1.1. Menentukan derajat eksponen bilangan bulat

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N kali

1.2. derajat nol.

Menurut definisi, biasanya diasumsikan bahwa pangkat nol dari bilangan apa pun sama dengan 1:

1.3. derajat negatif.

X-N = 1/XN

1.4. Eksponen pecahan, akar.

X 1/N = Akar ke-N dari X.

Contoh: X 1/2 = X.

1.5. Rumus untuk menambahkan kekuatan.

X (N+M) = X N * X M

1.6 Rumus pengurangan derajat.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Rumus perkalian kekuatan.

XN*M = (XN)M

1.8. Rumus untuk menaikkan pecahan menjadi pangkat.

(X/Y)N = XN /YN

2. Nomor e.

Nilai bilangan e sama dengan limit berikut:

E = lim(1+1/N), sebagai N → .

Dengan ketelitian 17 digit, angka e adalah 2.71828182845904512.

3. Persamaan Euler.

Persamaan ini menghubungkan lima angka yang memainkan peran khusus dalam matematika: 0, 1, angka e, angka pi, unit imajiner.

E(i*pi) + 1 = 0

4. Fungsi eksponensial exp (x)

exp(x) = e x

5. Turunan dari fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial memiliki properti yang luar biasa: turunan dari suatu fungsi sama dengan fungsi eksponensial itu sendiri:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritma.

6.1. Definisi fungsi logaritma

Jika x = b y , maka logaritma adalah fungsi

Y = Logb(x).

Logaritma menunjukkan sejauh mana perlu untuk menaikkan angka - dasar logaritma (b) untuk mendapatkan angka yang diberikan (X). Fungsi logaritma didefinisikan untuk X lebih besar dari nol.

Contoh: Log 10 (100) = 2.

6.2. logaritma desimal

Ini adalah logaritma ke basis 10:

Y = Log 10 (x) .

Dilambangkan Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Contoh penggunaan logaritma desimal adalah desibel.

6.3. Desibel

Item disorot pada halaman terpisah Decibel

6.4. logaritma biner

Ini adalah logaritma basis 2:

Y = Log2(x).

Dilambangkan dengan Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. logaritma natural

Ini adalah logaritma ke basis e:

Y = log(x) .

Dilambangkan dengan Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Logaritma natural adalah kebalikan dari fungsi eksponensial exp(X).

6.6. poin karakteristik

Loga(1) = 0
Log a(a) = 1

6.7. Rumus untuk logaritma produk

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Rumus untuk logaritma hasil bagi

Log a (x/y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. Rumus logaritma daya

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Rumus untuk mengonversi ke logaritma dengan basis yang berbeda

Log b (x) = (Log a (x)) / Log a (b)

Contoh:

Log 2 (8) = Log 10 (8) / Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Rumus yang berguna dalam kehidupan

Seringkali ada masalah mengubah volume menjadi luas atau panjang, dan masalah kebalikannya adalah mengubah luas menjadi volume. Misalnya papan dijual dalam kubus (meter kubik), dan kita perlu menghitung berapa luas dinding yang dapat dilapisi dengan papan yang terdapat dalam volume tertentu, lihat perhitungan papan, berapa banyak papan dalam kubus. Atau, jika dimensi dinding diketahui, perlu untuk menghitung jumlah batu bata, lihat perhitungan batu bata.

Diperbolehkan untuk menggunakan materi situs asalkan tautan aktif ke sumber ditetapkan.

FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA VIII

184. Logaritma derajat dan akar

Teorema 1. Logaritma pangkat dari bilangan positif sama dengan produk eksponen pangkat ini dengan logaritma basisnya.

Dengan kata lain, jika sebuah dan X positif dan sebuah =/= 1, maka untuk sembarang bilangan real k

catatan sebuah x k = k catatan sebuah x . (1)

Untuk membuktikan rumus ini, cukup ditunjukkan bahwa

= sebuah k catatan sebuah x . (2)

= x k

sebuah k catatan sebuah x = (sebuah catatan sebuah x ) k = x k .

Ini menyiratkan validitas rumus (2), dan karenanya juga (1).

Perhatikan bahwa jika nomor k alami ( k = n ), maka rumus (1) adalah kasus khusus dari rumus

catatan sebuah (x 1 x 2 x 3 ... x n ) = log sebuah x 1 + log sebuah x 2 + log sebuah x 3 + ...log sebuah x n .

dibuktikan pada bagian sebelumnya. Memang, dengan asumsi dalam rumus ini

x 1 = x 2 = ... = x n = x ,

kita mendapatkan:

catatan sebuah x n = n catatan sebuah x .

