(pi / 4) dalam tiga cara.

Pertama.
Metode ini paling sering digunakan saat menyelesaikan persamaan trigonometri di sekolah. Ini terdiri dari using , yang berisi nilai empat fungsi trigonometri dari argumen paling umum.

Tabel semacam itu ada dalam beberapa versi. Mereka berbeda karena nilai sudut disajikan dalam derajat, dalam radian, atau keduanya dalam derajat dan radian (yang paling nyaman).
Dalam tabel kami menemukan sudut (dalam hal ini pi / 4) dan fungsi yang diinginkan (kami membutuhkan fungsi kosinus) dan di persimpangan nilai-nilai ini kami mendapatkan akar dari 2 / 2.
Secara matematis ditulis seperti ini:

Kedua.
Juga cara umum yang selalu dapat digunakan jika tidak ada tabel. Ini terdiri dari penggunaan (atau lingkaran trigonometri).


Pada lingkaran trigonometri seperti itu, nilai cosinus terletak pada sumbu horizontal - sumbu absis, dan argumen - pada kurva lingkaran itu sendiri.
Dalam kasus kami, argumen kosinus adalah pi / 4. Mari kita tentukan di mana nilai ini terletak pada lingkaran. Selanjutnya, kita turunkan tegak lurus terhadap sumbu x. Nilai di mana ujung tegak lurus ini akan menjadi nilai kosinus yang diberikan. Oleh karena itu, cosinus dari pi / 4 adalah akar kuadrat dari 2 / 2.

Ketiga.
Juga nyaman untuk menggunakan grafik dari fungsi yang sesuai - . Sangat mudah untuk mengingat seperti apa bentuknya.


Saat menggunakan grafik, beberapa pengetahuan diperlukan untuk menentukan nilai kosinus pi / 4, yaitu . Dalam hal ini, Anda perlu memahami bahwa nilai pecahan lebih besar dari 0,5 dan kurang dari 1.
Tentu saja ada beberapa cara lain. Misalnya menghitung nilai cosinus menggunakan kalkulator. Tetapi untuk ini Anda harus terlebih dahulu mengubah sudut pi / 4 ke derajat. Tabel bradis mungkin juga berguna.

Ukuran derajat suatu sudut. Ukuran radian suatu sudut. Ubah derajat ke radian dan sebaliknya.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Pada pelajaran sebelumnya, kita telah menguasai penghitungan sudut pada lingkaran trigonometri. Belajar menghitung sudut positif dan negatif. Menyadari cara menggambar sudut yang lebih besar dari 360 derajat. Saatnya berurusan dengan pengukuran sudut. Apalagi dengan angka "Pi", yang berusaha membingungkan kita dalam tugas-tugas yang rumit, ya ...

Tugas standar dalam trigonometri dengan angka "Pi" diselesaikan dengan cukup baik. Memori visual membantu. Tetapi setiap penyimpangan dari templat - roboh di tempat! Agar tidak jatuh - memahami diperlukan. Apa yang akan berhasil kita lakukan sekarang. Dalam arti tertentu - kami memahami segalanya!

Jadi, Apa apakah sudut dihitung? Dalam kursus trigonometri sekolah, dua ukuran digunakan: ukuran derajat sudut dan ukuran radian sudut. Mari kita lihat langkah-langkah ini. Tanpa ini, dalam trigonometri - tidak ada tempat.

Ukuran derajat suatu sudut.

Kami entah bagaimana terbiasa dengan derajat. Geometri, setidaknya, melewati ... Ya, dan dalam hidup kita sering bertemu dengan frasa "berputar 180 derajat", misalnya. Gelar, singkatnya, hal yang sederhana ...

Ya? Jawab aku kalau begitu apa itu gelar? Apa yang tidak langsung berhasil? Sesuatu...

