Mempelajari literatur tambahan tentang pemecahan sistem persamaan, saya bertemu dengan jenis sistem baru - simetris. Dan saya menetapkan tujuan untuk diri saya sendiri:

Meringkas informasi ilmiah tentang topik "Sistem Persamaan".

Memahami dan mempelajari cara memecahkan cara pengenalan variabel baru;

3) Pertimbangkan teori utama yang terkait dengan sistem persamaan simetris

4) Belajar memecahkan sistem persamaan simetris.

Sejarah pemecahan sistem persamaan.

Penghapusan yang tidak diketahui dari persamaan linier telah lama digunakan. Pada abad 17-18. di. teknik eksklusi dikembangkan oleh Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange.

Dalam notasi modern, sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui memiliki bentuk: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = а1с2 – а2с1 Solusi dari sistem ini dinyatakan dengan rumus.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

Berkat metode koordinat yang dibuat pada abad ke-17. Fermat dan Descartes, menjadi mungkin untuk menyelesaikan sistem persamaan secara grafis.

Dalam teks Babilonia kuno yang ditulis pada 3-2 milenium SM. e. , berisi banyak masalah yang diselesaikan dengan menyusun sistem persamaan, di mana persamaan derajat kedua juga diperkenalkan.

Contoh 1:

Saya menjumlahkan luas dua persegi saya: 25. Sisi persegi kedua sama dengan sisi persegi pertama dan 5 lagi. Sistem persamaan yang sesuai dalam notasi yang sesuai terlihat seperti: x2 + y2 = 25, y = x = 5

Diophantus, yang tidak memiliki notasi untuk banyak hal yang tidak diketahui, berusaha keras untuk memilih yang tidak diketahui sedemikian rupa untuk mengurangi solusi sistem menjadi solusi persamaan tunggal.

Contoh #2:

"Temukan dua bilangan asli, mengetahui bahwa jumlah mereka adalah 20 dan jumlah kuadrat mereka adalah 208."

Soal ini juga diselesaikan dengan menyusun sistem persamaan, x + y = 20, tetapi diselesaikan x2 + y2 = 208

Diophantus, memilih sebagai setengah yang tidak diketahui perbedaan dari angka yang diinginkan, mis.

(x - y) \u003d z, + (x + y) \u003d 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- tidak memenuhi kondisi soal, oleh karena itu, jika z = 2x = 12, dan y = 8

Konsep sistem persamaan aljabar.

Dalam banyak masalah, mungkin perlu untuk menemukan beberapa besaran yang tidak diketahui, mengetahui bahwa besaran lain yang dibentuk dengan bantuannya (fungsi dari yang tidak diketahui) adalah sama satu sama lain atau dengan beberapa besaran tertentu. Mari kita pertimbangkan contoh sederhana.

Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan luas 2.400 m2 dipagari dengan pagar sepanjang 200 m. tentukan panjang dan lebar ruas tersebut. Sebenarnya, "model aljabar" dari masalah ini adalah sistem dua persamaan dan satu pertidaksamaan.

Kemungkinan keterbatasan-ketidaksetaraan harus selalu diingat. Ketika Anda memecahkan masalah untuk menyusun sistem persamaan. Tetapi tetap yang utama adalah menyelesaikan persamaan itu sendiri. Saya akan memberi tahu Anda tentang metode yang digunakan.

Mari kita mulai dengan definisi.

Sistem persamaan adalah himpunan beberapa (lebih dari satu) persamaan yang dihubungkan oleh kurung kurawal.

Tanda kurung kurawal berarti bahwa semua persamaan sistem harus dijalankan secara bersamaan, dan menunjukkan bahwa Anda perlu menemukan pasangan bilangan (x; y) yang mengubah setiap persamaan menjadi persamaan sejati.

Penyelesaian sistem tersebut adalah sepasang bilangan x dan y, yang jika disubstitusikan ke dalam sistem ini, mengubah setiap persamaannya menjadi persamaan numerik yang sebenarnya.

Memecahkan sistem persamaan berarti menemukan semua penyelesaiannya atau menetapkan bahwa tidak ada solusi.

Metode substitusi.

Metode substitusi adalah bahwa dalam salah satu persamaan, satu variabel dinyatakan dalam variabel lain. Ekspresi yang dihasilkan disubstitusikan ke persamaan lain, yang kemudian diubah menjadi persamaan dengan satu variabel, dan kemudian diselesaikan. Nilai yang dihasilkan dari variabel ini disubstitusikan ke persamaan apa pun dari sistem asli dan variabel kedua ditemukan.

Algoritma.

1. Nyatakan y dalam bentuk x dari satu persamaan sistem.

2. Substitusikan ekspresi yang dihasilkan alih-alih y ke dalam persamaan lain dari sistem.

3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk x.

4. Substitusikan secara bergantian setiap akar persamaan yang ditemukan pada langkah ketiga alih-alih x ke dalam ekspresi y melalui x yang diperoleh pada langkah pertama.

5) Tuliskan jawaban dalam bentuk pasangan nilai (x;y).

Contoh No. 1 y \u003d x - 1,

Substitusi dalam persamaan kedua y \u003d x - 1, kita mendapatkan 5x + 2 (x - 1) \u003d 16, dari mana x \u003d 2. kita mengganti ekspresi yang dihasilkan dalam persamaan pertama: y \u003d 2 - 1 \ u003d 1.

Jawaban: (2; 1).

Contoh #2:

8 tahun - x \u003d 4, 1) 2 (8 tahun - 4) - 21 tahun \u003d 2

2x - 21th \u003d 2 16th - 8 - 21th \u003d 2

5th \u003d 10 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2

2x - 21th \u003d 2

2) x \u003d 8 * (-2) - 4 x \u003d 8y - 4, x \u003d -20

2 (8y - 4) - 21th \u003d 2 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2 x \u003d -20, y \u003d -2

Jawaban: (-20; -2).

Contoh #3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y - 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 - 2x - 8 = 0 - persamaan kuadrat y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1 = -4, y2 = 8

Oleh karena itu (-2; -4); (4; 8) adalah solusi dari sistem ini.

Metode penambahan.

Metode penambahan terdiri dari kenyataan bahwa jika suatu sistem yang diberikan terdiri dari persamaan yang, jika dijumlahkan, membentuk persamaan dengan satu variabel, maka dengan menyelesaikan persamaan ini, kita akan memperoleh nilai salah satu variabel. Nilai variabel kedua ditemukan, seperti pada metode substitusi.

