Dalil. Jumlah sudut dalam segitiga sama dengan dua sudut siku-siku.

Ambil beberapa segitiga ABC (Gbr. 208). Mari kita nyatakan sudut interiornya dengan 1, 2 dan 3. Mari kita buktikan bahwa

1 + 2 + 3 = 180 °.

Mari kita menggambar melalui beberapa titik segitiga, misalnya B, garis MN sejajar dengan AC.

Di titik B, kita mendapatkan tiga sudut: 4, 2 dan 5. Jumlahnya adalah sudut lurus, oleh karena itu, itu sama dengan 180 °:

4 + 2 + 5 = 180 °.

Tetapi 4 \u003d 1 adalah sudut silang internal dengan garis paralel MN dan AC dan garis potong AB.

5 = 3 adalah sudut lintang internal dengan garis sejajar MN dan AC dan garis potong BC.

Oleh karena itu, 4 dan 5 dapat diganti dengan persamaannya 1 dan 3.

Oleh karena itu, 1 + 2 + 3 = 180°. Teorema telah terbukti.

2. Sifat sudut luar segitiga.

Dalil. Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan.

Memang, dalam segitiga ABC (Gbr. 209) 1 + 2 = 180° - 3, tetapi juga BCD, sudut luar segitiga ini, yang tidak berdekatan dengan 1 dan 2, juga sama dengan 180° - 3 .

Dengan demikian:

1 + 2 = 180° - 3;

BCD = 180° - 3.

Oleh karena itu, 1 + 2= BCD.

Sifat turunan dari sudut luar segitiga memperhalus isi teorema yang telah dibuktikan sebelumnya tentang sudut luar segitiga, di mana hanya dinyatakan bahwa sudut luar segitiga lebih besar dari setiap sudut dalam segitiga yang tidak berdekatan dengannya; sekarang ditetapkan bahwa sudut luar sama dengan jumlah kedua sudut dalam yang tidak berdekatan dengannya.

3. Sifat segitiga siku-siku dengan sudut 30°.

Dalil. Kaki segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut 30° sama dengan setengah sisi miring.

Biarkan sudut B sama dengan 30° pada segitiga siku-siku ACB (Gbr. 210). Maka sudut lancip lainnya adalah 60°.

Mari kita buktikan bahwa kaki AC sama dengan setengah dari sisi miring AB. Kami melanjutkan kaki AC di luar titik sudut siku-siku C dan menyisihkan segmen CM, sama dengan segmen AC. Kami menghubungkan titik M dengan titik B. Segitiga yang dihasilkan BCM sama dengan segitiga DIA. Kita melihat bahwa setiap sudut segitiga AVM sama dengan 60 °, oleh karena itu, segitiga ini sama sisi.

Kaki AC sama dengan setengah dari AM, dan karena AM sama dengan AB, kaki AC akan sama dengan setengah dari sisi miring AB.

1) Jumlah sudut segitiga adalah 180°.

Bukti

Biarkan ABC" menjadi segitiga sewenang-wenang. Mari kita menggambar garis melalui titik B yang sejajar dengan garis AC (garis seperti itu disebut garis Euclidean). Tandai titik D di atasnya sehingga titik A dan D terletak pada sisi yang berlawanan dari garis BC. Sudut DBC dan ACB sama dengan garis lintang internal, dibentuk oleh garis potong BC dengan garis sejajar AC dan BD. Oleh karena itu, jumlah sudut segitiga di simpul B dan C sama dengan sudut ABD Jumlah ketiga sudut segitiga sama dengan jumlah sudut ABD dan BAC. Karena sudut-sudut ini sepihak internal untuk AC dan BD sejajar di garis potong AB, maka jumlah mereka sama dengan 180° Teorema adalah terbukti.
2) Sudut luar segitiga pada titik sudut tertentu adalah sudut yang berdekatan dengan sudut segitiga pada titik sudut tersebut.

Teorema: Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut segitiga yang tidak berdekatan

Bukti. Biarkan ABC menjadi segitiga yang diberikan. Menurut teorema tentang jumlah sudut dalam segitiga
ABC + BCA + CAB = 180º.
ini menyiratkan
ABC + CAB = 180º - BCA = BCD
Teorema telah terbukti.

