Ada angka-angka yang sangat luar biasa, sangat besar sehingga dibutuhkan seluruh alam semesta untuk menuliskannya. Tapi inilah yang benar-benar menjengkelkan... beberapa dari jumlah yang sangat besar ini sangat penting untuk memahami dunia.

Ketika saya mengatakan "jumlah terbesar di alam semesta", yang saya maksud adalah yang terbesar penting nomor, jumlah maksimum yang mungkin berguna dalam beberapa cara. Ada banyak pesaing untuk gelar ini, tetapi saya segera memperingatkan Anda: memang ada risiko bahwa mencoba memahami semua ini akan membuat Anda bingung. Dan selain itu, dengan terlalu banyak matematika, Anda mendapatkan sedikit kesenangan.

Googol dan googolplex

Edward Kasner

Kita bisa mulai dengan dua, kemungkinan besar angka terbesar yang pernah Anda dengar, dan ini memang dua angka terbesar yang memiliki definisi yang diterima secara umum dalam bahasa Inggris. (Ada nomenklatur yang cukup tepat yang digunakan untuk angka sebesar yang Anda inginkan, tetapi kedua angka ini saat ini tidak ditemukan dalam kamus.) Google, karena menjadi terkenal di dunia (walaupun dengan kesalahan, perhatikan. sebenarnya itu adalah googol) di bentuk Google, lahir pada tahun 1920 sebagai cara untuk membuat anak-anak tertarik pada angka besar.

Untuk tujuan ini, Edward Kasner (foto) membawa kedua keponakannya, Milton dan Edwin Sirott, dalam tur New Jersey Palisades. Dia mengundang mereka untuk datang dengan ide apa pun, dan kemudian Milton yang berusia sembilan tahun menyarankan "googol". Dari mana dia mendapatkan kata ini tidak diketahui, tetapi Kasner memutuskan itu atau angka di mana seratus nol mengikuti satu selanjutnya akan disebut googol.

Tapi Milton muda tidak berhenti di situ, dia datang dengan jumlah yang lebih besar, googolplex. Ini adalah angka, menurut Milton, yang memiliki 1 terlebih dahulu dan kemudian nol sebanyak yang Anda bisa tulis sebelum Anda lelah. Meskipun idenya menarik, Kasner merasa diperlukan definisi yang lebih formal. Seperti yang dijelaskannya dalam bukunya yang berjudul Mathematics and the Imagination tahun 1940, definisi Milton membuka kemungkinan berbahaya bahwa badut sesekali mungkin menjadi ahli matematika yang lebih unggul daripada Albert Einstein hanya karena ia memiliki stamina lebih.

Jadi Kasner memutuskan bahwa googolplex akan menjadi , atau 1, diikuti oleh googol nol. Jika tidak, dan dalam notasi yang mirip dengan yang akan kita gunakan untuk bilangan lain, kita akan mengatakan bahwa googolplex adalah . Untuk menunjukkan betapa memesonanya hal ini, Carl Sagan pernah mengatakan bahwa secara fisik mustahil untuk menuliskan semua nol dari sebuah googolplex karena tidak ada cukup ruang di alam semesta. Jika seluruh volume alam semesta yang dapat diamati diisi dengan partikel debu halus berukuran kira-kira 1,5 mikron, maka jumlah cara yang berbeda untuk mengatur partikel-partikel ini kira-kira sama dengan satu googolplex.

Secara linguistik, googol dan googolplex mungkin adalah dua angka penting terbesar (setidaknya dalam bahasa Inggris), tetapi, seperti yang akan kita bahas sekarang, ada banyak cara untuk mendefinisikan "signifikansi".

Dunia nyata

Jika kita berbicara tentang angka penting terbesar, ada argumen yang masuk akal bahwa ini benar-benar berarti bahwa Anda perlu menemukan angka terbesar dengan nilai yang benar-benar ada di dunia. Kita bisa mulai dengan populasi manusia saat ini, yang saat ini sekitar 6920 juta. PDB dunia pada tahun 2010 diperkirakan sekitar $61.960 miliar, tetapi kedua angka ini kecil dibandingkan dengan sekitar 100 triliun sel yang membentuk tubuh manusia. Tentu saja, tidak satu pun dari angka-angka ini dapat dibandingkan dengan jumlah total partikel di alam semesta, yang biasanya dianggap sekitar , dan jumlah ini sangat besar sehingga bahasa kita tidak memiliki kata untuk itu.

Kita bisa bermain-main dengan sistem pengukuran sedikit, membuat angka lebih besar dan lebih besar. Dengan demikian, massa Matahari dalam ton akan lebih kecil daripada dalam pound. Cara yang bagus untuk melakukannya adalah dengan menggunakan satuan Planck, yang merupakan ukuran terkecil yang mungkin yang masih dipegang oleh hukum fisika. Misalnya, usia alam semesta dalam waktu Planck adalah sekitar . Jika kita kembali ke unit waktu Planck pertama setelah Big Bang, kita akan melihat bahwa kepadatan alam semesta saat itu adalah . Kami mendapatkan lebih dan lebih, tapi kami bahkan belum mencapai googol.

