Pengembangan pelajaran aljabar di kelas profil 11

Pembelajaran dilakukan oleh guru matematika sekolah menengah MBOU No. 6 Tupitsyna O.V.

Topik dan nomor pelajaran dalam topik:"Penerapan beberapa transformasi yang mengarah ke persamaan-konsekuensi", pelajaran No. 7, 8 dalam topik: "Persamaan-konsekuensi"

Subjek akademik:Aljabar dan awal analisis matematika - kelas 11 (pelatihan profil menurut buku teks oleh S.M. Nikolsky)

Jenis pelajaran: "sistematisasi dan generalisasi pengetahuan dan keterampilan"

Jenis pelajaran: bengkel

Peran guru: mengarahkan aktivitas kognitif siswa untuk mengembangkan kemampuan untuk secara mandiri menerapkan pengetahuan dalam kompleks untuk memilih metode atau metode transformasi yang diinginkan, yang mengarah ke persamaan - konsekuensi dan penerapan metode dalam memecahkan persamaan, dalam kondisi baru.

Peralatan teknis yang dibutuhkan:peralatan multimedia, kamera web.

Pelajaran yang digunakan:

1. model pembelajaran didaktik- menciptakan situasi bermasalah,
2. sarana pedagogis- lembar yang menunjukkan modul pelatihan, pilihan tugas untuk menyelesaikan persamaan,
3. jenis kegiatan siswa- kelompok (kelompok terbentuk dalam pelajaran - "penemuan" pengetahuan baru, pelajaran No. 1 dan 2 dari siswa dengan tingkat belajar dan belajar yang berbeda), pemecahan masalah bersama atau individu,
4. teknologi pendidikan yang berorientasi pada kepribadian: pelatihan modular, pembelajaran berbasis masalah, metode pencarian dan penelitian, dialog kolektif, metode aktivitas, bekerja dengan buku teks dan berbagai sumber,
5. teknologi hemat kesehatan- untuk menghilangkan stres, pendidikan jasmani dilakukan,
6. kompetensi:

- pendidikan dan kognitif di tingkat dasar- siswa mengetahui konsep persamaan - konsekuensi, akar persamaan dan metode transformasi yang mengarah ke persamaan - konsekuensi, mereka dapat menemukan akar persamaan dan melakukan verifikasi pada tingkat produktif;

- pada tingkat lanjutan- siswa dapat menyelesaikan persamaan menggunakan metode transformasi yang terkenal, memeriksa akar persamaan menggunakan luas nilai persamaan yang tidak dapat diterima; menghitung logaritma menggunakan properti berbasis eksplorasi; informasional - siswa secara mandiri mencari, mengekstrak, dan memilih informasi yang diperlukan untuk memecahkan masalah pendidikan dalam berbagai jenis sumber.

Tujuan didaktik:

menciptakan kondisi untuk:

Pembentukan ide tentang persamaan - konsekuensi, akar dan metode transformasi;

Pembentukan pengalaman penciptaan makna berdasarkan konsekuensi logis dari metode transformasi persamaan yang dipelajari sebelumnya: menaikkan persamaan ke pangkat genap, mempotensiasi persamaan logaritmik, membebaskan persamaan dari penyebut, membawa suku yang sama;

Konsolidasi keterampilan dalam menentukan pilihan metode transformasi, lebih lanjut memecahkan persamaan dan memilih akar persamaan;

Menguasai keterampilan menetapkan masalah berdasarkan informasi yang diketahui dan dipelajari, membentuk permintaan untuk mengetahui apa yang belum diketahui;

Pembentukan minat kognitif, kemampuan intelektual dan kreativitas siswa;

Pengembangan pemikiran logis, aktivitas kreatif siswa, keterampilan proyek, kemampuan untuk mengekspresikan pikiran mereka;

Terbentuknya rasa toleransi, gotong royong saat bekerja dalam kelompok;

Membangkitkan minat dalam solusi persamaan independen;

Tugas:

Mengatur pengulangan dan sistematisasi pengetahuan tentang cara mentransformasikan persamaan;

- untuk memastikan penguasaan metode untuk memecahkan persamaan dan memeriksa akarnya;

- untuk mempromosikan pengembangan pemikiran analitis dan kritis siswa; membandingkan dan memilih metode optimal untuk menyelesaikan persamaan;

- menciptakan kondisi untuk pengembangan keterampilan penelitian, keterampilan kerja kelompok;

Memotivasi siswa untuk menggunakan materi yang dipelajari untuk mempersiapkan ujian;

Menganalisis dan mengevaluasi pekerjaan Anda dan pekerjaan rekan-rekan Anda dalam kinerja pekerjaan ini.

Hasil yang direncanakan:

*pribadi:

Keterampilan menetapkan tugas berdasarkan informasi yang diketahui dan dipelajari, menghasilkan permintaan untuk mencari tahu apa yang belum diketahui;

Kemampuan untuk memilih sumber informasi yang diperlukan untuk memecahkan masalah; pengembangan minat kognitif, kemampuan intelektual dan kreativitas siswa;

Perkembangan berpikir logis, aktivitas kreatif, kemampuan mengungkapkan pikiran, kemampuan membangun argumen;

Penilaian sendiri atas hasil kinerja;

Kemampuan bekerja sama;

*metasubjek:

Kemampuan untuk menyoroti hal utama, membandingkan, menggeneralisasi, menggambar analogi, menerapkan metode penalaran induktif, mengajukan hipotesis saat menyelesaikan persamaan,

Kemampuan untuk menafsirkan dan menerapkan pengetahuan yang diperoleh dalam persiapan untuk ujian;

*subjek:

Pengetahuan tentang cara mengubah persamaan,

Kemampuan untuk membentuk pola yang terkait dengan berbagai jenis persamaan dan menggunakannya dalam memecahkan dan memilih akar,

Mengintegrasikan tujuan pelajaran:

1. (untuk guru) Pembentukan pandangan holistik pada siswa tentang cara mengubah persamaan dan metode untuk menyelesaikannya;
2. (bagi siswa) Pengembangan kemampuan mengamati, membandingkan, menggeneralisasi, menganalisis situasi matematis yang berhubungan dengan jenis persamaan yang mengandung berbagai fungsi. Persiapan untuk ujian.

Tahap I pelajaran:

Memperbarui pengetahuan untuk meningkatkan motivasi dalam bidang penerapan berbagai metode transformasi persamaan (input diagnostik)

Tahap memperbarui pengetahuandilakukan dalam bentuk tes kerja dengan self test. Tugas perkembangan diusulkan, berdasarkan pengetahuan yang diperoleh dalam pelajaran sebelumnya, yang membutuhkan aktivitas mental aktif dari siswa dan diperlukan untuk menyelesaikan tugas dalam pelajaran ini.

Pekerjaan verifikasi

1. Pilih persamaan yang memerlukan pembatasan yang tidak diketahui pada himpunan semua bilangan real:

a) = X-2; b) 3 \u003d X-2; c) =1;

d) ( = (; e) = ; e) +6 =5;

g) = ; h) = .

