Tingkat pertama

persamaan kuadrat. Panduan Komprehensif (2019)

Dalam istilah “persamaan kuadrat” kata kuncinya adalah “kuadrat”. Ini berarti bahwa persamaan harus mengandung variabel (X yang sama) di dalam kuadrat, dan pada saat yang sama tidak boleh ada Xs di derajat ketiga (atau lebih besar).

Solusi dari banyak persamaan direduksi menjadi solusi persamaan kuadrat.

Mari belajar menentukan bahwa kita memiliki persamaan kuadrat, dan bukan persamaan lainnya.

Contoh 1

Singkirkan penyebutnya dan kalikan setiap suku persamaan dengan

Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri dan atur suku-sukunya dalam urutan pangkat menurun dari x

Sekarang kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa persamaan ini adalah kuadrat!

Contoh 2

Kalikan ruas kiri dan kanan dengan:

Persamaan ini, meskipun awalnya di dalamnya, bukan persegi!

Contoh 3

Mari kita kalikan semuanya dengan:

Menakutkan? Derajat keempat dan kedua ... Namun, jika kita melakukan penggantian, kita akan melihat bahwa kita memiliki persamaan kuadrat sederhana:

Contoh 4

Sepertinya begitu, tapi mari kita lihat lebih dekat. Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri:

Anda lihat, itu telah menyusut - dan sekarang menjadi persamaan linier sederhana!

Sekarang coba tentukan sendiri mana dari persamaan berikut yang kuadrat dan mana yang bukan:

Contoh:

Jawaban:

1. kotak;
2. kotak;
3. tidak persegi;
4. tidak persegi;
5. tidak persegi;
6. kotak;
7. tidak persegi;
8. kotak.

Matematikawan secara kondisional membagi semua persamaan kuadrat ke dalam jenis berikut:

• Persamaan kuadrat lengkap- persamaan di mana koefisien dan, serta istilah bebas c, tidak sama dengan nol (seperti dalam contoh). Selain itu, di antara persamaan kuadrat lengkap, ada diberikan adalah persamaan di mana koefisien (persamaan dari contoh satu tidak hanya lengkap, tetapi juga berkurang!)

• Persamaan kuadrat tidak lengkap- persamaan di mana koefisien dan atau suku bebas c sama dengan nol:

  Mereka tidak lengkap karena beberapa elemen hilang dari mereka. Tetapi persamaan harus selalu mengandung x kuadrat !!! Jika tidak, itu tidak akan lagi menjadi kuadrat, tetapi beberapa persamaan lainnya.

Mengapa mereka datang dengan divisi seperti itu? Tampaknya ada X kuadrat, dan oke. Pembagian seperti itu disebabkan oleh metode penyelesaian. Mari kita pertimbangkan masing-masing secara lebih rinci.

Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

Pertama, mari kita fokus pada penyelesaian persamaan kuadrat yang tidak lengkap - persamaannya jauh lebih sederhana!

Persamaan kuadrat tidak lengkap adalah dari jenis:

1. , dalam persamaan ini koefisiennya sama.
2. , dalam persamaan ini suku bebasnya sama dengan.
3. , dalam persamaan ini koefisien dan suku bebasnya sama.

1. saya Karena kita tahu cara mengambil akar kuadrat, mari kita nyatakan dari persamaan ini

Ekspresinya bisa negatif atau positif. Suatu bilangan kuadrat tidak boleh negatif, karena ketika mengalikan dua bilangan negatif atau dua bilangan positif, hasilnya akan selalu bilangan positif, jadi: jika, maka persamaan tidak memiliki solusi.

Dan jika, maka kita mendapatkan dua akar. Rumus-rumus ini tidak perlu dihafal. Hal utama adalah bahwa Anda harus selalu tahu dan ingat bahwa itu tidak boleh kurang.

Mari kita coba memecahkan beberapa contoh.

Contoh 5:

Selesaikan Persamaan

Sekarang tinggal mengekstrak root dari bagian kiri dan kanan. Lagi pula, apakah Anda ingat cara mengekstrak akarnya?

Menjawab:

Jangan pernah melupakan akar dengan tanda negatif!!!

Contoh 6:

Selesaikan Persamaan

Menjawab:

Contoh 7:

Selesaikan Persamaan

Aduh! Kuadrat suatu bilangan tidak boleh negatif, yang berarti persamaan

tidak ada akar!

Untuk persamaan seperti itu di mana tidak ada akar, ahli matematika datang dengan ikon khusus - (set kosong). Dan jawabannya bisa ditulis seperti ini:

Menjawab:

Jadi, persamaan kuadrat ini memiliki dua akar. Tidak ada batasan di sini, karena kami tidak mengekstrak root.
Contoh 8:

Selesaikan Persamaan

Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:

Dengan demikian,

Persamaan ini memiliki dua akar.

Menjawab:

Jenis persamaan kuadrat tidak lengkap yang paling sederhana (walaupun semuanya sederhana, kan?). Jelas, persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar:

Di sini kita akan melakukannya tanpa contoh.

Memecahkan persamaan kuadrat lengkap

Kami mengingatkan Anda bahwa persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan bentuk persamaan di mana

Memecahkan persamaan kuadrat penuh sedikit lebih rumit (hanya sedikit) daripada yang diberikan.

Ingat, persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan menggunakan diskriminan! Bahkan tidak lengkap.

Metode lainnya akan membantu Anda melakukannya lebih cepat, tetapi jika Anda memiliki masalah dengan persamaan kuadrat, kuasai dulu penyelesaiannya menggunakan diskriminan.

1. Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan diskriminan.

Memecahkan persamaan kuadrat dengan cara ini sangat sederhana, yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus.

Jika, maka persamaan memiliki akar. Perhatian khusus harus diberikan pada langkah tersebut. Diskriminan () memberi tahu kita jumlah akar persamaan.

• Jika, maka rumus pada langkah tersebut akan dikurangi menjadi. Dengan demikian, persamaan hanya akan memiliki akar.
• Jika, maka kita tidak akan dapat mengekstrak akar diskriminan pada langkah tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar.

