Metode Gaussian memiliki sejumlah kelemahan: tidak mungkin untuk mengetahui apakah sistem konsisten atau tidak sampai semua transformasi yang diperlukan dalam metode Gaussian telah dilakukan; metode Gaussian tidak cocok untuk sistem dengan koefisien huruf.
Pertimbangkan metode lain untuk memecahkan sistem persamaan linier. Metode-metode ini menggunakan konsep pangkat suatu matriks dan mereduksi solusi dari sistem gabungan apa pun menjadi solusi sistem yang menerapkan aturan Cramer.
Contoh 1 Temukan solusi umum dari sistem persamaan linier berikut menggunakan sistem dasar solusi dari sistem homogen tereduksi dan solusi khusus dari sistem tidak homogen.
1. Kami membuat matriks A dan matriks yang diperbesar dari sistem (1)
2. Jelajahi sistem (1) untuk kompatibilitas. Untuk melakukan ini, kami menemukan jajaran matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jika ternyata , maka sistem (1) tidak kompatibel. Jika kita mendapatkan itu , maka sistem ini konsisten dan kami akan menyelesaikannya. (Studi konsistensi didasarkan pada teorema Kronecker-Capelli).
sebuah. Kami menemukan rA.
Mencari rA, kita akan mempertimbangkan berturut-turut bukan nol minor dari orde matriks pertama, kedua, dst. A dan anak-anak di bawah umur di sekitar mereka.
M1=1≠0 (1 diambil dari sudut kiri atas matriks TETAPI).
berbatasan M1 baris kedua dan kolom kedua matriks ini. 
. Kami terus berbatasan M1 baris kedua dan kolom ketiga..gif" width="37" height="20 src=">. Sekarang kita batasi minor bukan nol 2′ pesanan kedua.
Kita punya: 
(karena dua kolom pertama sama)
(karena garis kedua dan ketiga proporsional).
Kami melihat itu rA=2, dan merupakan basis minor dari matriks A.
b. Kami menemukan .
Di bawah umur yang cukup mendasar 2′ matriks A perbatasan dengan kolom anggota bebas dan semua baris (kami hanya memiliki baris terakhir).
. Ini mengikuti dari ini bahwa 3′′ tetap menjadi dasar minor dari matriks https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Sebagai 2′- basis minor dari matriks A sistem (2) , maka sistem ini setara dengan sistem (3) , terdiri dari dua persamaan pertama dari sistem (2) (untuk 2′ berada di dua baris pertama matriks A).
(3)
Karena minor dasarnya adalah https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Dalam sistem ini, dua tidak diketahui bebas ( x2 dan x4 ). Jadi FSR sistem (4) terdiri dari dua solusi. Untuk menemukannya, kami menetapkan yang tidak diketahui gratis ke (4) nilai dulu x2=1 , x4=0 , lalu - x2=0 , x4=1 .
Pada x2=1 , x4=0 kita mendapatkan:
.
Sistem ini sudah memiliki satu-satunya solusi (dapat ditemukan dengan aturan Cramer atau dengan metode lain). Dengan mengurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua, kita peroleh:
Keputusannya akan x1= -1 , x3=0 . Mengingat nilai-nilai x2 dan x4 , yang telah kita berikan, kita memperoleh solusi fundamental pertama dari sistem (2) : .
Sekarang kita masukkan (4) x2=0 , x4=1 . Kita mendapatkan:
.
Kami memecahkan sistem ini menggunakan teorema Cramer:
.
Kami memperoleh solusi fundamental kedua dari sistem (2) : .
Solusi 1 , 2 dan make up FSR sistem (2) . Maka solusi umumnya adalah
γ= C1 1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, 1, 4С2, 2)
Di Sini C1 , C2 adalah konstanta arbitrer.
4. Temukan satu pribadi keputusan sistem heterogen(1) . Seperti pada paragraf 3 , alih-alih sistem (1) pertimbangkan sistem yang setara (5) , terdiri dari dua persamaan pertama dari sistem (1) .
(5)
Kami mentransfer yang tidak diketahui gratis ke sisi kanan x2 dan x4.
