Lingkaran- sosok geometris yang terdiri dari semua titik bidang yang terletak pada jarak tertentu dari titik tertentu.
Titik (O) ini disebut pusat lingkaran.
Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan titik pusat dengan titik pada lingkaran. Semua jari-jari memiliki panjang yang sama (menurut definisi).
akord Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran disebut diameter. Pusat lingkaran adalah titik tengah dari sembarang diameter.
Setiap dua titik pada lingkaran membaginya menjadi dua bagian. Masing-masing bagian ini disebut busur lingkaran. Busur disebut setengah lingkaran jika ruas yang menghubungkan ujung-ujungnya adalah diameter.
Panjang suatu satuan setengah lingkaran dilambangkan dengan π
.
Jumlah besaran derajat dua busur lingkaran yang ujungnya sama adalah 360.
Bagian bidang yang dibatasi oleh lingkaran disebut sekitar.
sektor melingkar- bagian dari lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua jari-jari yang menghubungkan ujung-ujung busur dengan pusat lingkaran. Busur yang membatasi sektor disebut busur sektor.
Dua lingkaran yang memiliki pusat bersama disebut konsentris.
Dua lingkaran yang berpotongan tegak lurus disebut ortogonal.
Susunan bersama antara garis lurus dan lingkaran
- Jika jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus lebih kecil dari jari-jari lingkaran ( d), maka garis dan lingkaran memiliki dua titik yang sama. Dalam hal ini, garis disebut garis potong dalam kaitannya dengan lingkaran.
- Jika jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran, maka garis dan lingkaran hanya mempunyai satu titik persekutuan. Garis seperti itu disebut garis singgung lingkaran, dan titik bersama mereka disebut titik kontak antara garis dan lingkaran.
- Jika jarak pusat lingkaran ke garis lebih besar dari jari-jari lingkaran, maka garis dan lingkaran tidak memiliki kesamaan poin .
Sudut pusat dan sudut tertulis
Sudut tengah adalah sudut dengan titik sudut di pusat lingkaran.
sudut tertulis Sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya memotong lingkaran.
Teorema sudut tertulis
Sudut tertulis diukur dengan setengah busur yang dipotongnya.
- Konsekuensi 1.
Sudut-sudut bertulisan yang menghadap busur yang sama adalah sama besar. - Konsekuensi 2.
Sudut bertulisan yang memotong setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.
Teorema pada produk segmen akord berpotongan.
Jika dua tali busur lingkaran berpotongan, maka hasil kali ruas tali busur yang satu sama dengan hasil kali ruas tali busur yang lain.
Rumus Dasar
- Lingkar:
- Panjang busur:
- Diameter:
- Panjang busur:
di mana α - ukuran derajat panjang busur lingkaran)
- Luas lingkaran:
- Area sektor melingkar:
Persamaan lingkaran
- Dalam sistem koordinat persegi panjang, persamaan untuk lingkaran dengan jari-jari r berpusat pada satu titik C(x o; y o) memiliki bentuk:
- Persamaan lingkaran berjari-jari r yang berpusat di titik asal adalah:
lembar studi
pada topik “Saling mengatur garis lurus dan lingkaran. Susunan bersama dua lingkaran"
(3 jam)
MAMPU UNTUK:Syarat kedudukan relatif garis lurus dan lingkaran;
Definisi garis potong dan garis singgung lingkaran;
Sifat-sifat garis singgung lingkaran;
Teorema tentang tegak lurus diameter dan tali busur dan kebalikannya;
Kondisi untuk posisi relatif dua lingkaran;
Pengertian lingkaran konsentris.
Gambar garis singgung lingkaran;
Gunakan sifat-sifat garis singgung saat memecahkan masalah;
Memecahkan masalah penerapan teorema pada tegak lurus diameter dan tali busur;
Memecahkan masalah pada kondisi posisi relatif garis lurus dan lingkaran dan dua lingkaran.
Sebagai hasil dari mempelajari topik, Anda perlu:Literatur:
1. Geometri. kelas 7. Zh. Kaidasov, G. Dosmagambetova, V. Abdiev. Almaty "Mektep". 2012
2. Geometri. kelas 7. K.O. Bukubaeva, A.T. Mirazova. AlmatyAtamura". 2012
3. Geometri. kelas 7. Panduan metodologis. K.O. Bukubaeva. AlmatyAtamura". 2012
4. Geometri. kelas 7. materi didaktik. A.N.Shynybekov. AlmatyAtamura". 2012
5. Geometri. kelas 7. Kumpulan tugas dan latihan. K.O. Bukubaeva, A.T. Mirazova. AlmatyAtamura". 2012
Untuk memperoleh pengetahuan adalah keberanian,
Untuk melipatgandakannya adalah kebijaksanaan,
Dan dengan terampil menerapkannya adalah seni yang hebat.
Ingatlah bahwa Anda harus bekerja sesuai dengan algoritme.
Jangan lupa untuk lulus ujian, buat catatan di margin, isi lembar penilaian topik.
