1. Fungsi pecahan linier dan grafiknya

Fungsi berbentuk y = P(x) / Q(x), di mana P(x) dan Q(x) adalah polinomial, disebut fungsi rasional pecahan.

Anda mungkin sudah familiar dengan konsep bilangan rasional. Demikian pula fungsi rasional adalah fungsi yang dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi dua polinomial.

Jika fungsi rasional pecahan adalah hasil bagi dua fungsi linier - polinomial tingkat pertama, mis. fungsi tampilan

y = (ax + b) / (cx + d), maka disebut linear fraksional.

Perhatikan bahwa dalam fungsi y = (ax + b) / (cx + d), c 0 (jika tidak, fungsi menjadi linier y = ax/d + b/d) dan bahwa a/c b/d (jika tidak, fungsi adalah konstanta). Fungsi linear-fraksional didefinisikan untuk semua bilangan real, kecuali untuk x = -d/c. Grafik fungsi linear-fraksional tidak berbeda bentuknya dengan grafik yang diketahui y = 1/x. Kurva yang merupakan grafik fungsi y = 1/x disebut hiperbola. Dengan peningkatan nilai absolut x yang tidak terbatas, fungsi y = 1/x menurun tanpa batas dalam nilai absolut dan kedua cabang grafik mendekati sumbu absis: yang kanan mendekat dari atas, dan yang kiri mendekat dari bawah. Garis-garis yang didekati oleh cabang-cabang hiperbola disebut garis asimtot.

Contoh 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Keputusan.

Mari kita pilih bagian bilangan bulat: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Sekarang mudah untuk melihat bahwa grafik fungsi ini diperoleh dari grafik fungsi y = 1/x dengan transformasi berikut: bergeser sebanyak 3 unit segmen ke kanan, regangkan sepanjang sumbu Oy sebanyak 7 kali dan geser sebanyak 2 unit segmen ke atas.

Setiap pecahan y = (ax + b) / (cx + d) dapat ditulis dengan cara yang sama, dengan menyorot "seluruh bagian". Akibatnya, grafik semua fungsi fraksional linier adalah hiperbola yang digeser sepanjang sumbu koordinat dengan berbagai cara dan diregangkan sepanjang sumbu Oy.

Untuk memplot grafik beberapa fungsi fraksional linier arbitrer, sama sekali tidak perlu mentransformasikan pecahan yang mendefinisikan fungsi ini. Karena kita tahu bahwa grafiknya adalah hiperbola, cukup untuk menemukan garis yang didekati cabang-cabangnya - hiperbola asimtot x = -d/c dan y = a/c.

Contoh 2

Tentukan asimtot dari grafik fungsi y = (3x + 5)/(2x + 2).

Keputusan.

Fungsi tidak terdefinisi, ketika x = -1. Oleh karena itu, garis x = -1 berfungsi sebagai asimtot vertikal. Untuk menemukan asimtot horizontal, mari kita cari tahu apa yang mendekati nilai fungsi y(x) ketika argumen x meningkat dalam nilai absolut.

Untuk melakukan ini, kita membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Karena x → pecahannya cenderung 3/2. Jadi, asimtot horizontalnya adalah garis lurus y = 3/2.

Contoh 3

Gambarkan fungsi y = (2x + 1)/(x + 1).

Keputusan.

Kami memilih "seluruh bagian" dari pecahan:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Sekarang mudah untuk melihat bahwa grafik fungsi ini diperoleh dari grafik fungsi y = 1/x dengan transformasi berikut: pergeseran 1 unit ke kiri, tampilan simetris terhadap Ox, dan pergeseran dari 2 unit interval di sepanjang sumbu Oy.

Domain definisi D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rentang nilai E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Titik potong dengan sumbu: c Oy: (0; 1); c Lembu: (-1/2; 0). Fungsi meningkat pada setiap interval domain definisi.

Jawaban: gambar 1.

2. Fungsi pecahan-rasional

Pertimbangkan fungsi rasional pecahan dari bentuk y = P(x) / Q(x), di mana P(x) dan Q(x) adalah polinomial dengan derajat lebih tinggi dari yang pertama.