(6)
Mari kita berikan yang tidak diketahui gratis x2 dan x4 nilai arbitrer, misalnya x2=2 , x4=1 dan hubungkan ke (6) . Ayo dapatkan sistemnya
Sistem ini memiliki solusi unik (karena determinannya 2′0). Memecahkannya (menggunakan teorema Cramer atau metode Gauss), kami memperoleh x1=3 , x3=3 . Mengingat nilai-nilai yang tidak diketahui gratis x2 dan x4 , kita mendapatkan solusi khusus dari sistem tidak homogen(1)1=(3,2,3,1).
5. Sekarang tinggal menulis solusi umum dari sistem tak homogen(1) : sama dengan jumlah keputusan pribadi sistem ini dan solusi umum dari sistem homogen tereduksinya (2) :
=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, 1, 4С2, 2).
Itu berarti: 
(7)
6. Penyelidikan. Untuk memeriksa apakah Anda telah memecahkan sistem dengan benar (1) , kita membutuhkan solusi umum (7) pengganti di (1) . Jika setiap persamaan menjadi identitas ( C1 dan C2 harus dimusnahkan), maka solusinya ditemukan dengan benar.
Kami akan mengganti (7) misalnya, hanya dalam persamaan terakhir dari sistem (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Kita peroleh: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Dimana -1=-1. Kami mendapat identitas. Kami melakukan ini dengan semua persamaan lain dari sistem (1) .
Komentar. Verifikasi biasanya cukup rumit. Kami dapat merekomendasikan "verifikasi parsial" berikut: dalam solusi keseluruhan sistem (1) tetapkan beberapa nilai ke konstanta arbitrer dan substitusikan solusi tertentu yang dihasilkan hanya ke dalam persamaan yang dibuang (yaitu, ke dalam persamaan dari (1) yang tidak termasuk dalam (5) ). Jika Anda mendapatkan identitas, maka lebih mungkin, solusi sistem (1) ditemukan dengan benar (tetapi pemeriksaan seperti itu tidak memberikan jaminan kebenaran sepenuhnya!). Misalnya, jika dalam (7) taruh C2=- 1 , C1 = 1, maka diperoleh: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Substitusi ke persamaan terakhir sistem (1), kita dapatkan: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yaitu -1=-1. Kami mendapat identitas.
Contoh 2 Temukan solusi umum untuk sistem persamaan linear (1) , mengekspresikan yang tidak diketahui utama dalam hal yang gratis.
Keputusan. Seperti dalam Contoh 1, buat matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> dari matriks ini. Sekarang kita hanya menyisakan persamaan sistem tersebut (1) , koefisien yang termasuk dalam minor dasar ini (yaitu, kami memiliki dua persamaan pertama) dan mempertimbangkan sistem yang terdiri dari mereka, yang setara dengan sistem (1).
Mari kita pindahkan yang tidak diketahui bebas ke ruas kanan persamaan ini.
sistem (9) kita selesaikan dengan metode Gaussian, dengan mempertimbangkan bagian yang tepat sebagai anggota bebas.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Pilihan 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opsi 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Opsi 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opsi 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Sistem persamaan aljabar linier homogen
Dalam pelajaran Metode Gauss dan Sistem/sistem yang tidak kompatibel dengan solusi umum kami mempertimbangkan sistem persamaan linier tidak homogen, di mana anggota gratis(yang biasanya di sebelah kanan) setidaknya satu persamaan berbeda dari nol.
Dan sekarang, setelah pemanasan yang baik dengan peringkat matriks, kami akan terus memoles tekniknya transformasi dasar pada sistem persamaan linear homogen.
Menurut paragraf pertama, materinya mungkin tampak membosankan dan biasa saja, tetapi kesan ini menipu. Akan ada banyak informasi baru selain pengembangan teknik lebih lanjut, jadi tolong jangan mengabaikan contoh dalam artikel ini.
Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear homogen?
