Pythagoras adalah seorang ilmuwan Yunani yang hidup sekitar 2500 tahun yang lalu (564-473 SM).

Biarkan segitiga siku-siku diberikan yang sisi-sisinya sebuah, b dan dengan(Gbr. 267).

Mari kita membangun kotak di sisinya. Luas persegi tersebut masing-masing adalah sebuah 2 , b 2 dan dengan 2. Ayo buktikan dengan 2 = 2 +b 2 .

Mari kita buat dua persegi MKOR dan M'K'O'R' (Gbr. 268, 269), dengan mengambil ruas yang sama dengan jumlah kaki segitiga siku-siku ABC pada sisinya masing-masing.

Setelah menyelesaikan konstruksi yang ditunjukkan pada Gambar 268 dan 269 di kotak-kotak ini, kita akan melihat bahwa kotak MKOR dibagi menjadi dua kotak dengan luas sebuah 2 dan b 2 dan empat segitiga siku-siku yang sama, yang masing-masing sama dengan segitiga siku-siku ABC. Persegi M'K'O'R' dibagi menjadi segi empat (diarsir pada Gambar 269) dan empat segitiga siku-siku, yang masing-masing juga sama dengan segitiga ABC. Segi empat yang diarsir adalah persegi, karena sisi-sisinya sama (masing-masing sama dengan sisi miring segitiga ABC, mis. dengan), dan sudut-sudutnya adalah garis lurus 1 + 2 = 90°, dari mana 3 = 90°).

Jadi, jumlah luas bujur sangkar yang dibangun di atas kaki (pada Gambar 268 bujur sangkar ini diarsir) sama dengan luas bujur sangkar MKOR tanpa jumlah luas empat segitiga yang sama, dan luas ​persegi yang dibangun di atas sisi miring (pada Gambar 269 bujur sangkar ini juga diarsir) sama dengan luas bujur sangkar M'K'O'R', sama dengan kuadrat MKOR, tanpa jumlah luas dari empat segitiga yang sebangun. Oleh karena itu, luas bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas bujur sangkar yang dibangun di atas kakinya.

Kami mendapatkan rumus dengan 2 = 2 +b 2 , dimana dengan- sisi miring, sebuah dan b- kaki segitiga siku-siku.

Teorema Pythagoras dapat diringkas sebagai berikut:

Kuadrat hipotenusa segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.

Dari rumus dengan 2 = 2 +b 2 Anda bisa mendapatkan rumus berikut:

sebuah 2 = dengan 2 - b 2 ;

b2 = dengan 2 - sebuah 2 .

Rumus-rumus ini dapat digunakan untuk menemukan sisi yang tidak diketahui dari segitiga siku-siku jika diketahui dua sisinya.

Sebagai contoh:

a) jika kaki diberikan sebuah= 4cm, b\u003d 3 cm, maka Anda dapat menemukan sisi miring ( dengan):

dengan 2 = 2 +b 2 , yaitu dengan 2 = 4 2 + 3 2 ; dengan 2 = 25, dari mana dengan= 25 = 5(cm);

b) jika sisi miring diberikan dengan= 17 cm dan kaki sebuah= 8 cm, maka Anda dapat menemukan kaki lain ( b):

b 2 = dengan 2 - sebuah 2 , yaitu b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, dari mana b= 225 = 15 (cm).

Akibat wajar: Jika dalam dua segitiga siku-siku ABC dan A 1 B 1 C 1 sisi miring dengan dan dengan 1 sama, dan kaki b segitiga ABC lebih besar dari kaki b 1 segitiga A 1 B 1 C 1,

lalu kaki sebuah segitiga ABC lebih kecil dari kaki sebuah 1 segitiga A 1 B 1 C 1 .

Memang, berdasarkan teorema Pythagoras, kita mendapatkan:

sebuah 2 = dengan 2 - b 2 ,

sebuah 1 2 = dengan 1 2 - b 1 2

Dalam rumus tertulis, minuendnya sama, dan pengurangan pada rumus pertama lebih besar dari pengurangan pada rumus kedua, oleh karena itu, selisih pertama lebih kecil dari yang kedua,

yaitu sebuah 2 a 1 2 . Di mana sebuah sebuah 1 .

Namun, nama tersebut diterima untuk menghormati ilmuwan hanya karena dia adalah orang pertama dan bahkan satu-satunya yang mampu membuktikan teorema tersebut.

Sejarawan matematika Jerman Kantor mengklaim bahwa teorema itu sudah dikenal orang Mesir sekitar 2300 SM. e. Dia percaya bahwa sudut siku-siku digunakan untuk dibangun berkat segitiga siku-siku dengan sisi 3, 4 dan 5.

Ilmuwan terkenal Kepler mengatakan bahwa geometri memiliki harta yang tak tergantikan - ini adalah teorema Pythagoras, berkat itu dimungkinkan untuk menurunkan sebagian besar teorema dalam geometri.

Sebelumnya, teorema Pythagoras disebut "teorema pengantin" atau "teorema nimfa". Dan masalahnya adalah gambarnya sangat mirip dengan kupu-kupu atau nimfa. Orang-orang Arab, ketika mereka menerjemahkan teks teorema, memutuskan bahwa nimfa berarti pengantin wanita. Inilah bagaimana nama teorema yang menarik muncul.

Teorema Pythagoras, rumus

Dalil

- dalam segitiga siku-siku, jumlah kuadrat kaki () sama dengan kuadrat sisi miring (). Ini adalah salah satu teorema dasar geometri Euclidean.

Rumus:

Seperti yang telah disebutkan, ada banyak bukti teorema yang berbeda dengan pendekatan matematika serbaguna. Namun, teorema luas lebih umum digunakan.

Bangun persegi pada segitiga ( biru, hijau, merah)

Artinya, jumlah luas persegi yang dibangun di atas kaki sama dengan luas persegi yang dibangun di sisi miring. Dengan demikian, luas persegi ini sama -. Ini adalah penjelasan geometris Pythagoras.

Bukti teorema dengan metode area: 1 cara

Mari kita buktikan itu.

Perhatikan segitiga yang sama dengan kaki a, b dan sisi miring c.

1. Kami melengkapi segitiga siku-siku menjadi persegi. Dari kaki "a" kami melanjutkan garis hingga jarak kaki "b" (garis merah).
2. Selanjutnya, kita menggambar garis kaki baru “a” ke kanan (garis hijau).
3. Kami menghubungkan dua kaki dengan sisi miring "c".

Ternyata segitiganya sama, hanya terbalik.

