notasi matematika("bahasa matematika") - notasi grafis kompleks yang menyajikan ide dan penilaian matematika abstrak dalam bentuk yang dapat dibaca manusia. Itu membuat (dalam kompleksitas dan keragamannya) proporsi signifikan dari sistem tanda non-ucapan yang digunakan oleh umat manusia. Artikel ini menjelaskan tentang notasi internasional yang diterima secara umum, meskipun budaya yang berbeda di masa lalu memilikinya sendiri, dan beberapa di antaranya bahkan terbatas penggunaannya hingga sekarang.
Perhatikan bahwa notasi matematika, sebagai suatu peraturan, digunakan bersama dengan bentuk tertulis dari beberapa bahasa alami.
Selain matematika dasar dan terapan, notasi matematika banyak digunakan dalam fisika, serta (dalam cakupannya yang tidak lengkap) dalam teknik, ilmu komputer, ekonomi, dan bahkan di semua bidang aktivitas manusia di mana model matematika digunakan. Perbedaan antara matematika yang tepat dan gaya notasi yang diterapkan akan dibahas dalam teks.
YouTube ensiklopedis
1 / 5
Masuk / masuk matematika
Matematika Kelas 3. Tabel digit angka multi-digit
Set dalam matematika
Matematika 19. Kegembiraan matematika - sekolah Shishkin
Subtitle
Hai! Video ini bukan tentang matematika, melainkan tentang etimologi dan semiotika. Tapi saya yakin Anda akan menyukainya. Pergi! Tahukah Anda bahwa pencarian solusi persamaan kubik dalam bentuk umum membutuhkan waktu beberapa abad bagi matematikawan? Ini sebagian kenapa? Karena tidak ada simbol yang jelas untuk pikiran yang jernih, apakah itu waktu kita. Ada begitu banyak karakter yang bisa membuat Anda bingung. Tapi Anda tidak bisa membodohi kami, mari kita cari tahu. Ini adalah huruf kapital terbalik A. Ini sebenarnya adalah huruf bahasa Inggris, tercantum pertama dalam kata "semua" dan "apa saja". Dalam bahasa Rusia, simbol ini, tergantung pada konteksnya, dapat dibaca seperti ini: untuk siapa saja, semua orang, semua orang, semua orang, dan seterusnya. Hieroglif semacam itu akan disebut pengukur universal. Dan ini adalah quantifier lain, tetapi sudah ada. Huruf Inggris e tercermin dalam Paint dari kiri ke kanan, dengan demikian mengisyaratkan kata kerja luar negeri "ada", menurut pendapat kami, kami akan membaca: ada, ada, ada cara lain yang serupa. Tanda seru akan menambah keunikan pada kuantifier eksistensial semacam itu. Jika ini jelas, kita lanjutkan. Anda mungkin menemukan integral tak tentu di kelas kesebelas, jadi saya ingin mengingatkan Anda bahwa ini bukan hanya semacam antiturunan, tetapi kumpulan semua antiturunan dari integral tersebut. Jadi jangan lupakan C - konstanta integrasi. Omong-omong, ikon integral itu sendiri hanyalah huruf s yang memanjang, gema dari kata Latin sum. Inilah tepatnya arti geometris dari integral tertentu: pencarian luas gambar di bawah grafik dengan menjumlahkan nilai-nilai yang sangat kecil. Bagi saya, ini adalah aktivitas paling romantis dalam kalkulus. Tapi geometri sekolah paling berguna karena mengajarkan ketelitian logis. Pada kursus pertama, Anda harus memiliki pemahaman yang jelas tentang apa itu konsekuensi, apa itu ekuivalensi. Nah, Anda tidak bisa bingung antara kebutuhan dan kecukupan, Anda mengerti? Mari kita coba menggali sedikit lebih dalam. Jika Anda memutuskan untuk mengambil matematika yang lebih tinggi, maka saya dapat membayangkan betapa buruknya kehidupan pribadi Anda, tetapi itulah sebabnya Anda pasti akan setuju untuk mengatasi latihan kecil. Ada tiga titik di sini, masing-masing memiliki sisi kiri dan kanan, yang perlu Anda hubungkan dengan salah satu dari tiga simbol yang digambar. Silakan jeda, coba sendiri, dan kemudian dengarkan apa yang saya katakan. Jika x=-2, maka |x|=2, tetapi dari kiri ke kanan, maka frasa tersebut sudah dibangun. Di paragraf kedua, hal yang sama ditulis di sisi kiri dan kanan. Dan poin ketiga dapat dikomentari sebagai berikut: setiap persegi panjang adalah jajar genjang, tetapi tidak setiap jajar genjang adalah persegi panjang. Ya, saya tahu Anda tidak lagi kecil, tetapi saya tetap memberi tepuk tangan kepada mereka yang telah mengatasi latihan ini. Baiklah, cukup, mari kita ingat set angka. Bilangan asli digunakan dalam penghitungan: 1, 2, 3, 4 dan seterusnya. Di alam, -1 apel tidak ada, tetapi, omong-omong, bilangan bulat memungkinkan Anda untuk membicarakan hal-hal seperti itu. Huruf berteriak kepada kita tentang peran penting nol, himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf , dan ini bukan kebetulan. Dalam bahasa Inggris, kata "quotient" berarti "sikap". Ngomong-ngomong, jika di suatu tempat di Brooklyn seorang Afrika-Amerika mendekati Anda dan berkata: "Tetap nyata!" - Anda dapat yakin bahwa Anda adalah seorang ahli