Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Arxine. Tabel arcsine. Rumus y=arcsin(x)"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Manual dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 10 dari 1C
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor matematika 6.1"
Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk membangun di luar angkasa

Apa yang akan kita pelajari:
1. Apa itu arcsinus?
2. Penunjukan arcsine.
3. Sedikit sejarah.
4. Definisi.

6. Contoh.

Apa itu arcsinus?

Teman-teman, kita telah belajar bagaimana menyelesaikan persamaan untuk kosinus, sekarang mari kita belajar bagaimana menyelesaikan persamaan yang serupa untuk sinus. Pertimbangkan sin(x)= 3/2. Untuk menyelesaikan persamaan ini, Anda perlu membuat garis lurus y= 3/2 dan lihat: di titik mana garis itu memotong lingkaran bilangan. Terlihat bahwa garis memotong lingkaran di dua titik F dan G. Titik-titik ini akan menjadi solusi persamaan kita. Ubah nama F menjadi x1 dan G menjadi x2. Kami telah menemukan solusi untuk persamaan ini dan diperoleh: x1= /3 + 2πk,
dan x2= 2π/3 + 2πk.

Memecahkan persamaan ini cukup sederhana, tetapi bagaimana menyelesaikannya, misalnya, persamaan
dosa(x)=5/6. Jelas, persamaan ini juga akan memiliki dua akar, tetapi nilai apa yang sesuai dengan solusi pada lingkaran angka? Mari kita lihat lebih dekat persamaan sin(x)=5/6 kita.
Solusi persamaan kita akan menjadi dua titik: F= x1 + 2πk dan G= x2 ​​+ 2πk,
di mana x1 adalah panjang busur AF, x2 adalah panjang busur AG.
Catatan: x2= - x1, karena AF= AC - FC, tetapi FC= AG, AF= AC - AG= - x1.
Tapi apa titik-titik ini?

Menghadapi situasi yang sama, ahli matematika datang dengan simbol baru - arcsin (x). Bunyinya seperti arcsine.

Maka solusi persamaan kita akan ditulis sebagai berikut: x1= arcsin(5/6), x2= -arcsin(5/6).

Dan solusi umumnya: x= arcsin(5/6) + 2πk dan x= - arcsin(5/6) + 2πk.
Arcsinus adalah sinus sudut (panjang busur AF, AG), yang sama dengan 5/6.

Sedikit sejarah arcsine

Sejarah asal usul simbol kami persis sama dengan arccos. Untuk pertama kalinya, simbol arcsin muncul dalam karya matematikawan Scherfer dan ilmuwan Prancis terkenal J.L. Lagrange. Agak lebih awal, konsep arcsine dipertimbangkan oleh D. Bernuli, meskipun ia menuliskannya dengan simbol lain.

Simbol-simbol ini menjadi diterima secara umum hanya pada akhir abad ke-18. Awalan "arc" berasal dari bahasa Latin "arcus" (busur, busur). Ini cukup konsisten dengan makna konsep: arcsin x adalah sudut (atau Anda dapat mengatakan busur), yang sinusnya sama dengan x.

Definisi arcsinus

Jika |а|≤ 1, maka arcsin(a) adalah bilangan tersebut dari interval [- /2; /2), yang sinusnya adalah a.

Jika |a|≤ 1, maka persamaan sin(x)= a memiliki solusi: x= arcsin(a) + 2πk dan
x= - arcsin(a) + 2πk

Mari kita menulis ulang:

x= - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + (1 + 2k).

Kawan, perhatikan baik-baik dua solusi kami. Bagaimana menurut Anda: dapatkah mereka ditulis dalam rumus umum? Perhatikan bahwa jika ada tanda plus sebelum arcsine, maka dikalikan dengan bilangan genap 2πk, dan jika tandanya minus, maka pengalinya adalah ganjil 2k+1.
Dengan mengingat hal ini, kami menulis rumus solusi umum untuk persamaan sin(x)=a:

Ada tiga kasus di mana seseorang lebih suka menulis solusi dengan cara yang lebih sederhana:

sin(x)=0, maka x= k,

sin(x)=1, maka x= /2 + 2πk,

sin(x)=-1, maka x= -π/2 + 2πk.