Algoritma untuk memecahkan sistem dengan metode penambahan.

1. Samakan modul koefisien untuk salah satu yang tidak diketahui.

2. Menambah atau mengurangi persamaan yang dihasilkan, temukan satu yang tidak diketahui.

3. Substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam salah satu persamaan dari sistem asli, temukan yang kedua yang tidak diketahui.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan dengan menambahkan: x + y \u003d 20, x - y \u003d 10

Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama, diperoleh

Kami mengungkapkan dari ekspresi kedua x \u003d 20 - y

Substitusikan y \u003d 5 ke dalam ekspresi ini: x \u003d 20 - 5 x \u003d 15.

Jawaban: (15; 5).

Contoh #2:

Mari kita nyatakan persamaan sistem yang diusulkan sebagai perbedaan, kita peroleh

7y = 21, dari mana y = 3

Substitusikan nilai ini ke nilai yang dinyatakan dari persamaan kedua sistem x = , kita dapatkan x = 4.

Jawaban: (4; 3).

Contoh #3:

2x + 11y = 15,

10x - 11y = 9

Menambahkan persamaan ini, kami memiliki:

2x + 10x = 15 + 9

12x \u003d 24 x \u003d 2, dengan mensubstitusi nilai ini ke persamaan kedua, kita mendapatkan:

10 * 2 - 11y \u003d 9, dari mana y \u003d 1.

Solusi dari sistem ini adalah pasangan: (2; 1).

Cara grafis untuk memecahkan sistem persamaan.

Algoritma.

1. Buatlah grafik dari masing-masing persamaan sistem.

2. Menemukan koordinat titik perpotongan garis yang dibangun.

Kasus saling pengaturan garis di pesawat.

1. Jika garis berpotongan, yaitu, memiliki satu titik yang sama, maka sistem persamaan memiliki satu solusi.

2. Jika garis-garis sejajar, yaitu tidak memiliki titik yang sama, maka sistem persamaan tidak memiliki solusi.

3. Jika garis-garis itu bertepatan, yaitu, memiliki banyak titik, maka sistem persamaan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

Contoh 1:

Selesaikan secara grafis sistem persamaan x - y \u003d -1,

Kami menyatakan dari persamaan pertama dan kedua y: y \u003d 1 + x, y \u003d 4 - 2x x

Mari kita buat grafik dari masing-masing persamaan sistem:

1) y \u003d 1 + x - grafik fungsinya adalah garis lurus x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y \u003d 4 - 2x - grafik fungsinya adalah garis lurus x 0 1 y 4 2

Jawaban: (1; 2).

Contoh #2: y x ​​+ 2y = 6,

4y \u003d 8 - 2x x y \u003d, y \u003d y \u003d - grafik fungsi adalah garis lurus x 0 2 y 3 2 y \u003d - grafik fungsi adalah garis lurus x 0 2 y 2 1

Jawaban: Tidak ada solusi.

Contoh No. 3: y x ​​​​ - 2y \u003d 2,

3x - 6y \u003d 6 x - 2y \u003d 2, x - 2y \u003d 2 x y \u003d - grafik fungsinya adalah garis lurus x 0 2 y -1 0

Jawaban: Sistem memiliki banyak solusi.

Metode untuk memperkenalkan variabel baru.

Cara memasukkan variabel baru adalah dengan memasukkan variabel baru ke dalam satu persamaan saja atau dua variabel baru untuk kedua persamaan sekaligus, kemudian persamaan atau persamaan tersebut diselesaikan terhadap variabel baru tersebut, setelah itu tinggal menyelesaikan sistem yang lebih sederhana. persamaan, dari mana kita menemukan solusi yang diinginkan.

Contoh 1:

x + y = 5

Dilambangkan = z, maka =.

Persamaan pertama akan berbentuk z + = , itu setara dengan 6z - 13 + 6 = 0. Setelah menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, kita memiliki z = ; z=. Kemudian = atau = , dengan kata lain, persamaan pertama dibagi menjadi dua persamaan, oleh karena itu, kami memiliki dua sistem:

x + y = 5 x + y = 5

Solusi dari sistem ini adalah solusi dari sistem yang diberikan.

Solusi dari sistem pertama adalah pasangan: (2; 3), dan yang kedua adalah pasangan (3; 2).

Oleh karena itu, solusi dari sistem + = , x + y = 5

Pasangannya adalah (2; 3); (3; 2)

Contoh #2:

Misal = X, a = Y.

X \u003d, 5 * - 2Y \u003d 1

5X - 2Y \u003d 1 2.5 (8 - 3Y) - 2Y \u003d 1

20 - 7,5U - 2U \u003d 1

X \u003d, -9.5Y \u003d -19

5 * - 2Y = 1 Y = 2

Mari kita buat pengganti.

2 x = 1, y = 0,5

Jawaban: (1; 0.5).

Sistem persamaan simetris.

Suatu sistem dengan n yang tidak diketahui disebut simetris jika tidak berubah ketika yang tidak diketahui disusun kembali.

Sistem simetris dari dua persamaan dengan dua x dan y yang tidak diketahui diselesaikan dengan mensubstitusi u = x + y, v = xy. Perhatikan bahwa ekspresi yang ditemui dalam sistem simetris dinyatakan dalam u dan v. Mari kita berikan beberapa contoh yang tidak diragukan lagi menarik untuk menyelesaikan banyak sistem simetris: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v, dst.

Sistem simetris dari tiga persamaan untuk yang tidak diketahui x y, z diselesaikan dengan mensubstitusi x + y + z = u, xy + yz + xz = w. Jika u, v, w ditemukan, maka persamaan kubik t2 – ut2 + vt – w = 0 terbentuk, yang akar-akarnya t1, t2, t3 dalam berbagai permutasi adalah solusi dari sistem asli. Ekspresi yang paling umum dalam sistem tersebut dinyatakan dalam u, v, w sebagai berikut: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Contoh #1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

Misal x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Mari kita buat pengganti.

Jawaban: (1; 3); (3; 1).

Contoh #2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

Misal x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 - 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4v = 3, u = 4

Mari kita buat pengganti.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Jawaban: (1; 3); (3; 1).

Contoh #3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

Misal x = y = u, xy = v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

Mari kita buat pengganti.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Jawaban: (1; 3); (3; 1).

Contoh #4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

Misal x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4v = 4

Mari kita buat pengganti.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 - y, xy = 4 x = 5 - y, y (5 - y) = 4 x = 5 - y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

Jawaban: (4; 1); (empat belas).