Mari kembali ke persamaan kita dan lihat beberapa contoh.

Contoh 9:

Selesaikan Persamaan

Langkah 1 melewati.

Langkah 2

Menemukan diskriminan:

Jadi persamaan tersebut memiliki dua akar.

Langkah 3

Menjawab:

Contoh 10:

Selesaikan Persamaan

Persamaan dalam bentuk standar, jadi Langkah 1 melewati.

Langkah 2

Menemukan diskriminan:

Jadi persamaan memiliki satu akar.

Menjawab:

Contoh 11:

Selesaikan Persamaan

Persamaan dalam bentuk standar, jadi Langkah 1 melewati.

Langkah 2

Menemukan diskriminan:

Ini berarti bahwa kita tidak akan dapat mengekstrak akar dari diskriminan. Tidak ada akar persamaan.

Sekarang kita tahu bagaimana menuliskan jawaban seperti itu dengan benar.

Menjawab: tidak ada akar

2. Penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta.

Jika Anda ingat, maka ada jenis persamaan yang disebut tereduksi (ketika koefisien a sama dengan):

Persamaan seperti itu sangat mudah diselesaikan menggunakan teorema Vieta:

Jumlah akar diberikan persamaan kuadrat sama, dan hasil kali akar-akarnya sama.

Contoh 12:

Selesaikan Persamaan

Persamaan ini cocok untuk solusi menggunakan teorema Vieta, karena .

Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah, mis. kita dapatkan persamaan pertama:

Dan produknya adalah:

Mari kita buat dan selesaikan sistemnya:

• dan. Jumlahnya adalah;
• dan. Jumlahnya adalah;
• dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan solusi dari sistem:

Menjawab: ; .

Contoh 13:

Selesaikan Persamaan

Menjawab:

Contoh 14:

Selesaikan Persamaan

Persamaan dikurangi, yang berarti:

Menjawab:

PERSAMAAN KUADRAT. TINGKAT TENGAH

Apa itu persamaan kuadrat?

Dengan kata lain, persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk, di mana - tidak diketahui, - beberapa angka, apalagi.

Angka tersebut disebut tertinggi atau koefisien pertama persamaan kuadrat, - koefisien kedua, sebuah - anggota gratis.

Mengapa? Karena jika, persamaan akan langsung menjadi linier, karena akan hilang.

Dalam hal ini, dan bisa sama dengan nol. Dalam persamaan tinja ini disebut tidak lengkap. Jika semua suku sudah ada, artinya persamaan selesai.

Solusi untuk berbagai jenis persamaan kuadrat

Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap:

Untuk memulainya, kami akan menganalisis metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap - mereka lebih sederhana.

Jenis persamaan berikut dapat dibedakan:

I. , dalam persamaan ini koefisien dan suku bebasnya sama.

II. , dalam persamaan ini koefisiennya sama.

AKU AKU AKU. , dalam persamaan ini suku bebasnya sama dengan.

Sekarang perhatikan solusi dari masing-masing subtipe ini.

Jelas, persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar:

Suatu bilangan kuadrat tidak boleh negatif, karena ketika mengalikan dua bilangan negatif atau dua bilangan positif, hasilnya akan selalu bilangan positif. Jadi:

jika, maka persamaan tidak memiliki solusi;

jika kita memiliki dua akar

Rumus-rumus ini tidak perlu dihafal. Hal utama yang perlu diingat adalah tidak boleh kurang.

Contoh:

Solusi:

Menjawab:

Jangan pernah melupakan akar dengan tanda negatif!

Kuadrat suatu bilangan tidak boleh negatif, yang berarti persamaan

tidak ada akar.

Untuk menulis secara singkat bahwa masalah tidak memiliki solusi, kami menggunakan ikon set kosong.

Menjawab:

Jadi, persamaan ini memiliki dua akar: dan.

Menjawab:

Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:

Hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Ini berarti bahwa persamaan memiliki solusi ketika:

Jadi, persamaan kuadrat ini memiliki dua akar: dan.

Contoh:

Memecahkan persamaan.

Keputusan:

Kami memfaktorkan ruas kiri persamaan dan menemukan akarnya:

Menjawab:

Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap:

1. Diskriminan

Memecahkan persamaan kuadrat dengan cara ini mudah, yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus. Ingat, persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan menggunakan diskriminan! Bahkan tidak lengkap.

Apakah Anda memperhatikan akar diskriminan dalam rumus akar? Tapi diskriminan bisa negatif. Apa yang harus dilakukan? Kita perlu memberikan perhatian khusus pada langkah 2. Diskriminan memberitahu kita jumlah akar persamaan.

• Jika, maka persamaan memiliki akar:
• Jika, maka persamaan memiliki akar yang sama, tetapi sebenarnya, satu akar:

  Akar seperti ini disebut akar ganda.

• Jika, maka akar diskriminan tidak diekstraksi. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar.

Mengapa jumlah akar berbeda? Mari kita beralih ke arti geometris dari persamaan kuadrat. Grafik fungsinya adalah parabola:

Dalam kasus tertentu, yang merupakan persamaan kuadrat, . Dan ini berarti akar-akar persamaan kuadrat adalah titik potong dengan sumbu x (sumbu). Parabola mungkin tidak melintasi sumbu sama sekali, atau mungkin berpotongan di satu (bila bagian atas parabola terletak pada sumbu) atau dua titik.

Selain itu, koefisien bertanggung jawab atas arah cabang parabola. Jika, maka cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika - maka ke bawah.

Contoh:

Solusi:

Menjawab:

Menjawab: .

Menjawab:

Ini berarti tidak ada solusi.

Menjawab: .

2. Teorema Vieta

Menggunakan teorema Vieta sangat mudah: Anda hanya perlu memilih sepasang angka yang produknya sama dengan suku bebas persamaan, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan.

Penting untuk diingat bahwa teorema Vieta hanya dapat diterapkan pada diberikan persamaan kuadrat ().

Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh 1:

Memecahkan persamaan.