Derajat ditemukan di Babel kuno. Itu sudah lama sekali ... 40 abad yang lalu ... Dan mereka baru saja menemukannya. Mereka mengambil dan memecah lingkaran menjadi 360 bagian yang sama. 1 derajat adalah 1/360 lingkaran. Dan itu saja. Bisa dipecah menjadi 100 bagian. Atau dengan 1000. Tapi mereka memecahnya menjadi 360. Omong-omong, mengapa tepatnya 360? Mengapa 360 lebih baik dari 100? 100 sepertinya lebih seimbang... Coba jawab pertanyaan ini. Atau lemah melawan Babel Kuno?

Di suatu tempat pada saat yang sama, di Mesir kuno, mereka disiksa oleh masalah lain. Berapa kali lebih besar keliling lingkaran daripada panjang diameternya? Jadi mereka mengukur, dan dengan cara itu ... Semuanya ternyata sedikit lebih dari tiga. Tapi entah bagaimana ternyata berbulu, tidak rata ... Tapi mereka, orang Mesir, tidak bisa disalahkan. Setelah mereka, mereka menderita selama 35 abad. Sampai mereka akhirnya membuktikan bahwa tidak peduli seberapa halus lingkaran itu dipotong menjadi potongan-potongan yang sama, dari potongan-potongan seperti itu menjadi mulus panjang diameter tidak mungkin ... Pada prinsipnya, tidak mungkin. Nah, berapa kali keliling lebih besar dari diameter tentunya. Tentang. 3.1415926... kali.

Ini adalah nomor "Pi". Itu berbulu, sangat berbulu. Setelah titik desimal - jumlah digit tak terbatas tanpa urutan apa pun ... Angka seperti itu disebut irasional. Omong-omong, ini berarti bahwa dari bagian lingkaran yang sama, diameternya mulus jangan dilipat. Tidak pernah.

Untuk penggunaan praktis, biasanya hanya mengingat dua digit setelah titik desimal. Ingat:

Karena kita telah memahami bahwa keliling lingkaran lebih besar dari diameter kali "Pi", masuk akal untuk mengingat rumus keliling lingkaran:

Di mana L adalah keliling, dan d adalah diameternya.

Berguna dalam geometri.

Untuk pendidikan umum, saya akan menambahkan bahwa angka "Pi" tidak hanya ada dalam geometri ... Di berbagai bagian matematika, dan terutama dalam teori probabilitas, angka ini muncul terus-menerus! Dengan sendirinya. Di luar keinginan kita. Seperti ini.

Tapi kembali ke derajat. Sudahkah Anda mengetahui mengapa di Babel kuno lingkaran itu dibagi menjadi 360 bagian yang sama? Tapi bukan 100, misalnya? Bukan? OKE. Saya akan memberi Anda versi. Anda tidak dapat bertanya pada Babilonia kuno... Untuk konstruksi, atau, katakanlah, astronomi, lebih mudah untuk membagi lingkaran menjadi bagian yang sama. Sekarang cari tahu bilangan apa yang habis dibagi sama sekali 100, dan yang mana - 360? Dan dalam versi apa dari pembagi ini sama sekali- lagi? Divisi ini sangat nyaman bagi orang-orang. Tetapi...

Ternyata jauh lebih lambat dari Babel Kuno, tidak semua orang menyukai gelar. Matematika yang lebih tinggi tidak menyukai mereka... Matematika yang lebih tinggi adalah wanita yang serius, diatur menurut hukum alam. Dan wanita ini menyatakan: "Hari ini Anda memecahkan lingkaran menjadi 360 bagian, besok Anda akan memecahnya menjadi 100 bagian, lusa menjadi 245 ... Dan apa yang harus saya lakukan? Tidak juga ..." Saya harus menurut. Alam tidak bisa dibohongi...

Saya harus memperkenalkan ukuran sudut yang tidak bergantung pada gagasan manusia. Memenuhi - radian!

Ukuran radian suatu sudut.

Apa itu radian? Definisi radian didasarkan pada lingkaran pula. Sudut 1 radian adalah sudut yang memotong busur dari lingkaran yang panjangnya ( L) sama dengan panjang jari-jari ( R). Kami melihat gambar-gambarnya.