Demikian pula, kami membangun di sisi lain: dari kaki "a" kami menggambar garis kaki "b" dan ke bawah "a" dan "b" Dan dari bagian bawah kaki "b" kami menggambar garis kaki "a". Di tengah setiap kaki, sisi miring "c" digambar. Jadi sisi miring membentuk persegi di tengah.

Persegi ini terdiri dari 4 segitiga yang identik. Dan luas setiap segitiga siku-siku = setengah hasil kali kedua kakinya. Masing-masing, . Dan luas persegi di tengah = , karena semua 4 sisi miring memiliki sisi. Sisi-sisi suatu segiempat sama panjang dan sudut-sudutnya siku-siku. Bagaimana kita bisa membuktikan bahwa sudut-sudut itu benar? Sangat sederhana. Mari kita ambil persegi yang sama:

Kita tahu bahwa dua sudut yang ditunjukkan pada gambar adalah 90 derajat. Karena segitiganya sama, maka sudut kaki berikutnya "b" sama dengan kaki sebelumnya "b":

Jumlah kedua sudut = 90 derajat. Dengan demikian, sudut sebelumnya juga 90 derajat. Tentu saja, hal yang sama berlaku di sisi lain. Dengan demikian, kami benar-benar memiliki persegi dengan sudut siku-siku.

Karena sudut lancip segitiga siku-siku seluruhnya adalah 90 derajat, maka sudut segiempat juga akan menjadi 90 derajat, karena total 3 sudut = 180 derajat.

Dengan demikian, luas bujur sangkar terdiri dari empat luas segitiga siku-siku yang identik dan luas bujur sangkar, yang dibentuk oleh sisi miring.

Jadi, kami mendapat persegi dengan sisi . Kita tahu bahwa luas persegi dengan sisi adalah kuadrat sisinya. yaitu Persegi ini terdiri dari empat segitiga yang identik.

Dan ini berarti bahwa kita telah membuktikan teorema Pythagoras.

PENTING!!! Jika kita menemukan sisi miring, maka kita menambahkan dua kaki, dan kemudian kita mendapatkan jawabannya dari akarnya. Saat menemukan salah satu kaki: dari kuadrat panjang kaki kedua, kurangi kuadrat dari panjang sisi miring dan temukan akar kuadratnya.

Contoh pemecahan masalah

Contoh 1

Tugas

Diketahui: segitiga siku-siku dengan kaki 4 dan 5.

Temukan sisi miringnya. Selama kita menyatakannya dengan

Keputusan

Jumlah kuadrat kaki sama dengan kuadrat sisi miring. Dalam kasus kami - .

Mari kita gunakan teorema Pythagoras:

Jadi, Kakinya berjumlah 41.

Kemudian . Jadi kuadrat sisi miringnya adalah 41.

Kuadrat dari bilangan 41 = 6.4.

Kami telah menemukan sisi miring.

Menjawab

Sisi miring = 6,4

Potensi kreativitas biasanya dikaitkan dengan humaniora, meninggalkan analisis ilmiah alami, pendekatan praktis dan bahasa kering rumus dan angka. Matematika tidak dapat digolongkan sebagai mata pelajaran humaniora. Tetapi tanpa kreativitas dalam "ratu segala ilmu" Anda tidak akan melangkah jauh - orang sudah lama mengetahui hal ini. Sejak zaman Pythagoras, misalnya.

Buku pelajaran sekolah, sayangnya, biasanya tidak menjelaskan bahwa dalam matematika penting tidak hanya menjejalkan teorema, aksioma, dan rumus. Penting untuk memahami dan merasakan prinsip-prinsip dasarnya. Dan pada saat yang sama, cobalah untuk membebaskan pikiran Anda dari klise dan kebenaran dasar - hanya dalam kondisi seperti itu semua penemuan hebat lahir.

Penemuan-penemuan semacam itu termasuk yang sekarang kita kenal sebagai teorema Pythagoras. Dengan bantuannya, kami akan mencoba menunjukkan bahwa matematika tidak hanya dapat, tetapi juga harus menyenangkan. Dan bahwa petualangan ini cocok tidak hanya untuk kutu buku dengan kacamata tebal, tetapi untuk semua orang yang kuat dalam pikiran dan kuat dalam semangat.

Dari sejarah masalah

Sebenarnya, meskipun teorema itu disebut "teorema Pythagoras", Pythagoras sendiri tidak menemukannya. Segitiga siku-siku dan sifat-sifat khususnya telah dipelajari jauh sebelumnya. Ada dua sudut pandang kutub tentang masalah ini. Menurut satu versi, Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan bukti lengkap teorema. Menurut yang lain, buktinya bukan milik penulis Pythagoras.

Hari ini Anda tidak bisa lagi memeriksa siapa yang benar dan siapa yang salah. Hanya diketahui bahwa bukti Pythagoras, jika pernah ada, tidak bertahan. Namun, ada saran bahwa bukti terkenal dari Elemen Euclid mungkin milik Pythagoras, dan Euclid hanya mencatatnya.

Sekarang juga diketahui bahwa masalah tentang segitiga siku-siku ditemukan dalam sumber-sumber Mesir dari zaman Firaun Amenemhet I, pada lempengan tanah liat Babilonia dari masa pemerintahan Raja Hammurabi, dalam risalah India kuno Sulva Sutra dan karya Cina kuno Zhou -bi suan jin.

Seperti yang Anda lihat, teorema Pythagoras telah memenuhi pikiran para matematikawan sejak zaman kuno. Sekitar 367 berbagai bukti yang ada saat ini berfungsi sebagai konfirmasi. Tidak ada teorema lain yang dapat bersaing dengannya dalam hal ini. Penulis bukti penting termasuk Leonardo da Vinci dan Presiden ke-20 Amerika Serikat, James Garfield. Semua ini berbicara tentang pentingnya teorema ini untuk matematika: sebagian besar teorema geometri diturunkan darinya atau, dalam satu atau lain cara, terhubung dengannya.

Bukti teorema Pythagoras

Buku pelajaran sekolah kebanyakan memberikan bukti aljabar. Tetapi inti dari teorema ada dalam geometri, jadi pertama-tama mari kita pertimbangkan bukti-bukti teorema terkenal yang didasarkan pada ilmu ini.

Bukti 1

Untuk bukti paling sederhana dari teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku, Anda perlu menetapkan kondisi ideal: biarkan segitiga tidak hanya siku-siku, tetapi juga sama kaki. Ada alasan untuk percaya bahwa itu adalah segitiga yang awalnya dianggap oleh matematikawan kuno.