Untuk setiap -1 a 1, persamaan berikut berlaku: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Mari kita menulis tabel nilai cosinus secara terbalik dan mendapatkan tabel untuk arcsine.

Contoh

1. Hitung: arcsin(√3/2).
Solusi: Misalkan arcsin(√3/2)= x, maka sin(x)= 3/2. Menurut definisi: - /2 x≤ /2. Mari kita lihat nilai sinus pada tabel: x= /3, karena sin(π/3)= 3/2 dan –π/2 /3 /2.
Jawaban: arcsin(√3/2)= /3.

2. Hitung: arcsin(-1/2).
Solusi: Misalkan arcsin(-1/2)= x, lalu sin(x)= -1/2. Menurut definisi: - /2 x≤ /2. Mari kita lihat nilai sinus pada tabel: x= -π/6, karena sin(-π/6)= -1/2 dan -π/2 -π/6≤ /2.
Jawaban: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Hitung: arcsin(0).
Solusi: Misalkan arcsin(0)= x, maka sin(x)= 0. Menurut definisi: - /2 x≤ /2. Mari kita lihat nilai sinus pada tabel: artinya x = 0, karena sin(0)= 0 dan - /2 0 /2. Jawaban: arcsin(0)=0.

4. Selesaikan persamaan: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk dan x= - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Mari kita lihat nilainya pada tabel: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Jawaban: x= -π/4 + 2πk dan x= 5π/4 + 2πk.

5. Selesaikan persamaan: sin(x) = 0.
Solusi: Mari kita gunakan definisi, maka solusi akan ditulis dalam bentuk:
x= arcsin(0) + 2πk dan x= - arcsin(0) + 2πk. Mari kita lihat nilai pada tabel: arcsin(0)= 0.
Jawaban: x= 2πk dan x= + 2πk

6. Selesaikan persamaan: sin(x) = 3/5.
Solusi: Mari kita gunakan definisi, maka solusi akan ditulis dalam bentuk:
x= arcsin(3/5) + 2πk dan x= - arcsin(3/5) + 2πk.
Jawaban: x= (-1) n - arcsin(3/5) + k.

7. Memecahkan pertidaksamaan sin(x) Solusi: Sinus adalah ordinat titik lingkaran numerik. Jadi: kita perlu menemukan titik-titik seperti itu, yang ordinatnya kurang dari 0,7. Mari kita menggambar garis lurus y=0,7. Ini memotong lingkaran angka di dua titik. Pertidaksamaan y Maka solusi pertidaksamaan tersebut adalah: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Masalah pada arcsine untuk solusi independen

1) Hitung: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0.8).
2) Selesaikan persamaan: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = 3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1.2.
3) Selesaikan pertidaksamaan: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x) 1/2.

Sebuah metode untuk menurunkan rumus untuk fungsi trigonometri terbalik disajikan. Rumus untuk argumen negatif, ekspresi yang berkaitan dengan arcsine, arccosine, arctangent dan arccotangent diperoleh. Sebuah metode untuk menurunkan rumus untuk jumlah arcsine, arccosines, arctangents dan arccotangents ditunjukkan.

Rumus Dasar

Derivasi rumus untuk fungsi trigonometri terbalik sederhana, tetapi membutuhkan kontrol atas nilai argumen fungsi langsung. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa fungsi trigonometri bersifat periodik dan, oleh karena itu, fungsi inversnya bernilai banyak. Kecuali dinyatakan lain, fungsi trigonometri terbalik berarti nilai utamanya. Untuk menentukan nilai utama, domain definisi fungsi trigonometri dipersempit ke interval yang monoton dan kontinu. Derivasi rumus untuk fungsi trigonometri terbalik didasarkan pada rumus fungsi trigonometri dan sifat-sifat fungsi invers seperti itu. Sifat-sifat fungsi invers dapat dibagi menjadi dua kelompok.

