Topik nomor 2.

Mengonversi Ekspresi Aljabar

Saya. bahan teoretis

Konsep dasar

Ekspresi aljabar: bilangan bulat, pecahan, rasional, irasional.

Cakupan, nilai ekspresi yang valid.

Nilai ekspresi aljabar.

Mononomial, polinomial.

Rumus perkalian yang disingkat.

Faktorisasi, mengurung faktor persekutuan.

Sifat dasar pecahan.

Gelar, sifat derajat.

Kortym, sifat-sifat akar.

Transformasi ekspresi rasional dan irasional.

Ekspresi yang terdiri dari bilangan dan variabel menggunakan tanda-tanda penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, menaikkan ke pangkat rasional, mengekstrak akar dan menggunakan tanda kurung disebut aljabar.

Misalnya: ;
;
;

;
;
;
.

Jika ekspresi aljabar tidak mengandung pembagian menjadi variabel dan ekstraksi akar dari variabel (khususnya, eksponen dengan eksponen pecahan), maka itu disebut utuh.

Misalnya:
;
;
.

Jika ekspresi aljabar terdiri dari bilangan dan variabel menggunakan operasi penambahan, pengurangan, perkalian, eksponen dengan eksponen dan pembagian alami, dan pembagian menjadi ekspresi dengan variabel digunakan, maka itu disebut pecahan.

Misalnya:
;
.

Ekspresi bilangan bulat dan pecahan disebut rasional ekspresi.

Misalnya: ;
;

.

Jika ekspresi aljabar menggunakan ekstraksi akar dari variabel (atau peningkatan variabel ke pangkat pecahan), maka ekspresi aljabar seperti itu disebut irasional.

Misalnya:
;
.

Nilai variabel yang ekspresi aljabarnya masuk akal disebut nilai variabel yang valid.

Himpunan semua nilai variabel yang dapat diterima disebut domain definisi.

Domain dari seluruh ekspresi aljabar adalah himpunan bilangan real.

Domain dari ekspresi aljabar pecahan adalah himpunan semua bilangan real, kecuali yang mengubah penyebut menjadi nol.

Misalnya: masuk akal bila
;

masuk akal ketika
, yaitu ketika
.

Domain dari ekspresi aljabar irasional adalah himpunan semua bilangan real, kecuali yang berubah menjadi bilangan negatif, ekspresi di bawah tanda akar derajat genap atau di bawah tanda pangkat fraksional.

Misalnya:
masuk akal ketika
;

masuk akal ketika
, yaitu ketika
.

Nilai numerik yang diperoleh dengan mensubstitusi nilai variabel yang diizinkan ke dalam ekspresi aljabar disebut nilai ekspresi aljabar.

Misalnya: ekspresi
pada
,
mengambil nilai
.

Ekspresi aljabar yang hanya berisi bilangan, pangkat alami variabel, dan hasilkalinya disebut monomial.

Misalnya:
;
;
.

Monomial, ditulis sebagai produk dari faktor numerik di tempat pertama, dan pangkat berbagai variabel, direduksi menjadi tampilan standar.

Misalnya:
;
.

Faktor numerik dari notasi standar monomial disebut koefisien monomial. Jumlah eksponen semua variabel disebut gelar monomial.

Saat mengalikan monomial dengan monomial dan menaikkan monomial menjadi kekuatan alami, kita mendapatkan monomial, yang harus direduksi menjadi bentuk standar.

Jumlah monomial disebut polinomial.

Misalnya:
; ;
.

Jika semua suku polinomial ditulis dalam bentuk standar dan dilakukan pengurangan suku-suku serupa, maka hasilnya adalah polinomial bentuk standar.

Misalnya: .

Jika hanya ada satu variabel dalam polinomial, maka eksponen terbesar dari variabel ini disebut derajat polinomial.

Misalnya: polinomial memiliki derajat kelima.

Nilai variabel yang nilai polinomialnya nol disebut akar polinomial.

Misalnya: akar polinomial
adalah angka 1.5 dan 2.

Rumus perkalian yang disingkat

Kasus khusus penggunaan rumus perkalian yang disingkat

Perbedaan kuadrat:
atau

Kuadrat dari jumlah:
atau

Kuadrat selisihnya:
atau

Jumlah kubus:
atau

Perbedaan kubus:
atau

Jumlah Kubus:
atau

Perbedaan Kubus:
atau

Transformasi polinomial menjadi produk dari beberapa faktor (polinomial atau monomial) disebut faktorisasi polinomial.

Sebagai contoh:.

Metode untuk memfaktorkan polinomial

Misalnya: .

Menggunakan Rumus Perkalian Singkatan.

Misalnya: .

Metode pengelompokan. Hukum komutatif dan asosiatif memungkinkan Anda untuk mengelompokkan suku polinomial dengan berbagai cara. Salah satu cara mengarah pada fakta bahwa ekspresi yang sama diperoleh dalam tanda kurung, yang pada gilirannya dikeluarkan dari tanda kurung.

Sebagai contoh:.

Ekspresi aljabar pecahan dapat ditulis sebagai hasil bagi dua ekspresi rasional dengan variabel penyebut.

Misalnya:
.

Pecahan yang pembilang dan penyebutnya merupakan ekspresi rasional dan penyebutnya mengandung variabel disebut pecahan rasional.