1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;

2) log 3 2 3 = 3 log 3 2.

Untuk nilai negatif X rumus (1) kehilangan maknanya. Misalnya, Anda tidak dapat menulis log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4) karena ekspresi log 2 (-4) tidak ditentukan. Perhatikan bahwa ekspresi di sisi kiri rumus ini masuk akal:

log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.

Secara umum, jika bilangan X negatif, maka ekspresi log sebuah x 2k = 2k catatan sebuah x ditentukan karena x 2k > 0. Ekspresinya adalah 2 k catatan sebuah x dalam hal ini tidak masuk akal. Jadi tulislah

Catatan sebuah x 2k = 2k catatan sebuah x

itu dilarang. Namun, seseorang dapat menulis

catatan sebuah x 2k = 2k catatan sebuah | x | (3)

Rumus ini mudah diperoleh dari (1) jika kita memperhitungkan bahwa

x 2k = | x | 2k

Sebagai contoh,

log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.

Teorema 2. Logaritma dari akar bilangan positif sama dengan logaritma dari ekspresi akar dibagi dengan pangkat dari akar.

Dengan kata lain, jika angka sebuah dan X positif sebuah =/= 1 dan P adalah bilangan asli, maka

catatan sebuah n √x = 1 / n catatan sebuah x

Betulkah, n √x = . Oleh karena itu, dengan Teorema 1

catatan sebuah n √x = log sebuah = 1 / n catatan sebuah x .

1) log 3 8 = 1/2 log 3 8; 2) log 2 5 27 = 1/5 log 2 27.

Latihan

1408. Bagaimana logaritma suatu bilangan berubah jika, tanpa mengubah basis:

a) kuadratkan bilangan tersebut

b) mengambil akar kuadrat dari suatu bilangan?

1409. Bagaimana perbedaan log 2 akan berubah sebuah - log 2 b jika angka sebuah dan b ganti sesuai dengan:

sebuah) sebuah 3 dan b 3; b) 3 sebuah dan 3 b ?

1410. Mengetahui bahwa log 10 2 0,3010, log 10 3 0,4771, cari logaritma ke basis 10 angka:

8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9

1411. Buktikan bahwa logaritma dari anggota barisan geometri yang berurutan membentuk barisan aritmatika.

1412. Apakah fungsinya berbeda satu sama lain?

pada = log 3 X 2 dan pada = 2 log 3 X

Buatlah grafik dari fungsi-fungsi tersebut.

1413. Temukan kesalahan dalam transformasi berikut:

log 2 1 / 3 = log 2 1 / 3

2log 2 1 / 3 > log 2 1 / 3 ;

log 2 (1 / 3) 2 > log 2 1 / 3

(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;

Logaritma bilangan positif b ke basis a (a>0, a tidak sama dengan 1) adalah bilangan c sedemikian sehingga a c = b: log a b = c a c = b (a > 0, a 1, b > 0)       

Perhatikan bahwa logaritma dari angka non-positif tidak ditentukan. Juga, basis logaritma harus bilangan positif, tidak sama dengan 1. Misalnya, jika kita kuadratkan -2, kita mendapatkan angka 4, tetapi ini tidak berarti bahwa basis -2 logaritma dari 4 adalah 2.

Identitas logaritma dasar

a log a b = b (a > 0, a 1) (2)

Penting bahwa domain definisi bagian kanan dan kiri rumus ini berbeda. Ruas kiri didefinisikan hanya untuk b>0, a>0 dan a 1. Ruas kanan didefinisikan untuk sembarang b, dan tidak bergantung pada a sama sekali. Dengan demikian, penerapan "identitas" logaritma dasar dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dapat menyebabkan perubahan DPV.

Dua konsekuensi yang jelas dari definisi logaritma

log a a = 1 (a > 0, a 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a 1) (4)

Memang, ketika menaikkan angka a ke pangkat pertama, kami mendapatkan angka yang sama, dan ketika menaikkannya ke pangkat nol, kami mendapatkan satu.

Logaritma hasil kali dan logaritma hasil bagi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b log a c (a > 0, a 1, b > 0, c > 0) (6)

Saya ingin memperingatkan anak-anak sekolah agar tidak menggunakan rumus-rumus ini secara sembarangan saat memecahkan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik. Ketika digunakan "dari kiri ke kanan", ODZ menyempit, dan ketika berpindah dari jumlah atau selisih logaritma ke logaritma produk atau hasil bagi, ODZ mengembang.