Dari teorema berikut:
Besar sudut luar suatu segitiga lebih besar dari setiap sudut segitiga yang tidak berbatasan dengannya.
3) Jumlah sudut segitiga = 180 derajat. Jika salah satu sudut adalah garis lurus (90 derajat), dua lainnya juga memiliki 90, yang berarti bahwa masing-masing kurang dari 90, yaitu tajam. jika salah satu sudutnya tumpul, maka dua sudut lainnya kurang dari 90, artinya jelas lancip.
4) tumpul - lebih besar dari 90 derajat
akut - kurang dari 90 derajat
5) a. Segitiga yang salah satu sudutnya sama dengan 90 derajat.
b. Kaki dan sisi miring
6) 6°. Di setiap segitiga, sudut yang lebih besar terletak di seberang sisi yang lebih besar dan sebaliknya: sisi yang lebih besar terletak di seberang sudut yang lebih besar. Setiap segmen memiliki satu dan hanya satu titik tengah.
7) Menurut teorema Pythagoras: kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki, yang berarti sisi miring lebih besar dari masing-masing kaki
8) --- sama seperti 7
9) Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180 derajat. dan jika setiap sisi segitiga lebih besar dari jumlah kedua sisi lainnya, maka jumlah sudut akan lebih besar dari 180, yang tidak mungkin. oleh karena itu - setiap sisi segitiga kurang dari jumlah dua sisi lainnya.
10) Jumlah sudut setiap segitiga adalah 180 derajat.
Karena segitiga ini siku-siku, maka salah satu sudutnya siku-siku, yaitu sama dengan 90 derajat.
Jadi, jumlah dua sudut lancip lainnya adalah 180-90=90 derajat.
11) 1. Perhatikan segitiga siku-siku ABC di mana sudut A adalah sudut siku-siku, sudut B \u003d 30 derajat dan sudut C \u003d 60. Mari kita terapkan segitiga ABD yang sama dengan segitiga ABC. Kami mendapatkan segitiga BCD di mana sudut B = sudut D = 60 derajat, maka DC = BC. Tetapi dengan pembangunan AC 1/2 SM, yang harus dibuktikan.2. Jika kaki segitiga siku-siku sama dengan setengah dari sisi miring, maka sudut yang terletak di depan kaki ini adalah 30 derajat. Mari kita terapkan pada segitiga ABC segitiga yang sama dengan ABD. Dapatkan segitiga sama sisi BCD. Sudut-sudut suatu segitiga sama sisi adalah sama besar (karena sudut-sudut yang sama terletak berhadapan dengan sisi-sisi yang sama besar), jadi masing-masing = 60 derajat. Tetapi sudut DBC = 2 sudut ABC, maka sudut ABC = 30 derajat, yang harus dibuktikan.

>> Geometri: Jumlah sudut segitiga. Selesaikan Pelajaran

TOPIK PELAJARAN: Jumlah sudut segitiga.

Tujuan Pelajaran:

• Pemantapan dan pengujian pengetahuan siswa pada topik: "Jumlah sudut segitiga";
• Bukti sifat-sifat sudut segitiga;
• Penggunaan properti ini dalam memecahkan masalah paling sederhana;
• Penggunaan materi sejarah untuk pengembangan aktivitas kognitif siswa;
• Menanamkan keterampilan akurasi dalam konstruksi gambar.

Tujuan pelajaran:

• Periksa kemampuan siswa untuk memecahkan masalah.

Rencana belajar:

1. Segi tiga;
2. Teorema tentang jumlah sudut segitiga;
3. Contoh tugas.

Segi tiga.

File: Segitiga O.gif- poligon paling sederhana yang memiliki 3 simpul (sudut) dan 3 sisi; bagian dari bidang yang dibatasi oleh tiga titik dan tiga ruas garis yang menghubungkan titik-titik tersebut secara berpasangan.
Tiga titik dalam ruang yang tidak terletak pada satu garis lurus berhubungan dengan satu dan hanya satu bidang.
Setiap poligon dapat dibagi menjadi segitiga - proses ini disebut triangulasi.
Ada bagian matematika yang sepenuhnya dikhususkan untuk mempelajari pola segitiga - Trigonometri.