Jumlah terbesar dengan aplikasi dunia nyata—atau, dalam hal ini, aplikasi dunia nyata—mungkin , salah satu perkiraan terbaru dari jumlah alam semesta di multiverse. Jumlah ini sangat besar sehingga otak manusia secara harfiah tidak akan mampu melihat semua alam semesta yang berbeda ini, karena otak hanya mampu melakukan konfigurasi secara kasar. Faktanya, angka ini mungkin merupakan angka terbesar dengan arti praktis apa pun, jika Anda tidak memperhitungkan gagasan multisemesta secara keseluruhan. Namun, masih ada angka yang jauh lebih besar yang mengintai di sana. Tetapi untuk menemukannya, kita harus masuk ke ranah matematika murni, dan tidak ada tempat yang lebih baik untuk memulai selain bilangan prima.

bilangan prima Mersenne

Bagian dari kesulitannya adalah menemukan definisi yang baik tentang apa itu angka yang "bermakna". Salah satu caranya adalah dengan berpikir dalam bentuk bilangan prima dan komposit. Bilangan prima, seperti yang mungkin Anda ingat dari matematika sekolah, adalah bilangan asli apa pun (tidak sama dengan satu) yang hanya dapat dibagi dengan dirinya sendiri. Jadi, dan adalah bilangan prima, dan dan adalah bilangan komposit. Ini berarti bahwa setiap bilangan komposit akhirnya dapat diwakili oleh pembagi primanya. Dalam arti tertentu, bilangan lebih penting daripada, katakanlah, karena tidak ada cara untuk menyatakannya dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan yang lebih kecil.

Jelas kita bisa melangkah lebih jauh. , misalnya, sebenarnya adil , yang berarti bahwa di dunia hipotetis di mana pengetahuan kita tentang angka terbatas , seorang ahli matematika masih dapat mengungkapkan . Tapi bilangan berikutnya sudah prima, yang berarti satu-satunya cara untuk mengungkapkannya adalah dengan mengetahui keberadaannya secara langsung. Ini berarti bahwa bilangan prima terbesar yang diketahui memainkan peran penting, tetapi, katakanlah, googol - yang pada akhirnya hanya kumpulan angka dan , dikalikan bersama - sebenarnya tidak. Dan karena bilangan prima sebagian besar acak, tidak ada cara yang diketahui untuk memprediksi bahwa bilangan yang sangat besar akan menjadi bilangan prima. Sampai hari ini, menemukan bilangan prima baru adalah tugas yang sulit.

Matematikawan Yunani kuno memiliki konsep bilangan prima setidaknya sejak 500 SM, dan 2000 tahun kemudian orang masih hanya tahu apa bilangan prima hingga sekitar 750. Pemikir Euclid melihat kemungkinan penyederhanaan, tetapi sampai matematikawan Renaisans tidak bisa 'tidak benar-benar menggunakannya dalam praktek. Angka-angka ini dikenal sebagai angka Mersenne dan dinamai ilmuwan Prancis abad ke-17 Marina Mersenne. Idenya cukup sederhana: bilangan Mersenne adalah bilangan apapun dalam bentuk . Jadi, misalnya, dan bilangan ini prima, hal yang sama berlaku untuk .

Bilangan prima Mersenne jauh lebih cepat dan lebih mudah ditentukan daripada jenis bilangan prima lainnya, dan komputer telah bekerja keras untuk menemukannya selama enam dekade terakhir. Sampai tahun 1952, bilangan prima terbesar yang diketahui adalah bilangan—bilangan dengan angka. Pada tahun yang sama, dihitung di komputer bahwa angkanya adalah bilangan prima, dan angka ini terdiri dari angka, yang membuatnya jauh lebih besar daripada googol.

Komputer telah diburu sejak saat itu, dan bilangan Mersenne ke-th saat ini merupakan bilangan prima terbesar yang diketahui umat manusia. Ditemukan pada tahun 2008, itu adalah angka dengan hampir jutaan digit. Ini adalah angka terbesar yang diketahui yang tidak dapat dinyatakan dalam angka yang lebih kecil, dan jika Anda ingin membantu menemukan angka Mersenne yang lebih besar, Anda (dan komputer Anda) selalu dapat bergabung dalam pencarian di http://www.mersenne. org/.

nomor tusuk

Stanley Skuse

Mari kembali ke bilangan prima. Seperti yang saya katakan sebelumnya, mereka berperilaku salah secara fundamental, yang berarti bahwa tidak ada cara untuk memprediksi apa bilangan prima berikutnya. Matematikawan telah dipaksa untuk beralih ke beberapa pengukuran yang agak fantastis untuk menemukan beberapa cara untuk memprediksi bilangan prima masa depan, bahkan dengan cara yang samar-samar. Upaya yang paling berhasil mungkin adalah fungsi bilangan prima, yang ditemukan pada akhir abad ke-18 oleh ahli matematika legendaris Carl Friedrich Gauss.

Saya akan memberi Anda matematika yang lebih rumit - bagaimanapun, kita masih memiliki banyak hal yang akan datang - tetapi inti dari fungsinya adalah ini: untuk bilangan bulat apa pun, dimungkinkan untuk memperkirakan berapa banyak bilangan prima yang kurang dari . Misalnya, jika , fungsi memprediksi bahwa harus ada bilangan prima, jika - bilangan prima kurang dari , dan jika , maka ada bilangan prima yang lebih kecil.

Susunan bilangan prima memang tidak beraturan, dan hanya merupakan perkiraan jumlah bilangan prima yang sebenarnya. Faktanya, kita tahu bahwa ada bilangan prima kurang dari , bilangan prima kurang dari , dan bilangan prima kurang dari . Ini perkiraan yang bagus, tentu saja, tapi itu selalu hanya perkiraan... dan lebih khusus lagi, perkiraan dari atas.

Dalam semua kasus yang diketahui hingga , fungsi yang menemukan jumlah bilangan prima sedikit melebih-lebihkan jumlah bilangan prima yang sebenarnya kurang dari . Matematikawan pernah berpikir bahwa ini akan selalu terjadi, ad infinitum, dan ini pasti berlaku untuk beberapa bilangan yang sangat besar, tetapi pada tahun 1914 John Edensor Littlewood membuktikan bahwa untuk beberapa bilangan yang tidak diketahui dan sangat besar, fungsi ini akan mulai menghasilkan bilangan prima yang lebih sedikit, dan kemudian ia akan beralih antara perkiraan yang terlalu tinggi dan terlalu rendah dalam jumlah yang tidak terbatas.

