Bilangan kompleks

Konsep dasar

Data awal angka tersebut mengacu pada Zaman Batu – Paleomelite. Ini adalah "satu", "sedikit" dan "banyak". Mereka dicatat dalam bentuk takik, simpul, dll. Perkembangan proses kerja dan munculnya properti memaksa manusia untuk menemukan angka dan nama mereka. Bilangan asli pertama kali muncul N diperoleh dengan menghitung benda. Kemudian, bersama dengan kebutuhan untuk menghitung, orang memiliki kebutuhan untuk mengukur panjang, luas, volume, waktu, dan besaran lainnya, di mana perlu untuk memperhitungkan bagian-bagian dari ukuran yang digunakan. Ini adalah bagaimana pecahan lahir. Pembuktian formal konsep bilangan pecahan dan negatif dilakukan pada abad ke-19. Himpunan bilangan bulat Z adalah bilangan asli, bilangan asli dengan tanda minus dan nol. Bilangan bulat dan pecahan membentuk himpunan bilangan rasional Q, tetapi bahkan ternyata tidak cukup untuk mempelajari variabel yang terus berubah. Kejadian sekali lagi menunjukkan ketidaksempurnaan matematika: ketidakmungkinan memecahkan persamaan bentuk X 2 = 3, sehubungan dengan munculnya bilangan irasional SAYA. Gabungan dari himpunan bilangan rasional Q dan bilangan irasional Saya adalah himpunan bilangan real (atau real) R. Akibatnya, garis bilangan terisi: setiap bilangan real berhubungan dengan titik di atasnya. Tapi di lokasi syuting R tidak ada cara untuk menyelesaikan persamaan X 2 = – sebuah 2. Akibatnya, sekali lagi ada kebutuhan untuk memperluas konsep bilangan. Jadi pada tahun 1545 bilangan kompleks muncul. Pencipta mereka J. Cardano menyebut mereka "murni negatif". Nama "imajiner" diperkenalkan pada tahun 1637 oleh orang Prancis R. Descartes, pada tahun 1777 Euler menyarankan menggunakan huruf pertama dari angka Prancis saya untuk menunjukkan unit imajiner. Simbol ini mulai digunakan secara umum berkat K. Gauss.

Selama abad ke-17 dan ke-18, diskusi tentang sifat aritmatika dari imajiner dan interpretasi geometrisnya berlanjut. Orang Denmark H. Wessel, orang Prancis J. Argan, dan orang Jerman K. Gauss secara independen menyarankan bahwa bilangan kompleks diwakili oleh sebuah titik pada bidang koordinat. Belakangan ternyata lebih mudah untuk menyatakan angka bukan sebagai titik, tetapi sebagai vektor yang menuju titik ini dari titik asal.

Hanya pada akhir abad ke-18 - awal abad ke-19 bilangan kompleks mengambil tempat yang tepat dalam analisis matematis. Penggunaan pertama mereka adalah dalam teori persamaan diferensial dan dalam teori hidrodinamika.

Definisi 1.bilangan kompleks disebut ekspresi dari bentuk , dimana x dan kamu adalah bilangan real, dan saya adalah satuan imajiner, .

dua bilangan kompleks dan setara jika dan hanya jika , .

Jika , maka bilangan tersebut disebut murni imajiner; jika , maka bilangan tersebut adalah bilangan real, yang berarti himpunan R Dengan, di mana Dengan adalah himpunan bilangan kompleks.

terkonjugasi ke bilangan kompleks disebut bilangan kompleks.

Representasi geometris bilangan kompleks.

Setiap bilangan kompleks dapat diwakili oleh sebuah titik. M(x, kamu) pesawat terbang Oky. Sepasang bilangan real juga menunjukkan koordinat vektor radius , yaitu antara himpunan vektor pada bidang dan himpunan bilangan kompleks, seseorang dapat membentuk korespondensi satu-satu: .

Definisi 2.Bagian nyata X.

Penamaan: x= Re z(dari bahasa Latin Realis).

Definisi 3.bagian imajiner bilangan kompleks disebut bilangan real kamu.

Penamaan: kamu= saya z(dari bahasa Latin Imaginarius).

Ulang z diendapkan pada sumbu ( Oh), Aku z diendapkan pada sumbu ( Oy), maka vektor yang bersesuaian dengan bilangan kompleks adalah vektor jari-jari titik M(x, kamu), (atau M(Ulang z, Aku z)) (Gbr. 1).