Penyataan "persegi yang dibangun di atas hipotenusa segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat yang dibangun di atas kakinya" dapat diilustrasikan dengan gambar berikut:

Lihatlah segitiga siku-siku sama kaki ABC: Pada sisi miring AC, Anda dapat membangun sebuah persegi yang terdiri dari empat segitiga sama dengan ABC asli. Dan pada kaki-kaki AB dan BC dibangun di atas sebuah bujur sangkar yang masing-masing berisi dua buah segitiga yang sebangun.

Ngomong-ngomong, gambar ini menjadi dasar dari banyak anekdot dan kartun yang didedikasikan untuk teorema Pythagoras. Mungkin yang paling terkenal adalah "Celana Pythagoras sama ke segala arah":

Bukti 2

Metode ini menggabungkan aljabar dan geometri dan dapat dilihat sebagai varian dari bukti India kuno dari matematikawan Bhaskari.

Bangun segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya a, b dan c(Gbr. 1). Kemudian buat dua persegi dengan sisi sama dengan jumlah panjang kedua kaki - (a+b). Di setiap kotak, buat konstruksi, seperti pada gambar 2 dan 3.

Di kotak pertama, bangun empat segitiga yang sama seperti pada Gambar 1. Hasilnya, diperoleh dua kotak: satu dengan sisi a, yang kedua dengan sisi b.

Pada bujur sangkar kedua, empat segitiga sebangun dibangun membentuk bujur sangkar dengan sisi sama dengan sisi miring c.

Jumlah luas bujur sangkar yang dibangun pada Gambar 2 sama dengan luas bujur sangkar yang kita bangun dengan sisi c pada Gambar 3. Ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan menghitung luas persegi pada Gambar. 2 sesuai dengan rumus. Dan luas bujur sangkar pada Gambar 3. dengan mengurangkan luas empat segitiga siku-siku yang sama yang tertulis di bujur sangkar dari luas bujur sangkar besar dengan sisi (a+b).

Menempatkan semua ini, kami memiliki: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Perluas tanda kurung, lakukan semua perhitungan aljabar yang diperlukan dan dapatkan itu a2 + b2 = a2 + b2. Pada saat yang sama, area yang tertulis pada Gbr.3. persegi juga dapat dihitung menggunakan rumus tradisional S=c2. Itu. a2+b2=c2 Anda telah membuktikan teorema Pythagoras.

Bukti 3

Bukti India kuno yang sama dijelaskan pada abad ke-12 dalam risalah "Mahkota Pengetahuan" ("Siddhanta Shiromani"), dan sebagai argumen utama penulis menggunakan daya tarik yang ditujukan kepada bakat matematika dan kekuatan pengamatan siswa dan pengikut: "Lihat!".

Tetapi kami akan menganalisis bukti ini secara lebih rinci:

Di dalam bujur sangkar, buat empat segitiga siku-siku seperti yang ditunjukkan pada gambar. Sisi bujur sangkar besar, yang juga merupakan sisi miring, dilambangkan dengan. Mari kita sebut kaki segitiga sebuah dan b. Menurut gambar, sisi persegi dalam adalah (a-b).

Gunakan rumus luas persegi S=c2 untuk menghitung luas persegi luar. Dan pada saat yang sama hitung nilai yang sama dengan menambahkan luas persegi bagian dalam dan luas bola empat segitiga siku-siku: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Anda dapat menggunakan kedua opsi untuk menghitung luas persegi untuk memastikan keduanya memberikan hasil yang sama. Dan itu memberi Anda hak untuk menuliskannya c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Sebagai hasil dari solusi, Anda akan mendapatkan rumus teorema Pythagoras c2=a2+b2. Teorema telah terbukti.

Bukti 4

Bukti Cina kuno yang aneh ini disebut "Kursi Pengantin" - karena sosok seperti kursi yang dihasilkan dari semua konstruksi:

Ini menggunakan gambar yang telah kita lihat pada Gambar 3 di bukti kedua. Dan bujur sangkar bagian dalam dengan sisi c dibangun dengan cara yang sama seperti pada bukti India kuno yang diberikan di atas.

Jika Anda secara mental memotong dua segitiga siku-siku hijau dari gambar pada Gambar. 1, pindahkan ke sisi berlawanan dari alun-alun dengan sisi c dan pasang sisi miring ke sisi miring segitiga lilac, Anda akan mendapatkan sosok yang disebut "pengantin pengantin". kursi” (Gbr. 2). Untuk kejelasan, Anda dapat melakukan hal yang sama dengan kotak dan segitiga kertas. Anda akan melihat bahwa "kursi pengantin" dibentuk oleh dua kotak: kotak kecil dengan sisi b dan besar dengan sisi sebuah.

Konstruksi ini memungkinkan ahli matematika Tiongkok kuno dan kami yang mengikuti mereka untuk sampai pada kesimpulan bahwa c2=a2+b2.

Bukti 5

Ini adalah cara lain untuk menemukan solusi untuk teorema Pythagoras berdasarkan geometri. Ini disebut Metode Garfield.

Bangun segitiga siku-siku ABC. Kita perlu membuktikan bahwa BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Untuk melakukan ini, lanjutkan kaki AC dan membangun segmen CD, yang sama dengan kaki AB. Tegak Lurus Bawah IKLAN segmen garis ED. Segmen ED dan AC adalah sama. menghubungkan titik-titik E dan PADA, sebaik E dan Dengan dan dapatkan gambar seperti gambar di bawah ini:

Untuk membuktikan menara, kami kembali menggunakan metode yang telah kami uji: kami menemukan luas gambar yang dihasilkan dalam dua cara dan menyamakan ekspresi satu sama lain.

Temukan luas poligon TEMPAT TIDUR dapat dilakukan dengan menjumlahkan luas ketiga segitiga yang membentuknya. Dan salah satunya ERU, tidak hanya persegi panjang, tetapi juga sama kaki. Jangan lupa juga itu AB=CD, AC=ED dan SM = CE- ini akan memungkinkan kami untuk menyederhanakan perekaman dan tidak membebaninya. Jadi, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1/2BC 2.

Pada saat yang sama, jelas bahwa TEMPAT TIDUR adalah trapesium. Oleh karena itu, kami menghitung luasnya menggunakan rumus: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Untuk perhitungan kami, lebih mudah dan lebih jelas untuk mewakili segmen IKLAN sebagai jumlah dari segmen AC dan CD.

