaikan sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Panah kanan \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(kasus) \Panah kanan x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ adalah titik stasioner.
   Mari kita periksa pemenuhan kondisi ekstrem yang cukup: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Jawaban: tidak ada ekstrim.
   

Batas waktu: 0

Navigasi (hanya nomor pekerjaan)

0 dari 4 tugas selesai

Informasi

Ikuti kuis ini untuk menguji pengetahuan Anda tentang topik yang baru saja Anda baca, Ekstrem Lokal Fungsi Banyak Variabel.

Anda telah mengikuti tes sebelumnya. Anda tidak dapat menjalankannya lagi.

Tes sedang dimuat...

Anda harus login atau mendaftar untuk memulai tes.

Anda harus menyelesaikan tes berikut untuk memulai yang satu ini:

hasil

Jawaban yang benar: 0 dari 4

Waktumu:

Waktu sudah habis

Anda mencetak 0 dari 0 poin (0)

Skor Anda telah dicatat di papan peringkat

1. Dengan jawaban
2. Memeriksa

Tugas 1 dari 4

1 .

Jumlah poin: 1

Selidiki fungsi $f$ untuk ekstrem: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Benar


Tidak benar


1. Tugas 2 dari 4

   2 .

   Jumlah poin: 1

   Apakah fungsi $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

POIN MAKSIMUM DAN MINIMUM

titik di mana dibutuhkan nilai terbesar atau terkecil dalam domain definisi; titik-titik seperti itu disebut juga titik maksimum mutlak atau minimum mutlak. Jika f didefinisikan pada topologi ruang X, maka titik x 0 ditelepon titik maksimum lokal (minimum lokal), jika titik seperti itu ada x 0, bahwa untuk pembatasan fungsi yang sedang dipertimbangkan untuk lingkungan ini, intinya x 0 adalah titik maksimum (minimum) mutlak. Bedakan titik maksimum ketat dan tidak ketat (mini m m a) (mutlak dan lokal). Misalnya, titik yang disebut titik maksimum lokal tidak ketat (ketat) dari fungsi f, jika ada lingkungan titik seperti itu x 0, yang berlaku untuk semua (masing-masing, f(x) x0). )/

Untuk fungsi yang didefinisikan pada domain berdimensi hingga, dalam hal kalkulus diferensial, ada kondisi dan kriteria untuk suatu titik yang diberikan menjadi titik maksimum (minimum) lokal. Biarkan fungsi f didefinisikan di lingkungan tertentu dari kotak x 0 dari sumbu nyata. Jika sebuah x 0 - titik maksimum lokal tidak ketat (minimum) dan pada titik ini terdapat f"( x0), maka sama dengan nol.

Jika suatu fungsi f dapat diturunkan di lingkungan suatu titik x 0 , kecuali, mungkin, untuk titik ini sendiri, yang kontinu, dan turunan f" di setiap sisi titik x0 mempertahankan tanda konstan di lingkungan ini, maka untuk x0 adalah titik maksimum lokal yang ketat (minimum lokal), perlu dan cukup bahwa turunannya berubah tanda dari plus ke minus, yaitu bahwa f "(x)> 0 di x<.x0 dan f"(x)<0 при x>x0(masing-masing dari minus ke plus: f"(X) <0 di x<x0 dan f"(x)>0 ketika x>x 0). Akan tetapi, tidak untuk setiap fungsi yang terdiferensialkan dalam lingkungan suatu titik x 0 , seseorang dapat berbicara tentang perubahan tanda turunan pada titik ini. . "