Misalnya:
;
;
.

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan rasional dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, monomial atau polinomial, maka nilai pecahan tidak akan berubah. Ungkapan ini disebut sifat dasar pecahan:

.

Tindakan membagi pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan bilangan yang sama disebut pengurangan pecahan:

.

Misalnya:
;
.

Kerja n pengganda, yang masing-masing sama dengan sebuah, di mana sebuah adalah ekspresi aljabar arbitrer atau bilangan real, dan n adalah bilangan asli, disebut derajatsebuah :

.

Ekspresi aljabar sebuah ditelepon dasar derajat, nomor
n – indikator.

Misalnya:
.

Diasumsikan dengan definisi bahwa untuk setiap sebuah, tidak sama dengan nol:

dan
.

Jika sebuah
, kemudian
.

sifat derajat

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

Jika sebuah ,
, maka ekspresi n-derajat yang sama dengan sebuah, disebut akarn derajatsebuah . Hal ini biasa disebut
. Di mana sebuah ditelepon ekspresi radikal, n ditelepon indikator akar.

Misalnya:
;
;
.

Properti Akarnderajat

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

Menggeneralisasikan konsep derajat dan akar, kita memperoleh konsep derajat dengan eksponen rasional:

.

Secara khusus,
.

Tindakan yang dilakukan pada akar

Misalnya: .

II. bahan praktis

Contoh menyelesaikan tugas

Contoh 1. Cari nilai pecahan
.

Menjawab: .

Contoh 2. Sederhanakan ekspresi
.

Mari kita ubah ekspresi dalam tanda kurung pertama:

, jika
.

Mari kita ubah ekspresi dalam kurung kedua:

.

Bagilah hasil dari kurung pertama dengan hasil dari kurung kedua:

Menjawab:

Contoh 3. Sederhanakan ekspresi:

.

Contoh 4. Sederhanakan ekspresi.

Mari kita ubah pecahan pertama:

.

Mari kita ubah pecahan kedua:

.

Hasilnya, kita mendapatkan:
.

Contoh 5 Sederhanakan ekspresi
.

Keputusan. Mari kita bertindak:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

Menjawab:
.

Contoh 6 Buktikan Identitas
.

1)
;

2)
;

Contoh 7 Sederhanakan ekspresi:

.

Keputusan. Kami melakukan tindakan:

;

2)
.

Contoh 8 Buktikan Identitas
.

Keputusan. Kami melakukan tindakan:

1)
;

2)

;

3)
.

Tugas untuk pekerjaan mandiri

1. Sederhanakan ekspresi:

sebuah)
;

b)
;

2. Faktorkan:

sebuah)
;

b)
;.Dokumen

Subjek 5.1. Persamaan trigonometri I. Teoretisbahan Konsep dasar Persamaan trigonometri... menggunakan berbagai aljabar dan rumus trigonometri dan transformasi. II. Praktis bahan Contoh tugas...

Materi teori untuk kelompok eksternal dan siswa sesi daftar isi pelajaran 1 informatika pelajaran 2 informasi

Pelajaran

Teoretisbahan untuk... , transformasi, transfer dan penggunaan. Informasi adalah pengetahuan jelas... dan sebelumnya terakumulasi, topik dengan demikian, berkontribusi pada progresif ... kebenaran mereka dengan bantuan aljabar metode. Ucapan dan ucapan...

Tema "Pengembangan program kursus pilihan sebagai bagian dari pelatihan pra-profil" Selesai

Dokumen

... teoretis studi kelayakan proyek Juni-Agustus 2005 3. Seleksi bahan... menunjukkan penerapan definisi modul ketika transformasialjabarekspresi. Modul dalam Persamaan: - ... memotivasi siswa dengan mempromosikan topik paling, intraprofil...

Alat bantu mengajar

... Subjek 1. Identik transformasialjabarekspresi Subjek 2. Aljabar teoretisbahan

Dan untuk Kondaurova bab-bab yang dipilih dari teori dan metode pengajaran matematika pendidikan matematika tambahan untuk anak sekolah

Alat bantu mengajar

... Subjek 1. Identik transformasialjabarekspresi(termasuk menggunakan substitusi, konsep modulus bilangan). Subjek 2. Aljabar... pendidik. Kuliah jarak jauh adalah teoretisbahan yang dapat disajikan dalam...

Sifat dasar penjumlahan dan perkalian bilangan.

Sifat komutatif penjumlahan: jika suku-sukunya disusun kembali, nilai penjumlahannya tidak berubah. Untuk sembarang bilangan a dan b, persamaannya benar

Sifat asosiatif penjumlahan: untuk menjumlahkan bilangan ketiga pada jumlah dua bilangan, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga pada bilangan pertama. Untuk setiap bilangan a, b dan c persamaannya benar

Sifat komutatif perkalian: permutasi faktor tidak mengubah nilai produk. Untuk setiap bilangan a, b, dan c, persamaannya benar

Sifat asosiatif perkalian: untuk mengalikan produk dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan angka pertama dengan produk kedua dan ketiga.