matematika, pengagum bilangan real. Nah, Anda harus membaca sesuatu tentang bilangan kompleks, itu akan lebih bermanfaat. Kami sekarang akan memutar kembali, kembali ke kelas satu sekolah Yunani yang paling biasa. Singkatnya, mari kita ingat alfabet kuno. Huruf pertama alfa, lalu betta, kail ini gamma, lalu delta, disusul epsilon, dan seterusnya, hingga huruf terakhir omega. Anda dapat yakin bahwa orang Yunani juga memiliki huruf kapital, tetapi kita tidak akan membicarakan hal-hal yang menyedihkan sekarang. Kami lebih baik tentang ceria - tentang batasan. Tapi di sini tidak ada teka-teki, segera jelas dari kata mana simbol matematika itu muncul. Nah, oleh karena itu, kita bisa melanjutkan ke bagian akhir video. Silakan coba jabarkan definisi limit barisan bilangan, yang sekarang tertulis di depan Anda. Klik jeda dan pikirkan, dan semoga Anda mendapatkan kebahagiaan seorang anak berusia satu tahun yang telah belajar kata "ibu." Jika untuk setiap epsilon yang lebih besar dari nol ada bilangan bulat positif N, sehingga untuk semua bilangan barisan numerik yang lebih besar dari N, pertidaksamaan |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]
Informasi Umum
Sistem berkembang, seperti bahasa alami, secara historis (lihat sejarah notasi matematika), dan diatur seperti penulisan bahasa alami, meminjam dari sana juga banyak simbol (terutama dari huruf Latin dan Yunani). Simbol, serta dalam tulisan biasa, digambarkan dengan garis kontras pada latar belakang yang seragam (hitam di atas kertas putih, terang di papan gelap, kontras di monitor, dll.), dan artinya ditentukan terutama oleh bentuk dan relatif posisi. Warna tidak diperhitungkan dan biasanya tidak digunakan, tetapi ketika menggunakan huruf, karakteristiknya seperti gaya dan bahkan jenis huruf, yang tidak mempengaruhi makna dalam tulisan biasa, dapat memainkan peran semantik dalam notasi matematika.
Struktur
Notasi matematika biasa (khususnya, yang disebut rumus matematika) ditulis secara umum dalam string dari kiri ke kanan, tetapi tidak harus merupakan string karakter yang berurutan. Blok karakter yang terpisah dapat ditempatkan di bagian atas atau bawah baris, bahkan jika karakter tidak tumpang tindih secara vertikal. Juga, beberapa bagian terletak seluruhnya di atas atau di bawah garis. Di sisi tata bahasa, hampir semua "rumus" dapat dianggap sebagai struktur tipe pohon yang terorganisir secara hierarkis.
Standardisasi
Notasi matematika mewakili suatu sistem dalam hal hubungan komponen-komponennya, tetapi, secara umum, bukan merupakan sistem formal (dalam pemahaman matematika itu sendiri). Mereka, dalam kasus yang rumit, bahkan tidak dapat dibongkar secara terprogram. Seperti bahasa alami lainnya, "bahasa matematika" penuh dengan penunjukan yang tidak konsisten, homograf, interpretasi yang berbeda (di antara penuturnya) tentang apa yang dianggap benar, dll. Bahkan tidak ada alfabet simbol matematika yang dapat diperkirakan sebelumnya, dan khususnya karena pertanyaan tidak selalu dengan jelas diselesaikan apakah akan mempertimbangkan dua sebutan sebagai karakter yang berbeda atau sebagai ejaan yang berbeda dari satu karakter.
Beberapa notasi matematika (terutama yang terkait dengan pengukuran) distandarisasi dalam ISO 31 -11, tetapi secara umum, tidak ada standarisasi notasi.
Elemen notasi matematika
angka
Jika perlu, terapkan sistem bilangan dengan basis kurang dari sepuluh, basis ditulis dengan subskrip: 20003 8 . Sistem bilangan dengan basis lebih besar dari sepuluh tidak digunakan dalam notasi matematika yang diterima secara umum (walaupun, tentu saja, mereka dipelajari oleh sains itu sendiri), karena jumlahnya tidak cukup. Sehubungan dengan perkembangan ilmu komputer, sistem bilangan heksadesimal menjadi relevan, di mana angka dari 10 hingga 15 ditunjukkan oleh enam huruf latin pertama dari A hingga F. Beberapa pendekatan berbeda digunakan untuk menyebut angka tersebut dalam ilmu komputer , tetapi mereka tidak ditransfer ke matematika.
Karakter superskrip dan subskrip
Tanda kurung, simbol serupa, dan pembatas
Tanda kurung "()" digunakan:
Tanda kurung siku "" sering digunakan dalam pengelompokan makna ketika Anda harus menggunakan banyak pasang tanda kurung. Dalam hal ini, mereka ditempatkan di luar dan (dengan tipografi yang rapi) memiliki ketinggian yang lebih tinggi daripada tanda kurung yang ada di dalam.
Kurung kotak "" dan bulat "()" digunakan untuk masing-masing menunjukkan ruang tertutup dan ruang terbuka.
Tanda kurung kurawal "()" biasanya digunakan untuk , meskipun peringatan yang sama berlaku untuk tanda kurung siku. Tanda kurung "(" dan kanan ")" kiri dapat digunakan secara terpisah; tujuan mereka dijelaskan.