Contoh #5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

Mari kita buat perubahan yang tidak diketahui, sistem akan mengambil bentuk u2 + v = 49, u + v = 23

Menambahkan persamaan ini, kita mendapatkan u2 + u - 72 = 0 dengan akar u1 = 8, u2 = -9. Dengan demikian, v1 = 15, v2 = 32. Tetap menyelesaikan himpunan sistem x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32

Sistem x + y = 8 memiliki solusi x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

Sistem x + y = -9 tidak memiliki solusi nyata.

Jawaban: (3; 5), (5; 3).

Contoh nomor 6. Memecahkan sistem persamaan.

2x2 - 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

Menggunakan polinomial simetris dasar u = y + x dan v = xy, kita memperoleh sistem persamaan berikut

2u2 - 7v = 16, u + v = -3

Mensubstitusikan ekspresi v = -3 – u dari persamaan kedua sistem ke persamaan pertama, kita memperoleh persamaan berikut 2u2 + 7u + 5 = 0, yang akar-akarnya adalah u1 = -1 dan u2 = -2,5; dan, karenanya, nilai v1 = -2 dan v2 = -0,5 diperoleh dari v = -3 - u.

Sekarang tinggal menyelesaikan set sistem berikut x + y \u003d -1, dan x + y \u003d -2.5, xy \u003d -2 xy \u003d -0.5

Solusi dari himpunan sistem ini, dan oleh karena itu dari sistem asli (karena ekivalensinya), adalah sebagai berikut: (1; -2), (-2; 1), (;).

Contoh #7:

3x2y - 2xy + 3x2 \u003d 78,

2x - 3xy + 2y + 8 = 0

Menggunakan polinomial simetris dasar, sistem dapat ditulis dalam bentuk berikut:

3uv - 2v = 78,

Mengekspresikan u = dari persamaan kedua dan mensubstitusikannya ke persamaan pertama, kita mendapatkan 9v2 – 28v – 156 = 0. Akar dari persamaan ini v1 = 6 dan v2 = - memungkinkan kita menemukan nilai yang sesuai u1 = 5, u2 = - dari ekspresi u =.

Kami sekarang memecahkan set sistem berikut x + y \u003d 5, dan x + y \u003d - , xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5 - y, dan y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5 - y, dan y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -.

x = 5 – y, dan y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3, dan x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

Jawaban: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Kesimpulan.

Dalam proses penulisan artikel ini, saya berkenalan dengan berbagai jenis sistem persamaan aljabar. Meringkas informasi ilmiah tentang topik "Sistem Persamaan".

Dipahami dan dipelajari bagaimana menyelesaikannya dengan memperkenalkan variabel baru;

Mengulas teori-teori utama yang terkait dengan sistem persamaan simetris

Mempelajari cara menyelesaikan sistem persamaan simetris.

Pengantar Masalah proyek saya adalah bahwa kemampuan untuk memecahkan berbagai sistem persamaan diperlukan untuk lulus ujian dengan sukses, dan di sekolah menengah mereka tidak diberikan cukup waktu untuk mengenal masalah ini lebih dalam. Tujuan dari pekerjaan: untuk mempersiapkan keberhasilan pengiriman ujian. Tugas pekerjaan: Perluas pengetahuan Anda di bidang matematika yang terkait dengan konsep "simetri". Tingkatkan budaya matematika Anda, menggunakan konsep "simetri" ketika memecahkan sistem persamaan, yang disebut simetris, serta masalah matematika lainnya.

Konsep simetri. Simetri - (Yunani kuno ), dalam arti luas - kekekalan di bawah transformasi apa pun. Jadi, misalnya, simetri bola suatu benda berarti bahwa penampilan benda itu tidak akan berubah jika diputar di ruang dengan sudut yang berubah-ubah. Simetri bilateral berarti bahwa kanan dan kiri terlihat sama terhadap beberapa bidang.

Pemecahan masalah menggunakan simetri. Soal 1 Dua orang bergiliran meletakkan koin yang sama di atas meja bundar, dan koin-koin itu tidak boleh saling menutupi. Orang yang tidak bisa bergerak akan kalah. Siapa yang menang jika dimainkan dengan benar? (Dengan kata lain, pemain mana yang memiliki strategi kemenangan?)

Metode untuk memecahkan sistem simetris. Sistem simetris dapat diselesaikan dengan perubahan variabel, yang merupakan polinomial simetris utama. Sistem simetris dari dua persamaan dengan dua x dan y yang tidak diketahui diselesaikan dengan mensubstitusi u = x + y, v = xy.

Contoh No. 2 3 x 2y - 2xy + 3xy 2 \u003d 78, 2x - 3xy + 2y + 8 \u003d 0 Dengan menggunakan polinomial simetris dasar, sistem dapat ditulis dalam bentuk berikut 3uv - 2v \u003d 78, 2u - 3v \u003d -8. Mengekspresikan u = dari persamaan kedua dan mensubstitusikannya ke persamaan pertama, kita memperoleh 9v2– 28v – 156 = 0. Akar persamaan ini v 1 = 6 dan v 2 = - memungkinkan kita menemukan nilai yang sesuai u1 = 5, u2= - dari ekspresi u = .

Mari kita selesaikan himpunan sistem berikut Sekarang mari kita selesaikan himpunan sistem berikut x + y = 5, dan x + y = - , xy = 6 xy = - . x \u003d 5 - y, dan y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -. x \u003d 5 - y, dan y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -. x \u003d 5 - y, dan y \u003d -x -, y 1 \u003d 3, y 2 \u003d 2 x 1 \u003d, x 2 \u003d - x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3, dan x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = -, y 2= Jawaban: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

Teorema yang digunakan dalam menyelesaikan sistem simetris. Teorema 1. (pada polinomial simetris) Setiap polinomial simetris dalam dua variabel dapat direpresentasikan sebagai fungsi dari dua polinomial simetris dasar Dengan kata lain, untuk setiap polinomial simetris f (x, y) ada fungsi dari dua variabel (u, v) sedemikian rupa sehingga

Teorema 2. (pada polinomial simetris) Teorema 2. (pada polinomial simetris) Setiap polinomial simetris dalam tiga variabel dapat direpresentasikan sebagai fungsi dari tiga polinomial simetris dasar: Dengan kata lain, untuk setiap polinomial simetris f (x, y) ada fungsi dari tiga variabel (u, v, w) sedemikian rupa sehingga

Sistem simetris yang lebih kompleks - sistem yang berisi modul: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y-1 | = 2. Pertimbangkan sistem ini secara terpisah untuk x< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

b) untuk x y< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) sistem mengambil bentuk - x + y + y 2 \u003d 3, - x + 1 + y - 1 \u003d 2, atau - x + y + y 2 \u003d 3, x - y \u003d - 2, dari mana kami menemukan x 1 \u003d - 3, y 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 1, y 2 \u003d 1. Pasangan angka kedua termasuk dalam area yang dipertimbangkan, yaitu solusi ke sistem ini.