Untuk setiap bilangan a, b, dan c, persamaannya benar

Sifat distributif: Untuk mengalikan suatu bilangan dengan suatu jumlah, Anda dapat mengalikan bilangan tersebut dengan setiap suku dan menjumlahkan hasilnya. Untuk setiap bilangan a, b dan c persamaannya benar

Ini mengikuti dari sifat komutatif dan asosiatif dari penjumlahan bahwa dalam jumlah berapa pun Anda dapat mengatur ulang istilah yang Anda suka dan menggabungkannya dalam kelompok dengan cara yang sewenang-wenang.

Contoh 1 Mari kita hitung jumlah 1.23+13.5+4.27.

Untuk melakukan ini, lebih mudah untuk menggabungkan istilah pertama dengan yang ketiga. Kita mendapatkan:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Ini mengikuti dari sifat komutatif dan asosiatif perkalian: dalam produk apa pun, Anda dapat mengatur ulang faktor-faktor dengan cara apa pun dan secara sewenang-wenang menggabungkannya ke dalam kelompok.

Contoh 2 Mari kita cari nilai produk 1,8 0,25 64 0,5.

Menggabungkan faktor pertama dengan yang keempat, dan yang kedua dengan yang ketiga, kita akan mendapatkan:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Sifat distribusi juga berlaku jika bilangan dikalikan dengan jumlah tiga suku atau lebih.

Misalnya, untuk sembarang bilangan a, b, c, dan d, persamaannya benar

a(b+c+d)=ab+ac+iklan.

Kita tahu bahwa pengurangan dapat diganti dengan penambahan dengan menambahkan ke minuend angka yang berlawanan dengan pengurangan:

Hal ini memungkinkan ekspresi numerik dari bentuk a-b dianggap sebagai jumlah dari bilangan a dan -b, ekspresi numerik dari bentuk a + b-c-d dianggap sebagai jumlah dari bilangan a, b, -c, -d, dll. properti yang dipertimbangkan dari tindakan juga berlaku untuk jumlah tersebut.

Contoh 3 Mari kita cari nilai dari ekspresi 3.27-6.5-2.5+1.73.

Ekspresi ini adalah jumlah dari angka 3.27, -6.5, -2.5 dan 1.73. Menerapkan properti tambahan, kita mendapatkan: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

Contoh 4 Mari kita hitung hasil kali 36·().

Pengganda dapat dianggap sebagai jumlah angka dan -. Dengan menggunakan sifat distributif perkalian, kita peroleh:

36()=36-36=9-10=-1.

identitas

Definisi. Dua ekspresi yang nilainya bersesuaian sama untuk setiap nilai variabel dikatakan identik sama.

Definisi. Kesetaraan yang benar untuk setiap nilai variabel disebut identitas.

Mari kita cari nilai dari ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y untuk x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Kami mendapat hasil yang sama. Ini mengikuti dari sifat distributif bahwa, secara umum, untuk setiap nilai variabel, nilai yang sesuai dari ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y adalah sama.

Pertimbangkan sekarang ekspresi 2x+y dan 2xy. Untuk x=1, y=2 mereka mengambil nilai yang sama:

Namun, Anda dapat menentukan nilai x dan y sedemikian rupa sehingga nilai ekspresi ini tidak sama. Misalnya, jika x=3, y=4, maka

Ekspresi 3(x+y) dan 3x+3y identik sama, tetapi ekspresi 2x+y dan 2xy tidak identik sama.

Persamaan 3(x+y)=x+3y, berlaku untuk semua nilai x dan y, adalah identitas.

Persamaan numerik yang benar juga dianggap sebagai identitas.

Jadi, identitas adalah persamaan yang mengekspresikan sifat utama tindakan pada angka:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Contoh lain dari identitas dapat diberikan:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformasi identitas ekspresi

Penggantian satu ekspresi dengan yang lain, identik sama dengan itu, disebut transformasi identik atau hanya transformasi ekspresi.

Transformasi identik dari ekspresi dengan variabel dilakukan berdasarkan sifat-sifat operasi pada angka.

Untuk menemukan nilai ekspresi xy-xz yang diberikan nilai x, y, z, Anda perlu melakukan tiga langkah. Misalnya, dengan x=2,3, y=0,8, z=0,2 kita peroleh:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Hasil ini dapat diperoleh hanya dalam dua langkah, menggunakan ekspresi x(y-z), yang identik sama dengan ekspresi xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Kami telah menyederhanakan perhitungan dengan mengganti ekspresi xy-xz dengan ekspresi yang identik sama x(y-z).

Transformasi identitas ekspresi banyak digunakan dalam menghitung nilai ekspresi dan memecahkan masalah lain. Beberapa transformasi identik telah dilakukan, misalnya, pengurangan istilah serupa, pembukaan tanda kurung. Ingat aturan untuk melakukan transformasi ini:

untuk membawa suku-suku serupa, Anda perlu menambahkan koefisiennya dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf biasa;

jika ada tanda tambah di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan, dengan tetap menggunakan tanda setiap istilah yang diapit tanda kurung;

jika ada tanda minus di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan dengan mengubah tanda setiap suku yang diapit tanda kurung.

Contoh 1 Mari kita tambahkan suku sejenis dalam jumlah 5x+2x-3x.

Kami menggunakan aturan untuk mengurangi suku-suku serupa:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Transformasi ini didasarkan pada sifat distributif perkalian.