Sudut yang sangat kecil, hampir tidak ada ... Kami memindahkan kursor ke gambar (atau menyentuh gambar di tablet) dan kami melihat sekitar satu radian. L=R

Rasakan perbedaan nya?

Satu radian jauh lebih besar dari satu derajat. Berapa kali?

Mari kita lihat gambar selanjutnya. Di mana saya menggambar setengah lingkaran. Sudut yang diperluas, tentu saja, berukuran 180 °.

Dan sekarang saya akan memotong setengah lingkaran ini menjadi radian! Kami mengarahkan kursor ke gambar dan melihat bahwa 3 radian dengan ekor masuk ke 180 °.

Siapa yang bisa menebak kuncir kuda apa ini!?

Ya! Ekor ini 0.1415926.... Halo Pi, kami belum melupakanmu!

Memang, ada 3.1415926 ... radian dalam 180 derajat. Seperti yang bisa Anda bayangkan, menulis 3.1415926 sepanjang waktu... tidak nyaman. Oleh karena itu, alih-alih jumlah tak terbatas ini, mereka selalu menulis sederhana:

Dan ini nomornya di Internet

tidak nyaman untuk menulis ... Karena itu, dalam teks saya menulisnya dengan nama - "Pi". Jangan bingung...

Sekarang, cukup berarti untuk menulis perkiraan kesetaraan:

Atau persamaan yang tepat:

Tentukan berapa derajat dalam satu radian. Bagaimana? Mudah! Jika ada 180 derajat dalam 3,14 radian, maka 1 radian adalah 3,14 kali lebih sedikit! Artinya, kita bagi persamaan pertama (rumusnya juga persamaan!) Dengan 3.14:

Rasio ini berguna untuk diingat, ada sekitar 60° dalam satu radian. Dalam trigonometri, Anda sering harus mencari tahu, mengevaluasi situasinya. Di sinilah pengetahuan sangat membantu.

Tapi skill utama dari topik ini adalah mengubah derajat ke radian dan sebaliknya.

Jika sudut diberikan dalam radian dengan angka "pi", semuanya sangat sederhana. Kita tahu bahwa radian "pi" = 180°. Jadi kami mengganti bukan "Pi" radian - 180 °. Kami mendapatkan sudut dalam derajat. Kami mengurangi apa yang dikurangi, dan jawabannya sudah siap. Misalnya, kita perlu mencari tahu berapa banyak derajat di sudut "Pi"/2 radian? Di sini kami menulis:

Atau, ekspresi yang lebih eksotis:

Mudah, bukan?

Terjemahan sebaliknya sedikit lebih rumit. Tetapi tidak banyak. Jika sudut diberikan dalam derajat, kita harus mencari tahu berapa derajat dalam radian dan mengalikan angka itu dengan jumlah derajat. Berapa 1° dalam radian?

Kami melihat rumus dan menyadari bahwa jika 180° = "Pi" radian, maka 1° adalah 180 kali lebih kecil. Atau, dengan kata lain, kita membagi persamaan (rumusnya juga persamaan!) Dengan 180. Tidak perlu mewakili "Pi" sebagai 3,14, itu selalu ditulis dengan huruf. Kami mendapatkan bahwa satu derajat sama dengan:

Itu saja. Kalikan jumlah derajat dengan nilai ini untuk mendapatkan sudut dalam radian. Sebagai contoh:

Atau, sama:

Seperti yang Anda lihat, dalam percakapan santai dengan penyimpangan liris, ternyata radian sangat sederhana. Ya, dan terjemahannya tanpa masalah ... Dan "Pi" adalah hal yang sepenuhnya dapat ditoleransi ... Jadi dari mana kebingungannya!?

Saya akan mengungkapkan rahasianya. Faktanya adalah bahwa dalam fungsi trigonometri ikon derajat ditulis. Selalu. Misalnya, sin35°. Ini adalah sinus 35 derajat . Dan ikon radian ( senang) tidak ditulis! Dia tersirat. Entah kemalasan menguasai matematika, atau sesuatu yang lain ... Tapi mereka memutuskan untuk tidak menulis. Jika tidak ada ikon di dalam sinus - kotangen, maka sudut - dalam radian ! Misalnya, cos3 adalah cosinus dari tiga radian .

