Dua segitiga dikatakan kongruen jika keduanya dapat bertumpuk. Gambar 1 menunjukkan segitiga sama kaki ABC dan A 1 B 1 C 1. Masing-masing segitiga ini dapat ditumpangkan pada yang lain sehingga mereka sepenuhnya kompatibel, yaitu, simpul dan sisinya dipasangkan bersama. Jelas bahwa dalam hal ini sudut-sudut segitiga ini akan digabungkan berpasangan.

Jadi, jika dua segitiga sama besar, maka elemen-elemen (yaitu, sisi dan sudut) dari satu segitiga masing-masing sama dengan elemen-elemen dari segitiga lainnya. Perhatikan bahwa dalam segitiga yang sama terhadap masing-masing sisi yang sama(yaitu tumpang tindih saat ditumpangkan) terletak sudut yang sama dan kembali: berhadapan dengan sudut yang sama terletak sisi yang sama.

Jadi, misalnya, dalam segitiga yang sama ABC dan A 1 B 1 C 1, ditunjukkan pada Gambar 1, sudut yang sama C dan C 1 terletak pada masing-masing sisi yang sama AB dan A 1 B 1. Persamaan segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 dinotasikan sebagai berikut: ABC = A 1 B 1 C 1. Ternyata persamaan dua segitiga dapat ditentukan dengan membandingkan beberapa elemennya.

Teorema 1. Tanda pertama persamaan segitiga. Jika dua sisi dan sudut di antara mereka dari satu segitiga masing-masing sama dengan dua sisi dan sudut di antara mereka dari segitiga lain, maka segitiga tersebut sama (Gbr. 2).

Bukti. Pertimbangkan segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1, di mana AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 A \u003d A 1 (lihat Gambar 2). Buktikan bahwa ABC = A 1 B 1 C 1 .

Karena A \u003d A 1, maka segitiga ABC dapat ditumpangkan pada segitiga A 1 B 1 C 1 sehingga titik A sejajar dengan titik A 1, dan masing-masing sisi AB dan AC ditumpangkan pada sinar A 1 B 1 dan A 1 C satu . Karena AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, maka sisi AB akan digabungkan dengan sisi A 1 B 1 dan sisi AC - dengan sisi A 1 C 1; khususnya, titik B dan B 1 , C dan C 1 akan bertepatan. Oleh karena itu, sisi BC dan B 1 C 1 akan sejajar. Jadi, segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 sepenuhnya kompatibel, yang berarti mereka sama.

Teorema 2 dibuktikan dengan cara yang sama dengan metode superposisi.

Teorema 2. Tanda kedua persamaan segitiga. Jika sisi dan dua sudut yang berdampingan dengannya dari satu segitiga masing-masing sama dengan sisi dan dua sudut yang berdekatan dengannya dari segitiga lain, maka segitiga tersebut sama besar (Gbr. 34).

Komentar. Berdasarkan Teorema 2, Teorema 3 ditetapkan.

Teorema 3. Jumlah dari dua sudut dalam suatu segitiga kurang dari 180°.

Teorema 4 mengikuti dari teorema terakhir.

Teorema 4. Sudut luar segitiga lebih besar dari sudut dalam yang tidak berdekatan dengannya.

Teorema 5. Tanda ketiga persamaan segitiga. Jika tiga sisi dari satu segitiga masing-masing sama dengan tiga sisi dari segitiga yang lain, maka segitiga tersebut adalah sama ().

Contoh 1 Dalam segitiga ABC dan DEF (Gbr. 4)

A = E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Bandingkan segitiga ABC dan DEF. Berapa sudut dalam segitiga DEF yang sama dengan sudut B?

Keputusan. Segitiga ini sama dengan tanda pertama. Sudut F segitiga DEF sama dengan sudut B segitiga ABC, karena sudut-sudut ini berhadapan dengan sisi yang sama DE dan AC.

Contoh 2 Segmen AB dan CD (Gbr. 5) berpotongan di titik O, yang merupakan titik tengah masing-masing. Berapa besar segmen BD jika segmen AC adalah 6 m?