Tolong jangan tinggalkan pertanyaan yang belum Anda jawab.
Bersikaplah objektif selama peer review, itu akan membantu Anda dan orang yang Anda periksa.
Aku harap kamu berhasil!
LATIHAN 1
1) Pertimbangkan dalam pengaturan timbal balik dari garis lurus dan lingkaran dan isi tabel (3b):
Kasus 1: Garis lurus tidak memiliki titik persekutuan dengan lingkaran.(tidak berpotongan)
sebuah d
radalah jari-jari lingkaran
d > r ,
Kasus 2 : Garis dan lingkaran hanya memiliki satu titik persekutuan (kekhawatiran)
d- jarak dari titik (pusat lingkaran) ke garis lurus
radalah jari-jari lingkaran
sebuah - tangen
d = r ,
Kasus 3: Sebuah garis memiliki dua titik yang sama dengan lingkaran.(memotong)
d- jarak dari titik (pusat lingkaran) ke garis lurus
radalah jari-jari lingkaran
AB - sekan akord
d < r ,
Kondisi interaksi (jarak ke garis lurus dan jari-jari (d dan .)r))Jumlah poin umum
2) Baca definisi, teorema, akibat wajar dan pelajari (5b):
Definisi: Garis yang memiliki dua titik yang sama dengan lingkaran disebut garis potong.
Definisi : Garis lurus yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran dan tegak lurus dengan jari-jarinya disebut bersinggungan dengan lingkaran.
Teorema 1:
Diameter lingkaran yang membagi tali busur menjadi dua tegak lurus terhadap tali busur tersebut.
Teorema 2 (kebalikan dari Teorema 1):
Jika diameter lingkaran tegak lurus tali busur, maka tali busur tersebut akan membagi tali pusat menjadi dua bagian yang sama besar.
Akibat wajar 1 : Jika jarak dari pusat lingkaran ke garis potong kurang dari panjang jari-jari lingkaran, maka garis tersebut memotong lingkaran di dua titik.
Akibat wajar 2: Tali busur lingkaran yang jaraknya sama dari pusat adalah sama.
Teorema 3: Garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik kontak.
Akibat wajar 3 : Jika jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran, maka garis tersebut adalah garis singgung.
Dengan 
konsekuensi 4
:
Jika jarak pusat lingkaran ke garis lebih besar dari jari-jari lingkaran, maka garis tidak memotong lingkaran.
Teorema 4:
Segmen garis singgung lingkaran, yang ditarik dari satu titik, adalah sama dan membuat sudut yang sama dengan garis lurus yang melalui titik ini dan pusat lingkaran.
3) Jawab pertanyaan (3b):
1) Bagaimana garis lurus dan lingkaran terletak pada bidang?
2) Dapatkah garis lurus memiliki tiga titik yang sama dengan lingkaran?
3) Bagaimana garis singgung lingkaran digambar melalui titik yang terletak pada lingkaran?
4) Berapa banyak garis singgung yang dapat ditarik ke lingkaran melalui sebuah titik:
a) berbaring di atas lingkaran;
b) berbaring di dalam lingkaran;
c) berbaring di luar lingkaran?
5) Diberikan sebuah lingkaran (O; r) dan sebuah titik A terletak di dalam lingkaran. Berapa banyak titik persimpangan akan memiliki: a) garis lurus OA; b) balok OA; c) segmen OA?
6) Bagaimana cara membagi tali busur lingkaran menjadi dua?
LULUS UJI #1
TUGAS 2
1) Membaca teks dan melihat gambar. Buatlah gambar di buku catatanmu, tuliskan kesimpulannya dan pelajarilah (3b):
Pertimbangkan kemungkinan kasus pengaturan timbal balik dari dua lingkaran. Posisi relatif dua lingkaran berhubungan dengan jarak antara pusatnya.
P 
lingkaran berpotongan:
dua lingkaranmemotong,
jika mereka punyadua titik umum.
BiarlahR
1
danR
2
- jari-jari lingkaranω
1
danω
2
,
d
adalah jarak antara pusat mereka. lingkaranω
1
danω
2
berpotongan jika dan hanya jika bilanganR
1
,
R
2
,
d
adalah panjang sisi beberapa segitiga, yaitu, mereka memenuhi semua pertidaksamaan segitiga:
R 1 + R 2 > d , R 1 + d > R 2 , R 2 + d > R 1 .
Kesimpulan: Jika sebuah R 1 + R 2 > d atau | R 1 − R 2 | < d, maka lingkaran berpotongan di dua titik.
Menyentuh lingkaran: dua lingkarankekhawatiran, jika mereka punyasatu titik umum. Memiliki garis singgung yang samasebuah . BiarlahR 1 danR 2 - jari-jari lingkaranω 1 danω 2 , d
Lingkaran menyentuhsecara lahiriah jika mereka beradadi 
tidak satu sama lain. Dengan tangensial eksternal, pusat-pusat lingkaran terletak pada sisi yang berlawanan dari tangen bersama mereka. lingkaranω
1
danω
2
sentuh secara eksternal jika dan hanya jikaR
1
+
R
2
=
d
.