Simbol kurung siku " (\displaystyle \langle \;\rangle )» dengan tipografi yang rapi harus memiliki sudut tumpul dan dengan demikian berbeda dari yang serupa yang memiliki sudut siku-siku atau lancip. Dalam praktiknya, seseorang seharusnya tidak mengharapkan ini (terutama ketika menulis rumus secara manual) dan seseorang harus membedakannya dengan bantuan intuisi.
Sepasang simbol simetris (berkenaan dengan sumbu vertikal), termasuk yang selain yang terdaftar, sering digunakan untuk menyorot sepotong rumus. Tujuan dari kurung berpasangan dijelaskan.
indeks
Tergantung pada lokasi, superskrip dan subskrip dibedakan. Superskrip dapat berarti (tetapi tidak selalu berarti) eksponensial ke , tentang kegunaan lain dari .
Variabel
Dalam sains, ada himpunan besaran, dan salah satu dari mereka dapat mengambil salah satu himpunan nilai dan disebut variabel nilai (varian), atau hanya satu nilai dan disebut konstanta. Dalam matematika, besaran sering dibelokkan dari arti fisis, dan kemudian variabel berubah menjadi abstrak(atau numerik) variabel, dilambangkan dengan beberapa simbol yang tidak ditempati oleh notasi khusus yang disebutkan di atas.
Variabel X dianggap diberikan jika kumpulan nilai yang dibutuhkan ditentukan (x). Lebih mudah untuk mempertimbangkan nilai konstan sebagai variabel yang set yang sesuai (x) terdiri dari satu elemen.
Fungsi dan Operator
Secara matematis, tidak ada perbedaan yang signifikan antara operator(unary), pemetaan dan fungsi.
Namun, tersirat bahwa jika untuk merekam nilai pemetaan dari argumen yang diberikan, perlu untuk menentukan , maka simbol pemetaan ini menunjukkan fungsi, dalam kasus lain lebih cenderung berbicara tentang operator. Simbol dari beberapa fungsi dari satu argumen digunakan dengan dan tanpa tanda kurung. Banyak fungsi dasar, misalnya sin x (\displaystyle \sin x) atau sin (x) (\displaystyle \sin(x)), tetapi fungsi dasar selalu disebut fungsi.
Operator dan Relasi (Unary dan Biner)
Fungsi
Fungsi dapat dirujuk dalam dua pengertian: sebagai ekspresi nilainya dengan argumen yang diberikan (ditulis f (x) , f (x , y) (\gaya tampilan f(x),\ f(x,y)) dll.) atau sebenarnya sebagai fungsi. Dalam kasus terakhir, hanya simbol fungsi yang diletakkan, tanpa tanda kurung (walaupun mereka sering menulisnya secara acak).
Ada banyak notasi untuk fungsi umum yang digunakan dalam pekerjaan matematika tanpa penjelasan lebih lanjut. Jika tidak, fungsi tersebut harus dijelaskan entah bagaimana, dan dalam matematika dasar tidak berbeda secara mendasar dan persis sama dilambangkan dengan huruf arbitrer. Huruf f adalah yang paling populer untuk fungsi variabel, g dan kebanyakan bahasa Yunani juga sering digunakan.
Penunjukan yang telah ditentukan sebelumnya (dipesan)
Namun, sebutan satu huruf dapat, jika diinginkan, diberi arti yang berbeda. Misalnya, huruf i sering digunakan sebagai indeks dalam konteks di mana bilangan kompleks tidak berlaku, dan huruf tersebut dapat digunakan sebagai variabel dalam beberapa kombinatorik. Juga, simbol teori himpunan (seperti " (\displaystyle \subset )" dan " (\displaystyle \supset )”) dan kalkulus proposisional (seperti “ (\displaystyle \wedge )" dan " (\displaystyle\vee )”) dapat digunakan dalam pengertian lain, biasanya masing-masing sebagai relasi order dan operasi biner.
pengindeksan
Pengindeksan diplot (biasanya bawah, kadang-kadang atas) dan, dalam arti tertentu, cara untuk memperluas konten variabel. Namun, ini digunakan dalam tiga pengertian yang sedikit berbeda (meskipun tumpang tindih).
Sebenarnya angka
Anda dapat memiliki beberapa variabel berbeda dengan menunjukkannya dengan huruf yang sama, mirip dengan menggunakan . Sebagai contoh: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\ x_(2),\ x_(3)\ldots ). Biasanya mereka terhubung oleh beberapa kesamaan, tetapi secara umum ini tidak perlu.
Selain itu, sebagai "indeks" Anda tidak hanya dapat menggunakan angka, tetapi juga karakter apa pun. Namun, ketika variabel dan ekspresi lain ditulis sebagai indeks, entri ini ditafsirkan sebagai "variabel dengan angka yang ditentukan oleh nilai ekspresi indeks."
Dalam analisis tensor
Dalam linear aljabar, tensor analisis, diferensial geometri dengan indeks (dalam bentuk variabel) ditulis
Kursus ini menggunakan bahasa geometris, terdiri dari notasi dan simbol yang diadopsi dalam pelajaran matematika (khususnya, dalam pelajaran geometri baru di sekolah menengah).
Seluruh ragam sebutan dan simbol, serta hubungan di antara mereka, dapat dibagi menjadi dua kelompok:
grup I - sebutan figur geometris dan hubungan di antara mereka;
kelompok II penunjukan operasi logis, yang merupakan dasar sintaksis dari bahasa geometris.