Grup pertama mencakup rumus yang valid di seluruh domain fungsi invers:
sin(bussin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(artg x) = x (-∞ < x < +∞ )
ctg(artg x) = x (-∞ < x < +∞ )

Kelompok kedua mencakup rumus yang hanya valid pada himpunan nilai fungsi terbalik.
arcsin(sin x) = x pada
arccos(cos x) = x pada
arctg(tg x) = x pada
arcctg(ctg x) = x pada

Jika variabel x tidak termasuk dalam interval di atas, maka variabel tersebut harus direduksi menggunakan rumus fungsi trigonometri (selanjutnya n adalah bilangan bulat):
sinx = sin(-x-π); sinx = sin(π-x); sinx = sin(x+2πn);
cos x = cos(-x); cosx = cos(2π-x); cosx = cos(x+2πn);
tgx = tg(x+πn); ctgx = ctg(x+πn)

Misalnya, jika diketahui bahwa
arcsin(sin x) = arcsin(sin( - x )) = - x .

Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk - x berada dalam interval yang diperlukan. Untuk melakukannya, kalikan dengan -1: dan tambahkan : atau Semuanya benar.

Fungsi Invers dari Argumen Negatif

Dengan menerapkan rumus dan sifat fungsi trigonometri di atas, kita memperoleh rumus untuk fungsi invers dari argumen negatif.

arcsin(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Sejak itu mengalikan dengan -1 , kami memiliki: atau
Argumen sinus berada dalam rentang yang diizinkan dari rentang arcsine. Oleh karena itu rumusnya benar.

Begitu pula untuk fungsi lainnya.
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = - arccos x

arctan(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-artg x)) = - arctg x

arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = - arcctg x

Ekspresi arcsine dalam hal arccosine dan arctangent dalam hal arccotangent

Kami mengekspresikan arcsinus dalam istilah arccosine.

Rumus berlaku untuk Pertidaksamaan ini berlaku karena

Untuk memverifikasi ini, kami mengalikan pertidaksamaan dengan -1 : dan menambahkan /2 : atau Semuanya benar.

Demikian pula, kami mengekspresikan arctangent melalui arccotangent.

Ekspresi arcsine melalui arctangent, arccosine melalui arccotangent dan sebaliknya

Kami melanjutkan dengan cara yang sama.

Rumus jumlah dan selisih

Dengan cara yang sama, kita memperoleh rumus untuk jumlah arcsinus.

Mari kita tentukan batas penerapan rumus. Agar tidak berurusan dengan ekspresi yang rumit, kami memperkenalkan notasi: X = arcsin x, Y = arcsin y. Rumus ini berlaku ketika
. Selanjutnya, kami mencatat bahwa, karena arcsin(- x) = - arcsin x, arcsin(- y) = - arcsin y, maka untuk tanda yang berbeda, x dan y, X dan Y juga memiliki tanda yang berbeda, dan karena itu pertidaksamaan berlaku. Kondisi tanda yang berbeda untuk x dan y dapat ditulis dengan satu pertidaksamaan: . Artinya, ketika rumus itu valid.

Sekarang perhatikan kasus x > 0 dan kamu > 0 , atau X > 0 dan Y > 0 . Maka syarat berlakunya rumus tersebut adalah terpenuhinya pertidaksamaan: . Karena kosinus secara monoton menurun untuk nilai argumen dalam interval dari 0 , ke , maka kita mengambil kosinus dari sisi kiri dan kanan pertidaksamaan ini dan mengubah ekspresi:
;
;
;
.
Sejak dan ; maka kosinus yang disertakan di sini tidak negatif. Kedua bagian pertidaksamaan itu positif. Kami kuadratkan dan ubah kosinus melalui sinus:
;
.
Pengganti sin X = sin busur sin x = x:
;
;
;
.

Jadi, rumus yang dihasilkan valid untuk atau .

Sekarang perhatikan kasus x > 0, y > 0 dan x 2 + y 2 > 1 . Di sini argumen sinus mengambil nilai: . Itu perlu direduksi menjadi interval area nilai arcsinus:

Jadi,

di saya.

Mengganti x dan y dengan - x dan - y , kita dapatkan

di saya.
Kami melakukan transformasi:

di saya.
Atau

di saya.

Jadi, kami mendapatkan ekspresi berikut untuk jumlah arcsinus:

di atau ;

untuk dan ;

di dan .

Apa itu arcsinus, arccosinus? Apa itu tangen busur, tangen busur?