Contoh fungsi rasional tersebut:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) atau y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Jika fungsi y = P(x) / Q(x) adalah hasil bagi dua polinomial yang derajatnya lebih tinggi dari yang pertama, maka grafiknya biasanya akan lebih rumit, dan terkadang sulit untuk membangunnya dengan tepat. , dengan semua detailnya. Namun, seringkali cukup untuk menerapkan teknik yang serupa dengan yang telah kita temui di atas.

Biarkan pecahannya tepat (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Jelas, grafik fungsi rasional pecahan dapat diperoleh sebagai jumlah grafik pecahan elementer.

Merencanakan fungsi rasional pecahan

Pertimbangkan beberapa cara untuk memplot fungsi pecahan-rasional.

Contoh 4

Gambarkan fungsi y = 1/x 2 .

Keputusan.

Kami menggunakan grafik fungsi y \u003d x 2 untuk memplot grafik y \u003d 1 / x 2 dan menggunakan metode "membagi" grafik.

Domain D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rentang nilai E(y) = (0; +∞).

Tidak ada titik potong dengan sumbu. Fungsinya genap. Meningkat untuk semua x dari interval (-∞; 0), menurun untuk x dari 0 ke +∞.

Jawaban: gambar 2.

Contoh 5

Plotkan fungsi y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Keputusan.

Domain D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Di sini kami menggunakan teknik pemfaktoran, reduksi, dan reduksi ke fungsi linier.

Jawaban: gambar 3.

Contoh 6

Plot fungsi y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Keputusan.

Domain definisi adalah D(y) = R. Karena fungsinya genap, grafiknya simetris terhadap sumbu y. Sebelum memplot, kita kembali mengubah ekspresi dengan menyorot bagian integer:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Perhatikan bahwa pemilihan bagian bilangan bulat dalam rumus fungsi pecahan-rasional adalah salah satu yang utama ketika merencanakan grafik.

Jika x → ±∞, maka y → 1, yaitu, garis y = 1 adalah asimtot mendatar.

Jawaban: gambar 4.

Contoh 7

Pertimbangkan fungsi y = x/(x 2 + 1) dan coba temukan dengan tepat nilai terbesarnya, mis. titik tertinggi di bagian kanan grafik. Untuk membuat grafik ini secara akurat, pengetahuan hari ini tidak cukup. Jelas bahwa kurva kita tidak dapat "memanjat" sangat tinggi, karena penyebut dengan cepat mulai "menyalip" pembilang. Mari kita lihat apakah nilai fungsinya bisa sama dengan 1. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan persamaan x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Persamaan ini tidak memiliki akar real. Jadi asumsi kami salah. Untuk menemukan nilai terbesar dari fungsi, Anda perlu mencari A terbesar yang persamaan A \u003d x / (x 2 + 1) akan memiliki solusi. Mari kita ganti persamaan asli dengan persamaan kuadrat: Ax 2 - x + A \u003d 0. Persamaan ini memiliki solusi ketika 1 - 4A 2 0. Dari sini kita menemukan nilai terbesar A \u003d 1/2.

Jawaban: Gambar 5, maks y(x) = .

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara membuat grafik fungsi?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Membangun fungsi

Kami memberi perhatian Anda layanan untuk merencanakan grafik fungsi online, semua hak milik perusahaan Desmos. Gunakan kolom kiri untuk memasukkan fungsi. Anda dapat masuk secara manual atau menggunakan keyboard virtual di bagian bawah jendela. Untuk memperbesar jendela bagan, Anda dapat menyembunyikan kolom kiri dan keyboard virtual.

Manfaat charting online

• Tampilan visual dari fungsi yang diperkenalkan
• Membangun grafik yang sangat kompleks
• Memplot grafik yang didefinisikan secara implisit (misalnya elips x^2/9+y^2/16=1)
• Kemampuan untuk menyimpan grafik dan mendapatkan tautan ke sana, yang tersedia untuk semua orang di Internet
• Kontrol skala, warna garis
• Kemampuan untuk memplot grafik berdasarkan titik, penggunaan konstanta
• Konstruksi beberapa grafik fungsi secara bersamaan
• Plotting dalam koordinat kutub (gunakan r dan (\theta))

Bersama kami, mudah untuk membuat grafik dengan berbagai kompleksitas secara online. Konstruksi dilakukan secara instan. Layanan ini dibutuhkan untuk menemukan titik persimpangan fungsi, untuk menampilkan grafik untuk transfer lebih lanjut ke dokumen Word sebagai ilustrasi untuk memecahkan masalah, untuk menganalisis fitur perilaku grafik fungsi. Peramban terbaik untuk bekerja dengan grafik di halaman situs ini adalah Google Chrome. Saat menggunakan browser lain, operasi yang benar tidak dijamin.