Jawabannya menyarankan dirinya sendiri. Suatu sistem persamaan linier dikatakan homogen jika suku bebasnya setiap orang persamaan sistem adalah nol. Sebagai contoh:
Cukup jelas bahwa sistem homogen selalu konsisten, yaitu, selalu memiliki solusi. Dan, pertama-tama, apa yang disebut remeh keputusan 
. Sepele, bagi yang sama sekali tidak mengerti arti kata sifat, berarti bespontovoe. Tidak secara akademis, tentu saja, tetapi secara cerdas =) ... Mengapa bertele-tele, mari kita cari tahu apakah sistem ini memiliki solusi lain:
Contoh 1
Keputusan: untuk menyelesaikan sistem homogen perlu ditulis matriks sistem dan dengan bantuan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap. Perhatikan bahwa tidak perlu menuliskan bilah vertikal dan kolom nol anggota gratis di sini - karena apa pun yang Anda lakukan dengan nol, mereka akan tetap nol: 
(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan dengan -2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan -3.
(2) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan -1.
Membagi baris ketiga dengan 3 tidak masuk akal.
Sebagai hasil dari transformasi dasar, sistem homogen yang setara diperoleh 
, dan, dengan menerapkan gerakan kebalikan dari metode Gaussian, mudah untuk memverifikasi bahwa solusinya adalah unik.
Menjawab:
Mari kita merumuskan kriteria yang jelas: sistem persamaan linear homogen memiliki hanya solusi sepele, jika peringkat matriks sistem(dalam hal ini, 3) sama dengan jumlah variabel (dalam hal ini, 3 pcs.).
Kami menghangatkan dan menyetel radio kami ke gelombang transformasi dasar:
Contoh 2
Memecahkan sistem persamaan linear homogen 
Dari artikel Bagaimana cara mencari rank suatu matriks? kita ingat metode rasional yang secara kebetulan mengurangi jumlah matriks. Jika tidak, Anda harus menyembelih ikan yang besar dan sering menggigit. Contoh tugas di akhir pelajaran.
Nol baik dan nyaman, tetapi dalam praktiknya kasusnya jauh lebih umum ketika baris-baris matriks sistem bergantung linier. Dan kemudian munculnya solusi umum tidak bisa dihindari:
Contoh 3
Memecahkan sistem persamaan linear homogen 
Keputusan: kami menulis matriks sistem dan, menggunakan transformasi dasar, kami membawanya ke bentuk langkah. Tindakan pertama ditujukan tidak hanya untuk mendapatkan nilai tunggal, tetapi juga untuk mengurangi angka di kolom pertama:
(1) Baris ketiga ditambahkan ke baris pertama, dikalikan dengan -1. Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan dengan -2. Di kiri atas, saya mendapat unit dengan "minus", yang seringkali jauh lebih nyaman untuk transformasi lebih lanjut.
(2) Dua baris pertama sama, salah satunya telah dihapus. Sejujurnya, saya tidak menyesuaikan keputusan - itu terjadi. Jika Anda melakukan transformasi dalam template, maka ketergantungan linier garis akan muncul sedikit kemudian.
(3) Untuk baris ketiga, tambahkan baris kedua, dikalikan 3.
(4) Tanda baris pertama telah diubah.
Sebagai hasil dari transformasi dasar, sistem ekivalen diperoleh: 
Algoritma bekerja persis sama seperti untuk sistem heterogen. Variabel "duduk di tangga" adalah yang utama, variabel yang tidak mendapatkan "langkah" gratis.
Kami mengungkapkan variabel dasar dalam hal variabel bebas: 
Menjawab: keputusan bersama: 
Solusi sepele termasuk dalam rumus umum, dan tidak perlu untuk menulisnya secara terpisah.
Verifikasi juga dilakukan sesuai dengan skema yang biasa: solusi umum yang dihasilkan harus disubstitusikan ke sisi kiri setiap persamaan sistem dan nol yang sah diperoleh untuk semua substitusi.
Ini dapat diakhiri dengan tenang, tetapi solusi dari sistem persamaan yang homogen sering kali perlu direpresentasikan dalam bentuk vektor melalui sistem keputusan mendasar. Tolong lupakan sementara geometri analitik, karena sekarang kita akan berbicara tentang vektor dalam pengertian aljabar umum, yang sedikit saya buka di artikel tentang peringkat matriks. Terminologi tidak perlu diarsir, semuanya cukup sederhana.