Memang, ekspresi log a (f (x) g (x)) didefinisikan dalam dua kasus: ketika kedua fungsi benar-benar positif atau ketika f(x) dan g(x) keduanya kurang dari nol.

Mengubah ekspresi ini menjadi jumlah log a f (x) + log a g (x) , kita terpaksa membatasi diri hanya pada kasus ketika f(x)>0 dan g(x)>0. Ada penyempitan kisaran nilai yang dapat diterima, dan ini secara kategoris tidak dapat diterima, karena dapat menyebabkan hilangnya solusi. Masalah serupa ada untuk rumus (6).

Derajat dapat diambil dari tanda logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a 1, b > 0) (7)

Dan sekali lagi saya ingin meminta akurasi. Perhatikan contoh berikut:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Sisi kiri persamaan jelas didefinisikan untuk semua nilai f(x) kecuali nol. Sisi kanan hanya untuk f(x)>0! Mengambil kekuatan dari logaritma, kami kembali mempersempit ODZ. Prosedur sebaliknya mengarah pada perluasan kisaran nilai yang dapat diterima. Semua pernyataan ini tidak hanya berlaku untuk pangkat 2, tetapi juga untuk pangkat genap.

Rumus untuk pindah ke pangkalan baru

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c 1) (8)

Itu kasus yang jarang terjadi ketika ODZ tidak berubah selama konversi. Jika Anda telah memilih basis c dengan bijak (positif dan tidak sama dengan 1), rumus untuk pindah ke basis baru sangat aman.

Jika kita memilih bilangan b sebagai basis c baru, kita memperoleh kasus khusus yang penting dari rumus (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b 1) (9)

Beberapa contoh sederhana dengan logaritma

Contoh 1 Hitung: lg2 + lg50.
Keputusan. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Kami menggunakan rumus untuk jumlah logaritma (5) dan definisi logaritma desimal.

Contoh 2 Hitung: lg125/lg5.
Keputusan. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Kami menggunakan rumus transisi basis baru (8).

Tabel rumus yang berkaitan dengan logaritma

a log a b = b (a > 0, a 1)

log a a = 1 (a > 0, a 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b log a c (a > 0, a 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b 1)

Apa itu logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Apa itu logaritma? Bagaimana cara menyelesaikan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Terutama - persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya? Bagus. Sekarang, selama 10 - 20 menit Anda:

1. Pahami apa itu logaritma.

2. Belajar memecahkan seluruh kelas persamaan eksponensial. Bahkan jika Anda belum pernah mendengar tentang mereka.

3. Belajar menghitung logaritma sederhana.

Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian, dan bagaimana suatu bilangan dipangkatkan ...

Saya merasa Anda ragu ... Yah, jaga waktu! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan berikut dalam pikiran Anda:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

sifat dasar.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax logay = log(x:y).

alasan yang sama

log6 4 + log6 9.

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas.

Contoh penyelesaian logaritma

Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x >

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Transisi ke yayasan baru

Biarkan logaritma logaks diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Lihat juga:

Sifat dasar logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponennya adalah 2,718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen adalah 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Tolstoy.

Sifat dasar logaritma

Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai eksponen dan tanggal lahir Leo Tolstoy yang tepat.

Contoh untuk logaritma

Ambil logaritma dari ekspresi

Contoh 1
sebuah). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Dengan properti 3,5 kami menghitung

2.

3.

4. di mana .

Contoh 2 Temukan x jika

Contoh 3. Biarkan nilai logaritma diberikan

Hitung log(x) jika

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

Aturan-aturan ini harus diketahui - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax logay = log(x:y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus-rumus ini akan membantu menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh dan lihat:

Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log2 48 log2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log2 48 log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log3 135 log3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log3 135 log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka-angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tanpa perubahan) ditawarkan di ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus itu akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Ini yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log7 496.

Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kami memiliki:

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut.

Rumus logaritma. Logaritma adalah contoh solusi.

Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebut memiliki bilangan yang sama: log2 7. Karena log2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma logaks diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:

Ini mengikuti dari rumus kedua bahwa dimungkinkan untuk menukar basis dan argumen logaritma, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log5 16 log2 25.

Perhatikan bahwa argumen dari kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaiannya diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, angka n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Disebut seperti ini:

Memang, apa yang akan terjadi jika angka b dinaikkan sedemikian rupa sehingga angka b dalam derajat ini memberikan angka a? Itu benar: ini adalah nomor yang sama a. Baca paragraf ini dengan cermat lagi - banyak orang "menggantung" di atasnya.

Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari Ujian Negara Bersatu

Satuan logaritma dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit untuk disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, secara mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "maju".