Mari kita tuliskan kedua cara menghitung luas suatu bangun dengan memberi tanda sama dengan di antara keduanya: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Kami menggunakan kesetaraan segmen yang sudah kami ketahui dan dijelaskan di atas untuk menyederhanakan notasi sisi kanan: AB*AC+1/2BC 2 = 1/2(AB+AC) 2. Dan sekarang kita membuka tanda kurung dan mengubah persamaan: AB*AC+1/2BC 2 = 1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Setelah menyelesaikan semua transformasi, kami mendapatkan apa yang kami butuhkan: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Kami telah membuktikan teorema.

Tentu saja, daftar bukti ini masih jauh dari lengkap. Teorema Pythagoras juga dapat dibuktikan dengan menggunakan vektor, bilangan kompleks, persamaan diferensial, stereometri, dll. Dan bahkan fisikawan: jika, misalnya, cairan dituangkan ke dalam volume persegi dan segitiga yang serupa dengan yang ditunjukkan pada gambar. Dengan menuangkan cairan, adalah mungkin untuk membuktikan persamaan luas dan teorema itu sendiri sebagai hasilnya.

Beberapa kata tentang kembar tiga Pythagoras

Masalah ini sedikit atau tidak dipelajari dalam kurikulum sekolah. Sementara itu, sangat menarik dan sangat penting dalam geometri. Tripel Pythagoras digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah matematika. Gagasan mereka dapat bermanfaat bagi Anda dalam pendidikan lebih lanjut.

Jadi apa itu kembar tiga Pythagoras? Disebut bilangan asli, dikumpulkan dalam tiga, jumlah kuadrat dari dua di antaranya sama dengan kuadrat bilangan ketiga.

Tripel Pythagoras dapat berupa:

• primitif (ketiga bilangan tersebut relatif prima);
• non-primitif (jika setiap angka dari suatu rangkap tiga dikalikan dengan angka yang sama, Anda mendapatkan tiga kali lipat baru yang tidak primitif).

Bahkan sebelum zaman kita, orang Mesir kuno terpesona oleh mania untuk jumlah kembar tiga Pythagoras: dalam tugas mereka menganggap segitiga siku-siku dengan sisi 3,4 dan 5 unit. Omong-omong, segitiga apa pun yang sisi-sisinya sama dengan angka-angka dari tripel Pythagoras secara default adalah persegi panjang.

Contoh tripel Pythagoras: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) dll.

Aplikasi praktis dari teorema

Teorema Pythagoras menemukan aplikasi tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam arsitektur dan konstruksi, astronomi, dan bahkan sastra.

Pertama, tentang konstruksi: teorema Pythagoras banyak digunakan di dalamnya dalam masalah tingkat kerumitan yang berbeda. Misalnya, lihat jendela Romanesque:

Mari kita nyatakan lebar jendela sebagai b, maka jari-jari setengah lingkaran besar dapat dilambangkan sebagai R dan ekspresikan melalui b: R=b/2. Jari-jari setengah lingkaran yang lebih kecil juga dapat dinyatakan dalam b: r=b/4. Dalam masalah ini, kami tertarik pada jari-jari lingkaran dalam jendela (sebut saja p).

Teorema Pythagoras berguna untuk menghitung R. Untuk melakukan ini, kami menggunakan segitiga siku-siku, yang ditunjukkan oleh garis putus-putus pada gambar. Sisi miring segitiga terdiri dari dua jari-jari: b/4+p. Satu kaki adalah radius b/4, lain b/2-p. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita menulis: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Selanjutnya, kami membuka tanda kurung dan mendapatkan b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Mari kita ubah ekspresi ini menjadi bp/2=b 2/4-bp. Dan kemudian kami membagi semua istilah menjadi b, kami memberikan yang serupa untuk mendapatkan 3/2*p=b/4. Dan pada akhirnya kita menemukan itu p=b/6- yang kami butuhkan.

Dengan menggunakan teorema, Anda dapat menghitung panjang kasau untuk atap pelana. Tentukan seberapa tinggi menara seluler yang diperlukan agar sinyal dapat mencapai penyelesaian tertentu. Dan bahkan dengan mantap memasang pohon Natal di alun-alun kota. Seperti yang Anda lihat, teorema ini hidup tidak hanya di halaman buku teks, tetapi sering kali berguna dalam kehidupan nyata.

Sejauh menyangkut sastra, teorema Pythagoras telah mengilhami para penulis sejak zaman kuno dan terus berlanjut hingga hari ini. Misalnya, penulis Jerman abad kesembilan belas Adelbert von Chamisso terinspirasi olehnya untuk menulis soneta:

Cahaya kebenaran tidak akan segera menghilang,
Tapi, setelah bersinar, itu tidak mungkin menghilang
Dan, seperti ribuan tahun yang lalu,
Tidak akan menimbulkan keraguan dan perselisihan.

Paling bijak ketika menyentuh mata
Terang kebenaran, terima kasih para dewa;
Dan seratus lembu jantan, ditikam, berbohong -
Hadiah kembali dari Pythagoras yang beruntung.

Sejak itu, banteng mengaum dengan putus asa:
Selamanya membangkitkan suku banteng
peristiwa yang disebutkan di sini.

Mereka pikir sudah waktunya
Dan lagi mereka akan dikorbankan
Beberapa teorema besar.

(diterjemahkan oleh Viktor Toporov)

Dan pada abad kedua puluh, penulis Soviet Yevgeny Veltistov dalam bukunya "The Adventures of Electronics" mencurahkan seluruh bab untuk pembuktian teorema Pythagoras. Dan setengah bab dari cerita tentang dunia dua dimensi yang bisa ada jika teorema Pythagoras menjadi hukum dasar dan bahkan agama untuk satu dunia. Akan jauh lebih mudah untuk hidup di dalamnya, tetapi juga jauh lebih membosankan: misalnya, tidak ada yang mengerti arti kata "bulat" dan "halus".

Dan dalam buku "Petualangan Elektronik", penulis, melalui mulut guru matematika Taratara, mengatakan: "Hal utama dalam matematika adalah pergerakan pemikiran, ide-ide baru." Penerbangan kreatif pemikiran inilah yang menghasilkan teorema Pythagoras - bukan tanpa alasan ia memiliki begitu banyak bukti yang beragam. Ini membantu untuk melampaui yang biasa, dan melihat hal-hal yang sudah dikenal dengan cara baru.

Kesimpulan

Artikel ini dibuat agar Anda dapat melihat melampaui kurikulum sekolah dalam matematika dan mempelajari tidak hanya bukti teorema Pythagoras yang diberikan dalam buku teks "Geometri 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) dan "Geometri 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), tetapi juga cara-cara aneh lainnya untuk membuktikan teorema terkenal. Dan juga melihat contoh bagaimana teorema Pythagoras dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.