Perburuan adalah titik awal balapan, dan di sanalah Stanley Skuse muncul (lihat foto). Pada tahun 1933, ia membuktikan bahwa batas atas, ketika suatu fungsi yang mendekati jumlah bilangan prima untuk pertama kalinya memberikan nilai yang lebih kecil, adalah bilangan. Sulit untuk benar-benar memahami, bahkan dalam pengertian yang paling abstrak, apa angka ini sebenarnya, dan dari sudut pandang ini, ini adalah angka terbesar yang pernah digunakan dalam pembuktian matematis yang serius. Sejak itu, matematikawan telah mampu mengurangi batas atas menjadi angka yang relatif kecil, tetapi angka aslinya tetap dikenal sebagai angka Skewes.

Jadi, seberapa besar angka yang membuat kurcaci googolplex yang perkasa sekalipun? Dalam The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells menjelaskan satu cara di mana matematikawan Hardy dapat memahami ukuran bilangan Skewes:

"Hardy berpikir itu adalah 'jumlah terbesar yang pernah ada untuk tujuan tertentu dalam matematika' dan menyarankan bahwa jika catur dimainkan dengan semua partikel alam semesta sebagai bagian, satu gerakan akan terdiri dari pertukaran dua partikel, dan permainan akan berhenti ketika posisi yang sama diulang untuk ketiga kalinya, maka jumlah semua kemungkinan permainan akan sama dengan jumlah Skuse''.

Satu hal terakhir sebelum melanjutkan: kami berbicara tentang yang lebih kecil dari dua angka Skewes. Ada nomor Skewes lain, yang ditemukan ahli matematika pada tahun 1955. Angka pertama diturunkan dengan alasan bahwa apa yang disebut Hipotesis Riemann adalah benar - sebuah hipotesis yang sangat sulit dalam matematika yang masih belum terbukti, sangat berguna dalam hal bilangan prima. Namun, jika Hipotesis Riemann salah, Skewes menemukan bahwa titik awal lompatan meningkat menjadi .

Masalah besarnya

Sebelum kita sampai pada angka yang membuat bilangan Skuse genap terlihat kecil, kita perlu berbicara sedikit tentang skala karena jika tidak, kita tidak memiliki cara untuk memperkirakan kemana kita akan pergi. Mari kita ambil angka terlebih dahulu - ini adalah angka yang kecil, sangat kecil sehingga orang dapat benar-benar memiliki pemahaman intuitif tentang apa artinya. Ada sangat sedikit angka yang sesuai dengan deskripsi ini, karena angka yang lebih besar dari enam berhenti menjadi angka yang terpisah dan menjadi "beberapa", "banyak", dll.

Sekarang mari kita ambil , yaitu . Meskipun kita tidak bisa benar-benar intuitif, seperti yang kita lakukan untuk nomor , mencari tahu apa , bayangkan apa itu, sangat mudah. Sejauh ini semuanya berjalan baik. Tapi apa yang terjadi jika kita pergi ke ? Ini sama dengan , atau . Kami sangat jauh dari dapat membayangkan nilai ini, seperti nilai yang sangat besar lainnya - kami kehilangan kemampuan untuk memahami bagian-bagian individu di suatu tempat sekitar satu juta. (Memang, butuh waktu yang sangat lama untuk benar-benar menghitung hingga satu juta, tetapi intinya adalah kita masih dapat melihat angka itu.)

Namun, meskipun kami tidak dapat membayangkannya, kami setidaknya dapat memahami secara umum apa itu 7600 miliar, mungkin dengan membandingkannya dengan sesuatu seperti PDB AS. Kami telah beralih dari intuisi ke representasi menjadi pemahaman belaka, tetapi setidaknya kami masih memiliki beberapa celah dalam pemahaman kami tentang apa itu angka. Ini akan berubah saat kita naik satu anak tangga lagi.

Untuk melakukan ini, kita perlu beralih ke notasi yang diperkenalkan oleh Donald Knuth, yang dikenal sebagai notasi panah. Notasi ini dapat ditulis sebagai . Ketika kita kemudian pergi ke , nomor yang kita dapatkan adalah . Ini sama dengan di mana jumlah kembar tiga. Kami sekarang telah jauh dan benar-benar melampaui semua angka lain yang telah disebutkan. Bagaimanapun, bahkan yang terbesar dari mereka hanya memiliki tiga atau empat anggota dalam seri indeks. Misalnya, bahkan nomor Super Skewes adalah "hanya" - bahkan dengan fakta bahwa basis dan eksponennya jauh lebih besar dari , itu masih sama sekali tidak sebanding dengan ukuran menara nomor dengan miliaran anggota.

Jelas, tidak ada cara untuk memahami angka sebesar itu... namun, proses pembuatannya masih dapat dipahami. Kami tidak dapat memahami angka sebenarnya yang diberikan oleh menara kekuatan, yaitu satu miliar tiga kali lipat, tetapi pada dasarnya kami dapat membayangkan menara seperti itu dengan banyak anggota, dan superkomputer yang benar-benar layak akan dapat menyimpan menara tersebut dalam memori, bahkan jika itu tidak dapat menghitung nilai sebenarnya.

Ini semakin abstrak, tetapi itu hanya akan menjadi lebih buruk. Anda mungkin berpikir bahwa menara kekuatan yang panjang eksponennya (selain itu, dalam versi sebelumnya dari posting ini saya membuat kesalahan itu), tapi itu hanya . Dengan kata lain, bayangkan Anda dapat menghitung nilai yang tepat dari menara kekuatan tiga kali lipat, yang terdiri dari elemen, dan kemudian Anda mengambil nilai ini dan membuat menara baru dengan sebanyak ... yang memberikan .