Jika fungsi f ada di titik x 0 t turunannya, apalagi, untuk x 0 adalah titik maksimum lokal yang ketat, perlu dan cukup bahwa genap dan f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Misalkan fungsi f( x 1 ..., x p] didefinisikan dalam lingkungan n-dimensi suatu titik dan terdiferensiasi pada titik ini. Jika x (0) adalah titik maksimum (minimum) lokal yang tidak tegas, maka fungsi f pada titik ini sama dengan nol. Kondisi ini ekuivalen dengan persamaan dengan nol pada titik ini dari semua turunan parsial dari fungsi f orde pertama. Jika suatu fungsi memiliki turunan parsial kontinu ke-2 di x(0) , semua turunan pertamanya hilang di x(0) dan diferensial orde ke-2 di x(0) adalah bentuk kuadrat negatif (positif), maka x(0) adalah titik maksimum lokal yang ketat (minimum). Kondisi diketahui untuk fungsi terdiferensiasi M. dan M.T, ketika pembatasan tertentu dikenakan pada perubahan argumen: persamaan kendala terpenuhi. Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk maksimum (minimum) dari fungsi nyata, yang memiliki struktur yang lebih kompleks, dipelajari dalam cabang khusus matematika: misalnya, dalam analisis cembung, pemrograman matematika(Lihat juga Maksimalisasi dan minimalisasi fungsi). Fungsi M. dan m.t. yang didefinisikan pada manifold dipelajari dalam kalkulus variasi secara umum, dan M. dan m.t. untuk fungsi yang didefinisikan pada ruang fungsi, yaitu, untuk fungsi, di kalkulus variasi. Ada juga berbagai metode untuk menemukan perkiraan numerik M. dan m.t.

menyala.: Il'in V. A., Poznya to E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3rd ed., Part 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

ensiklopedia matematika. - M.: Ensiklopedia Soviet. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Lihat apa itu "POIN MAKSIMUM DAN MINIMUM" di kamus lain:

Prinsip maksimum Pontryagin Diskrit untuk proses kontrol waktu-diskrit. Untuk proses seperti itu, M. p. mungkin tidak terpenuhi, meskipun untuk analog kontinunya, yang diperoleh dengan mengganti operator beda hingga dengan operator diferensial ... ... Ensiklopedia Matematika

Teorema yang mengungkapkan salah satu sifat utama modul analitik. fungsi. Biarkan f(z) menjadi fungsi analitik reguler, atau holomorfik, dari variabel p-kompleks dalam domain D dari ruang bilangan kompleks yang berbeda dari konstanta, M. m.s. di ... ... Ensiklopedia Matematika

Nilai terbesar dan, karenanya, nilai terkecil dari suatu fungsi yang mengambil nilai riil. Titik domain definisi fungsi yang bersangkutan, di mana dibutuhkan maksimum atau minimum, disebut. masing-masing titik maksimum atau titik minimum ... ... Ensiklopedia Matematika

Lihat Maksimum dan minimum suatu fungsi, Maksimum dan minimum suatu titik... Ensiklopedia Matematika

Nilai fungsi kontinu yaitu maksimum atau minimum (lihat Poin Maksimum dan Minimum). Istilahnya LE... Ensiklopedia Matematika

Indikator- (Indikator) Indikator adalah sistem informasi, zat, perangkat, perangkat yang menampilkan perubahan parameter apa pun Indikator grafik pasar mata uang Forex, apa itu dan di mana dapat diunduh? Deskripsi indikator MACD, ... ... Ensiklopedia investor

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Ekstrim (makna). Ekstrem (Latin extremum extreme) dalam matematika adalah nilai maksimum atau minimum suatu fungsi pada suatu himpunan tertentu. Titik di mana ekstrem tercapai adalah ... ... Wikipedia

Kalkulus adalah cabang dari analisis matematika yang mempelajari konsep turunan dan diferensial dan bagaimana mereka dapat diterapkan pada studi fungsi. Daftar Isi 1 Kalkulus diferensial fungsi satu variabel ... Wikipedia

Lemniscate dan triknya Lemniscate Bernoulli adalah kurva aljabar bidang. Didefinisikan sebagai tempat kedudukan poin, produk ... Wikipedia

Perbedaan- (Divergensi) Divergensi sebagai indikator Strategi perdagangan dengan divergensi MACD Daftar Isi Isi Bagian 1. pada. Bagian 2. Divergensi bagaimana. Divergensi adalah istilah yang digunakan dalam ekonomi untuk merujuk pada pergerakan sepanjang divergen ... ... Ensiklopedia investor