Contoh 2 Mari kita perluas tanda kurung dalam ekspresi 2a+(b-3c).

Menerapkan aturan untuk membuka kurung didahului dengan tanda plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Transformasi yang dilakukan didasarkan pada sifat asosiatif penjumlahan.

Contoh 3 Mari kita perluas tanda kurung dalam ekspresi a-(4b-c).

Mari kita gunakan aturan untuk memperluas tanda kurung yang didahului dengan tanda minus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Transformasi yang dilakukan didasarkan pada sifat distributif perkalian dan sifat asosiatif penjumlahan. Mari kita tunjukkan. Mari kita nyatakan suku kedua -(4b-c) dalam ekspresi ini sebagai produk (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Menerapkan properti tindakan ini, kami mendapatkan:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Ekspresi numerik dan aljabar. konversi ekspresi.

Apa yang dimaksud dengan ekspresi dalam matematika? Mengapa konversi ekspresi diperlukan?

Pertanyaannya, seperti yang mereka katakan, menarik... Faktanya adalah bahwa konsep-konsep ini adalah dasar dari semua matematika. Semua matematika terdiri dari ekspresi dan transformasinya. Tidak terlalu jelas? Mari saya jelaskan.

Katakanlah Anda memiliki contoh yang buruk. Sangat besar dan sangat kompleks. Katakanlah Anda pandai matematika dan Anda tidak takut apa pun! Bisa langsung dijawab?

Anda harus memutuskan contoh ini. Secara berurutan, langkah demi langkah, contoh ini menyederhanakan. Menurut aturan tertentu, tentu saja. Itu. membuat konversi ekspresi. Seberapa berhasil Anda melakukan transformasi ini, sehingga Anda kuat dalam matematika. Jika Anda tidak tahu bagaimana melakukan transformasi yang benar, dalam matematika Anda tidak dapat melakukannya tidak ada...

Untuk menghindari masa depan yang tidak nyaman (atau sekarang ...), tidak ada salahnya untuk memahami topik ini.)

Untuk memulainya, mari kita cari tahu apa yang dimaksud dengan ekspresi dalam matematika?. Apa ekspresi numerik dan apa ekspresi aljabar.

Apa yang dimaksud dengan ekspresi dalam matematika?

Ekspresi dalam matematika merupakan konsep yang sangat luas. Hampir semua yang kita hadapi dalam matematika adalah sekumpulan ekspresi matematika. Contoh, rumus, pecahan, persamaan, dan sebagainya - semuanya terdiri dari ekspresi matematika.

3+2 adalah ekspresi matematika. c 2 - d 2 juga merupakan ekspresi matematika. Dan pecahan yang sehat, dan bahkan satu angka - ini semua adalah ekspresi matematika. Persamaan, misalnya, adalah:

5x + 2 = 12

terdiri dari dua ekspresi matematika yang dihubungkan oleh tanda sama dengan. Satu ekspresi di sebelah kiri, yang lain di sebelah kanan.

Secara umum, istilah ekspresi matematika" digunakan, paling sering, agar tidak bergumam. Mereka akan bertanya kepada Anda apa itu pecahan biasa, misalnya? Dan bagaimana menjawabnya?!

Jawaban 1: "Ini ... m-m-m-m... hal seperti itu ... di mana ... Bisakah saya menulis pecahan lebih baik? Yang mana yang kamu mau?"

Pilihan jawaban kedua: "Pecahan biasa adalah (dengan riang dan gembira!) ekspresi matematika , yang terdiri dari pembilang dan penyebut!"

Opsi kedua entah bagaimana lebih mengesankan, bukan?)

Untuk itu, frasa “ ekspresi matematika "sangat bagus. Keduanya benar dan solid. Tetapi untuk aplikasi praktis, Anda harus fasih dalam jenis ekspresi tertentu dalam matematika .

Jenis spesifik adalah masalah lain. Ini hal lain! Setiap jenis ekspresi matematika memiliki Milikku seperangkat aturan dan teknik yang harus digunakan dalam pengambilan keputusan. Untuk bekerja dengan pecahan - satu set. Untuk bekerja dengan ekspresi trigonometri - yang kedua. Untuk bekerja dengan logaritma - yang ketiga. Dll. Di suatu tempat aturan-aturan ini bertepatan, di suatu tempat mereka sangat berbeda. Tapi jangan takut dengan kata-kata mengerikan ini. Logaritma, trigonometri, dan hal-hal misterius lainnya akan kita kuasai di bagian terkait.

Di sini kita akan menguasai (atau - ulangi, sesuka Anda ...) dua jenis utama ekspresi matematika. Ekspresi numerik dan ekspresi aljabar.

Ekspresi numerik.

Apa ekspresi numerik? Ini adalah konsep yang sangat sederhana. Nama itu sendiri mengisyaratkan bahwa ini adalah ekspresi dengan angka. Seperti itulah. Ekspresi matematika yang terdiri dari angka, tanda kurung, dan tanda operasi aritmatika disebut ekspresi numerik.

7-3 adalah ekspresi numerik.

(8+3.2) 5.4 juga merupakan ekspresi numerik.

Dan monster ini:

juga ekspresi numerik, ya...

Angka biasa, pecahan, contoh perhitungan apa pun tanpa x dan huruf lainnya - semua ini adalah ekspresi numerik.