Keputusan. Segitiga AOC dan BOD adalah sama (dengan kriteria pertama): AOC = BOD (vertikal), AO = OB, CO = OD (dengan syarat).
Dari persamaan segitiga tersebut mengikuti persamaan sisi-sisinya, yaitu AC = BD. Tetapi karena menurut syarat AC = 6 m, maka BD = 6 m.

Bukti: Kami membebankan ABC pada A 1 B 1 C 1 sehingga titik A 1 bertepatan dengan A. Karena AC \u003d A 1 C 1, maka, menurut aksioma penundaan segmen, titik C 1 akan bertepatan dengan C. Karena A \u003d A 1 , kemudian, menurut aksioma sudut peletakan, balok A 1 B 1 akan bertepatan dengan balok AB. Karena AB \u003d A 1 B 1, maka, menurut aksioma penundaan segmen, titik B 1 akan bertepatan dengan titik B. Segitiga A 1 B 1 C 1 dan ABC bertepatan, yang berarti ABC \u003d A 1 B 1 C 1 Ch.T.D.

Bukti: Kami membebankan ABC pada A 1 B 1 C 1 sehingga titik A 1 bertepatan dengan A. Karena AC \u003d A 1 C 1, maka, menurut aksioma penundaan segmen, titik C 1 akan bertepatan dengan C. Karena A \u003d A 1 , kemudian, menurut aksioma sudut peletakan, balok A 1 B 1 akan bertepatan dengan balok AB. Karena C \u003d C 1, maka, menurut aksioma sudut kemiringan, sinar C 1 IN 1 akan bertepatan dengan sinar CB. Titik B 1 akan berimpit dengan titik B. Segitiga A 1 B 1 C 1 dan ABC berimpit yang artinya ABC \u003d A 1 B 1 C 1 FTD

Mediana Ruas garis bagi sudut segitiga yang menghubungkan titik sudut segitiga dengan sebuah titik pada sisi yang berhadapan disebut garis bagi segitiga. medianabisector 1 HEIGHT Garis tegak lurus yang ditarik dari titik sudut segitiga ke garis yang memuat sisi yang berlawanan disebut ketinggian segitiga. Ruas garis yang menghubungkan titik sudut suatu segitiga dengan titik tengah sisi yang berhadapan disebut median segitiga. tinggi

A B C K M O T Tinggi segitiga siku-siku berpotongan di titik C. Tinggi segitiga siku-siku berpotongan di titik O yang terletak di bagian dalam segitiga. O A B C Titik perpotongan ketinggian disebut orthocenter.

Ruas bagi sudut segitiga yang menghubungkan titik sudut segitiga dengan titik di sisi yang berlawanan disebut garis bagi segitiga. Titik ini juga luar biasa - titik persimpangan garis-bagi adalah pusat lingkaran bertulisan. O b i s s e c t r i c a

1 Garis tegak lurus yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga ke garis yang memuat sisi yang berhadapan disebut tinggi segitiga. TINGGI Sebuah tinggi dalam segitiga siku-siku, ditarik dari titik sudut lancip, berimpit dengan kaki. Tinggi dalam segitiga tumpul, ditarik dari titik sudut lancip, lewat di daerah luar segitiga. TINGGI 11

Kesimpulan 1. Dalam segitiga sama kaki, tinggi yang ditarik ke alasnya adalah median dan garis bagi. 2. Dalam segitiga sama kaki, median yang ditarik ke alasnya adalah tinggi dan garis bagi. 3. Dalam segitiga sama kaki, garis bagi yang ditarik ke alasnya adalah median dan tinggi.

Manakah dari pernyataan ini yang benar? Tuliskan nomor mereka.
1) Jika dua sisi dari satu segitiga masing-masing sama dengan dua sisi dari segitiga yang lain, maka segitiga tersebut kongruen.
2) Jika diagonal-diagonal pada suatu segiempat tegak lurus, maka segiempat tersebut merupakan belah ketupat.
3) Luas lingkaran lebih kecil dari kuadrat panjang diameternya.