Ini mengarah pada kesalahpahaman ... Seseorang melihat "Pi" dan percaya bahwa itu adalah 180 °. Kapanpun dan dimanapun. Omong-omong, ini berhasil. Untuk sementara contoh masih standar. Tapi Pi adalah angka! Angka 3,14 bukan derajat! Itu "Pi" radian = 180 °!

Sekali lagi: "Pi" adalah angka! 3.14. Irasional, tapi angka. Sama seperti 5 atau 8. Anda dapat, misalnya, mengambil langkah "Pi". Tiga langkah dan sedikit lagi. Atau beli permen "Pi" kilogram. Jika seorang salesman terpelajar tertangkap...

"Pi" adalah angka! Apa, aku menangkapmu dengan kalimat ini? Apakah Anda sudah mengerti semuanya? OKE. Mari kita periksa. Bisakah Anda memberi tahu saya angka mana yang lebih besar?

Atau apa yang kurang?

Ini dari serangkaian pertanyaan yang sedikit tidak standar yang dapat membuat Anda pingsan ...

Jika Anda juga jatuh pingsan, ingat mantranya: "Pi" adalah angka! 3.14. Dalam sinus pertama, jelas ditunjukkan bahwa sudut - dalam derajat! Oleh karena itu, tidak mungkin untuk mengganti "Pi" dengan 180 °! Derajat "Pi" sekitar 3,14°. Oleh karena itu, kita dapat menulis:

Tidak ada simbol di sinus kedua. Jadi di sana - radian! Di sini, mengganti "Pi" dengan 180 ° akan berfungsi dengan baik. Mengubah radian ke derajat, seperti yang ditulis di atas, kita mendapatkan:

Masih membandingkan dua sinus ini. Apa. lupa bagaimana? Dengan bantuan lingkaran trigonometri, tentu saja! Kami menggambar lingkaran, menggambar perkiraan sudut 60° dan 1,05°. Kami melihat sinus dari sudut-sudut ini. Singkatnya, semuanya, seperti pada akhir topik tentang lingkaran trigonometri, dilukis. Pada lingkaran (bahkan yang bengkok!) akan terlihat jelas bahwa sin60 ° secara signifikan lebih dari sin1,05 °.

Kami akan melakukan hal yang sama dengan cosinus. Pada lingkaran kita menggambar sudut sekitar 4 derajat dan 4 radian(ingat, berapa kira-kira 1 radian?). Lingkaran akan mengatakan segalanya! Tentu saja, cos4 lebih kecil dari cos4°.

Mari berlatih menangani ukuran sudut.

Ubah sudut berikut dari derajat ke radian:

360°; 30 °; 90 °; 270 °; 45 °; 0°; 180 °; 60 °

Anda harus berakhir dengan nilai-nilai ini dalam radian (dalam urutan yang berbeda!)

0

Omong-omong, saya secara khusus menandai jawaban dalam dua baris. Nah, mari kita cari tahu apa sudut di baris pertama? Apakah dalam derajat atau radian?

Ya! Ini adalah sumbu dari sistem koordinat! Jika Anda melihat lingkaran trigonometri, maka sisi bergerak dari sudut pada nilai-nilai ini pas di porosnya. Nilai-nilai ini perlu diketahui secara ironis. Dan saya perhatikan sudut 0 derajat (0 radian) tidak sia-sia. Dan kemudian beberapa tidak dapat menemukan sudut ini pada lingkaran dengan cara apa pun ... Dan, karenanya, mereka menjadi bingung dalam fungsi trigonometri nol ... Hal lain adalah bahwa posisi sisi yang bergerak pada nol derajat bertepatan dengan posisi di 360 °, jadi kebetulan pada lingkaran selalu dekat.