Jika x 1, maka: Jika x 1, maka: a) x > y dan y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y dan y 1 sistem mengambil bentuk x - y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, atau x - y + y 2 = 3, x + y = 4, dari mana kita menemukan x = 1, y = 3. Pasangan angka ini tidak termasuk dalam area yang ditinjau;

c) untuk x y (maka y 1), sistem berbentuk c) untuk x y (maka y 1), sistem berbentuk - x + y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, atau - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, dari mana kita menemukan x 1 = 5 + 8, y 1 = - 1 - 8; x 2 = 5 - 8, y 2 = - 1 + 8. Pasangan angka ini tidak termasuk dalam area yang dipertimbangkan. Jadi, x 1 \u003d - 1, y 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1. Jawaban: (- 1; 1); (sebelas).

Kesimpulan Matematika mengembangkan pemikiran manusia, mengajarkan melalui logika untuk menemukan solusi yang berbeda. Jadi, setelah belajar bagaimana memecahkan sistem simetris, saya menyadari bahwa mereka dapat digunakan tidak hanya untuk menyelesaikan contoh-contoh spesifik, tetapi juga untuk memecahkan berbagai macam masalah. Saya pikir proyek ini tidak hanya bermanfaat bagi saya. Bagi mereka yang juga ingin berkenalan dengan topik ini, pekerjaan saya akan menjadi penolong yang baik.

Daftar literatur yang digunakan: Bashmakov M.I., "Aljabar dan permulaan analisis", edisi ke-2, Moskow, "Prosveshchenie", 1992, 350 halaman. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., "Aljabar dan fungsi dasar ", direktori; edisi ketiga, direvisi dan diperbesar; Kyiv, Naukova, Dumka, 1987, 648 halaman. Sharygin I. F., "Matematika untuk siswa sekolah menengah", Moskow, penerbit Drofa, 1995, 490 halaman. Sumber daya internet: http://www.college.en/

Pekerjaan dapat digunakan untuk pelajaran dan laporan tentang subjek "Matematika"

Presentasi matematika siap pakai digunakan sebagai alat bantu visual yang memungkinkan guru atau orang tua untuk mendemonstrasikan topik yang dipelajari dari buku teks menggunakan slide dan tabel, menunjukkan contoh untuk memecahkan masalah dan persamaan, dan menguji pengetahuan. Di bagian situs ini, Anda dapat menemukan dan mengunduh banyak presentasi matematika yang sudah jadi untuk siswa kelas 1,2,3,4,5,6, serta presentasi matematika yang lebih tinggi untuk mahasiswa.

pengantar

Simetri ... adalah gagasan yang melaluinya manusia telah mencoba selama berabad-abad untuk memahami dan menciptakan keteraturan, keindahan, dan kesempurnaan.

Konsep simetri berjalan melalui seluruh sejarah umat manusia. Itu sudah ditemukan pada asal mula pengetahuan manusia. Itu muncul sehubungan dengan studi tentang organisme hidup, yaitu manusia, dan digunakan oleh pematung sejak abad ke-5 SM. e.
Kata "simetri" adalah bahasa Yunani. Artinya "proporsionalitas", "proporsionalitas", kesamaan dalam susunan bagian-bagiannya. Ini banyak digunakan oleh semua bidang ilmu pengetahuan modern tanpa kecuali.
Banyak orang hebat memikirkan pola ini. Misalnya, L.N. Tolstoy berkata: “Berdiri di depan papan tulis dan menggambar berbagai angka di atasnya dengan kapur, saya tiba-tiba dikejutkan oleh pemikiran: mengapa simetri terlihat jelas? Apa itu simetri? Ini adalah perasaan bawaan. Berdasarkan apa itu?
Memang, simetri menyenangkan mata. Siapa yang tidak mengagumi simetri ciptaan alam: daun, bunga, burung, binatang; atau ciptaan manusia: bangunan, teknologi, - semua yang mengelilingi kita sejak kecil, yang mengupayakan keindahan dan harmoni.
Simetri (Yunani lainnya - "proporsionalitas"), dalam arti luas - invarian di bawah transformasi apa pun. Jadi, misalnya, simetri bola suatu benda berarti bahwa penampilan benda itu tidak akan berubah jika diputar dalam ruang dengan sudut yang berubah-ubah (menjaga satu titik di tempatnya). Simetri bilateral berarti bahwa sisi kanan dan kiri terlihat relatif sama pada beberapa bidang.
Kami bertemu dengan simetri di mana-mana - di alam, teknologi, seni, sains. Kami mencatat, misalnya, simetri yang melekat pada kupu-kupu dan daun maple, simetri mobil dan pesawat terbang, simetri dalam konstruksi ritmis puisi dan frasa musik, simetri ornamen dan batas, simetri struktur atom molekul dan kristal. Konsep simetri berjalan melalui seluruh sejarah berabad-abad kreativitas manusia. Itu sudah ditemukan pada asal mula pengetahuan manusia; itu banyak digunakan oleh semua bidang ilmu pengetahuan modern tanpa kecuali. Prinsip-prinsip simetri memainkan peran penting dalam fisika dan matematika, kimia dan biologi, teknik dan arsitektur, lukisan dan patung, puisi dan musik. Hukum alam yang mengatur gambaran fenomena, tidak habis-habisnya dalam keanekaragamannya, pada gilirannya, mematuhi prinsip-prinsip simetri.

Sasaran:

Pertimbangkan jenis dan jenis simetri;

Menganalisis bagaimana dan di mana simetri digunakan;

Pertimbangkan bagaimana simetri digunakan dalam kursus aljabar sekolah

Simetri.
Kata "simetri" memiliki arti ganda. Di satu sisi, simetris berarti sesuatu yang sangat proporsional, seimbang; simetri menunjukkan cara mengoordinasikan banyak bagian, yang dengannya mereka digabungkan menjadi satu kesatuan. Arti kedua dari kata ini adalah keseimbangan. Bahkan Aristoteles berbicara tentang simetri sebagai keadaan yang dicirikan oleh rasio ekstrem. Dari pernyataan ini dapat disimpulkan bahwa Aristoteles, mungkin, paling dekat dengan penemuan salah satu hukum alam yang paling mendasar - hukum dualitasnya.
Penting untuk menyoroti aspek-aspek yang tanpanya simetri tidak mungkin:
1) suatu objek adalah pembawa simetri; benda, proses, figur geometris, ekspresi matematika, organisme hidup, dll. dapat bertindak sebagai objek simetris.