Contoh 1 . Temukan solusi umum dan beberapa solusi sistem fundamental untuk sistem tersebutKeputusan temukan dengan kalkulator. Algoritma penyelesaiannya sama dengan sistem persamaan linear tak homogen.
Beroperasi hanya dengan baris, kami menemukan peringkat matriks, minor dasar; kita mendeklarasikan tidak diketahui dependen dan bebas dan menemukan solusi umum.
Baris pertama dan kedua proporsional, salah satunya akan dihapus:
.
Variabel terikat - x 2, x 3, x 5, bebas - x 1, x 4. Dari persamaan pertama 10x 5 = 0 kita cari x 5 = 0, maka
; .
Solusi umum terlihat seperti:
Kami menemukan sistem dasar solusi, yang terdiri dari (n-r) solusi. Dalam kasus kami, n=5, r=3, oleh karena itu, sistem dasar solusi terdiri dari dua solusi, dan solusi ini harus bebas linier. Agar baris-baris bebas linier, perlu dan cukup bahwa pangkat matriks yang terdiri dari elemen-elemen baris sama dengan jumlah baris, yaitu, 2. Cukup untuk memberikan yang tidak diketahui bebas x 1 dan x 4 nilai dari baris determinan orde kedua, yang berbeda dari nol, dan hitung x 2 , x 3 , x 5 . Determinan tak nol yang paling sederhana adalah .
Jadi solusi pertama adalah:
, kedua - 
.
Kedua keputusan ini merupakan sistem keputusan yang mendasar. Perhatikan bahwa sistem fundamental tidak unik (penentu selain nol dapat disusun sebanyak yang Anda suka).
Contoh 2 . Temukan solusi umum dan sistem fundamental dari solusi sistem 
Keputusan.
,
maka pangkat matriks adalah 3 dan sama dengan jumlah yang tidak diketahui. Ini berarti bahwa sistem tidak memiliki variabel bebas yang tidak diketahui, dan karena itu memiliki solusi unik - solusi yang sepele.
Latihan . Jelajahi dan selesaikan sistem persamaan linier.
Contoh 4
Latihan . Temukan solusi umum dan khusus untuk setiap sistem.
Keputusan. Kami menulis matriks utama sistem:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Kami membawa matriks ke bentuk segitiga. Kami hanya akan bekerja dengan baris, karena mengalikan baris matriks dengan angka bukan nol dan menambahkannya ke baris lain untuk sistem berarti mengalikan persamaan dengan angka yang sama dan menambahkannya ke persamaan lain, yang tidak mengubah solusi dari sistem.
Kalikan baris ke-2 dengan (-5). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Kalikan baris ke-2 dengan (6). Kalikan baris ke-3 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2:
Carilah rank dari matriks tersebut.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Minor yang disorot memiliki urutan tertinggi (dari kemungkinan minor) dan bukan nol (sama dengan produk elemen pada diagonal timbal balik), maka rang(A) = 2.
kecil ini adalah dasar. Ini termasuk koefisien untuk x 1, x 2 yang tidak diketahui, yang berarti bahwa x 1, x 2 yang tidak diketahui adalah dependen (dasar), dan x 3, x 4, x 5 bebas.
Kami mengubah matriks, hanya menyisakan minor dasar di sebelah kiri.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x2 | x4 | x 3 | x5 |
Sistem dengan koefisien matriks ini setara dengan sistem asli dan berbentuk:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Dengan metode eliminasi yang tidak diketahui, kami menemukan solusi non-sepele:
Kami memperoleh hubungan yang menyatakan variabel dependen x 1 ,x 2 melalui x 3 ,x 4 ,x 5 gratis, yaitu, kami menemukan keputusan bersama:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Kami menemukan sistem dasar solusi, yang terdiri dari (n-r) solusi.
Dalam kasus kami, n=5, r=2, oleh karena itu, sistem dasar solusi terdiri dari 3 solusi, dan solusi ini harus bebas linier.
Agar baris bebas linier, perlu dan cukup bahwa pangkat matriks yang terdiri dari elemen-elemen baris sama dengan jumlah baris, yaitu 3.
