Geometri adalah ilmu yang sangat beragam. Ini mengembangkan logika, imajinasi dan kecerdasan. Tentu saja, karena kerumitannya dan jumlah yang besar teorema dan aksioma, anak sekolah tidak selalu menyukainya. Selain itu, ada kebutuhan untuk terus-menerus membuktikan kesimpulan mereka menggunakan standar dan aturan yang berlaku umum.

Sudut yang berdekatan dan vertikal merupakan bagian integral dari geometri. Pasti banyak anak sekolah yang hanya mengaguminya karena sifatnya yang jelas dan mudah dibuktikan.

Pembentukan sudut

Setiap sudut dibentuk oleh perpotongan dua garis atau dengan menggambar dua sinar dari satu titik. Mereka dapat disebut satu atau tiga huruf, yang berturut-turut menunjukkan titik-titik konstruksi sudut.

Sudut diukur dalam derajat dan dapat (bergantung pada nilainya) disebut berbeda. Jadi, ada sudut siku-siku, lancip, tumpul dan dikerahkan. Masing-masing nama sesuai dengan ukuran derajat tertentu atau intervalnya.

Sudut lancip adalah sudut yang besarnya tidak melebihi 90 derajat.

Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya lebih dari 90 derajat.

Suatu sudut disebut siku-siku jika besarnya 90.

Dalam kasus ketika itu dibentuk oleh satu garis lurus terus menerus, dan ukuran derajatnya adalah 180, itu disebut dikerahkan.

Sudut yang memiliki sisi yang sama, sisi kedua yang saling bersambung, disebut berdekatan. Mereka bisa tajam atau tumpul. Perpotongan garis membentuk sudut yang berdekatan. Sifat mereka adalah sebagai berikut:

1. Jumlah sudut tersebut akan sama dengan 180 derajat (ada teorema yang membuktikan hal ini). Oleh karena itu, salah satunya dapat dengan mudah dihitung jika yang lain diketahui.
2. Dari titik pertama berikut bahwa sudut yang berdekatan tidak dapat dibentuk oleh dua sudut tumpul atau dua sudut lancip.

Berkat sifat-sifat ini, seseorang selalu dapat menghitung ukuran derajat suatu sudut berdasarkan nilai sudut lain, atau setidaknya rasio di antara mereka.

Sudut vertikal

Sudut-sudut yang sisi-sisinya merupakan kelanjutan satu sama lain disebut vertikal. Salah satu varietas mereka dapat bertindak sebagai pasangan seperti itu. Sudut vertikal selalu sama besar satu sama lain.

Mereka terbentuk ketika garis berpotongan. Bersama dengan mereka, sudut yang berdekatan selalu ada. Sebuah sudut dapat berdekatan untuk satu dan vertikal untuk yang lain.

Saat melintasi garis sewenang-wenang, beberapa jenis sudut juga dipertimbangkan. Garis seperti itu disebut garis potong, dan membentuk sudut yang bersesuaian, satu sisi dan bersilangan. Mereka setara satu sama lain. Mereka dapat dilihat berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki oleh sudut vertikal dan sudut yang berdekatan.

Dengan demikian, topik sudut tampaknya cukup sederhana dan dapat dimengerti. Semua properti mereka mudah diingat dan dibuktikan. Memecahkan masalah tidak sulit selama sudut sesuai dengan nilai numerik. Lebih jauh lagi, ketika studi tentang sin dan cos dimulai, Anda harus mengingat banyak rumus kompleks, kesimpulan dan konsekuensinya. Sampai saat itu, Anda hanya dapat menikmati teka-teki mudah di mana Anda perlu menemukan sudut yang berdekatan.

Dua sudut disebut bersebelahan jika memiliki satu sisi yang sama dan sisi-sisi lain dari sudut-sudut tersebut adalah sinar-sinar komplementer. Pada gambar 20, sudut AOB dan BOC berdekatan.

Jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°

Teorema 1. Jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°.