2) beberapa fitur - kuantitas, properti, hubungan, proses, fenomena - objek, yang tetap tidak berubah selama transformasi simetri; mereka disebut invarian atau invarian.

3) perubahan (dari objek) yang membuat objek identik dengan dirinya sendiri dalam hal fitur invarian; perubahan seperti itu disebut transformasi simetri;

4) properti objek untuk berubah, sesuai dengan fitur yang dipilih, menjadi dirinya sendiri setelah perubahan yang sesuai.

Dengan demikian, simetri mengungkapkan pelestarian sesuatu dengan beberapa perubahan atau pelestarian sesuatu meskipun ada perubahan. Simetri menyiratkan kekekalan tidak hanya objek itu sendiri, tetapi juga semua propertinya dalam kaitannya dengan transformasi yang dilakukan pada objek. Kekekalan objek tertentu dapat diamati dalam kaitannya dengan berbagai operasi - untuk rotasi, translasi, penggantian suku cadang, refleksi, dll. Dalam hal ini, ada berbagai jenis simetri.

Asimetri

Asimetri adalah tidak adanya atau pelanggaran simetri.
Dalam arsitektur, simetri dan asimetri adalah dua metode yang berlawanan dari organisasi reguler bentuk spasial. Komposisi asimetris dalam perkembangan arsitektur muncul sebagai perwujudan kombinasi kompleks dari proses kehidupan dan kondisi lingkungan.

Ketidaksimitrisan

Kesimetrian yang rusak sebagian, kita sebut ketidaksimitrisan .
Dissimetri adalah fenomena yang tersebar luas di satwa liar. Itu juga ciri khas manusia. Seseorang tidak simetris, terlepas dari kenyataan bahwa garis besar tubuhnya memiliki bidang simetri. Disimetri mempengaruhi
kepemilikan yang lebih baik dari salah satu tangan, dalam pengaturan asimetris jantung dan banyak organ lainnya, dalam struktur organ-organ ini.
Dissimetri tubuh manusia mirip dengan dan penyimpangan dari simetri yang tepat dalam arsitektur. Biasanya mereka disebabkan oleh kebutuhan praktis, oleh fakta bahwa variasi fungsi tidak sesuai dengan batas-batas hukum simetri yang kaku. Terkadang penyimpangan seperti itu menimbulkan efek emosional yang akut.

^ Jenis simetri yang ditemukan dalam matematika dan ilmu alam:

Simetri bilateral- simetri refleksi cermin, di mana objek memiliki satu bidang simetri, yang dengannya kedua bagiannya simetris cermin. Pada hewan, simetri bilateral dimanifestasikan dalam kesamaan atau identitas yang hampir lengkap dari bagian kiri dan kanan tubuh. Dalam hal ini, selalu ada penyimpangan acak dari simetri (misalnya, perbedaan garis papiler, percabangan pembuluh darah. Sering ada perbedaan kecil tetapi teratur dalam struktur eksternal dan perbedaan yang lebih signifikan antara bagian kanan dan kiri tubuh di letak organ dalam.Misalnya, jantung pada mamalia biasanya terletak tidak simetris, miring ke kiri.

Pada hewan, penampilan simetri bilateral dalam evolusi dikaitkan dengan merangkak di sepanjang substrat (di sepanjang bagian bawah reservoir), sehubungan dengan itu bagian punggung dan perut, serta bagian kanan dan kiri tubuh muncul. Secara umum, di antara hewan, simetri bilateral lebih menonjol dalam bentuk yang aktif bergerak daripada pada tumbuhan sessile.Simetri bilateral biasanya bukan seluruh organisme, tetapi bagian-bagiannya yang terpisah - daun atau bunga. Secara botani, bunga simetri bilateral disebut zygomorphic.

^ simetri orde ke-n- simetri sehubungan dengan rotasi melalui sudut 360 ° / n di sekitar sumbu apa pun. Dijelaskan oleh kelompok Zn.

Simetri aksial(simetri radial, simetri sinar) - bentuk simetri di mana tubuh (atau gambar) bertepatan dengan dirinya sendiri ketika sebuah objek berputar di sekitar titik atau garis tertentu. Seringkali titik ini bertepatan dengan pusat simetri objek, yaitu titik di mana
memotong jumlah tak terbatas sumbu simetri bilateral. Simetri radial dimiliki oleh benda-benda geometris seperti lingkaran, bola, silinder, atau kerucut. Dijelaskan oleh grup SO(2).

^ Simetri bola- simetri sehubungan dengan rotasi dalam ruang tiga dimensi melalui sudut sewenang-wenang. Dijelaskan oleh grup SO(3). Simetri bola lokal dari ruang atau medium disebut juga isotropi.

^ Simetri rotasi- istilah yang berarti simetri suatu objek sehubungan dengan semua atau beberapa rotasi yang tepat dari ruang Euclidean m-dimensi.

^ Simetri pada hewan dan manusia.

Simetri adalah tanda vital yang mencerminkan fitur struktur, gaya hidup, dan perilaku hewan. Bentuk simetri diperlukan agar ikan dapat berenang; burung untuk terbang. Jadi simetri di alam ada karena suatu alasan: itu juga berguna, atau, dengan kata lain, bijaksana. Dalam biologi, pusat simetri memiliki: bunga, ubur-ubur, bintang laut, dll. Kehadiran bentuk simetri sudah dapat dilacak paling sederhana - uniseluler (ciliates, amuba).Tubuh manusia dibangun di atas prinsip simetri bilateral. Otak dibagi menjadi dua bagian. Sesuai sepenuhnya dengan simetri umum tubuh manusia, setiap belahan otak merupakan bayangan cermin yang hampir sama persis dengan belahan lainnya. Kontrol gerakan dasar tubuh manusia dan fungsi sensoriknya didistribusikan secara merata di antara kedua belahan otak. Belahan otak kiri mengontrol sisi kanan otak, sedangkan belahan kanan mengontrol sisi kiri. Penelitian telah menunjukkan bahwa wajah simetris lebih menarik. Para peneliti juga berpendapat bahwa wajah dengan proporsi ideal merupakan tanda bahwa tubuh pemiliknya sudah siap melawan infeksi. Pilek, asma, dan flu sangat mungkin surut di depan orang yang sisi kirinya persis sama dengan sisi kanannya. Dan dalam pakaian, seseorang juga, sebagai suatu peraturan, mencoba mempertahankan kesan simetri: lengan kanan sesuai dengan kiri, kaki kanan sesuai dengan kiri. Kancing-kancing pada jaket dan kemeja berada tepat di tengah, dan jika mundur darinya, maka pada jarak yang simetris. Dan pada saat yang sama, terkadang seseorang mencoba untuk menekankan, untuk memperkuat perbedaan antara kiri dan kanan. Pada Abad Pertengahan, pria pada suatu waktu memamerkan pantalon dengan kaki dengan warna berbeda (misalnya, satu merah dan yang lainnya hitam atau putih). Tetapi
mode seperti itu selalu berumur pendek. Hanya penyimpangan yang bijaksana dan sederhana dari simetri yang bertahan untuk waktu yang lama.