Ulangi proses ini dengan setiap nomor yang berurutan ( catatan mulai dari kanan) sampai Anda melakukan ini sekali, dan akhirnya Anda mendapatkan . Ini adalah angka yang sangat luar biasa besar, tetapi setidaknya langkah-langkah untuk mendapatkannya tampak jelas jika semuanya dilakukan dengan sangat lambat. Kita tidak lagi dapat memahami bilangan atau membayangkan prosedur yang digunakan untuk memperolehnya, tetapi setidaknya kita dapat memahami algoritma dasar, hanya dalam waktu yang cukup lama.

Sekarang mari kita siapkan pikiran untuk benar-benar meledakkannya.

Nomor Graham (Graham)

Ronald Graham

Ini adalah bagaimana Anda mendapatkan nomor Graham, yang menempati peringkat dalam Guinness Book of World Records sebagai nomor terbesar yang pernah digunakan dalam pembuktian matematis. Sama sekali tidak mungkin untuk membayangkan seberapa besar itu, dan sama sulitnya untuk menjelaskan dengan tepat apa itu. Pada dasarnya, bilangan Graham ikut bermain ketika berhadapan dengan hypercubes, yang merupakan bentuk geometris teoretis dengan lebih dari tiga dimensi. Ahli matematika Ronald Graham (lihat foto) ingin mencari tahu berapa jumlah dimensi terkecil yang akan menjaga sifat-sifat tertentu dari hypercube stabil. (Maaf untuk penjelasan yang tidak jelas ini, tapi saya yakin kita semua membutuhkan setidaknya dua gelar matematika untuk membuatnya lebih akurat.)

Bagaimanapun, nomor Graham adalah perkiraan atas dari jumlah minimum dimensi ini. Jadi seberapa besar batas atas ini? Mari kembali ke angka yang sangat besar sehingga kita dapat memahami algoritme untuk memperolehnya dengan agak samar. Sekarang, daripada hanya melompat satu tingkat lagi ke , kita akan menghitung angka yang memiliki panah antara tiga kali lipat pertama dan terakhir. Sekarang kita jauh melampaui pemahaman sedikit pun tentang apa angka ini atau bahkan apa yang perlu dilakukan untuk menghitungnya.

Sekarang ulangi proses ini kali ( catatan pada setiap langkah berikutnya, kami menulis jumlah panah sama dengan jumlah yang diperoleh pada langkah sebelumnya).

Ini, tuan dan nyonya, adalah bilangan Graham, yaitu tentang urutan besarnya di atas titik pemahaman manusia. Ini adalah angka yang jauh lebih banyak daripada angka apa pun yang dapat Anda bayangkan - ini jauh lebih banyak daripada tak terhingga yang pernah Anda bayangkan - itu hanya menentang deskripsi yang paling abstrak sekalipun.

Tapi inilah hal yang aneh. Karena bilangan Graham pada dasarnya hanya kembar tiga dikalikan, kita mengetahui beberapa sifat-sifatnya tanpa menghitungnya. Kami tidak dapat mewakili nomor Graham dalam notasi apa pun yang kami kenal, bahkan jika kami menggunakan seluruh alam semesta untuk menuliskannya, tetapi saya dapat memberi Anda dua belas digit terakhir nomor Graham sekarang: . Dan itu tidak semua: kita tahu setidaknya digit terakhir dari nomor Graham.

Tentu saja, perlu diingat bahwa angka ini hanya batas atas dalam masalah awal Graham. Ada kemungkinan bahwa jumlah pengukuran aktual yang diperlukan untuk memenuhi sifat yang diinginkan jauh lebih sedikit. Faktanya, sejak tahun 1980-an, sebagian besar ahli di bidang ini telah dipercaya bahwa sebenarnya hanya ada enam dimensi - angka yang sangat kecil sehingga kita dapat memahaminya secara intuitif. Batas bawah telah ditingkatkan menjadi , tetapi masih ada peluang yang sangat bagus bahwa solusi untuk masalah Graham tidak terletak di dekat bilangan sebesar Graham.

Hingga tak terbatas

Jadi ada angka yang lebih besar dari angka Graham? Tentu saja, sebagai permulaan ada nomor Graham. Mengenai bilangan penting... yah, ada beberapa bidang matematika yang sangat sulit (khususnya, bidang yang dikenal sebagai kombinatorik) dan ilmu komputer, di mana ada bilangan yang bahkan lebih besar dari bilangan Graham. Tetapi kita hampir mencapai batas dari apa yang saya harap dapat secara masuk akal menjelaskannya. Bagi mereka yang cukup sembrono untuk melangkah lebih jauh, bacaan tambahan ditawarkan dengan risiko Anda sendiri.

Nah, sekarang kutipan luar biasa yang dikaitkan dengan Douglas Ray ( catatan Sejujurnya, kedengarannya cukup lucu:

“Saya melihat gumpalan angka samar bersembunyi di luar sana dalam kegelapan, di balik titik kecil cahaya yang diberikan lilin pikiran. Mereka saling berbisik; berbicara tentang siapa yang tahu apa. Mungkin mereka tidak terlalu menyukai kita karena menangkap adik laki-laki mereka dengan pikiran kita. Atau mungkin mereka hanya menjalani cara hidup numerik yang tidak ambigu, di luar sana, di luar pemahaman kita.''