Setelah Anda benar-benar memahami apa itu fungsi (Anda mungkin harus membaca pelajaran lebih dari sekali), Anda akan dapat menyelesaikan masalah dengan fungsi dengan lebih percaya diri.

Dalam pelajaran ini, kita akan menganalisis bagaimana memecahkan jenis utama masalah fungsi dan grafik fungsi.

Cara mendapatkan nilai fungsi

Mari kita pertimbangkan tugasnya. Fungsi diberikan oleh rumus " y \u003d 2x - 1"

1. Hitung " y"Kapan" x \u003d 15 "
2. Temukan nilai " x", Di mana nilai " y "sama dengan" 19 ".

Untuk menghitung " y"Dengan" x \u003d 15"Cukup untuk mengganti nilai numerik yang diperlukan ke dalam fungsi alih-alih" x".

Entri solusi terlihat seperti ini:

y(15) = 2 15 - 1 = 30 - 1 = 29

Untuk menemukan " x"Menurut yang diketahui" y", Perlu untuk mengganti nilai numerik alih-alih" y "dalam rumus fungsi.

Yaitu, sekarang, sebaliknya, untuk mencari " x"Kami mengganti fungsi" y \u003d 2x - 1 "Alih-alih" y ", angkanya" 19".

19 = 2x 1

Kami telah memperoleh persamaan linier dengan "x" yang tidak diketahui, yang diselesaikan sesuai dengan aturan untuk menyelesaikan persamaan linier.

Ingat!

Jangan lupa tentang aturan transfer dalam persamaan.

Saat mentransfer dari sisi kiri persamaan ke kanan (dan sebaliknya), huruf atau angka berubah tanda menjadi di depan.

19 = 2x 1
0 = 2x 1 + 19
-2x = -1 + 19
2x = 18

Seperti memecahkan persamaan linier, untuk menemukan yang tidak diketahui, sekarang kita perlu mengalikan kedua sisi kiri dan kanan ke "−1" untuk mengubah tanda.

-2x = 18 | (−1)
2x = 18

Sekarang mari kita bagi kedua sisi kiri dan kanan dengan "2" untuk menemukan "x".

2x = 18 | (:2)
x=9

Bagaimana cara memeriksa apakah persamaan benar untuk suatu fungsi

Mari kita pertimbangkan tugasnya. Fungsi tersebut diberikan oleh rumus "f(x) = 2 5x".

Apakah persamaan "f(−2) = 18" benar?

Untuk memeriksa apakah persamaan itu benar, Anda perlu mengganti nilai numerik “x = 2" ke dalam fungsi " f (x) \u003d 2 - 5x"Dan bandingkan dengan apa yang terjadi dalam perhitungan.

Penting!

Saat Anda mengganti angka negatif untuk "x", pastikan untuk memasukkannya ke dalam tanda kurung.

Tidak benar

Benar

Dengan bantuan perhitungan, kami mendapatkan "f(−2) = 12".

Ini berarti bahwa "f(−2) = 18" untuk fungsi "f(x) = 2 5x" bukan persamaan yang valid.

Bagaimana cara memeriksa apakah suatu titik termasuk dalam grafik suatu fungsi?

Pertimbangkan fungsi " y \u003d x 2 5x + 6"

Diperlukan untuk mengetahui apakah titik dengan koordinat (1; 2) termasuk dalam grafik fungsi ini.

Untuk tugas ini, tidak perlu memplot fungsi yang diberikan.

Ingat!

Untuk menentukan apakah suatu titik termasuk dalam suatu fungsi, cukup dengan mensubstitusikan koordinatnya ke dalam fungsi (koordinat sepanjang sumbu " Ox" Alih-alih " x"Dan koordinat sepanjang sumbu" Oy "Alih-alih" y ").

Jika ini berhasil kesetaraan sejati, jadi titik tersebut termasuk dalam fungsi.