Pertama, informasi ini akan memungkinkan Anda untuk mengklaim nilai yang lebih tinggi di kelas matematika - informasi tentang subjek dari sumber tambahan selalu sangat dihargai.

Kedua, kami ingin membantu Anda merasakan betapa menariknya matematika. Diyakinkan oleh contoh-contoh spesifik bahwa selalu ada tempat untuk kreativitas di dalamnya. Kami berharap teorema Pythagoras dan artikel ini akan menginspirasi Anda untuk melakukan penelitian sendiri dan penemuan menarik dalam matematika dan ilmu lainnya.

Beri tahu kami di komentar jika Anda menemukan bukti yang disajikan dalam artikel menarik. Apakah Anda menemukan informasi ini membantu dalam studi Anda? Beri tahu kami pendapat Anda tentang teorema Pythagoras dan artikel ini - kami akan dengan senang hati mendiskusikan semua ini dengan Anda.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

teori Pitagoras: Jumlah luas persegi yang ditopang oleh kaki ( sebuah dan b), sama dengan luas persegi yang dibangun di atas sisi miring ( c).

Formulasi geometris:

Teorema awalnya dirumuskan sebagai berikut:

Formulasi aljabar:

Artinya, menunjukkan panjang sisi miring segitiga melalui c, dan panjang kaki melalui sebuah dan b :

sebuah 2 + b 2 = c 2

Kedua rumusan teorema tersebut setara, tetapi rumusan kedua lebih mendasar, tidak memerlukan konsep luas. Artinya, pernyataan kedua dapat diverifikasi tanpa mengetahui apa pun tentang luas dan hanya dengan mengukur panjang sisi segitiga siku-siku.

Teorema Pythagoras terbalik:

Bukti dari

Saat ini, 367 bukti teorema ini telah dicatat dalam literatur ilmiah. Mungkin, teorema Pythagoras adalah satu-satunya teorema dengan jumlah bukti yang begitu mengesankan. Variasi seperti itu hanya dapat dijelaskan oleh signifikansi mendasar dari teorema geometri.

Tentu saja, secara konseptual, semuanya dapat dibagi menjadi sejumlah kecil kelas. Yang paling terkenal di antaranya: pembuktian dengan metode area, pembuktian aksiomatik dan eksotik (misalnya, menggunakan persamaan diferensial).

Melalui segitiga sebangun

Bukti formulasi aljabar berikut ini adalah bukti paling sederhana yang dibangun langsung dari aksioma. Secara khusus tidak menggunakan konsep luas bangun ruang.

Biarlah ABC ada segitiga siku-siku C. Mari kita menggambar ketinggian dari C dan menunjukkan basisnya dengan H. Segi tiga ACEH mirip segitiga ABC di dua sudut. Demikian pula segitiga CBH serupa ABC. Memperkenalkan notasi

kita mendapatkan

Apa yang setara?

Menambahkan, kita mendapatkan

Bukti daerah

Bukti-bukti berikut, meskipun tampak sederhana, sama sekali tidak sederhana. Semuanya menggunakan sifat-sifat luas, yang pembuktiannya lebih rumit daripada pembuktian teorema Pythagoras itu sendiri.

Bukti melalui Kesetaraan

1. Susunlah empat segitiga siku-siku yang sama seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.
2. Segi empat dengan sisi c adalah bujur sangkar karena jumlah dua sudut lancip adalah 90° dan sudut lurus adalah 180°.
3. Luas seluruh gambar sama, di satu sisi, dengan luas persegi dengan sisi (a + b), dan di sisi lain, jumlah luas empat segitiga dan dua bagian dalam kotak.

Q.E.D.

Bukti melalui Kesetaraan

Bukti permutasi yang elegan

Contoh dari salah satu bukti ini ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan, di mana bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring diubah dengan permutasi menjadi dua bujur sangkar yang dibangun di atas kakinya.

bukti Euclid

Menggambar untuk bukti Euclid

Ilustrasi untuk pembuktian Euclid

Gagasan pembuktian Euclid adalah sebagai berikut: mari kita coba buktikan bahwa setengah luas persegi yang dibangun di atas sisi miring sama dengan jumlah setengah luas persegi yang dibangun di atas kaki, dan kemudian luas persegi besar dan dua kotak kecil sama besar.

Pertimbangkan gambar di sebelah kiri. Di atasnya, kami membangun kotak di sisi segitiga siku-siku dan menggambar sinar s dari titik sudut siku-siku C tegak lurus dengan sisi miring AB, itu memotong persegi ABIK, dibangun di sisi miring, menjadi dua persegi panjang - BHJI dan HAKJ, masing-masing. Ternyata luas persegi panjang ini persis sama dengan luas persegi yang dibangun di atas kaki yang sesuai.

Mari kita coba buktikan bahwa luas persegi DECA sama dengan luas persegi panjang AHJK Untuk melakukan ini, kita menggunakan pengamatan tambahan: Luas segitiga dengan tinggi dan alas yang sama seperti yang diberikan persegi panjang sama dengan setengah luas persegi panjang yang diberikan. Ini adalah konsekuensi dari mendefinisikan luas segitiga sebagai setengah produk alas dan tinggi. Dari pengamatan ini diketahui bahwa luas segitiga ACK sama dengan luas segitiga AHK (tidak diperlihatkan), yang selanjutnya sama dengan setengah luas persegi panjang AHJK.

Sekarang mari kita buktikan bahwa luas segitiga ACK juga sama dengan setengah luas persegi DECA. Satu-satunya hal yang perlu dilakukan untuk ini adalah membuktikan persamaan segitiga ACK dan BDA (karena luas segitiga BDA sama dengan setengah luas persegi dengan sifat di atas). Persamaan ini jelas, segitiga sama di dua sisi dan sudut di antara mereka. Yaitu - AB=AK,AD=AC - persamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan cara gerak : mari kita putar segitiga CAK 90° berlawanan arah jarum jam, maka jelaslah bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga yang dianggap akan bertepatan (karena fakta bahwa sudut di puncak bujur sangkar adalah 90°).

Argumen tentang persamaan luas persegi BCFG dan persegi panjang BHJI benar-benar analog.

Dengan demikian, kami telah membuktikan bahwa luas persegi yang dibangun di atas sisi miring adalah jumlah dari luas persegi yang dibangun di atas kaki. Gagasan di balik pembuktian ini selanjutnya diilustrasikan dengan animasi di atas.

Bukti Leonardo da Vinci

Bukti Leonardo da Vinci

Elemen utama pembuktian adalah simetri dan gerakan.