HAI 
lingkaran sentuhsecara internal
jika salah satunya ada di dalam yang lain. Saat bersentuhan secara eksternal, pusat-pusat lingkaran terletak pada sisi yang sama dari garis singgung bersamanya. lingkaranω
1
danω
2
sentuh secara internal jika dan hanya jika|
R
1
−
R
2
|=
d
.
Kesimpulan: Jika sebuah R 1 + R 2 = d atau | R 1 − R 2 |= d , kemudian lingkaran-lingkaran tersebut bersentuhan pada satu titik bersama yang terletak pada garis lurus yang melalui pusat-pusat lingkaran.
H 
lingkaran berpotongan:
dua lingkaranjangan berpotongan
, jika merekatidak memiliki kesamaan poin
. Dalam hal ini, salah satunya terletak di dalam yang lain, atau mereka terletak di luar satu sama lain.
P 
mulutR
1
danR
2
- jari-jari lingkaranω
1
danω
2
,
d
adalah jarak antara pusat mereka.
Lingkaran ω 1 dan ω 2 terletak di luar satu sama lain jika dan hanya jika R 1 + R 2 < d . Lingkaran ω 1 terletak di dalam ω 2 jika dan hanya jika | R 1 − R 2 | > d .
Kesimpulan:Jika sebuahR 1 + R 2 < d atau | R 1 − R 2 | > d, maka lingkaran tidak berpotongan.
2
) Tuliskan definisi dan pelajari (1b):
Definisi: Lingkaran yang memiliki pusat yang sama disebut konsentris ( d = 0).
3) Jawab pertanyaan (3 b):
1) Bagaimana dua lingkaran dapat terletak di pesawat?
2) Apa yang menentukan lokasi lingkaran?
3) Benarkah dua buah lingkaran dapat berpotongan di tiga titik?
4) Bagaimana susunan lingkaran jika:
a) jarak antara pusat lingkaran sama dengan jumlah jari-jarinya;
b) jarak antara pusat lingkaran kurang dari jumlah jari-jarinya;
c) jarak antara pusat lebih besar dari jumlah dua jari-jari;
d) jarak antara pusat lingkaran adalah nol.
5) Manakah dari tiga kasus pengaturan bersama dua lingkaran berikut, yang termasuk lingkaran konsentris?
6) Apa nama garis yang melalui titik singgung lingkaran?
LULUS UJI #2
TUGAS 3
Sudah selesai dilakukan dengan baik! Anda bisa mulaipekerjaan verifikasi nomor 1.
TUGAS 4
1) Memecahkan pilihan masalah genap atau ganjil (2b.):
1. Tentukan jumlah titik persekutuan garis dan lingkaran jika:
a) jarak dari garis lurus ke pusat lingkaran adalah 6 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 7 cm;
b) jarak dari garis lurus ke pusat lingkaran adalah 7 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 6 cm;
c) jarak dari garis lurus ke pusat lingkaran adalah 8 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 8 cm.
2. Tentukan posisi relatif garis dan lingkaran jika:
1. R=16cm, d=12cm; 2. R=8 cm, d=1,2 dm; 3. R=5cm, d=50mm
3. Bagaimana posisi relatif lingkaran jika:
d= 1dm, R 1 = 0.8dm, R 2 = 0.2dm
d = 4 0cm, R 1 = 110 cm, R 2 = 70cm
d= 12cm, R 1 = 5 cm, R 2 = 3cm
d= 15 dm, R 1 = 10dm, R 2 = 22 cm
4. Tentukan jumlah titik interaksi dua lingkaran di sepanjang jari-jari dan jarak antara pusat:
sebuah)R= 4cm,r= 3 cm, OO 1 = 9cm; b)R= 10cm,r= 5 cm, OO 1 = 4 cm
di)R= 4cm,r= 3 cm, OO 1 = 6cm; G)R= 9cm,r= 7 cm, OO 1 = 4cm
2) Selesaikan satu masalah pilihan Anda (2b.):
1. Hitunglah panjang dua ruas tali busur yang menjadi pusat garis tengah lingkaran, jika panjang tali busur adalah 16 cm, dan garis tengahnya tegak lurus.
2. Tentukan panjang tali busur jika diameternya tegak lurus, dan salah satu ruas yang dipotong diameternya adalah 2 cm.
3) Menyelesaikan pilihan tugas konstruksi genap atau ganjil (2b):
1. Buatlah dua lingkaran dengan jari-jari 2 cm dan 4 cm, jarak antara pusat-pusatnya sama dengan nol.
2. Gambarlah dua buah lingkaran dengan jari-jari yang berbeda (3 cm dan 2 cm) sehingga bersentuhan. Tandai jarak antara pusat mereka dengan garis. Pertimbangkan pilihan Anda.