Mari kembali ke tugas kita. Substitusikan ke dalam fungsi "y \u003d x 2 - 5x + 6" koordinat titik (1; 2).

Alih-alih " x"Kami mengganti" 1". Alih-alih " y"Pengganti" 2".

2 = 1 2 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (benar)

Kami telah memperoleh kesetaraan yang benar, yang berarti bahwa titik dengan koordinat (1; 2) termasuk dalam fungsi yang diberikan.

Sekarang mari kita periksa titik dengan koordinat (0; 1) . Apakah dia milik?
fungsi "y \u003d x 2 - 5x + 6"?

Alih-alih "x", mari kita gantikan "0". Alih-alih " y"Pengganti" 1».

1 = 0 2 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (salah)

Dalam hal ini, kami tidak mendapatkan kesetaraan yang benar. Ini berarti bahwa titik dengan koordinat (0; 1) tidak termasuk dalam fungsi " y \u003d x 2 - 5x + 6 "

Cara mendapatkan koordinat titik fungsi

Dari grafik fungsi apa pun, Anda dapat mengambil koordinat suatu titik. Maka Anda perlu memastikan bahwa ketika mengganti koordinat dalam rumus fungsi, persamaan yang benar diperoleh.

Pertimbangkan fungsi "y(x) = 2x + 1". Kami telah membangun jadwalnya di pelajaran sebelumnya.

Mari kita temukan pada grafik fungsi " y (x) \u003d -2x + 1", yang sama dengan" y"Untuk x \u003d 2.

Untuk melakukan ini, dari nilai " 2"Pada sumbu" Sapi", Gambarlah tegak lurus dengan grafik fungsi. Dari titik perpotongan garis tegak lurus dan grafik fungsi, gambar tegak lurus lainnya terhadap sumbu "Oy".

Nilai yang dihasilkan " 3"Pada sumbu" Oy"Dan akan menjadi nilai yang diinginkan" y».

Mari kita pastikan bahwa kita mengambil koordinat titik dengan benar untuk x = 2
dalam fungsi "y(x) = 2x + 1".

Untuk melakukan ini, kami mengganti x \u003d 2 ke dalam rumus fungsi "y (x) \u003d -2x + 1". Jika kita menggambar tegak lurus dengan benar, kita juga harus mendapatkan y = 3 .

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

Saat menghitung, kami juga mendapatkan y = 3.

Ini berarti bahwa kami menerima koordinat dengan benar dari grafik fungsi.

Penting!

Pastikan untuk memeriksa semua koordinat titik dari grafik fungsi dengan memasukkan nilai "x" ke dalam fungsi.

Saat mengganti nilai numerik "x"Ke dalam fungsi, hasilnya harus sama dengan nilai" y", yang Anda dapatkan pada grafik.

Saat mendapatkan koordinat titik dari grafik fungsi, kemungkinan besar Anda akan melakukan kesalahan, karena menggambar tegak lurus terhadap sumbu dilakukan "dengan mata".

Hanya mengganti nilai ke dalam rumus fungsi yang memberikan hasil yang akurat.

Pengetahuan fungsi dasar dasar, sifat dan grafiknya tidak kalah pentingnya dengan mengetahui tabel perkalian. Mereka seperti sebuah yayasan, semuanya didasarkan pada mereka, semuanya dibangun dari mereka, dan semuanya bermuara pada mereka.

Dalam artikel ini, kami mencantumkan semua fungsi dasar utama, memberikan grafiknya dan memberikannya tanpa turunan dan bukti. sifat-sifat fungsi dasar dasar sesuai skema:

• perilaku fungsi pada batas domain definisi, asimtot vertikal (jika perlu, lihat artikel klasifikasi titik putus fungsi);
• genap dan ganjil;
• interval konveksitas (cembung ke atas) dan kecembungan (cembung ke bawah), titik belok (jika perlu, lihat artikel fungsi cembung, arah cembung, titik belok, kondisi cembung dan belok);
• asimtot miring dan horizontal;
• titik fungsi tunggal;
• sifat khusus dari beberapa fungsi (misalnya, periode positif terkecil untuk fungsi trigonometri).

Jika Anda tertarik atau, maka Anda dapat pergi ke bagian teori ini.