Definisi 4. Bidang yang titik-titiknya berhubungan dengan himpunan bilangan kompleks disebut pesawat yang kompleks. Absis disebut sumbu nyata, karena mengandung bilangan real . Sumbu y disebut sumbu imajiner, berisi bilangan kompleks murni imajiner . Himpunan bilangan kompleks dilambangkan Dengan.

Definisi 5.modul bilangan kompleks z = (x, kamu) adalah panjang vektor : , mis. .

Definisi 6.Argumen bilangan kompleks disebut sudut antara arah sumbu positif ( Oh) dan vektor : .

Bilangan kompleks

Imajiner dan bilangan kompleks. Absis dan ordinat

bilangan kompleks. Konjugasi bilangan kompleks.

Operasi dengan bilangan kompleks. Geometris

representasi bilangan kompleks. pesawat yang kompleks.

Modulus dan argumen bilangan kompleks. trigonometri

bentuk bilangan kompleks. Operasi dengan kompleks

bilangan dalam bentuk trigonometri. rumus moivre.

Informasi dasar tentang imajiner dan bilangan kompleks diberikan di bagian "Bilangan imajiner dan kompleks". Kebutuhan akan bilangan-bilangan jenis baru ini muncul ketika memecahkan persamaan kuadrat untuk kasusD< 0 (здесь Dadalah diskriminan dari persamaan kuadrat). Untuk waktu yang lama, angka-angka ini tidak menemukan penggunaan fisik, itulah sebabnya mereka disebut angka "imajiner". Namun, sekarang mereka sangat banyak digunakan di berbagai bidang fisika.

dan teknologi: teknik elektro, hidro dan aerodinamika, teori elastisitas, dll.

Bilangan kompleks ditulis sebagai:a+bi. Di Sini sebuah dan b – bilangan asli , sebuah saya – satuan imajiner. e. saya 2 = –1. Nomor sebuah ditelepon absis, sebuah b - ordinatbilangan kompleksa + b.Dua bilangan kompleksa+bi dan a-bi ditelepon mengkonjugasikan bilangan kompleks.

Perjanjian utama:

1. Bilangan aslisebuahbisa juga ditulis dalam bentukbilangan kompleks:sebuah + 0 saya atau sebuah - 0 saya. Misalnya, entri 5 + 0saya dan 5 - 0 sayaberarti angka yang sama 5 .

2. Bilangan kompleks 0 + duaditelepon murni imajiner nomor. Rekamanduaartinya sama dengan 0 + dua.

3. Dua bilangan kompleksa+bi danc + didianggap sama jikaa = c dan b = d. Sebaliknya bilangan kompleks tidak sama.

Tambahan. Jumlah bilangan kompleksa+bi dan c + didisebut bilangan kompleks (a+c ) + (b+d ) saya .Dengan demikian, ketika ditambahkan bilangan kompleks, absis dan ordinatnya ditambahkan secara terpisah.

Definisi ini mengikuti aturan untuk menangani polinomial biasa.

Pengurangan. Selisih antara dua bilangan kompleksa+bi(dikurangi) dan c + di(dikurangi) disebut bilangan kompleks (a-c ) + (b-d ) saya .

Dengan demikian, saat mengurangkan dua bilangan kompleks, absis dan ordinatnya dikurangkan secara terpisah.

Perkalian. Hasil kali bilangan kompleksa+bi dan c + di disebut bilangan kompleks.

(ac-bd ) + (iklan+sm ) saya .Definisi ini berasal dari dua persyaratan:

1) angka a+bi dan c + diharus mengalikan seperti aljabar binomial,

2) nomor sayamemiliki sifat utama:saya 2 = – 1.

CONTOH ( a + bi )(a-bi) = 2 +b 2 . Karena itu, kerja

dua bilangan kompleks konjugasi sama dengan real

nomor positif.

Divisi. Membagi bilangan kompleksa+bi (dapat dibagi) ke yang lainc + di(pembagi) - berarti menemukan angka ketigae + fi(obrolan), yang jika dikalikan dengan pembagic + di, yang menghasilkan dividena + b.

Jika pembagi tidak nol, pembagian selalu mungkin.

CONTOH Temukan (8+saya ) : (2 – 3 saya) .