Perhatikan gambar, seperti yang dapat dilihat dari simetri, segmen CSaya membedah persegi ABHJ menjadi dua bagian yang identik (karena segitiga ABC dan JHSaya sama dalam konstruksi). Menggunakan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam, kita melihat persamaan angka yang diarsir CAJSaya dan GDAB . Sekarang jelas bahwa luas gambar yang diarsir oleh kita sama dengan jumlah setengah luas persegi yang dibangun di atas kaki dan luas segitiga asli. Di sisi lain, itu sama dengan setengah luas persegi yang dibangun di sisi miring, ditambah luas segitiga aslinya. Langkah terakhir dalam pembuktian diserahkan kepada pembaca.

Buktikan dengan metode infinitesimal

Bukti berikut menggunakan persamaan diferensial sering dikaitkan dengan matematikawan Inggris terkenal Hardy, yang hidup pada paruh pertama abad ke-20.

Mengingat gambar yang ditunjukkan pada gambar dan mengamati perubahan sisi sebuah, kita dapat menulis hubungan berikut untuk penambahan sisi yang sangat kecil: dengan dan sebuah(menggunakan segitiga sebangun):

Buktikan dengan metode infinitesimal

Menggunakan metode pemisahan variabel, kami menemukan

Ekspresi yang lebih umum untuk mengubah sisi miring dalam kasus penambahan kedua kaki

Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan kondisi awal, kita memperoleh

c 2 = sebuah 2 + b 2 + konstan.

Dengan demikian, kami sampai pada jawaban yang diinginkan

c 2 = sebuah 2 + b 2 .

Sangat mudah untuk melihat bahwa ketergantungan kuadrat dalam rumus akhir muncul karena proporsionalitas linier antara sisi segitiga dan kenaikannya, sedangkan jumlah karena kontribusi independen dari kenaikan kaki yang berbeda.

Bukti yang lebih sederhana dapat diperoleh jika kita mengasumsikan bahwa salah satu kaki tidak mengalami kenaikan (dalam hal ini kaki b). Kemudian untuk konstanta integrasi kita dapatkan

Variasi dan Generalisasi

• Jika, alih-alih bujur sangkar, bangun-bangun serupa lainnya dibangun di atas kaki-kaki, maka generalisasi teorema Pythagoras berikut ini benar: Dalam segitiga siku-siku, jumlah luas bangun datar yang dibangun di atas kaki sama dengan luas bangun di sisi miring. Secara khusus:
  • Jumlah luas segitiga beraturan yang dibangun di atas kaki-kakinya sama dengan luas segitiga beraturan yang dibangun di atas sisi miring.
  • Jumlah luas setengah lingkaran yang dibangun di atas kaki (seperti pada diameter) sama dengan luas setengah lingkaran yang dibangun di sisi miring. Contoh ini digunakan untuk membuktikan sifat-sifat bangun datar yang dibatasi oleh busur dua lingkaran dan menyandang nama lunula hipokrates.

Cerita

Chu-pei 500-200 SM. Di sebelah kiri adalah tulisan: jumlah kuadrat dari panjang tinggi dan alas adalah kuadrat dari panjang sisi miring.

Buku Cina kuno Chu-pei berbicara tentang segitiga Pythagoras dengan sisi 3, 4 dan 5: Dalam buku yang sama, sebuah gambar diusulkan yang bertepatan dengan salah satu gambar geometri Hindu Baskhara.

Kantor (sejarawan matematika terbesar Jerman) percaya bahwa persamaan 3 ² + 4 ² = 5² sudah dikenal orang Mesir sekitar 2300 SM. e., pada masa Raja Amenemhet I (menurut papirus 6619 Museum Berlin). Menurut Cantor, harpedonapts, atau "stringer", membangun sudut siku-siku menggunakan segitiga siku-siku dengan sisi 3, 4 dan 5.

Sangat mudah untuk mereproduksi metode konstruksi mereka. Ambil seutas tali sepanjang 12 m dan ikat pada tali berwarna pada jarak 3 m. dari satu ujung dan 4 meter dari yang lain. Sebuah sudut siku-siku akan diapit oleh sisi-sisi yang panjangnya 3 dan 4 meter. Keluarga Harpedonapt mungkin keberatan karena metode konstruksi mereka menjadi berlebihan jika seseorang menggunakan, misalnya, kotak kayu yang digunakan oleh semua tukang kayu. Memang, gambar Mesir dikenal di mana alat seperti itu ditemukan, misalnya, gambar yang menggambarkan bengkel pertukangan.

Sedikit lebih banyak yang diketahui tentang teorema Pythagoras di antara orang Babilonia. Dalam satu teks yang berasal dari zaman Hammurabi, yaitu 2000 SM. e., perhitungan perkiraan sisi miring dari segitiga siku-siku diberikan. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa di Mesopotamia mereka dapat melakukan perhitungan dengan segitiga siku-siku, setidaknya dalam beberapa kasus. Berdasarkan, di satu sisi, pada tingkat pengetahuan saat ini tentang matematika Mesir dan Babilonia, dan di sisi lain, pada studi kritis sumber-sumber Yunani, Van der Waerden (seorang matematikawan Belanda) menyimpulkan sebagai berikut:

literatur

Dalam bahasa Rusia

• Skop Z.A. Miniatur geometris. M., 1990
• Yelensky Sh. Mengikuti jejak Pythagoras. M., 1961
• Van der Waerden B.L. Ilmu Kebangkitan. Matematika Mesir Kuno, Babel dan Yunani. M., 1959
• Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. M., 1982
• W. Litzman, "Teorema Pythagoras" M., 1960.
  • Sebuah situs tentang teorema Pythagoras dengan sejumlah besar bukti, materi diambil dari buku oleh W. Litzman, sejumlah besar gambar disajikan sebagai file grafik terpisah.
• Teorema Pythagoras dan bab tiga kali lipat Pythagoras dari buku oleh D. V. Anosov "Melihat matematika dan sesuatu darinya"
• Tentang teorema Pythagoras dan metode pembuktiannya G. Glaser, Akademisi Akademi Pendidikan Rusia, Moskow

Dalam Bahasa Inggris

• Teorema Pythagoras di WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, bagian teorema Pythagoras, sekitar 70 bukti dan informasi tambahan yang ekstensif (eng.)

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Menurut van der Waerden, sangat mungkin bahwa rasio dalam bentuk umum sudah dikenal di Babel sekitar abad ke-18 SM. e.

Sekitar 400 SM. e., menurut Proclus, Plato memberikan metode untuk menemukan tripel Pythagoras, menggabungkan aljabar dan geometri. Sekitar 300 SM e. dalam "Elemen" Euclid muncul bukti aksiomatik tertua dari teorema Pythagoras.