Fungsi dasar dasar adalah: fungsi konstanta (konstanta), akar derajat ke-n, fungsi pangkat, eksponensial, fungsi logaritma, trigonometri dan fungsi trigonometri terbalik.

Navigasi halaman.

Fungsi permanen.

Sebuah fungsi konstan diberikan pada himpunan semua bilangan real dengan rumus , di mana C adalah beberapa bilangan real. Fungsi konstanta menetapkan untuk setiap nilai riil variabel bebas x nilai yang sama dari variabel terikat y - nilai . Fungsi konstan disebut juga konstanta.

Grafik fungsi konstanta adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu x dan melalui suatu titik yang koordinatnya (0,C) . Sebagai contoh, mari kita tunjukkan grafik fungsi konstanta y=5 , y=-2 dan , yang masing-masing sesuai dengan garis hitam, merah dan biru pada gambar di bawah.

Sifat-sifat fungsi konstan.

• Domain definisi: seluruh himpunan bilangan real.
• Fungsi konstan adalah genap.
• Rentang nilai: set yang terdiri dari satu angka C .
• Fungsi konstan tidak bertambah dan tidak berkurang (itu sebabnya konstan).
• Tidak masuk akal untuk berbicara tentang kecembungan dan kecekungan konstanta.
• Tidak ada asimtot.
• Fungsi melewati titik (0,C) dari bidang koordinat.

Akar derajat ke-n.

Pertimbangkan fungsi dasar dasar, yang diberikan oleh rumus , di mana n adalah bilangan asli lebih besar dari satu.

Akar derajat ke-n, n adalah bilangan genap.

Mari kita mulai dengan fungsi root ke-n untuk nilai genap dari eksponen root n .

Misalnya, kami memberikan gambar dengan gambar grafik fungsi dan , mereka sesuai dengan garis hitam, merah dan biru.

Grafik fungsi akar derajat genap memiliki bentuk yang serupa untuk nilai indikator lainnya.

Sifat-sifat akar derajat ke-n genap n .

Akar derajat ke-n, n adalah bilangan ganjil.

Fungsi akar derajat ke-n dengan pangkat ganjil dari akar n didefinisikan pada seluruh himpunan bilangan real. Sebagai contoh, kami menyajikan grafik fungsi dan , kurva hitam, merah, dan biru sesuai dengan mereka.

Untuk nilai ganjil eksponen akar lainnya, grafik fungsi akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat-sifat akar derajat ke-n untuk n ganjil.

Fungsi daya.

Fungsi daya diberikan oleh rumus bentuk .

Pertimbangkan jenis grafik fungsi daya dan sifat-sifat fungsi daya tergantung pada nilai eksponen.

Mari kita mulai dengan fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat a . Dalam hal ini, bentuk grafik fungsi pangkat dan sifat-sifat fungsi bergantung pada eksponen genap atau ganjil, serta pada tandanya. Oleh karena itu, pertama-tama kami mempertimbangkan fungsi pangkat untuk nilai positif ganjil dari eksponen a , kemudian untuk positif genap, kemudian untuk eksponen negatif ganjil, dan akhirnya, untuk genap negatif a .

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan pangkat pecahan dan irasional (serta jenis grafik fungsi pangkat tersebut) bergantung pada nilai pangkat a. Kami akan mempertimbangkannya, pertama, ketika a dari nol ke satu, kedua, ketika a lebih besar dari satu, ketiga, ketika a dari minus satu ke nol, dan keempat, ketika a kurang dari minus satu.

Sebagai kesimpulan dari subbagian ini, demi kelengkapan, kami menggambarkan fungsi pangkat dengan eksponen nol.

Fungsi daya dengan eksponen positif ganjil.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen positif ganjil, yaitu dengan a=1,3,5,… .

Gambar di bawah menunjukkan grafik fungsi daya - garis hitam, - garis biru, - garis merah, - garis hijau. Untuk a = 1 kita memiliki fungsi linear y=x .

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen positif ganjil.

Fungsi daya bahkan dengan eksponen positif.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen positif genap, yaitu untuk a=2,4,6,… .

Sebagai contoh, mari kita ambil grafik fungsi daya - garis hitam, - garis biru, - garis merah. Untuk a=2 kita memiliki fungsi kuadrat yang grafiknya adalah parabola kuadrat.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen genap positif.