Fitur utama numerik ekspresi di dalamnya tidak ada surat. Tidak ada. Hanya angka dan ikon matematika (jika perlu). Ini sederhana, bukan?

Dan apa yang bisa dilakukan dengan ekspresi numerik? Ekspresi numerik biasanya dapat dihitung. Untuk melakukan ini, terkadang Anda harus membuka tanda kurung, mengubah tanda, menyingkat, menukar istilah - mis. membuat konversi ekspresi. Tetapi lebih lanjut tentang itu di bawah ini.

Di sini kita akan berurusan dengan kasus lucu ketika dengan ekspresi numerik Anda tidak perlu melakukan apa pun. Yah, tidak ada sama sekali! Operasi yang bagus ini untuk tidak melakukan apa-apa)- dieksekusi ketika ekspresi tidak masuk akal.

Kapan ekspresi numerik tidak masuk akal?

Tentu saja, jika kita melihat semacam abrakadabra di depan kita, seperti

maka kita tidak akan melakukan apa-apa. Karena tidak jelas apa yang harus dilakukan dengan itu. Beberapa omong kosong. Kecuali, untuk menghitung jumlah plus ...

Tapi ada ekspresi lahiriah yang cukup baik. Misalnya ini:

(2+3) : (16 - 2 8)

Namun, ekspresi ini juga tidak masuk akal! Untuk alasan sederhana bahwa dalam tanda kurung kedua - jika Anda menghitung - Anda mendapatkan nol. Anda tidak dapat membagi dengan nol! Ini adalah operasi terlarang dalam matematika. Oleh karena itu, tidak perlu melakukan apa pun dengan ekspresi ini juga. Untuk tugas apa pun dengan ekspresi seperti itu, jawabannya akan selalu sama: "Ekspresinya tidak masuk akal!"

Untuk memberikan jawaban seperti itu, tentu saja, saya harus menghitung apa yang ada di dalam kurung. Dan kadang-kadang dalam tanda kurung twist seperti itu ... Yah, tidak ada yang bisa dilakukan tentang hal itu.

Tidak banyak operasi terlarang dalam matematika. Hanya ada satu di utas ini. Pembagian dengan nol. Larangan tambahan yang muncul di akar dan logaritma dibahas dalam topik yang relevan.

Jadi, gambaran tentang apa itu ekspresi numerik- telah mendapatkan. konsep ekspresi numerik tidak masuk akal- menyadari. Mari kita pergi lebih jauh.

Ekspresi aljabar.

Jika huruf muncul dalam ekspresi numerik, ekspresi ini menjadi... Ekspresi menjadi... Ya! Menjadi ekspresi aljabar. Sebagai contoh:

5a 2 ; 3x-2 tahun; 3(z-2); 3.4m/n; x2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Ekspresi seperti itu juga disebut ekspresi literal. Atau ekspresi dengan variabel. Ini adalah hal yang hampir sama. Ekspresi 5a +c, misalnya - baik literal maupun aljabar, dan ekspresi dengan variabel.

konsep ekspresi aljabar - lebih luas dari numerik. Dia termasuk dan semua ekspresi numerik. Itu. ekspresi numerik juga merupakan ekspresi aljabar, hanya tanpa huruf. Setiap ikan haring adalah ikan, tetapi tidak setiap ikan adalah ikan haring...)

Mengapa harfiah- Itu sudah jelas. Nah, karena ada huruf ... Frase ekspresi dengan variabel juga tidak terlalu membingungkan. Jika Anda memahami bahwa angka tersembunyi di bawah huruf. Segala macam angka dapat disembunyikan di bawah huruf ... Dan 5, dan -18, dan apa pun yang Anda suka. Artinya, surat bisa mengganti untuk nomor yang berbeda. Itu sebabnya surat itu disebut variabel.

Dalam ekspresi y+5, Sebagai contoh, pada- variabel. Atau katakan saja " variabel", tanpa kata "nilai". Berbeda dengan lima, yang merupakan nilai konstan. Atau sederhananya - konstan.

Ketentuan ekspresi aljabar berarti bahwa untuk bekerja dengan ekspresi ini, Anda perlu menggunakan hukum dan aturan aljabar. Jika sebuah hitung bekerja dengan angka tertentu, maka aljabar- dengan semua nomor sekaligus. Contoh sederhana untuk klarifikasi.

Dalam aritmatika, seseorang dapat menulis bahwa

Tetapi jika kita menulis persamaan serupa melalui ekspresi aljabar:

a + b = b + a

kami akan segera memutuskan semua pertanyaan. Untuk semua nomor pukulan. Untuk jumlah hal yang tak terbatas. Karena di bawah huruf sebuah dan b tersirat semua angka. Dan tidak hanya angka, tetapi bahkan ekspresi matematika lainnya. Beginilah cara kerja aljabar.

Kapan ekspresi aljabar tidak masuk akal?

Semuanya jelas tentang ekspresi numerik. Anda tidak dapat membagi dengan nol. Dan dengan huruf, apakah mungkin untuk mengetahui apa yang kita bagi?!

Mari kita ambil ekspresi variabel berikut sebagai contoh:

2: (sebuah - 5)

Apakah masuk akal? Tapi siapa yang mengenalnya? sebuah- nomor berapa saja...