Bukti. Balok OB (lihat Gambar 1) melewati antara sisi sudut yang dikembangkan. Jadi AOB + BOC = 180°.

Dari Teorema 1 dapat disimpulkan bahwa jika dua sudut sama besar, maka sudut-sudut yang berdekatan sama besar.

Sudut vertikal sama besar

Dua sudut disebut vertikal jika sisi-sisi dari salah satu sudut adalah sinar-sinar komplementer dari sisi-sisi yang lain. Sudut AOB dan COD, BOD dan AOC, yang dibentuk pada perpotongan dua garis lurus, adalah vertikal (Gbr. 2).

Teorema 2. Sudut vertikal sama besar.

Bukti. Pertimbangkan sudut vertikal AOB dan COD (lihat Gambar 2). Sudut BOD berdekatan dengan masing-masing sudut AOB dan COD. Berdasarkan Teorema 1, AOB + BOD = 180°, COD + BOD = 180°.

Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa AOB = COD.

Akibat wajar 1. Sudut yang berdekatan dengan sudut siku-siku adalah sudut siku-siku.

Pertimbangkan dua garis lurus berpotongan AC dan BD (Gbr. 3). Mereka membentuk empat sudut. Jika salah satunya siku-siku (sudut 1 pada Gambar 3), maka sudut lainnya juga siku-siku (sudut 1 dan 2, 1 dan 4 berdekatan, sudut 1 dan 3 vertikal). Dalam hal ini, garis-garis ini dikatakan berpotongan tegak lurus dan disebut tegak lurus (atau saling tegak lurus). Tegak lurus garis AC dan BD dilambangkan sebagai berikut: AC BD.

Garis bagi suatu segmen tegak lurus adalah garis yang tegak lurus terhadap segmen tersebut dan melalui titik tengahnya.

AN - tegak lurus terhadap garis

Pertimbangkan garis a dan titik A tidak terletak di atasnya (Gbr. 4). Hubungkan titik A dengan ruas ke titik H dengan garis lurus a. Suatu ruas AH disebut garis tegak lurus yang ditarik dari titik A ke garis a jika garis AN dan a tegak lurus. Titik H disebut alas tegak lurus.

Menggambar persegi

Teorema berikut ini benar.

Teorema 3. Dari sembarang titik yang tidak terletak pada suatu garis, seseorang dapat menggambar garis tegak lurus terhadap garis ini, dan terlebih lagi, hanya satu.

Untuk menggambar tegak lurus dari suatu titik ke garis lurus dalam gambar, digunakan gambar persegi (Gbr. 5).

Komentar. Pernyataan teorema biasanya terdiri dari dua bagian. Satu bagian berbicara tentang apa yang diberikan. Bagian ini disebut kondisi teorema. Bagian lain berbicara tentang apa yang perlu dibuktikan. Bagian ini disebut kesimpulan dari teorema. Misalnya, syarat Teorema 2 adalah sudut vertikal; kesimpulan - sudut-sudut ini sama.

Teorema apa pun dapat dinyatakan secara rinci dalam kata-kata sehingga kondisinya akan dimulai dengan kata "jika", dan kesimpulannya dengan kata "maka". Misalnya, Teorema 2 dapat dinyatakan secara rinci sebagai berikut: "Jika dua sudut vertikal, maka mereka sama besar."

Contoh 1 Salah satu sudut yang berdekatan adalah 44°. Apa yang sama dengan yang lain?

Keputusan. Nyatakan besaran derajat sudut lain dengan x, maka menurut Teorema 1.
44° + x = 180°.
Memecahkan persamaan yang dihasilkan, kami menemukan bahwa x \u003d 136 °. Jadi, besar sudut lainnya adalah 136°.

Contoh 2 Biarkan sudut COD pada Gambar 21 menjadi 45°. Berapakah sudut AOB dan AOC?

Keputusan. Sudut COD dan AOB adalah vertikal, oleh karena itu, dengan Teorema 1.2 mereka sama, yaitu, AOB = 45°. Sudut AOC berdekatan dengan sudut COD, oleh karena itu, dengan Teorema 1.
AOC = 180° - COD = 180° - 45° = 135°.

Contoh 3 Hitunglah sudut-sudut yang berdekatan jika salah satu besarnya 3 kali sudut yang lain.

Keputusan. Nyatakan besaran derajat dari sudut yang lebih kecil dengan x. Maka ukuran derajat sudut yang lebih besar adalah Zx. Karena jumlah sudut yang berdekatan adalah 180° (Teorema 1), maka x + 3x = 180°, dari mana x = 45°.
Jadi sudut-sudut yang berdekatan adalah 45° dan 135°.

Contoh 4 Jumlah dua sudut vertikal adalah 100 °. Tentukan nilai masing-masing dari keempat sudut tersebut.

Keputusan. Misalkan gambar 2 sesuai dengan kondisi masalah Sudut vertikal COD ke AOB adalah sama (Teorema 2), yang berarti ukuran derajatnya juga sama. Oleh karena itu, COD = AOB = 50 ° (jumlahnya adalah 100 ° dengan syarat). Sudut BOD (juga sudut AOC) berdekatan dengan sudut COD, dan oleh karena itu, dengan Teorema 1
BOD = AOC = 180° - 50° = 130°.

Sudut yang berdekatan- dua sudut yang memiliki satu sisi yang sama, dan dua lainnya merupakan kelanjutan dari satu sama lain.

Jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°

Sudut vertikal adalah dua sudut yang sisi salah satu sudutnya merupakan kelanjutan dari sisi yang lain.

Sudut vertikal sama besar.

2. Tanda-tanda persamaan segitiga:

Saya menandatangani: Jika dua sisi dan sudut antara satu segitiga masing-masing sama dengan dua sisi dan sudut di antara mereka dari segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen.

tanda II: Jika sisi-sisi dan dua sudut yang berdampingan dengan segitiga tersebut masing-masing sama besar dengan sisi dan dua sudut yang berdekatan dengan segitiga lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

tanda III: Jika tiga sisi dari suatu segitiga masing-masing sama dengan tiga sisi dari segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen

3. Tanda-tanda paralelisme dua garis lurus: sudut satu sisi, terletak melintang dan bersesuaian:

Dua garis dalam satu bidang disebut paralel jika mereka tidak berpotongan.

Sudut berbaring melintang: 3 dan 5, 4 dan 6;

Sudut sepihak: 4 dan 5, 3 dan 6; Nasi. halaman55

Sudut yang sesuai: 1 dan 5, 4 dan 8, 2 dan 6, 3 dan 7;

Dalil: Jika pada perpotongan dua garis transversal sudut-sudutnya sama besar, maka garis-garis tersebut sejajar.

Dalil: Jika pada perpotongan dua garis sebuah garis potong, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka garis-garis tersebut sejajar.

Dalil: Jika pada perpotongan dua garis sebuah garis potong jumlah sudut sepihak sama dengan 180°, maka garis-garis tersebut sejajar.

Dalil: jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis potong, maka sudut-sudut yang bersilangan adalah sama

Dalil: jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis potong, maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Dalil: jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis potong, maka jumlah sudut sepihak adalah 180°

4. Jumlah sudut segitiga:

Jumlah sudut segitiga adalah 180°

5. Sifat-sifat segitiga sama kaki:

Teorema: Dalam segitiga sama kaki, sudut-sudut di alasnya sama besar.

Teorema: Dalam segitiga sama kaki, garis-bagi yang ditarik ke alas adalah median dan tinggi (median adalah sebaliknya), (garis-bagi membagi sudut, median membagi dua sisi, tinggi membentuk sudut 90 °)

Tanda: Jika dua sudut dalam suatu segitiga sama besar, maka segitiga tersebut sama kaki.