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Untuk konsep arcsinus, arccosinus, arctangent, arccotangent populasi siswa waspada. Dia tidak mengerti istilah-istilah ini dan, oleh karena itu, tidak mempercayai keluarga yang mulia ini.) Tetapi sia-sia. Ini adalah konsep yang sangat sederhana. Yang, omong-omong, membuat hidup lebih mudah bagi orang yang berpengetahuan luas saat memecahkan persamaan trigonometri!

Bingung dengan kesederhanaan? Sia-sia.) Di sini dan sekarang Anda akan yakin akan hal ini.

Tentu saja, untuk pemahaman, alangkah baiknya jika mengetahui apa itu sinus, cosinus, tangen, dan kotangen. Ya, nilai tabel mereka untuk beberapa sudut ... Setidaknya dalam istilah yang paling umum. Maka tidak akan ada masalah di sini juga.

Jadi, kami terkejut, tetapi ingat: arcsinus, arccosine, arctangent dan arctangent hanyalah beberapa sudut. Tidak lebih, tidak kurang. Ada sudut, katakanlah 30°. Dan ada sudut arcsin0.4. Atau arctg(-1.3). Ada berbagai macam sudut.) Anda cukup menulis sudut dengan cara yang berbeda. Anda dapat menulis sudut dalam derajat atau radian. Atau Anda bisa - melalui sinus, kosinus, tangen, dan kotangennya ...

Apa yang dimaksud dengan ungkapan

arcsin 0.4?

Ini adalah sudut yang sinusnya 0,4! Ya ya. Berikut adalah arti dari kata arcsinus. Saya ulangi secara khusus: arcsin 0,4 adalah sudut yang sinusnya 0,4.

Dan itu saja.

Untuk menyimpan pemikiran sederhana ini di kepala saya untuk waktu yang lama, saya bahkan akan memberikan rincian istilah yang mengerikan ini - arcsine:

busur dosa 0,4
injeksi, sinus siapa sama dengan 0,4

Seperti yang tertulis, demikianlah yang terdengar.) Hampir. Awalan busur cara busur(kata lengkungan tahu?), karena orang kuno menggunakan busur alih-alih sudut, tetapi ini tidak mengubah esensi masalah. Ingat decoding dasar dari istilah matematika! Selain itu, untuk arc cosinus, arc tangen dan arc tangen, decoding hanya berbeda dalam nama fungsinya.

Apa itu arccos 0.8?
Ini adalah sudut yang cosinusnya 0,8.

Apa itu arctan(-1,3) ?
Ini adalah sudut yang tangennya -1.3.

Apa itu arcctg 12?
Ini adalah sudut yang kotangennya adalah 12.

Omong-omong, decoding dasar semacam itu memungkinkan untuk menghindari kesalahan besar.) Misalnya, ekspresi arccos1,8 terlihat cukup solid. Mari kita mulai decoding: arccos1,8 adalah sudut yang cosinusnya sama dengan 1,8... Hop-hop!? 1.8!? Cosinus tidak boleh lebih besar dari satu!

Benar. Ekspresi arccos1,8 tidak masuk akal. Dan menulis ekspresi seperti itu dalam beberapa jawaban akan sangat menghibur pemeriksa.)

Dasar, seperti yang Anda lihat.) Setiap sudut memiliki sinus dan kosinus pribadinya sendiri. Dan hampir setiap orang memiliki tangen dan kotangennya masing-masing. Oleh karena itu, mengetahui fungsi trigonometri, Anda dapat menuliskan sudut itu sendiri. Untuk ini, arcsines, arccosines, arctangents dan arccotangents dimaksudkan. Selanjutnya, saya akan menyebut seluruh keluarga ini kecil - lengkungan. untuk mengetik lebih sedikit.)

Perhatian! Verbal dasar dan sadar menguraikan lengkungan memungkinkan Anda untuk dengan tenang dan percaya diri menyelesaikan berbagai tugas. Dan masuk tidak biasa tugas hanya dia simpan.

Apakah mungkin untuk beralih dari lengkungan ke derajat biasa atau radian?- Saya mendengar pertanyaan hati-hati.)