Keputusan:

Persamaan ini cocok untuk solusi menggunakan teorema Vieta, karena . Koefisien lainnya: ; .

Jumlah akar persamaannya adalah:

Dan produknya adalah:

Mari kita pilih pasangan angka tersebut, yang produknya sama, dan periksa apakah jumlahnya sama:

• dan. Jumlahnya adalah;
• dan. Jumlahnya adalah;
• dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan solusi dari sistem:

Jadi, dan adalah akar dari persamaan kita.

Menjawab: ; .

Contoh #2:

Keputusan:

Kami memilih pasangan angka yang memberikan produk, dan kemudian memeriksa apakah jumlahnya sama:

dan: berikan secara total.

dan: berikan secara total. Untuk mendapatkannya, Anda hanya perlu mengubah tanda-tanda akar yang diduga: dan, bagaimanapun, pekerjaan.

Menjawab:

Contoh #3:

Keputusan:

Suku bebas persamaan adalah negatif, dan karena itu hasil kali akar-akarnya adalah bilangan negatif. Ini hanya mungkin jika salah satu akarnya negatif dan yang lainnya positif. Jadi jumlah akarnya adalah perbedaan modul mereka.

Kami memilih pasangan angka yang memberikan produk, dan perbedaannya sama dengan:

dan: perbedaan mereka adalah - tidak cocok;

dan: - tidak cocok;

dan: - tidak cocok;

dan: - cocok. Tetap hanya untuk diingat bahwa salah satu akarnya adalah negatif. Karena jumlah mereka harus sama, maka akar, yang lebih kecil dalam nilai absolut, harus negatif: . Kami memeriksa:

Menjawab:

Contoh #4:

Memecahkan persamaan.

Keputusan:

Persamaan dikurangi, yang berarti:

Suku bebasnya negatif, sehingga hasil kali akarnya negatif. Dan ini hanya mungkin jika satu akar persamaan negatif dan akar lainnya positif.

Kami memilih pasangan angka yang produknya sama, dan kemudian menentukan akar mana yang memiliki tanda negatif:

Jelas, hanya akar dan cocok untuk kondisi pertama:

Menjawab:

Contoh #5:

Memecahkan persamaan.

Keputusan:

Persamaan dikurangi, yang berarti:

Jumlah akarnya negatif, artinya paling sedikit salah satu akarnya negatif. Tetapi karena produknya positif, itu berarti kedua akarnya minus.

Kami memilih pasangan angka seperti itu, yang produknya sama dengan:

Jelas, akarnya adalah angka dan.

Menjawab:

Setuju, sangat nyaman - untuk menemukan akar secara lisan, alih-alih menghitung diskriminan jahat ini. Cobalah untuk menggunakan teorema Vieta sesering mungkin.

Tetapi teorema Vieta diperlukan untuk memudahkan dan mempercepat pencarian akar. Untuk membuatnya menguntungkan bagi Anda untuk menggunakannya, Anda harus membawa tindakan ke otomatisme. Dan untuk ini, selesaikan lima contoh lagi. Tapi jangan curang: Anda tidak bisa menggunakan diskriminan! Hanya teorema Vieta:

Solusi untuk tugas untuk pekerjaan mandiri:

Tugas 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Menurut teorema Vieta:

Seperti biasa, kami memulai seleksi dengan produk:

Tidak sesuai karena jumlahnya;

: jumlah yang Anda butuhkan.

Menjawab: ; .

Tugas 2.

Dan sekali lagi, teorema Vieta favorit kami: jumlahnya harus berhasil, tetapi produknya sama.

Tetapi karena seharusnya tidak, tetapi, kami mengubah tanda-tanda akarnya: dan (total).

Menjawab: ; .

Tugas 3.

Hm... Dimana itu?

Penting untuk mentransfer semua persyaratan menjadi satu bagian:

Jumlah akar sama dengan produk.

Ya, berhenti! Persamaan tidak diberikan. Tapi teorema Vieta hanya berlaku dalam persamaan yang diberikan. Jadi pertama-tama Anda perlu membawa persamaannya. Jika Anda tidak dapat memunculkannya, tinggalkan ide ini dan selesaikan dengan cara lain (misalnya, melalui diskriminan). Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa membawa persamaan kuadrat berarti membuat koefisien utama sama dengan:

Bagus. Maka jumlah akarnya sama, dan hasilnya.

Lebih mudah untuk mengambil di sini: setelah semua - bilangan prima (maaf untuk tautologinya).

Menjawab: ; .

Tugas 4.

Istilah bebasnya negatif. Apa yang istimewa darinya? Dan fakta bahwa akarnya akan memiliki tanda yang berbeda. Dan sekarang, selama pemilihan, kami tidak memeriksa jumlah akar, tetapi perbedaan antara modul mereka: perbedaan ini sama, tetapi produknya.

Jadi, akarnya sama dan, tetapi salah satunya dengan minus. Teorema Vieta memberi tahu kita bahwa jumlah akar sama dengan koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, yaitu. Ini berarti bahwa akar yang lebih kecil akan memiliki minus: dan, sejak.

Menjawab: ; .

Tugas 5.

Apa yang perlu dilakukan terlebih dahulu? Benar, berikan persamaan:

Sekali lagi: kami memilih faktor-faktor dari angka tersebut, dan perbedaannya harus sama dengan:

Akarnya sama dan, tetapi salah satunya minus. Yang? Jumlahnya harus sama, yang berarti bahwa dengan minus akan ada akar yang lebih besar.

Menjawab: ; .

Biarkan saya meringkas:

1. Teorema Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadrat yang diberikan.
2. Menggunakan teorema Vieta, Anda dapat menemukan akar dengan seleksi, secara lisan.
3. Jika persamaan tidak diberikan atau tidak ada pasangan faktor yang cocok dari suku bebas yang ditemukan, maka tidak ada akar bilangan bulat, dan Anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (misalnya, melalui diskriminan).