Masalah filosofis membuat diri mereka terasa ketika yang lain tiba-tiba terungkap dalam satu ketidakterbatasan. Misalnya, memilih hanya angka genap di antara semua angka, kami kembali mendapatkan urutan tak terbatas 2, 4, 6, ... Agar tidak bingung dengan ketidakterbatasan, ahli matematika mulai berbicara tentang himpunan dan kekuatan: himpunan bilangan asli, meskipun tak terbatas, kekuatannya sama dengan himpunan genap. Ini mengikuti dari adanya aturan sederhana yang menetapkan hubungan antara dua himpunan ini: cukup dengan membagi 2 bilangan genap apa pun atau mengalikan bilangan asli apa pun dengan 2 untuk memastikan bahwa aturan ini satu-satu.

Aturan serupa - hanya sedikit lebih rumit - satu-ke-satu menghubungkan bilangan asli dengan semua pecahan sederhana. Dengan kata lain, pecahan sederhana juga dapat dinomori ulang. Artinya, himpunan bilangan rasional memiliki kekuatan yang sama dengan himpunan bilangan rasional, yaitu kedua infinitas ini “sama” satu sama lain. Jadi, mungkin tak terhingga adalah satu dan semua himpunan tak terhingga dalam pengertian ini selalu "sama" satu sama lain? Tapi tidak: pertama, tidak mungkin untuk menomori ulang bilangan irasional - dan himpunan ini ternyata "lebih besar" daripada himpunan bilangan asli - dan kedua, untuk himpunan mana pun seseorang dapat membangun "lebih besar".

Ahli matematika Jerman yang terbuang

Kedua pernyataan ini dibuktikan oleh matematikawan Jerman Georg Cantor (, 1845-1918). Karena ketidakterbatasan berbeda, maka untuk mereka Anda juga dapat memasukkan nama Anda sendiri - sehingga dapat dikatakan, angka transfinite. Cantor dilambangkan kekuatan deret alami dengan huruf aleph dari alfabet Ibrani dengan indeks nol: o , dan untuk kekuatan kontinum itu adalah segmen kontinu dari garis lurus atau seluruh garis lurus - dia menggunakan huruf yang sama , tetapi dengan indeks satuan: l , dengan demikian menunjukkan bahwa tidak ada bilangan transfinit lain antara o dan l.

Fakta bahwa kontinum dapat dianggap sebagai kumpulan titik diketahui sesaat sebelum Cantor, tetapi ia mampu membuktikannya lagi dengan mampu "menomori ulang" semua titik dari garis lurus - lebih tepatnya, segmen unit. Hanya dalam peran "angka" dalam hal ini bukan bilangan asli, tetapi urutan angka yang tak terbatas. Bahkan hanya nol dan satu saja sudah cukup (dengan asumsi bahwa setiap “angka” ditulis dalam sistem biner): himpunan pecahan dalam bentuk 0.100010100111… sepenuhnya mewujudkan himpunan semua bilangan rasional bersama dengan bilangan irasional dari 0 hingga 1. Namun, dari teori Cantor, ia mengikuti sesuatu yang lebih: "alefs"-nya diizinkan untuk memberi nomor pada titik-titik yang garis lurusnya terlalu pendek (karenanya disebut transfinite - yaitu, terletak "di luar tak terhingga").

Ide-ide Kantor sangat merugikannya. Banyak rekan-rekannya menemukan dalam teori "alefs" tidak hanya banyak paradoks matematika dan absurditas - itu akan menjadi setengah masalah. Dalam nalar Kantor, terlihat religiositas yang mendalam dan keinginan untuk memahami "Yang Mutlak". Saat ia mengembangkan teorinya, hubungannya dengan pihak berwenang di universitas di kota Halle menjadi semakin rusak, dan bahkan para matematikawan yang pada awalnya bereaksi dengan antusias untuk itu meninggalkannya. Pusat pemikiran matematika pada akhir abad ke-19 adalah Prancis, tetapi dua matematikawan Prancis terkemuka Charles Hermite (Charles Hermite, 1822-1901) dan Paul Emile Appel (, 1855-1930) bahkan menentang penerjemahan karya Cantor ke dalam bahasa Prancis. Dapat diharapkan bahwa ide-ide baru akan didukung oleh patriark matematika Prancis, seorang pria yang dalam banyak hal mengantisipasi perkembangannya di masa depan di abad ke-20, Henri Poincaré (, 1854-1912) ... Tapi tidak - dan dia juga menolak untuk berbicara tentang "ketakterhinggaan yang sebenarnya".

Pada akhir abad ini, Cantor sendiri semakin diserang oleh depresi. Secara bertahap menjadi jelas bahwa kita berbicara tentang penyakit serius - psikosis manik-depresif. Emile Borel (Émile Borel, 1871-1956), salah satu pemuda pengagum teori himpunan, lambat laun mulai merasakan penolakan terhadapnya, yang hanya diperparah oleh rumor tentang penyakit matematikawan lain. Bertahun-tahun setelah itu, dia menulis kepada temannya Paul Valéry (Paul Valéry, 1871-1945) bahwa dia harus berhenti belajar teori himpunan "karena terlalu banyak pekerjaan, yang menimpanya dan membuatnya takut akan penyakit serius, jika bahwa dia melanjutkan pekerjaannya.

Pertanyaan ditutup oleh ahli matematika terkemuka lainnya - Jacques Hadamard (, 1865-1963), yang menyimpulkan bahwa seluruh plot melampaui "batas matematika" dan mulai menghubungkan "dengan psikologi, dengan sifat-sifat pikiran kita." Keputusan ini tampak jenaka bagi banyak orang, tetapi, menurut Lauren Graham dan Jean-Michel Kantor, itu menyebabkan berangkatnya matematika Prancis dari garis depan. Setelah melihat konten matematika yang serius dalam membandingkan ukuran himpunan tak hingga dan mengurutkan himpunan bagian tak hingga mereka, matematikawan Rusia mampu membangun sekolah yang untuk waktu yang lama tetap yang pertama dan bahkan sekarang belum sepenuhnya kehilangan signifikansinya.

nomor dewa

Pencipta teori himpunan menghabiskan sebelas tahun pertama hidupnya di St. Petersburg. Namun, iklim kota ini terbukti terlalu berbahaya bagi ayahnya, dan pada tahun 1856 seluruh keluarga pindah ke iklim yang lebih menguntungkan di Frankfurt am Main. Kajian ilmu-ilmu alam dan teknik dilakukan oleh Kantor muda di berbagai kota di Eropa - dari Darmstadt hingga Zurich - dan disertai dengan perjuangan yang cukup diharapkan dengan orang tua yang lebih senang melihat seorang insinyur pada anak mereka, daripada seorang matematikawan dengan kecenderungan filosofis yang jelas. Namun, George secara bertahap mengatasi perlawanan mereka dan, seperti yang telah disebutkan, menemukan dirinya di Universitas Halle.

Dia mendefinisikan pandangan filosofisnya dengan formula "realisme Aristotelian moderat", tetapi mereka dengan jelas membedakan Platonisme dari persuasi Pythagoras. Ketakterhinggaan yang sebenarnya, yang dinyatakan dengan bilangan transfinit, baginya menempati posisi antara antara yang terbatas dan yang tak terbatas secara mutlak - yaitu, yang ilahi. Menyadari bahwa perumusan pertanyaan seperti itu mungkin lebih dekat dengan para filsuf daripada ahli matematika, dia membahas karya utamanya "Pengalaman Matematika-Filsafat dalam Doktrin Yang Tak Terbatas" daripada kepada para filsuf daripada matematikawan:

[Maksud saya] dua jenis pembaca - di satu sisi, filsuf yang mengikuti perkembangan matematika hingga zaman modern, dan di sisi lain, matematikawan yang akrab dengan fakta terpenting dari filsafat kuno dan modern..

Dan dia menemukan pembaca seperti itu - di tanah kelahirannya. Tidak mengherankan bahwa mereka, pertama-tama, juga Platonis Pythagoras dan mistikus Kristen. Mungkin yang paling terkenal di antara mereka sekarang - (1882-1937) - dipahami dalam arti apa kita dapat berbicara tentang bilangan yang lebih besar daripada bilangan asli mana pun:

Dalam pengertian yang sama, kita dapat mengatakan bahwa kekuatan Tuhan adalah aktual-tak terbatas, karena, menjadi pasti (karena tidak ada perubahan dalam Tuhan), pada saat yang sama lebih besar daripada kekuatan terbatas mana pun..

Metafora ini sama sekali bukan metafora di mata Florensky sendiri, yang baginya bahkan tidak ada batas khusus antara teologi dan matematika. Dan selain itu, arah agama dan filosofis yang dikembangkan Florensky pada awal abad ke-20 mendalilkan bahwa "nama Tuhan adalah Tuhan itu sendiri." Tapi nama itu sendiri adalah jumlah nama yang tak terbatas, termasuk angka.

Selamat tinggal, Lusitania!

Pada tahun 1900, Florensky memasuki Fakultas Fisika dan Matematika di Universitas Negeri Moskow, tetapi meninggalkan matematika empat tahun kemudian untuk karir gerejawi dan teologis. Namun, sudah di masa Soviet, ia juga berhenti belajar filsafat dan teologi, sepenuhnya membenamkan dirinya dalam masalah teknik praktis yang eksklusif. Dia melakukan banyak teknik elektro, mengambil bagian dalam pengembangan rencana GOELRO, mempelajari sifat-sifat lapisan es. Semua ini tidak menyelamatkannya dari represi pemerintah baru, dan setelah beberapa penangkapan pada tahun 1937 ia ditembak.

Meninggalkan matematika tidak berarti Florensky meninggalkan komunitas matematika. Di antara orang-orang terdekatnya adalah Nikolai Nikolaevich Luzin (1883-1950) dan Dmitry Fedorovich Egorov (1869-1931). Tidaklah cukup untuk mengatakan bahwa keduanya adalah ahli matematika yang hebat: pada tahun 1923, Egorov terpilih sebagai presiden dan diangkat sebagai direktur Institut Matematika dan Mekanika Universitas Negeri Moskow Pertama, di dalam dirinyalah sejarawan modern melihat tokoh kunci dalam penciptaan dan pengembangan teori fungsi. Di antara keberhasilan Luzin yang luar biasa tidak hanya hasil matematika yang sebenarnya, tetapi juga energi pedagogis yang unik: hampir semua ahli matematika utama Rusia pernah menjadi muridnya atau murid muridnya. , yang sudah berkembang di tahun 20-an, disebut "Lusitania". Merekalah yang, pada tahun 1930-an, harus membuat penemuan yang membuka jalan ke topik populer seperti fraktal dan kekacauan.

Sangat sering nasib sains ditentukan pada tingkat yang lebih rendah oleh keberhasilan dalam memecahkan masalah, dan pada tingkat yang lebih besar oleh pilihan mereka yang benar. Siapa yang tahu argumen apa yang dibawa oleh seorang ahli matematika untuk dirinya sendiri, meyakinkan dirinya sendiri untuk mengambil solusi dari salah satu dari mereka, dan tidak mengambil solusi dari yang lain. Dalam kasus Egorov dan Luzin, menurut Lauren Graham dan Jean-Michel Kantor, pandangan religius mereka dan kemampuan untuk melihat perspektif matematis yang jauh di balik permainan penamaan adalah hal yang sangat penting. Ide-ide filosofis Cantor, yang mempersulit adopsi matematikanya di negara-negara Eropa Barat dan, di atas segalanya, di Prancis yang rasionalistik, memainkan peran yang berlawanan di Rusia, di mana tradisi filosofis yang berlawanan, mistis, ada.