Cukup dengan memberikan nilai x 3 ,x 4 ,x 5 bebas yang tidak diketahui dari baris-baris determinan orde ke-3, berbeda dengan nol, dan hitung x 1 ,x 2 .
Determinan tak nol yang paling sederhana adalah matriks identitas.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Tugas . Temukan himpunan solusi fundamental untuk sistem persamaan linier homogen.
Bahkan di sekolah, kita masing-masing mempelajari persamaan dan, tentu saja, sistem persamaan. Namun tidak banyak orang yang mengetahui bahwa ada beberapa cara untuk mengatasinya. Hari ini kita akan menganalisis secara rinci semua metode untuk memecahkan sistem persamaan aljabar linier, yang terdiri dari lebih dari dua persamaan.
Cerita
Hari ini diketahui bahwa seni memecahkan persamaan dan sistemnya berasal dari Babel dan Mesir kuno. Namun, persamaan dalam bentuknya yang biasa muncul setelah munculnya tanda sama dengan "=", yang diperkenalkan pada tahun 1556 oleh ahli matematika Inggris Record. Ngomong-ngomong, tanda ini dipilih karena suatu alasan: itu berarti dua segmen paralel yang sama. Memang, tidak ada contoh kesetaraan yang lebih baik.
Pendiri penunjukan huruf modern yang tidak diketahui dan tanda derajat adalah seorang matematikawan Prancis.Namun, sebutannya berbeda secara signifikan dari hari ini. Misalnya, ia menunjukkan kuadrat dari angka yang tidak diketahui dengan huruf Q (lat. "quadratus"), dan kubus dengan huruf C (lat. "cubus"). Notasi ini tampak canggung sekarang, tetapi saat itu cara yang paling mudah dipahami untuk menulis sistem persamaan aljabar linier.
Namun, kelemahan dalam metode penyelesaian saat itu adalah bahwa matematikawan hanya mempertimbangkan akar positif. Mungkin ini karena fakta bahwa nilai negatif tidak memiliki kegunaan praktis. Dengan satu atau lain cara, matematikawan Italia Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano dan Rafael Bombellilah yang pertama kali mempertimbangkan akar negatif pada abad ke-16. Dan pandangan modern, metode solusi utama (melalui diskriminan) diciptakan hanya pada abad ke-17 berkat karya Descartes dan Newton.
Pada pertengahan abad ke-18, matematikawan Swiss Gabriel Cramer menemukan cara baru untuk membuat penyelesaian sistem persamaan linier menjadi lebih mudah. Metode ini kemudian dinamai menurut namanya dan sampai hari ini kami menggunakannya. Tetapi kita akan berbicara tentang metode Cramer nanti, tetapi untuk saat ini kita akan membahas persamaan linier dan metode untuk menyelesaikannya secara terpisah dari sistem.
Persamaan linear
Persamaan linier adalah persamaan paling sederhana dengan variabel. Mereka diklasifikasikan sebagai aljabar. tulis dalam bentuk umum sebagai berikut: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... dan n * x n \u003d b. Kita akan membutuhkan representasi mereka dalam bentuk ini ketika mengkompilasi sistem dan matriks lebih lanjut.
Sistem persamaan aljabar linier
Definisi istilah ini adalah sebagai berikut: ini adalah himpunan persamaan yang memiliki persamaan yang tidak diketahui dan solusi yang umum. Sebagai aturan, di sekolah, semuanya diselesaikan dengan sistem dengan dua atau bahkan tiga persamaan. Tetapi ada sistem dengan empat atau lebih komponen. Mari kita cari tahu cara menuliskannya terlebih dahulu sehingga nyaman untuk menyelesaikannya nanti. Pertama, sistem persamaan aljabar linier akan terlihat lebih baik jika semua variabel ditulis sebagai x dengan indeks yang sesuai: 1,2,3, dan seterusnya. Kedua, semua persamaan harus dibawa ke bentuk kanonik: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.