3. Metode pemilihan kotak penuh

Jika semua suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui direpresentasikan sebagai suku-suku dari rumus perkalian yang disingkat - kuadrat dari jumlah atau selisih - maka setelah perubahan variabel, persamaan tersebut dapat direpresentasikan sebagai jenis persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Sebagai contoh:

Contoh 1:

Selesaikan persamaan: .

Keputusan:

Menjawab:

Contoh 2:

Selesaikan persamaan: .

Keputusan:

Menjawab:

Secara umum, transformasi akan terlihat seperti ini:

Ini menyiratkan: .

Tidakkah itu mengingatkanmu pada sesuatu? Ini diskriminan! Itulah tepatnya bagaimana rumus diskriminan diperoleh.

PERSAMAAN KUADRAT. SINGKAT TENTANG UTAMA

Persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk, di mana tidak diketahui, adalah koefisien persamaan kuadrat, adalah istilah bebas.

Persamaan kuadrat lengkap- persamaan di mana koefisien tidak sama dengan nol.

Persamaan kuadrat berkurang- persamaan di mana koefisien, yaitu: .

Persamaan kuadrat tidak lengkap- persamaan di mana koefisien dan atau suku bebas c sama dengan nol:

• jika koefisien, persamaan memiliki bentuk: ,
• jika istilah bebas, persamaan memiliki bentuk: ,
• jika dan, persamaan memiliki bentuk: .

1. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

1.1. Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk, di mana, :

1) Nyatakan yang tidak diketahui: ,

2) Periksa tanda ekspresi:

• jika, maka persamaan tidak memiliki solusi,
• jika, maka persamaan memiliki dua akar.

1.2. Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk, di mana, :

1) Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari kurung: ,

2) Hasil kali sama dengan nol jika paling sedikit salah satu faktornya sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan memiliki dua akar:

1.3. Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk, di mana:

Persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar: .

2. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap dari bentuk di mana

2.1. Penyelesaian menggunakan diskriminan

1) Mari kita bawa persamaan ke bentuk standar: ,

2) Hitung diskriminan menggunakan rumus: , yang menunjukkan jumlah akar persamaan:

3) Temukan akar-akar persamaan:

• jika, maka persamaan memiliki akar, yang ditemukan dengan rumus:
• jika, maka persamaan memiliki akar, yang ditemukan dengan rumus:
• jika, maka persamaan tidak memiliki akar.

2.2. Solusi menggunakan teorema Vieta

Jumlah akar persamaan kuadrat tereduksi (persamaan berbentuk, di mana) adalah sama, dan produk dari akar-akarnya sama, mis. , sebuah.

2.3. Solusi persegi penuh

Dengan program matematika ini Anda bisa menyelesaikan persamaan kuadrat.

Program tidak hanya memberikan jawaban atas masalah, tetapi juga menampilkan proses solusi dalam dua cara:
- menggunakan diskriminan
- menggunakan teorema Vieta (jika mungkin).

Selain itu, jawabannya ditampilkan tepat, bukan perkiraan.
Misalnya, untuk persamaan \(81x^2-16x-1=0\), jawabannya ditampilkan dalam bentuk ini:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ sebagai ganti ini: \(x_1 = 0,247; \ segi empat x_2 = -0,05 \)

Program ini dapat bermanfaat bagi siswa SMA dalam persiapan menghadapi ujian dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum UN Unified State, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian berbagai masalah matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sementara tingkat pendidikan di bidang tugas yang harus diselesaikan meningkat.

Jika Anda tidak terbiasa dengan aturan untuk memasukkan polinomial persegi, kami sarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Aturan untuk memasukkan polinomial persegi

Setiap huruf Latin dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dll.

Angka dapat dimasukkan sebagai bilangan bulat atau pecahan.
Selain itu, bilangan pecahan dapat dimasukkan tidak hanya dalam bentuk desimal, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.

Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Dalam pecahan desimal, bagian pecahan dari bilangan bulat dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Misalnya, Anda dapat memasukkan desimal seperti ini: 2.5x - 3.5x^2

Aturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat berperan sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat dari suatu pecahan.

Penyebutnya tidak boleh negatif.

Saat memasukkan pecahan numerik, pembilang dipisahkan dari penyebut dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Masukan: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Hasil: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Saat memasukkan ekspresi Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, ketika memecahkan persamaan kuadrat, ekspresi yang diperkenalkan pertama kali disederhanakan.
Misalnya: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Memutuskan

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

Anda menonaktifkan JavaScript di browser Anda.
JavaScript harus diaktifkan agar solusi muncul.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.

Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda diantrekan.
Setelah beberapa detik, solusi akan muncul di bawah ini.
Mohon tunggu detik...

Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, maka Anda dapat menulisnya di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke lapangan.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan kuadrat dan akar-akarnya. Persamaan kuadrat tidak lengkap

Masing-masing persamaan
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
memiliki bentuk
\(ax^2+bx+c=0, \)
dimana x adalah variabel, a, b dan c adalah bilangan.
Pada persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1,4, pada persamaan kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, pada persamaan ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan seperti itu disebut persamaan kuadrat.

Definisi.
persamaan kuadrat disebut persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan, dan \(a \neq 0 \).

Angka a, b dan c adalah koefisien persamaan kuadrat. Angka a disebut koefisien pertama, angka b adalah koefisien kedua dan angka c adalah intersep.

Dalam setiap persamaan berbentuk ax 2 +bx+c=0, di mana \(a \neq 0 \), pangkat terbesar dari variabel x adalah persegi. Oleh karena itu namanya: persamaan kuadrat.

Perhatikan bahwa persamaan kuadrat juga disebut persamaan derajat kedua, karena sisi kirinya adalah polinomial derajat kedua.

Persamaan kuadrat di mana koefisien pada x 2 adalah 1 disebut persamaan kuadrat tereduksi. Misalnya, persamaan kuadrat yang diberikan adalah persamaan
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jika dalam persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0 paling sedikit salah satu koefisien b atau c sama dengan nol, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Jadi, persamaan -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 adalah persamaan kuadrat tidak lengkap. Yang pertama b=0, yang kedua c=0, yang ketiga b=0 dan c=0.