3. Buatlah sebuah lingkaran dengan jari-jari 3 cm dan garis lurus yang terletak pada jarak 4 cm dari pusat lingkaran.
4. Buatlah sebuah lingkaran dengan jari-jari 4 cm dan garis lurus yang terletak pada jarak 2 cm dari pusat lingkaran.
LULUS UJI #4
TUGAS 5
Sudah selesai dilakukan dengan baik! Anda bisa mulaipekerjaan verifikasi nomor 2.
TUGAS 6
1) Temukan kesalahan dalam pernyataan dan perbaiki dengan memperkuat pendapat Anda. Pilih dua pernyataan (4b.):
A) Dua lingkaran bersentuhan secara eksternal. Jari-jarinya adalah R = 8 cm dan r = 2 cm, jarak antara pusat adalah d = 6.
B) Dua lingkaran memiliki setidaknya tiga titik yang sama.
C) R = 4, r = 3, d = 5. Lingkaran tidak memiliki titik persekutuan.
D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. Lingkaran yang lebih kecil terletak di dalam yang lebih besar.
E) Dua lingkaran tidak dapat ditempatkan sehingga yang satu berada di dalam yang lain.
2) Memecahkan pilihan masalah genap atau ganjil (66.):
1. Dua lingkaran saling bersentuhan. Jari-jari lingkaran besar adalah 19 cm, dan jari-jari lingkaran kecil adalah 4 cm. Hitung jarak antara pusat-pusat lingkaran.
2. Dua lingkaran saling bersentuhan. Jari-jari lingkaran besar adalah 26 cm, dan jari-jari lingkaran kecil adalah 2 kali lebih kecil. Cari jarak antara pusat lingkaran.
3. Ambil dua poinD danF makaDF = 6 cm . Gambar dua lingkaran(B, 2cm) dan(F, 3 cm). Bagaimana letak kedua lingkaran ini? Buatlah kesimpulan.
4. Jarak antar titikTETAPI danPADA sama dengan7 cm Gambarlah lingkaran yang berpusat di titik-titikTETAPI danPADA , dengan jari-jari sama dengan3 cm dan4 cm . Bagaimana lingkaran diatur? Buatlah kesimpulan.
5. Di antara dua lingkaran konsentris dengan jari-jari 4 cm dan 8 cm, terletak lingkaran ketiga sehingga menyentuh dua lingkaran pertama. Berapakah jari-jari lingkaran ini?
6. Lingkaran yang jari-jarinya 6 cm dan 2 cm berpotongan. Selain itu, lingkaran yang lebih besar melewati pusat lingkaran yang lebih kecil. Cari jarak antara pusat lingkaran.
LULUS UJI #6
Pekerjaan verifikasi No. 1
Pilih salah satu opsi tes dan selesaikan (10 pertanyaan, masing-masing 1 poin):
1. Garis yang mempunyai dua titik yang sama dengan lingkaran disebut...A) akord B) diameter
C) garis potong; D) garis singgung.
2. Melalui titik yang terletak pada lingkaran, Anda dapat menggambar ...... .. garis singgung
A) satu; B) dua
3. Jika jarak pusat lingkaran ke garis lurus lebih kecil dari panjang jari-jari lingkaran, maka garis lurus...
D. Tidak ada jawaban yang benar.
4. Jika jarak pusat lingkaran ke garis lurus lebih besar dari jari-jari lingkaran, maka garis lurus...
A) menyentuh lingkaran pada satu titik; C) memotong lingkaran di dua titik;
C) tidak berpotongan dengan lingkaran;
D. Tidak ada jawaban yang benar.
5. Lingkaran tidak berpotongan dan tidak bersentuhan jika ...
TETAPI)R 1 + R 2 = d ; PADA)R 1 + R 2 < d ;
DENGAN)R 1 + R 2 > d ; D)d=0 .
6. Garis singgung dan jari-jari ditarik pada titik kontak...
A) sejajar B) tegak lurus
C) pertandingan D. Tidak ada jawaban yang benar.
7. Lingkaran bersentuhan secara eksternal. Jari-jari lingkaran yang lebih kecil adalah 3 cm, jari-jari yang lebih besar adalah 5 cm.Berapa jarak antara pusat-pusatnya?
8. Berapakah posisi relatif dua lingkaran jika jarak antara pusatnya adalah 4 dan jari-jarinya 11 dan 7:
9. Apa yang dapat dikatakan tentang kedudukan relatif garis dan lingkaran, jika diameter lingkaran adalah 7,2 cm, dan jarak dari pusat lingkaran ke garis adalah 0,4 dm:
10. Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan titik A. Di manakah letak titik A jika jari-jari lingkaran tersebut 7 cm, dan panjang ruas OA adalah 70 mm?
A. di dalam lingkaran B) pada lingkaran.
C) di luar lingkaran; D. Tidak ada jawaban yang benar.
pilihan 2
1. Garis lurus yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran dan tegak lurus dengan jari-jarinya disebut...
A) akord B) diameter
C) garis potong; D) garis singgung.
2. Dari titik yang tidak terletak pada lingkaran, Anda dapat menggambar lingkaran …….. garis singgung
A) satu; B) dua
C) tidak ada D. Tidak ada jawaban yang benar.