Any, any... Tapi ada satu arti sebuah, untuk itu ekspresi ini tepat tidak masuk akal! Dan apa nomor itu? Ya! Ini 5! Jika variabel sebuah ganti (mereka mengatakan - "pengganti") dengan angka 5, dalam tanda kurung, nol akan berubah. yang tidak dapat dibagi. Jadi ternyata ekspresi kita tidak masuk akal, jika a = 5. Tapi untuk nilai lain sebuah Apakah masuk akal? Bisakah Anda mengganti nomor lain?

Tentu. Dalam kasus seperti itu, hanya dikatakan bahwa ekspresi

2: (sebuah - 5)

masuk akal untuk nilai apa pun sebuah, kecuali a = 5 .

Seluruh rangkaian angka bisa substitusikan ke dalam ekspresi yang diberikan disebut rentang yang valid ekspresi ini.

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Kami melihat ekspresi dengan variabel, dan berpikir: pada nilai variabel berapa operasi terlarang diperoleh (pembagian dengan nol)?

Dan kemudian pastikan untuk melihat pertanyaan tugas. Apa yang mereka tanyakan?

tidak masuk akal, nilai terlarang kami akan menjadi jawabannya.

Jika mereka bertanya berapa nilai variabel ekspresi memiliki arti(rasakan perbedaannya!), jawabannya adalah semua nomor lainnya kecuali yang dilarang.

Mengapa kita membutuhkan arti dari ekspresi? Dia ada, dia tidak... Apa bedanya?! Faktanya adalah bahwa konsep ini menjadi sangat penting di sekolah menengah. Sangat penting! Ini adalah dasar untuk konsep yang solid seperti rentang nilai yang valid atau ruang lingkup suatu fungsi. Tanpa ini, Anda tidak akan dapat menyelesaikan persamaan atau ketidaksetaraan yang serius sama sekali. Seperti ini.

konversi ekspresi. Transformasi identitas.

Kami berkenalan dengan ekspresi numerik dan aljabar. Pahami apa arti ungkapan "ungkapan tidak masuk akal". Sekarang kita perlu mencari tahu apa konversi ekspresi. Jawabannya sederhana, keterlaluan.) Ini adalah tindakan apa pun dengan ekspresi. Dan itu saja. Anda telah melakukan transformasi ini sejak kelas pertama.

Ambil ekspresi numerik keren 3+5. Bagaimana itu bisa dikonversi? Ya, sangat mudah! Menghitung:

Perhitungan ini akan menjadi transformasi ekspresi. Anda dapat menulis ekspresi yang sama dengan cara yang berbeda:

Kami tidak menghitung apa pun di sini. Tulis saja ekspresinya dalam bentuk yang berbeda. Ini juga akan menjadi transformasi ekspresi. Hal ini dapat ditulis seperti ini:

Dan ini juga merupakan transformasi ekspresi. Anda dapat membuat sebanyak mungkin transformasi ini sesuka Anda.

Setiap tindakan pada ekspresi setiap menuliskannya dalam bentuk yang berbeda disebut transformasi ekspresi. Dan semua hal. Semuanya sangat sederhana. Tapi ada satu hal di sini aturan yang sangat penting. Sangat penting sehingga dapat dipanggil dengan aman aturan utama semua matematika. Melanggar aturan ini pasti mengarah ke kesalahan. Apakah kita mengerti?)

Katakanlah kita telah mengubah ekspresi kita secara sewenang-wenang, seperti ini:

Transformasi? Tentu. Kami menulis ekspresi dalam bentuk yang berbeda, apa yang salah di sini?

Bukan seperti itu.) Faktanya adalah bahwa transformasi "apa pun" matematika tidak tertarik sama sekali.) Semua matematika dibangun di atas transformasi di mana penampilan berubah, tetapi esensi dari ekspresi tidak berubah. Tiga tambah lima dapat ditulis dalam bentuk apa pun, tetapi harus delapan.

transformasi, ekspresi yang tidak mengubah esensi ditelepon identik.

Tepat transformasi identik dan izinkan kami, selangkah demi selangkah, untuk mengubah contoh kompleks menjadi ekspresi sederhana, tetap inti dari contoh. Jika kami membuat kesalahan dalam rantai transformasi, kami akan membuat transformasi yang TIDAK identik, lalu kami yang memutuskan lain contoh. Dengan jawaban lain yang tidak terkait dengan jawaban yang benar.)

Ini dia aturan utama untuk menyelesaikan tugas apa pun: kepatuhan dengan identitas transformasi.

Saya memberi contoh dengan ekspresi numerik 3 + 5 untuk kejelasan. Dalam ekspresi aljabar, transformasi identik diberikan oleh rumus dan aturan. Katakanlah ada rumus dalam aljabar:

a(b+c) = ab + ac

Jadi, dalam contoh apa pun, kita dapat menggantikan ekspresi a(b+c) jangan ragu untuk menulis ekspresi ab+ac. Dan sebaliknya. Ini transformasi identik. Matematika memberi kita pilihan dari dua ekspresi ini. Dan mana yang harus ditulis tergantung pada contoh spesifik.