Simetri dalam seni

Simetri dalam seni rupa pada umumnya dan seni rupa pada khususnya bersumber pada kenyataan, penuh dengan bentuk-bentuk yang tersusun secara simetris.
Organisasi simetris suatu komposisi dicirikan oleh keseimbangan bagian-bagiannya dalam hal massa, nada, warna, dan bahkan bentuk. Dalam kasus seperti itu, satu bagian hampir merupakan bayangan cermin dari yang kedua. Dalam komposisi simetris, paling sering ada pusat yang diucapkan. Sebagai aturan, itu bertepatan dengan pusat geometris bidang gambar. Jika titik hilang dipindahkan dari pusat, salah satu bagian lebih dimuat dalam hal massa, atau gambar dibangun secara diagonal, semua ini menginformasikan dinamisme komposisi dan sampai batas tertentu melanggar keseimbangan ideal.
Aturan simetri digunakan oleh pematung Yunani kuno. Contohnya adalah komposisi pedimen barat kuil Zeus dan Olympia. Ini didasarkan pada perjuangan orang Lapith (Yunani) dengan centaurus di hadapan dewa Apollo. Gerakan secara bertahap meningkat dari tepi ke tengah. Itu mencapai batas ekspresif dalam gambar dua pria muda yang mengayunkan centaurus. Gerakan yang tumbuh, seolah-olah, segera berhenti pada pendekatan ke sosok Apollo, dengan tenang dan anggun berdiri di tengah pedimen.
Gagasan tentang karya pelukis terkenal yang hilang abad ke-5 SM. e. dapat dikompilasi dari lukisan vas kuno dan lukisan dinding Pompeian, terinspirasi, seperti yang diyakini para peneliti, oleh karya-karya master Yunani dari era klasik ...
Komposisi simetris juga diamati di antara para empu Yunani abad ke-4 hingga ke-3 SM. e. Ini dapat dinilai dengan salinan lukisan dinding. Dalam lukisan dinding Pompeian, tokoh-tokoh utama berada di tengah komposisi piramidal, yang dibedakan oleh simetri.
Seniman sering menggunakan aturan simetri ketika menggambarkan pertemuan yang ramai, parade, pertemuan di aula besar, dll.
Banyak perhatian diberikan pada aturan simetri oleh para seniman awal Renaisans, sebagaimana dibuktikan oleh lukisan monumental (misalnya, lukisan dinding oleh Giotto). Selama Renaisans Tinggi, komposisi Italia mencapai kedewasaan. Misalnya, dalam lukisan “Saint Anna with Mary and the Christ Child”, Leonardo da Vinci menyusun tiga sosok menjadi segitiga yang mengarah ke atas. Di sudut kanan bawah, dia memberikan patung anak domba yang dipegang oleh Kristus kecil. Semuanya diatur sedemikian rupa sehingga segitiga ini hanya ditebak di bawah kelompok angka-angka.
Perjamuan Terakhir oleh Leonardo da Vinci juga bisa disebut komposisi simetris. Lukisan dinding ini menunjukkan momen dramatis ketika
Kristus memberi tahu murid-muridnya: "Salah satu dari kamu akan mengkhianati Aku." Reaksi psikologis para rasul terhadap kata-kata kenabian ini menghubungkan karakter dengan pusat komposisi di mana sosok Kristus berada. Kesan integritas dari komposisi sentripetal ini semakin diperkuat oleh fakta bahwa sang seniman menunjukkan ruang makan dalam perspektif dengan titik hilang dari garis paralel di tengah jendela, di mana kepala Kristus digambar dengan jelas. Dengan demikian, pandangan pemirsa tanpa sadar diarahkan ke sosok sentral gambar.
Di antara karya-karya yang menunjukkan kemungkinan simetri, seseorang juga dapat menyebutkan Pertunangan Maria Raphael, di mana teknik komposisi karakteristik Renaisans menemukan ekspresi paling lengkap.
Lukisan oleh V. M. Vasnetsov "Bogatyrs" juga dibangun berdasarkan aturan simetri. Pusat komposisi adalah sosok Ilya Muromets. Kiri dan kanan, seolah-olah dalam bayangan cermin, ditempatkan Alyosha Popovich dan Dobrynya Nikitich. Sosok-sosok itu terletak di sepanjang gambar pesawat dengan tenang duduk di atas kuda. Konstruksi komposisi yang simetris menunjukkan keadaan istirahat relatif. Angka kiri dan kanan tidak sama dalam hal massa, yang disebabkan oleh maksud ideologis penulis. Tetapi keduanya kurang kuat dibandingkan dengan sosok Muromets dan, secara keseluruhan, memberikan keseimbangan penuh pada komposisi.
Stabilitas komposisi membuat penonton merasa percaya diri dengan tak terkalahkannya para pahlawan, para pembela tanah Rusia. Selain itu, dalam "Bogatyrs" keadaan istirahat yang tegang disampaikan di ambang transisi ke tindakan. Dan ini berarti bahwa simetri juga membawa benih gerakan dinamis dalam ruang dan waktu.

Simetri dalam aljabar.

Ekspresi simetris paling sederhana untuk akar persamaan kuadrat ditemukan dalam teorema Vieta. Hal ini memungkinkan mereka untuk digunakan dalam memecahkan beberapa masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat. Mari kita pertimbangkan beberapa contoh.

Contoh 1:

Persamaan kuadrat memiliki akar dan . Tanpa memecahkan persamaan ini, kami menyatakan dalam hal dan jumlah , . Ekspresi simetris terhadap dan . Kami menyatakannya dalam bentuk + dan , dan kemudian kami menerapkan teorema Vieta.