Solusi dari masalah:

Mari kita pertimbangkan setiap pernyataan.
1) "Jika dua sisi dari satu segitiga masing-masing sama dengan dua sisi dari segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen", ini pernyataan salah, karena tidak sesuai dengan salah satu kriteria persamaan segitiga.
2) “Jika diagonal-diagonal pada suatu segiempat tegak lurus, maka segi empat tersebut adalah belah ketupat”, ini pernyataan salah, karena tidak sepenuhnya sesuai dengan properti belah ketupat. Misalnya, segi empat yang ditunjukkan pada gambar, diagonal-diagonalnya tegak lurus, tetapi jelas bahwa ini bukan belah ketupat.
3) "Luas lingkaran kurang dari kuadrat panjang diameternya." Luas lingkaran adalah R 2 , atau D 2 /4. Jumlah (Pi) adalah sekitar 3,14. Kemudian lingkaran S \u003d 0,785D 2. Dan ini, tentu saja, kurang dari D 2 . Pernyataan tersebut benar

Bergabunglah dengan kami...

Anda dapat berterima kasih kepada penulis, menulis klaim atau saran Anda di halaman

Tugas lain di bagian ini

Tugas #03A3EF

Luas segitiga siku-siku adalah 722 3 . Salah satu sudut lancip adalah 30°. Temukan panjang kaki yang berhadapan dengan sudut ini.

Soal #9FCAB9

Pada segitiga ABC, garis-bagi BE dan median AD tegak lurus dan sama panjang sama dengan 96. Hitunglah sisi-sisi segitiga ABC.

Tanda persamaan segitiga

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang sisi-sisi yang bersesuaian sama besar.

Teorema (kriteria pertama untuk persamaan segitiga).
Jika dua sisi dan sudut di antara mereka dari satu segitiga masing-masing sama dengan dua sisi dan sudut di antara mereka dari segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen.

Teorema (kriteria kedua untuk persamaan segitiga).
Jika sisi dan dua sudut yang berdekatan dari satu segitiga masing-masing sama dengan sisi dan dua sudut yang berdekatan dari segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen.

Teorema (kriteria ketiga untuk persamaan segitiga).
Jika tiga sisi dari satu segitiga masing-masing sama dengan tiga sisi dari segitiga yang lain, maka segitiga tersebut kongruen.

Tanda-tanda kesamaan segitiga

Segitiga disebut sebangun jika sudut-sudutnya sama besar dan sisi-sisinya sebanding: , dimana adalah koefisien kesamaan.

I tanda kesamaan segitiga. Jika dua sudut dari satu segitiga masing-masing sama dengan dua sudut yang lain, maka segitiga-segitiga ini sebangun.

II tanda kesamaan segitiga. Jika tiga sisi dari suatu segitiga sebanding dengan tiga sisi dari segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun.

III tanda kesamaan segitiga. Jika dua sisi dari suatu segitiga sebanding dengan dua sisi dari segitiga yang lain, dan sudut-sudut yang terdapat di antara sisi-sisi tersebut sama besar, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun.

Teorema 1.1. Jika sebuah garis yang tidak melalui salah satu titik sudut segitiga memotong salah satu sisinya, maka garis tersebut hanya memotong salah satu dari dua sisi lainnya.

Teorema 2.1. Jumlah sudut yang berdekatan adalah 180 tentang .
Konsekuensi:
Jika dua sudut sama besar, maka sudut yang berdekatan sama besar.
Jika sudut tidak dikembangkan, maka ukuran derajatnya kurang dari 180 tentang .
Sudut yang berdekatan dengan sudut siku-siku adalah sudut siku-siku.

Teorema 2.2. Sudut vertikal sama besar.

Teorema 2.3. Melalui setiap titik garis, seseorang dapat menggambar garis yang tegak lurus terhadapnya, dan hanya satu.