Persamaan kuadrat tidak lengkap terdiri dari tiga jenis:
1) ax 2 +c=0, di mana \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, di mana \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Pertimbangkan solusi persamaan dari masing-masing jenis ini.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +c=0 untuk \(c \neq 0 \), suku bebasnya dipindahkan ke ruas kanan dan kedua bagian persamaan dibagi dengan a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Panah kanan x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Karena \(c \neq 0 \), maka \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jika \(-\frac(c)(a)>0 \), maka persamaan tersebut memiliki dua akar.

Jika \(-\frac(c)(a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) faktorkan ruas kirinya dan dapatkan persamaan
\(x(ax+b)=0 \Panah kanan \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \kanan. \)

Oleh karena itu, persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) selalu memiliki dua akar.

Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk ax 2 \u003d 0 setara dengan persamaan x 2 \u003d 0 dan karenanya memiliki satu akar 0.

Rumus akar-akar persamaan kuadrat

Sekarang mari kita perhatikan bagaimana persamaan kuadrat diselesaikan di mana kedua koefisien yang tidak diketahui dan suku bebasnya bukan nol.

Kami memecahkan persamaan kuadrat dalam bentuk umum dan sebagai hasilnya kami memperoleh rumus akar. Kemudian rumus ini dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun.

Selesaikan persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0

Membagi kedua bagiannya dengan a, kita memperoleh persamaan kuadrat tereduksi yang setara
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Kami mengubah persamaan ini dengan menyorot kuadrat binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Panah kanan \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Panah kanan \) \(\kiri(x+\frac(b)(2a)\kanan)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Panah kanan x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Panah kanan \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Ekspresi akar disebut diskriminan persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0 (“diskriminan” dalam bahasa Latin - pembeda). Dilambangkan dengan huruf D, yaitu
\(D = b^2-4ac\)

Sekarang, dengan menggunakan notasi diskriminan, kami menulis ulang rumus untuk akar persamaan kuadrat:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), di mana \(D= b^2-4ac \)

Jelas bahwa:
1) Jika D>0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar.
2) Jika D=0, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jika D Jadi, tergantung pada nilai diskriminan, persamaan kuadrat dapat memiliki dua akar (untuk D > 0), satu akar (untuk D = 0) atau tidak ada akar (untuk D Saat menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus ini , disarankan untuk melakukan cara berikut:
1) menghitung diskriminan dan membandingkannya dengan nol;
2) jika diskriminan positif atau sama dengan nol, maka gunakan rumus akar, jika diskriminan negatif, maka tuliskan bahwa tidak ada akar.

teorema Vieta

Persamaan kuadrat yang diberikan ax 2 -7x+10=0 memiliki akar 2 dan 5. Jumlah akar adalah 7, dan produk adalah 10. Kita melihat bahwa jumlah akar sama dengan koefisien kedua, diambil dengan berlawanan tanda, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebasnya. Setiap persamaan kuadrat tereduksi yang memiliki akar memiliki sifat ini.

Jumlah akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan produk dari akar-akarnya sama dengan suku bebas.

Itu. Teorema Vieta menyatakan bahwa akar x 1 dan x 2 dari persamaan kuadrat tereduksi x 2 +px+q=0 memiliki sifat:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Setelah menerima gagasan umum tentang persamaan, dan berkenalan dengan salah satu jenisnya - persamaan numerik, Anda dapat mulai berbicara tentang bentuk persamaan lain yang sangat penting dari sudut pandang praktis - tentang persamaan. Pada artikel ini, kami akan menganalisis apa persamaannya?, dan apa yang disebut akar persamaan. Di sini kami memberikan definisi yang sesuai, dan juga memberikan berbagai contoh persamaan dan akarnya.

Navigasi halaman.

Apa itu persamaan?

Keakraban yang disengaja dengan persamaan biasanya dimulai di kelas matematika di kelas 2. Saat ini berikut ini definisi persamaan:

Definisi.

persamaan adalah kesetaraan yang mengandung nomor yang tidak diketahui dapat ditemukan.

Angka yang tidak diketahui dalam persamaan biasanya dilambangkan dengan huruf latin kecil, misalnya p, t, u, dll., tetapi huruf x, y, dan z paling sering digunakan.

Dengan demikian, persamaan ditentukan dari sudut pandang bentuk notasi. Dengan kata lain, kesetaraan adalah persamaan ketika mematuhi aturan notasi yang ditentukan - itu berisi huruf yang nilainya perlu ditemukan.

Mari kita berikan contoh persamaan pertama dan paling sederhana. Mari kita mulai dengan persamaan seperti x=8 , y=3 , dll. Persamaan yang mengandung tanda operasi aritmatika beserta angka dan huruf terlihat sedikit lebih rumit, misalnya x+2=3 , z−2=5 , 3 t=9 , 8:x=2 .

Keanekaragaman persamaan bertambah setelah mengenal - persamaan dengan tanda kurung mulai muncul, misalnya 2 (x−1)=18 dan x+3 (x+2 (x−2))=3 . Huruf yang tidak diketahui dapat muncul beberapa kali dalam persamaan, misalnya x+3+3 x−2−x=9 , dan huruf dapat berada di sisi kiri persamaan, di sisi kanan, atau kedua sisi persamaan , misalnya, x (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 atau 3 x−4=2 (x+12) .

Selanjutnya, setelah mempelajari bilangan asli, ada kenalan dengan bilangan bulat, rasional, bilangan real, objek matematika baru dipelajari: derajat, akar, logaritma, dll, sementara semakin banyak jenis persamaan baru muncul yang mengandung hal-hal ini. Contohnya dapat ditemukan di artikel. jenis utama persamaan dipelajari di sekolah.

Di kelas 7, bersama dengan huruf, yang berarti beberapa angka tertentu, mereka mulai mempertimbangkan huruf yang dapat mengambil nilai yang berbeda, mereka disebut variabel (lihat artikel). Dalam hal ini, kata "variabel" dimasukkan ke dalam definisi persamaan, dan menjadi seperti ini:

Definisi.