Beranda > Solusi

Persamaan dan pertidaksamaan rasional

I. Persamaan rasional.

Persamaan linear.

Sistem persamaan linier.

Kembalikan persamaan.

Rumus Vieta untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi.

Sistem persamaan derajat kedua.

Metode untuk memperkenalkan hal-hal baru yang tidak diketahui dalam memecahkan persamaan dan sistem persamaan.

persamaan homogen.

Solusi sistem persamaan simetris.

Persamaan dan sistem persamaan dengan parameter.

Metode grafis untuk memecahkan sistem persamaan nonlinier.

Persamaan yang mengandung tanda modulus.

Metode dasar untuk memecahkan persamaan rasional

II. Ketidaksetaraan rasional.

Sifat-sifat pertidaksamaan ekuivalen.

ketidaksetaraan aljabar.

metode interval.

Pertidaksamaan fraksional-rasional.

Pertidaksamaan yang mengandung yang tidak diketahui di bawah tanda nilai absolut.

Ketidaksetaraan dengan parameter.

Sistem ketidaksetaraan rasional.

Solusi grafis dari ketidaksetaraan.

AKU AKU AKU. Tes verifikasi.

Persamaan Rasional

fungsi tampilan

P(x) \u003d a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + ... + a n - 1 x + a n,

di mana n adalah bilangan asli, a 0 , a 1 ,…, a n adalah beberapa bilangan real, disebut seluruh fungsi rasional.

Persamaan bentuk P(x) = 0, di mana P(x) adalah seluruh fungsi rasional, disebut persamaan rasional keseluruhan.

Ketik persamaan

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + ... + P m (x) / Q m (x) = 0,

dimana P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) adalah seluruh fungsi rasional, disebut persamaan rasional .

Memecahkan persamaan rasional P (x) / Q (x) = 0, di mana P (x) dan Q (x) adalah polinomial (Q (x) 0), direduksi menjadi penyelesaian persamaan P (x) = 0 dan periksa apakah akar-akarnya memenuhi kondisi Q (x) 0.

Persamaan linear.

Persamaan berbentuk ax+b=0, di mana a dan b adalah beberapa konstanta, disebut persamaan linier.

Jika a0, maka persamaan linier memiliki akar tunggal: x = -b /a.

Jika a=0; b0, maka persamaan linear tidak memiliki solusi.

Jika a=0; b=0, kemudian, menulis ulang persamaan aslinya dalam bentuk ax = -b, mudah untuk melihat bahwa setiap x adalah solusi untuk persamaan linier.

Persamaan garis lurus memiliki bentuk: y = ax + b.

Jika garis melalui suatu titik dengan koordinat X 0 dan Y 0, maka koordinat tersebut memenuhi persamaan garis, yaitu Y 0 = aX 0 + b.

Contoh 1.1. selesaikan persamaannya

2x - 3 + 4(x - 1) = 5.

Keputusan. Mari kita perluas kurung satu per satu, berikan suku-suku sejenis dan cari x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Contoh 1.2. selesaikan persamaannya

2x - 3 + 2(x - 1) = 4(x - 1) - 7.

Keputusan. 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.

Jawaban: .

Contoh 1.3. Memecahkan persamaan.

2x + 3 - 6(x - 1) = 4(x - 1) + 5.

Keputusan. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 - 9,

Jawaban: Nomor berapa saja.

Sistem persamaan linier.

Ketik persamaan

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

dimana a 1 , b 1 , … ,a n , b adalah beberapa konstanta, disebut persamaan linier dengan n tidak diketahui x 1 , x 2 , …, x n .

Suatu sistem persamaan disebut linier jika semua persamaan dalam sistem tersebut linier. Jika sistem terdiri dari n yang tidak diketahui, maka tiga kasus berikut mungkin terjadi:

sistem tidak memiliki solusi;

sistem memiliki tepat satu solusi;

Sistem ini memiliki banyak solusi yang tak terhingga.

Contoh 2.4. menyelesaikan sistem persamaan

Keputusan. Dimungkinkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan metode substitusi, yang terdiri dari menyatakan satu yang tidak diketahui dalam hal yang tidak diketahui lainnya dari setiap persamaan sistem, dan kemudian mensubstitusi nilai yang tidak diketahui ini ke dalam persamaan lainnya.

Dari persamaan pertama kita nyatakan: x = (8 - 3y) / 2. Kita substitusikan persamaan ini ke persamaan kedua dan mendapatkan sistem persamaan

X \u003d (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y \u003d 7. Dari persamaan kedua kita mendapatkan y \u003d 2. Mempertimbangkan ini, dari persamaan pertama x \u003d 1. Jawaban: (1; 2) Contoh 2.5. Memecahkan sistem persamaan

Keputusan. Sistem tidak memiliki solusi, karena dua persamaan sistem tidak dapat dipenuhi secara bersamaan (dari persamaan pertama x + y = 3, dan dari persamaan kedua x + y = 3,5).

Jawaban: Tidak ada solusi.

Contoh 2.6. menyelesaikan sistem persamaan

Keputusan. Sistem ini memiliki banyak solusi, karena persamaan kedua diperoleh dari yang pertama dengan mengalikan dengan 2 (yaitu, hanya ada satu persamaan dengan dua yang tidak diketahui).

Jawaban: Banyak sekali solusi.

Contoh 2.7. menyelesaikan sistem persamaan

x + y - z = 2,

2x – y + 4z = 1,

Keputusan. Saat memecahkan sistem persamaan linier, akan lebih mudah untuk menggunakan metode Gauss, yang terdiri dari transformasi sistem ke bentuk segitiga.

Kami mengalikan persamaan pertama sistem dengan - 2 dan, menambahkan hasil yang diperoleh dengan persamaan kedua, kami mendapatkan - 3y + 6z \u003d - 3. Persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai y - 2z \u003d 1. Menambahkan persamaan pertama dengan yang ketiga, kami mendapatkan 7y \u003d 7, atau y = 1.

Dengan demikian, sistem memperoleh bentuk segitiga

x + y - z = 2,

Substitusikan y = 1 ke persamaan kedua, kita cari z = 0. Substitusikan y =1 dan z = 0 ke persamaan pertama, kita cari x = 1. Jawaban: (1; 1; 0).Contoh 2.8. untuk apa nilai parameter a sistem persamaan

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

memiliki banyak solusi? Keputusan. Dari persamaan pertama kita nyatakan x:

x = - (a / 2)y + a / 2 +1.