Setelah semua tindakan ini, kita dapat mulai berbicara tentang bagaimana menemukan solusi untuk sistem persamaan linier. Matriks sangat berguna untuk ini.
matriks
Matriks adalah tabel yang terdiri dari baris dan kolom, dan di persimpangan mereka adalah elemen-elemennya. Ini bisa berupa nilai atau variabel tertentu. Paling sering, untuk menunjuk elemen, subskrip ditempatkan di bawahnya (misalnya, 11 atau 23). Indeks pertama berarti nomor baris dan yang kedua nomor kolom. Pada matriks, serta elemen matematika lainnya, Anda dapat melakukan berbagai operasi. Dengan demikian, Anda dapat:
2) Kalikan matriks dengan beberapa angka atau vektor.
3) Transpose: mengubah baris matriks menjadi kolom dan kolom menjadi baris.
4) Kalikan matriks jika jumlah baris salah satunya sama dengan jumlah kolom yang lain.
Kami akan membahas semua teknik ini secara lebih rinci, karena akan berguna bagi kami di masa depan. Pengurangan dan penambahan matriks sangatlah mudah. Karena kita mengambil matriks dengan ukuran yang sama, setiap elemen dari satu tabel berkorespondensi dengan setiap elemen dari tabel lainnya. Jadi, kami menambahkan (mengurangi) dua elemen ini (penting bahwa mereka berada di tempat yang sama dalam matriks mereka). Saat mengalikan matriks dengan angka atau vektor, Anda hanya perlu mengalikan setiap elemen matriks dengan angka (atau vektor) tersebut. Transposisi adalah proses yang sangat menarik. Terkadang sangat menarik untuk melihatnya dalam kehidupan nyata, misalnya, ketika mengubah orientasi tablet atau ponsel. Ikon di desktop adalah matriks, dan ketika Anda mengubah posisinya, itu berubah posisi dan menjadi lebih lebar, tetapi ketinggiannya berkurang.
Mari kita menganalisis proses seperti Meskipun tidak akan berguna bagi kita, akan tetap berguna untuk mengetahuinya. Anda dapat mengalikan dua matriks hanya jika jumlah kolom dalam satu tabel sama dengan jumlah baris di tabel lainnya. Sekarang mari kita ambil elemen baris dari satu matriks dan elemen kolom yang sesuai dari matriks lainnya. Kami mengalikannya satu sama lain dan kemudian menambahkannya (yaitu, misalnya, produk dari elemen a 11 dan a 12 dengan b 12 dan b 22 akan sama dengan: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Dengan demikian, satu elemen tabel diperoleh, dan diisi lebih lanjut dengan metode serupa.
Sekarang kita dapat mulai mempertimbangkan bagaimana sistem persamaan linear diselesaikan.
Metode Gauss
Topik ini dimulai di sekolah. Kita tahu betul konsep "sistem dua persamaan linier" dan tahu bagaimana menyelesaikannya. Tetapi bagaimana jika jumlah persamaan lebih dari dua? Ini akan membantu kita
Tentu saja, metode ini nyaman digunakan jika Anda membuat matriks dari sistem. Tetapi Anda tidak dapat mengubahnya dan menyelesaikannya dalam bentuknya yang murni.
Jadi, bagaimana sistem persamaan Gaussian linier diselesaikan dengan metode ini? Omong-omong, meskipun metode ini dinamai menurut namanya, itu ditemukan di zaman kuno. Gauss mengusulkan hal berikut: untuk melakukan operasi dengan persamaan untuk akhirnya mereduksi seluruh himpunan menjadi bentuk bertahap. Artinya, perlu bahwa dari atas ke bawah (jika ditempatkan dengan benar) dari persamaan pertama hingga terakhir, satu yang tidak diketahui berkurang. Dengan kata lain, kita perlu memastikan bahwa kita mendapatkan, katakanlah, tiga persamaan: yang pertama - tiga yang tidak diketahui, yang kedua - dua, yang ketiga - satu. Kemudian dari persamaan terakhir kita cari yang pertama tidak diketahui, substitusikan nilainya ke persamaan kedua atau pertama, lalu cari dua variabel sisanya.