Berikut ini adalah daftar lengkap simbol matematika yang digunakan dalam kursus ini. Perhatian khusus diberikan pada simbol yang digunakan untuk menunjukkan proyeksi bentuk geometris.
Grup I
GAMBAR GEOMETRIS YANG DITENTUKAN SIMBOL DAN HUBUNGAN ANTARANYA
A. Penunjukan bentuk geometris
1. Angka geometris dilambangkan - F.
2. Poin ditunjukkan dengan huruf kapital alfabet Latin atau angka Arab:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Garis-garis yang terletak secara sewenang-wenang dalam kaitannya dengan bidang proyeksi ditunjukkan dengan huruf kecil dari alfabet Latin:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Garis level ditunjukkan: h - horizontal; f- frontal.
Notasi berikut juga digunakan untuk garis lurus:
(AB) - garis lurus yang melewati titik A dan B;
[AB) - sinar dengan awal di titik A;
[AB] - segmen garis lurus yang dibatasi oleh titik A dan B.
4. Permukaan dilambangkan dengan huruf kecil dari alfabet Yunani:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Untuk menekankan cara permukaan didefinisikan, Anda harus menentukan elemen geometris yang mendefinisikannya, misalnya:
(a || b) - bidang ditentukan oleh garis sejajar a dan b;
(d 1 d 2 gα) - permukaan ditentukan oleh pemandu d 1 dan d 2 , generatrix g dan bidang paralelisme .
5. Sudut ditunjukkan:
ABC - sudut dengan puncak di titik B, serta °, °, ... , °, ...
6. Sudut: nilai (ukuran derajat) ditunjukkan oleh tanda, yang ditempatkan di atas sudut:
Nilai sudut ABC;
Nilai sudut .
Sudut siku-siku ditandai dengan bujur sangkar dengan titik di dalamnya
7. Jarak antara bangun geometris ditunjukkan oleh dua segmen vertikal - ||.
Sebagai contoh:
|AB| - jarak antara titik A dan B (panjang ruas AB);
|Aa| - jarak dari titik A ke garis a;
|Aα| - jarak dari titik A ke permukaan ;
|ab| - jarak antara garis a dan b;
|αβ| jarak antara permukaan dan .
8. Untuk bidang proyeksi, sebutan berikut diterima: 1 dan 2, di mana 1 adalah bidang proyeksi horizontal;
bidang proyeksi 2 -fyuntal.
Saat mengganti bidang proyeksi atau memperkenalkan bidang baru, yang terakhir menunjukkan 3, 4, dll.
9. Sumbu proyeksi dilambangkan: x, y, z, di mana x adalah sumbu x; y adalah sumbu y; z - menerapkan sumbu.
Garis konstan diagram Monge dilambangkan dengan k.
10. Proyeksi titik, garis, permukaan, gambar geometris apa pun ditunjukkan dengan huruf (atau angka) yang sama dengan aslinya, dengan tambahan superskrip yang sesuai dengan bidang proyeksi tempat mereka diperoleh:
A", B", C", D", ... , L", M", N", proyeksi horizontal titik; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... proyeksi titik depan; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - proyeksi garis horizontal; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... proyeksi garis depan; ", ", ", ",...,",",ν",... proyeksi horizontal permukaan; ", ", ", ",...,ζ " ,η",ν",... proyeksi frontal permukaan.
11. Jejak bidang (permukaan) ditunjukkan dengan huruf yang sama dengan horizontal atau frontal, dengan tambahan subskrip 0α, yang menekankan bahwa garis-garis ini terletak pada bidang proyeksi dan termasuk dalam bidang (permukaan) .
Jadi: h 0α - jejak horizontal bidang (permukaan) ;
f 0α - jejak frontal bidang (permukaan) .
12. Jejak garis lurus (garis) ditunjukkan dengan huruf kapital yang mengawali kata yang menentukan nama (dalam transkripsi Latin) bidang proyeksi yang dilintasi garis tersebut, dengan subskrip yang menunjukkan milik garis.
Misalnya: H a - jejak horizontal garis lurus (garis) a;
F a - jejak frontal dari garis lurus (garis) a.
13. Barisan titik, garis (dari sembarang gambar) ditandai dengan subskrip 1,2,3,..., n:
A 1, A 2, A 3,..., A n;
a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n ;
1 , 2 , 3 ,...,α n ;
F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n dst.
Proyeksi bantu titik, yang diperoleh sebagai hasil transformasi untuk mendapatkan nilai sebenarnya dari sosok geometris, dilambangkan dengan huruf yang sama dengan subskrip 0:
A 0, B 0, C 0, D 0 , ...
Proyeksi aksonometrik
14. Proyeksi aksonometrik titik, garis, permukaan ditunjukkan dengan huruf yang sama dengan alam dengan penambahan superskrip 0:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0, b 0, c 0 , d 0 , ...
0 , 0 , 0 , 0 , ...
15. Proyeksi sekunder ditunjukkan dengan menambahkan superskrip 1:
A 10 , B 1 0, C 1 0 , D 1 0 , ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 10 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
1 0 , 1 0 , 1 0 , 1 0 , ...