(2) Tentukan kisaran nilai yang valid dari setiap persamaan, di mana ada batasan.

(3) Pilih contoh persamaan seperti itu, di mana transformasi dapat menyebabkan hilangnya akar (gunakan materi pelajaran sebelumnya tentang topik ini).

Semua orang memeriksa jawaban secara mandiri sesuai dengan jawaban yang sudah jadi yang disorot di layar. Tugas yang paling sulit dianalisis dan siswa memberikan perhatian khusus pada contoh a, c, g, h, di mana ada batasan.

Disimpulkan bahwa ketika menyelesaikan persamaan, perlu untuk menentukan kisaran nilai yang diizinkan oleh persamaan atau untuk memeriksa akar untuk menghindari nilai asing. Metode yang dipelajari sebelumnya untuk mengubah persamaan yang mengarah ke persamaan - konsekuensi diulang. Artinya, siswa dengan demikian termotivasi untuk menemukan cara yang tepat untuk menyelesaikan persamaan yang diajukan oleh mereka dalam pekerjaan lebih lanjut.

Tahap II pelajaran:

Aplikasi praktis dari pengetahuan, keterampilan dan kemampuan mereka dalam memecahkan persamaan.

Kelompok diberikan lembar dengan modul yang disusun pada isu-isu topik ini. Modul mencakup lima elemen pembelajaran, yang masing-masing ditujukan untuk melakukan tugas-tugas tertentu. Siswa dengan tingkat belajar dan belajar yang berbeda secara mandiri menentukan ruang lingkup kegiatan mereka dalam pelajaran, tetapi karena semua orang bekerja dalam kelompok, ada proses penyesuaian pengetahuan dan keterampilan yang berkelanjutan, menarik mereka yang tertinggal ke wajib, yang lain untuk maju dan tingkat kreatif.

Di tengah pelajaran, menit fisik wajib diadakan.

Jumlah elemen pendidikan	Elemen pendidikan dengan tugas	Panduan untuk pengembangan materi pendidikan
UE-1	Tujuan: Untuk menentukan dan membenarkan metode utama untuk menyelesaikan persamaan berdasarkan sifat-sifat fungsi. Latihan: Tentukan metode transformasi untuk menyelesaikan persamaan berikut: A) )= -8); b) = c) (=( d) ctg + x 2 -2x = ctg +24; e) = ; f) = sinx. 2) Tugas: Memecahkan setidaknya dua dari persamaan yang diusulkan. Jelaskan metode apa yang digunakan dalam persamaan yang diselesaikan.	Klausul 7.3 hal.212 Klausul 7.4 hal.214 Klausul 7.5 hal.217 Klausul 7.2 hal.210
UE-2	Tujuan: Untuk menguasai teknik rasional dan metode penyelesaian Latihan: Berikan contoh dari persamaan di atas atau yang dipilih sendiri (menggunakan materi dari pelajaran sebelumnya) yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode solusi rasional, apakah itu? (penekanan pada cara untuk memeriksa akar persamaan)
UE-3	Tujuan: Menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam memecahkan persamaan tingkat kerumitan yang tinggi Latihan: = ( atau ( = (	Klausul 7.5
UE-4	Mengatur tingkat penguasaan topik: rendah - solusi tidak lebih dari 2 persamaan; Medium - solusi tidak lebih dari 4 persamaan; tinggi - solusi tidak lebih dari 5 persamaan
UE-5	Kontrol keluaran: Buat tabel untuk menyajikan semua metode transformasi persamaan yang Anda gunakan dan untuk setiap metode tuliskan contoh persamaan yang Anda selesaikan, mulai dari pelajaran 1 topik: "Persamaan - konsekuensi"	Abstrak di buku catatan

Tahap III pelajaran:

Output karya diagnostik, merupakan refleksi siswa, yang akan menunjukkan kesiapan tidak hanya untuk menulis tes, tetapi juga kesiapan untuk ujian di bagian ini.

Di akhir pembelajaran, semua siswa tanpa terkecuali melakukan evaluasi diri, kemudian muncul penilaian guru. Jika timbul perbedaan pendapat antara guru dan siswa, guru dapat menawarkan tugas tambahan kepada siswa agar dapat mengevaluasinya secara objektif. Pekerjaan rumahbertujuan untuk meninjau materi sebelum pekerjaan kontrol.

kuliah sekolah

“Persamaan Setara. persamaan akibat wajar»

komentar metodologis. Konsep persamaan ekuivalen, persamaan akibat wajar, teorema tentang ekuivalensi persamaan merupakan isu penting yang berkaitan dengan teori penyelesaian persamaan.

Pada kelas 10, siswa telah memperoleh beberapa pengalaman dalam memecahkan persamaan. Di kelas 7-8, persamaan linier dan kuadrat diselesaikan, tidak ada transformasi yang tidak sama di sini. Selanjutnya, di kelas 8 dan 9, persamaan rasional dan irasional paling sederhana diselesaikan, ternyata sehubungan dengan pelepasan dari penyebut dan mengkuadratkan kedua bagian persamaan, akar asing mungkin muncul. Dengan demikian, ada kebutuhan untuk pengenalan konsep-konsep baru: kesetaraan persamaan, transformasi setara dan non-ekuivalen dari persamaan, akar asing dan verifikasi akar. Berdasarkan pengalaman yang dikumpulkan siswa dalam menyelesaikan kelas-kelas persamaan di atas, dimungkinkan untuk menentukan hubungan baru kesetaraan persamaan dan "menemukan" teorema pada kesetaraan persamaan bersama-sama dengan siswa.

Pelajaran, yang ringkasannya disajikan di bawah ini, mendahului pembahasan topik yang terkait dengan solusi persamaan irasional, eksponensial, logaritmik, dan trigonometri. Materi teoritis pelajaran ini berfungsi sebagai pendukung untuk menyelesaikan semua kelas persamaan. Dalam pelajaran ini, perlu untuk mendefinisikan konsep persamaan setara, persamaan wajar, untuk mempertimbangkan teorema transformasi yang mengarah ke jenis persamaan tersebut. Materi yang dibahas, sebagaimana disebutkan di atas, adalah semacam sistematisasi pengetahuan siswa tentang transformasi persamaan, ditandai dengan kompleksitas tertentu, oleh karena itu jenis pelajaran yang paling dapat diterima adalah kuliah sekolah. Keunikan pelajaran ini adalah bahwa tugas pendidikan (tujuan) yang ditetapkan di atasnya diselesaikan selama banyak pelajaran berikutnya (mengidentifikasi transformasi persamaan yang mengarah pada perolehan akar asing dan hilangnya akar).

Setiap tahap pelajaran menempati tempat penting dalam strukturnya.

pada tahap pembaruan siswa mengingat ketentuan teoritis utama yang terkait dengan persamaan: apa itu persamaan, akar persamaan, apa artinya menyelesaikan persamaan, kisaran nilai yang dapat diterima (ODV) dari persamaan. Mereka menemukan ODZ dari persamaan spesifik yang akan berfungsi sebagai dukungan untuk "penemuan" teorema dalam pelajaran.

Target tahap motivasi- untuk menciptakan situasi masalah, yang terdiri dari menemukan solusi yang benar dari persamaan yang diusulkan.

Keputusan tugas belajar (tahap operasional-kognitif) dalam pelajaran yang disajikan terletak pada "penemuan" teorema tentang kesetaraan persamaan dan buktinya. Perhatian utama dalam penyajian materi diberikan pada definisi persamaan ekuivalen, persamaan-konsekuensi, “menemukan” teorema pada ekuivalensi persamaan.

Catatan yang dibuat guru selama pelajaran disajikan langsung dalam abstrak. Pendaftaran catatan oleh siswa dalam buku catatan diberikan pada akhir ringkasan pelajaran.

Ringkasan pelajaran

Subjek. persamaan setara. Persamaan-konsekuensi.

(Aljabar dan analisis awal: Buku teks untuk kelas 10-11 lembaga pendidikan / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov dan lainnya - M .: Pendidikan, 2003).

tujuan pelajaran. Dalam kegiatan bersama dengan siswa, mengidentifikasi hubungan ekivalensi pada himpunan persamaan, “menemukan” teorema pada ekivalensi persamaan.

Akibatnya, siswa

tahu

Definisi persamaan setara,

Definisi persamaan akibat wajar,

Pernyataan teorema utama;

bisa

Dari persamaan yang diusulkan, pilih persamaan ekuivalen dan persamaan-konsekuensi,

Terapkan definisi persamaan setara dan persamaan wajar dalam situasi standar;

mengerti

Transformasi apa yang menyebabkan persamaan setara atau persamaan-konsekuensi,

Bahwa ada transformasi, sebagai akibatnya persamaan dapat memperoleh akar asing,

Bahwa sebagai akibat dari beberapa transformasi, hilangnya akar dapat terjadi.

Jenis pelajaran. Kuliah di sekolah (2 jam).

Struktur pelajaran.

I. Bagian motivasi dan orientasi:

Pembaruan pengetahuan,

Motivasi, pengaturan tugas belajar.

II. Bagian operasional-kognitif:

Pemecahan masalah pendidikan dan penelitian (tujuan pelajaran).

AKU AKU AKU. Bagian reflektif-evaluatif:

Menyimpulkan pelajaran

Penerbitan pekerjaan rumah.

Selama kelas

Saya. Bagian motivasi dan orientasi.

Hari ini dalam pelajaran kita akan berbicara tentang persamaan, tetapi kita belum akan menuliskan topiknya. Ingat konsep dasar yang terkait dengan persamaan. Pertama-tama, apa itu persamaan?

(Persamaan adalah catatan analitis dari masalah menemukan nilai argumen yang nilai satu fungsi sama dengan nilai fungsi lain).

Apa konsep lain yang terkait dengan persamaan?

(Akar persamaan dan apa artinya menyelesaikan persamaan. Akar persamaan adalah angka, saat mensubstitusikan ke dalam persamaan, persamaan numerik yang benar diperoleh. Selesaikan persamaan - temukan semua akarnya atau tentukan akarnya tidak ada).

Apa persamaan ODZ?

(Kumpulan semua bilangan yang fungsinya di ruas kiri dan kanan persamaan masuk akal pada saat yang bersamaan).

Tentukan ODZ dari persamaan berikut.

5)

6)
.

Penyelesaian persamaan tersebut ditulis di papan tulis.

Bagaimana proses penyelesaian persamaan?

(Melakukan transformasi yang membawa persamaan ini ke persamaan bentuk yang lebih sederhana, yaitu persamaan seperti itu, yang akarnya tidak sulit ditemukan).

Benar, yaitu ada urutan penyederhanaan dari persamaan ke persamaan
dll. ke
. Mari kita lihat apa yang terjadi pada akar persamaan pada setiap tahap transformasi. Dalam solusi yang disajikan, dua akar persamaan diperoleh
. Periksa apakah itu angka dan angka
dan
akar persamaan awal.

(angka , dan merupakan akar-akar persamaan awal, dan
- Tidak).

Jadi, dalam proses pemecahan akar ini hilang. Secara umum, transformasi yang dilakukan menyebabkan hilangnya dua akar
dan perolehan akar asing.

Bagaimana Anda bisa menyingkirkan akar asing?

(Buat cek).

Apakah mungkin untuk kehilangan akar? Mengapa?

(Tidak, karena memecahkan persamaan berarti menemukan semua akarnya).

Bagaimana cara menghindari kehilangan akar?

(Mungkin, saat menyelesaikan persamaan, jangan lakukan transformasi yang menyebabkan hilangnya akar).

Jadi, agar proses penyelesaian persamaan mengarah pada hasil yang benar, apa yang penting untuk diketahui saat melakukan transformasi pada persamaan?

(Mungkin, untuk mengetahui transformasi mana pada persamaan yang mempertahankan akar, yang menyebabkan hilangnya akar atau perolehan akar asing. Ketahui transformasi apa yang dapat diganti sehingga tidak ada kehilangan atau perolehan akar).

Itulah yang akan kita lakukan dalam pelajaran ini. Bagaimana Anda merumuskan tujuan dari kegiatan yang akan datang dalam pelajaran hari ini?

(Untuk mengidentifikasi transformasi pada persamaan yang mempertahankan akar, menyebabkan hilangnya akar atau perolehan akar asing. Ketahui transformasi apa yang dapat diganti sehingga tidak ada kehilangan atau perolehan akar).

II . Bagian operasional-kognitif.

Mari kita kembali ke persamaan yang tertulis di papan tulis. Mari kita telusuri pada tahap apa dan sebagai hasil dari transformasi apa, dua akar hilang dan orang luar muncul. (Guru di sebelah kanan setiap persamaan meletakkan angka).

Sebutkan persamaan-persamaan yang memiliki himpunan (kumpulan) akar-akar yang sama.

(Persamaan , , ,
dan ,).

Persamaan seperti itu disebut setara. Cobalah untuk merumuskan definisi persamaan setara.

(Persamaan yang memiliki himpunan akar yang sama disebut ekuivalen).

Mari kita tuliskan definisinya.

Definisi 1. Persamaan
dan
dikatakan ekuivalen jika himpunan akar-akarnya sama.

Perlu dicatat bahwa persamaan tanpa kuda juga setara.

Untuk menunjukkan persamaan setara, Anda dapat menggunakan simbol "
». Proses penyelesaian persamaan menggunakan konsep baru dapat dicerminkan sebagai berikut:

Jadi, transisi dari persamaan yang diberikan ke persamaan yang setara tidak mempengaruhi himpunan akar persamaan yang dihasilkan.

Dan apa transformasi utama yang dilakukan saat menyelesaikan persamaan linier?

(Kurung buka; mentransfer istilah dari satu bagian persamaan ke bagian lain, mengubah tanda ke kebalikannya; menambahkan ekspresi yang mengandung yang tidak diketahui ke kedua bagian persamaan).

Apakah akar mereka berubah?

Berdasarkan salah satu transformasi ini, yaitu: perpindahan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain, sambil mengubah tanda ke bagian yang berlawanan, di kelas 7 mereka merumuskan sifat persamaan. Formulasikan dengan menggunakan konsep baru.

(Jika ada suku persamaan yang dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian lain yang bertanda berlawanan, maka persamaan yang ekuivalen dengan yang diberikan akan diperoleh).

Apa properti lain dari persamaan yang Anda ketahui?

(Kedua ruas persamaan dapat dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama.)

Menerapkan properti ini juga menggantikan persamaan asli dengan persamaan yang setara. Mari kita kembali ke persamaan yang tertulis di papan tulis. Bandingkan himpunan akar persamaan dan ?

(Akar persamaan adalah akar persamaan).

Artinya, ketika berpindah dari satu persamaan ke persamaan lainnya, himpunan akar, meskipun diperluas, tidak kehilangan akarnya. Dalam hal ini, persamaan disebut akibat dari persamaan. Cobalah untuk merumuskan definisi persamaan yang merupakan konsekuensi dari persamaan ini.

(Jika tidak ada akar yang hilang selama transisi dari satu persamaan ke persamaan lainnya, maka persamaan kedua disebut konsekuensi dari persamaan pertama).

Definisi 2. Suatu persamaan disebut akibat dari suatu persamaan jika setiap akar persamaan adalah akar dari persamaan tersebut.

- Sebagai hasil dari transformasi apa Anda mendapatkan persamaan dari persamaan?

(Kuadratkan kedua sisi persamaan).

Ini berarti bahwa transformasi ini dapat menyebabkan munculnya akar asing, mis. persamaan awal diubah menjadi persamaan konsekuensi. Apakah ada persamaan wajar lainnya dalam rantai transformasi persamaan yang disajikan?

(Ya, misalnya, persamaan adalah konsekuensi dari persamaan, dan persamaan adalah konsekuensi dari persamaan).

Apa persamaan ini?

(Setara).

Cobalah, dengan menggunakan konsep persamaan konsekuensi, untuk merumuskan definisi yang setara dari persamaan yang setara.

(Persamaan dikatakan ekuivalen jika masing-masing merupakan konsekuensi dari yang lain).

Apakah ada persamaan wajar lainnya dalam solusi persamaan yang diusulkan?

(Ya, persamaan adalah konsekuensi dari persamaan).

Apa yang terjadi pada akar ketika berpindah dari ke ?

(Dua akar hilang).

Transformasi apa yang menyebabkan hal ini?

(Kesalahan dalam menerapkan identitas
).

Menerapkan konsep baru persamaan-akibat wajar, dan menggunakan simbol "
”, proses penyelesaian persamaan akan terlihat seperti ini:

.

Jadi, skema yang dihasilkan menunjukkan kepada kita bahwa jika transisi ekuivalen dibuat, maka himpunan akar persamaan yang dihasilkan tidak berubah. Tetapi tidak selalu mungkin untuk menerapkan hanya transformasi yang setara. Jika transisi tidak setara, maka dua kasus yang mungkin: dan . Dalam kasus pertama, persamaan adalah konsekuensi dari persamaan, himpunan akar dari persamaan yang dihasilkan termasuk himpunan akar dari persamaan yang diberikan, di sini akar asing diperoleh, mereka dapat dipotong dengan melakukan pemeriksaan. Dalam kasus kedua, persamaan diperoleh yang persamaan ini merupakan konsekuensi: , yang berarti bahwa akan ada kehilangan akar, transisi seperti itu tidak boleh dilakukan. Oleh karena itu, penting untuk memastikan bahwa ketika mentransformasikan suatu persamaan, setiap persamaan berikutnya merupakan konsekuensi dari persamaan sebelumnya. Apa yang perlu Anda ketahui agar transformasinya hanya seperti itu? Mari kita coba untuk menginstalnya. Mari kita tulis tugas 1 (ini menawarkan persamaan; ODZ mereka ditemukan pada tahap pembaruan; himpunan akar dari setiap persamaan dicatat).

Tugas 1. Apakah persamaan setiap kelompok (a, b) setara? Beri nama transformasi, akibatnya persamaan pertama grup diganti dengan yang kedua.

sebuah)
b)

Mari kita beralih ke persamaan grup a), apakah persamaan ini setara?

(Ya, dan mereka setara).

(Kami menggunakan identitas).

Artinya, ekspresi di salah satu bagian persamaan digantikan oleh ekspresi identik yang sama. Apakah persamaan ODZ berubah di bawah transformasi ini?

Pertimbangkan kelompok persamaan b). Apakah persamaan ini setara?

(Tidak, persamaan adalah konsekuensi dari persamaan).

Sebagai hasil dari transformasi apa yang Anda dapatkan?

(Kami mengganti sisi kiri persamaan dengan ekspresi yang identik sama).

Apa yang terjadi dengan persamaan odz?

(ODZ diperluas).

Sebagai hasil dari perluasan ODZ, kami memperoleh persamaan konsekuensi dan akar asing
untuk persamaan. Ini berarti bahwa perluasan persamaan ODZ dapat menyebabkan munculnya akar asing. Untuk kedua kasus a) dan b), rumuskan pernyataan dalam bentuk umum. (Siswa merumuskan, guru mengoreksi).

(Biarkan dalam beberapa persamaan
, ekspresi
diganti dengan ekspresi yang identik
. Jika transformasi seperti itu tidak mengubah persamaan ODZ, maka kami meneruskan ke persamaan yang setara
. Jika ODZ mengembang, maka persamaan tersebut merupakan konsekuensi dari persamaan ).

Pernyataan ini merupakan teorema transformasi yang menuju ke persamaan ekuivalen atau persamaan akibat wajar.

Teorema 1.,
a) ODZtidak berubah	b) ODZ berkembang

Kami menerima teorema ini tanpa bukti. tugas berikutnya. Tiga persamaan dan akarnya disajikan.

Tugas 2. Apakah persamaan berikut setara? Beri nama transformasi, akibatnya persamaan pertama diganti dengan persamaan kedua, persamaan ketiga.

Manakah dari persamaan berikut yang ekivalen?

(Hanya persamaan dan ).

Transformasi apa yang dilakukan untuk berpindah dari persamaan ke persamaan , ?

(Untuk kedua sisi persamaan dalam kasus pertama kami menambahkan
, dalam kasus kedua kami menambahkan
).

Artinya, dalam setiap kasus, beberapa fungsi ditambahkan
. Bandingkan domain fungsi dalam persamaan dengan persamaan ODZ.

(Fungsi
didefinisikan pada persamaan ODZ ).

Persamaan apa yang diperoleh dengan menambahkan fungsi pada kedua ruas persamaan?

(Kami mendapatkan persamaan yang setara).

Apa yang terjadi pada persamaan ODZ dibandingkan dengan persamaan ODZ?

(Ini telah menyempit karena fungsinya
).

Apa yang Anda dapatkan dalam kasus ini? Apakah persamaan akan setara dengan persamaan atau - persamaan akibat wajar untuk persamaan?

(Tidak, tidak keduanya).

Setelah mempertimbangkan dua kasus transformasi persamaan, yang disajikan dalam tugas 2, coba buat kesimpulan.

(Jika kita menambahkan kedua bagian persamaan fungsi yang didefinisikan pada ODZ persamaan ini, maka kita mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan).

Memang, pernyataan ini adalah teorema.

Dalil2. , - ditentukan	pada persamaan odz

Tetapi kami menggunakan pernyataan yang mirip dengan teorema yang dirumuskan saat menyelesaikan persamaan. Bagaimana kedengarannya?

(Angka yang sama dapat ditambahkan ke kedua sisi persamaan.)

Properti ini adalah kasus khusus dari Teorema 2 ketika
.

Tugas 3. Apakah persamaan berikut setara? Beri nama transformasi, akibatnya persamaan pertama diganti dengan persamaan kedua, persamaan ketiga.

Manakah dari persamaan dalam tugas 3 yang setara?

(Persamaan dan ).

Sebagai hasil dari transformasi apa dari persamaan adalah persamaan , ?

(Kedua ruas persamaan dikalikan dengan
dan dapatkan persamaannya. Untuk mendapatkan persamaan, kedua ruas persamaan dikalikan dengan
).

Kondisi apa yang harus dipenuhi oleh fungsi tersebut agar dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan , persamaan yang ekuivalen dengan akan diperoleh?

(Fungsi harus didefinisikan pada seluruh ODZ persamaan).

Apakah transformasi tersebut telah dilakukan pada persamaan sebelumnya?

(Dilakukan, kedua bagian persamaan dikalikan dengan angka selain nol).

Ini berarti bahwa kondisi yang dikenakan pada fungsi harus dilengkapi.

(Fungsi tidak boleh nol untuk sembarang dari persamaan ODZ).

Jadi, kami menulis dalam bentuk simbolis sebuah pernyataan yang memungkinkan kami untuk beralih dari persamaan yang diberikan ke persamaan yang setara. (Guru, di bawah dikte siswa, menuliskan Teorema 3).

Teorema 3. - didefinisikan di seluruh ODZ untuk salah satu ODZ

Mari kita buktikan teoremanya. Apa yang dimaksud dengan dua persamaan yang ekuivalen?

(Kita harus menunjukkan bahwa semua akar dari persamaan pertama adalah akar dari persamaan kedua dan sebaliknya, yaitu persamaan kedua adalah konsekuensi dari yang pertama dan persamaan pertama adalah konsekuensi dari yang kedua).

Mari kita buktikan bahwa itu adalah konsekuensi dari persamaan . Biarlah - akar persamaan, apa artinya?

(Saat mengganti kita mendapatkan persamaan numerik yang benar
).

Pada suatu titik, fungsi terdefinisi dan tidak hilang. Apa artinya ini?

(Nomor
. Oleh karena itu, persamaan numerik dapat dikalikan dengan
. Kami mendapatkan kesetaraan numerik yang benar).

Apa yang dimaksud dengan kesetaraan ini?

( - akar persamaan. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan-konsekuensi untuk persamaan).

Mari kita buktikan bahwa itu adalah konsekuensi dari persamaan . (Siswa bekerja secara mandiri, kemudian setelah diskusi, guru menuliskan bukti bagian kedua di papan tulis).

Tugas 4. Apakah persamaan setiap kelompok (a, b) setara? Beri nama transformasi, akibatnya persamaan pertama grup diganti dengan yang kedua.

sebuah)
b)

Apakah persamaan dan ?

(Setara).

Sebagai hasil dari apa transformasi dapat diperoleh?

(Kami menaikkan kedua sisi persamaan menjadi kubus).

Dari sisi kanan dan kiri persamaan, Anda dapat mengambil fungsinya
. Di himpunan mana fungsi didefinisikan?
?

(Pada bagian umum dari himpunan nilai fungsi
dan
).

Jelaskan kelompok persamaan di bawah huruf b)?

(Mereka tidak setara, sebagai konsekuensinya, fungsi diterapkan pada persamaan
dan diteruskan ke persamaan , fungsi didefinisikan pada bagian umum dari himpunan nilai fungsi
dan
).

Apa perbedaan antara sifat-sifat fungsi dalam grup a) dan b)?

(Dalam kasus pertama, fungsinya monoton, tetapi tidak dalam kasus kedua).

Mari kita rumuskan pernyataan berikut. (Guru, di bawah dikte siswa, menuliskan teorema).

Teorema 4. - didefinisikan pada bagian umum dari himpunan nilai fungsi dan
sebuah) - monoton	b) - tidak monoton

Mari kita bahas bagaimana teorema ini akan "bekerja" ketika menyelesaikan persamaan berikut.

Contoh. selesaikan persamaannya

1)
; 2)
.

Fungsi manakah yang berlaku untuk kedua ruas persamaan 1)?

(Mari kita naikkan kedua sisi persamaan menjadi kubus, yaitu menerapkan fungsi).

(Fungsi ini didefinisikan pada bagian umum dari himpunan nilai fungsi di sisi kiri dan kanan persamaan; itu monoton).

Jadi, dengan menaikkan kedua sisi persamaan asli menjadi kubus, persamaan apa yang akan kita dapatkan?

(Setara dengan ini).

Fungsi mana yang berlaku untuk kedua sisi persamaan 2)?

(Mari kita naikkan kedua sisi persamaan ke pangkat keempat, yaitu menerapkan fungsi
).

Sebutkan sifat-sifat fungsi ini yang diperlukan untuk menerapkan Teorema 4.

(Fungsi ini didefinisikan pada bagian umum dari himpunan nilai fungsi di sisi kiri dan kanan persamaan; tidak monoton).

Persamaan apa, relatif terhadap yang asli, yang akan kita dapatkan dengan menaikkan persamaan ini ke pangkat keempat?

(Persamaan konsekuensi).

Akankah himpunan akar persamaan asli dan himpunan akar persamaan yang dihasilkan berbeda?

(Akar asing mungkin muncul. Jadi, pemeriksaan diperlukan).

Selesaikan persamaan ini di rumah.

AKU AKU AKU . Bagian reflektif-evaluatif.

Hari ini kita "menemukan" empat teorema bersama. Lihat mereka lagi dan katakan persamaan apa yang mereka katakan.

(Pada persamaan setara dan persamaan-akibat wajar).

Mari kita menulis topik pelajaran. Mari kembali ke persamaan yang dibahas di awal percakapan hari ini. Manakah dari Teorema 1-4 yang diterapkan ketika berpindah dari satu persamaan ke persamaan lainnya? (Siswa bersama guru mencari tahu teorema mana yang berhasil pada setiap langkah, guru menandai nomor teorema pada diagram).

T.2 T.2 T.1 T.4 T.2 T.4

Apa yang baru Anda pelajari dalam pelajaran hari ini?

(Konsep persamaan setara, persamaan wajar, teorema pada kesetaraan persamaan).

Tugas apa yang kita tetapkan di awal pelajaran?

(Pilih transformasi yang tidak mengubah himpunan akar persamaan, transformasi yang mengarah pada perolehan dan hilangnya akar).

Sudahkah kita menyelesaikannya sepenuhnya?

Kami memecahkan masalah sebagian, kami akan melanjutkan studinya di pelajaran berikutnya ketika memecahkan jenis persamaan baru.

Dengan menggunakan konsep persamaan ekivalen, yang baru bagi kita, rumuskan kembali bagian pertama dari tugas "untuk memilih transformasi yang tidak mengubah himpunan akar persamaan".

(Bagaimana mengetahui apakah berpindah dari satu persamaan ke persamaan lainnya adalah transformasi yang setara).

Apa yang akan membantu menjawab pertanyaan ini?

(Teorema pada kesetaraan persamaan).

Dan apakah ada transformasi yang diterapkan hari ini yang mengarah pada perolehan akar asing?

(Diterapkan, ini adalah kuadrat dari kedua bagian persamaan; penggunaan rumus, bagian kiri dan kanannya masuk akal untuk nilai berbeda dari huruf yang disertakan di dalamnya).

Ada alasan "spesifik" lain yang mengarah pada munculnya dan hilangnya akar persamaan, kami membicarakan beberapa di antaranya. Tetapi ada juga yang, sebagai suatu peraturan, dikaitkan dengan kelas persamaan tertentu, dan kita akan membicarakannya nanti.

Mari kita menulis pekerjaan rumah:

mengetahui definisi persamaan ekuivalen, persamaan akibat wajar;

mengetahui rumusan teorema 1-4;

melakukan, dengan analogi dengan bukti Teorema 3, bukti Teorema 1 dan 2;

4) No 139(4,6), 141(2) - cari tahu apakah persamaannya setara; memecahkan persamaan; .

Entri buku catatan

persamaan setara. Persamaan-konsekuensi.

Definisi 1. Persamaan dan dikatakan ekuivalen jika himpunan akar-akarnya bertepatan.

Definisi 2. Suatu persamaan disebut akibat dari suatu persamaan jika setiap akar persamaan adalah akar dari persamaan tersebut. diganti dengan ekspresi yang identik.

Contoh.selesaikan persamaannya

Biarkan dua persamaan diberikan

Jika setiap akar persamaan (1) juga merupakan akar persamaan (2), maka persamaan (2) disebut konsekuensi dari persamaan (1). Perhatikan bahwa kesetaraan persamaan berarti bahwa masing-masing persamaan merupakan konsekuensi dari yang lain.

Dalam proses penyelesaian suatu persamaan, sering kali perlu menerapkan transformasi semacam itu yang menghasilkan persamaan yang merupakan konsekuensi dari persamaan aslinya. Persamaan konsekuensi dipenuhi oleh semua akar persamaan asli, tetapi, selain itu, persamaan konsekuensi juga dapat memiliki solusi yang bukan akar dari persamaan asli, inilah yang disebut akar asing. Untuk mengidentifikasi dan menghilangkan akar asing, mereka biasanya melakukan ini: semua akar yang ditemukan dari persamaan konsekuensi diperiksa dengan substitusi ke dalam persamaan asli.

Jika, ketika menyelesaikan suatu persamaan, kami menggantinya dengan persamaan konsekuensi, maka verifikasi di atas merupakan bagian integral dari penyelesaian persamaan. Oleh karena itu, penting untuk mengetahui di bawah transformasi apa persamaan ini menjadi akibat wajar.

Perhatikan persamaan

dan kalikan kedua bagiannya dengan ekspresi yang sama yang masuk akal untuk semua nilai x. Kami mendapatkan persamaan

yang akar-akarnya adalah akar-akar persamaan (3) dan akar-akar persamaan . Oleh karena itu, persamaan (4) merupakan konsekuensi dari persamaan (3). Jelaslah bahwa persamaan (3) dan (4) ekuivalen jika persamaan "luar" tidak memiliki akar.

Jadi, jika kedua bagian persamaan dikalikan dengan ekspresi yang masuk akal untuk setiap nilai x, maka kita mendapatkan persamaan yang merupakan konsekuensi dari yang asli. Persamaan yang dihasilkan akan setara dengan aslinya jika persamaan tersebut tidak memiliki akar. Perhatikan bahwa transformasi terbalik, yaitu, transisi dari persamaan (4) ke persamaan (3) dengan membagi kedua bagian persamaan (4) dengan ekspresi, sebagai suatu peraturan, tidak dapat diterima, karena dapat menyebabkan hilangnya solusi (dalam kasus ini, mereka dapat "kehilangan" akar persamaan Misalnya, persamaan memiliki dua akar: 3 dan 4. Membagi kedua bagian persamaan dengan mengarah ke persamaan yang hanya memiliki satu akar 4, yaitu, akar telah hilang .

Sekali lagi, ambil persamaan (3) dan kuadratkan kedua sisinya. Kami mendapatkan persamaan

yang akar-akarnya merupakan akar persamaan (3) dan akar persamaan "luar", yaitu persamaan tersebut merupakan konsekuensi dari persamaan (3).

Dapat menyebabkan munculnya apa yang disebut akar asing. Pada artikel ini, pertama-tama kita akan menganalisis secara rinci apa itu akar asing. Kedua, mari kita bicara tentang alasan kemunculannya. Dan ketiga, menggunakan contoh, kami akan mempertimbangkan cara utama untuk menyaring akar asing, yaitu, memeriksa akar untuk keberadaan yang asing di antara mereka untuk mengecualikan mereka dari jawaban.

Akar asing dari persamaan, definisi, contoh

Buku teks sekolah aljabar tidak mendefinisikan akar kata asing. Di sana, ide akar asing dibentuk dengan menggambarkan situasi berikut: dengan bantuan beberapa transformasi persamaan, transisi dari persamaan asli ke persamaan konsekuensi dilakukan, akar dari persamaan konsekuensi yang diperoleh adalah ditemukan, dan akar yang ditemukan diperiksa dengan substitusi ke dalam persamaan asli, yang menunjukkan bahwa beberapa akar yang ditemukan bukan akar dari persamaan asli, akar ini disebut akar asing untuk persamaan asli.

Berdasarkan dasar ini, Anda dapat mengambil sendiri definisi akar asing berikut:

Definisi

akar asing adalah akar-akar persamaan-konsekuensi yang diperoleh sebagai hasil transformasi, yang bukan merupakan akar-akar persamaan semula.

Mari kita ambil contoh. Pertimbangkan persamaan dan akibat wajar dari persamaan ini x·(x−1)=0 , diperoleh dengan mengganti ekspresi dengan ekspresi x·(x−1) yang identik sama dengannya. Persamaan asli memiliki akar tunggal 1 . Persamaan yang diperoleh sebagai hasil transformasi memiliki dua akar 0 dan 1 . Jadi 0 adalah akar asing untuk persamaan asli.

Penyebab kemungkinan munculnya akar asing

Jika tidak ada transformasi "eksotis" yang digunakan untuk memperoleh persamaan konsekuensi, tetapi hanya transformasi dasar persamaan yang digunakan, maka akar-akar asing dapat muncul hanya karena dua alasan:

• karena perluasan ODZ dan
• karena kedua ruas persamaan dinaikkan menjadi pangkat genap yang sama.

Di sini perlu diingat bahwa ekspansi ODZ sebagai akibat dari transformasi persamaan terutama terjadi

• Saat mengurangi pecahan;
• Saat mengganti produk dengan satu atau lebih faktor nol dengan nol;
• Saat mengganti nol dengan pecahan dengan pembilang nol;
• Saat menggunakan beberapa sifat pangkat, akar, logaritma;
• Saat menggunakan beberapa rumus trigonometri;
• Saat mengalikan kedua bagian persamaan dengan ekspresi yang sama, yang hilang pada ODZ untuk persamaan ini;
• Ketika dirilis dalam proses memecahkan tanda-tanda logaritma.

Contoh dari paragraf artikel sebelumnya mengilustrasikan munculnya akar asing karena perluasan ODZ, yang terjadi ketika berpindah dari persamaan ke persamaan wajar x·(x−1)=0 . ODZ untuk persamaan asli adalah himpunan semua bilangan real, kecuali nol, ODZ untuk persamaan yang dihasilkan adalah himpunan R, yaitu, ODZ diperpanjang dengan angka nol. Nomor ini akhirnya berubah menjadi akar asing.

Kami juga akan memberikan contoh munculnya akar asing karena menaikkan kedua bagian persamaan menjadi kekuatan genap yang sama. Persamaan irasional memiliki akar tunggal 4, dan konsekuensi dari persamaan ini, diperoleh darinya dengan mengkuadratkan kedua bagian persamaan, yaitu persamaan , memiliki dua akar 1 dan 4 . Dari sini dapat dilihat bahwa mengkuadratkan kedua sisi persamaan menyebabkan munculnya akar asing untuk persamaan aslinya.

Perhatikan bahwa perluasan ODZ dan kenaikan kedua bagian persamaan ke pangkat genap yang sama tidak selalu mengarah pada munculnya akar asing. Misalnya, ketika berpindah dari persamaan ke persamaan wajar x=2, ODZ meluas dari himpunan semua bilangan non-negatif ke himpunan semua bilangan real, tetapi akar asing tidak muncul. 2 adalah satu-satunya akar dari persamaan pertama dan kedua. Juga, tidak ada kemunculan akar-akar asing selama transisi dari persamaan ke persamaan-konsekuensi. Satu-satunya akar dari persamaan pertama dan kedua adalah x=16 . Itulah mengapa kita tidak berbicara tentang penyebab munculnya akar asing, tetapi tentang alasan kemungkinan munculnya akar asing.

Apa yang dimaksud dengan mencabut akar asing?

Istilah "menghilangkan akar asing" hanya bisa disebut istilah mapan, tidak ditemukan di semua buku teks aljabar, tetapi intuitif, itulah sebabnya biasanya digunakan. Apa yang dimaksud dengan menyaring akar asing menjadi jelas dari frasa berikut: “... verifikasi adalah langkah wajib dalam menyelesaikan persamaan, yang akan membantu mendeteksi akar asing, jika ada, dan membuangnya (biasanya mereka mengatakan “menyingkirkan ")".

Dengan demikian,

Definisi

Menyiangi akar asing adalah deteksi dan penolakan akar asing.

Sekarang Anda dapat beralih ke cara untuk menyingkirkan akar asing.

Metode untuk menyingkirkan akar asing

Cek substitusi

Cara utama untuk menyingkirkan akar asing adalah pemeriksaan substitusi. Ini memungkinkan Anda untuk menyingkirkan akar asing yang dapat muncul karena perluasan ODZ, dan karena peningkatan kedua bagian persamaan menjadi kekuatan genap yang sama.

Pemeriksaan substitusi adalah sebagai berikut: akar-akar yang ditemukan dari persamaan konsekuensi disubstitusi secara bergiliran ke dalam persamaan asli atau ke dalam persamaan apa pun yang ekuivalen dengannya, akar-akar yang memberikan persamaan numerik yang benar adalah akar-akar persamaan asli, dan akar-akar yang memberikan persamaan atau ekspresi numerik yang salah, tidak ada artinya akar asing untuk persamaan asli.

Mari kita gunakan contoh untuk menunjukkan bagaimana akar asing disaring melalui substitusi ke dalam persamaan asli.

Dalam beberapa kasus, penyiangan akar asing lebih tepat dilakukan dengan cara lain. Ini berlaku terutama untuk kasus-kasus di mana pemeriksaan substitusi dikaitkan dengan kesulitan komputasi yang signifikan atau ketika cara standar untuk memecahkan persamaan jenis tertentu melibatkan pemeriksaan yang berbeda (misalnya, menyaring akar asing ketika menyelesaikan persamaan fraksional-rasional dilakukan sesuai dengan dengan syarat penyebut pecahan tidak sama dengan nol ). Mari kita menganalisis cara-cara alternatif untuk menyaring akar-akar asing.

Menurut ODZ

Berbeda dengan pemeriksaan substitusi, penyaringan akar asing dengan ODZ tidak selalu tepat. Faktanya adalah bahwa metode ini memungkinkan Anda untuk menyaring hanya akar asing yang muncul karena perluasan ODZ, dan itu tidak menjamin penghapusan akar asing yang dapat muncul karena alasan lain, misalnya, karena menaikkan kedua bagian persamaan dengan kekuatan genap yang sama. Selain itu, tidak selalu mudah untuk menemukan ODZ untuk persamaan yang sedang diselesaikan. Namun demikian, metode menyaring akar asing oleh ODZ harus tetap digunakan, karena penggunaannya seringkali membutuhkan lebih sedikit pekerjaan komputasi daripada penggunaan metode lain.

Pemilahan akar asing menurut ODZ dilakukan sebagai berikut: semua akar yang ditemukan dari persamaan konsekuensi diperiksa untuk menjadi bagian dari wilayah nilai yang diizinkan dari variabel untuk persamaan asli atau persamaan apa pun yang setara dengannya, yang milik ODZ adalah akar dari persamaan asli, dan mereka yang tidak termasuk dalam ODZ adalah akar asing untuk persamaan asli.

Analisis informasi yang diberikan mengarah pada kesimpulan bahwa disarankan untuk menyaring akar asing menurut ODZ jika pada saat yang sama:

• mudah untuk menemukan ODZ untuk persamaan aslinya,
• akar asing dapat muncul hanya karena perluasan ODZ,
• verifikasi substitusi dikaitkan dengan kesulitan komputasi yang signifikan.

Kami akan menunjukkan bagaimana menyiangi akar asing dilakukan dalam praktik.

Di bawah ketentuan ODZ

Seperti yang kami katakan di paragraf sebelumnya, jika akar asing dapat muncul hanya karena perluasan ODZ, maka akar tersebut dapat disaring menurut ODZ untuk persamaan aslinya. Tetapi tidak selalu mudah untuk menemukan ODZ dalam bentuk himpunan numerik. Dalam kasus seperti itu, dimungkinkan untuk menyaring akar asing tidak menurut ODZ, tetapi menurut kondisi yang menentukan ODZ. Mari kita jelaskan bagaimana penyaringan akar asing dilakukan sesuai dengan kondisi ODZ.

Akar-akar yang ditemukan kemudian disubstitusikan ke dalam kondisi yang menentukan ODZ untuk persamaan asli atau persamaan apa pun yang setara dengannya. Mereka yang memenuhi semua kondisi adalah akar persamaan. Dan mereka yang tidak memenuhi setidaknya satu kondisi atau memberikan ekspresi yang tidak masuk akal adalah akar asing untuk persamaan asli.

Mari kita berikan contoh penyaringan akar asing sesuai dengan kondisi ODZ.

Menyaring akar asing yang muncul dari menaikkan kedua sisi persamaan menjadi pangkat genap

Jelas bahwa menghilangkan akar-akar asing yang muncul dari menaikkan kedua bagian persamaan ke pangkat genap yang sama dapat dilakukan dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan asli atau ke dalam persamaan apa pun yang setara dengannya. Tetapi verifikasi tersebut dapat dikaitkan dengan kesulitan komputasi yang signifikan. Dalam hal ini, ada baiknya mengetahui cara alternatif untuk menyingkirkan akar asing, yang akan kita bicarakan sekarang.

Menyaring akar asing yang mungkin muncul ketika kedua bagian persamaan irasional dari bentuk dinaikkan ke pangkat genap yang sama , di mana n adalah suatu bilangan genap, dapat dilakukan menurut kondisi g(x)≥0 . Ini mengikuti dari definisi akar genap: akar genap n adalah bilangan non-negatif yang pangkat ke-n sama dengan bilangan akar, dari mana . Jadi, pendekatan bersuara adalah semacam simbiosis dari metode menaikkan kedua bagian persamaan ke derajat yang sama dan metode penyelesaian persamaan irasional dengan menentukan akarnya. Yaitu persamaan , di mana n adalah bilangan genap, diselesaikan dengan menaikkan kedua bagian persamaan menjadi pangkat genap yang sama, dan menyaring akar-akar asing dilakukan menurut kondisi g(x)≥0 yang diambil dari metode penyelesaian persamaan irasional untuk menentukan akar.

Dalam presentasi, kita akan terus mempertimbangkan persamaan setara, teorema, dan membahas lebih rinci tentang tahap-tahap penyelesaian persamaan tersebut.

Pertama, mari mengingat kembali kondisi di mana salah satu persamaan merupakan konsekuensi dari persamaan lainnya (slide 1). Penulis sekali lagi mengutip beberapa teorema pada persamaan ekuivalen yang telah dibahas sebelumnya: tentang perkalian bagian-bagian persamaan dengan nilai yang sama h (x); menaikkan bagian-bagian persamaan menjadi kekuatan genap yang sama; memperoleh persamaan ekivalen dari persamaan log a f (x) = log a g (x).

Pada slide ke-5 presentasi, tahapan utama disorot, dengan bantuan yang nyaman untuk menyelesaikan persamaan yang setara:

Temukan solusi untuk persamaan yang setara;

Analisis solusi;

Memeriksa.

Perhatikan contoh 1. Perlu dicari akibat dari persamaan x - 3 = 2. Carilah akar dari persamaan x = 5. Tulis persamaan yang ekuivalen (x - 3)(x - 6) = 2(x - 6 ), menerapkan metode mengalikan bagian-bagian persamaan dengan (x - 6). Menyederhanakan ekspresi ke bentuk x 2 - 11x +30 = 0, kita temukan akar-akarnya x 1 = 5, x 2 = 6. setiap akar persamaan x - 3 \u003d 2 juga merupakan solusi untuk persamaan x 2 - 11x +30 \u003d 0, maka x 2 - 11x +30 \u003d 0 adalah persamaan konsekuensi.

Contoh 2. Temukan konsekuensi lain dari persamaan x - 3 = 2. Untuk mendapatkan persamaan yang ekivalen, digunakan metode pangkat genap. Menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan, kami menulis x 2 - 6x +5 = 0. Temukan akar persamaan x 1 = 5, x 2 = 1. x \u003d 5 (akar persamaan x - 3 \u003d 2) juga merupakan solusi dari persamaan x 2 - 6x +5 \u003d 0, maka persamaan x 2 - 6x +5 \u003d 0 juga merupakan konsekuensi persamaan.

Contoh 3. Perlu dicari konsekuensi dari persamaan log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1.

Mari kita ganti 1 = log 3 3 dalam persamaan Kemudian, menerapkan pernyataan dari Teorema 6, kita menulis persamaan setara (x + 1)(x +3) = 3. Menyederhanakan ekspresi, kita memperoleh x 2 + 4x = 0, dimana akar-akarnya adalah x 1 = 0, x 2 = - 4. Jadi persamaan x 2 + 4x = 0 adalah konsekuensi dari persamaan yang diberikan log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 .

Jadi, kita dapat menyimpulkan: jika domain definisi persamaan diperluas, maka diperoleh persamaan-konsekuensi. Kami memilih tindakan standar dalam menemukan persamaan-konsekuensi:

Menyingkirkan penyebut yang mengandung variabel;

Menaikkan bagian-bagian persamaan ke kekuatan genap yang sama;

Pengecualian dari tanda-tanda logaritmik.

Tetapi penting untuk diingat: ketika domain definisi persamaan diperluas selama penyelesaian, perlu untuk memeriksa semua akar yang ditemukan - apakah mereka akan jatuh ke ODZ.

Contoh 4. Selesaikan persamaan yang disajikan pada slide 12. Pertama, temukan akar persamaan yang setara x 1 \u003d 5, x 2 \u003d - 2 (tahap pertama). Sangat penting untuk memeriksa akarnya (tahap kedua). Memeriksa akar (tahap ketiga): x 1 \u003d 5 tidak termasuk dalam kisaran nilai yang diizinkan dari persamaan yang diberikan, oleh karena itu persamaan hanya memiliki satu solusi x \u003d - 2.

Dalam contoh 5, akar yang ditemukan dari persamaan ekivalen tidak termasuk dalam ODZ dari persamaan yang diberikan. Dalam contoh 6, nilai salah satu dari dua akar yang ditemukan tidak ditentukan, jadi akar ini bukan solusi untuk persamaan asli.