Solusi Mari kita tulis ulang rasio ini sebagai pecahan:

Mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan 2 + 3saya

Dan setelah melakukan semua transformasi, kita mendapatkan:

Representasi geometris bilangan kompleks. Bilangan real diwakili oleh titik-titik pada garis bilangan:

Inilah intinya Aartinya angka -3, titikB adalah nomor 2, dan HAI- nol. Sebaliknya, bilangan kompleks diwakili oleh titik-titik pada bidang koordinat. Untuk ini, kami memilih koordinat persegi panjang (Cartesian) dengan skala yang sama pada kedua sumbu. Maka bilangan kompleksa+bi akan dilambangkan dengan titik P dengan absis a dan ordinat b (lihat gambar). Sistem koordinat ini disebut pesawat kompleks .

modul bilangan kompleks disebut panjang vektorOP, menggambarkan bilangan kompleks pada koordinat ( luas) pesawat terbang. Modulus bilangan kompleksa+bi dilambangkan dengan | a+bi| atau surat r

Bilangan kompleks, representasi mereka di pesawat. Operasi aljabar pada bilangan kompleks. Konjugasi kompleks. Modulus dan argumen bilangan kompleks. Bentuk aljabar dan trigonometri dari bilangan kompleks. Akar bilangan kompleks. Fungsi eksponensial dari argumen yang kompleks. rumus Euler. Bentuk eksponensial dari bilangan kompleks.

Saat mempelajari salah satu metode integrasi utama - integrasi pecahan rasional - diperlukan untuk mempertimbangkan polinomial dalam domain kompleks untuk bukti yang ketat. Oleh karena itu, mari kita pelajari dulu beberapa sifat bilangan kompleks dan operasinya.

Definisi 7.1. Bilangan kompleks z adalah pasangan terurut dari bilangan real (a, b): z = (a, b) (istilah “terurut” berarti bahwa urutan bilangan a dan b penting dalam penulisan bilangan kompleks: (a , b) )). Dalam hal ini, bilangan pertama a disebut bagian real dari bilangan kompleks z dan dinotasikan a = Re z, dan bilangan kedua b disebut bagian imajiner dari z: b = Im z.

Definisi 7.2. Dua bilangan kompleks z 1 \u003d (a 1, b 1) dan z 2 \u003d (a 2, b 2) adalah sama jika dan hanya jika mereka memiliki bagian nyata dan imajiner yang sama, yaitu, a 1 \u003d a 2, b 1 \u003d b2.

Tindakan pada bilangan kompleks.

1. jumlah bilangan kompleks z1 =(a 1 , b 1) dan z2 =(a2, b2 z=(a, b) seperti yang a = a 1 + a 2 , b = b 1 + b 2 . Properti tambahan: a) z1 + z2 = z2 + z1; b) z 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3; c) ada bilangan kompleks 0 = (0,0): z+ 0 =z untuk bilangan kompleks apa pun z.

2. kerja bilangan kompleks z1 =(a 1 , b 1) dan z2 =(a2, b2) disebut bilangan kompleks z=(a, b) seperti yang a \u003d a 1 a 2 - b 1 b 2, b \u003d a 1 b 2 + a 2 b 1. Sifat perkalian: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z3, di) ( z1 + z2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Komentar. Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan real yang didefinisikan sebagai bilangan kompleks dalam bentuk ( sebuah, 0). Dapat dilihat bahwa dalam kasus ini definisi operasi pada bilangan kompleks mempertahankan aturan yang diketahui dari operasi yang sesuai pada bilangan real. Selain itu, bilangan real 1 = (1,0) mempertahankan propertinya ketika dikalikan dengan bilangan kompleks apa pun: 1∙ z = z.

Definisi 7.3. Bilangan kompleks (0, b) disebut murni imajiner. Secara khusus, angka (0,1) disebut satuan imajiner dan dilambangkan saya.

Properti unit imajiner:

1) i∙i=i² = -1; 2) bilangan imajiner murni (0, b) dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan real ( b, 0) dan saya: (b, 0) = b∙i.

Oleh karena itu, setiap bilangan kompleks z = (a,b) dapat direpresentasikan sebagai: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Definisi 7.4. Notasi bentuk z = a + ib disebut bentuk aljabar bilangan kompleks.

Komentar. Notasi aljabar bilangan kompleks memungkinkan untuk melakukan operasi pada mereka sesuai dengan aturan aljabar yang biasa.

Definisi 7.5. Bilangan kompleks disebut konjugat kompleks dari z = a + ib.

3. Pengurangan Bilangan kompleks didefinisikan sebagai operasi kebalikan dari penjumlahan: z=(a, b) disebut selisih bilangan kompleks z1 =(a 1 , b 1) dan z2 =(a2, b2), jika a \u003d a 1 - a 2, b \u003d b 1 - b 2.