Untuk memudahkan pembacaan gambar dalam buku teks, beberapa warna digunakan dalam desain bahan ilustrasi, yang masing-masing memiliki arti semantik tertentu: garis hitam (titik) menunjukkan data awal; warna hijau digunakan untuk garis konstruksi grafis tambahan; garis merah (titik) menunjukkan hasil konstruksi atau elemen geometris yang harus mendapat perhatian khusus.
| tidak. | Penamaan | Isi | Contoh notasi simbolik |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Cocok | (AB) (CD) - garis lurus yang melalui titik A dan B, berimpit dengan garis yang melalui titik C dan D |
| 2 | ≅ | Kongruen | ABC≅∠MNK - sudut ABC kongruen dengan sudut MNK |
| 3 | ∼ | Serupa | ABS∼ΔMNK - segitiga ABC dan MNK sebangun |
| 4 | || | Paralel | ||β - bidang sejajar dengan bidang |
| 5 | ⊥ | Tegak lurus | a⊥b - garis a dan b tegak lurus |
| 6 | membastar | dengan d - garis c dan d berpotongan | |
| 7 | garis singgung | t l - garis t bersinggungan dengan garis l. - bidang bersinggungan dengan permukaan |
|
| 8 | → | Ditampilkan | F 1 → F 2 - gambar F 1 dipetakan ke gambar F 2 |
| 9 | S | pusat proyeksi. Jika pusat proyeksi bukan titik yang tepat, posisinya ditunjukkan oleh panah, menunjukkan arah proyeksi | - |
| 10 | s | Arah proyeksi | - |
| 11 | P | Proyeksi paralel | p s Proyeksi paralel - proyeksi paralel ke bidang dalam arah s |
| tidak. | Penamaan | Isi | Contoh notasi simbolik | Contoh notasi simbolik dalam geometri |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M N | Set | - | - |
| 2 | A,B,C,... | Tetapkan elemen | - | - |
| 3 | { ... } | Terdiri dari... | F(A, B, C,...) | (A, B, C,...) - gambar terdiri dari titik A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Set kosong | L - - himpunan L kosong (tidak berisi elemen) | - |
| 5 | ∈ | Milik, adalah elemen | 2∈N (di mana N adalah himpunan bilangan asli) - angka 2 milik himpunan N | A a - titik A termasuk ke dalam garis a (titik A terletak pada garis a) |
| 6 | ⊂ | Termasuk, berisi | N⊂M - himpunan N adalah bagian (subset) dari himpunan M dari semua bilangan rasional | a⊂α - garis a milik bidang (dipahami dalam arti: himpunan titik-titik garis a adalah himpunan bagian dari titik-titik bidang ) |
| 7 | ∪ | Persatuan | C \u003d A U B - himpunan C adalah gabungan dari himpunan A dan B; (1, 2. 3, 4.5) = (1.2.3)∪(4.5) | ABCD = [BC] - garis putus-putus, ABCD adalah penyatuan segmen [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | persimpangan banyak | =К∩L - himpunan adalah perpotongan himpunan dan L (berisi elemen-elemen yang termasuk dalam himpunan K dan himpunan L). M N = - perpotongan himpunan M dan N adalah himpunan kosong (kumpulan M dan N tidak memiliki elemen yang sama) | a = ∩ - garis a adalah perpotongan pesawat dan dan b = - garis a dan b tidak berpotongan (tidak memiliki poin yang sama) |
| tidak. | Penamaan | Isi | Contoh notasi simbolik |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | konjungsi kalimat; sesuai dengan serikat "dan". Kalimat (p∧q) benar jika dan hanya jika p dan q keduanya benar | = ( K:K∈α∧K∈β) Perpotongan permukaan dan adalah himpunan titik (garis), terdiri dari semua itu dan hanya titik-titik K yang dimiliki oleh permukaan dan permukaan |
| 2 | ∨ | Disjungsi kalimat; sesuai dengan serikat "atau". Kalimat (p∨q) benar ketika setidaknya salah satu kalimat p atau q benar (yaitu p atau q atau keduanya). | - |
| 3 | ⇒ | Implikasi adalah konsekuensi logis. Kalimat p⇒q artinya: "jika p, maka q" | (a||c∧b||c)⇒a||b. Jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka mereka sejajar satu sama lain. |
| 4 | ⇔ | Kalimat (p⇔q) dipahami dalam arti: "jika p, maka q; jika q, maka p" | l⊂α. Sebuah titik milik sebuah pesawat jika itu milik beberapa garis milik pesawat itu. Kebalikannya juga benar: jika suatu titik termasuk ke dalam suatu garis, milik pesawat, maka itu juga milik pesawat itu sendiri. |
| 5 | ∀ | Kuantifier umum berbunyi: untuk semua orang, untuk semua orang, untuk siapa saja. Ekspresi (x)P(x) berarti: "untuk setiap x: properti P(x)" | (ΔABC)( = 180°) Untuk sembarang segitiga (untuk sembarang), jumlah nilai sudutnya pada simpulnya adalah 180° |
| 6 | ∃ | Kuantifier eksistensial berbunyi: ada. Ekspresi (x)P(x) berarti: "ada x yang memiliki sifat P(x)" | (∀α)(∃a) Untuk sembarang bidang , terdapat garis a yang tidak termasuk bidang dan sejajar dengan bidang |
| 7 | ∃1 | Keunikan kuantor keberadaan, berbunyi: ada yang unik (-th, -th)... Ekspresi 1(x)(Px) berarti: "ada unik (hanya satu) x, memiliki properti Rx" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Untuk setiap dua titik berbeda A dan B, terdapat garis unik a, melewati titik-titik tersebut. |
| 8 | (px) | Negasi dari pernyataan P(x) | ab(∃α )(α⊃а, b) Jika garis a dan b berpotongan, maka tidak ada bidang a yang memuat garis tersebut |
| 9 | \ | Tanda negatif | - ruas [AB] tidak sama dengan ruas .a? b - garis a tidak sejajar dengan garis b |
Perkembangan simbolisme matematika erat kaitannya dengan perkembangan umum konsep dan metode matematika. Pertama Tanda-tanda matematika ada tanda untuk menggambarkan angka - angka, kemunculannya, tampaknya, mendahului penulisan. Sistem penomoran paling kuno - Babilonia dan Mesir - muncul sedini 3 1/2 milenium SM. e.