Susunan kata

Formulasi utama berisi operasi aljabar - dalam segitiga siku-siku, yang panjang kakinya sama a (\gaya tampilan a) dan b (\gaya tampilan b), dan panjang sisi miringnya adalah c (\gaya tampilan c), relasi terpenuhi:

.

Formulasi geometris yang setara juga dimungkinkan, dengan menggunakan konsep luas gambar: dalam segitiga siku-siku, luas bujur sangkar yang dibangun di sisi miring sama dengan jumlah luas bujur sangkar yang dibangun di atas kakinya. Dalam bentuk ini, teorema dirumuskan dalam Principia Euclid.

Teorema Pythagoras Terbalik- pernyataan tentang persegi panjang dari sembarang segitiga, yang panjang sisi-sisinya dihubungkan oleh relasi a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Akibatnya, untuk setiap rangkap tiga bilangan positif a (\gaya tampilan a), b (\gaya tampilan b) dan c (\gaya tampilan c), seperti yang a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), ada segitiga siku-siku dengan kaki a (\gaya tampilan a) dan b (\gaya tampilan b) dan sisi miring c (\gaya tampilan c).

Bukti dari

Setidaknya 400 bukti teorema Pythagoras telah dicatat dalam literatur ilmiah, yang dijelaskan baik oleh nilai fundamental untuk geometri dan oleh elementaritas hasilnya. Arah utama pembuktian adalah: penggunaan aljabar rasio elemen segitiga (seperti, misalnya, adalah metode kesamaan yang populer), metode area, ada juga berbagai bukti eksotik (misalnya, menggunakan persamaan diferensial).

Melalui segitiga sebangun

Pembuktian klasik Euclid bertujuan untuk menetapkan persamaan luas antara persegi panjang yang dibentuk dengan membedah persegi di atas sisi miring dengan tinggi dari sudut siku-siku dengan persegi di atas kakinya.

Konstruksi yang digunakan untuk pembuktian adalah sebagai berikut: untuk segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C (\gaya tampilan C), kotak di atas kaki dan dan kotak di atas sisi miring A B I K (\displaystyle ABIK) ketinggian sedang dibangun C H (\gaya tampilan CH) dan balok yang melanjutkannya s (\gaya tampilan s), membagi persegi di atas sisi miring menjadi dua persegi panjang dan . Pembuktian bertujuan untuk menetapkan persamaan luas persegi panjang A H J K (\displaystyle AHJK) dengan persegi di atas kaki A C (\gaya tampilan AC); persamaan luas persegi panjang kedua, yang merupakan persegi di atas sisi miring, dan persegi panjang di atas kaki lainnya dibuat dengan cara yang sama.

Persamaan luas persegi panjang A H J K (\displaystyle AHJK) dan A C E D (\displaystyle ACED) ditentukan melalui kongruensi segitiga A C K ​​​​(\displaystyle \triangle ACK) dan A B D (\displaystyle \triangle ABD), luas masing-masing sama dengan setengah luas persegi A H J K (\displaystyle AHJK) dan A C E D (\displaystyle ACED) masing-masing, sehubungan dengan properti berikut: luas segitiga sama dengan setengah luas persegi panjang jika angka-angka memiliki sisi yang sama, dan tinggi segitiga ke sisi yang sama adalah sisi lain dari persegi panjang. Kekongruenan segitiga mengikuti persamaan dua sisi (sisi persegi) dan sudut di antara mereka (terdiri dari sudut siku-siku dan sudut di A (\gaya tampilan A).

Jadi, buktinya menetapkan bahwa luas persegi di atas sisi miring, terdiri dari persegi panjang A H J K (\displaystyle AHJK) dan B H J I (\displaystyle BHJI), sama dengan jumlah luas persegi di atas kaki.

Bukti Leonardo da Vinci

Metode area juga mencakup bukti yang ditemukan oleh Leonardo da Vinci. Biarkan ada segitiga siku-siku A B C (\displaystyle \triangle ABC) sudut kanan C (\gaya tampilan C) dan persegi A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) dan A B H J (\displaystyle ABHJ)(Lihat gambar). Dalam bukti ini di samping H J (\gaya tampilan HJ) yang terakhir, sebuah segitiga dibangun ke luar, kongruen A B C (\displaystyle \triangle ABC), apalagi, tercermin baik relatif terhadap sisi miring dan relatif terhadap ketinggiannya (yaitu, J I = B C (\displaystyle JI=BC) dan HI = A C (\displaystyle HI=AC)). Lurus CI (\displaystyle CI) membagi bujur sangkar yang dibangun di sisi miring menjadi dua bagian yang sama, karena segitiga A B C (\displaystyle \triangle ABC) dan J H I (\displaystyle \triangle JHI) sama dalam konstruksi. Pembuktian menentukan kongruensi segi empat C A J I (\displaystyle CAJI) dan D A B G (\displaystyle DABG), luas masing-masing, di satu sisi, sama dengan jumlah setengah luas persegi pada kaki dan luas segitiga asli, di sisi lain, dengan setengah luas kuadrat pada sisi miring ditambah luas segitiga aslinya. Secara total, setengah jumlah luas bujur sangkar di atas kaki sama dengan setengah luas bujur sangkar di atas sisi miring, yang setara dengan rumusan geometris teorema Pythagoras.

Buktikan dengan metode infinitesimal

Ada beberapa pembuktian menggunakan teknik persamaan diferensial. Secara khusus, Hardy dikreditkan dengan bukti menggunakan peningkatan kaki yang sangat kecil a (\gaya tampilan a) dan b (\gaya tampilan b) dan sisi miring c (\gaya tampilan c), dan mempertahankan kesamaan dengan persegi panjang asli, yaitu, memastikan hubungan diferensial berikut:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Dengan metode pemisahan variabel, persamaan diferensial diturunkan dari mereka c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), yang integrasinya memberikan relasi c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Penerapan kondisi awal a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) mendefinisikan konstanta sebagai 0, yang menghasilkan penegasan teorema.

Ketergantungan kuadrat dalam rumus akhir muncul karena proporsionalitas linier antara sisi segitiga dan kenaikan, sedangkan jumlah karena kontribusi independen dari kenaikan kaki yang berbeda.

Variasi dan Generalisasi

Bentuk geometris serupa di tiga sisi

Generalisasi geometris penting dari teorema Pythagoras diberikan oleh Euclid di "Awal", bergerak dari area bujur sangkar di sisi ke area figur geometris serupa yang sewenang-wenang: jumlah area figur tersebut yang dibangun di atas kaki akan menjadi sama dengan luas sosok yang mirip dengan mereka, dibangun di atas sisi miring.