3. Jika jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran, maka garis
A) menyentuh lingkaran pada satu titik; C) memotong lingkaran di dua titik;
C) tidak berpotongan dengan lingkaran;
D. Tidak ada jawaban yang benar.
4. Lingkaran berpotongan di dua titik jika ...
TETAPI)R 1 + R 2 = d ; PADA)R 1 + R 2 < d ;
DENGAN)R 1 + R 2 > d ; D)d=0 .
5. Lingkaran bersentuhan pada satu titik jika ...
TETAPI)R 1 + R 2 = d ; PADA)R 1 + R 2 < d ;
DENGAN)R 1 + R 2 > d ; D)d=0 .
6. Lingkaran disebut konsentris jika ...
TETAPI)R 1 + R 2 = d ; PADA)R 1 + R 2 < d ;
DENGAN)R 1 + R 2 > d ; D)d=0 .
7. Lingkaran bersentuhan secara internal. Jari-jari lingkaran yang lebih kecil adalah 3 cm. Jari-jari lingkaran yang lebih besar adalah 5 cm. Berapa jarak antara pusat-pusat lingkaran?
A) 8 cm; C) 2 s m; C) 15 cm; D.3cm
8. Berapakah posisi relatif dua lingkaran jika jarak antara pusatnya 10 dan jari-jarinya 8 dan 2:
A) sentuhan eksternal; B) sentuhan internal;
C) berpotongan D) tidak berpotongan.
9. Apa yang dapat dikatakan tentang kedudukan relatif garis dan lingkaran, jika diameter lingkaran 7,2 cm, dan jarak dari pusat lingkaran ke garis adalah 3,25 cm:
Sentuhan B) tidak berpotongan.
C) berpotongan D. Tidak ada jawaban yang benar.
10. Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan titik A. Dimanakah titik A jika jari-jari lingkaran adalah 7 cm, dan panjang segmen OA adalah 4 cm?
A. di dalam lingkaran
B) pada lingkaran.
C) di luar lingkaran;
D. Tidak ada jawaban yang benar.
Peringkat: 10 b. - "5", 9 - 8 b. - "4", 7 - 6 b. - "3", 5 b. dan di bawah - "2"
Pekerjaan verifikasi No. 2
1) Isi tabelnya. Pilih salah satu opsi (6b):
sebuah)pengaturan bersama dari dua lingkaran:
1. Hitunglah panjang dua ruas tali busur, yang menjadi batas garis tengah lingkaran, jika panjang tali busur adalah 0,8 dm, dan garis tengahnya tegak lurus.2. Tentukan panjang tali busur jika diameternya tegak lurus dengan tali tersebut, dan salah satu ruas yang dipotong oleh garis tengahnya adalah 0,4 dm.
3) Selesaikan satu masalah untuk dipilih (2b):
1. Bangun lingkaran yang pusatnya lebih kecil dari selisih jari-jarinya. Tandai jarak antara pusat lingkaran. Buatlah kesimpulan.
2. Bangun lingkaran, jarak antara pusat-pusatnya sama dengan selisih jari-jari lingkaran ini. Tandai jarak antara pusat lingkaran. Buatlah kesimpulan.
Peringkat: 10 - 9 b. - "5", 8 - 7 b. - "4", 6 - 5 b. - "3", 4 b. dan di bawah - "2"
DAFTAR PERINGKAT
Tujuan didaktik: pembentukan pengetahuan baru.
tujuan pelajaran.
Tutorial:
- untuk membentuk konsep matematika: garis singgung lingkaran, posisi relatif garis lurus dan lingkaran, untuk mencapai pemahaman dan reproduksi oleh siswa konsep-konsep ini melalui pelaksanaan kerja penelitian praktis.
Hemat kesehatan:
- menciptakan iklim psikologis yang menguntungkan di dalam kelas;
Mengembangkan:
- mengembangkan minat kognitif siswa, kemampuan menjelaskan, menggeneralisasi hasil, membandingkan, mengkontraskan, menarik kesimpulan.
Pendidikan:
- pendidikan melalui matematika budaya kepribadian.
Bentuk studi:
- konten - percakapan, kerja praktek;
- pada organisasi kegiatan - individu, frontal.
Rencana belajar
| Blok | Tahapan pelajaran |
| 1 blok | Mengatur waktu. Persiapan untuk mempelajari materi baru melalui pengulangan dan pemutakhiran pengetahuan dasar. |
| 2 blok | Penetapan tujuan. |
| 3 blok | Pengenalan materi baru. Kerja riset praktis. |
| 4 blok | Konsolidasi materi baru melalui pemecahan masalah |
| 5 blok | Refleksi. Pelaksanaan pekerjaan sesuai dengan gambar yang sudah jadi. |
| 6 blok | Menyimpulkan pelajaran. Mengatur pekerjaan rumah. |
Peralatan:
- komputer, layar, proyektor;
- Selebaran.
Sumber Daya Pendidikan:
1. Matematika. Buku ajar untuk lembaga pendidikan kelas 6; / G.V. Dorofeev, M., Pencerahan, 2009
2. Markova V.I. Fitur pengajaran geometri dalam konteks penerapan standar pendidikan negara: pedoman, Kirov, 2010
3. Atanasyan L.S. Buku teks "Geometri 7-9".
Selama kelas
| 1. Momen organisasi. Persiapan untuk mempelajari materi baru melalui pengulangan dan pemutakhiran pengetahuan dasar. |
Salam siswa. Menunjukkan topik pelajaran. Cari tahu asosiasi apa yang muncul dengan kata "lingkaran" |
Tulis tanggal dan topik pelajaran di buku catatanmu. Jawab pertanyaan guru. |
| 2. Menetapkan tujuan pelajaran | Meringkas tujuan yang dirumuskan oleh siswa, menetapkan tujuan pelajaran | Merumuskan tujuan pelajaran. |
| 3. Berkenalan dengan materi baru. | Mengatur percakapan, meminta model untuk menunjukkan bagaimana lingkaran dan garis lurus dapat ditemukan. Mengatur kerja praktek. Mengatur pekerjaan dengan buku teks. |
Menjawab pertanyaan guru. Melakukan kerja praktek, menarik kesimpulan. Mereka bekerja dengan buku teks, menemukan kesimpulan dan membandingkannya dengan mereka sendiri. |
| 4. Pemahaman primer, konsolidasi melalui pemecahan masalah. | Mengatur pekerjaan sesuai dengan gambar yang sudah jadi. Bekerja dengan buku teks: p. 103 No. 498, No. 499. Penyelesaian masalah |
Memecahkan masalah secara lisan dan mengomentari solusinya. Lakukan pemecahan masalah dan komentar. |
| 5. Refleksi. Pelaksanaan pekerjaan sesuai dengan gambar yang sudah jadi | Menginstruksikan pekerjaan yang harus dilakukan. | Selesaikan tugas mereka sendiri. Tes diri. Menyimpulkan. |
| 6. Menyimpulkan. Mengatur pekerjaan rumah | Siswa diajak menganalisis klaster yang disusun pada awal pembelajaran, untuk menyempurnakannya dengan memperhatikan ilmu yang diperoleh. | Menyimpulkan. Siswa beralih ke tujuan yang telah ditetapkan, menganalisis hasilnya: apa yang baru mereka pelajari, apa yang mereka pelajari dalam pelajaran |
1. Momen organisasi. Pembaruan pengetahuan.
Guru menyampaikan topik pelajaran. Cari tahu asosiasi apa yang muncul dengan kata "lingkaran".
Berapa diameter lingkaran jika jari-jarinya 2,4 cm?
Berapa jari jari jika diameternya 6,8 cm?
2. Penetapan tujuan.
Siswa menetapkan tujuan mereka untuk pelajaran, guru merangkumnya dan menetapkan tujuan pelajaran.
Sebuah program kegiatan dalam pelajaran disusun.
3. Berkenalan dengan materi baru.
1) Bekerja dengan model: "Tunjukkan pada model bagaimana garis lurus dan lingkaran dapat ditempatkan pada bidang."
Berapa banyak poin yang mereka miliki bersama?
2) Pelaksanaan kerja praktek penelitian.
Target. Atur properti posisi relatif garis dan lingkaran.
Peralatan: lingkaran yang digambar di selembar kertas dan tongkat sebagai garis lurus, penggaris.
- Pada gambar (pada selembar kertas), atur posisi relatif lingkaran dan garis lurus.
- Ukur jari-jari lingkaran R dan jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus d.
- Catatlah hasil belajar dalam sebuah tabel.
| Gambar | Pengaturan bersama | Jumlah poin umum | Jari-jari lingkaran R | Jarak dari pusat lingkaran ke garis d | Bandingkan R dan d |
4. Buatlah kesimpulan tentang kedudukan relatif garis lurus dan lingkaran, berdasarkan perbandingan R dan d.
Kesimpulan: Jika jarak dari pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jarinya, maka garis tersebut menyentuh lingkaran dan memiliki satu titik yang sama dengan lingkaran. Jika jarak dari pusat lingkaran ke garis lebih besar dari jari-jarinya, maka lingkaran dan garis tidak memiliki titik persekutuan. Jika jarak dari pusat lingkaran ke garis kurang dari jari-jarinya, garis memotong lingkaran dan memiliki dua titik yang sama dengannya.
5. Pemahaman primer, konsolidasi melalui pemecahan masalah.
1) Tugas Buku Ajar: No. 498, No. 499.
2) Tentukan posisi relatif garis dan lingkaran jika:
- 1. R=16cm, d=12cm
- 2. R=5cm, d=4.2cm
- 3. R=7.2dm, d=3.7dm
- 4. R=8 cm, d=1.2dm
- 5. R=5cm, d=50mm
a) garis dan lingkaran tidak memiliki titik yang sama;
b) garis bersinggungan dengan lingkaran;
c. garis memotong lingkaran
- d adalah jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus, R adalah jari-jari lingkaran.