Pertama Tanda-tanda matematika karena nilai-nilai arbitrer muncul jauh kemudian (mulai dari abad ke-5-4 SM) di Yunani. Kuantitas (luas, volume, sudut) ditampilkan sebagai segmen, dan produk dari dua kuantitas homogen yang berubah-ubah - sebagai persegi panjang yang dibangun di atas segmen yang sesuai. dalam "Awal" Euclid (Abad ke-3 SM) kuantitas ditunjukkan oleh dua huruf - huruf awal dan akhir dari segmen yang sesuai, dan kadang-kadang bahkan satu. Pada Archimedes (abad ke-3 SM) metode yang terakhir menjadi umum. Penunjukan seperti itu mengandung kemungkinan untuk pengembangan kalkulus literal. Namun, dalam matematika kuno klasik, kalkulus literal tidak diciptakan.
Awal mula representasi huruf dan kalkulus muncul pada akhir era Helenistik sebagai akibat dari pembebasan aljabar dari bentuk geometris. Diophantus (mungkin abad ke-3) menuliskan yang tidak diketahui ( X) dan derajatnya dengan tanda sebagai berikut:
[ - dari istilah Yunani dunamiV (dinamis - kekuatan), yang menunjukkan kuadrat yang tidak diketahui, - dari cuboV Yunani (k_ybos) - kubus]. Di sebelah kanan yang tidak diketahui atau derajatnya, Diophantus menulis koefisien, misalnya, 3x5 digambarkan
(dimana = 3). Saat menambahkan, Diophantus menghubungkan istilah satu sama lain, untuk pengurangan ia menggunakan tanda khusus; Diophantus dilambangkan kesetaraan dengan huruf i [dari bahasa Yunani isoV (isos) - sama]. Misalnya persamaan
(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X
Diophantus akan menulisnya seperti ini:
(di sini
artinya satuan tidak memiliki pengali berupa pangkat yang tidak diketahui).
Beberapa abad kemudian, orang India memperkenalkan berbagai Tanda-tanda matematika untuk beberapa yang tidak diketahui (singkatan untuk nama warna yang menunjukkan tidak diketahui), kuadrat, akar kuadrat, angka yang dikurangi. Jadi persamaan
3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1
Dalam rekaman Brahmagupta (Abad ke-7) akan terlihat seperti:
Ya va 3 ya 10 ru 8
Ya va 1 ya 0 ru 1
(ya - dari yavat - tawat - tidak diketahui, va - dari varga - angka kuadrat, ru - dari rupa - koin rupee - anggota gratis, titik di atas angka berarti angka yang akan dikurangi).
Penciptaan simbolisme aljabar modern dimulai pada abad ke-14-17; itu ditentukan oleh keberhasilan aritmatika praktis dan studi persamaan. Di berbagai negara secara spontan muncul Tanda-tanda matematika untuk beberapa tindakan dan untuk kekuatan dari jumlah yang tidak diketahui. Berpuluh-puluh tahun dan bahkan berabad-abad berlalu sebelum satu atau lain simbol yang nyaman dikembangkan. Jadi, pada akhir 15 dan. N. Shuke dan saya. Pacioli tanda penjumlahan dan pengurangan yang digunakan
(dari lat. plus dan minus), matematikawan Jerman memperkenalkan + modern (mungkin singkatan dari lat. et) dan -. Kembali di abad ke-17 dapat menghitung sekitar sepuluh Tanda-tanda matematika untuk operasi perkalian.
berbeda dan Tanda-tanda matematika tidak diketahui dan derajatnya. Pada abad ke-16 - awal abad ke-17. lebih dari sepuluh notasi bersaing untuk kuadrat yang tidak diketahui saja, misalnya se(dari sensus - istilah Latin yang berfungsi sebagai terjemahan dari bahasa Yunani dunamiV, Q(dari kuadrat), , A (2), , Aii, A A, sebuah 2 dll. Jadi, persamaan
x 3 + 5 x = 12
matematikawan Italia G. Cardano (1545) akan memiliki bentuk:
dari matematikawan Jerman M. Stiefel (1544):
dari matematikawan Italia R. Bombelli (1572):
Matematikawan Prancis F. Vieta (1591):
dari ahli matematika Inggris T. Harriot (1631):
Pada abad ke-16 dan awal abad ke-17 tanda sama dengan dan kurung mulai digunakan: persegi (R. Bombelli , 1550), bulat (N. Tartaglia, 1556), keriting (F. viet, 1593). Pada abad ke-16 bentuk modern mengambil notasi pecahan.