Teorema 3.1 (Kriteria pertama persamaan segitiga). Jika dua sisi dan sudut di antara mereka dari satu segitiga sama, masing-masing, ke dua sisi dan sudut di antara mereka dari segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen.

Teorema 3.2 (Kriteria kedua untuk persamaan segitiga). Jika sebuah sisi dan sudut-sudut yang berdampingan dengannya dari suatu segitiga masing-masing sama besar dengan sisi dan sudut-sudut yang berdekatan dengannya dari segitiga lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Teorema 3.3 (Sifat sudut-sudut segitiga sama kaki). Pada segitiga sama kaki, sudut-sudut di alasnya sama besar.

Teorema 3.4 (Tanda segitiga sama kaki). Jika dua sudut sama dalam sebuah segitiga, maka itu adalah sama kaki.

Teorema 3.5 (Sifat median segitiga sama kaki). Dalam segitiga sama kaki, median yang ditarik ke alas adalah garis bagi dan tinggi.

Teorema 3.6 (Kriteria ketiga untuk persamaan segitiga). Jika tiga sisi dari satu segitiga masing-masing sama dengan tiga sisi dari segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen.

Teorema 4.1. Dua garis yang sejajar dengan sepertiga adalah sejajar.

Teorema 4.2 (Kriteria garis sejajar). Jika sudut-sudut dalam berseberangan sama besar atau jumlah sudut sepihak dalam adalah 180 tentang , maka garisnya sejajar.

Teorema 4.3 (Konversi Teorema 4.2). Jika dua garis sejajar berpotongan dengan garis ketiga, maka sudut-sudut dalam berseberangan adalah sama besar, dan jumlah sudut satu sisi dalam adalah 180 tentang .

Teorema 4.4. Jumlah sudut segitiga adalah 180 tentang .
Konsekuensi: Setiap segitiga memiliki setidaknya dua sudut lancip.

Teorema 4.5. Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan.
Konsekuensi: Sudut luar suatu segitiga lebih besar daripada sudut dalam yang tidak berdekatan dengannya.

Teorema 4.6. Dari titik mana pun yang tidak terletak pada garis tertentu, seseorang dapat menjatuhkan garis tegak lurus terhadap garis ini, dan hanya satu.

Teorema 5.1. Pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga adalah titik perpotongan garis tegak lurus dengan sisi-sisi segitiga, yang ditarik melalui titik tengah sisi-sisi ini.

Teorema 5.2. Pusat lingkaran yang tertulis dalam segitiga adalah titik potong garis-baginya.

Teorema 5.3. Tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua titik tertentu adalah garis yang tegak lurus terhadap ruas garis yang menghubungkan titik-titik tersebut dan melalui titik tengahnya.

Teorema 6.1. Jika diagonal-diagonal suatu segiempat berpotongan dan titik potongnya dibagi dua, maka segi empat tersebut adalah jajar genjang.

Teorema 6.2 (Konversi Teorema 6.1). Diagonal jajar genjang berpotongan dan titik potongnya dibagi dua.

Teorema 6.3. Jajar genjang memiliki sisi-sisi yang berhadapan sama besar dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

Teorema 6.4. Diagonal persegi panjang adalah sama.

Teorema 6.5. Diagonal belah ketupat berpotongan tegak lurus. Diagonal belah ketupat adalah garis bagi sudut-sudutnya.

Teorema 6.6 (Teorema Thales). Jika garis-garis sejajar yang memotong sisi-sisi suatu sudut memotong segmen yang sama di salah satu sisinya, maka mereka memotong segmen yang sama di sisi lainnya.

Teorema 6.7. Garis tengah segitiga yang menghubungkan titik tengah kedua sisi yang diberikan sejajar dengan sisi ketiga dan sama dengan setengahnya.

Teorema 6.8. Garis tengah trapesium sejajar dengan alas dan sama dengan setengah jumlah mereka.

Teorema 6.9. Garis-garis sejajar yang memotong sisi-sisi sudut memotong segmen-segmen proporsional dari sisi-sisi sudut.