Substitusi ekspresi ini ke persamaan kedua, kita dapatkan

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Menganalisis persamaan terakhir, kami mencatat bahwa untuk a = 3 memiliki bentuk 0y = 0, yaitu. itu puas untuk setiap nilai y. Jawaban: 3.

Persamaan kuadrat dan persamaan mengurangi mereka.

Persamaan berbentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana a, b dan c adalah beberapa bilangan (a0);

x adalah variabel yang disebut persamaan kuadrat.

Rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Pertama, kita membagi kedua ruas persamaan ax 2 + bx + c = 0 dengan a - ini tidak akan mengubah akarnya. Untuk menyelesaikan persamaan yang dihasilkan

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0

pilih kotak penuh di sisi kiri

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2 )).

Untuk singkatnya, kami menyatakan ekspresi (b 2 - 4ac) dengan D. Kemudian identitas yang dihasilkan mengambil bentuk

Tiga kasus yang mungkin:

jika bilangan D positif (D > 0), maka dalam hal ini dimungkinkan untuk mengambil akar kuadrat dari D dan menulis D sebagai D = (D) 2 . Kemudian

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 , maka identitasnya berbentuk

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / 2a) 2 .

Menurut rumus selisih kuadrat, kita peroleh dari sini:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x - ((-b + D) / 2a)) (x - ((- b - D) / 2a)).

Dalil: Jika identitasnya berlaku

ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2),

maka persamaan kuadrat ax 2 + bx + c \u003d 0 untuk X 1 X 2 memiliki dua akar X 1 dan X 2, dan untuk X 1 \u003d X 2 - hanya satu akar X 1.

Berdasarkan teorema ini, maka dari identitas yang diturunkan di atas persamaan

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

dan dengan demikian persamaan ax 2 + bx + c = 0 memiliki dua akar:

X 1 \u003d (-b + D) / 2a; X 2 \u003d (-b - D) / 2a.

Jadi x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1)(x - x2).

Biasanya akar-akar ini ditulis dalam satu rumus:

di mana b 2 - 4ac \u003d D.

jika bilangan D sama dengan nol (D = 0), maka identitasnya

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

mengambil bentuk x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .

Oleh karena itu untuk D = 0, persamaan ax 2 + bx + c = 0 memiliki satu akar perkalian 2: X 1 = - b / 2a

3) Jika angka D negatif (D< 0), то – D >0, dan oleh karena itu ekspresi

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

adalah jumlah dari dua istilah, salah satunya adalah non-negatif dan positif lainnya. Jumlah seperti itu tidak bisa sama dengan nol, jadi persamaannya

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0

tidak memiliki akar nyata. Persamaan ax 2 + bx + c = 0 juga tidak.

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, kita harus menghitung diskriminan

D \u003d b 2 - 4ac.

Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki solusi unik:

Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar:

X 1 \u003d (-b + D) / (2a); X 2 \u003d (-b - D) / (2a).

Jika D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Jika salah satu koefisien b atau c sama dengan nol, maka persamaan kuadrat dapat diselesaikan tanpa menghitung diskriminan:

b = 0; c 0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)

b 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

Akar persamaan kuadrat umum ax 2 + bx + c = 0 ditemukan dengan rumus

Persamaan kuadrat di mana koefisien di x 2 sama dengan 1 disebut persamaan tereduksi. Biasanya persamaan kuadrat yang diberikan dilambangkan sebagai berikut:

x 2 + px + q = 0.

teorema Vieta.

Kami telah mendapatkan identitasnya

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d (x - x1) (x - x2),

di mana X 1 dan X 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c =0. Mari kita perluas tanda kurung di sisi kanan identitas ini.

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 .

Maka X 1 + X 2 = - b / a dan X 1 X 2 = c / a. Kami telah membuktikan teorema berikut, yang pertama kali ditetapkan oleh matematikawan Prancis F. Viet (1540 - 1603):

Teorema 1 (Vieta). Jumlah akar persamaan kuadrat sama dengan koefisien di X, diambil dengan tanda yang berlawanan dan dibagi dengan koefisien di X 2; produk dari akar-akar persamaan ini sama dengan suku bebas dibagi dengan koefisien di X 2 .

Teorema 2 (terbalik). Jika persamaan

X 1 + X 2 \u003d - b / a dan X 1 X 2 \u003d c / a,

maka bilangan X 1 dan X 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0.

Komentar. Rumus X 1 + X 2 \u003d - b / a dan X 1 X 2 \u003d c / a tetap benar bahkan dalam kasus ketika persamaan ax 2 + bx + c \u003d 0 memiliki satu akar X 1 dari multiplisitas 2, jika kami memasukkan rumus yang ditunjukkan X 2 = X 1 . Oleh karena itu, diterima secara umum bahwa untuk D = 0, persamaan ax 2 + bx + c = 0 memiliki dua akar yang saling berhimpitan.

Saat memecahkan masalah yang terkait dengan teorema Vieta, akan berguna untuk menggunakan relasi

(1 / X 1) + (1 / X 2) \u003d (X 1 + X 2) / X 1 X 2;

X 1 2 + X 2 2 \u003d (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 \u003d (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 \u003d ((X 1 + X 2) 2 - 2X 1 X 2) / X 1 X 2;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 - X 1 X 2 + X 2 2) =

\u003d (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 - 3X 1 X 2).

Contoh 3.9. Selesaikan persamaan 2x 2 + 5x - 1 = 0.

Keputusan. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

Jawaban: X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

Contoh 3.10. Selesaikan persamaan x 3 - 5x 2 + 6x = 0

Keputusan. Mari faktorkan ruas kiri persamaan x(x 2 - 5x + 6) = 0,

maka x \u003d 0 atau x 2 - 5x + 6 \u003d 0.

Memecahkan persamaan kuadrat, kita mendapatkan X 1 \u003d 2, X 2 \u003d 3.

Jawaban: 0; 2; 3.

Contoh 3.11.

x 3 - 3x + 2 = 0. Solusi. Mari kita tulis ulang persamaannya, tulis -3x \u003d - x - 2x, x 3 - x - 2x + 2 \u003d 0, dan sekarang kita kelompokkan x (x 2 - 1) - 2 (x - 1) \u003d 0, ( x - 1) (x( x + 1) - 2) = 0,x - 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x - 2 = 0, x 2 = - 2, x 3 = 1. Jawaban: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = - 2. Contoh 3.12. Selesaikan Persamaan7