1. loga = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke sembarang basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 adalah. Basis a bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya adalah nol! Karena a0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan masalahnya.

Lihat juga:

Logaritma dari angka b ke basis a menunjukkan ekspresi. Menghitung logaritma berarti menemukan pangkat x () yang persamaannya benar

Sifat dasar logaritma

Sifat-sifat di atas perlu diketahui, karena atas dasar mereka, hampir semua masalah dan contoh diselesaikan berdasarkan logaritma. Sifat-sifat eksotik yang tersisa dapat diturunkan dengan manipulasi matematis dengan rumus-rumus ini

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Saat menghitung rumus untuk jumlah dan selisih logaritma (3.4) cukup sering ditemui. Sisanya agak rumit, tetapi dalam sejumlah tugas mereka sangat diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi kompleks dan menghitung nilainya.

Kasus umum logaritma

Beberapa logaritma umum adalah yang basisnya genap sepuluh, eksponensial atau deuce.
Logaritma basis sepuluh biasanya disebut logaritma basis sepuluh dan hanya dilambangkan lg(x).

Hal ini dapat dilihat dari catatan bahwa dasar-dasar tidak tertulis dalam catatan. Sebagai contoh

Logaritma natural adalah logaritma yang basisnya eksponen (dilambangkan ln(x)).

Eksponennya adalah 2,718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen adalah 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Tolstoy. Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai eksponen dan tanggal lahir Leo Tolstoy yang tepat.

Dan logaritma basis dua penting lainnya adalah

Turunan dari logaritma fungsi sama dengan satu dibagi variabel

Logaritma integral atau antiturunan ditentukan oleh ketergantungan

Materi di atas sudah cukup bagi Anda untuk menyelesaikan berbagai kelas masalah yang berkaitan dengan logaritma dan logaritma. Untuk mengasimilasi materi, saya hanya akan memberikan beberapa contoh umum dari kurikulum sekolah dan universitas.

Contoh untuk logaritma

Ambil logaritma dari ekspresi

Contoh 1
sebuah). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Dengan properti 3,5 kami menghitung

2.
Dengan properti perbedaan logaritma, kami memiliki

3.
Menggunakan properti 3.5 kami menemukan

4. di mana .

Ekspresi yang tampaknya kompleks menggunakan serangkaian aturan disederhanakan menjadi bentuk

Mencari Nilai Logaritma

Contoh 2 Temukan x jika

Keputusan. Untuk perhitungan, kami menerapkan properti 5 dan 13 hingga suku terakhir

Pengganti dalam catatan dan berkabung

Karena basisnya sama, kami menyamakan ekspresi

Logaritma. Tingkat pertama.

Biarkan nilai logaritma diberikan

Hitung log(x) jika

Solusi: Ambil logaritma dari variabel untuk menulis logaritma melalui jumlah istilah

Ini hanyalah awal dari pengenalan logaritma dan propertinya. Berlatih perhitungan, perkaya keterampilan praktis Anda - Anda akan segera membutuhkan pengetahuan yang diperoleh untuk menyelesaikan persamaan logaritmik. Setelah mempelajari metode dasar untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, kami akan memperluas pengetahuan Anda untuk topik lain yang sama pentingnya - ketidaksetaraan logaritmik ...

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

Aturan-aturan ini harus diketahui - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax logay = log(x:y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus-rumus ini akan membantu menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh dan lihat:

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log6 4 + log6 9.

Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log2 48 log2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log2 48 log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log3 135 log3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log3 135 log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka-angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tanpa perubahan) ditawarkan di ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus itu akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.

Bagaimana menyelesaikan logaritma

Ini yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log7 496.

Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kami memiliki:

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebut memiliki bilangan yang sama: log2 7. Karena log2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma logaks diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:

Ini mengikuti dari rumus kedua bahwa dimungkinkan untuk menukar basis dan argumen logaritma, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log5 16 log2 25.

Perhatikan bahwa argumen dari kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaiannya diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, angka n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Disebut seperti ini:

Memang, apa yang akan terjadi jika angka b dinaikkan sedemikian rupa sehingga angka b dalam derajat ini memberikan angka a? Itu benar: ini adalah nomor yang sama a. Baca paragraf ini dengan cermat lagi - banyak orang "menggantung" di atasnya.

Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari Ujian Negara Bersatu

Satuan logaritma dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit untuk disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, secara mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "maju".

1. loga = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke sembarang basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 adalah. Basis a bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya adalah nol! Karena a0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan masalahnya.