Kenapa tidak!? Mudah. Anda dapat pergi ke sana dan kembali. Selain itu, kadang-kadang perlu untuk melakukannya. Lengkungan adalah hal yang sederhana, tetapi tanpa itu entah bagaimana lebih tenang, bukan?)

Misalnya: apa itu arcsin 0.5?

Mari kita lihat dekripsinya: arcsin 0,5 adalah sudut yang sinusnya 0,5. Sekarang putar kepala Anda (atau Google)) dan ingat sudut mana yang memiliki sinus 0,5? Sinusnya 0,5 y sudut 30 derajat. Itu saja yang ada untuk itu: arcsin 0,5 adalah sudut 30°. Anda dapat dengan aman menulis:

busur 0,5 = 30°

Atau, lebih tepatnya, dalam radian:

Itu saja, Anda bisa melupakan arcsine dan mengerjakannya dengan derajat atau radian biasa.

Jika Anda menyadari apa itu arcsine, arccosine ... Apa itu arctangent, arccotangent ... Maka Anda dapat dengan mudah menangani, misalnya, monster seperti itu.)

Orang yang bodoh akan mundur ketakutan, ya ...) Dan orang yang berpengetahuan ingat dekripsi: arcsine adalah sudut yang sinusnya ... Nah, dan seterusnya. Jika orang yang berpengetahuan juga tahu tabel sinus ... Tabel kosinus. Sebuah tabel garis singgung dan kotangen, maka tidak ada masalah sama sekali!

Cukup untuk mempertimbangkan bahwa:

Saya akan menguraikan, mis. terjemahkan rumus ke dalam kata-kata: sudut yang tangennya 1 (artg1) adalah sudut 45°. Atau, yang sama, Pi/4. Demikian pula:

dan itu saja... Kami mengganti semua lengkungan dengan nilai dalam radian, semuanya dikurangi, tinggal menghitung berapa 1 + 1 nantinya. Ini akan menjadi 2.) Yang merupakan jawaban yang benar.

Ini adalah bagaimana Anda dapat (dan harus) berpindah dari arcsinus, arccosinus, arctangent, dan arctangent ke derajat dan radian biasa. Ini sangat menyederhanakan contoh menakutkan!

Seringkali, dalam contoh seperti itu, di dalam lengkungan adalah negatif nilai-nilai. Seperti, arctg(-1.3), atau, misalnya, arccos(-0.8)... Itu tidak masalah. Berikut adalah beberapa rumus sederhana untuk beralih dari negatif ke positif:

Anda perlu, katakanlah, untuk menentukan nilai ekspresi:

Anda dapat menyelesaikan ini menggunakan lingkaran trigonometri, tetapi Anda tidak ingin menggambarnya. Yah, oke. Pergi dari negatif nilai di dalam arc cosinus ke positif menurut rumus kedua:

Di dalam arccosine di sebelah kanan sudah positif berarti. Apa

Anda hanya perlu tahu. Tetap mengganti radian alih-alih busur kosinus dan menghitung jawabannya:

Itu saja.

Pembatasan pada arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent.

Apakah ada masalah dengan contoh 7 - 9? Yah, ya, ada beberapa trik di sana.)

Semua contoh ini, dari tanggal 1 hingga 9, disortir dengan hati-hati di rak di Bagian 555. Apa, bagaimana, dan mengapa. Dengan semua jebakan dan trik rahasia. Plus cara untuk menyederhanakan solusi secara dramatis. Omong-omong, bagian ini berisi banyak informasi berguna dan tip praktis tentang trigonometri secara umum. Dan tidak hanya dalam trigonometri. Membantu banyak.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Definisi fungsi trigonometri terbalik dan grafiknya diberikan. Serta rumus yang berkaitan dengan fungsi trigonometri terbalik, rumus untuk jumlah dan perbedaan.