Pada garis kedua juga terdapat sudut-sudut istimewa... Yaitu 30°, 45° dan 60°. Dan apa yang istimewa dari mereka? Tidak ada yang spesial. Satu-satunya perbedaan antara sudut-sudut ini dan yang lainnya adalah Anda harus tahu tentang sudut-sudut ini. semua. Dan di mana mereka berada, dan apa fungsi trigonometri dari sudut-sudut ini. Katakanlah nilainya sin100 ° Anda tidak perlu tahu. TETAPI sin45°- tolong berbaik hati! Ini adalah pengetahuan wajib, yang tanpanya tidak ada yang bisa dilakukan dalam trigonometri ... Tetapi lebih lanjut tentang ini di pelajaran berikutnya.

Sampai saat itu, mari kita terus berlatih. Ubah sudut berikut dari radian ke derajat:

Anda harus mendapatkan hasil seperti ini (berantakan):

210 °; 150 °; 135 °; 120 °; 330 °; 315 °; 300 °; 240 °; 225 °.

Telah terjadi? Maka kita dapat berasumsi bahwa mengubah derajat ke radian dan sebaliknya- bukan masalah Anda lagi.) Tapi menerjemahkan sudut adalah langkah pertama untuk memahami trigonometri. Di tempat yang sama, Anda masih perlu bekerja dengan sinus-cosinus. Ya, dan dengan garis singgung, garis singgung juga ...

Langkah kuat kedua adalah kemampuan untuk menentukan posisi setiap sudut pada lingkaran trigonometri. Baik dalam derajat maupun radian. Tentang keterampilan ini, saya akan dengan bosan memberi petunjuk kepada Anda dalam semua trigonometri, ya ...) Jika Anda tahu segalanya (atau berpikir Anda tahu segalanya) tentang lingkaran trigonometri, dan penghitungan sudut pada lingkaran trigonometri, Anda dapat memeriksanya keluar. Selesaikan tugas-tugas sederhana ini:

1. Sudut-sudutnya jatuh ke dalam kuartal berapa:

45 °, 175 °, 355 °, 91 °, 355 ° ?

Mudah? Kita lanjutkan:

2. Di kuartal mana sudut jatuh:

402°, 535 °, 3000 °, -45 °, -325 °, -3000 °?

Juga tidak ada masalah? Nah, lihat ...)

3. Anda dapat menempatkan sudut di perempat:

Apakah Anda mampu? Nah, Anda memberi ..)

4. Pada sumbu apa sudut akan jatuh:

dan sudut:

Apakah mudah juga? hm...)

5. Sudut-sudutnya jatuh ke dalam kuartal berapa:

Dan itu berhasil!? Nah, kalau begitu saya benar-benar tidak tahu ...)

6. Tentukan di perempat mana sudut jatuh:

1, 2, 3 dan 20 radian.

Saya akan memberikan jawaban hanya untuk pertanyaan terakhir (sedikit rumit) dari tugas terakhir. Sudut sebesar 20 radian akan jatuh pada kuarter pertama.

Saya tidak akan memberikan sisa jawaban karena keserakahan.) Hanya jika Anda tidak memutuskan sesuatu ragu sebagai hasilnya, atau dihabiskan untuk tugas No. 4 lebih dari 10 detik Anda kurang berorientasi dalam lingkaran. Ini akan menjadi masalah Anda di semua trigonometri. Lebih baik untuk menyingkirkannya (masalah, bukan trigonometri!) segera. Ini dapat dilakukan dalam topik: Kerja praktik dengan lingkaran trigonometri di bagian 555.

Ini memberitahu bagaimana menyelesaikan tugas-tugas seperti itu secara sederhana dan benar. Nah, tugas-tugas ini diselesaikan, tentu saja. Dan tugas keempat diselesaikan dalam 10 detik. Ya, jadi memutuskan bahwa siapa pun bisa!