Gagasan utama dari generalisasi ini adalah bahwa luas sosok geometris semacam itu sebanding dengan kuadrat dari salah satu dimensi liniernya dan, khususnya, dengan kuadrat dari panjang sisi mana pun. Oleh karena itu, untuk bangun yang serupa dengan luas A (\gaya tampilan A), B (\gaya tampilan B) dan C (\gaya tampilan C) dibangun di atas kaki dengan panjang a (\gaya tampilan a) dan b (\gaya tampilan b) dan sisi miring c (\gaya tampilan c) dengan demikian, ada hubungan:

A a 2 = B b 2 = C c 2 A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Panah kanan \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Karena menurut teorema Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), maka selesai.

Selain itu, jika dimungkinkan untuk membuktikan tanpa menggunakan teorema Pythagoras bahwa untuk luas tiga bangun geometris yang serupa pada sisi-sisi segitiga siku-siku, hubungan A + B = C (\displaystyle A+B=C), kemudian menggunakan kebalikan dari bukti generalisasi Euclid, kita dapat memperoleh bukti teorema Pythagoras. Misalnya, jika pada sisi miring kita membuat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga awal dengan luas C (\gaya tampilan C), dan pada kaki - dua segitiga siku-siku yang serupa dengan luas A (\gaya tampilan A) dan B (\gaya tampilan B), kemudian ternyata segitiga pada kaki terbentuk sebagai hasil dari membagi segitiga awal dengan tingginya, yaitu jumlah dua area yang lebih kecil dari segitiga sama dengan luas yang ketiga, dengan demikian A + B = C (\displaystyle A+B=C) dan, menerapkan hubungan untuk angka-angka serupa, teorema Pythagoras diturunkan.

teorema kosinus

Teorema Pythagoras adalah kasus khusus dari teorema kosinus yang lebih umum yang menghubungkan panjang sisi dalam segitiga sembarang:

a 2 + b 2 2 a b cos = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

di mana sudut antara sisi a (\gaya tampilan a) dan b (\gaya tampilan b). Jika sudutnya 90°, maka cos = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), dan rumusnya disederhanakan menjadi teorema Pythagoras biasa.

Segitiga sewenang-wenang

Ada generalisasi teorema Pythagoras ke segitiga sewenang-wenang, beroperasi hanya pada rasio panjang sisi, diyakini bahwa itu pertama kali didirikan oleh astronom Sabian Sabit ibn Kurra. Di dalamnya, untuk segitiga sembarang dengan sisi, segitiga sama kaki segitiga dengan alas di sisi c (\gaya tampilan c), titik sudut yang bertepatan dengan titik sudut segitiga semula, berhadapan dengan sisinya c (\gaya tampilan c) dan sudut di alas sama dengan sudut (\displaystyle \theta ) sisi yang berlawanan c (\gaya tampilan c). Akibatnya, dua segitiga terbentuk, mirip dengan yang asli: yang pertama dengan sisi a (\gaya tampilan a), sisi lateral segitiga sama kaki tertulis jauh darinya, dan r (\gaya tampilan r)- bagian samping c (\gaya tampilan c); yang kedua simetris dari samping b (\gaya tampilan b) dengan pesta s (\gaya tampilan s)- bagian yang relevan dari sisi c (\gaya tampilan c). Akibatnya, hubungan terpenuhi:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

yang diturunkan menjadi teorema Pythagoras di = / 2 (\displaystyle \theta =\pi/2). Rasio adalah konsekuensi dari kesamaan segitiga yang terbentuk:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Panah kanan \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

teorema luas pappus

Geometri Non-Euclidean

Teorema Pythagoras diturunkan dari aksioma geometri Euclidean dan tidak valid untuk geometri non-Euclidean - pemenuhan teorema Pythagoras sama dengan postulat paralelisme Euclidean.

Dalam geometri non-Euclidean, hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku harus dalam bentuk yang berbeda dari teorema Pythagoras. Misalnya, dalam geometri bola, ketiga sisi segitiga siku-siku, yang mengikat oktan dari satuan bola, memiliki panjang / 2 (\displaystyle \pi/2), yang bertentangan dengan teorema Pythagoras.

Selain itu, teorema Pythagoras berlaku dalam geometri hiperbolik dan elips, jika persyaratan segitiga adalah persegi panjang diganti dengan kondisi jumlah dua sudut segitiga harus sama dengan yang ketiga.

geometri bola

Untuk setiap segitiga siku-siku pada bola dengan jari-jari R (\gaya tampilan R)(misalnya, jika sudut dalam segitiga siku-siku) dengan sisi a , b , c (\gaya tampilan a,b,c) hubungan antara sisi-sisinya adalah:

cos (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\kanan)\cdot \cos \kiri((\frac (b)(R))\kanan)).

Persamaan ini dapat diturunkan sebagai kasus khusus dari teorema kosinus bola, yang berlaku untuk semua segitiga bola:

cos (c R) = cos ⁡ (a R) cos (b R) + sin (a R) sin ⁡ (b R) cos (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch c = ch a ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

di mana ch (\displaystyle \namaoperator (ch) )- hiperbolik-cosinus. Rumus ini adalah kasus khusus dari teorema kosinus hiperbolik, yang berlaku untuk semua segitiga:

ch c = ch a ⋅ ch ⁡ b − sh a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \nama operator (sh) b\cdot \cos \gamma ),

di mana (\displaystyle \gamma )- sudut yang titik sudutnya berhadapan dengan sisi c (\gaya tampilan c).

Menggunakan deret Taylor untuk kosinus hiperbolik ( ch x 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\approx 1+x^(2)/2)) dapat ditunjukkan bahwa jika segitiga hiperbolik berkurang (yaitu, ketika a (\gaya tampilan a), b (\gaya tampilan b) dan c (\gaya tampilan c) cenderung nol), maka hubungan hiperbolik pada segitiga siku-siku mendekati hubungan teorema Pythagoras klasik.

Aplikasi

Jarak dalam sistem persegi dua dimensi

Aplikasi yang paling penting dari teorema Pythagoras adalah penentuan jarak antara dua titik dalam sistem persegi panjang, koordinat: jarak s (\gaya tampilan s) antara titik dengan koordinat (a , b) (\gaya tampilan (a,b)) dan (c , d) (\gaya tampilan (c,d)) sama dengan:

s = (a c) 2 + (b d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Untuk bilangan kompleks, teorema Pythagoras memberikan rumus alami untuk menemukan modulus kompleks bilangan - untuk z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) sama dengan panjang