Persamaan nama persamaan yang berisi variabel yang nilainya akan ditemukan.

Misalnya, persamaan x+3=6 x+7 adalah persamaan dengan variabel x , dan 3 z−1+z=0 adalah persamaan dengan variabel z .

Dalam pelajaran aljabar di kelas 7 yang sama, ada pertemuan dengan persamaan yang memuat dalam catatannya bukan hanya satu, tetapi dua variabel berbeda yang tidak diketahui. Mereka disebut persamaan dengan dua variabel. Di masa depan, kehadiran tiga atau lebih variabel dalam catatan persamaan diperbolehkan.

Definisi.

Persamaan dengan satu, dua, tiga, dst. variabel- ini adalah persamaan yang masing-masing mengandung satu, dua, tiga, ... variabel yang tidak diketahui dalam catatannya.

Misalnya, persamaan 3.2 x+0.5=1 adalah persamaan dengan satu variabel x, sebaliknya, persamaan berbentuk x−y=3 adalah persamaan dengan dua variabel x dan y. Dan satu contoh lagi: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27 . Jelas bahwa persamaan tersebut adalah persamaan dengan tiga variabel yang tidak diketahui x, y dan z.

Apa akar persamaannya?

Definisi akar persamaan berhubungan langsung dengan definisi persamaan. Kami akan melakukan beberapa alasan yang akan membantu kami memahami apa akar persamaan itu.

Misalkan kita memiliki persamaan dengan satu huruf (variabel). Jika alih-alih huruf yang termasuk dalam catatan persamaan ini, nomor tertentu diganti, maka persamaan akan berubah menjadi persamaan numerik. Selain itu, persamaan yang dihasilkan bisa benar dan salah. Misalnya, jika alih-alih huruf a dalam persamaan a+1=5 kita mengganti angka 2 , maka kita mendapatkan persamaan numerik yang salah 2+1=5 . Jika kita mengganti angka 4 sebagai ganti a dalam persamaan ini, maka kita mendapatkan persamaan yang benar 4+1=5.

Dalam praktiknya, dalam sebagian besar kasus, yang menarik adalah nilai-nilai variabel tersebut, yang substitusinya ke dalam persamaan memberikan persamaan yang benar, nilai-nilai ini disebut akar atau solusi dari persamaan ini.

Definisi.

Akar persamaan- ini adalah nilai huruf (variabel), saat mengganti persamaan yang berubah menjadi persamaan numerik yang benar.

Perhatikan bahwa akar persamaan dengan satu variabel juga disebut solusi persamaan. Dengan kata lain, solusi persamaan dan akar persamaan adalah hal yang sama.

Mari kita jelaskan definisi ini dengan sebuah contoh. Untuk melakukan ini, kita kembali ke persamaan yang ditulis di atas a+1=5 . Menurut definisi akar persamaan yang disuarakan, angka 4 adalah akar persamaan ini, karena ketika mengganti angka ini alih-alih huruf a, kita mendapatkan persamaan yang benar 4+1=5, dan angka 2 tidak akarnya, karena sesuai dengan persamaan yang salah dari bentuk 2+1= 5 .

Pada titik ini, sejumlah pertanyaan alami muncul: "Apakah ada persamaan yang memiliki akar, dan berapa banyak akar yang dimiliki persamaan tertentu"? Kami akan menjawab mereka.

Ada persamaan dengan akar dan persamaan tanpa akar. Misalnya, persamaan x+1=5 memiliki akar 4, dan persamaan 0 x=5 tidak memiliki akar, karena berapa pun bilangan yang kita substitusikan ke dalam persamaan ini dan bukan variabel x, kita akan mendapatkan persamaan yang salah 0= 5.

Adapun jumlah akar persamaan, ada persamaan yang memiliki akar berhingga (satu, dua, tiga, dst.) dan persamaan yang memiliki banyak akar tak hingga. Misalnya persamaan x−2=4 memiliki akar tunggal 6 , akar persamaan x 2 =9 adalah dua bilangan 3 dan 3 , persamaan x (x−1) (x−2)=0 memiliki tiga akar 0 , 1 dan 2 , dan solusi untuk persamaan x=x adalah bilangan apa pun, artinya ia memiliki jumlah akar tak terhingga.

Beberapa kata harus dikatakan tentang notasi yang diterima dari akar persamaan. Jika persamaan tidak memiliki akar, maka biasanya mereka menulis “persamaan tidak memiliki akar” atau menggunakan tanda himpunan kosong . Jika persamaan memiliki akar, maka ditulis dipisahkan dengan koma, atau ditulis sebagai mengatur elemen dalam kurung kurawal. Misalnya, jika akar persamaannya adalah bilangan 1, 2 dan 4, maka tulislah 1, 2, 4 atau (−1, 2, 4) . Dimungkinkan juga untuk menulis akar persamaan dalam bentuk persamaan sederhana. Misalnya, jika huruf x masuk ke persamaan, dan akar persamaan ini adalah angka 3 dan 5, maka Anda dapat menulis x=3, x=5, dan subskrip x 1 =3, x 2 =5 sering ditambahkan ke variabel, seolah-olah menunjukkan angka-angka akar persamaan. Himpunan akar tak hingga dari suatu persamaan biasanya ditulis dalam bentuk, juga, jika mungkin, notasi himpunan bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan real R digunakan. Misalnya, jika akar persamaan dengan variabel x adalah bilangan bulat apa pun, tulis , dan jika akar persamaan dengan variabel y adalah bilangan real dari 1 hingga 9 inklusif, maka tulis .

Untuk persamaan dengan dua, tiga dan lebih variabel, sebagai aturan, istilah "akar persamaan" tidak digunakan, dalam kasus ini mereka mengatakan "solusi persamaan". Apa yang disebut penyelesaian persamaan dengan beberapa variabel? Mari kita berikan definisi yang tepat.

Definisi.

Menyelesaikan persamaan dengan dua, tiga, dst. variabel sebut pasangan, tiga, dll. nilai variabel, yang mengubah persamaan ini menjadi persamaan numerik yang sebenarnya.