Definisi fungsi trigonometri terbalik

Karena fungsi trigonometri adalah periodik, fungsi yang dibaliknya tidak bernilai tunggal. Jadi, persamaan y = dosa x, untuk diberikan , memiliki tak hingga banyak akar. Memang, karena periodisitas sinus, jika x adalah akar seperti itu, maka x + 2n(di mana n adalah bilangan bulat) juga akan menjadi akar persamaan. Dengan demikian, fungsi trigonometri terbalik adalah multinilai. Untuk memudahkan bekerja dengan mereka, konsep nilai-nilai utama mereka diperkenalkan. Perhatikan, misalnya, sinus: y = dosa x. Jika kita membatasi argumen x ke interval , maka di atasnya fungsi y = dosa x meningkat secara monoton. Oleh karena itu, ia memiliki fungsi invers bernilai tunggal, yang disebut arcsinus: x = arcsin y.

Kecuali dinyatakan lain, fungsi trigonometri terbalik berarti nilai utamanya, yang didefinisikan oleh definisi berikut.

Arcsin ( y= arcsin x) adalah fungsi kebalikan dari sinus ( x= siny

Busur kosinus ( y= arccos x) adalah fungsi invers dari kosinus ( x= nyaman) yang memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai .

Arctangen ( y= arctg x) adalah fungsi kebalikan dari garis singgung ( x= tg y) yang memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai .

Tangen busur ( y= arcctg x) adalah fungsi kebalikan dari kotangen ( x= ctg y) yang memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai .

Grafik fungsi trigonometri terbalik

Grafik fungsi trigonometri terbalik diperoleh dari grafik fungsi trigonometri dengan refleksi cermin terhadap garis lurus y = x. Lihat bagian Sinus, kosinus, Tangen, kotangen.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Rumus Dasar

Di sini, perhatian khusus harus diberikan pada interval di mana formula itu valid.

arcsin(sin x) = x pada
sin(bussin x) = x
arccos(cos x) = x pada
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x pada
tg(artg x) = x
arcctg(ctg x) = x pada
ctg(artg x) = x

Rumus yang berkaitan dengan fungsi trigonometri terbalik

Rumus jumlah dan selisih

di atau

di dan

di dan

di atau

di dan

di dan

pada

pada

pada

pada

Fungsi sin, cos, tg, dan ctg selalu disertai dengan arcsinus, arccosinus, arctangent, dan arccotangent. Salah satunya adalah konsekuensi dari yang lain, dan pasangan fungsi sama pentingnya untuk bekerja dengan ekspresi trigonometri.

Pertimbangkan gambar lingkaran satuan, yang secara grafis menampilkan nilai-nilai fungsi trigonometri.

Jika Anda menghitung busur OA, arcos OC, arctg DE dan arcctg MK, maka semuanya akan sama dengan nilai sudut . Rumus di bawah ini mencerminkan hubungan antara fungsi trigonometri utama dan busur yang sesuai.

Untuk lebih memahami sifat-sifat arcsinus, perlu diperhatikan fungsinya. Jadwal berbentuk kurva asimetris yang melalui pusat koordinat.

Sifat arcsinus:

Jika kita membandingkan grafik dosa dan busur dosa, dua fungsi trigonometri dapat menemukan pola umum.

Busur kosinus

Arccos dari angka a adalah nilai sudut , yang kosinusnya sama dengan a.

Melengkung y = busur x mencerminkan plot arcsin x, dengan satu-satunya perbedaan adalah bahwa ia melewati titik /2 pada sumbu OY.

Pertimbangkan fungsi arccosine secara lebih rinci:

1. Fungsi didefinisikan pada segmen [-1; satu].
2. ODZ untuk arccos - .
3. Grafik tersebut seluruhnya terletak di kuartal I dan II, dan fungsinya sendiri tidak genap maupun ganjil.
4. Y = 0 untuk x = 1.
5. Kurva menurun sepanjang seluruh panjangnya. Beberapa sifat dari arc cosinus sama dengan fungsi cosinus.

Beberapa sifat dari arc cosinus sama dengan fungsi cosinus.

Ada kemungkinan bahwa studi "terperinci" tentang "lengkungan" seperti itu akan tampak berlebihan bagi anak sekolah. Namun, jika tidak, beberapa tugas USE dasar dapat membawa siswa ke jalan buntu.

Latihan 1. Tentukan fungsi yang ditunjukkan pada gambar.

Menjawab: Nasi. 1 - 4, gambar 2 - 1.