Sebuah langkah maju yang signifikan dalam pengembangan simbolisme matematika adalah pengenalan oleh Vieta (1591) Tanda-tanda matematika untuk konstanta arbitrer dalam bentuk konsonan kapital dari alfabet Latin B, D, yang memungkinkannya untuk pertama kalinya menuliskan persamaan aljabar dengan koefisien arbitrer dan beroperasi dengannya. Viet yang tidak diketahui menggambarkan vokal dalam huruf kapital A, E, ... Misalnya, rekaman Vieta
Dalam simbol kami terlihat seperti ini:
x 3 + 3bx = d.
Viet adalah pencipta rumus aljabar. R. Descartes (1637) memberi tanda-tanda aljabar tampilan modern, yang menunjukkan tidak diketahui dengan huruf terakhir lat. alfabet x, y, z, dan jumlah yang diberikan sewenang-wenang - dalam huruf awal a, b, c. Dia juga memiliki rekor gelar saat ini. Notasi Descartes memiliki keunggulan besar dibandingkan semua notasi sebelumnya. Karena itu, mereka segera menerima pengakuan universal.
Pengembangan lebih lanjut Tanda-tanda matematika terkait erat dengan penciptaan analisis yang sangat kecil, untuk pengembangan simbolisme yang dasarnya telah disiapkan untuk sebagian besar dalam aljabar.
Tanggal terjadinya beberapa tanda matematika
| tanda | berarti | Siapa yang memperkenalkan? | Saat diperkenalkan |
| Tanda-tanda objek individu | |||
| ¥ | ketakterbatasan | J. Wallis | 1655 |
| e | dasar logaritma natural | L. Euler | 1736 |
| p | perbandingan keliling dengan diameter | W. Jones L. Euler | 1706 |
| saya | akar kuadrat dari -1 | L. Euler | 1777 (dalam pers 1794) |
| saya j k | vektor satuan, ort | W. Hamilton | 1853 |
| P (a) | sudut paralelisme | N.I. Lobachevsky | 1835 |
| Tanda-tanda Objek Variabel | |||
| x,y,z | tidak diketahui atau variabel | R. Descartes | 1637 |
| r | vektor | O. Koshy | 1853 |
| Tanda-tanda operasi individu | |||
| + | tambahan | matematikawan Jerman | Akhir abad ke-15 |
| – | pengurangan |
||
| ´ | perkalian | W. Terkejut | 1631 |
| × | perkalian | G. Leibniz | 1698 |
| : | divisi | G. Leibniz | 1684 |
| a 2 , a 3 ,…, a n | derajat | R. Descartes | 1637 |
| I. Newton | 1676 |
||
| | akar | K. Rudolph | 1525 |
| A. Girard | 1629 |
||
| Catatan | logaritma | I. Kepler | 1624 |
| catatan | B. Cavalieri | 1632 |
|
| dosa | sinus | L. Euler | 1748 |
| karena | kosinus |
||
| tg | garis singgung | L. Euler | 1753 |
| busur dosa | arcsinus | J. Lagrange | 1772 |
SH | sinus hiperbolik | V. Riccati | 1757 |
Chu | kosinus hiperbolik |
||
| dx, dx, … | diferensial | G. Leibniz | 1675 (dalam pers 1684) |
d2x, d3x,… |
|||
| | integral | G. Leibniz | 1675 (dalam pers 1686) |
| | turunan | G. Leibniz | 1675 |
| x | turunan | J. Lagrange | 1770, 1779 |
| kamu |
|||
| (x) |
|||
| Dx | perbedaan | L. Euler | 1755 |
| | turunan parsial | A. Legendre | 1786 |
| | integral tertentu | J. Fourier | 1819-22 |
| | jumlah | L. Euler | 1755 |
| P | kerja | K. Gauss | 1812 |
| ! | faktorial | K. Crump | 1808 |
| |x| | modul | K. Weierstrass | 1841 |
| lim | membatasi | W.Hamilton, banyak matematikawan | 1853, awal abad ke-20 |
| lim |
|||
| n = ¥ |
|||
| lim |
|||
| n ® ¥ |
|||
| x | fungsi zeta | B. Riemann | 1857 |
| G | fungsi gamma | A. Legendre | 1808 |
| PADA | fungsi beta | J. Binet | 1839 |
| D | delta (operator Laplace) | R. Murphy | 1833 |
| Ñ | nabla (operator Hamilton) | W. Hamilton | 1853 |
| Tanda-tanda operasi variabel | |||
| jx | fungsi | I. Bernoulli | 1718 |
| f(x) | L. Euler | 1734 |
|
| Tanda-tanda hubungan individu | |||
| = | persamaan | R. Rekam | 1557 |
| > | lagi | T. Harriot | 1631 |
| < | lebih kecil |
||
| º | komparabilitas | K. Gauss | 1801 |
| | paralelisme | W. Terkejut | 1677 |
| ^ | sifat tegak lurus | P. Erigon | 1634 |
DAN. Newton dalam metode fluks dan fasihnya (1666 dan tahun-tahun berikutnya) memperkenalkan tanda-tanda untuk fluks berurutan (turunan) besarnya (dalam bentuk
dan untuk kenaikan yang sangat kecil Hai. Agak lebih awal, J. Wallis (1655) mengusulkan tanda tak terhingga .