Metode Cramer
Untuk menguasai metode ini, sangat penting untuk menguasai keterampilan penjumlahan, pengurangan matriks, dan Anda juga harus dapat menemukan determinan. Karena itu, jika Anda melakukan semua ini dengan buruk atau tidak tahu caranya sama sekali, Anda harus belajar dan berlatih.
Apa inti dari metode ini, dan bagaimana membuatnya sehingga diperoleh sistem persamaan Cramer linier? Semuanya sangat sederhana. Kita harus membangun matriks dari koefisien numerik (hampir selalu) dari sistem persamaan aljabar linier. Untuk melakukan ini, kita cukup mengambil angka di depan yang tidak diketahui dan meletakkannya di tabel dalam urutan yang tertulis di sistem. Jika angka didahului dengan tanda "-", maka kita menuliskan koefisien negatif. Jadi, kami telah menyusun matriks pertama dari koefisien yang tidak diketahui, tidak termasuk angka setelah tanda sama dengan (tentu saja, persamaan harus direduksi ke bentuk kanonik, ketika hanya angka di sebelah kanan, dan semua yang tidak diketahui dengan koefisien di sebelah kiri). Maka Anda perlu membuat beberapa matriks lagi - satu untuk setiap variabel. Untuk melakukan ini, pada matriks pertama, pada gilirannya, kami mengganti setiap kolom dengan koefisien dengan kolom angka setelah tanda sama dengan. Jadi, kami memperoleh beberapa matriks dan kemudian menemukan determinannya.
Setelah kami menemukan determinannya, masalahnya kecil. Kami memiliki matriks awal, dan ada beberapa matriks yang dihasilkan yang sesuai dengan variabel yang berbeda. Untuk mendapatkan solusi sistem, kita membagi determinan tabel yang dihasilkan dengan determinan tabel awal. Angka yang dihasilkan adalah nilai dari salah satu variabel. Demikian pula, kami menemukan semua yang tidak diketahui.
Metode lain
Ada beberapa metode lagi untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linier. Misalnya, yang disebut metode Gauss-Jordan, yang digunakan untuk menemukan solusi sistem persamaan kuadrat dan juga dikaitkan dengan penggunaan matriks. Ada juga metode Jacobi untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier. Ini adalah yang paling mudah untuk beradaptasi dengan komputer dan digunakan dalam teknologi komputer.
Kasus-kasus sulit
Kompleksitas biasanya muncul ketika jumlah persamaan kurang dari jumlah variabel. Kemudian kita dapat mengatakan dengan pasti bahwa sistem tersebut tidak konsisten (yaitu, tidak memiliki akar), atau jumlah penyelesaiannya cenderung tak terhingga. Jika kita memiliki kasus kedua, maka kita perlu menuliskan solusi umum dari sistem persamaan linier. Ini akan berisi setidaknya satu variabel.
Kesimpulan
Di sini kita sampai pada akhir. Mari kita rangkum: kita telah menganalisis apa itu sistem dan matriks, mempelajari cara menemukan solusi umum untuk sistem persamaan linier. Selain itu, opsi lain juga dipertimbangkan. Kami menemukan bagaimana sistem persamaan linear diselesaikan: metode Gauss dan Kami berbicara tentang kasus-kasus sulit dan cara lain untuk menemukan solusi.
Faktanya, topik ini jauh lebih luas, dan jika Anda ingin lebih memahaminya, kami menyarankan Anda untuk membaca literatur yang lebih khusus.
Kami akan terus memoles tekniknya transformasi dasar pada sistem persamaan linear homogen.
Menurut paragraf pertama, materinya mungkin tampak membosankan dan biasa saja, tetapi kesan ini menipu. Akan ada banyak informasi baru selain pengembangan teknik lebih lanjut, jadi tolong jangan mengabaikan contoh dalam artikel ini.
Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear homogen?