Teorema 7.1. Kosinus suatu sudut hanya bergantung pada besar sudut dan tidak bergantung pada letak dan ukuran segitiga.

Teorema 7.2 (Teorema Pythagoras). Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.
Konsekuensi:
-Dalam segitiga siku-siku, salah satu kaki lebih kecil dari sisi miring.
- cosA
-Jika sebuah garis tegak lurus dan miring ditarik ke garis lurus dari satu titik, maka setiap miring lebih besar dari tegak lurus, miring yang sama memiliki proyeksi yang sama, dari dua miring, satu dengan proyeksi terbesar lebih besar.

Teorema 7.3 (Persamaan Segitiga). Apapun ketiga titik tersebut, jarak antara dua titik ini tidak lebih besar dari jumlah jaraknya ke titik ketiga.
Konsekuensi: Dalam setiap segitiga, setiap sisi kurang dari jumlah dua lainnya.

Teorema 7.4. Untuk sembarang sudut lancip A.
dosa (90 Hai -A) = cosA, cos(90 Hai -A) = sinA.

Teorema 7.5. Saat sudut lancip meningkatsinAdantgAmeningkat, dancosAmenurun.

Teorema 9.1. Titik-titik yang terletak pada garis lurus, ketika bergerak, melewati titik-titik yang terletak pada garis lurus, dan urutan pengaturan timbal baliknya dipertahankan.
Konsekuensi: Saat bergerak, garis lurus berubah menjadi garis lurus, setengah garis menjadi setengah garis, segmen menjadi segmen.

Teorema 9.2. Transformasi simetri terhadap suatu titik adalah suatu gerakan.

Teorema 9.3. Transformasi simetri pada suatu garis adalah suatu gerakan.

Teorema 9.4. Apapun dua poinnyaTETAPI danTETAPI ', ada satu dan hanya satu terjemahan paralel di mana intinyaTETAPI langsung ke intinyaTETAPI ’.

Teorema 10.1. Apapun poinnyaTETAPI , PADA , Dengan , persamaan vektor

Teorema 10.2. Nilai mutlak dari vektor adalah sama dengan . arah vektor pada bertepatan dengan arah vektor , jikaaku > 0, dan berlawanan dengan arah vektor , jikaaku

Teorema 10.3. Produk skalar vektor sama dengan produk nilai absolutnya dan kosinus sudut di antara mereka.
Konsekuensi:
Jika vektor-vektor tersebut tegak lurus, maka hasil kali titiknya adalah 0.
Jika hasil kali titik dari vektor bukan 0 adalah 0, maka vektor-vektor tersebut tegak lurus.

Teorema 11.1. Homothety adalah transformasi kesamaan.

Teorema 11.2 (Uji keserupaan segitiga pada dua sudut). Jika dua sudut dari satu segitiga sama dengan dua sudut dari segitiga lain, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun.

Teorema 11.3 (Uji keserupaan segitiga pada dua sisi dan sudut di antara mereka). Jika dua sisi dari suatu segitiga sebanding dengan dua sisi dari segitiga yang lain dan sudut-sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi tersebut sama besar, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun.

Teorema 11.4 (Kriteria kesamaan segitiga pada tiga sisi). Jika sisi-sisi suatu segitiga sebanding dengan sisi-sisi segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga itu sebangun.

Teorema 11.5. Sebuah sudut dalam lingkaran adalah setengah dari sudut pusat yang sesuai.
Konsekuensi:
-Sudut siku-siku yang sisi-sisinya melalui titik A dan B lingkaran, dan titik-titik sudutnya terletak pada sisi yang sama dari garis AB, adalah sama besar.
-Sudut bertulisan berdasarkan diameter adalah lurus.

Teorema 12.1 (Teorema kosinus). Kuadrat setiap sisi segitiga sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya tanpa menggandakan produk dari sisi-sisi tersebut dikalikan kosinus sudut di antara mereka.