Dalam contoh ini, penekanannya adalah pada hal-hal kecil. Biasanya, siswa sangat lalai terhadap konstruksi grafik dan penampilan fungsi. Memang, mengapa menghafal bentuk kurva, jika selalu dapat dibangun dari poin yang dihitung. Jangan lupa bahwa dalam kondisi pengujian, waktu yang dihabiskan untuk menggambar untuk tugas sederhana akan diperlukan untuk menyelesaikan tugas yang lebih kompleks.

Arctangen

Arctg angka a adalah nilai sudut sehingga garis singgungnya sama dengan a.

Jika kita mempertimbangkan plot dari garis singgung busur, kita dapat membedakan sifat-sifat berikut:

1. Grafik tidak terbatas dan didefinisikan pada interval (- ; + ).
2. Arctangent adalah fungsi ganjil, oleh karena itu, arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 untuk x = 0.
4. Kurva meningkat di seluruh domain definisi.

Mari kita berikan analisis komparatif singkat tg x dan arctg x dalam bentuk tabel.

Tangen busur

Arcctg dari angka a - mengambil nilai dari interval (0; ) sehingga kotangennya sama dengan a.

Sifat-sifat fungsi kotangen busur:

1. Interval definisi fungsi adalah tak terhingga.
2. Rentang nilai yang dapat diterima adalah interval (0; ).
3. F(x) bukan genap atau ganjil.
4. Sepanjang panjangnya, grafik fungsi menurun.

Membandingkan ctg x dan arctg x sangat sederhana, Anda hanya perlu menggambar dua gambar dan menjelaskan perilaku kurva.

Tugas 2. Menghubungkan grafik dan bentuk fungsi.

Logikanya, grafik menunjukkan bahwa kedua fungsi meningkat. Oleh karena itu, kedua gambar menampilkan beberapa fungsi arctg. Diketahui dari sifat-sifat garis singgung busur bahwa y=0 untuk x = 0,

Menjawab: Nasi. 1 - 1, gambar. 2-4.

Identitas trigonometri arcsin, arcos, arctg dan arcctg

Sebelumnya, kami telah mengidentifikasi hubungan antara lengkungan dan fungsi utama trigonometri. Ketergantungan ini dapat dinyatakan dengan sejumlah rumus yang memungkinkan pengungkapan, misalnya, sinus suatu argumen melalui arcsine, arccosine, atau sebaliknya. Pengetahuan tentang identitas semacam itu dapat berguna dalam memecahkan contoh-contoh spesifik.

Ada juga rasio untuk arctg dan arcctg:

Sepasang rumus lain yang berguna menetapkan nilai untuk jumlah nilai arcsin dan arcos dan arcctg dan arcctg dari sudut yang sama.

Contoh pemecahan masalah

Tugas trigonometri secara kondisional dapat dibagi menjadi empat kelompok: menghitung nilai numerik dari ekspresi tertentu, memplot fungsi yang diberikan, menemukan domain definisi atau ODZ, dan melakukan transformasi analitik untuk menyelesaikan contoh.

Saat menyelesaikan jenis tugas pertama, perlu untuk mematuhi rencana tindakan berikut:

Saat bekerja dengan grafik fungsi, hal utama adalah pengetahuan tentang sifat-sifatnya dan tampilan kurva. Tabel identitas diperlukan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri. Semakin banyak rumus yang diingat siswa, semakin mudah menemukan jawaban untuk tugas tersebut.

Misalkan dalam ujian perlu menemukan jawaban untuk persamaan jenis:

Jika Anda mengubah ekspresi dengan benar dan membawanya ke bentuk yang diinginkan, maka penyelesaiannya sangat sederhana dan cepat. Pertama, pindahkan arcsin x ke ruas kanan persamaan.

Jika kita ingat rumus arcsin (sinα) =, maka kita dapat mengurangi pencarian jawaban untuk memecahkan sistem dua persamaan:

Kendala pada model x muncul, sekali lagi dari sifat arcsin: ODZ untuk x [-1; satu]. Jika a 0, bagian dari sistem tersebut adalah persamaan kuadrat dengan akar x1 = 1 dan x2 = - 1/a. Dengan a = 0, x akan sama dengan 1.