Teorema tentang jumlah sudut segitiga.

File:T.gif Teorema jumlah sudut segitiga adalah teorema klasik dalam geometri Euclidean yang menyatakan bahwa jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°.

Bukti" :

Misalkan ABC diberikan. Mari kita menggambar garis yang sejajar dengan (AC) melalui titik B dan menandai titik D di atasnya sehingga titik A dan D terletak pada sisi yang berlawanan dari garis BC. Maka sudut (DBC) dan sudut (ACB) sama dengan persilangan internal yang terletak pada garis sejajar BD dan AC dan garis potong (BC). Maka jumlah sudut segitiga di titik B dan C sama dengan besar sudut (ABD). Tetapi sudut (ABD) dan sudut (BAC) pada titik sudut A segitiga ABC adalah bagian dalam satu sisi dengan garis sejajar BD dan AC dan garis potong (AB), dan jumlah mereka adalah 180°. Jadi, jumlah sudut segitiga adalah 180°. Teorema telah terbukti.

Konsekuensi.

Besar sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut segitiga yang tidak berdekatan.

Bukti:

Misalkan ABC diberikan. Titik D terletak pada garis AC sehingga A terletak di antara C dan D. Maka BAD berada di luar sudut segitiga di titik sudut A dan A + BAD = 180°. Tetapi A + B + C = 180°, dan karenanya B + C = 180° – A. Oleh karena itu BURUK = B + C. Akibat wajarnya terbukti.

Konsekuensi.

Besar sudut luar suatu segitiga lebih besar dari setiap sudut segitiga yang tidak berbatasan dengannya.

Sebuah tugas.

Sudut luar segitiga adalah sudut yang berdekatan dengan setiap sudut segitiga ini. Buktikan bahwa sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut segitiga yang tidak berdekatan.
(Gbr.1)

Keputusan:

Biarkan ABC DAC menjadi eksternal (Gbr.1). Maka DAC=180°-∠BAC (menurut sifat sudut-sudut bersebelahan), sesuai dengan teorema jumlah sudut segitiga B+∠C =180°-∠BAC. Dari persamaan ini diperoleh DAC=∠B+C

Fakta yang menarik:

Jumlah sudut segitiga :

Dalam geometri Lobachevsky, jumlah sudut segitiga selalu kurang dari 180. Dalam geometri Euclid, selalu sama dengan 180. Dalam geometri Riemannian, jumlah sudut segitiga selalu lebih besar dari 180.

Dari sejarah matematika:

Euclid (abad III SM) dalam karya "Awal" memberikan definisi berikut: "Paralel adalah garis lurus yang berada di bidang yang sama dan, diperpanjang tanpa batas di kedua arah, tidak bertemu satu sama lain di kedua sisi" .
Posidonius (abad ke-1 SM) "Dua garis lurus terletak pada bidang yang sama, berjarak sama satu sama lain"
Ilmuwan Yunani kuno Pappus (abad III SM) memperkenalkan simbol garis sejajar - tanda =. Selanjutnya, ekonom Inggris Ricardo (1720-1823) menggunakan simbol ini sebagai tanda sama dengan.
Baru pada abad ke-18 mereka mulai menggunakan simbol garis sejajar - tanda ||.
Hubungan hidup antar generasi tidak terputus sesaat, setiap hari kita mempelajari pengalaman yang dikumpulkan oleh nenek moyang kita. Orang Yunani kuno, berdasarkan pengamatan dan pengalaman praktis, menarik kesimpulan, mengungkapkan hipotesis, dan kemudian, pada pertemuan para ilmuwan - simposium (secara harfiah "pesta") - mereka mencoba untuk membuktikan dan membuktikan hipotesis ini. Pada saat itu, pernyataan terbentuk: "Kebenaran lahir dalam perselisihan."

Pertanyaan:

1. Apa itu segitiga?
2. Apa yang dikatakan teorema jumlah segitiga?
3. Berapakah sudut luar segitiga?

Fakta bahwa "Jumlah sudut setiap segitiga dalam geometri Euclidean adalah 180 derajat" dapat dengan mudah diingat. Jika mengingat tidak mudah, Anda dapat melakukan beberapa percobaan untuk menghafal yang lebih baik.