3) Apa yang dapat dikatakan tentang kedudukan relatif garis dan lingkaran, jika diameter lingkaran 10,3 cm, dan jarak dari pusat lingkaran ke garis adalah 4,15 cm; 2 dm; 103mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.
4) Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan titik A. Dimana titik A jika jari-jari lingkaran adalah 7 cm, dan panjang segmen OA adalah: a) 4 cm; b) 10 cm; c.70mm
6. Refleksi
Apa yang Anda pelajari dalam pelajaran?
Aturan apa yang telah ditetapkan?
Selesaikan tugas-tugas berikut pada kartu:
Tarik garis melalui setiap dua titik. Berapa banyak titik persekutuan yang dimiliki masing-masing garis dengan lingkaran.
Garis ______ dan lingkaran tidak memiliki titik yang sama.
Garis ______ dan lingkaran hanya memiliki satu titik ___________.
Garis ______, _______, ________, _______ dan lingkaran memiliki dua titik yang sama.
7. Menyimpulkan. Mengatur pekerjaan rumah:
1) menganalisis klaster yang disusun di awal pelajaran, menyempurnakannya dengan mempertimbangkan pengetahuan yang diperoleh;
2) buku teks: No. 500;
3) mengisi tabel (pada kartu).
| Jari-jari lingkaran | 4 cm | 6,2 cm | 3,5 cm | 1,8 cm | ||
| Jarak dari pusat lingkaran ke garis | 7 cm | 5,12 cm | 3,5 cm | 9.3 cm | 8,25 m | |
| Kesimpulan tentang posisi relatif lingkaran dan garis | Lurus melintasi lingkaran |
Lurus menyentuh lingkaran |
Lurus tidak melewati lingkaran |
Ingat definisi penting - definisi lingkaran]
Definisi:
Lingkaran berpusat di titik O dan berjari-jari R adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak R dari titik O.
Mari kita perhatikan fakta bahwa himpunan itu disebut lingkaran. semua titik yang memenuhi kondisi yang dijelaskan. Pertimbangkan sebuah contoh:
Titik A, B, C, D dari bujur sangkar berjarak sama dari titik E, tetapi bukan lingkaran (Gbr. 1).
Beras. 1. Ilustrasi misalnya
Dalam hal ini, gambarnya adalah lingkaran, karena semuanya adalah kumpulan titik yang berjarak sama dari pusat.
Jika kita menghubungkan dua titik lingkaran, kita mendapatkan akord. Tali busur yang melalui pusat disebut diameter.
MB - akord; AB - diameter; MnB - busur, dikontrak oleh akord MB;
Sudut disebut pusat.
Titik O adalah pusat lingkaran.
Beras. 2. Ilustrasi misalnya
Jadi, kami ingat apa itu lingkaran dan elemen utamanya. Sekarang mari kita beralih ke mempertimbangkan posisi relatif dari lingkaran dan garis.
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r. Garis P, jarak dari pusat ke garis, yaitu tegak lurus OM, sama dengan d.
Kita asumsikan titik O tidak terletak pada garis P.
Mengingat lingkaran dan garis lurus, kita perlu menemukan jumlah titik yang sama.
Kasus 1 - jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus kurang dari jari-jari lingkaran:
Dalam kasus pertama, ketika jarak d lebih kecil dari jari-jari lingkaran r, titik M terletak di dalam lingkaran. Dari titik ini kami akan menyisihkan dua segmen - MA dan MB, yang panjangnya akan menjadi. Kita tahu nilai r dan d, d lebih kecil dari r, yang berarti bahwa ekspresi ada dan titik A dan B ada. Kedua titik ini terletak pada garis lurus dengan konstruksi. Mari kita periksa apakah mereka terletak pada lingkaran. Hitung jarak antara OA dan OB menggunakan teorema Pythagoras:
Beras. 3. Ilustrasi Kasus 1
Jarak dari pusat ke dua titik sama dengan jari-jari lingkaran, jadi kami telah membuktikan bahwa titik A dan B termasuk dalam lingkaran.
Jadi, titik A dan B termasuk dalam garis dengan konstruksi, mereka termasuk dalam lingkaran dengan apa yang telah dibuktikan - lingkaran dan garis memiliki dua titik yang sama. Mari kita buktikan bahwa tidak ada titik lain (Gbr. 4).
Beras. 4. Ilustrasi buktinya
Untuk melakukan ini, ambil titik C sembarang pada garis lurus dan asumsikan itu terletak pada lingkaran - jarak OS = r. Dalam hal ini, segitiga adalah sama kaki dan median ON, yang tidak bertepatan dengan segmen OM, adalah tingginya. Kami telah memperoleh kontradiksi: dua tegak lurus dijatuhkan dari titik O ke garis.
Jadi, pada garis P tidak ada titik persekutuan lain dengan lingkaran. Kami telah membuktikan bahwa dalam kasus ketika jarak d lebih kecil dari jari-jari r lingkaran, garis dan lingkaran hanya memiliki dua titik yang sama.