Fungsi daya dengan eksponen negatif ganjil.

Lihatlah grafik fungsi eksponensial untuk nilai negatif ganjil dari eksponen, yaitu untuk a \u003d -1, -3, -5, ....

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi eksponensial sebagai contoh - garis hitam, - garis biru, - garis merah, - garis hijau. Untuk a = -1 kita memiliki proporsionalitas terbalik, yang grafiknya adalah hiperbola.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen negatif ganjil.

Fungsi daya dengan eksponen negatif genap.

Mari kita beralih ke fungsi daya di a=-2,-4,-6,….

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi daya - garis hitam, - garis biru, - garis merah.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan pangkat genap negatif.

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional yang nilainya lebih besar dari nol dan kurang dari satu.

Catatan! Jika a adalah pecahan positif dengan penyebut ganjil, maka beberapa penulis menganggap interval sebagai domain dari fungsi pangkat. Pada saat yang sama, dinyatakan bahwa eksponen a adalah pecahan yang tidak dapat direduksi. Sekarang penulis banyak buku teks tentang aljabar dan awal analisis JANGAN MENDEFINISIKAN fungsi pangkat dengan eksponen dalam bentuk pecahan dengan penyebut ganjil untuk nilai negatif dari argumen. Kami akan mematuhi pandangan seperti itu, yaitu, kami akan mempertimbangkan domain fungsi pangkat dengan eksponen positif fraksional sebagai himpunan . Kami mendorong siswa untuk mendapatkan perspektif guru Anda tentang poin halus ini untuk menghindari perselisihan.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional a , dan .

Kami menyajikan grafik fungsi daya untuk a=11/12 (garis hitam), a=5/7 (garis merah), (garis biru), a=2/5 (garis hijau).

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional bukan bilangan bulat lebih besar dari satu.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional non-bilangan bulat a , dan .

Mari kita sajikan grafik fungsi pangkat yang diberikan oleh rumus (garis hitam, merah, biru dan hijau masing-masing).

>

Untuk nilai eksponen a lainnya, grafik fungsi akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat fungsi daya untuk .

Fungsi pangkat dengan eksponen nyata yang lebih besar dari minus satu dan kurang dari nol.

Catatan! Jika a adalah pecahan negatif dengan penyebut ganjil, maka beberapa penulis mempertimbangkan intervalnya . Pada saat yang sama, dinyatakan bahwa eksponen a adalah pecahan yang tidak dapat direduksi. Sekarang penulis banyak buku teks tentang aljabar dan awal analisis JANGAN MENDEFINISIKAN fungsi pangkat dengan eksponen dalam bentuk pecahan dengan penyebut ganjil untuk nilai negatif dari argumen. Kami akan mematuhi pandangan seperti itu, yaitu, kami akan mempertimbangkan domain fungsi pangkat dengan eksponen negatif pecahan sebagai himpunan, masing-masing. Kami mendorong siswa untuk mendapatkan perspektif guru Anda tentang poin halus ini untuk menghindari perselisihan.

Kami lolos ke fungsi daya , di mana .

Untuk mengetahui jenis grafik fungsi pangkat, kami memberikan contoh grafik fungsi (kurva hitam, merah, biru, dan hijau, masing-masing).

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen a , .

Fungsi pangkat dengan eksponen real non-bilangan bulat yang kurang dari minus satu.

Mari kita berikan contoh grafik fungsi daya untuk , masing-masing digambarkan dalam garis hitam, merah, biru, dan hijau.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen negatif bukan bilangan bulat kurang dari minus satu.

Ketika a=0 dan kami memiliki fungsi - ini adalah garis lurus dari mana titik (0; 1) dikecualikan (pernyataan 0 0 disepakati untuk tidak mementingkan apapun).

Fungsi eksponensial.

Salah satu fungsi dasar dasar adalah fungsi eksponensial.

Grafik fungsi eksponensial, di mana dan mengambil bentuk yang berbeda tergantung pada nilai basis a. Mari kita cari tahu.

Pertama, pertimbangkan kasus ketika basis fungsi eksponensial mengambil nilai dari nol hingga satu, yaitu .