4. Divisi bilangan kompleks didefinisikan sebagai operasi kebalikan dari perkalian: bilangan z = a + ib disebut hasil bagi pembagian z 1 = a 1 + ib 1 dan z 2 = a 2 + ib 2(z 2 0) jika z 1 = z∙z 2 . Oleh karena itu, bagian nyata dan imajiner dari hasil bagi dapat ditemukan dari solusi sistem persamaan: a 2 a - b 2 b \u003d a 1, b 2 a + a 2 b \u003d b 1.

Interpretasi geometris bilangan kompleks.

Bilangan kompleks z=(a, b) dapat direpresentasikan sebagai titik pada bidang dengan koordinat ( a, b) atau vektor dengan asal di titik asal dan berakhir di titik ( a, b).

Dalam hal ini, modul dari vektor yang dihasilkan disebut modul bilangan kompleks, dan sudut yang dibentuk oleh vektor dengan arah sumbu x positif adalah argumen angka. Mengingat bahwa a = p karena , b = dosa φ, di mana ρ = |z| - modul z, dan = arg z adalah argumennya, kita bisa mendapatkan bentuk lain dari penulisan bilangan kompleks:

Definisi 7.6. Lihat catatan

z = p(karena + saya dosa φ ) (7.1)

ditelepon bentuk trigonometri notasi bilangan kompleks.

Pada gilirannya, modulus dan argumen dari bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam sebuah dan b: . Oleh karena itu, argumen bilangan kompleks tidak didefinisikan secara unik, tetapi hingga suku yang merupakan kelipatan 2π.

Sangat mudah untuk melihat bahwa operasi penjumlahan bilangan kompleks berhubungan dengan operasi penjumlahan vektor. Pertimbangkan interpretasi geometris perkalian. Biarkan kemudian

Oleh karena itu, modulus produk dua bilangan kompleks sama dengan produk modulusnya, dan argumennya adalah jumlah argumennya. Dengan demikian, ketika membagi, modulus hasil bagi sama dengan rasio modulus pembagian dan pembagi, dan argumen adalah perbedaan antara argumen mereka.

Kasus khusus dari operasi perkalian adalah eksponensial:

- rumus De Moivre.

Dengan menggunakan hubungan yang diperoleh, kami mencantumkan sifat-sifat utama bilangan konjugat kompleks:

Bilangan kompleks dan
koordinat
pesawat terbang

Model geometrik himpunan R bilangan real adalah garis bilangan. Setiap bilangan real sesuai dengan satu titik

pada
garis bilangan dan, sembarang titik pada garis
hanya satu pertandingan
bilangan asli!

Dengan menambahkan ke garis bilangan yang sesuai dengan himpunan semua bilangan real satu dimensi lagi - garis yang berisi himpunan murni m

Menambahkan ke baris nomor yang sesuai dengan himpunan
dari semua bilangan real satu dimensi lagi -
garis yang berisi himpunan bilangan imajiner murni -
kami memperoleh bidang koordinat di mana masing-masing
bilangan kompleks a + bi dapat diasosiasikan
titik (a; b) bidang koordinat.
i=0+1i sesuai dengan titik (0;1)
2+3i sesuai dengan poin (2;3)
-i-4 cocok dengan titik (-4;-1)
5=5+1i sesuai dengan melankolis (5;0)

Arti geometris dari operasi konjugasi

! Operasi konjugasi adalah aksial
simetri terhadap sumbu x.
!! Terhubung satu sama lain
bilangan kompleks berjarak sama dari
asal koordinat.
!!! Vektor yang menggambarkan
bilangan konjugasi, miring ke sumbu
absis pada sudut yang sama, tetapi
terletak di sisi berlawanan dari
sumbu ini.

Gambar bilangan real

Gambar bilangan kompleks

Aljabar
jalan
Gambar-gambar:
bilangan kompleks
a+bi ditampilkan
titik bidang
dengan koordinat
(a;b)

Contoh representasi bilangan kompleks pada bidang koordinat

(Kami tertarik pada
bilangan kompleks
z=x+yi , untuk itu
x=-4. Ini adalah persamaan
lurus,
sumbu paralel
ordinat)
pada
X= - 4
Sah
bagiannya adalah -4
0
X

Gambarlah pada bidang koordinat himpunan semua bilangan kompleks yang:

bagian imajiner
genap
jelas
alami
nomor
(Kami tertarik pada
bilangan kompleks
z=x+yi
y=2,4,6,8.
Gambar geometris
terdiri dari empat
garis lurus, sejajar
absis)
pada
8
6
4
2
0
X