Percobaan satu

Gambarlah beberapa segitiga sembarang di selembar kertas, misalnya:

• dengan sisi yang sewenang-wenang;
• segitiga sama kaki;
• segitiga siku-siku.

Pastikan untuk menggunakan garis. Sekarang Anda perlu memotong segitiga yang dihasilkan, melakukannya persis di sepanjang garis yang ditarik. Warnai sudut setiap segitiga dengan pensil warna atau spidol. Misalnya, di segitiga pertama, semua sudut akan berwarna merah, di segitiga kedua - biru, yang ketiga - hijau. http://bit.ly/2gY4Yfz

Dari segitiga pertama, potong semua 3 sudut dan hubungkan pada satu titik dengan simpul, sehingga sisi terdekat dari setiap sudut terhubung. Seperti yang Anda lihat, ketiga sudut segitiga membentuk sudut lurus, yang besarnya 180 derajat. Lakukan hal yang sama dengan dua segitiga lainnya - hasilnya akan sama. http://bit.ly/2zurCrd

Percobaan dua

Kami menggambar segitiga ABC sewenang-wenang. Kami memilih titik mana pun (misalnya, C) dan menggambar garis lurus DE melaluinya, sejajar dengan sisi yang berlawanan (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Kami mendapatkan yang berikut:

1. Sudut BAC dan ACD adalah sama, karena saling silang internal terhadap AC;
2. Sudut ABC dan BCE adalah sama, karena saling silang internal terhadap BC;
3. Kita melihat bahwa sudut 1, 2 dan 3 - sudut segitiga, terhubung pada satu titik, membentuk sudut DCE yang dikembangkan, yang sama dengan 180 derajat.

Teorema Jumlah Segitiga menyatakan bahwa jumlah semua sudut dalam segitiga adalah 180°.

Misalkan sudut-sudut dalam segitiga adalah a, b dan c, maka:

a + b + c = 180°.

Dari teori ini, kita dapat menyimpulkan bahwa jumlah semua sudut luar segitiga adalah 360 °. Karena sudut luar berdekatan dengan sudut dalam, jumlah mereka adalah 180°. Misalkan sudut dalam suatu segitiga adalah a, b dan c, maka besar sudut luar pada sudut-sudut tersebut adalah 180° - a, 180° - b dan 180° - c.

Hitung jumlah sudut luar segitiga:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540 ° - (a + b + c) = 540 ° - 180° = 360°.

Jawaban: jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°; jumlah sudut luar segitiga adalah 360°.

“Katakan padaku dan aku akan lupa
Tunjukkan padaku dan aku akan mengingatnya
Libatkan saya dan saya akan belajar”
pepatah timur

Tujuan: Membuktikan teorema jumlah sudut segitiga, latihan memecahkan masalah menggunakan teorema ini, mengembangkan aktivitas kognitif siswa menggunakan materi tambahan dari berbagai sumber, mengembangkan kemampuan mendengarkan orang lain.

Peralatan: Busur derajat, penggaris, pola segitiga, strip suasana hati.

SELAMA KELAS

1. Momen organisasi.

Tandai pada pita suasana hati keadaan Anda di awal pelajaran.

2. Pengulangan.

Ulangi konsep yang akan digunakan dalam pembuktian teorema: sifat-sifat sudut dengan garis sejajar, definisi sudut lurus, ukuran derajat sudut lurus.

3. Bahan baru.

3.1. Kerja praktek.

Setiap siswa memiliki tiga model segitiga: lancip, persegi panjang dan tumpul. Diusulkan untuk mengukur sudut segitiga dan menemukan jumlah mereka. Analisis hasilnya. Anda bisa mendapatkan nilai 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 derajat. Hitung mean aritmatika (= 180 °) Diusulkan untuk diingat ketika sudut memiliki ukuran derajat 180 derajat. Siswa ingat bahwa ini adalah sudut lurus dan jumlah sudut satu sisi.

Mari kita coba untuk mendapatkan jumlah sudut segitiga menggunakan origami.

Referensi sejarah

Origami (Jepang, lit.: "kertas lipat") adalah seni kuno melipat gambar kertas. Seni origami berakar di Tiongkok kuno, tempat kertas ditemukan.