6. Segitiga Kanan:

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku (yaitu 90 derajat)

Dalam segitiga siku-siku, sisi miring lebih panjang dari kaki

1. Jumlah dua sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah 90°

2. Kaki sebuah segitiga siku-siku, yang terletak berhadapan dengan sudut 30°, sama dengan setengah sisi miring

3. Jika kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan setengah sisi miringnya, maka besar sudut yang berhadapan dengan kaki tersebut adalah 30°

7. Segitiga Sama Sisi:

SEGITIGA TIMUR, bangun datar yang tiga sisinya sama panjang; ketiga sudut dalam yang dibentuk oleh sisi-sisinya juga sama besar dan sama dengan 60 °C.

8. Sin, cos, tg, ctg:

Sin= , Cos= , tg= , ctg= , tg= ,ctg=

9. Tanda-tanda segi empat^

Jumlah sudut segi empat adalah 2 π = 360°.

Suatu segiempat dapat dibuat dalam lingkaran jika dan hanya jika jumlah sudut yang berhadapan adalah 180°

10. Tanda-tanda kesamaan segitiga:

Saya menandatangani: jika dua sudut pada suatu segitiga masing-masing sama besar dengan dua sudut pada segitiga lainnya, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun

tanda II: jika dua sisi dari suatu segitiga sebanding dengan dua sisi dari segitiga yang lain dan sudut-sudut yang diapit oleh sisi-sisi tersebut sama besar, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun.

tanda III: jika tiga sisi dari suatu segitiga sebanding dengan tiga sisi yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun

11. Rumus:

· Teorema Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2

· Teorema dosa:

· teorema kos:

· 3 rumus luas segitiga:

· Luas segitiga siku-siku: S = S =

· Luas segitiga sama sisi:

· Daerah jajaran genjang: S=ah

· luas persegi: S = a2

· luas trapesium:

· daerah belah ketupat:

· luas persegi panjang: S=ab

· Segitiga sama sisi. Tinggi: h=

· Satuan trigonometri: sin 2 a+cos 2 a=1

· Garis tengah segitiga: S =

· Garis tengah trapesium:MK=

©2015-2019 situs
Semua hak milik penulisnya. Situs ini tidak mengklaim kepengarangan, tetapi menyediakan penggunaan gratis.
Tanggal pembuatan halaman: 12-12-12

BAB I

KONSEP DASAR.

§sebelas. SUDUT BERSAMA DAN VERTIKAL.

1. Sudut yang berdekatan.

Jika kita melanjutkan sisi dari beberapa sudut di luar simpulnya, kita akan mendapatkan dua sudut (Gbr. 72): / Matahari dan / SVD, di mana satu sisi BC adalah umum, dan dua lainnya AB dan BD membentuk garis lurus.

Dua sudut yang satu sisinya sama dan dua sisi lainnya membentuk garis lurus disebut sudut bersebelahan.

Sudut yang berdekatan juga dapat diperoleh dengan cara ini: jika kita menggambar sinar dari beberapa titik pada garis lurus (tidak terletak pada garis lurus tertentu), maka kita mendapatkan sudut yang berdekatan.
Sebagai contoh, / ADF dan / FDВ - sudut yang berdekatan (Gbr. 73).

Sudut yang berdekatan dapat memiliki berbagai posisi (Gbr. 74).

Sudut yang berdekatan dijumlahkan menjadi sudut lurus, jadi umma dari dua sudut yang berdekatan adalah 2d.

Oleh karena itu, sudut siku-siku dapat didefinisikan sebagai sudut yang sama dengan sudut yang berdekatan.

Mengetahui nilai salah satu sudut yang berdekatan, kita dapat menemukan nilai dari sudut yang berdekatan lainnya.

Misalnya, jika salah satu sudut yang berdekatan adalah 3/5 d, maka sudut kedua akan sama dengan:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Sudut vertikal.

Jika kita memperpanjang sisi sudut di luar titik sudutnya, kita mendapatkan sudut vertikal. Pada gambar 75, sudut EOF dan AOC adalah vertikal; sudut AOE dan COF juga vertikal.