Misalnya, kami menyajikan grafik fungsi eksponensial untuk a = 1/2 - garis biru, a = 5/6 - garis merah. Grafik fungsi eksponensial memiliki penampilan yang serupa untuk nilai-nilai basis lainnya dari interval .

Sifat-sifat fungsi eksponensial dengan basis kurang dari satu.

Kami beralih ke kasus ketika basis fungsi eksponensial lebih besar dari satu, yaitu .

Sebagai ilustrasi, kami menyajikan grafik fungsi eksponensial - garis biru dan - garis merah. Untuk nilai-nilai basis lainnya, lebih besar dari satu, grafik fungsi eksponensial akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat-sifat fungsi eksponensial dengan basis lebih dari satu.

fungsi logaritma.

Fungsi dasar dasar berikutnya adalah fungsi logaritma , Dimana , . Fungsi logaritma didefinisikan hanya untuk nilai positif dari argumen, yaitu untuk .

Grafik fungsi logaritma mengambil bentuk yang berbeda tergantung pada nilai basis a.

Mari kita mulai dengan kasus ketika .

Misalnya, kami menyajikan grafik fungsi logaritmik untuk a = 1/2 - garis biru, a = 5/6 - garis merah. Untuk nilai-nilai basis lainnya, tidak lebih dari satu, grafik fungsi logaritmik akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat-sifat fungsi logaritma dengan basis kurang dari satu.

Mari kita beralih ke kasus ketika basis fungsi logaritma lebih besar dari satu ().

Mari kita tunjukkan grafik fungsi logaritma - garis biru, - garis merah. Untuk nilai basis lainnya, lebih besar dari satu, grafik fungsi logaritmik akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat-sifat fungsi logaritma dengan basis lebih dari satu.

Fungsi trigonometri, sifat dan grafiknya.

Semua fungsi trigonometri (sinus, kosinus, tangen, dan kotangen) adalah fungsi dasar dasar. Sekarang kita akan mempertimbangkan grafiknya dan mendaftar propertinya.

Fungsi trigonometri memiliki konsep periodisitas(pengulangan nilai fungsi untuk nilai argumen yang berbeda yang berbeda satu sama lain dengan nilai periode , di mana T adalah periode), oleh karena itu, item telah ditambahkan ke daftar properti fungsi trigonometri "periode positif terkecil". Juga, untuk setiap fungsi trigonometri, kami akan menunjukkan nilai argumen di mana fungsi yang sesuai menghilang.

Sekarang mari kita berurusan dengan semua fungsi trigonometri secara berurutan.

Fungsi sinus y = sin(x) .

Mari kita menggambar grafik fungsi sinus, itu disebut "sinusoid".

Sifat-sifat fungsi sinus y = sinx .

Fungsi kosinus y = cos(x) .

Grafik fungsi cosinus (disebut "cosinus") terlihat seperti ini:

Sifat fungsi cosinus y = cosx .

Fungsi tangen y = tg(x) .

Grafik fungsi tangen (disebut "tangentoid") terlihat seperti:

Sifat fungsi tangen y = tgx .

Fungsi kotangen y = ctg(x) .

Mari kita menggambar grafik fungsi kotangen (disebut "cotangentoid"):

Sifat fungsi kotangen y = ctgx .

Fungsi trigonometri terbalik, sifat dan grafiknya.

Fungsi trigonometri terbalik (arsinus, arkosin, arktangen, dan arkotangen) adalah fungsi dasar dasar. Seringkali, karena awalan "busur", fungsi trigonometri terbalik disebut fungsi busur. Sekarang kita akan mempertimbangkan grafiknya dan mendaftar propertinya.

Fungsi arcsinus y = arcsin(x) .

Mari kita plot fungsi arcsine:

Sifat fungsi arccotangent y = arcctg(x) .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Aljabar dan Awal Analisis: Proc. untuk 10-11 sel. institusi pendidikan.
• Vygodsky M.Ya. Buku pegangan matematika dasar.
• Novoselov S.I. Aljabar dan fungsi dasar.
• Tumanov S.I. Aljabar Dasar. Panduan untuk pendidikan mandiri.