Kasus dua - jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus sama dengan jari-jari lingkaran (Gbr. 5):
Beras. 5. Ilustrasi Kasus 2
Ingat bahwa jarak dari suatu titik ke garis adalah panjang tegak lurus, dalam hal ini OH adalah tegak lurus. Karena dengan syarat, panjang OH sama dengan jari-jari lingkaran, maka titik H termasuk lingkaran, jadi titik H sama dengan garis dan lingkaran.
Mari kita buktikan bahwa tidak ada poin umum lainnya. Sebaliknya: misalkan titik C pada garis milik lingkaran. Dalam hal ini, jarak OC adalah r, dan kemudian OC adalah OH. Namun pada segitiga siku-siku, OS sisi miring lebih besar dari kaki OH. Kami mendapat kontradiksi. Dengan demikian, asumsi tersebut salah dan tidak ada titik lain selain H yang sama pada garis dan lingkaran. Kami telah membuktikan bahwa dalam hal ini titik yang sama adalah unik.
Kasus 3 - jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus lebih besar dari jari-jari lingkaran:
Jarak suatu titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus. Kami menggambar tegak lurus dari titik O ke garis lurus P, kami mendapatkan titik H, yang tidak terletak pada lingkaran, karena OH, dengan syarat, lebih besar dari jari-jari lingkaran. Mari kita buktikan bahwa titik lain dari garis tidak terletak pada lingkaran. Ini jelas terlihat dari segitiga siku-siku, yang sisi miringnya OM lebih besar dari kaki OH, dan karenanya lebih besar dari jari-jari lingkaran, sehingga titik M tidak termasuk dalam lingkaran, seperti titik lain pada garis. Kami telah membuktikan bahwa dalam kasus ini lingkaran dan garis tidak memiliki titik yang sama (Gbr. 6).
Beras. 6. Ilustrasi kasus 3
Mempertimbangkan dalil . Misalkan garis AB memiliki dua titik yang sama dengan lingkaran (Gbr. 7).
Beras. 7. Ilustrasi teorema
Kami memiliki akord AB. Titik H menurut syarat berada di tengah tali busur AB dan terletak pada diameter CD.
Perlu dibuktikan bahwa dalam kasus ini diameter tegak lurus terhadap tali busur.
Bukti:
Pertimbangkan sebuah segitiga sama kaki OAB, itu adalah sama kaki, karena .
Titik H, dengan syarat, adalah bagian tengah tali busur, yang berarti bagian tengah median AB dari segitiga sama kaki. Kita tahu bahwa median segitiga sama kaki tegak lurus dengan alasnya, yang berarti tingginya: maka, terbukti bahwa diameter yang melalui tengah tali busur tegak lurus dengannya.
adil dan teorema kebalikan : jika diameternya tegak lurus tali busur, maka tali melewati titik tengahnya.
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat O, diameternya CD dan tali busur AB. Diketahui bahwa diameternya tegak lurus dengan tali busur, perlu dibuktikan bahwa ia melewati bagian tengahnya (Gbr. 8).
Beras. 8. Ilustrasi teorema
Bukti:
Pertimbangkan sebuah segitiga sama kaki OAB, itu adalah sama kaki, karena . OH, dengan syarat, adalah tinggi segitiga, karena diameternya tegak lurus dengan tali busur. Tinggi pada segitiga sama kaki juga merupakan median, sehingga AH = HB yang berarti titik H adalah titik tengah tali busur AB, yang berarti dibuktikan bahwa diameter yang tegak lurus tali busur melalui titik tengahnya.
Teorema langsung dan teorema invers dapat digeneralisasikan sebagai berikut.
Dalil:
Suatu diameter tegak lurus tali busur jika dan hanya jika melalui titik tengahnya.
Jadi, kami telah mempertimbangkan semua kasus pengaturan timbal balik dari garis lurus dan lingkaran. Dalam pelajaran berikutnya, kita akan mempertimbangkan garis singgung lingkaran.
Bibliografi
- Alexander A.D. dll. Geometri Grade 8. - M.: Pendidikan, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri 8. - M.: Pencerahan, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri kelas 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- Fmclass.ru ().
Pekerjaan rumah
Tugas 1. Tentukan panjang dua ruas tali busur, yang menjadi tempat bagi diameter lingkaran, jika panjang tali busur adalah 16 cm, dan diameternya tegak lurus.
Tugas 2. Tunjukkan jumlah titik persekutuan dari garis lurus dan lingkaran jika:
a) jarak dari garis lurus ke pusat lingkaran adalah 6 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 6,05 cm;
b) jarak dari garis lurus ke pusat lingkaran adalah 6,05 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 6 cm;
c) jarak dari garis lurus ke pusat lingkaran adalah 8 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 16 cm.
Tugas 3. Tentukan panjang tali busur jika diameternya tegak lurus, dan salah satu ruas yang dipotong diameternya adalah 2 cm.