Dua sudut disebut vertikal jika sisi-sisi dari salah satu sudut merupakan perpanjangan dari sisi-sisi sudut yang lain.

Biarlah / 1 = 7 / 8 d(Gbr. 76). Berdekatan dengan itu / 2 akan sama dengan 2 d- 7 / 8 d, yaitu 1 1/8 d.

Dengan cara yang sama, Anda dapat menghitung apa yang sama dengan / 3 dan / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Gbr. 77).

Kami melihat itu / 1 = / 3 dan / 2 = / 4.

Anda dapat memecahkan beberapa masalah yang sama lagi, dan setiap kali Anda mendapatkan hasil yang sama: sudut vertikalnya sama satu sama lain.

Namun, untuk memastikan bahwa sudut vertikal selalu sama satu sama lain, tidak cukup untuk mempertimbangkan contoh numerik individual, karena kesimpulan yang diambil dari contoh tertentu terkadang bisa salah.

Penting untuk memverifikasi validitas properti sudut vertikal dengan alasan, dengan bukti.

Pembuktian dapat dilakukan sebagai berikut (Gbr. 78):

/ sebuah +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(karena jumlah sudut yang berdekatan adalah 2 d).

/ sebuah +/ c = / b+/ c

(karena ruas kiri persamaan ini sama dengan 2 d, dan sisi kanannya juga sama dengan 2 d).

Persamaan ini mencakup sudut yang sama dengan.

Jika kita mengurangi sama dari nilai yang sama, maka itu akan tetap sama. Hasilnya akan menjadi: / sebuah = / b, yaitu, sudut vertikal sama satu sama lain.

Saat mempertimbangkan pertanyaan tentang sudut vertikal, pertama-tama kami menjelaskan sudut mana yang disebut vertikal, yaitu, kami memberikan definisi sudut vertikal.

Kemudian kami membuat keputusan (pernyataan) tentang persamaan sudut vertikal dan kami yakin akan validitas penilaian ini dengan bukti. Keputusan semacam itu, yang keabsahannya harus dibuktikan, disebut teorema. Jadi, pada bagian ini kami telah memberikan definisi sudut vertikal, dan juga menyatakan dan membuktikan teorema tentang properti mereka.

Di masa depan, dalam mempelajari geometri, kita akan terus-menerus harus bertemu dengan definisi dan pembuktian teorema.

3. Jumlah sudut yang memiliki simpul yang sama.

Pada gambar 79 / 1, / 2, / 3 dan / 4 terletak pada sisi yang sama dari garis lurus dan memiliki simpul yang sama pada garis lurus ini. Singkatnya, sudut-sudut ini membentuk sudut lurus, mis.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Pada gambar 80 / 1, / 2, / 3, / 4 dan / 5 memiliki atasan yang sama. Singkatnya, sudut-sudut ini membentuk sudut penuh, mis. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Latihan.

1. Salah satu sudut yang berdekatan adalah 0,72 d. Hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh garis-bagi dari sudut-sudut yang berdekatan ini.

2. Buktikan bahwa garis bagi dua sudut yang berdekatan membentuk sudut siku-siku.

3. Buktikan bahwa jika dua sudut sama besar, maka sudut-sudut yang berdekatan juga sama besar.

4. Berapa pasang sudut yang berdekatan pada gambar 81?

5. Dapatkah sepasang sudut yang bersebelahan terdiri dari dua sudut lancip? dari dua sudut tumpul? dari sudut siku-siku dan tumpul? dari sudut siku-siku dan lancip?

6. Jika salah satu sudut yang berdekatan siku-siku, maka apa yang dapat dikatakan tentang nilai sudut yang berdekatan dengannya?

7. Jika pada perpotongan dua garis lurus terdapat satu sudut siku-siku, maka apa yang dapat dikatakan tentang besar tiga sudut lainnya?