Mari kita lihat bagaimana menjelajahi suatu fungsi menggunakan grafik. Ternyata dengan melihat grafik tersebut, Anda dapat mengetahui segala sesuatu yang menarik bagi kita, yaitu:

• lingkup fungsi
• rentang fungsi
• fungsi nol
• periode kenaikan dan penurunan
• poin tinggi dan rendah
• nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada segmen tersebut.

Mari kita perjelas terminologinya:

Absis adalah koordinat horizontal titik tersebut.
Ordinat- koordinat vertikal.
absis- sumbu horizontal, paling sering disebut sumbu.
sumbu Y- sumbu vertikal, atau sumbu.

Argumen adalah variabel bebas yang nilai fungsinya bergantung. Paling sering ditunjukkan.
Dengan kata lain, kita sendiri yang memilih , substitusikan ke dalam rumus fungsi dan dapatkan .

Domain fungsi - himpunan nilai-nilai (dan hanya itu) dari argumen yang fungsi itu ada.
Dilambangkan: atau .

Dalam gambar kami, domain fungsi adalah segmen. Pada segmen inilah grafik fungsi digambar. Hanya di sini fungsi ini ada.

Rentang fungsi: adalah kumpulan nilai yang diambil variabel. Dalam gambar kami, ini adalah segmen - dari nilai terendah hingga tertinggi.

fungsi nol- titik di mana nilai fungsi sama dengan nol, yaitu . Dalam gambar kami, ini adalah poin dan .

Nilai fungsi positif di mana . Dalam gambar kami, ini adalah interval dan .
Nilai fungsi negatif di mana . Kami memiliki interval ini (atau interval) dari ke.

Konsep yang paling penting - fungsi naik dan turun pada beberapa set. Sebagai satu set, Anda dapat mengambil segmen, interval, gabungan interval, atau seluruh garis bilangan.

Fungsi meningkat

Dengan kata lain, semakin , semakin , yaitu grafik pergi ke kanan dan ke atas.

Fungsi menurun di set jika untuk setiap dan milik set ketidaksetaraan menyiratkan ketidaksetaraan .

Untuk fungsi menurun, nilai yang lebih besar sesuai dengan nilai yang lebih kecil. Grafik berjalan ke kanan dan ke bawah.

Dalam gambar kami, fungsi meningkat pada interval dan menurun pada interval dan .

Mari kita definisikan apa itu titik maksimum dan minimum dari fungsi.

Poin maksimum- ini adalah titik internal dari domain definisi, sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih besar daripada di semua titik yang cukup dekat dengannya.
Dengan kata lain, titik maksimum adalah titik tersebut, nilai fungsi di mana lagi daripada di tetangga. Ini adalah "bukit" lokal pada grafik.

Dalam gambar kami - titik maksimum.

Poin rendah- titik internal domain definisi, sehingga nilai fungsi di dalamnya kurang dari di semua titik yang cukup dekat dengannya.
Artinya, titik minimum sedemikian rupa sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih kecil daripada di yang bertetangga. Pada grafik, ini adalah "lubang" lokal.

Dalam gambar kami - titik minimum.

Intinya adalah batas. Ini bukan titik interior dari domain definisi dan karena itu tidak sesuai dengan definisi titik maksimum. Lagi pula, dia tidak memiliki tetangga di sebelah kiri. Dengan cara yang sama, tidak ada titik minimum pada grafik kita.

Poin maksimum dan minimum secara kolektif disebut titik ekstrem dari fungsi. Dalam kasus kami, ini adalah dan .

Tetapi bagaimana jika Anda perlu mencari, misalnya, fungsi minimum di potong? Dalam hal ini, jawabannya adalah: karena fungsi minimum adalah nilainya pada titik minimum.

Demikian pula, maksimum fungsi kami adalah . Hal ini tercapai pada titik .

Kita dapat mengatakan bahwa ekstrem dari fungsi tersebut sama dengan dan .

Terkadang dalam tugas Anda perlu menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada segmen tertentu. Mereka tidak selalu bertepatan dengan ekstrem.

Dalam kasus kami nilai fungsi terkecil pada interval sama dengan dan bertepatan dengan fungsi minimum. Namun nilai terbesarnya pada segmen ini sama dengan . Itu dicapai di ujung kiri segmen.

Bagaimanapun, nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu pada suatu segmen dicapai baik pada titik ekstrem atau di ujung segmen.