Jawabannya menyarankan dirinya sendiri. Suatu sistem persamaan linier dikatakan homogen jika suku bebasnya setiap orang persamaan sistem adalah nol. Sebagai contoh:
Cukup jelas bahwa sistem homogen selalu konsisten, yaitu, selalu memiliki solusi. Dan, pertama-tama, apa yang disebut remeh keputusan 
. Sepele, bagi yang sama sekali tidak mengerti arti kata sifat, berarti bespontovoe. Tidak secara akademis, tentu saja, tetapi secara cerdas =) ... Mengapa bertele-tele, mari kita cari tahu apakah sistem ini memiliki solusi lain:
Contoh 1
Keputusan: untuk menyelesaikan sistem homogen perlu ditulis matriks sistem dan dengan bantuan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap. Perhatikan bahwa tidak perlu menuliskan bilah vertikal dan kolom nol anggota gratis di sini - karena apa pun yang Anda lakukan dengan nol, mereka akan tetap nol: 
(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan dengan -2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan -3.
(2) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan -1.
Membagi baris ketiga dengan 3 tidak masuk akal.
Sebagai hasil dari transformasi dasar, sistem homogen yang setara diperoleh 
, dan, dengan menerapkan gerakan kebalikan dari metode Gaussian, mudah untuk memverifikasi bahwa solusinya adalah unik.
Menjawab: 
Mari kita merumuskan kriteria yang jelas: sistem persamaan linear homogen memiliki hanya solusi sepele, jika peringkat matriks sistem(dalam hal ini, 3) sama dengan jumlah variabel (dalam hal ini, 3 pcs.).
Kami menghangatkan dan menyetel radio kami ke gelombang transformasi dasar:
Contoh 2
Memecahkan sistem persamaan linear homogen 
Untuk akhirnya memperbaiki algoritme, mari kita analisis tugas akhir:
Contoh 7
Selesaikan sistem homogen, tulis jawabannya dalam bentuk vektor. 
Keputusan: kami menulis matriks sistem dan, menggunakan transformasi dasar, kami membawanya ke bentuk bertahap: 
(1) Tanda baris pertama telah diubah. Sekali lagi, saya menarik perhatian pada teknik yang berulang kali bertemu, yang memungkinkan Anda untuk menyederhanakan tindakan berikut secara signifikan.
(1) Baris pertama ditambahkan ke baris ke-2 dan ke-3. Baris pertama dikalikan 2 ditambahkan ke baris ke-4.
(3) Tiga baris terakhir proporsional, dua di antaranya dihilangkan.
Akibatnya, matriks langkah standar diperoleh, dan solusinya berlanjut di sepanjang jalur knurled:
– variabel dasar;
adalah variabel bebas.
Kami menyatakan variabel dasar dalam istilah variabel bebas. Dari persamaan ke-2:
- substitusikan ke persamaan pertama:
Jadi solusi umumnya adalah:
Karena ada tiga variabel bebas dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, sistem fundamental berisi tiga vektor.
Mari kita substitusikan tiga kali lipat nilai 
ke dalam solusi umum dan dapatkan vektor yang koordinatnya memenuhi setiap persamaan sistem homogen. Dan sekali lagi, saya ulangi bahwa sangat diinginkan untuk memeriksa setiap vektor yang diterima - tidak akan memakan banyak waktu, tetapi akan menghemat seratus persen dari kesalahan.
Untuk nilai tiga kali lipat 
cari vektornya
Dan akhirnya untuk triple 
kita mendapatkan vektor ketiga:
Menjawab: , di mana
Mereka yang ingin menghindari nilai pecahan dapat mempertimbangkan kembar tiga 
dan dapatkan jawabannya dalam bentuk yang setara:
Berbicara tentang pecahan. Mari kita lihat matriks yang diperoleh dalam masalah 
dan ajukan pertanyaan - apakah mungkin untuk menyederhanakan solusi lebih lanjut? Bagaimanapun, di sini pertama-tama kita menyatakan variabel dasar dalam bentuk pecahan, kemudian variabel dasar dalam bentuk pecahan, dan, harus saya katakan, proses ini bukanlah yang termudah dan bukan yang paling menyenangkan.
Solusi kedua:
Idenya adalah untuk mencoba pilih variabel dasar lainnya. Mari kita lihat matriks dan perhatikan dua matriks di kolom ketiga. Jadi mengapa tidak mendapatkan nol di atas? Mari kita buat satu lagi transformasi dasar:
