Kami sangat menyadari piramida Mesir yang besar, semua orang bisa membayangkan seperti apa bentuknya. Representasi ini akan membantu kita memahami ciri-ciri sosok geometris seperti piramida.

Piramida adalah polihedron yang terdiri dari poligon datar - dasar piramida, titik yang tidak terletak pada bidang alas - bagian atas piramida dan semua segmen yang menghubungkan bagian atas dengan titik-titik alas. Segmen yang menghubungkan bagian atas piramida dengan bagian atas alas disebut tepi lateral. pada gambar. 1 menunjukkan piramida SABCD. Segi empat ABCD adalah alas piramida, titik S adalah puncak piramida, segmen SA, SB, SC dan SD adalah tepi piramida.

Ketinggian piramida adalah tegak lurus yang dijatuhkan dari puncak piramida ke bidang alasnya. pada gambar. 1 SO adalah tinggi piramida.

Piramida disebut n-gonal jika alasnya adalah n-gon. Gambar 1 menunjukkan piramida segi empat. Piramida segitiga disebut tetrahedron.

Piramida disebut teratur jika alasnya adalah poligon beraturan, dan alas tingginya bertepatan dengan pusat poligon ini. Tepi lateral piramida biasa adalah sama, dan, oleh karena itu, wajah lateral adalah segitiga sama kaki. Dalam piramida biasa, ketinggian sisi wajah yang ditarik dari puncak piramida disebut apotema.

Piramida memiliki sejumlah properti.

Semua diagonal piramida milik wajahnya.

Jika semua sisi sisinya sama, maka:

• di dekat dasar piramida, sebuah lingkaran dapat digambarkan, dan puncak piramida diproyeksikan ke pusatnya;
• tepi samping membentuk sudut yang sama dengan bidang alas, dan, sebaliknya, jika tepi samping membentuk sudut yang sama dengan bidang alas, atau jika lingkaran dapat digambarkan di dekat dasar piramida, dan puncak piramida diproyeksikan ke pusatnya, maka semua sisi sisi piramida adalah sama.

Jika sisi-sisinya miring ke bidang alas pada satu sudut, maka:

• sebuah lingkaran dapat ditulisi di dasar piramida, dan bagian atas piramida diproyeksikan ke pusatnya;
• ketinggian sisi sisi sama;
• luas permukaan lateral sama dengan setengah produk keliling alas dan tinggi permukaan lateral.

Pertimbangkan rumus untuk menemukan volume, luas permukaan piramida.

Volume piramida dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

dimana S adalah luas alas dan h adalah tingginya.

Untuk menemukan luas permukaan total piramida, gunakan rumus:

S p \u003d S b + S o,

di mana S p adalah luas permukaan total, S b adalah luas permukaan samping, S o adalah luas alas.

Piramida terpotong adalah polihedron yang tertutup di antara dasar piramida dan bidang potong yang sejajar dengan alasnya. Wajah piramida terpotong, terletak di bidang paralel, disebut dasar piramida terpotong, wajah yang tersisa disebut wajah lateral. Basis piramida terpotong adalah poligon serupa, sisi sampingnya adalah trapesium. Piramida terpotong yang diperoleh dari piramida biasa disebut piramida terpotong biasa. Sisi sisi trapesium terpotong beraturan adalah trapesium sama kaki sama kaki, tingginya disebut apotema.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Definisi. Sisi wajah- ini adalah segitiga di mana satu sudut terletak di bagian atas piramida, dan sisi yang berlawanan bertepatan dengan sisi alas (poligon).

Definisi. Iga samping adalah sisi umum dari sisi wajah. Piramida memiliki tepi sebanyak sudut dalam poligon.

Definisi. tinggi piramida adalah tegak lurus yang dijatuhkan dari atas ke dasar piramida.

Definisi. Apotema- ini adalah tegak lurus dari sisi sisi piramida, diturunkan dari puncak piramida ke sisi alas.

Definisi. Bagian diagonal- ini adalah bagian piramida dengan bidang yang melewati bagian atas piramida dan diagonal alasnya.

Definisi. Piramida yang benar- Ini adalah piramida di mana alasnya adalah poligon beraturan, dan tingginya turun ke tengah alas.

Volume dan luas permukaan piramida

Rumus. volume piramida melalui luas alas dan tinggi:

sifat piramida

Jika semua sisi sisinya sama, maka sebuah lingkaran dapat dibatasi di sekitar pangkal piramida, dan pusat alasnya berimpit dengan pusat lingkaran. Juga, tegak lurus yang dijatuhkan dari atas melewati pusat alas (lingkaran).

Jika semua rusuk sisinya sama besar, maka mereka miring ke bidang alas dengan sudut yang sama.

Tulang rusuk lateral adalah sama ketika mereka membentuk sudut yang sama dengan bidang dasar, atau jika lingkaran dapat digambarkan di sekitar dasar piramida.

Jika sisi-sisinya miring ke bidang alas pada satu sudut, maka sebuah lingkaran dapat ditulis di dasar piramida, dan bagian atas piramida diproyeksikan ke pusatnya.

Jika sisi-sisinya miring ke bidang alas pada satu sudut, maka apotema dari sisi-sisinya adalah sama.

Sifat-sifat piramida biasa

1. Bagian atas piramida berjarak sama dari semua sudut alasnya.

2. Semua sisi sisinya sama.

3. Semua rusuk sisi miring pada sudut yang sama ke alas.

4. Apotema semua sisi sisinya sama.

5. Luas semua sisi sisinya sama.

6. Semua wajah memiliki sudut dihedral (datar) yang sama.

7. Sebuah bola dapat digambarkan di sekitar piramida. Pusat bola yang dijelaskan akan menjadi titik persimpangan tegak lurus yang melewati tengah tepi.

8. Sebuah bola dapat ditulisi dalam sebuah piramida. Pusat bola tertulis akan menjadi titik persimpangan garis-bagi yang berasal dari sudut antara tepi dan alas.

9. Jika pusat bola bertulisan bertepatan dengan pusat bola yang dibatasi, maka jumlah sudut datar di puncak sama dengan atau sebaliknya, satu sudut sama dengan / n, di mana n adalah angka sudut di dasar piramida.

Hubungan piramida dengan bola

Sebuah bola dapat digambarkan di sekitar piramida ketika di dasar piramida terletak polihedron di mana lingkaran dapat digambarkan (kondisi yang diperlukan dan cukup). Pusat bola akan menjadi titik perpotongan bidang-bidang yang lewat secara tegak lurus melalui titik-titik tengah tepi samping piramida.

Sebuah bola selalu dapat digambarkan di sekitar piramida segitiga atau biasa.

Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida jika bidang-bidang bagi dari sudut dihedral internal piramida berpotongan pada satu titik (kondisi yang diperlukan dan cukup). Titik ini akan menjadi pusat bola.

Hubungan piramida dengan kerucut

Sebuah kerucut disebut bertulisan dalam sebuah piramida jika simpul-simpulnya berhimpitan dan alas kerucut tersebut tertulis di dasar piramida.

Sebuah kerucut dapat ditulisi dalam piramida jika apotema piramida sama.

Kerucut dikatakan dibatasi di sekitar piramida jika simpulnya bertepatan dan pangkal kerucut dibatasi di sekitar dasar piramida.

Kerucut dapat digambarkan mengelilingi piramida jika semua sisi sisi piramida sama satu sama lain.

Koneksi piramida dengan silinder

Sebuah piramida dikatakan bertulisan dalam sebuah silinder jika bagian atas piramida terletak di salah satu dasar silinder, dan dasar piramida tertulis di dasar silinder yang lain.

Sebuah silinder dapat dibatasi di sekitar piramida jika lingkaran dapat dibatasi di sekitar dasar piramida.

Definisi. Piramida terpotong (prisma piramidal)- Ini adalah polihedron yang terletak di antara dasar piramida dan bidang bagian yang sejajar dengan alasnya. Dengan demikian piramida memiliki dasar yang besar dan dasar yang lebih kecil yang mirip dengan yang lebih besar. Sisi-sisinya berbentuk trapesium.

Definisi. Piramida segitiga (tetrahedron)- ini adalah piramida di mana tiga wajah dan alasnya adalah segitiga sembarang.

Sebuah tetrahedron memiliki empat wajah dan empat simpul dan enam tepi, di mana setiap dua tepi tidak memiliki simpul yang sama tetapi tidak bersentuhan.

Setiap simpul terdiri dari tiga sisi dan sisi yang membentuk sudut segitiga.

Ruas yang menghubungkan puncak segi empat dengan pusat sisi yang berhadapan disebut median dari tetrahedron(GM).

bimedian disebut ruas yang menghubungkan titik tengah sisi berlawanan yang tidak bersentuhan (KL).

Semua bimedian dan median tetrahedron berpotongan di satu titik (S). Dalam hal ini, bimedian dibagi dua, dan median dalam perbandingan 3: 1 mulai dari atas.

Definisi. piramida miring adalah piramida yang salah satu ujungnya membentuk sudut tumpul (β) dengan alasnya.

Definisi. Piramida persegi panjang adalah piramida yang salah satu sisinya tegak lurus dengan alasnya.

Definisi. Piramida Miring Akut adalah piramida di mana apotema lebih dari setengah panjang sisi alasnya.

Definisi. piramida tumpul adalah piramida di mana apotema kurang dari setengah panjang sisi alasnya.

Definisi. tetrahedron biasa Sebuah tetrahedron yang empat wajahnya adalah segitiga sama sisi. Ini adalah salah satu dari lima poligon beraturan. Dalam tetrahedron beraturan, semua sudut dihedral (antara wajah) dan sudut trihedral (pada titik sudut) adalah sama.

Definisi. Tetrahedron persegi panjang disebut tetrahedron yang memiliki sudut siku-siku antara tiga sisi pada titik tersebut (sisi-sisinya tegak lurus). Bentuk tiga wajah sudut segitiga siku-siku dan wajah-wajahnya adalah segitiga siku-siku, dan alasnya adalah segitiga sembarang. Apotema wajah apa pun sama dengan setengah sisi alas tempat apotema itu jatuh.

Definisi. Tetrahedron isohedral Disebut tetrahedron di mana sisi-sisinya sama satu sama lain, dan alasnya adalah segitiga biasa. Wajah tetrahedron seperti itu adalah segitiga sama kaki.

Definisi. Tetrahedron ortosentrik sebuah tetrahedron disebut di mana semua ketinggian (tegak lurus) yang diturunkan dari atas ke wajah yang berlawanan berpotongan di satu titik.

Definisi. piramida bintang Polihedron yang alasnya berupa bintang disebut.

Definisi. Bipiramid- polihedron yang terdiri dari dua piramida yang berbeda (piramida juga dapat dipotong), memiliki basis yang sama, dan simpul terletak di sisi berlawanan dari bidang dasar.

Semua tepi sisi piramida biasa adalah sama, dan sisi-sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama. Diketahui: PA1A2…An adalah piramida beraturan.

Geser 7 dari presentasi "Piramida". Ukuran arsip dengan presentasi adalah 181 KB.

Geometri Kelas 10

ringkasan presentasi lainnya

"Piramida Kelas 10" - A2. Isi. Sebuah polihedron terdiri dari n-gon 1А2…Sebuah dan n segitiga disebut piramida. Basis. Pelajaran matematika di kelas 10 dengan topik "Piramida". Sebuah. Puncak piramida. MBOU "Sekolah Menengah No. 22 dengan studi mendalam tentang bahasa Inggris", Nizhnekamsk, RT. A.A3. A1. C.

"Kelas 10 paralel" - Wajah yang berdekatan. C1. Geometri kelas 10. A1. C.D1. D. Wajah yang berlawanan. 76. Buktikan bahwa AC II A1C1 dan BD II B1D1.

"Vektor geometri kelas 10" - Vektor. Vektor di luar angkasa. Geometri kelas 10. CB CM. Shagaeva Anna Borisovna MOU "Sekolah menengah Baragash". Tindakan dengan vektor. vektor ekspres. Jumlah vektor. Sebagai seorang saya. Sebuah vektor seperti segmen berarah.

"Bagian dari parallelepiped" - 4. ? MNK- bagian dari ABCDA'B'C'D' paralelepiped. Pelajaran - lokakarya di guru Matematika kelas 10 Shvenk A.V. (MNK) ? (TAMBAHKAN'A') = MN. (MNK) ? (A'B'C'D') = NK. Bagian dari parallelepiped. tujuan pelajaran. Bidang potong memotong permukaan yang berlawanan dari paralelepiped sepanjang segmen paralel. Bagian dari parallelepiped.

"Vektor dalam geometri" - Pengurangan vektor. Penjumlahan dan pengurangan vektor. aturan jajaran genjang. Vektor semacam itu disebut nol. Perbedaan antara vektor a dan b dapat ditemukan dengan rumus Dimana vektor berlawanan dengan vektor. Panjang vektor bukan nol adalah panjang ruas AB. pada gambar. 2 , karena dan, a, karena . - vektor dianggap codirectional. - vektor berlawanan arah.

• apotema- ketinggian sisi sisi piramida biasa, yang ditarik dari atasnya (selain itu, apotema adalah panjang tegak lurus, yang diturunkan dari tengah poligon beraturan ke 1 sisinya);
• wajah samping (ASB, BSC, CSD, DSA) - segitiga yang bertemu di atas;
• rusuk samping ( SEBAGAI , BS , CS , D.S. ) - sisi umum dari sisi samping;
• puncak piramida (v.S) - titik yang menghubungkan tepi samping dan yang tidak terletak pada bidang alas;
• tinggi ( JADI ) - segmen tegak lurus, yang ditarik melalui bagian atas piramida ke bidang alasnya (ujung segmen tersebut akan menjadi bagian atas piramida dan alas tegak lurus);
• bagian diagonal piramida- bagian piramida, yang melewati bagian atas dan diagonal alas;
• basis (ABC) adalah poligon yang bagian atas piramida tidak termasuk.

sifat piramida.

1. Jika semua sisi sisinya berukuran sama, maka:

• dekat dasar piramida mudah untuk menggambarkan sebuah lingkaran, sedangkan bagian atas piramida akan diproyeksikan ke pusat lingkaran ini;
• rusuk samping membentuk sudut yang sama dengan bidang dasar;
• selain itu, kebalikannya juga benar, yaitu ketika tepi sisi membentuk sudut yang sama dengan bidang alas, atau ketika sebuah lingkaran dapat digambarkan di dekat dasar piramida dan bagian atas piramida akan diproyeksikan ke pusat lingkaran ini, maka semua tepi sisi piramida memiliki ukuran yang sama.

2. Jika sisi-sisi menghadap memiliki sudut kemiringan terhadap bidang alas dengan nilai yang sama, maka:

• dekat dasar piramida, mudah untuk menggambarkan sebuah lingkaran, sedangkan bagian atas piramida akan diproyeksikan ke pusat lingkaran ini;
• ketinggian sisi-sisinya memiliki panjang yang sama;
• luas permukaan samping adalah hasil kali keliling alas dan tinggi permukaan samping.

3. Sebuah bola dapat digambarkan di dekat piramida jika alas piramida adalah poligon di mana lingkaran dapat digambarkan (kondisi perlu dan cukup). Pusat bola akan menjadi titik perpotongan bidang yang melewati titik tengah tepi piramida yang tegak lurus terhadapnya. Dari teorema ini kami menyimpulkan bahwa sebuah bola dapat digambarkan baik di sekitar segitiga apa pun dan di sekitar piramida biasa apa pun.

4. Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida jika bidang-bidang bagi dari sudut dihedral internal piramida berpotongan di titik pertama (kondisi yang diperlukan dan cukup). Titik ini akan menjadi pusat bola.

Piramida paling sederhana.

Menurut jumlah sudut dasar piramida, mereka dibagi menjadi segitiga, segi empat, dan sebagainya.

Piramida akan segitiga, berbentuk segi empat, dan seterusnya, ketika alas piramida adalah segitiga, segi empat, dan seterusnya. Piramida segitiga adalah tetrahedron - tetrahedron. Segi empat - pentahedron dan sebagainya.