Teorema 12.2 (Teorema sinus). Sisi-sisi segitiga sebanding dengan sinus sudut-sudut yang berhadapan.

Teorema 13.1. Panjang polyline tidak kurang dari panjang segmen yang menghubungkan ujung-ujungnya.

Teorema 13.2. Jumlah sudut cembungn-gon adalah 180 0 (n – 2).

Teorema 13.3. Sebuah poligon cembung biasa tertulis dalam lingkaran dan dibatasi tentang lingkaran.

Teorema 13.4. Cembung biasan-gon serupa. Khususnya, jika sisi mereka sama, maka mereka sama.

Teorema 13.5. Rasio keliling lingkaran dengan diameternya tidak bergantung pada lingkaran, mis. sama untuk setiap dua lingkaran.

Teorema 15.1.

Teorema 15.2.
Konsekuensi:

Teorema 15.3.

Teorema 15.4. XdankamuXYXdankamuXYmelintasi pesawat.

Teorema 16.1.

Teorema 16.2.

Teorema 16.5.

Teorema 17.3.

Teorema 17.4.

Teorema 17.6.

Teorema 15.1. Melalui sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak di atasnya, seseorang dapat menggambar sebuah bidang, dan terlebih lagi, hanya satu.

Teorema 15.2. Jika dua titik dari suatu garis termasuk dalam suatu bidang, maka seluruh garis tersebut termasuk dalam bidang itu.
Konsekuensi: Sebuah bidang dan garis yang tidak terletak di atasnya tidak berpotongan atau berpotongan di satu titik.

Teorema 15.3. Melalui tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, dimungkinkan untuk menggambar sebuah pesawat, dan terlebih lagi, hanya satu.

Teorema 15.4. Pesawat membagi ruang menjadi dua setengah ruang. Jika poinXdankamumilik setengah ruang yang sama, maka segmenXYtidak melewati pesawat. Jika poinXdankamumilik setengah ruang yang berbeda, maka segmenXYmelintasi pesawat.

Teorema 16.1. Melalui sebuah titik di luar garis tertentu, seseorang dapat menggambar garis yang sejajar dengan garis ini, dan terlebih lagi, hanya satu.

Teorema 16.2. Dua garis yang sejajar dengan garis ketiga adalah sejajar.

Teorema 16.3. Jika sebuah garis yang bukan milik suatu bidang sejajar dengan sembarang garis pada bidang itu, maka garis itu juga sejajar dengan bidang itu sendiri.

Teorema 16.4. Jika dua garis berpotongan dari satu bidang masing-masing sejajar dengan dua garis pada bidang lain, maka bidang-bidang ini sejajar.

Teorema 16.5. Melalui sebuah titik di luar bidang tertentu, seseorang dapat menggambar bidang yang sejajar dengan bidang tersebut, dan terlebih lagi, hanya satu.

Teorema 17.1. Jika dua garis yang berpotongan masing-masing sejajar dengan dua garis yang saling tegak lurus, maka keduanya juga tegak lurus.

Teorema 17.2. Jika sebuah garis tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada suatu bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang yang diberikan.

Teorema 17.3. Jika sebuah bidang tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka bidang tersebut juga tegak lurus terhadap yang lain.

Teorema 17.4. Dua garis yang tegak lurus pada bidang yang sama adalah sejajar.

Teorema 17.5. Jika suatu garis lurus yang ditarik pada suatu bidang melalui alas suatu garis miring tegak lurus terhadap proyeksinya, maka garis tersebut tegak lurus terhadap garis miring tersebut. Dan kembali: jika suatu garis lurus pada suatu bidang tegak lurus terhadap suatu garis miring, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap proyeksi garis miring tersebut.

Teorema 17.6. Jika sebuah bidang melewati garis yang tegak lurus terhadap bidang lain, maka bidang-bidang tersebut tegak lurus.

Teorema 18.1. Luas proyeksi ortogonal poligon ke bidang sama dengan produk luasnya dan kosinus sudut antara bidang poligon dan bidang proyeksi.