3.2. Bukti teorema dari buku teks L.S. Atanasyan.

Teorema tentang jumlah sudut segitiga.

Mari kita buktikan salah satu teorema geometri yang paling penting - teorema tentang jumlah sudut segitiga.

Dalil. Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°.

Bukti. Perhatikan segitiga sembarang ABC dan buktikan bahwa A + B + C = 180°.

Mari kita menggambar garis lurus a melalui titik B, sejajar dengan sisi AC. Sudut 1 dan 4 adalah sudut melintang pada perpotongan garis sejajar a dan AC oleh garis potong AB, dan sudut 3 dan 5 adalah sudut melintang pada perpotongan garis sejajar yang sama oleh garis potong BC. Jadi sudut 4 sama dengan sudut 1, sudut 5 sama dengan sudut 3.

Jelaslah, jumlah sudut 4, 2 dan 5 sama dengan sudut dengan titik sudut B, yaitu sudut 4+sudut 2+sudut 5=180°. Dari sini, dengan mempertimbangkan persamaan sebelumnya, kita mendapatkan: sudut 1 + sudut 2+ sudut 3= 180°, atau A + B+ C=180°. Teorema telah terbukti.

3.3. Bukti teorema dari buku teks A. V. Pogorelov

Buktikan: A + B + C = 180°

Bukti:

1. Tarik melalui titik B garis BD // AC

2. DBC=ACB, terletak melintang di AC//BD dan garis potong BC.

3.ABD=ACB+CBD

Jadi, A + B+C = ABD+BAC

4. ABD dan BAC satu sisi dengan BD // AC dan garis potong AB, jadi jumlahnya sama dengan 180 °, yaitu. +B + C=180 ° , yang harus dibuktikan.

3. 4. Bukti teorema dari buku teks Kiselev A.N., Rybkina N.A.

Diberikan: ABC

Membuktikan: A+B+C=180°

Bukti:

1. Kami melanjutkan sisi AC. Kami akan melakukan CE//AB

2. A \u003d ESD, sesuai dengan AB / / CE dan AD - secant

3. B \u003d ALL, seolah-olah berbaring melintang dengan AB / / CE dan BC - garis potong.

4. ESD + ALL + C \u003d 180 °, jadi A + B + C \u003d 180 °, yang harus dibuktikan.

3.5. Akibat wajar 1. Dalam setiap segitiga, semua sudutnya lancip, atau dua sudutnya lancip, dan yang ketiga tumpul atau siku-siku.

Konsekuensi 2.

Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut lain dari segitiga yang tidak berdekatan.

3.6. Teorema ini memungkinkan kita untuk mengklasifikasikan segitiga tidak hanya berdasarkan sisinya, tetapi juga berdasarkan sudutnya.

Pemandangan segitiga	Sama kaki	Sama sisi	Serbaguna
persegi panjang
tumpul
sudut lancip

4. Memperbaiki.

4.1. Solusi masalah sesuai dengan gambar yang sudah jadi.

Menemukan sudut yang tidak diketahui dari segitiga.

4.2. Pemeriksaan pengetahuan.

1. Di akhir pelajaran kita, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut:

Apakah ada segitiga dengan sudut:

a) 30, 60, 90 derajat,

b) 46, 4, 140 derajat,

c) 56, 46, 72 derajat?

2. Mungkinkah ada dalam segitiga:

a.dua sudut tumpul

b) sudut tumpul dan siku-siku,

c.dua sudut siku-siku?

3. Tentukan jenis segitiga jika salah satu sudutnya 45 derajat, yang lain 90 derajat.

4. Dalam segitiga manakah jumlah sudut lebih besar: pada segitiga lancip, tumpul, atau siku-siku?

5. Apakah mungkin untuk mengukur sudut segitiga?

Ini adalah pertanyaan lelucon, karena ada Segitiga Bermuda, yang terletak di Samudra Atlantik antara Bermuda, negara bagian Puerto Riko dan semenanjung Florida, yang sudutnya tidak mungkin diukur. (Lampiran 1)

5. Hasil pelajaran.

Tandai pada pita suasana hati keadaan Anda di akhir pelajaran.

Pekerjaan rumah.

Hal. 30–31; 223 a, b; 227a; buku kerja No. 116, 118.