Jika Anda benar-benar yakin dengan jawaban Anda dan Anda tidak tertarik dengan cara sederhana dan bebas masalah untuk bekerja dengan radian, Anda tidak dapat mengunjungi 555. Saya tidak bersikeras.)

Pemahaman yang baik adalah alasan yang cukup baik untuk melanjutkan!)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Tabel nilai fungsi trigonometri

Catatan. Tabel nilai fungsi trigonometri ini menggunakan tanda untuk menunjukkan akar kuadrat. Untuk menunjukkan pecahan - simbol "/".

Lihat juga bahan yang berguna:

Untuk menentukan nilai fungsi trigonometri, temukan di perpotongan garis yang menunjukkan fungsi trigonometri. Misalnya, sinus 30 derajat - kami mencari kolom dengan judul sin (sinus) dan kami menemukan persimpangan kolom tabel ini dengan garis "30 derajat", di persimpangannya kami membaca hasilnya - satu kedua. Demikian pula, kami menemukan kosinus 60 derajat, sinus 60 derajat (sekali lagi, di persimpangan kolom sin (sinus) dan baris 60 derajat, kami menemukan nilai sin 60 = 3/2), dll. Dengan cara yang sama, nilai sinus, cosinus, dan garis singgung dari sudut "populer" lainnya ditemukan.

Sinus pi, kosinus pi, tangen pi dan sudut lain dalam radian

Tabel kosinus, sinus, dan garis singgung di bawah ini juga cocok untuk mencari nilai fungsi trigonometri yang argumennya adalah diberikan dalam radian. Untuk melakukan ini, gunakan kolom kedua nilai sudut. Berkat ini, Anda dapat mengonversi nilai sudut populer dari derajat ke radian. Sebagai contoh, mari kita cari sudut 60 derajat di baris pertama dan baca nilainya dalam radian di bawahnya. 60 derajat sama dengan /3 radian.

Angka pi secara unik menyatakan ketergantungan keliling lingkaran pada ukuran derajat sudut. Jadi pi radian sama dengan 180 derajat.

Setiap angka yang dinyatakan dalam pi (radian) dapat dengan mudah dikonversi ke derajat dengan mengganti angka pi (π) dengan 180.

Contoh:
1. sinus pi.
sin = sin 180 = 0
dengan demikian, sinus pi sama dengan sinus 180 derajat dan sama dengan nol.

2. cosinus pi.
cos = cos 180 = -1
dengan demikian, kosinus pi sama dengan kosinus 180 derajat dan sama dengan minus satu.

3. tangen pi
tg = tg 180 = 0
jadi garis singgung pi sama dengan garis singgung 180 derajat dan sama dengan nol.

Tabel nilai sinus, cosinus, tangen untuk sudut 0 - 360 derajat (nilai sering)

sudut (derajat)	sudut dalam radian (melalui pi)	dosa (sinus)	karena (kosinus)	tg (garis singgung)	ctg (kotangens)	detik (garis potong)	menyebabkan (kosekans)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	/12			2 - √3	2 + √3
30	/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Jika dalam tabel nilai fungsi trigonometri, alih-alih nilai fungsi, tanda hubung ditunjukkan (singgung (tg) 90 derajat, kotangen (ctg) 180 derajat), maka untuk nilai yang diberikan dari ukuran derajat sudut, fungsi tidak memiliki nilai yang pasti. Jika tidak ada tanda hubung, selnya kosong, jadi kita belum memasukkan nilai yang diinginkan. Kami tertarik dengan permintaan pengguna yang datang kepada kami dan melengkapi tabel dengan nilai baru, terlepas dari kenyataan bahwa data saat ini tentang nilai cosinus, sinus, dan garis singgung dari nilai sudut paling umum sudah cukup untuk menyelesaikan sebagian besar masalah.

Tabel nilai fungsi trigonometri sin, cos, tg untuk sudut paling populer
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 derajat
(nilai numerik "sesuai tabel Bradis")

nilai sudut (derajat)	nilai sudut dalam radian	dosa (sinus)	cos (cosinus)	tg (singgung)	ctg (kotangen)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18