Tentu saja, pernyataan ini cukup sulit untuk dibuktikan, dan harus diperlakukan sebagai hal yang indah dan dengan caranya sendiri yang produktif, tetapi masih merupakan hipotesis. Ini telah dikritik - mungkin cukup adil - oleh ahli matematika dan filsuf kita. Tetapi bahkan sebagai hipotesis, gambaran yang diajukan oleh para peneliti Barat sangat menarik: "zaman perak" puisi Rusia dan seni secara umum diikuti oleh "kebangkitan" filsafat, digantikan oleh "zaman keemasan" matematika. Kemudian, tentu saja, semuanya berlalu, semua keindahan, jika tidak mati, setidaknya lumpuh: pada tanggal 31, Yegorov ditembak, segera setelah itu sebuah kasus dibuka melawan Luzin, hanya dengan keajaiban dia lolos dari penjara bawah tanah, tetapi arena represi tidak menyayangkan murid-muridnya ... Namun, ingatan akan keindahan tetap berada di masa lalu, dan perenungannya menimbulkan kepercayaan diri - itu bukan kebetulan.

berita mitra

Ada juga kelompok angka yang lebih panjang, yang, berada di akhir angka, juga dipertahankan dalam produk mereka. Jumlah kelompok angka tersebut, seperti yang akan kita tunjukkan, sangat besar.

Kami tahu grup dua digit digit yang memiliki properti ini: ini adalah 25 dan 76. Untuk menemukan grup tiga digit, Anda perlu mengawali angka 25 atau 76 dengan digit seperti itu di depan sehingga tiga digit yang dihasilkan kelompok digit juga memiliki properti yang diperlukan.

Nomor berapa yang harus diberikan pada nomor 76? Mari kita tunjukkan dengan k. Kemudian nomor tiga digit yang diinginkan akan ditampilkan:

100k + 76.

Ekspresi umum untuk angka yang diakhiri dengan kelompok angka ini adalah:

1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76 dll.

Kalikan dua angka semacam ini; kita mendapatkan:

1000000ab + 100000ak + 100000bk + 76000a + 76000b + 10000k 2 + 15200k + 5776.

Semua istilah, kecuali dua yang terakhir, memiliki setidaknya tiga nol di akhir. Oleh karena itu, hasil kali berakhir dengan 1006+76 jika selisihnya

15200rb + 5776 - (100rb + 76) = 15100rb + 5700 = 15000rb + 5000 + 100 (k + 7)

habis dibagi 1000. Ini jelas hanya untuk k = 3.

Jadi, kelompok angka yang diinginkan memiliki bentuk 376. Oleh karena itu, setiap pangkat dari angka 376 berakhir dengan 376. Misalnya:

376 2 = 141376.

Jika sekarang kita ingin menemukan kelompok angka empat digit dengan sifat yang sama, kita harus menambahkan satu digit lagi ke depan 376. Jika kita menyatakan angka ini dengan l, maka kita sampai pada masalah: untuk mana l produk

(10000a + 1000l + 376) (10000b + 1000l + 376)

berakhir di 1000l + 376? Jika kita membuka tanda kurung dalam pekerjaan ini dan membuang semua suku yang berakhiran 4 nol atau lebih, maka suku-sukunya tetap

752000l + 141376.

Produk berakhir dengan 1000l + 376 jika selisihnya

752000l + 141376 - (1000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1000(l + 1)

habis dibagi 10.000. Ini jelas hanya untuk l = 9.

Kelompok angka empat digit yang diinginkan adalah 9376.

Kelompok digit empat digit yang dihasilkan dapat dilengkapi dengan satu digit lagi, yang untuknya Anda perlu bernalar dengan cara yang persis sama seperti di atas. Kami mendapatkan 09376. Mengambil satu langkah lagi, kami menemukan grup angka 109376, lalu 7109376, dan seterusnya.

Penetapan angka di sebelah kiri ini dapat dilakukan dalam jumlah yang tidak terbatas. Akibatnya, kami mendapatkan "angka" yang memiliki jumlah digit tak terbatas:

7109376.

"Angka" seperti itu dapat dijumlahkan dan dikalikan sesuai dengan aturan yang biasa: bagaimanapun, mereka ditulis dari kanan ke kiri, dan penjumlahan dan perkalian ("kolom") juga dilakukan dari kanan ke kiri, sehingga dalam jumlah dan produk dari dua angka tersebut Anda dapat menghitung satu digit demi satu - sebanyak yang Anda suka angka.

Menariknya, "angka" tak terbatas yang tertulis di atas memenuhi, meskipun kelihatannya tidak mungkin, persamaan

X 2 \u003d x.

Faktanya, kuadrat dari "angka" ini (yaitu, produknya dengan sendirinya) berakhir pada 76, karena masing-masing faktor memiliki 76 pada akhirnya; untuk alasan yang sama kuadrat dari "angka" yang tertulis berakhir dengan 376; berakhiran 9376, dst. Dengan kata lain, dengan menghitung satu per satu angka "angka" x 2, di mana x = ... 7109376, kita akan mendapatkan angka yang sama dengan angka x, jadi x 2 = x.

Kami telah mempertimbangkan kelompok digit yang diakhiri dengan 76 * . Jika penalaran serupa dilakukan untuk kelompok angka yang diakhiri dengan 5, maka kita mendapatkan kelompok angka berikut:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625 dll.

* (Perhatikan bahwa kelompok dua digit angka 76 dapat ditemukan menggunakan argumen yang serupa dengan yang diberikan di atas: cukuplah untuk memutuskan digit mana yang harus ditetapkan sebelumnya ke angka 6 agar kelompok angka dua digit yang dihasilkan memiliki properti yang sedang dipertimbangkan. Oleh karena itu, "angka" ... 7109376 dapat diperoleh dengan memasukkan angka ke enam di depan, satu demi satu.)