Kami akan menunjukkan contoh penjelasan. Pertimbangkan persamaan dengan dua variabel x+y=7 . Kami mengganti angka 1 sebagai ganti x, dan angka 2 sebagai ganti y, sementara kami memiliki persamaan 1+2=7. Jelas, itu salah, oleh karena itu, pasangan nilai x=1 , y=2 bukan solusi untuk persamaan tertulis. Jika kita mengambil sepasang nilai x=4 , y=3 , maka setelah substitusi ke dalam persamaan kita akan sampai pada persamaan yang benar 4+3=7 , oleh karena itu, pasangan nilai variabel ini, menurut definisi, adalah solusi ke persamaan x+y=7 .

Persamaan dengan banyak variabel, seperti persamaan dengan satu variabel, mungkin tidak memiliki akar, mungkin memiliki jumlah akar yang terbatas, atau mungkin memiliki banyak akar yang tidak terbatas.

Berpasangan, tiga kali lipat, berempat, dll. nilai variabel sering ditulis secara singkat, daftar nilainya dipisahkan dengan koma dalam tanda kurung. Dalam hal ini, angka-angka yang ditulis dalam tanda kurung sesuai dengan variabel dalam urutan abjad. Mari kita perjelas poin ini dengan kembali ke persamaan sebelumnya x+y=7 . Solusi untuk persamaan ini x=4 , y=3 dapat ditulis secara singkat sebagai (4, 3) .

Perhatian terbesar dalam pelajaran matematika, aljabar dan analisis awal diberikan untuk menemukan akar persamaan dengan satu variabel. Kami akan menganalisis aturan proses ini dengan sangat rinci dalam artikel. solusi persamaan.

Bibliografi.

• Matematika. 2 sel Prok. untuk pendidikan umum lembaga dengan adj. ke sebuah elektron. pembawa. Pada jam 2, Bagian 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, dan lainnya] - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 2012. - 96 hal.: sakit. - (Sekolah Rusia). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Aljabar: buku pelajaran untuk 7 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-17. - M. : Pendidikan, 2008. - 240 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Aljabar: Kelas 9: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Ketik persamaan

Ekspresi D= b 2 - 4ac ditelepon pembeda persamaan kuadrat. Jika sebuahD = 0, maka persamaan tersebut memiliki satu akar real; jika D> 0, maka persamaan tersebut memiliki dua akar real.
Dalam kasus kapan D = 0 , kadang-kadang dikatakan bahwa persamaan kuadrat memiliki dua akar yang identik.
Menggunakan notasi D= b 2 - 4ac, rumus (2) dapat ditulis ulang sebagai

Jika sebuah b= 2k, maka rumus (2) berbentuk:

di mana k= b / 2 .
Formula terakhir sangat nyaman ketika b / 2 adalah bilangan bulat, yaitu koefisien b- nomor genap.
Contoh 1: selesaikan persamaannya 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Di Sini a=2, b=-5, c=2. Kita punya D= b 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Sebagai D > 0 , maka persamaan tersebut memiliki dua akar. Mari kita temukan mereka dengan rumus (2)

Jadi x 1 =(5 + 3) / 4 = 2,x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
yaitu x 1 = 2 dan x 2 = 1 / 2 adalah akar dari persamaan yang diberikan.
Contoh 2: selesaikan persamaannya 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Di Sini a=2, b=-3, c=5. Menemukan diskriminan D= b 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Sebagai D 0 , maka persamaan tersebut tidak memiliki akar real.

Persamaan kuadrat tidak lengkap. Jika dalam persamaan kuadrat kapak 2 + bx+c =0 faktor kedua b atau anggota gratis c sama dengan nol, maka persamaan kuadrat disebut tidak lengkap. Persamaan yang tidak lengkap dibedakan karena untuk menemukan akarnya, Anda tidak dapat menggunakan rumus untuk akar persamaan kuadrat - lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan dengan memfaktorkan sisi kirinya menjadi faktor.
Contoh 1: selesaikan persamaannya 2 x 2 - 5 x = 0 .
Kita punya x(2 x - 5) = 0 . Jadi juga x = 0 , atau 2 x - 5 = 0 , yaitu x = 2.5 . Jadi persamaan memiliki dua akar: 0 dan 2.5
Contoh 2: selesaikan persamaannya 3 x 2 - 27 = 0 .
Kita punya 3 x 2 = 27 . Oleh karena itu, akar-akar persamaan ini adalah 3 dan -3 .

teorema Vieta. Jika persamaan kuadrat yang diberikan x 2 +px+ q =0 memiliki akar real, maka jumlah mereka sama dengan - p, dan produknya adalah q, yaitu

x 1 + x 2 \u003d -p,
x 1 x 2 = q

(jumlah akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akarnya sama dengan suku bebas).

Persamaan kuadrat dipelajari di kelas 8, jadi tidak ada yang rumit di sini. Kemampuan untuk menyelesaikannya sangat penting.

Persamaan kuadrat adalah persamaan berbentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana koefisien a , b dan c adalah bilangan arbitrer, dan a 0.

Sebelum mempelajari metode penyelesaian tertentu, kami mencatat bahwa semua persamaan kuadrat dapat dibagi menjadi tiga kelas:

1. Tidak memiliki akar;
2. Mereka memiliki tepat satu akar;
3. Mereka memiliki dua akar yang berbeda.

Ini adalah perbedaan penting antara persamaan kuadrat dan linier, di mana akarnya selalu ada dan unik. Bagaimana cara menentukan berapa banyak akar persamaan? Ada hal yang luar biasa untuk ini - pembeda.

diskriminatif

Misalkan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0. Maka diskriminannya adalah bilangan D = b 2 4ac .