Pencipta simbolisme modern kalkulus diferensial dan integral adalah G. Leibniz. Dia, khususnya, termasuk yang saat ini digunakan Tanda-tanda matematika perbedaan
dx, d 2 x, d 3 x
dan integral
Sebuah jasa besar dalam menciptakan simbolisme matematika modern milik L. Euler. Dia memperkenalkan (1734) ke dalam penggunaan umum tanda pertama dari operasi variabel, yaitu tanda fungsi f(x) (dari lat. functio). Setelah pekerjaan Euler, tanda-tanda untuk banyak fungsi individu, seperti fungsi trigonometri, memperoleh karakter standar. Euler memiliki notasi untuk konstanta e(basis logaritma natural, 1736), p [mungkin dari perijereia Yunani (periphereia) - keliling, pinggiran, 1736], satuan imajiner
(dari imajiner Prancis - imajiner, 1777, diterbitkan pada 1794).
Pada abad ke-19 peran simbolisme semakin berkembang. Pada saat ini, tanda-tanda nilai mutlak |x| (KE. weierstrass, 1841), vektor (O. Cauchy, 1853), penentu
(TETAPI. Cayley, 1841) dan lain-lain Banyak teori yang muncul pada abad ke-19, seperti Kalkulus Tensor, tidak dapat dikembangkan tanpa simbolisme yang sesuai.
Seiring dengan proses standardisasi yang ditentukan Tanda-tanda matematika dalam sastra modern orang sering dapat menemukan Tanda-tanda matematika digunakan oleh masing-masing penulis hanya dalam ruang lingkup penelitian ini.
Dari sudut pandang logika matematika, antara Tanda-tanda matematika kelompok utama berikut dapat diuraikan: A) tanda-tanda objek, B) tanda-tanda operasi, C) tanda-tanda hubungan. Misalnya, tanda 1, 2, 3, 4 menggambarkan angka, yaitu objek yang dipelajari oleh aritmatika. Tanda tambahan + dengan sendirinya tidak mewakili objek apa pun; itu menerima konten subjek ketika ditunjukkan nomor mana yang ditambahkan: notasi 1 + 3 menggambarkan angka 4. Tanda > (lebih besar dari) adalah tanda hubungan antar angka. Tanda relasi menerima konten yang cukup pasti ketika ditunjukkan di antara objek-objek mana relasi itu dipertimbangkan. Untuk tiga kelompok utama di atas Tanda-tanda matematika berdampingan keempat: D) tanda bantu yang menetapkan urutan kombinasi tanda-tanda utama. Gagasan yang cukup tentang tanda-tanda tersebut diberikan oleh tanda kurung yang menunjukkan urutan tindakan yang dilakukan.
Tanda-tanda masing-masing dari tiga kelompok A), B) dan C) terdiri dari dua jenis: 1) tanda-tanda individu dari objek, operasi dan hubungan yang terdefinisi dengan baik, 2) tanda-tanda umum dari objek "tidak berulang" atau "tidak diketahui" , operasi dan relasi.
Contoh tanda jenis pertama dapat berfungsi (lihat juga tabel):
A 1) Notasi bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; bilangan transendental e dan hal; satuan imajiner saya.
B 1) Tanda-tanda operasi aritmatika +, -, ·, ,:; ekstraksi akar, diferensiasi
tanda jumlah (penyatuan) dan hasil kali (persimpangan) himpunan; ini juga termasuk tanda-tanda fungsi individu sin, tg, log, dll.
1) Tanda persamaan dan pertidaksamaan =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Tanda jenis kedua menggambarkan objek, operasi, dan hubungan arbitrer dari kelas atau objek tertentu, operasi dan hubungan yang tunduk pada beberapa kondisi yang telah ditentukan sebelumnya. Misalnya, saat menulis identitas ( sebuah + b)(sebuah - b) = sebuah 2 -b 2 huruf sebuah dan b menunjukkan angka arbitrer; ketika mempelajari ketergantungan fungsional pada = X 2 huruf X dan y - angka arbitrer yang terkait dengan rasio tertentu; saat menyelesaikan persamaan
X menunjukkan angka apa pun yang memenuhi persamaan yang diberikan (sebagai hasil dari menyelesaikan persamaan ini, kita belajar bahwa hanya dua kemungkinan nilai +1 dan -1 yang sesuai dengan kondisi ini).
Dari sudut pandang logis, adalah sah untuk menyebut tanda-tanda umum seperti itu sebagai tanda-tanda variabel, seperti yang biasa dalam logika matematika, tanpa takut akan fakta bahwa "daerah perubahan" suatu variabel dapat berubah menjadi satu variabel. objek atau bahkan "kosong" (misalnya, dalam kasus persamaan tanpa solusi). Contoh lebih lanjut dari tanda-tanda tersebut adalah:
A 2) Penunjukan titik, garis, bidang dan bentuk geometris yang lebih kompleks dengan huruf dalam geometri.
B 2) Notasi f, , j untuk fungsi dan notasi kalkulus operator, jika satu huruf L gambarkan, misalnya, operator arbitrer dari formulir:
Notasi untuk "rasio variabel" kurang umum, dan hanya digunakan dalam logika matematika (lih. Aljabar logika ) dan dalam studi matematika yang relatif abstrak, kebanyakan aksiomatik.
Lit.: Cajori, Sejarah notasi matematika, v. 1-2, Chi., 1928-29.
Artikel tentang kata Tanda-tanda matematika" dalam Great Soviet Encyclopedia telah dibaca 39765 kali