Akibatnya, kita dapat menulis "angka" tak terbatas lainnya

2890625,

juga memenuhi persamaan x 2 = x. Dapat ditunjukkan bahwa "angka" tak terhingga ini "sama dengan"

5 2 2 2...

Hasil menarik yang diperoleh dalam bahasa "angka" tak terbatas dirumuskan sebagai berikut: persamaan x 2 \u003d x memiliki (kecuali untuk x \u003d 0 dan x \u003d 1) yang biasa, dua solusi "tak terbatas":

X = ...7109376 dan x = ...2890625,

dan solusi lain (dalam notasi desimal) tidak memiliki * .

* ("Angka" tak terbatas dapat dianggap tidak hanya dalam desimal, tetapi juga dalam sistem bilangan lainnya. Bilangan-bilangan seperti itu yang dipertimbangkan dalam sistem bilangan p dasar disebut bilangan p-adik. Sesuatu tentang angka-angka ini dapat dibaca dalam buku oleh E. B. Dynkin dan V. A. Uspensky "Percakapan Matematika" (Gostekhizdat, 1952).)

Dua hal yang benar-benar tidak ada habisnya:
Alam semesta dan kebodohan manusia.
Namun, tentang alam semesta yang saya miliki
ada beberapa keraguan.
Albert Einstein

Kami baru-baru ini mengangkat masalah ini, tetapi sangat penting bahwa ada baiknya memikirkannya secara lebih rinci.

Jika kata-kata yang sama kadang-kadang diucapkan tentang satu objek dengan objek lainnya, ini tidak berarti bahwa objek-objek tersebut memiliki sifat yang sama.

Ada kalimat yang panjang dan tidak bisa dipahami, jadi saya akan menjelaskan dengan sebuah contoh:
Anda dapat mengatakan "panggil telepon", atau Anda dapat mengatakan "bunyikan bel" - tindakan yang sangat berbeda, tetapi satu kata kerja. Dari sini tidak dapat disimpulkan bahwa semua tindakan lain dengan telepon (menerima SMS, memori untuk 200 nomor, dan sebagainya) adalah karakteristik bel. Ini sangat jelas sehingga paragraf ini terlihat tidak masuk akal.

Tapi mengapa begitu banyak orang begitu mudah mengoperasikan kata tak terhingga, seolah-olah itu angka? Ya, Anda dapat menerapkan beberapa tindakan hingga tak terhingga yang berhasil dengan angka ( membuat reservasi yang diperlukan):
2 + ∞ = ∞,
∞ - 5 = ∞,
2 * ∞ = ∞,
∞ / 5 = ∞,
+ = (selain itu, deret bilangan real sering diperpanjang oleh pasangan elemen lain +∞ dan -∞ tegaskan bagaimana menghadapinya).

Ini berarti bahwa tidak semuanya dapat dilakukan dengan "ketakterhinggaan" seperti itu. Misalnya, - = ? (di sini kita memiliki ketidakpastian, karena kita tidak dapat memberikan jawaban tanpa mengetahui sifat dari kedua "ketakterhinggaan" ini). Bagaimanapun, adalah naif untuk langsung mengatakan bahwa perbedaannya akan menjadi nol.

Dan jika percakapan dimulai tentang fakta bahwa beberapa nilai cenderung nol atau tak terhingga, maka seringkali masalahnya tidak mencapai penalaran yang benar. Omong-omong, enam bulan yang lalu kami membahas penggunaan konsep tak terhingga sehari-hari. Kami kemudian berhasil "membuktikan" bahwa jumlah kaki segitiga selalu sama dengan sisi miring. Ini bukan contoh yang sangat sederhana tetapi berguna. Ada jauh lebih banyak konstruksi kuno dan terkenal yang terlihat sangat sederhana sehingga sama sekali tidak jelas bagaimana masalah mungkin terjadi dengannya.

Mari kita ingat aporia klasik Zeno:
Jika diketahui Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura, dan berada pada jarak 1 kilometer darinya, maka dalam waktu yang Achilles habiskan di kilometer ini, kura-kura akan merangkak 100 meter. Dengan demikian, ketika Achilles berlari 100 meter lagi, kura-kura merangkak 10 meter, dan seterusnya. Proses ini akan berlanjut tanpa batas waktu, dan Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura, meskipun ia bergerak lebih cepat.

Kemampuan untuk mengatakan hal-hal yang dapat dipahami tentang masalah seperti itu diperlukan untuk entah bagaimana memahami alasan tentang aspirasi, batas, tak terhingga, dan konsep lain yang jelas secara intuitif, tetapi agak kompleks. Tanpa ini, percakapan biasanya berubah menjadi "siapa yang memiliki suara lebih keras," meskipun inti dari ilmu matematika sama sekali bukan untuk tidak dibujuk dengan cara apa pun. Sayangnya, dalam beberapa dekade terakhir, semakin sedikit orang yang membedakan yang benar dari yang ilmiah, sehingga sering dianggap lebih penting untuk berteriak untuk meyakinkan daripada mendekati kebenaran.

Jadi, bagaimana Anda bisa mengatasi masalah Achilles dan kura-kura? Tolong jangan tulis bahwa begitu Achilles berlari pada kilometer kedua, kura-kura akan tertinggal jauh di belakang. Ini jelas bagi semua orang, tetapi tidak membantu sama sekali. Di sini Anda perlu merasakan masalah dalam solusi asli, dan tidak muncul dengan pandangan Anda sendiri pada kondisi yang sama.

Semoga harimu menyenangkan!