Contoh lain. Salah satu transformasi yang paling penting dan perlu adalah sifat dasar pecahan. Anda dapat melihat detail lebih lanjut di tautan, tetapi di sini saya hanya mengingatkan aturan: jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama, atau suatu ungkapan yang tidak sama dengan nol, maka pecahan tersebut tidak akan berubah. Berikut adalah contoh transformasi identik untuk properti ini:

Seperti yang mungkin Anda duga, rantai ini dapat dilanjutkan tanpa batas...) Properti yang sangat penting. Itu yang memungkinkan Anda untuk mengubah semua jenis monster contoh menjadi putih dan halus.)

Ada banyak rumus yang mendefinisikan transformasi identik. Tapi yang paling penting - jumlah yang cukup masuk akal. Salah satu transformasi dasar adalah faktorisasi. Ini digunakan dalam semua matematika - dari dasar hingga lanjutan. Mari kita mulai dengan dia. dalam pelajaran berikutnya.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

SAYA. Ekspresi di mana angka, tanda operasi aritmatika dan tanda kurung dapat digunakan bersama dengan huruf disebut ekspresi aljabar.

Contoh ekspresi aljabar:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4a + 2b); sebuah 2 - 2ab;

Karena huruf dalam ekspresi aljabar dapat diganti dengan beberapa angka yang berbeda, huruf itu disebut variabel, dan ekspresi aljabar itu sendiri disebut ekspresi dengan variabel.

II. Jika dalam ekspresi aljabar huruf (variabel) diganti dengan nilainya dan tindakan yang ditentukan dilakukan, maka angka yang dihasilkan disebut nilai ekspresi aljabar.

Contoh. Temukan nilai ekspresi:

1) a + 2b -c untuk a = -2; b = 10; c = -3.5.

2) |x| + |y| -|z| di x = -8; y=-5; z = 6.

Keputusan.

1) a + 2b -c untuk a = -2; b = 10; c = -3.5. Alih-alih variabel, kami mengganti nilainya. Kita mendapatkan:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| di x = -8; y=-5; z = 6. Kami mengganti nilai yang ditunjukkan. Ingatlah bahwa modulus bilangan negatif sama dengan bilangan lawannya, dan modulus bilangan positif sama dengan bilangan itu sendiri. Kita mendapatkan:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

AKU AKU AKU. Nilai huruf (variabel) yang ekspresi aljabarnya masuk akal disebut nilai huruf yang valid (variabel).

Contoh. Pada nilai variabel apa ekspresi tidak masuk akal?

Keputusan. Kita tahu bahwa tidak mungkin membagi dengan nol, oleh karena itu, setiap ekspresi ini tidak akan masuk akal dengan nilai huruf (variabel) yang mengubah penyebut pecahan menjadi nol!

Pada contoh 1), nilai ini adalah a = 0. Memang, jika alih-alih a, kita mengganti 0, maka angka 6 perlu dibagi dengan 0, tetapi ini tidak dapat dilakukan. Jawaban: ekspresi 1) tidak masuk akal bila a = 0.

Pada contoh 2) penyebut x - 4 = 0 pada x = 4, oleh karena itu, nilai ini x = 4 dan tidak dapat diambil. Jawaban: ekspresi 2) tidak masuk akal untuk x = 4.

Dalam contoh 3) penyebutnya adalah x + 2 = 0 untuk x = -2. Jawaban: ekspresi 3) tidak masuk akal pada x = -2.

Dalam contoh 4) penyebutnya adalah 5 -|x| = 0 untuk |x| = 5. Dan karena |5| = 5 dan |-5| \u003d 5, maka Anda tidak dapat mengambil x \u003d 5 dan x \u003d -5. Jawaban: ekspresi 4) tidak masuk akal untuk x = -5 dan untuk x = 5.
IV. Dua ekspresi disebut identik sama jika, untuk setiap nilai variabel yang dapat diterima, nilai yang sesuai dari ekspresi ini sama.

Contoh: 5 (a - b) dan 5a - 5b identik, karena persamaan 5 (a - b) = 5a - 5b akan benar untuk semua nilai a dan b. Persamaan 5 (a - b) = 5a - 5b adalah suatu identitas.

Identitas adalah persamaan yang berlaku untuk semua nilai yang dapat diterima dari variabel yang termasuk di dalamnya. Contoh identitas yang sudah Anda ketahui adalah, misalnya, sifat-sifat penjumlahan dan perkalian, sifat-sifat distribusi.

Penggantian satu ekspresi dengan yang lain, identik sama dengan itu, disebut transformasi identik atau hanya transformasi ekspresi. Transformasi identik dari ekspresi dengan variabel dilakukan berdasarkan sifat-sifat operasi pada angka.