Rumus ini harus diketahui dengan hati. Dari mana asalnya tidak penting sekarang. Hal lain yang penting: dengan tanda diskriminan, Anda dapat menentukan berapa banyak akar persamaan kuadrat. Yaitu:

1. Jika D< 0, корней нет;
2. Jika D = 0, ada tepat satu akar;
3. Jika D > 0, akan ada dua akar.

Harap dicatat: diskriminan menunjukkan jumlah akar, dan sama sekali bukan tandanya, seperti yang dipikirkan banyak orang karena alasan tertentu. Lihatlah contoh-contoh dan Anda akan memahami semuanya sendiri:

Tugas. Berapa banyak akar yang dimiliki persamaan kuadrat:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 6x + 9 = 0.

Kami menulis koefisien untuk persamaan pertama dan menemukan diskriminannya:
a = 1, b = 8, c = 12;
D = (−8) 2 4 1 12 = 64 48 = 16

Jadi, diskriminannya positif, sehingga persamaan memiliki dua akar yang berbeda. Kami menganalisis persamaan kedua dengan cara yang sama:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminannya negatif, tidak ada akarnya. Persamaan terakhir tetap:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 4 1 9 = 36 36 = 0.

Diskriminan sama dengan nol - akarnya adalah satu.

Perhatikan bahwa koefisien telah ditulis untuk setiap persamaan. Ya, itu panjang, ya, itu membosankan - tetapi Anda tidak akan mencampuradukkan peluang dan tidak membuat kesalahan bodoh. Pilih sendiri: kecepatan atau kualitas.

Ngomong-ngomong, jika Anda "mengisi tangan Anda", setelah beberapa saat Anda tidak perlu lagi menulis semua koefisien. Anda akan melakukan operasi seperti itu di kepala Anda. Kebanyakan orang mulai melakukan ini di suatu tempat setelah persamaan diselesaikan 50-70 - secara umum, tidak begitu banyak.

Akar persamaan kuadrat

Sekarang mari kita beralih ke solusi. Jika diskriminan D > 0, akar-akarnya dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Rumus dasar untuk akar persamaan kuadrat

Ketika D = 0, Anda dapat menggunakan salah satu dari rumus ini - Anda mendapatkan angka yang sama, yang akan menjadi jawabannya. Akhirnya, jika D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

persamaan pertama:
x 2 - 2x - 3 = 0 a = 1; b = 2; c = -3;
D = (−2) 2 4 1 (−3) = 16.

D > 0 persamaan memiliki dua akar. Mari temukan mereka:

Persamaan kedua:
15 2x x 2 = 0 a = 1; b = 2; c = 15;
D = (−2) 2 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 persamaan kembali memiliki dua akar. Ayo temukan mereka

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(sejajarkan)\]

Akhirnya, persamaan ketiga:
x 2 + 12x + 36 = 0 a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 4 1 36 = 0.

D = 0 persamaan memiliki satu akar. Formula apa pun bisa digunakan. Misalnya, yang pertama:

Seperti yang Anda lihat dari contoh, semuanya sangat sederhana. Jika Anda tahu rumus dan bisa menghitung, tidak akan ada masalah. Paling sering, kesalahan terjadi ketika koefisien negatif disubstitusikan ke dalam rumus. Di sini, sekali lagi, teknik yang dijelaskan di atas akan membantu: lihat formula secara harfiah, lukis setiap langkah - dan singkirkan kesalahan segera.

Persamaan kuadrat tidak lengkap

Kebetulan persamaan kuadrat agak berbeda dari apa yang diberikan dalam definisi. Sebagai contoh:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 16 = 0.

Sangat mudah untuk melihat bahwa salah satu suku hilang dalam persamaan ini. Persamaan kuadrat seperti itu bahkan lebih mudah diselesaikan daripada persamaan standar: persamaan tersebut bahkan tidak perlu menghitung diskriminan. Jadi mari kita perkenalkan konsep baru:

Persamaan ax 2 + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat tidak lengkap jika b = 0 atau c = 0, yaitu koefisien variabel x atau elemen bebas sama dengan nol.

Tentu saja, kasus yang sangat sulit dimungkinkan ketika kedua koefisien ini sama dengan nol: b \u003d c \u003d 0. Dalam hal ini, persamaan mengambil bentuk ax 2 \u003d 0. Jelas, persamaan seperti itu memiliki satu akar: x \u003d 0.

Mari kita pertimbangkan kasus lain. Biarkan b \u003d 0, maka kita mendapatkan persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk ax 2 + c \u003d 0. Mari kita ubah sedikit:

Karena akar kuadrat aritmatika hanya ada dari bilangan non-negatif, persamaan terakhir hanya masuk akal jika (−c / a ) 0. Kesimpulan:

1. Jika persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 + c = 0 memenuhi pertidaksamaan (−c / a ) 0, akan ada dua akar. Rumus diberikan di atas;
2. Jika (−c / a)< 0, корней нет.

Seperti yang Anda lihat, diskriminan tidak diperlukan - tidak ada perhitungan rumit sama sekali dalam persamaan kuadrat yang tidak lengkap. Bahkan, tidak perlu mengingat pertidaksamaan (−c / a ) 0. Cukup dengan menyatakan nilai x 2 dan melihat apa yang ada di sisi lain dari tanda sama dengan. Jika ada bilangan positif, akan ada dua akar. Jika negatif, tidak akan ada akar sama sekali.

Sekarang mari kita berurusan dengan persamaan bentuk ax 2 + bx = 0, di mana elemen bebas sama dengan nol. Semuanya sederhana di sini: akan selalu ada dua akar. Cukup memfaktorkan polinomialnya:

Mengeluarkan faktor persekutuan dari kurung

Hasil kali sama dengan nol jika paling sedikit salah satu faktornya sama dengan nol. Dari sinilah akarnya berasal. Sebagai kesimpulan, kami akan menganalisis beberapa persamaan ini:

Tugas. Memecahkan persamaan kuadrat:

1. x2 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 9 = 0.

x 2 7x = 0 x (x 7) = 0 x 1 = 0; x2 = (−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 x2 = -6. Tidak ada akar, karena kuadrat tidak boleh sama dengan bilangan negatif.

4x 2 9 = 0 4x 2 = 9 x 2 = 9/4 x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1.5.