Contoh.

sebuah) ubah ekspresi menjadi identik sama menggunakan sifat distributif perkalian:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Keputusan. Ingat sifat distributif (hukum) perkalian:

(a+b) c=a c+b c(hukum distributif perkalian sehubungan dengan penambahan: untuk mengalikan jumlah dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan setiap istilah dengan angka ini dan menambahkan hasilnya).
(a-b) c=a c-b c(hukum distributif perkalian sehubungan dengan pengurangan: untuk mengalikan selisih dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan dengan angka ini dikurangi dan dikurangkan secara terpisah dan kurangi yang kedua dari hasil pertama).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) ubah ekspresi menjadi sama identik menggunakan sifat komutatif dan asosiatif (hukum) penjumlahan:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Keputusan. Kami menerapkan hukum (properti) penambahan:

a+b=b+a(perpindahan: jumlah tidak berubah dari penataan ulang istilah).
(a+b)+c=a+(b+c)(asosiatif: untuk menjumlahkan bilangan ketiga pada jumlah dua suku, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga pada bilangan pertama).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

di) ubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang identik menggunakan sifat (hukum) perkalian dan sifat komutatif dan asosiatif:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 tahun · (-satu); 9) 3a · (-3) · 2 detik

Keputusan. Mari kita terapkan hukum (sifat) perkalian:

a b = b a(perpindahan: permutasi faktor tidak mengubah produk).
(a b) c = a (b c)(kombinatif: untuk mengalikan produk dua angka dengan angka ketiga, Anda dapat mengalikan angka pertama dengan produk kedua dan ketiga).

Di antara berbagai ekspresi yang dipertimbangkan dalam aljabar, jumlah monomial menempati tempat yang penting. Berikut adalah contoh ekspresi seperti itu:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Jumlah monomial disebut polinomial. Suku-suku dalam polinomial disebut anggota polinomial. Mononomial juga disebut sebagai polinomial, mengingat monomial sebagai polinomial yang terdiri dari satu anggota.

Misalnya polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
dapat disederhanakan.

Kami mewakili semua istilah sebagai monomial dari bentuk standar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Kami memberikan istilah serupa dalam polinomial yang dihasilkan:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya adalah polinomial, yang semua anggotanya adalah monomial dari bentuk standar, dan di antara mereka tidak ada yang serupa. Polinomial semacam itu disebut polinomial bentuk standar.

Di belakang derajat polinomial bentuk standar mengambil kekuatan terbesar dari anggotanya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b \) memiliki derajat ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) memiliki derajat kedua.

Biasanya, suku-suku polinomial bentuk standar yang mengandung satu variabel disusun dalam urutan menurun dari eksponennya. Sebagai contoh:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Jumlah beberapa polinomial dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar.

Kadang-kadang anggota polinomial perlu dibagi menjadi beberapa kelompok, dengan menyertakan setiap kelompok dalam tanda kurung. Karena tanda kurung adalah kebalikan dari tanda kurung, maka mudah untuk merumuskannya aturan pembukaan tanda kurung:

Jika tanda + diletakkan di depan tanda kurung, maka suku-suku yang berada di dalam tanda kurung ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda "-" diletakkan di depan tanda kurung, maka istilah yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan.

Transformasi (penyederhanaan) dari produk monomial dan polinomial

Menggunakan sifat distributif perkalian, seseorang dapat mengubah (menyederhanakan) produk dari monomial dan polinomial menjadi polinomial. Sebagai contoh:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Hasil kali suatu monomial dan suatu polinomial identik sama dengan jumlah hasil kali monomial ini dan setiap suku-suku polinomial tersebut.

Hasil ini biasanya dirumuskan sebagai suatu aturan.

Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, seseorang harus mengalikan monomial ini dengan masing-masing suku polinomial.

Kami telah berulang kali menggunakan aturan ini untuk mengalikan dengan jumlah.

Produk dari polinomial. Transformasi (penyederhanaan) dari produk dua polinomial

Secara umum, hasil kali dua polinomial identik sama dengan jumlah produk dari setiap suku dari satu polinomial dan setiap suku yang lain.

Biasanya menggunakan aturan berikut.

Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku lainnya dan menambahkan produk yang dihasilkan.

Rumus perkalian yang disingkat. Jumlah, Selisih, dan Kuadrat Selisih

Beberapa ekspresi dalam transformasi aljabar harus ditangani lebih sering daripada yang lain. Mungkin ekspresi yang paling umum adalah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), yaitu, kuadrat dari jumlah, kuadrat selisih, dan selisih kuadrat. Anda telah memperhatikan bahwa nama-nama ekspresi ini tampaknya tidak lengkap, jadi, misalnya, \((a + b)^2 \) tentu saja, bukan hanya kuadrat dari jumlah, tetapi kuadrat dari jumlah a dan b. Namun, kuadrat jumlah a dan b tidak begitu umum, sebagai aturan, alih-alih huruf a dan b, itu berisi berbagai ekspresi yang terkadang cukup kompleks.

Ekspresi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) mudah diubah (disederhanakan) menjadi polinomial dari bentuk standar, pada kenyataannya, Anda telah menemukan tugas seperti itu saat mengalikan polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitas yang dihasilkan berguna untuk diingat dan diterapkan tanpa perhitungan perantara. Formulasi verbal pendek membantu ini.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuadrat jumlah sama dengan jumlah kuadrat dan hasil ganda.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuadrat selisihnya adalah jumlah kuadrat tanpa menggandakan hasil kali.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - selisih kuadrat sama dengan hasil kali selisih dan jumlah.

Ketiga identitas ini memungkinkan dalam transformasi untuk mengganti bagian kirinya dengan yang kanan dan sebaliknya - bagian kanan dengan yang kiri. Hal yang paling sulit dalam hal ini adalah melihat ekspresi yang sesuai dan memahami variabel a dan b apa yang diganti di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus perkalian yang disingkat.